1.1.Требования ГОС по дисциплине и квалификационные требования

Выпускник, получивший квалификацию учителя физики, должен быть готовым осуществлять обучение и воспитание обучающихся с учетом специфики преподаваемого предмета; способствовать социализации, формированию общей культуры личности, осознанному выбору и последующему освоению профессиональных образовательных программ; использовать разнообразные приемы, методы и средства обучения; обеспечивать уровень подготовки обучающихся, соответствующий требованиям Государственного образовательного стандарта; осознавать необходимость соблюдения прав и свобод учащихся, предусмотренных Законом Российской Федерации "Об образовании", Конвенцией о правах ребенка, систематически повышать свою профессиональную квалификацию, участвовать в деятельности методических объединений и в других формах методической работы, осуществлять связь с родителями (лицами, их заменяющими), выполнять правила и нормы охраны труда, техники безопасности и противопожарной защиты, обеспечивать охрану жизни и здоровья учащихся в образовательном процессе.Выпускник, получивший квалификацию учителя физики, подготовлен к выполнению основных видов профессиональной деятельности учителя математики, решению типовых профессиональных задач в учреждениях среднего общего (полного) образования.

Основная образовательная программа должна быть направлена на обеспечение профессиональной подготовки выпускника, воспитание у него гражданской ответственности, стремления к постоянному профессиональному росту и других личностных качеств. Это может быть достигнуто как включением в основную образовательную программу соответствующих курсов (разделов дисциплин), так и организацией внеаудиторной работы (научно-исследовательской, кружковой, конференций, семинаров, встреч с ведущими специалистами и т.д.).

1.2.Требования к обязательному минимуму содержания изучаемой дисциплины

ДПП.ДДС. Дисциплина дополнительной специальности

ДПП.ДДС.04 Теория вероятностей и математическая статистика

Теория вероятностей и математическая статистикаСтатистические закономерности. Статистическая устойчивость и

статистическое определение вероятности. Пространство элементарных событий, события. Аксиомы теории вероятностей. Свойства вероятности. Условная вероятность и ее свойства. Формула полной вероятности. Формулы Байеса. Независимость двух и n событий. Определение случайной величины, ее свойства. Дискретные случайные величины, закон

распределения. Основные дискретные распределения: биномиальные, распределение Пуассона. Непрерывные случайные величины. Геометрические вероятности. Понятие о методе Монте-Карло. Независимость испытаний. Независимые испытания Бернулли. Предельные теоремы Пуассона и Лапласа. Практическое использование приближенных формул. Математическое ожидание случайной величины и его свойства. Дисперсия случайной величины и ее свойства. Среднее квадратичное отклонение. Понятие о моментах. Неравенство Чебышева. Теорема Чебышева. Теорема Бернулли. Понятие о центральной предельной теореме. Задачи математической статистики. Оценка параметров распределения. Доверительные интервалы. Задача об оценке независимой вероятности событий по частоте. Понятие о критериях согласия. Понятие о простейших случайных процессах.

2. Цели и задачи изучаемой дисциплины

Курс “Теория вероятностей и математическая статистика” предусматривает две основные цели:

Мировоззренческая цель: познакомить студентов с математическим описанием закономерностей, имеющих место в массовых случайных событиях, и тем самым способствовать формированию у студентов статистического мышления и правильных представлений о таких категориях диалектики, как случайность, причинность, закономерность.

Профессиональная цель: подготовить студентов к преподаванию теории вероятностей в школе и формированию у учащихся элементов статистического мышления.

Этим целям соответствует выбор изучаемого материала и расстановка акцентов. В течение всего курса целесообразно знакомить студентов с историей теории вероятностей и её приложениями.

В результате изучения курса “Теория вероятностей и математическая статистика” студенты должны овладеть основными понятиями ( давать определение, разъяснять смысл, приводить примеры, иметь понятия о приложениях), уметь проводить простейшую статистическую обработку экспериментального материала.

Студенты должны быть знакомы с учебной литературой по теории вероятностей, научно-популярной литературой, литературой, адресованной школьникам.

3.Место дисциплины в профессиональной подготовке студентов

Новые образовательные стандарты предусматривают введение в курс основной и средней школы элементов комбинаторики, теории вероятностей и математической статистики. При этом достигается цель формирования у школьника простейших понятий конечной (дискретной) математики; формирование стохастического мышления. Курс теории вероятностей и математической статистики служит подготовке специалиста к работе в новых условиях.

4. Распределение времени, отведенного на изучение дисциплины по учебному плану

Форма учебной работы Форма обученияочная заочнаяпо семестрам по семестрам

1 3 4 5 3 4 5

Общая трудоемкость, всего часов 68Аудиторные занятия ( АЗ) 34Лекции ( Л) 17Практические занятия (пз) 17Семинары (с)Лабораторные занятия (лз)Другие виды аудиторных занятийСамостоятельная работа (ср) 34Контрольная работа (кр) 1Компьютерное тестированиеФорма итогового контроля(зачет, экзамен)

зач

5. Тематический план для очной формы обучения:

Наименование разделов и тем Форма обучения

АЗ СРЛ ПЗ

5 семестр

1 Статистические закономерности. Статистическая устойчивость и статистическое определение вероятности. Пространство элементарных событий, события. Аксиомы теории вероятностей.

1 1 2

2 Свойства вероятности. Условная вероятность и ее свойства. Формула полной вероятности. Формулы Байеса. Независимость двух и n событий.

1 1 2

3 Определение случайной величины, ее свойства. Дискретные случайные величины, закон распределения.

1 1 2

4 Основные дискретные распределения: биномиальные, распределение Пуассона.

1 1 2

5 Непрерывные случайные величины. Геометрические вероятности.

1 1 2

6 Понятие о методе Монте-Карло. 1 1 27 Независимость испытаний. 1 1 28 Независимые испытания Бернулли. Предельные

теоремы Пуассона и Лапласа. Практическое использование приближенных формул.

1 1 2

9 Математическое ожидание случайной величины и его свойства. Дисперсия случайной величины и ее свойства. Среднее квадратичное отклонение. Понятие о моментах.

1 1 2

10 Неравенство Чебышева. Теорема Чебышева. 1 1 211 Теорема Бернулли. Понятие о центральной предельной

теореме.1 1 2

12 Задачи математической статистики. 1 1 213 Оценка параметров распределения. Доверительные

интервалы.1 1 2

14 Задача об оценке независимой вероятности событий по частоте.

1 1 2

15 Понятие о критериях согласия. 1 1 216 Статистическое оценивание и проверка гипотез,

статистические методы обработки экспериментальных данных.

1 1 2

17 Понятие о простейших случайных процессах. 1 1 2

Всего часов 17 17 34

6. Содержание разделов и тем

5 семестр

События и их вероятности.Статистические закономерности. Статистическая устойчивость и

статистическое определение вероятности. Пространство элементарных событий, события. Аксиомы теории вероятностей. Свойства вероятности. Условная вероятность и ее свойства. Формула полной вероятности. Формулы Байеса. Независимость двух и n событий.

Схема Бернулли и предельные теоремы.Независимость испытаний. Независимые испытания Бернулли.

Предельные теоремы Пуассона и Лапласа. Практическое использование приближенных формул.

Случайные величины и их законы распределения. Определение случайной величины, ее свойства. Дискретные

случайные величины, закон распределения. Основные дискретные распределения: биномиальные, распределение Пуассона. Непрерывные случайные величины. Геометрические вероятности. Понятие о методе Монте-Карло. Математическое ожидание случайной величины и его свойства. Дисперсия случайной величины и ее свойства. Среднее квадратичное отклонение. Понятие о моментах.

Неравенство Чебышева. Закон больших чисел.Неравенство Чебышева. Теорема Чебышева. Теорема Бернулли.

Понятие о центральной предельной теореме.

Элементы математической статистики. Задачи математической статистики. Оценка параметров распределения.

Доверительные интервалы. Задача об оценке независимой вероятности событий по частоте. Понятие о критериях согласия. Статистическое оценивание и проверка гипотез, статистические методы обработки

экспериментальных данных. Понятие о простейших случайных процессах.

7. Список основной и дополнительной литературы

1. Боровков А.А. Теория вероятностей, М., Наука, 19762. Венцель Е.С. Теория вероятностей, М., Наука, 19693. Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей, М., Наука, 19694. Ивашев-Мусатов О.С. Теория вероятностей и математическая

статистика, М., Физматиздат, 1979

5. Лютикас В.Школьнику о теории вероятностей (учебное пособие по факультативному курсу для учащихся 8-10 классов), М., Просвещение, 1983

6. Солодовников А.С. Теория вероятностей, М., Просвещение, 19837. Тарасов Л.В. Мир, построенный на вероятности (книга для

учащихся), М., Просвещение, 19848. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и её приложения, М.,

Мир, 19679. Чистяков В.П. Курс теории вероятностей, М., Наука, 197810.Агапов Г.И. Задачник по теории вероятностей, М., Высшая школа,

198611.Виленкин Н.Я., Потапов В.Г. Задачник-практикум по теории

вероятностей с элементами комбинаторики и математической статистики, М., Просвещение, 1979

12.Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистики, М., Высшая школа, 1979

13.Сборник задач по теории вероятностей, математической статистики и теории случайных функций под редакцией Свешникова А.А., М., Наука, 1970

8. Требования к уровню освоения программы, виды текущего, промежуточного и итогового контроля

В результате изучения данной дисциплины студент должен:

Иметь представление о статистических закономерностях; случайном событии и статистическом определении вероятности; пространстве элементарных событий, аксиомах теории вероятности, свойствах вероятности, условной вероятности; независимости событий; дискретной случайной величине, непрерывной случайной величине; предельных теоремах Пуассона и Лапласа; математическом ожидании, дисперсии и среднем квадратическом отклонении; теоремах Чебышева, Бернулли; задачах математической статистики; о простейших случайных процессах.

Знать правила вычисления вероятностей случайных событий, формулы полной вероятности и Байеса, основные дискретные и непрерывные законы распределения, моменты случайных величин, оценки параметров распределения, доверительные интервалы.

Владеть методами нахождения вероятностей случайных событий, классическим определением вероятности, формулами Байеса, Бернулли, Лапласа, Пуассона, находить законы распределения случайных величин и их числовые характеристики, методами математической статистики, оценки параметров распределения и статистическими методами обработки экспериментальных данных.

Вопросы к зачету:5 семестр

1. Статистические закономерности.2. Статистическая устойчивость и статистическое определение

вероятности.3. Пространство элементарных событий, события.4. Аксиомы теории вероятностей. Свойства вероятности. 5. Условная вероятность и ее свойства. 6. Формула полной вероятности.7. Формулы Байеса.8. Независимость двух и n событий.9. Определение случайной величины, ее свойства. 10.Дискретные случайные величины, закон распределения. 11.Основные дискретные распределения: биномиальные,

распределение Пуассона.12. Непрерывные случайные величины.13. Геометрические вероятности. 14.Понятие о методе Монте-Карло.15. Независимость испытаний. 16.Независимые испытания Бернулли. 17.Предельные теоремы Пуассона и Лапласа.18.Практическое использование приближенных формул.19. Математическое ожидание случайной величины и его свойства.20. Дисперсия случайной величины и ее свойства.21. Среднее квадратичное отклонение. 22.Понятие о моментах. 23.Неравенство Чебышева.24. Теорема Чебышева. 25.Теорема Бернулли. 26.Понятие о центральной предельной теореме.27. Задачи математической статистики.28. Оценка параметров распределения. 29.Доверительные интервалы. 30.Задача об оценке независимой вероятности событий по частоте.31. Понятие о критериях согласия. 32.Статистическое оценивание и проверка гипотез, статистические

методы обработки экспериментальных данных.33. Понятие о простейших случайных процессах.

Сведения о переутверждении программы на очередной учебный год и регистрации изменений по схеме:

Учебныйгод

Решение кафедры

(№ протокола, дата, подпись

зав.каф.)

Внесенные изменения

Номера листов (страниц)заменен

ныхновых аннули-

рованных

Лист регистрации изменений

Изменения

Номера листов(стр.) Всеголистов(стр.) в

документе

Номерараспоря-

дительногодокумента

Подпись Дата Срок Введения

измененийзаме-

ненныхновых аннули-

рованных

3

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

ПЕНЗЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ

ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ В.Г. БЕЛИНСКОГО

УДК 519

ББК 22.171

М.А. РОДИОНОВ, Н. Н. ЯРЕМКО

КОМБИНАТОРИКА, ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

Учебное пособие

Пенза -2006

4

Печатается по решению РИС ПГПУ им. В.Г. Белинского

УДК 519

ББК 22.171

М.А. Родионов, Н. Н. Яремко. Комбинаторика, теория вероятностей и математическая статистика: Учебное пособие для старшеклассников и студентов.- Пенза: ПГПУ, 2006.-115 с.

В предлагаемом учебном пособии представлен вариант изложения курса теории вероятностей и математической статистики. Одной из его особенностей является попытка такого представления стохастического материала, при котором определенная систематичность, важная с точки зрения принципа научности обучения, органично дополнялась бы с существенным дидактическим потенциалом наглядно-интуитивного подхода.

Наличие в тексте пособия многочисленных примеров, исторических «вкраплений», системы контроля, предусмотренная возможность компьютерной поддержки решения задач прикладного характера, позволяют значительно расширить его пользовательский диапазон, в который могут входить учащиеся старших классов, студенты непрофильных специальностей, образовательная область которых включает в себя стохастический материал (психологи, социологи, менеджеры и др.), будущие и действующие учителя математики, которые могут использовать предлагаемое содержание в качестве основы для соответствующего профильного или элективного курса.

Рекомендовано УМО по математике педвузов Волго-Вятского региона в качестве учебного пособия для студентов педагогических специальностей высших учебных заведений

ISBN

Рецензенты: доктор педагогических наук, профессор, член-корр. РАО Г.И. Саранцев

доктор физ.-мат. наук, профессор, академик РАЕН Е.М. Вечтомов

@М.А.Родионов

@Н.Н. Яремко

ВВЕДЕНИЕ

Как известно, согласно федеральному компоненту базисного учебного

плана и государственному образовательному стандарту начального общего,

среднего общего и среднего (полного) общего образования по математике, в

школьный курс математики уже несколько лет включена новая содержательная

линия «Анализ данных», предполагающая изучение элементов комбинаторики,

теории вероятностей и математической статистики. В соответствии с

действующим стандартом, данная линия «пронизывает» содержание

математического материала на уровнях основной и средней (полной) школ,

начинаясь с 5-го и заканчиваясь в 11 классе.

Данная мера, безусловно, обусловлена ролью, которую играют

вероятностно-статистические знания в общеобразовательной подготовке

современного человека, поскольку без минимальной вероятностно-

статистической грамотности трудно адекватно воспринимать социальную,

политическую, экономическую информацию и принимать на ее основе

обоснованные решения. Современные физика, химия, биология, весь комплекс

социально-экономических наук простроены и развиваются на вероятностно-

статистической базе, и без соответствующей подготовки невозможно

полноценное изучение этих дисциплин уже в средней школе.

Знакомство учащихся с элементами стохастики позволяет на

содержательных (как в сугубо математическом, так и прикладном отношениях)

примерах изучать различные явления и процессы, показывать известную

универсальность математических методов, актуализировать основные этапы

решения прикладных задач. Кроме того, изучение стохастики способствует

развитию определенных личностных качеств учащихся, развитию их

коммуникативной культуры, способности ориентироваться во все более

сложной социально-экономической обстановке. В частности, появляется

возможность адекватно воспринимать и анализировать статистические

6

сведения, часто задействуемые в современных средствах массовой

информации, на их основе делать выводы и принимать «стохастически

оправданные» решения.

Несмотря на явные достижения, полученные отечественной методической

наукой, надо признать наличие ряда проблем в современном преподавании

основ стохастики в школе и вузе.

Одной из таких проблем является дискретное, «точечное» распределение

стохастического материала в общей структуре курса, которое не позволяет в

должной мере продемонстрировать своеобразную идеологию рассматриваемой

отрасли математики, существенно отличающейся от остальных математических

разделов, а также не обеспечивает достаточно эффективное развитие

мыслительных операций, лежащих в основе математической деятельности,

которая наиболее характерна для этой отрасли (гибкость, вариативность,

дивергентность, «комбинаторность», прогностичность и т.д.).

С другой стороны, довольно многочисленные систематические курсы

теории вероятности и математической статистики, сориентированные на самые

различные специальности, в силу излишней формализации зачастую не

соответствуют запросам и способностям студентов гуманитарных и

«окологуманитарных» специальностей (социологи, психологи, менеджеры и

др.). Как следствие данного положения, можно отметить тот факт, что, казалось

бы, два близкие между собой предмета «Теория вероятности и математическая

статистика» и «Статистические методы в …(психологии, экономике,

социологии и т.д.)» осознаются многими студентами как совершенно разные

предметные области, причем первая из них, в отличие от второй, по их мнению,

ничего общего с будущей профессиональной деятельностью не имеет.

Заполнить своеобразный «провал» между школьным и сугубо

профессиональным подходами в изложении стохастического материала может

курс, в котором определенная систематичность, важная с точки зрения

принципа научности обучения, органично дополнялась бы с существенным

7

дидактическим потенциалом наглядно-интуитивного подхода. Попытка

разработки такого курса представлена в настоящем пособии.

Содержание пособия включает в себя вполне традиционные разделы:

«Комбинаторика», Теория вероятности» и «Элементы математической

статистики». В первом разделе рассматриваются основные принципы

комбинаторики, с помощью многочисленных примеров раскрывается

содержание ее основных понятий: размещений, перестановок и сочетаний. В

заключение выводится формула бинома Ньютона и приводятся примеры ее

использования.

В следующем разделе рассматривается понятие о случайном событии,

рассматриваются классическое и статистическое определения вероятности,

вводятся основные сопутствующие определения и алгоритмы. Специальному

рассмотрению подвергаются испытания, удовлетворяющие схеме Бернулли. В

частности, выделяются различные случаи реализации данной схемы, для

каждого из которых вводится соответствующая формула расчета вероятности

наступления какого-либо события в ходе проведения повторных независимых

испытаний (формулы Бернулли, Лапласа и Пуассона).

Наконец, в заключительном разделе рассматриваются элементы

математической статистики, задействуемые в прикладных исследованиях (меры

центральной тенденции, меры рассеивания дискретных данных). Специальное

внимание уделяется схеме реализации регрессионного анализа при решении

простейших экспериментальных задач.

Изложение каждого вопроса, как правило, производится по единому плану:

1. В начале раздела предлагается одно или несколько заданий в качестве

своеобразного мотивационного «префеномена», показывающего

необходимость вводимого способа рассуждений. Эти занятия могут

предлагаться на вводном этапе как материал для осмысления и дальнейшего

обсуждения.

2. На следующем этапе производится определенная формализация

8

рассматриваемых стохастических конструкций, вводятся основные

определения, и доказываются либо раскрываются на конкретных примерах

наиболее важные теоремы. При этом актуализируется возможность

осуществления обобщенного описания отношений соответствующего класса

задач, и вводится по мере возможности общий алгоритм их решения.

3. Далее в ходе совместной работы разбираются наиболее типичные

задачные ситуации, демонстрирующие специфику реализации введенного

аппарата и в определенной мере «намечающие» область его применимости.

4. Наконец, на заключительном этапе в ходе относительно

самостоятельного решения задач происходит закрепление на практике

изучаемого вопроса. При этом во главу угла ставится не столько полноценное

усвоение всех особенностей того или иного метода, сколько актуализация

познавательного интереса и интуиции учащихся различного уровня

математической подготовки. Решение же последней задачи наиболее

эффективно при такой организации учебного процесса, когда отдельные

познавательные действия естественным образом вытекают из коллективного

характера обсуждения различных вариантов решения.

Выделим ряд положений, лежащих в основе методического аппарата

предлагаемой работы:

Первое положение декларирует необходимость соблюдения

оптимального соотношения строгих логических умозаключений и

“правдоподобных” рассуждений наглядно-интуитивного характера.

Недостаточный учет этого требования подспудно содержит в себе опасность

несоответствия достигнутой обучаемым стадии психического развития (а также

преобладающего компонента их мышления) и характера изложения учебного

материала, что, с одной стороны, может привести к нарушению доступности

изложения, а с другой – его систематичности и логической обоснованности.

Применительно к предлагаемому курсу сказанное предполагает, в

частности, широкую направленность на раскрытие содержания существенных

9

закономерностей “функционирования” аналитических объектов в ходе

рассмотрения заданий с четко выраженной «реальной» составляющей, а также

визуализацию этих объектов в виде зрительных образов для целесообразной

актуализации геометрической интуиции школьников и студентов.

В пособии целенаправленно соблюдается приоритет теории над

практикой. Данный приоритет обусловлен приверженностью авторов к таким

формам и методам обучения, при которых способы решения задач открываются

самими учениками в ходе совместной и индивидуальной поисковой

деятельности. В соответствии со сказанным, подавляющую часть материала

пособия представляют задачи, которые используются на всех этапах работы:

при раскрытии содержания тех или иных понятий и приемов решения задач,

при первичном закреплении введенных формулировок и алгоритмов, в ходе

самостоятельной работы, при показе дальнейших перспектив развития

материала, при повторении и контроле. Неоднократное успешное применение

усвоенных способов позволяет учащимся воспринимать их как собственные

«интеллектуальные достояния», а сам поиск и приобретение подобного рода

интеллектуальных ценностей становится внутренней потребностью личности.

Следующее положение обуславливает целесообразность компьютерной

поддержки материала. Оно совершенно естественно вытекает из специфики

содержания предлагаемого курса. Как известно, все выполняемые при помощи

компьютера преобразования любой информации реализуются посредством

вычислений. Именно числовые конструкции, в том числе, и «стохастические»

— это «родной язык» ЭВМ! И, чтобы стать действительно массовым

инструментом, эти конструкции изначально «обречены» были обрести

достаточно простое обрамление, привычное для пользователя, на основе

объединения соответствующего математического аппарата с электронными

таблицами, встроенными в стандартные программные оболочки.

Применительно к теории вероятности и математической статистике,

10

программные средства и, в частности, существующие специализированные

математические пакеты программ типа MathCAD, Maple, Statistica, в настоящее

время могут не только производить подавляющее большинство необходимых

расчетов в рамках основных разделов данного курса, но и, во многих случаях,

служить катализатором процессов обработки «не вполне детерминированной»

информации, позволяя пользователю решать возникающие проблемы на всех

стадиях моделирования вероятностных процессов. Однако, освоение самих

этих пакетов является совершенно самостоятельной задачей, далеко выходящей

за рамки функциональных возможностей предлагаемого пособия. В то же время

в курс информатики и в школе, и на всех специальностях вузов включено

обязательное изучение электронных таблиц Excel. Поэтому авторам пособия,

исходя из его функционального назначения, представилось вполне

оправданным ограничиться использованием пакета Excel, позволяющим

решить подавляющее большинство предлагаемых стохастических задач.

Еще одним детерминантом предлагаемого содержания является

необходимость его обогащения личностно и профессионально значимым

материалом. Определяя технологию «внедрения» в содержание курса такого

материала, авторы, в качестве одного из ее компонентов, предусмотрели

задания, предметная область которых содержит понятия, связанные с

реальными «внематическими» представлениями учащихся, либо знакомые по

базовому курсу математики. С учетом функциональных особенностей курса в

качестве таких заданий в основном предлагались так называемые

«псевдореальные задачи», процесс решения таких задач как бы «монологичен»,

он не требует специальных доопределений и уточнений, характерных для

«настоящих» прикладных задач. Эффективность рассмотрения таких задач

предполагает соблюдение следующего минимального набора требований.

11

1. Данные задачи должны соответствовать реальным характеристикам

описываемых стохастических процедур.

2. Фабула задачи должна быть относительно «близка по духу»

решающему, отражая значимые стороны его опыта.

3. Арсенал математических средств, освоенных учащимися, должен быть

достаточен для решения задачи на уровне, соответствующем данному этапу

математической подготовки.

К другим возможностям обогащения содержания предлагаемого курса

можно отнести:

1. Привлечение к изложению максимально возможно широкого круга

проблем, рассматриваемых в смежных дисциплинах и реальной жизненной

практике.

В частности, в пособии затрагивается уже ставшая классической задача

регрессионного анализа выборки биржевых ставок, решение которой

полностью соответствует последовательности этапов, характерной для любой

прикладной деятельности: анализ реальной ситуации с графическим

представлением; постановка задачи; выбор, построение и исследование

регрессионной модели; интерпретация полученной модели в контексте

изначально сформулированной проблемы.

2. Показ особенностей происхождения и развития изучаемых

стохастических понятий и методов под воздействием потребностей

общественной практики на основе привлечения к основной линии изложения

историко-математической информации.

Реализация указанных положений позволяет значительно расширить его

пользовательский диапазон, включающий в себя старшеклассников, студентов

непрофильных специальностей вузов, будущих и действующих учителей

математики, которые могут использовать предлагаемое содержание в качестве

основы для соответствующего профильного или элективного курса. Авторы

12

пособия надеются, что его содержание будет востребовано потенциальными

пользователями и окажет им определенную помощь в работе и учебе.

ЧАСТЬ I

КОМБИНАТОРИКА

I. Практическое занятие №1

Основные комбинаторные задачи.

1.1. Предмет комбинаторики. Комбинаторная математика, известная также под названием

комбинаторика, является математической дисциплиной, возникшей в древние

времена. Многие из задач, которые изучали в прошлом ради развлечения или в

силу их эстетической красоты, приобрели в наши дни современное звучание и

положили начало развитию комбинаторных методов. Согласно легенде,

китайский император Ю наблюдал "магический квадрат" на панцире некоей

божественной черепахи.

Это первый из известных "магических квадратов":, то есть таких у которых

сумма цифр по строкам, столбцам и диагоналям одинакова. В Древней Греции

комбинаторикой усиленно занимались Пифагор и его ученики. Они считали,

что миром правят числа. Символом совершенства служили числа, равные

сумме своих делителей. Например: 6 = 1 + 2 + 3, 28 =1 + 2 + 4+7 + 14. Эти числа

были названы совершенными. Символом дружбы служили "дружественные

числа", каждое из которых равно сумме делителей другого числа. Например,

220 и 284. Отыскание таких чисел требовало комбинаторного искусства.

618753294

13

Современная комбинаторика находит применение в биологии при изучении

состава белков и ДНК, в химии, в кристаллографии, в экономическом

моделировании процессов управления производством, в археологии при

изучении древних письменностей, в криминальной науке для разгадки

секретных шифров, в математическом программировании, планировании

экспериментов.

Комбинаторика изучает расположение элементов в множествах. Обычно

число элементов конечно, а их расположение обусловлено определёнными

ограничительными условиями. Рассматривают два наиболее общих типа задач.

Первый - ограничительные условия таковы, что существование самой

комбинации сомнительно, и исследование состоит в попытках доказать

существование этой комбинации. Такие задачи называются проблемами

существования. Второй - существование комбинации известно, а при

исследовании стремятся определить число комбинаций. Такие задачи

называются перечислительными.

Примеры задач первого типа.

П р и м е р 1. Один из "магических квадратов" приведен выше.

Существуют ли другие "магические квадраты"?

П р и м е р 2. Можно ли произвольную географическую карту раскрасить

при помощи 4-х красок так, чтобы любые две соседние страны на карте имели

бы разный цвет?

Эта задача называется "проблемой 4-х красок". Она была поставлена более

100 лет тому назад. Утвердительное её решение было получено лишь в 1984 г.

Другие примеры задач первого типа дают комбинации, которые

встречаются в играх в шахматы, шашки, домино.

Примеры задач второго типа.

П р и м е р 3. Сколько трехбуквенных "слов", в том числе и

бессмысленных, можно получить из букв слова "кот", если каждую букву

можно использовать только один раз?

14

Нетрудно перечислись все возможные "слова": кот, кто, отк, окт, ток, тко.

Таких “слов” будет 6.

Для того, чтобы сделать решение наглядным, применяют графическое

изображение решения в виде « дерева» (см. рис.1).

Рис.1

По числу последних ветвей «дерева» даётся ответ задачи: 6 «слов». В

математике такие рисунки называются графами. «Дерево» - один из примеров

графа.

П р и м е р 4. В первенстве по волейболу участвует 6 команд. Сколько

игр надо провести, чтобы каждая команда сыграла с каждой другой командой

один раз?

Если составить календарь игр (см. рис. 2), то легко найти число

проведенных встреч.

15

Рис.2

Примеры 3 и 4 решались путем простого пересчета требуемых вариантов.

Но очевидно, что более громоздкие задачи потребуют общих приемов и

методов. Разработкой этих методов и занимается комбинаторика.

П р и м е р 5. (Задача о коммивояжере.) Составить маршрут авиа-

путешествия, при котором

а) удастся побывать в каждом из 5 городов России: Москве, Санкт-Петербурге,

Сочи, Пензе, Екатеринбурге;

б) стоимость проезда будет наименьшей.

Решение этой задачи требует знаний не только комбинаторики и поэтому

здесь не может быть приведено.

В данном пособии рассматриваются задачи лишь второго типа, то есть

перечислительные задачи, разъясняются простейшие методы и правила

комбинаторики, дается достаточное количество упражнений.

1.2. Принципы комбинаторики. Принцип умножения.

В основе решения комбинаторных задач лежат два важных результата,

которые ввиду их значимости называют принципами комбинаторики.

П р и м е р 6. Сколько разных трехбуквенных "слов" (в том числе и

бессмысленных) можно составить из букв слова "ромб", если каждую букву

можно использовать не более одного раза?

Буквы будем записывать в трех клеточках полоски 1 2 3

16

Имеется 4 способа занять первую клетку. В каждом из таких 4-х способов

имеется 3 способа занять вторую клетку. Таким образом, есть 4 ∙3 = 12

способов занять I и 2 клетки. В каждом из этих 12 способов есть 2 способа

занять 3-ью клетку. Всего получаем 12 ∙ 2 = 24 способа занять все три клетки.

Полезно проиллюстрировать решение в виде дерева.(см. рис.3)

Рис.3

Чтобы не загромождать картинку, последнюю ветвь дерева часто приводят не

полностью.

Анализируя этот граф, можно заключить, что каждая основная ветвь

делится на одно и то же число ветвей: первая ветвь делится на 4 ветви, вторая

ветвь делится на 3 ветви, третья ветвь делится на две ветви. Количество

концевых ветвей равно произведению чисел 4, 3 и 2, то есть равно 24. Таким

образом, из букв слова "ромб" можно составив 24 трёхбуквенных "слова".

17

Принцип умножения. Если элемент а пары (а,b) можно выбрать k-

способами, и для каждого из таких способов элемент в пары (а,b) можно

выбрать l способами, то оба элемента, то есть пару (а,b) можно выбрать k l

способами.

Доказательства не приводим. Иллюстрируем принцип умножения

графом.(см. рис.4) Он имеет вид дерева, у которого k основных ветвей и

каждая из них делится на l ветвей.

См. рисунок-4 при k=4, l = 2. Число концевых ветвей k l = 42 = 8.

Рис.4

Посмотрите на схему ( рис.5). Она удобна для запоминания принципа

умножения.

k l способов

{a1, a2, …, ak} {b1, b2, …, bl}

k элементов l элементов

Рис.5

Элемент а в паре может быть выбран k способами, элемент b в той же

паре может быть выбран l способами, тогда пара может быть

выбрана k . l способами.

а b

k способов l способов

18

На практике принцип умножения может применяться несколько раз. Вот

как он выглядит для троек элементов:

k l m - способов

{a1, a2, …, ak} {b1, b2, …, bl} {c1, c2, …, cm}

Рис.6

П р и м е р 7. Сколько различных полных обедов можно составить, если в

меню 3 первых, 4 вторых и 2 третьих блюда?

{I1, I2, I3} {II1, II2, II3, II4} {III1, III2}

к=3 l = 4 m = 2

По принципу умножения находим 342= 24, то есть из данных блюд

можно составить 24 полных обеда.

Нарисуйте дерево для этого примера.

П р и м е р 8. Сколько можно получить различных четырехзначных чисел,

вставляя пропущенные цифры вместо знака * в число *2 *5?

По принципу умножения находим 9 ∙ 10 = 90 чисел (на первом месте цифра 0

стоять не может).

I II

19

П р и м е р 9. Сколько семибуквенных "слов" можно получить из букв

слова "выборка", если каждую букву можно использовать только один раз?

и т.д.

Существует 7 способов занять первую клетку, ведь мы можем использовать

любую из имеющихся семи букв: в, ы, б, о, р, к, а. В любом из таких вариантов

имеется 6 способов занять вторую клетку, например, если первой записана

буква б, то во вторую клетку можно записать любую из букв, кроме б, то есть

буквы в, н, о, р, к, а - их всего 6. Аналогично, в третью клетку можно записать

любую из пяти оставшихся букв, так как две буквы из первоначально

имеющихся семи уже выбраны, и т.д. По принципу умножения находим общее

число "слов":

7654321= 5040. Попробуйте построить дерево или его часть для этого

примера.

П р и м е р 10. Сколько двузначных чисел можно составить из цифр {0,2,

4, 6, 8}, при условии, что цифры в этом двузначном числе могут повторяться?

На первое место (то есть на место десятков) можно поставить любую из цифр

2, 4, 6, 8 (цифра 0 не используется, т.к число не может начинаться с 0). Цифры

в числе могут повторять, поэтому на второе место можно поставить любую из

пяти цифр 0, 2, 4, 6, 8. По принципу умножения находим общее число

двузначных чисел, составленных из цифр 0, 2, 4, 6, 8 равно: 45=20. Полу-

чили, что из цифр {0, 2, 4, 6, 8} можно составить 20 двухзначных чисел.

20

1.3. Принципы комбинаторики. Принцип сложения. Имеем два множества: А={A1, A2, …, Ak} и B={ b1, b2, …, bl}

без общих элементов. Нужно выбрать только один элемент или из множества

А или из множества B. Сколькими способам это можно сделать? На этот

вопрос отвечает принцип сложения. Посмотрите на схему.

k +l способов

{a1, a2, …, ak} {b1, b2, …, bl}

k элементов l элементов

Рис.7

Выбрать один элемент из множеств А или В можно k + l способами.

Принцип сложения. Если множества А и В не имеют общих элементов, и

элемент a можно выбрать из множества А k споcобами, а элемент b можно

выбрать из множества В l другими способами, то число способов выбрать

элемент " a или b " равно k+1 .

Пример 11. На книжной полке стоят 20 книг по алгебре, 12 книг по

геометрии, 25 книг по литературе. Сколькими способами можно выбрать

книгу по математике?

{ книге по алгебре) {книги по геометрии} {книги по литературе}

a или b b

k способов l способов

книга по математике= или книга по алгебре

или по геометрии

20 способов

12 способов

21

k=20 l=12 m= 25

По принципу сложения получим: 20 +12= 32 способа.

Пример 12. В универсаме в продаже имеется 100 наименований

продовольственных товаров, 50 промышленных и 75 хозяйственных.

Сколькими способами можно выбрать непродовольственный товар?

{ промтовары} {хозтовары} {продтовары}

По принципу сложения получаем ответ: 50+ 75 = 125 способов.

Упражнения.

1. В магазине имеется 6 сортов шоколадных конфет и 4 сорта карамели.

Сколько различных покупок конфет одного сорта можно сделать в этом

магазине? Сколько можно сделать различных покупок, содержащих один сорт

шоколадных конфет и один сорт карамели?

Ответ: 10, 24.

2. Первое предприятие производит 7 различных видов продукции, а второе

предприятие - 9. Между предприятиями заключен договор об обмене одним

видом своей продукции. Сколькими способами этот обмен может быть

осуществлен?

Ответ: 63.

3. Сколько различных трехзначных чисел меньших 400 можно составить из

цифр 1,3,5,7,9 при условии, что цифры в записи числа не повторяются?

Ответ: 24.

4. Сколько может существовать телефонных номеров вида 33-45-**?

Непродовольственный товар=или промтовар или хозтовар

50 способов

75 способов

22

Ответ: 100.

5. Сколько можно получить различных четырехзначных чисел, вставляя

пропущенные цифры на место знака * в число 3* 7*?

Ответ: 100.

6. Сколько существует пятизначных чисел, которые одинаково читаются слева

направо и справа налево?

Ответ: 9 ∙ 10 ∙ 10 = 900.

7. Для запирания сейфов применяют секретные замки, которые открываются

лишь тогда, когда набрано "тайное слово". Известно, что "тайное слово"

состоит из 5 букв, которые берутся из множества {А, Б, В, Г, Д, Е, Ж, 3, И, К} и

могут повторяться. Сколько неудачных попыток для вскрытия сейфа может

быть сделано преступником, не знающим "тайного слова" и набирающим его

наудачу?

Ответ: 105 - I.

8. Сколько пятибуквенных "слов" можно образовать из букв а, б, в, если 1)

буква а занимает только первое и второе места в слове? 2) слово начинается

слогом "ба"?

Ответ: I) 23; 2) 33.

9. Сколько "слов", содержащих 6 букв, можно составить из 33 букв русского

алфавита при условии, что любые две стоящие рядом буквы различны?

(Например, слово "корова" допускается, а слово "колосс" нет.)

Ответ: 33∙32∙32∙32∙32∙32.

10. Имеется 5 билетов денежно-вещевой лотереи, 6 билетов спортлото и 10

билетов автомотолотереи. Сколькими способами можно выбрать один билет

спортлото или автомотолотереи?

Ответ: 16.

11. Сколько существует различных положений, в которых могут оказаться

четыре переключателя, если каждый из них может быть включен или

выключен? Постройте "дерево".

23

Ответ: 16.

12. В магазине в продаже имеются 15 телевизоров "Сони", 25 телевизоров

«Панасоник» и 30 телевизоров "Самсунг". Покупатель решил купить телевизор

"Сони" или "Самсунг". Сколькими способами он может это осуществить?

Ответ: 45.

13. В трех ящиках лежат одинаковые детали: в первом - 10 деталей, во

втором - 15 деталей, в третьем - 20 деталей. Сколько существует способов

извлечь деталь из первого или третьего ящика?

Ответ: 30.

14. Набирая номер телефона, абонент забыл две последние цифры и, помня

лишь, что эти цифры различны, набирает их наудачу. Сколько неудачных

попыток может сделать абонент, прежде чем дозвонится?

Ответ: 89.

2. Выборка. Размещения, перестановки и сочетания без повторений.

2.1. Выборка, основные виды выборок. Выборка - одно из главных понятий комбинаторики. Определим это

понятие. Пусть мы имеем множество S , состоящее из n элементов.

Определение 2.1. Любой набор, составленный из m элементов множества

S , называется выборкой объема m из множества S .

Основные виды выборок: упорядоченные, неупорядоченные, с

повторениями, без повторений.

Рассмотрим вначале эти понятия на примерах, а затем опишем в общем

виде.

П р и м е р 1. В магазине имеется определенный набор молочных

продуктов: молоко, кефир, ряженка, творог, сметана. Этот перечень -

множество S , n= 5. Мы делаем покупки: одна бутылка молока, пачка творога,

баночка сметаны - это выборка из множества S объема m= 3. Порядок, в каком

мы делаем покупки, роли не играет, поэтому выборка неупорядоченная.

24

Каждый из продуктов выбран в одном экземпляре, поэтому такая выборка

называется выборкой без повторений.

П р и м е р 2. Учитель входит в класс и назначает 2-х дежурных из 26

присутствующих в классе учеников. Учитель осуществляет выборку из

множества S, n=25, объема m= 2. Порядок, в котором названы ученики, роли не

играет, поэтому выборка неупорядоченная. Дежурить могут два разных

ученика, поэтому выборка без повторений.

П р и м е р 3. Из нечетных цифр составляются трехзначные числа а) так,

чтобы все цифры в числе были различны; б) так, чтобы цифры в числе могли

повторяться.

Имеем: S= {1, 3, 5, 7, 9}, n= 5.

а) Составляем выборки объема m = 3: составляем числа 351, 513, 719, 195

и т.д. Порядок выбора цифр играет существенную роль, так как, например,

числа 351 и 513 различны. Получаем, что выборка упорядоченная. В этом

примере требуется, чтобы цифры в числе не повторялись, поэтому выборка без

повторений.

б) Составляем выборки объема m= 3: 355, 535, 917, 119 и т.д. Это

выборки упорядоченные с повторениями.

П р и м е р 4. Имеем 4 светофора, у каждого из которых два световых

сигнала: красный (к) и зеленый (з). Пример выборки:

Здесь S= {к, з} , n= 2. Выборка объёма m= 4, упорядоченная с

повторениями. Символически ее можно записать так (к, з, з, з).

Элементы, составляющие упорядоченные выборки, принято заключать в

круглые скобки, для неупорядоченных выборок используют фигурные скобки.

П р и м е р 5. В кондитерском магазине продают пирожные 3-х сортов:

песочные (п), заварные (з), воздушные (в). Нужно купить б пирожных.

25

Примеры покупок (выборок): {п, п, з,з,в,в}, {п, з, з, в, в, п} - это одинаковые

выборки ; {п, з, з, з, в, в}, {п, п, п, з, з, з} , {п, з, з, з, в, в} и т.д. Имеем выборки

неупорядоченные с повторениями.

П р и м е р 6. В велогонке участвуют 17 спортсменов под номерами от 1

до 17. На электронном табло высвечивают номера трех лидеров.

Имеем S={№1,№2,…,№ 17}, n= 17. Выборка {№3,№1,№ 15} объема m = 3

означает, что первыми идут участники с номерами 3, 1, 15. Выборка объема m =

3 упорядоченная без повторений.

Дадим описание основных типов выборок.

Выборка упорядоченная, если в задаче важен порядок элементов,

образующих выборку.

Выборка неупорядоченная, если в задаче не важен порядок элементов,

образующих выборку.

Выборка без повторений, если после каждого извлечения элемента из

множества S этот элемент не возвращается обратно в S и не может быть

повторно использован в данной выборке.

Выборка с повторениями, если после каждого извлечения элемента из

множества S этот элемент возвращается обратно в S и может быть повторно

использован в данной выборке (эту ситуацию можно несколько видоизменить:

считать, что тотчас же в S появляется точно такой же элемент).

2.2. Размещения, перестановки, сочетания без повторений.

Определение 2.2. Упорядоченная без повторений выборка из n-

элементного множества S по m элементов называется размещением без

повторений из n по m. Число всех таких размещений обозначают mnA (следует

читать "А из n по m ").

Определение 2.З. Размещение из n по n называется перестановкой.

Число всех перестановок обозначают Pn, то есть nnn AP .

Определение 2.4. Неупорядоченная без повторений выборка из n-

26

элементного множества S по m элементов называется сочетанием без

повторений из n по m. Число всех таких сочетаний обозначают mnC (следует

читать "це из n по m "). По определению считают 10 nC и 100 С .

Т е о р е м а 2.1. mnA = n(n-1)(n-2)…(n-(m-1)).

Доказательство. Первый элемент можно выбрать n способами, после

этого второй элемент можно выбрать (n-1) способами (так как второй элемент

не такой, как первый). Далее: третий элемент можно выбрать (n-2) способами

(так как третий элемент не такой, как первый, и не такой, как второй) и т.д..

Последний элемент можно выбрать n-(m-1) способом. По правилу произве-

дения mnA =

множителейm

mnn

121-nn n .

Следствие. Рn=Ann=n(n-1)(n-2)…(n-(n-1))=n(n-1)…2 ∙1=n!

(n! читают «эн факториал»).

Т е о р е м а 2.2. !

mn m

ACmn или !!

!mn mnm

nС

.

Доказательство. Пусть число сочетаний без повторений есть Х. В каждом

из таких сочетаний по определению порядок не важен. Сочетания состоят из m

элементов. Упорядочить каждый m- элементный набор можно Р m способами:

Р m - это число перестановок, которые можно составить из m -элементного

множества (см. следствие из теоремы 2.1). Итак, 1-ое сочетание можно

упорядочить Р m способами, 2-ое сочетание - Р m , способами, 3-ье - Р m , способа-

ми, Х-ое сочетание - Р m способами. Значит, все X сочетаний можно

упорядочить X ∙ Р m способами. С другой стороны, число способов упорядочить

все X сочетаний равно числу размещений из n по m, то есть Аmn . Итак, X Р m =

Amn. Откуда

27

!mA

PAX

mn

m

mn .

Числа nnnn CCC ,...,, 10 называют биномиальными коэффициентами. Для их

нахождения при малых значениях числа n удобно применять схему Паскаля,

так называемый треугольник Паскаля:

1 (n=0)

1 1 (n=1)

1 2 1 (n=2)

1 3 3 1 (n=3)

1 4 6 4 1 (n=4)

1 5 10 10 5 1 (n=5)

1 6 15 20 15 6 1 (n=6)

В нем все промежуточные значения вычисляем как суммы чисел

предыдущей строки, стоящих слева и справа от вычисляемого значения. Так,

например, число 10 = 4 + 6.

Итак, теоремы 2.1 и 2.2 дают важнейшие формулы

)),1()...(1( mnnnAmn

,!nAP nnn

!m-nm!n!

!)1)...(1(

!

mmnnn

mAC

mnm

n .

Для запоминания материала пункта 2.2 сделаем рисунок 8,

иллюстрирующий изложенное. Имеем множество S = {а,в,с,d...}, состоящее из n

элементов, элементы не повторяются. Множество S мы изобразим в виде

"мешка", в котором "лежат" в беспорядке элементы а, в, с, d. Осуществляем

выборку объема m, , то есть будем считать, что мы "вынимаем" из "мешка" m

элементов. Если "вынутые" элементы упорядочиваются, то есть располагаются

по порядку в строчку, то получаем размещения из n элементов по m ; если же не

упорядочиваются, то есть помещаются в другой "мешок" в беспорядке, то

28

будем иметь сочетания из n элементов по m. Чтобы запомнить, что n- нижний

индекс, а m- верхний индекс в формулах для числа размещений Аnm и числа

сочетаний Сnm ,этот рисунок также удобен: n- элементов находятся “внизу”, в

“мешке”, и из них мы “поднимаем” вверх m элементов.

Рис 8. Элементы не повторяются

П р и м е р 7. Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр

1,2,3,4,5,6,7, если цифры в числе не повторяются?

Множество S = {1,2,3,4,5,6,7}, n =7. Выборки (3,2,1), (5,1,7), (7,1,5) и т.д.

дают числа 321, 517, 715. Имеем упорядоченную выборку из 7 элементов по 3

без повторений. Таких выборок всего будет

А73=7 ∙6 ∙5=210.

Этот пример можно решить и по принципу умножения.

Подумайте, каким будет решение, если допустить, что цифры в числе

могут повторяться.

П р и м е р 8. Совет директоров компании состоит из 12 человек.

Сколькими способами можно составить из них делегацию из 3-х человек для

переговоров с конкурентами?

Занумеруем членов совета числами от I до 12, получим множество S

29

={1,2,3,...,12}, n= 12. Примеры выборок (m = 3) : {1,4,12}, {3,8,12} и т.д.

Выборки неупорядоченные, без повторений. Имеем:

220321101112

!3

3123

12

AC

Упражнения.

1. Сколькими различными способами можно рассадить в ряд 6 уча-

щихся на шесть свободных мест?

Ответ: 6!

2. Сколькими различными способами можно рассадить в ряд 6

учащихся на 10 свободных мест?

Ответ: 610A

3. Сколько различных трехзначных чисел можно записать с помощью

цифр 1,2,3,4. при условии, что каждая цифра в записи встречается один раз?

Ответ: 24.

4. Решить уравнения: а) 15621 xA ; б) 25612 xx CA .

Ответ: а) 12; б) 16.

5. Сколькими способам можно выбрать две согласные из букв слова

"логарифм"?

Ответ: 10.

6. Совет директоров компании состоит из 15 человек. Сколькими

способами на них можно выбрать председателя и его заместителя?

Ответ: 215A

7. В шахматном турнире сыграно 210 партий, причем каждый

участник сыграл с каждым из остальных участников по одной партии. Сколько

человек участвовало в турнире?

Ответ: 21.

8. Решить уравнение

61

)!1()!1(!

mmm

30

Ответ: 2 или 3.

9. Упростить выражение:

4

56

n

nn

AAA

Ответ: (n-2)2.

10. Сколько всего семизначных телефонных номеров, в каждом из

которых ни одна цифра не повторяется?

Ответ: 710A .

11. Сколькими способами семь книг разных авторов можно расставить

на полке?

Ответ: 7!

12. Сколькими способами читатель может выбрать 2 книги из 5

имеющихся?

Ответ: 10.

13. Из 15 солдат надо отправить троих в разведку. Сколькими

способами можно сделать выбор?

Ответ: С315.

14. Сколько словарей надо издать, чтобы можно было непосредственно

выполнять переводы с любого из пяти языков: русского, английского,

французского, немецкого, итальянского на любой другой из этих пяти языков?

Ответ:10.

Указание: S= {р, а, ф, н, м}. Пример выборки: (а, ф) (то есть англо-

французский словарь), выборка упорядоченная без повторений.

15. Сколько "слов", каждое из которых состоит из семи различных букв,

можно составить из букв слова "станция"? Ответ: Р7.

16. Сколькими способами 10 человек могут встать в очередь друг за

другом?

Ответ: Р10.

17.У человека имеется 9 книг. Сколькими способами он может выбрать 2

31

книги на обмен?

Ответ: С29

18. Сколькими способами можно выбрать трех коней из набора

шахматных фигур? -

Ответ : С34.

Указание: в наборе шахмат имеется 4 коня.

32

3. Размещения и сочетания с повторениями.

Введем понятия размещения с повторениями и сочетания с повторениями.

Определение 3.1. Упорядоченная с повторениями выборка из n-

элементного множества S по m элементов называется размещением с

повторениями из n по m. Число всех таких размещений обозначают mnA .

Определение 3.2. Неупорядоченная с повторениями выборка из n-

элементного множества S по m элементов называется сочетанием с

повторениями из n по m . Число всех таких сочетаний обозначают mnС .

С помощью принципа умножения можно доказать формулы mm

n nA m

mnm

n CС 1 Принципы умножения и сложения, основные формулы из п. 2 и п. 3

позволяют решать простейшие комбинаторные задачи. Предложим план, по

которому удобно работать.

План.

1. Указать множество S и найти n - число его элементов. 2. Выяснить, что является выборкой, и найти m – объем выборки. 3. Определить вид выборки: а) упорядоченная – неупорядоченная; б)

с повторениями - без повторений. 4. Подсчитать число выборок по соответствующей формуле.

П р и м е р 1. На железнодорожной станции имеется 5 светофоров.

Сколько может быть различных комбинаций их сигналов, если светофор имеет

три состояния: красный (к), желтый (ж), зеленый (з)?

1. S={ к, ж, з}. Обратите внимание, S - это множество цветов, а не

светофоров, n= 3.

2. Пример выборки (к, э, з, э, ж), m = 5.

33

№1, №2, №3, №4, №5.

3.а} Выборка упорядоченная.

б ) Выборка с повторениями.

имеем размещения с повторениями, то есть число комбинаций равно 53A .

Ответ: = 35= 243.

Эту задачу можно было бы решить и по правилу умножения.

П р и м е р 2. Сколькими способами можно разложить в два кармана 9

монет разного достоинства?

I. S= {правый, левый} (обратите внимание, S - это множество карманов,

но не монет), n = 2.

2. Пример выборки:

{л, л, п, л, л, л, п, п, л}

1 2 3 5 10 15 20 50 100

Приведенную запись понимают так: 1 коп. - в левый, 2 коп. - в

левый, 3 коп. - в правый, 5 коп. - в левый карман и т.д. Объем

выборки m = 9.

3а) Выборка упорядоченная. Имеем размещения с повторениями

3б) Выборка с повторениями .

Ответ: 92А = 29= 512.

П р и м е р 3. В почтовом отделении продаются открытки 10 видов,

Сколькими способами можно купить здесь набор из 8 открыток, если открыток

каждого вида имеется не менее восьми штук?

1. S ={а, б, в, г, д, е, ж, з, и, к}, где буквами зашифрованы виды

открыток, n = 10.

2. Пример выборки: {г, д, а, а, е, е, з, и}, m=8

За). Выборка неупорядоченная.

53A

92А

34

б). Выборка с повторениями.

имеем сочетания с повторениями 810C .

4. Ответ:

П р и м е р 4. В кондитерском магазине продаются пирожные 4-х

видов: эклеры (э), наполеоны (н), бисквиты (б) и песочные (п). Сколькими

способами покупатель может выбрать 10 пирожных?

1. S= {э, н, б, п,} n=4.

2. Пример выборки:{э, э, э, э, н, н, б, п, п, п} m=10.

3a) Выборка неупорядоченная. Имеем сочетания с

б) Выборка с повторениями повторениями 104С .

4.Ответ:

286123111213

1234567891045678910111213

!10

101310

1310

1104104

АССС .

П р и м е р 5. В секции "Подарки" универмага имеется в продаже 20

разных видов подарочных наборов по цене 100 рублей каждый. Сколько

имеется способов потратить 1000 рублей на покупку праздничных наборов,

если

1) все наборы должны быть различными;

2) наборы могут повторяться.

На 1000 рублей можно купить всего 1000:100 = 10 наборов.

1). 1. S = {I, 2, 3,..., 19, 20}, n = 20. Здесь цифрами I, 2, ..., 20 обозначены

виды наборов,

2. Пример выборки: {I, 3, 5, 7, 4, 6, 19, 18, 10, 11} m = 10.

3 а). Выборка неупорядоченная сочетание без повторений

б). Выборка без повторений из 20 по 10.

Ответ: .

2438012345678

1011121314151617!8

8178

178

18108

10

АССС

1020С

35

2)1. S = {I, 2, 3, ..., 19, 20], n = 20.

2. Примеры выборок: {1, 3, 5, 7, 4, 6, 19, 18, 10, 11} и {1, 1, 1, 1, 1 1, 1, 1, 10, 11} ,

m = 10.

З а) Выборка неупорядоченная. сочетание с повторениями

б) Выборка с повторениями. из 20 по 10.

4. Ответ:

Упражнения.

1. Сколько хорд можно провести через 6 точек, лежащих на одной

окружности?

Ответ: 26С .

2. Сколькими способами можно распределить 12 различных учебников

между 4 школьниками?

Ответ: .

Указание: S={а, в, с, д}, где буквами а, в, с, д обозначены школьники.

Пример выборки: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

a а а а в в с д д с в a

при этой выборке ученик а получает I, 2, 3, 4, 12 учебники, в - получает 5,

6, 11 учебники, с - 7, 10 учебники и д - 8 и 9 учебники.

3. В состав сборной включены 6 нападающих. Сколькими способами тренер

может выставить на поле 3-х нападающих?

Ответ: .

4. Сколько четырехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6?

Ответ: A46.

5: Сколько шестизначных чисел можно написать с помощью цифр а) 8 и

9? б) 0 и I?

Ответ: а) ; б) .

1029

1011020

1020 ССС

124А

36С

62А 5

2А

36

6. Сколько можно построить различных прямоугольных параллелепи-

педов, если длина каждого его ребра выражается любым целым числом от I до

10?

Ответ: .

7. Четверо школьников сдают экзамен. Сколькими способами могут быть

поставлены им отметки, если известно, что никто из них не получил

неудовлетворительной оценки?

Ответ:

8. Сколькими способами 7 пассажиров могут распределиться по 12 вагонам,

если для каждого пассажира существенным является только номер вагона, а не

занимаемое им место?

Ответ: 712А

9. В цветочном магазине продаются цветы 6 сортов. Сколько можно

составить различных букетов по 10 цветов в каждом?

Ответ: .

10. На плоскости расположено n точек таких, что любые три из них не

лежат на одной прямой. Сколько существует треугольников с вершинами в

этих точках?

Ответ:

11. В некотором государстве не было двух человек с одинаковым

набором зубов. Какая может быть наибольшая численность населения этого

государства? полное число зубов равно 32 .

Ответ: 232 .

Указание: S = {зуб есть, зуба нет}.

12. Имеется возможность вложить 10000 руб. в акции 15 компаний

стоимостью 1000 руб. каждая. Сколькими способами это можно сделать, если

а) все приобретаемые акции различны;

б) среди приобретаемых акций могут быть одинаковые?

310С

43А

106С

3nС

37

Ответ а) A1015; б) 10

15А

13. В парке имеется 10 аттракционов, стоимость билета на каждый

аттракцион 20 руб. Ребенок имеет 100 рублей. Сколькими способами он может

их потратить, если

а) он решил приобрести билеты на разные аттракционы;

б) он решил посетить некоторые аттракционы по несколько раз?

Ответ: а) 510А б) 5

10А

14. В языке племени "мумбо-юмбо"(см.И.Ильф, Е.Петров. Двенадцать

стульев) имеется четыре звука А, У, Ы и Е. Имя туземца состоит из пяти букв,

причем , допустимы имена типа АУУАА и т.д., то есть допустимы имена с

повторениями букв. В племени 400 туземцев. Могут ли у всех них быть разные

имена?

Ответ: да, так как > 400.

15. В одном из фантастических рассказов приведена легенда о том, что

Вселенная перестанет существовать, как только будут названы все имена

Аллаха. Найдите число всех имен Аллаха, если имя состоит ровно из 12 букв,

буквы в имени могут повторяться, а число букв в алфавите 32.

Ответ:

Найдите, сколько времени потребуется, чтобы произнести все эти имена,

если на произношение одного имени требуется 3 секунды?

Ответ: 0,5 . 1012 лет.

54А

1232А

38

4. Формула бинома Ньютона.

4.1. Возведение двучлена х + 1 в натуральную степень.

Выведем формулу для представления выражения (х + 1) в виде суммы

одночленов. Последовательно находим:

(х+1)1 = х+1,

(х+1)2 = х2+2х+1,

(х+1)3 = х3+3х2+3х+1,

(х+1)4 = (х+1)3 .(х+1)=х4+4х3+6х2+4х+1 и т.д. Замечаем, что во всех

рассмотренных случаях (х+1)n представляет собой многочлен степени n,

коэффициенты которого совпадают с элементами соответствующей строки

треугольника Паскаля (см. п. 2.2). Например, в разложении:

(х+1)3 =х3+3х2+3х+1

коэффициенты многочлена соответственно равны: 1, 3, 3, 1 и соответствуют

третьей строке треугольника Паскаля. В разложении (х+1)4 = х4+4х3+6х2+4х+1

коэффициенты многочлена равны 1, 4, 6, 4, 1 и совпадают с четвертой строкой

треугольника Паскаля. Поэтому возникает предположение, что

(1)

Доказательство этой формулы Вы можете найти в любом более полном

курсе комбинаторики.

4.2. Формула бинома Ньютона.

Биномом называют двучлен bа . Выведем формулу для возведения

бинома в любую натуральную степень. Преобразуем выражение nba )( :

nnnn

bab

babba )1())1(()(

nn

nn

nn

nn

nn

n CxCxCxCxCx 122110 ...)1(

39

Положим xba . Воспользовавшись формулой (1), получим

Итак,

(2)

Эта формула называется биномиальной формулой Ньютона, а её правая

часть - разложением степени бинома. Как уже говорилось выше, биномиальные

коэффициенты совпадают с элементами соответствующей строки треугольника

Паскаля. Интересно еще одно занимательное правило определения

биномиальных коэффициентов. Будем последовательно находить натуральные

степени числа 1001:

10011 = 1001,

10012 = 1002001,

10013 = 1003003001,

10014 = 1004006004001 и т.д.

Можно доказать, что числа, стоящие в правой части между нулями, дают

биномиальные коэффициенты соответствующей степени.

П р и м е р 1. Найти разложение степени 6)2( yx

Имеем: 66 ))2(()2( yxyx

110()1()1()( nn

nn

nnnnnn xCxCbxbbabba

110122 )()(()... nn

nn

nnn

nn

nn b

aCbaCbCxCxC

baCaCCbaC

baC n

nn

nnn

nn

nn

110122 )...)(

nnn

nnn

nn

nn

nn

n bCabCbaCbaCaCba 11222110 ...)(

3336

2426

1516

606 )2()2()2( yxCyxCyxCxС

40

42332456 815820415261 yxyxyxyxx

245665 6012641326 yxyxxyyx 654233 64192120160 yxyyxyx .

Биномиальные коэффициенты взяты из шестой строки треугольника

Паскаля.

П р и м е р 2. Найти два средних члена разложения бинома

Для бинома (a + b)13 средними будут члены и . Учитывая, что

3,xa yb , будем иметь:

Упражнения.

1. Напишите разложение степени бинома:

а) (x+1)7; б) (x-2)5; в) (3х+2у)4; г) .

2. Найдите четвертый член разложения (8х-5у)6

Ответ:

3. Найдите член биномиального разложения , не содержащий

переменную х.

Ответ: второй.

666

556

4246 )2()2()2( yCyxCyxC

76713 baC 676

13 baСxa

323713

3713

736713

73)()( yyxCyxCyxC

xyxCyxCyxC 23613

2613

637613

72)()(

62 )1(x

x

333336 1280000)5()8( yxyxC

62 )

41

32(

xx

41

4 . Сумма третьего от конца и третьего от начала биномиальных

коэффициентов разложения n34 43 равна 9900. Сколько рациональных

членов содержится в этом разложении?

Ответ: 9.

Указание: докажите, что рациональные члены могут быть только при k =

4, 16, 28, 40, 52, 64, 76, 88, 100.

5.Найти сумму .

Ответ: 2n.

Указание: положить в разложении nx )1( x=1.

6. Найдите разложение степени бинома (2х-3)5

7. Найдите значение выражений а) !43!45 ; б) ;

!9!7!15

в) 82

38

8

CAP

.

8. Упростите:

а) )!4(

)9()!2( 2

nnn ; б) 2

31

nn

nn

ACP .

9. Решите уравнения:

а) 42

5 18 xx AA ;

б) 79121 xx CA .

10. В разложении бинома найти, какой его член не зависит от х.

Ответ: пятый.

11. Вычислить сумму:

Ответ: 243.

Указание: положить в биномиальном разложении (х+2)5 х = 1.

12. Из цифр I, 2, 3, 4, 5 составлены различные пятизначные числа, не

содержащие одинаковых цифр. Сколько среди этих чисел таких, которые

а) начинаются цифрой 3?

б) начинаются с числа 54?

nnnnn CCCC ...210

163 )1(x

x

55

545

435

325

215

05 22222 CCCCCC

42

Ответ: а) Р4 б) Р3 .

13. Сколькими способами можно выбрать четырех человек на четыре различные

должности из 9 кандидатов?

Ответ: 49A .

14. Из 20 рабочих надо выделить шесть человек для работы на определенном

участке. Сколькими способами это можно сделать?

Ответ: 620C .

15. В шахматном турнире сыграно 210 партий, причем каждый участник сыграл

с каждым из остальных участников по одной партии. Сколько человек

участвовало в турнире?

Ответ: 21.

16. Сколькими способами из 12 различных конфет можно составить набор,

если в наборе четное количество конфет?

Ответ:

Указание: Найдите отдельно число способов составления набора из 2, 4, 6, 8,

10 и 12 конфет.

17. Мышка Джерри спасается от кота Тома и бежит с горы к полю, а затем

улетает с поля. Сколькими способами она может уйти от погони, если с горы

ведут 7 тропинок, а с поля она может лететь самолетом, вертолетом или

ракетой?

Ответ: 7 ∙ 3.

18. Имеется 5 видов блюдец, 4 вида чашек и 7 видов десертных тарелок.

Сколько чайных наборов можно составить, если в каждый набор входят

блюдце, чашка, десертная тарелка?

Ответ: 5 ∙4 ∙7.

19. Предприятие подало в бюро по трудоустройству заявку на три вакансии -

слесаря, каменщика и плотника. Сколько способов реализовать заявку

1212

1012

812

612

412

212 CCCCCC

43

предприятия, если в бюро зарегистрировано 25 слесарей, 20 каменщиков и 15

плотников? Ответ: 25 ∙ 20 ∙ 15

ЧАСТЬ II

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Практическое занятие №2

5.Понятие о случайном событии. В комбинаторике царит детерминизм, таким образом, при решении комби-

наторной задачи Вы можете с достоверностью найти все требуемые

комбинации и утверждать, что невозможно найти другие. Школьная

математика имеет дело только с детерминированными утверждениями.

Например, если в прямоугольном треугольнике катеты равны а и в, то теорема

Пифагора утверждает, что гипотенуза с равна: 22 baс .

Основная цель теории вероятностей - изучение случайных (или

недетерминированных) явлений. В мире, в котором мы живем, достоверные и

невозможные события встречаются крайне редко. Чаще всего событие может

быть возможно, но не обязательно - это понятие, промежуточное между

достоверным и невозможным событиями.

В повседневной речи мы часто используем слова «вероятность» , «случай»,

«событие». Художественная литература часто обращается к теме вероятного.

Вспомните роман Р. Шекли "31-го июля", в котором ученые с помощью так

называемого увеличителя вероятностей добились того, что вероятность

появления Дракона стала близкой к единице и в окрестностях средневекового

Лондона появилось множество Драконов.

В простейших явлениях уже интуитивное представление позволяет дать

правильный ответ о вероятности некоторого события. Например, хорошо

известно, что вероятность выпадения герба при подбрасывании монеты равна

. Однако, при незначительном усложнении опыта "здравый смысл" может

нас подвести. Представим себе, что при каждом из 10 подбрасываний монеты 21

44

выпал герб. Зададимся вопросом, какой стороной упадет монета в следующий

раз. Распространено мнение, что выпадение цифры при этих условиях более

вероятно. Правильный ответ: в этом опыте вероятность выпадения цифры

равна . Монета не имеет памяти. При каждом подбрасывании, независимо

от предыдущего, вероятность выпадения герба и цифры одинакова и равна .

В качестве примера совсем неприемлемого рассуждения можно привести

следующий: я не знаю, пойдет сегодня дождь или нет, следовательно,

вероятность дождя равна 21 . Это рассуждение к дождю не имеет никакого

отношения. Прогноз погоды дается на основе сложных сопоставлений

факторов, влияющих на погоду, а не нашего знания или незнания этих

факторов.

В своей практической деятельности мы часто встречаемся с явлениями,

исход которых нельзя заранее предсказать, результат, как говорят, зависит от

случая. Показательна в этом смысле работа страховых компаний.

Теоретически возможно, что в течение короткого промежутка времени

большинство клиентов компании потребуют выплаты страховки для

возмещения ущерба нанесенного пожаром, наводнением или другим

стихийным бедствием. В таком случае страховая компания неизбежно должна

была бы "прогореть". Однако страховые компании, как известно, процветают.

Оказывается, что хотя ничего нельзя сказать о будущем определенного кли-

ента, о состоянии большого числа клиентов через определенный срок можно

почти наверняка сказать многое и, во всяком случае, можно утверждать, что в

течение года потребует выплаты страховки ничтожно малая часть клиентов.

Другой пример. Известно, что спрос на обувь различных размеров как у

мужчин, так и у женщин неодинаков. Поэтому обувные фабрики должны

выпускать обувь различных размеров в соотношениях, определяемых спросом.

В принципе, чтобы изучить спрос, следовало бы провести опрос всего

21

21

45

взрослого населения страны, что является делом дорогим и главное не

нужным. Достаточно выбрать две-три тысячи человек и провести их опрос, и

по результатам распределения размеров обуви в выборке можно почти точно

судить о распределении размеров обуви в целом для страны.

Ещё один пример. Для телефонной станции имеются часы очень

напряженной работы - часы "пик", в иное время суток вызовов меньше

(особенно их мало ночью). Как рассчитать, на сколько больше телефонисток

необходимо привлечь к работе в часы "пик", чем в другое время? Для каждого

человека момент времени, в который он воспользуется телефоном, является

случайным. Но число вызовов абонентов на телефонной станции в течение

каждого часа суток практически уже не является случайным. Зная это число,

можно спланировать работу телефонной станции.

Указанные примеры показывают, что при массовом повторении случайных

явлений можно наблюдать определенные закономерности. Теория вероятностей

изучает закономерности, которые присущи случайным явлениям при их

массовых повторениях.

Переходим к основным понятиям и определениям теории вероятностей.

Опыт, эксперимент, наблюдение явления называют испытанием.

Испытаниями являются: бросание монеты, выстрел из винтовки, бросание

игральной кости.

Определение 5.1. Результат, исход испытания называют случайным

событием.

Для обозначения случайных событий применяют буквы А, В, С и т.д.

П р и м е р 1. Испытание: однократное подбрасывание монеты. Событие А

- выпадение герба Г.

П р и м е р 2. Испытание: проверка лотерейного билета. Событие А -

выигрыш по данному билету.

46

Определение 5.2. Случайное событие, которое в результате данного

испытания обязательно наступает, называется достоверным. Достоверное

событие обозначают буквой .

П р и м е р 3. Испытание: извлечение шара из урны, в которой все шары

белые. Событие А - вынут белый шар - достоверное событие.

Определение 5.3. Случайное событие, которое в результате данного

испытания заведомо не может произойти, называется невозможным.

Невозможное событие обозначают символом Ø.

Приведите примеры достоверных и невозможных событий.

Не следует путать невозможные события с событиями маловероятными,

примеры которых рассмотрим ниже.

а). Обезьяна, барабанящая по пишущей машинке, отпечатала текст

"Гамлета". Это событие маловероятно, но не невозможно. Считая, что текст

состоит из 27000 букв и пропусков и что имеется 35 клавиш, можно найти, что

вероятность этого события равна 27000351

.

б) Рукопись "Гамлета" возникла случайно. Иными словами, каждая из

молекул чернил, повинуясь случаю, нашла свой путь из чернильницы в

некоторую точку чернильной линии, составляющей разборчивую рукопись

"Гамлета". Это событие маловероятно, но не невозможно. Его вероятность

равна

___1__ 2,12 10 10 10 '

в). Живая мышь замерзнет в аду, где температура 2,8 . 1012 градусов.

Вероятность этого чуда равна

___1___

2 7 0 0 035

1

47

2,17 10 10 10 .

Познакомимся с основными операциями над случайными событиями.

Определение 5.4. Суммой двух событий А и В называется событие

С = А + В , состоящее в наступлении по крайней мере одного из событий А

или В.

П р и м е р 4. Испытание: подбрасывание игральной кости. Событие А -

выпадение числа очков, кратного 2, а В - выпадение числа очков кратного 3.

Тогда А + В будет выпадение числа очков, кратного 2 или кратного 3 или

одновременно кратного 2 и 3, то есть это выпадение какого-нибудь из чисел 2,

3, 4, 6.

Определение 5.5. Произведением двух событий А и В называется событие

С = А ∙В, состоящее в наступлении одновременно событий А и В.

П р и м е р 5. В примере 4 событие С = А ∙В означает, что выпало число

очков, кратное 2 и 3 одновременно. Это число 6.

Событием, противоположным А, называется событие состоящее в том,

что событие А не наступает.

П р и м е р 6. Испытание: подбрасывание игральной кости. Событие А -

выпадение четного числа очков, тогда событие - выпадение нечетного

числа очков.

Операции сложения, умножения и взятия противоположного события

удобно иллюстрировать диаграммами Эйлера-Венна.

А

А

48

49

Упражнения.

1. Из урны, содержащей шары белого, черного и синего цвета, наудачу

извлекается один шар. События А1 и А2, соответственно, означают появление

белого и черного шаров. В чем состоит событие

2. Имеется 100 жетонов, занумерованных целыми числами от 1 до 100.

Испытание: извлекают жетон. Событие А - номер извлеченного жетона кратен

2, событие В - номер извлеченного жетона кратен 5. Что означают события А +

В? А ∙В? A ? B ? BA ?

3. Дана электрическая цепь с элементами l1 и l2. Событие A1-выход из строя

элемента l1 событие А2,- выход из строя элемента l2. Что означают события А1 +

А2 и А1 ∙ А2 для электрических цепей, представленных на рисунках а) и б)?

а) б)

4. Испытание: подбрасывание игрального кубика. Событие А – пoявление 6

очков. В чем состоит событие A ?

5. Испытание: проверка 15 электрических лампочек. Событие А -хотя бы одна

из них нестандартная. Что означает событие A ?

6. Какие из двух событий А и В противоположны, то есть В = A :

а) событие А – “работа учеником написана на 5”, событие В -работа учеником

написана на "2" ;

б) при двух выстрелах в цель событие А - хотя бы одна пуля попадет в цель,

событие В - ни одна пуля не попадет в цель ;

в) событие А - из полного комплекта домино вынута кость "дубль", событие В -

вынута кость не "дубль".

???? 2121121 AAAAAAA

l1 l2

l1

l2

50

7. Если событие А1 - выигрыш по билету одной лотереи, А2- выигрыш по

билету другой лотереи, то что означают события:

8. Используя диаграмму Эйлера-Венна, докажите, что а) BABA ;

б) BABA .

9. Бросается игральная кость. Какие из следующих событий не могут

произойти одновременно:

а) А - выпало четное число очков, В - выпало нечетное число очков;

в) А - выпало нечетное число очков, В - выпало число очков, кратное 3;

в) А - выпало простое число очков, В - выпало четное число очков.

10. Имеется 25 электрических лампочек, из которых 4 – нестандартные.

Выбирается 2 лампочки. Пусть событие А состоит в том, что первая из

выбранных лампочек нестандартная, а событие В -нестандартна вторая

лампочка. В чем состоят события А . В, А + В?

11. Испытание: наблюдение за работой рабочего. Событие А – простой по вине

рабочего, событие В - простой не по его вине. В чем состоит событие А + В?

12. Испытание: наблюдается работа двух моторов. Событие А – первый мотор

работаем с полной нагрузкой, событие В - второй мотор работает с полной

нагрузкой. В чем состоит событие А . B + В . A?

?,,, 2121212121 ААЕААААСААДAAB

51

6. Классическое определение вероятности. Во многих случаях возможно перечислить все события, которые могут

быть исходами данного испытания.

П р и м е р 1. Испытание: подбрасывают игральный кубик. Исходы

испытания: U1 - выпало 1 очко, U2 - выпало 2 очка, U3 - выпало 3 очка, U4 -

выпало 4 очка, U5 - выпало 5 очков, U6 - выпало 6 очков.

Определение 6.1. Под полной группой событий понимают совокупность

событий, обладающих свойствами:

1) при данном испытании какое-то одно из событий осуществится;

2) каждое событие исключает все другие события.

П р и м е р 2. Испытание: наблюдение за работой рабочего. Полная

группа событий: U1 - рабочий в данный момент работает, U2 - у рабочего в

данный момент простой по причине отсутствия тока,

U3 - у рабочего простой по причине отсутствия материалов, U4 - у рабочего

простой по другим причинам. События U1, U2, U3, U4 образуют полную

группу событий.

Определение 6.2. События U1, U2,…, Un образующие полную группу

событий называют элементарными событиями, если

1) все события равновозможны;

2) при каждом испытании наблюдается одно и только одно из событий.

События U1, U2, U3, U4, U5, U6 из примера 1 – это элементарные события, а

события U1, U2, U3, U4, из примера 2 – не элементарные, так как они не

равновозможны.

Пусть события U1, U2,…, Un элементарные. По отношению к событию А они

распадаются на две группы, а именно, «благоприятствующие А» и «не

благоприятствующие А».

52

П р и м е р 4. Испытание: подбрасывание игрального кубика. События U1,…,

U6 – элементарные (см. пример 1). Событие А – выпадение чётного числа очков.

Благоприятствуют событию А события U2, U4, U6.

Основное определение.

Определение 6.3. (Классическое определение вероятности.)

Вероятностью события А называется отношение числа элементарных

событий, благоприятствующих А, к числу всех элементарных событий.

Если обозначить символом P(А) (пэ от А) вероятность события А, k-число

элементарных событий, благоприятствующих А , l- число всех элементарных

событий, то

lАР k)( .

Свойства вероятности.

1. Вероятность достоверного события равна 1, то есть

1)( llP

2. Вероятность невозможного события равна 0, то есть

P(Ø)=0/l=0

3. Вероятность любого события – это число между 0 и 1, то есть 1)(0 AP

В частности, чем ближе вероятность события к единице, тем больше шансов,

что событие наступит. Вероятность – объективная мера того, что событие

осуществится.

П р и м е р 5. Из 35 экзаменационных билетов с номерами от 1 до 35 наудачу

извлекается один. Какова вероятность того, что номер вытянутого билета есть

число, кратное трём?

1) Испытание: извлечение одного билета.

2) Элементарные события:

U1 – извлечен билет с номером 1, U2 – извлечен билет с номером 2,

и т. д.

U35 – извлечен билет с номером 35.

53

Число всех элементарных событий l=35.

3) Событие А состоит в том, что номер вытянутого билета есть число, кратное

трем. Ему благоприятствуют элементарные события U3, U6, U9, U12, U15, U18,

U21, U24, U27, U30, U33. Их будет k=11

4) 3511)( АР .

П р и м е р 6. Из 1000 рабочих завода садовые участки имеют 200. Какова

вероятность того, что наудачу взятый рабочий имеет садовый участок?

1) Испытание: выбирается один рабочий.

2) Число всех элементарных событий l=1000.

3) Событие А состоит в том, что выбран рабочий, имеющий садовый участок.

Число элементарных событий, благоприятствующих событию А, то есть число

рабочих, имеющих садовый участок, равно k=200.

4). Вероятность события А равна

2,01000200)( АР

План решения задач на классическое определение вероятности: 1. Выяснить, в чем состоит испытание. 2. Подсчитать число всех элементарных событий, то есть число l. 3. Выяснить, в чем состоит событие А, и подсчитать число всех

элементарных событий, благоприятствующих событию А, то есть число k. 4. Определить вероятность события А по формуле

lАР k)( .

Упражнения

1. Какова вероятность того, что число на вырванном наудачу листке нового

календаря:

а) кратно 5;

б) равно 29,

если в году 365 дней?

54

Ответ:36511);

36571) ба .

2. По режиму работы станка за одну смену (8 часов) станок работал с полной

нагрузкой 3 часа. Какова вероятность застать станок работающим с полной

нагрузкой в данный момент времени этой смены?

Ответ: 3 / 8

3. В кондитерском магазине имеется 18 сортов конфет и 6 сортов печенья.

Известно, что покупатель купил только один сорт кондитерских изделий.

Какова вероятность того, что он купил конфеты?

Ответ: 18/ 24

4. В автобусном парке имеется 450 автобусов. Из них неисправны 50 автобусов.

Какова вероятность того, что наудачу выбранный автобус неисправен?

Ответ: 1/ 9

5. На четырех карточках написаны числа 1,2,3 и 4. Какова вероятность того, что

сумма чисел на трех произвольно выбранных карточках делится на 3?

Ответ: 1/2

Указание: 1). Испытание: извлечение трех карточек.

2). Все элементарные события: {1,2,3}, {1,2,4}, {1,3,4},{2,3,4}.

6. В лотерее 1000 билетов; из них на один билет падает выигрыш 500 руб., на 10

билетов - выигрыш по 100 руб., на 50 билетов выигрыш по 20 руб., на 100

билетов - выигрыш по 5 руб., а остальные билеты не выигрышные. Некто

покупает один билет, Найти вероятность выиграть не менее 20 рублей.

0твет: 61 /1000

6. При страховании жизни для расчетов употребляется таблицы смертности.

Они дают распределение по годам смертных случаев для некоторой группы

лиц одинакового возраста. Сокращенная таблица числа лиц, доживших до

определенного возраста из 100000 родившихся такова:

55

возраст

в годах

число доживающих до

указанного возраста

возраст

в годах

число доживающих до

указанного возраста

0 100000 55 83551 5 96236 60 79179 10 95852 65 72661 15 95565 70 64332 20 95098 75 52892 25 94354 80 38998 30 93405 85 25003 35 92232 90 12723 40 90809 95 5450 45 89109 100 1873 50 86895

Найти:

а) вероятность того, что новорожденный доживет до 30 лет;

б) вероятность того, что новорожденный не доживет до 75 лет;

в) вероятность того, что новорожденный доживет до 100 лет;

г) вероятность того, что человек умрет в возрасте от 45 до 50 лет.

Ответ: a) 0, 93405; б) 0,47108; в) 0,02204

8. На клумбе растут 20 красных, 30 синих и 40 белых астр. Какова вероятность

сорвать в темноте окрашенную астру, если срывается одна астра?

Ответ: 50/90

9. В урне 10 шаров: 3 красных, 5 синих, 2 белых. Какова вероятность вынуть

цветной шар?

Ответ: 8 /10

10. Какова вероятность того, что при подбрасывании двух игральных костей

выпадает в сумме 7 очков?

Ответ: 6/36

Указание: 1). Испытание: подбрасывание двух игральных костей.

56

2). Элементарные события удобно обозначить U11, U12, U15 и т.д. Скажем,

событие U62 означает, что на первой кости выпало 6 очков, на второй – 2.Число

всех исходов 26Al

11 . Карточка "Спортлото" содержит 49 чисел. В тираже участвуют 6 чисел.

Какова вероятность того, что будет угадано ровно 6 чисел?

Ответ

%000007,013983816

1

Указание: 1). Испытание: зачеркивание любых 6 чисел.

2). Элементарное событие - это любой набор из таких 6 чисел. Число l

равно числу сочетаний из 49 по 6.

12. Из 200 валиков, изготовленных на автомате, имеется 2 валика c диаметром

менее 9,99 мм; 15 - от 9,99 до 10,00 мм ; 120 от 10,00 до 10,01 мм;60 - от 10,01

до 10,02; 3 - от 10,02 и более. Для сборки узла пригодны валики с диаметром от

9,99 до 10,02 мм. Какова вероятность того, что наудачу взятый валик пригоден

для сборки?

Ответ:

13. В мужскую секцию магазина поступила партия обуви из 1000 пар. Из них

44-го размера - 120 пар, 45-го - 40 пар, 46-го и большего размера - 1О пар.

Найти вероятность того, что очередной будет продана пара обуви

а) размера не менее 44-го; 2) размера меньше 44-

го.

Ответ: 1000830;

1000170

14. На остановке троллейбусов № 2, № 4, № б, № 7 стоит школьник. Для него

попутными является маршруты № 6 и № 7. Найти вероятность того, что к

остановке первым подойдет попутный троллейбус, если по линии маршрутов

200195

57

№ 2, № 4, № 6 и № 7 курсируют соответственно 5, 7, 6, 5 машин.

Протяженность маршрутов считают одинаковой.

Ответ: 2311

58

Практическое занятие №3

7. Применение комбинаторики к нахождению вероятностей. Исследование и решение задач на вычисление вероятностей с помощью

формул комбинаторики проводится в соответствии с планом, помещенным в

п.6. Вычисление числа всех элементарных событий, то есть числа l , и числа

элементарных событий, благоприятствующих рассматриваемому событию А, то

есть числа k, осуществляется по плану, приведенному в п 3.

П р и м е р 1. Из пяти видов открыток, имеющихся в автомате, наудачу

выбираются 3 открытки. Какова вероятность того, что все отобранные

открытки будут разные?

I. Испытание состоит в выборе трех открыток.

II. Элементарное событие - это определенный набор из трех открыток. Число

всех элементарных событии l равно числу всех наборов, состоящих из трех

открыток. Найдем число l по плану из п. 3.

1. Множество S ={а, б, в, г, д}, где буквами а, б, в, г, д обозначены виды

открыток, n = 5.

2. Пример выборки: {а, а, г}, m = 3.

3 а). Выборка неупорядоченная, так как не важен порядок, в котором

выбирались открытки, а важен только состав тройки.

б). Выборка с повторениями.

Итак, имеем сочетание с повторениями из 5 элементов по 3 элемента.

Находим:

III. Событие А состоит в том, что все отобранные открытки разные. Найдем

число всех элементарных событий, благоприятствующих событию А, то есть

число к. Число к равно числу всех наборов, состоящих из разных открыток.

Найдем число к по плану из п. 3 .

35123567

!3

373

73

1353

5

AC CCl

59

1. множество S = {а, б, в, г, д}, n = 5.

2. Пример выборки: {б, г, д}, m = 3.

3 а). Выборка неупорядоченная.

б). Выборка без повторений, потому что событию А благоприятствуют только

выборки, состоящие из разных открыток.

Итак, имеем сочетание без повторений из 5 элементов по 3 элемента.

4. Находим: 10123345

!3k

353

5

AC

IV. Определяем вероятность события А:

Приведенное нами решение для читателя, имеющего некоторый опыт в

решении комбинаторных задач, излишне подробно. Однако, начинающему мы

рекомендуем придерживаться этого образца.

П р и м е р 2. Партия из 10 деталей содержит одну нестандартную деталь.

Какова вероятность, что при случайной выборке 5 деталей из этой партии все

они будут стандартными?

I. Испытание состоит в случайной выборке 5 деталей.

II. Элементарное событие - это определенный набор из 5 деталей. Число

всех элементарных событий l равно числу всех наборов, состоящих из 5

деталей. Найдем число l по плану из п. 3.

I. Множество S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, H} где цифрами 1, 2,..., 9 обозначены

стандартные детали, а буквой Н обозначена нестандартная деталь, n1 = 10.

2. Пример выборки: {5, 8, 2, 1, H}, m1 = 5.

3 а). Выборка неупорядоченная сочетание без повторений из

б) Выборка без повторений. 10 элементов по 5 элементов.

4. Находим: l = C510.

.

72

3510)( AP

60

III. Событие А состоит в том, что в выборке все детали стандартные. Найдем

число всех элементарных событий, благоприятствующих событию А, то есть

число к, по плану из п. 3.

1. Множество S2={1, 2, 3, 4, 5, б, 7, 8, 9}. Обратите внимание, что в S2 не входит

нестандартная деталь. Число элементов в S2 n2 = 9.

2. Пример выборки {3, 6, 7, 8, 9}, m2 = 5.

3 а). Выборка неупорядоченная. сочетание без повторений из

б). Выборка без повторений. 9 элементов по 5 элементов

4. Находим: 59k C .

IV. Определим вероятность события А:

21

105

67891056789

!5

!5)( 510

59

510

59

510

59

AA

A

A

CCAP .

Упражнения.

1. На трех карточках написаны буквы У, К, Ж. После тщательного

перемешивания берут по одной карточке и кладут последовательно рядом.

Какова вероятность того, что получится слово "жук"?

Ответ:

2. В коробке находятся 6 новых и 2 израсходованные батарейки для

карманного фонарика. Какова вероятность того, что две вынутые из коробки

наудачу батарейки окажутся новыми?

Ответ:

3. Найдите вероятность того, что наудачу выбранное двузначное число не

содержит ни одной двойки?

Ответ: 4/5.

61

2815

61

4. В коробке находятся 4 красных и 6 зеленых карандашей. Из нее случайно

выпали 3 карандаша. Какова вероятность того, что они все зеленые?

Ответ:

5. Из 60 вопросов, включенных в экзамен, школьник подготовил 50. Какова

вероятность того, что из предложенных ему трех вопросов он не знает ни

одного вопроса?

Ответ:

7. Всем известна спортивная лотерея "5 из 36". Какова вероятность не

угадать ни одного номера в этой лотерее на один билет

Ответ:

7. Среди 50 электрических лампочек три нестандартные. Найти ве-

роятность того, что две взятые подряд лампочки окажутся нестандартными.

Ответ:

8. На четырех карточках написаны буквы А, Е, П, Р. Карточки

перемешиваются и раскладываются в ряд. Какова вероятность, что получится

слово "РЕПА"?

Ответ:

9. В урне находится 15 шаров, из них 9 красных и 6 синих. Найти

вероятность того, что вынутые наугад два шара оба окажутся красными?

Ответ: 215

29

СС .

10. На пяти одинаковых шарах написаны числа 1, 2, 3, 4 и 5 -по одной на

каждом. Шары положены в урну и тщательно перемешаны. Какова

310

36

СС

536

531

СС

350

23

СС

!41

35

3

AP

62

вероятность, того что вынимая наудачу один за другим три шара без возврата

их обратно в урну, получим все три шара нечетных номеров?

Ответ:

11. Какова вероятность того, что при случайном расположении в ряд кубиков,

на которых написаны буквы и, ы, о, б, с, т, е, получится слово "событие"?

Ответ:

12. Из имеющихся в магазине семи видов телевизоров наудачу выбирают 3

телевизора. Какова вероятность того, что все отобранные телевизоры будут

разных марок?

Ответ:125

13. В популярной телеигре "Поле чудес" неизвестное игрокам слово

АЛГОРИТМ на табло изображено в виде

Какова вероятность угадать слово назвав случайно три различные буквы?

Ответ: 293031

1

.

Указание: в русском алфавите 36 букв.

!71

А Г О Р

63

Практическое занятие №4

8. Условная вероятность. Независимые события. Определение 7.1. Два события А и В называются независимыми, если

вероятность появления каждого из них не зависит от того, появилось другое

событие или нет. В противном случае события А и В называются зависимыми.

П р и м е р 1. В урне находятся 3 черных и 2 белых шара. Событие А -

вынут белый шар, событие В - вынут черный шар. Покажем, что вероятность

события В может зависеть от того, произошло событие А или нет. Рассмотрим

случай, когда А происходит раньше В.

а). Из урны достаем белый шар (событие А осуществилось), фиксируем

его, возвращаем в урну, достаем наудачу шар. Какова вероятность того, что

вынут черный шар: РА(В) = ?

б). Из урны достаём белый шар (событие А осуществилось), фиксируем

его и в урну не возвращаем. Достаем наудачу шар. Какова вероятность того,

что вынут черный шар: PA(B)= ?

События А и B в этих условиях зависимы.

Определение 7.2. Условной вероятностью РА(В) события В называется

вероятность события В , найденная в предположении, что событие А уже

произошло.

События А и В будут независимыми, если РА(В)= Р(В).

Теорема 7.1. Теорема умножения. Вероятность произведения двух

событий А и В равна произведению вероятности события А на вероятность

события В, при условии, что событие А уже наступило:

64

Р(А . В)= Р(А) . РА(В).

Доказательство. Пусть число всех элементарных событий равно l , из них

k событий благоприятствуют событию А, и пусть из этих k событий s

благоприятствуют событиям А и В одновременно, а, значит, благоприятствует

событию А . В. Тогда по классическому определению вероятности получим:

Следствие 1. Вероятность произведения двух независимых событий А

и В равна произведению вероятностей этих событий: )()()( BPAPBAP

Доказательство. Если события А и В независимы, то РА(В) = Р(В) и далее по

теореме 7.1.

П р и м е р 2. Определить вероятность того, что выбранное наудачу изделие

является первосортным, если известно, что 4 % всей продукции является

браком, а 75 % не бракованных изделий удовлетворяет требованиям 1 сорта.

Решение. Пусть событие А состоит в том, что выбранное изделие не

бракованное, а событие В - выбранное изделие первосортное. События А и В в

этих условиях независимы. Дано Р(А)= 1 - 0,04 = 0,95;

РА(В)= 0,75.

75 % от не бракованных изделий –

изделия 1 сорта

Тогда

ls

BAP )(

lk

AP )(

ks

BPA )( ks

lk

l

BPAPBAP A

s

)()()(

96% 4%

65

Р(А . В)=Р(А) . РА(В) = 0,96 . 0,75 = 0,72.

П р и м е р 3. Имеется 25 лампочек, из которых 4 нестандартные. Найти

вероятность того, что две взятые одновременно лампочки окажутся

нестандартными.

Пусть А - событие состоящее в том, что нестандартна первая выбранная

лампочка, В - нестандартна вторая выбранная лампочка. Искомое событие

является произведением событий А . В. Тогда

поскольку , а , так как общее число лампочек и число

нестандартных уменьшилось на единицу в результате наступления события А.

Решите эту задачу с помощью классического определения вероятности.

П р и м е р 4. Вероятность того, что космический корабль каждого из

астронавтов Билла и Тома попадет в аварию, равна 0,0001. Том попадает в

аварию и его подбирает на свой корабль Билл. Затем свой путь они

продолжают вместе. Найти вероятность того, что их корабль вновь попадет в

аварию.

Правильный ответ 0,0001, но не 0,0001 . 0,0001, так как теорему умножения

здесь применять нельзя. После аварии Том и Билл путешествуют вместе на

одном корабле, а для этого корабля вероятность аварии прежняя: 0,0001.

Упражнения.

1. Вероятность того, что в мужской обувной секции магазина очередной будет

продана пара обуви 41-го размера, равна 0,25. Какова вероятность того, что

первые две пары проданной обуви будут 41-го размера?

Ответ: 0,0625.

,501

243

254)()()( BPAPBAP A

254)( AP

243)( BPA

66

2. Считая вероятность безотказной работы автомашины в течение смены

равной 0,9, найти вероятность того, что две автомашины в течение смены

будут работать безотказно.

Ответ: 0,81.

3. Для покупателя, вошедшего в промтоварный магазин, вероятность того, что

он обратится в обувной отдел, равна 0,2. Для покупателя обувного отдела

вероятность того, что он потребует обувь 40-го размера, равна 0,3. Найти

вероятность того, что вошедший в магазин покупатель потребует обувь 40-го

размера.

Ответ: 0,06.

4. Вероятность работы с полной нагрузкой каждого из двух моторов равна 0,4.

Какова вероятность того, что оба мотора работают с полной нагрузкой, если

моторы работают независимо друг от друга?

Ответ: 0,16.

5. Какова вероятность того, что в условиях задачи 4 ни один из моторов не

работает с полной нагрузкой?

Ответ: 0,36.

6. Ученик два раза извлекает по одному билету из 34, предлагаемых на

экзамене. Какова вероятность того, что ученик успешно сдаст экзамен, если он

подготовил только 30 билетов и первый раз вынул неудачный билет?

Неудачный билет откладывается в сторону.

Ответ: 0,107.

7. Буквы слова "задача" написаны на одинаковых карточках. Наудачу по одной

последовательно извлекаются 4 карточки без возвращения в игру. Какова

вероятность, что при этом получится слово "дача"?

Ответ:

601

67

Указание: Введите четыре события: А - первой выбрана карточка с буквой

"д", В - второй выбрана карточка с буквой "а", С - третьей выбрана карточка с

буквой "ч", Д - четвертой выбрана карточка с буквой "a", и примените

формулу

8. Вероятность сдачи студентом зачета равна 0,8. Если зачет сдан, то студент

допускается к экзамену, вероятность сдачи которого равна 0,9. Какова

вероятность того, что студент сдает и зачет и экзамен?

Ответ: 0,72.

9. Вероятность попадания стрелка в цель равна 0,8. Если стрелок попадает в

цель при первом выстреле, то ему предоставляется право стрелять во вторую

цель. Вероятность поражения обеих целей равна 0,6. Какова вероятность

поражения стрелком второй цели?

Ответ: 0,75.

10. Вероятность выживания для вновь созданной биржи в течение года равна

0,7. В городе вновь создано 2 биржи. Какова вероятность того, что через год

будут существовать обе биржи?

Ответ: 0,49.

)()()()()( DPCPBPAPАВCDР ABCABA

68

9. Статистическое определение вероятности. Классическое определение вероятности непригодно для изучения

произвольных случайных событий, так как на практике мы чаще имеем дело с

неравновозможными элементарными событиями.

При подбрасывании правильной игральной кости вероятность выпадения 6

очков равна 1/6. Если же в игральной кости смещен центр тяжести, то

выпадение I, 2, ..., 6 очков становится не равновозможным, и использовать

классическое определение вероятности уже нельзя. Но, тем не менее очевидно,

что вероятность выпадения 6 очков и в этом случае существует. Таким образом,

приходим к необходимости введения статистического определения ве-

роятности, которое дается через относительную частоту.

Определение 8.1. Пусть произведено n испытаний, при этом некоторое

событие А наступило m раз. Число m называют частотой события А, а

отношение называется относительной частотой события А.

Определение 8.2. (статистическое определение вероятности)

Вероятностью события А в данном испытании называется число P(А) , около

которого группируются значения относительных частот P * (А) при больших n .

Вернемся к примерам с игральными костями. Для определения вероятности

выпадения 6 очков при подбрасывании неправильной игральной кости

необходимо провести серию испытаний и в каждой серии вычислить P * (А) . О

значении вероятности Р(А) можно судить по наблюдаемым значениям

относительных частот P * (А) . Для правильной игральной кости вероятность

выпадения 6 очков, определенная классически и статистически, одинакова и

равна 61 .

Устойчивый характер группировки относительных частот вокруг

вероятности замечен человеком в давние времена. Так, фальшивые игральные

кости обнаружены еще в гробницах фараонов. Шарлатаны, которые утяжеляли

с помощью свинца одну из граней игральной кости, использовали идею

nmAP )(*

69

устойчивости относительных частот, то есть группировки этих частот вокруг

вероятности.

П р и м е р 1. Было проведено 10 серий бросаний монет по 1000 бросаний в

каждой серии. Относительные частоты выпадений герба оказались равными:

0,501; 0,485; 0,509; 0,536; 0,485; 0,488; 0,500; 0,497; 0,494; 0,484. Эти частоты

группируются возле числа 0,5, которое следует принять за вероятность

выпадения герба.

П р и м е р 2. Чтобы найти вероятность изготовления на данном станке

годной детали, поступают так: проверяют большую партию деталей (лучше

проверить даже несколько партий), изготовленных данным станком,

подсчитывают количество годных деталей, вычисляют относительную частоту.

Вероятность принимают равной относительной частоте. Например, пусть при

проверке партии из 200 деталей 190 оказались годными. Тогда вероятность для

наудачу выбранной детали быть годной равна

95,0200190

Р

Следует иметь в виду, что вероятность найдена приближенно, так как 0,95 - это

относительная частота.

Упражнения.

1. Найдите относительную частоту в опытах с бросанием монеты выпадений

герба:

экспериментатор число

бросаний число

выпадений

герба

относитель-

ная частота

выпадений

герба

С.Бюффон 4040 2048

70

К.Пирсон

К.Пирсон

12000

24000

6049

12012

2. ОТК обнаружил 5 бракованных книг в партии из 100 книг. Найти

относительную частоту появления бракованных книг.

Ответ: 0,05.

3. При использовании партии приборов относительная частота годных

приборов оказалась равной 0,9. Найти число годных приборов, если всего

было проверено 200 приборов.

4. Ответ: 180.

Задачи на повторение.

Сколькими способами можно рассадить 7 учащихся на 8 свободных местах?

Ответ: 78А

2. Сколько различных шестизначных чисел можно записать с помощью цифр 1,

2, 3, 4, 5, 6, 7 при условии, что каждая цифра в записи встречается один раз?

каждая цифра в записи может повторяться?

Ответ: 67

67 ; АА .

3. Решить уравнения: а) 90224 хА б) 2253 22 хх СА

Ответ: а) 10; б) 10.

4. Найти разложение степени бинома (х-3у)4.

5. Найти два средних члена бинома

6. Задумано двузначное число. Найти вероятность того, что задуманное число

содержит цифру 9 в своей десятичной записи.

Ответ:

173 )( yx

9018

71

7 а). Найти ошибку в "решении" задачи: брошены две игральные кости; найти

вероятность того, что сумма выпавших очков равна трём (событие А).

"Решение". Испытание имеет два исхода; сумма очков равна трем, сумма

очков не равна трем. Событии А благоприятствует один исход, общее число

исходов 2. Значит,

б) Привести верное решение задачи.

Ответ: 2/36. Указание: число исходов 36.

8. Монета брошена 2 раза. Найти вероятность того, что хотя бы один раз

появится герб.

Ответ: 3/4

Указание: найдите вероятность того, что ни разу не появится герб, то есть

оба раза выпадет цифра.

9. Среди 100 лотерейных билетов есть 5 выигрышных. Найти вероятность того,

что два наудачу выбранные билета окажутся выигрышными.

Ответ:

Указание: примените формулу умножения вероятностей.

10. В цехе работают семь мужчин и три женщины. По табельным номерам

наудачу выбраны три человека. Какова вероятность того, что все трое

окажутся мужчинами?

Ответ:

Указание: примените формулу умножения вероятностей.

11. По данным таблицы о размерах проданной обуви установить

относительную частоту, с которой каждый размер встречается в таблице.

21)( АР

990020

720210

72

Размер обуви Число

проданных пар

Относительная

частота

36

37

38

39

40

41

42

43

1

1

5

8

17

21

18

8

всего 79

12. Выберите отрывок текста, содержащий 200 букв. Найдите относительную

частоту появления а) буквы а ; б) буквы к ; в) буквы ф. Проанализируйте

результат. Какова вероятность выбора буква, к, ф из полного русского

алфавита?

13. Подбросьте 100 раз игральную кость и найдите относительную частоту

следующих событий:1)выпадение 2 очков; 2) выпадение 6 очков;3)выпадение

числа очков, кратного трем; 4) выпадение четного числа очков. Сравните

полученные относительные частоты с предварительно найденными

значениями вероятностей появления каждого из 4-х событий.

14. Из полного набора костей домино наудачу извлекается одна кость. Чтобы

оценить вероятность появления "дубля", повторим этот опыт 100 раз, каждый

раз тасуя кости. Вычислите относительную частоту появления "дубля" и

сравните её с вероятностью появления этого события.

Указание: в наборе 28 костей, из них "дублей" - 7.

73

Практическое занятие №5

10. Повторные независимые испытания с двумя исходами

10.1. Формула Бернулли. На практике часто приходится иметь дело с повторными независимыми

испытаниями, каждое из которых имеет два исхода, причем вероятность

появления события в каждом испытании постоянна и равна р. Будем говорить,

что описанный эксперимент удовлетворяет схеме Бернулли. Приведем

основные результаты, относящиеся к схеме Бернулли.

1. Вероятность того, что событие А наступит ровно т раз при проведении п

независимых испытаний, каждое из которых имеет два исхода (обозначается

Рп (т) ), вычисляется по формуле

,,...,2,1,0,1Pn nmppCm mnmmn

(1)

где р - вероятность наступления события А в каждом испытании

2. Вероятность наступления события А хотя бы один раз при проведении п

независимых испытаний, удовлетворяющих схеме Бернулли, равна

,11Pnnqm (2)

где

q = 1 — р.

3. Вероятность того, что событие А при проведении п независимых испытаний,

удовлетворяющих схеме Бернулли, наступит не менее т1 раз и не более т2

раз, вычисляется по формуле

(3)

74

4. Наивероятнейшее значение т0 числа наступления события А при

проведении п повторных независимых испытаний, удовлетворяющих схеме

Бернулли, вычисляется по формуле

(4)

Указания. При решении задач данного параграфа необходимо установить, что рассматриваемый эксперимент удовлетворяет схеме Бернулли,то есть необходимо проверить, что: 1) проводимые испытания независимы, 2) каждое испытание имеет два исхода, 3) вероятность появления события в каждом испытании равна р. После этого необходимо ввести соответствующее обозначение события, вероятность наступления которого надо вычислить, и выбрать нужную формулу.

Пример 1. Вероятность выигрыша по одному билету денежно-вещевой

лотереи равна 0,2. Какова вероятность того, что из шести приобретенных

билетов два билета окажутся выигрышными?

Эксперимент состоит в том, что последовательно проверяются 6 билетов, то

есть проводится 6 повторных независимых испытаний. Каждое испытание

имеет два исхода: билет выигрышный, билет невыигрышный. Вероятность

выигрыша в каждом испытании постоянна. Следовательно, схема Бернулли

выполняется. Пусть событие (m=2) состоит в том, что 2 билета оказались

выигрышными. Тогда по формуле Бернулли (1):

Пример 2. Прибор состоит из шести элементов, включенных в цепь

параллельно и работающих независимо друг от друга. Вероятность безотказной

работы каждого элемента за время t равна 0,6. Для безаварийной работы

прибора достаточно, чтобы хотя бы один элемент был исправен. Какова

вероятность того, что за время t прибор будет работать безотказно?

75

Эксперимент заключается в проведении шести повторных независимых

испытаний с двумя исходами каждый. Вероятность отказа каждого элемента за

время t равна q = 0,4. Следовательно, схема Бернулли выполняется. Пусть

событие (m 1) означает, что хотя бы один элемент прибора исправен. Тогда

по формуле (2) вероятность наступления рассматриваемого события равна

Пример 3. Используя условия предыдущего примера, найдите число

элементов, которые необходимо включить в прибор, чтобы с вероятностью не

менее 0,9 прибор работал безотказно.

Так как в задаче требуется, чтобы выполнялось условие,

Рп(т 1 )0,9, то имеем 1 — 0,4n 0,9. Отсюда 0,4n 0,1.

Прологарифмируем это неравенство, тогда n lg 0,4 lg 0,1. Так как lg 0,4 < 0, то

Значит, в приборе должно быть не менее трех элементов для того, чтобы с

вероятностью не менее 0,9 он работал безотказно.

П р и м е р 4. Найдите вероятность осуществления от двух до четырех

разговоров по телефону при наблюдении пяти независимых вызовов, если

вероятность того, что разговор состоится, равна 0,7.

Эксперимент заключается в проведении пяти повторных испытаний,

независимых, с двумя исходами в каждом (разговор состоялся, разговор не

состоялся). Вероятность того, что разговор состоится, в каждом испытании

постоянна. Следовательно, схема Бернулли выполняется. Пусть событие

(2 m 4) означает, что состоялось от двух до четырех разговоров. Тогда по

формуле (3) имеем:

76

Пример 5. Магазин получил 50 деталей. Вероятность наличия

нестандартной детали в партии равна 0,05. Найдите наиболее вероятное число

нестандартных деталей в этой партии.

Проводится 50 повторных независимых испытаний с двумя исходами в

каждом. Вероятность появления нестандартной детали в каждом испытании

постоянна. Значит, схема Бернулли выполняется. По формуле (4) имеем:

Так как число деталей может быть только целым, то наиболее вероятное

число нестандартных деталей в этой партии равно 2.

Упражнения

1. Для данного участника игры вероятность набросить кольцо на колышек

равна 0,3. Какова вероятность того, что при шести бросках 3 кольца

окажутся на колышке, если броски считать независимыми?

Ответ: 3P6 .

2. На самолете имеются 4 одинаковых двигателя. Вероятность нормальной

работы каждого двигателя в полете равна р. Найдите вероятность того,

что в полете могут возникнуть неполадки в одном двигателе.

Ответ: 1P4 .

3. Вероятность отказа каждого прибора при испытании равна 0,4. Что

вероятнее ожидать: отказ двух приборов при испытании четырех или

отказ трех приборов при испытании шести, если приборы испытываются

независимо друг от друга?

Ответ: 3P2P 64 .

4. Вероятность того, что на некотором предприятии расход электроэнергии

не превысит суточной нормы, равна 0,8. Какова вероятность того, что в

77

течение пяти рабочих дней из семи перерасхода электроэнергии не будет?

Ответ: 5P7 .

5. Вероятность того, что стрелок попадает в цель при одном выстреле, равна

0,7. Производится 5 независимых выстрелов. Какова вероятность того,

что в мишени окажется хотя бы одна пробоина?

Ответ: 1mP5 .

6. В горном районе создано п автоматических сейсмических станций.

Каждая станция в течение года может выйти из строя с вероятностью р.

Какова вероятность того, что в течение года хотя бы одна станция

потребует ремонта?

Ответ: 1Pn m .

7. Вероятность появления события А хотя бы один раз при пяти

независимых испытаниях равна 0,99757. Какова постоянная вероятность

появления этого события при одном испытании?

Ответ: 0,7.

8. Известно, что 5% радиоламп, изготовляемых заводом, являются

нестандартными. Из большой партии (независимо друг от друга)

производится случайная выборка радиоламп. Сколько ламп надо взять,

чтобы с вероятностью не менее 0,9 была извлечена хотя бы одна

нестандартная лампа?

Ответ: 45n .

9. Вероятность попадания в цель при каждом выстреле равна 0,2. Сколько

надо произвести независимых выстрелов, чтобы с вероятностью не менее

0,99 в мишени была хотя бы одна пробоина?

Ответ: 21n .

10. При высаживании не пикированной рассады помидоров только 80%

78

растений приживаются. Найдите вероятность того, что из десяти

посаженных кустов помидоров приживется не менее девяти.

Ответ: 9mP10 .

11. Контрольная работа состоит из четырех вопросов. На каждый вопрос

приведено 5 ответов, один из которых правильный. Какова вероятность

того, что при простом угадывании правильный ответ будет дан: а) на 3

вопроса, б) не менее чем на 3 вопроса?

a) Ответ: 3P4 .

b) Ответ: 3mP4 .

12. Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,85. Стрелок

сделал 25 независимых выстрелов. Найдите наивероятнейшее число

попаданий.

Ответ:22.

13. Известно, что вероятность прорастания семян данной партии пшеницы

0,95. Сколько семян следует взять из этой партии, чтобы

наивероятнейшее число взошедших семян равнялось 100?

Ответ: 105.

14. Произведено 400 независимых испытаний. Какова должна быть

вероятность появления события А в каждом испытании (вероятность

появления события А в каждом испытании одна и та же), чтобы наиболее

вероятное число появления события А при этом равнялось 150?

Ответ: 0,3765p0,3741 .

15. Какова вероятность получения не менее 70% правильных ответов при

простом отгадывании на экзамене, состоящем в определении истинности

или ложности десяти утверждений?

Ответ: 0,1719.

79

16. Контрольная работа состоит из шести задач, причем для успешного

выполнения ее необходимо решить любые четыре задачи. Если студент

будет решать в течение отведенного времени лишь четыре задачи, то

вероятность правильного решения любой из них равна 0,8. Если он

попробует решить пять задач, то вероятность правильного решения

любой из них равна 0,7, а если он возьмется за решение всех шести задач,

то эта вероятность снизится до 0,6. Какой тактики должен

придерживаться студент, чтобы иметь наибольшие шансы успешно

выполнить работу?

Ответ: m=5.

Практическое занятие №6

10.2. Теоремы Лапласа и Пуассона При большом числе испытаний, удовлетворяющих схеме Бернулли,

применяются приближенные формулы:

1) Если число независимых испытаний п достаточно велико, а вероятность

появления события в каждом испытании отлична от 0 и 1, то для вычисления

Рп (т) применяют формулу Лапласа :

(1)

2)Если число независимых испытаний п достаточно велико и требуется найти

вероятность появления события от т1 до т2 раз, то для вычисления

Рп 21m mm применяют интегральную формулу Лапласа:

80

(2)

где

3)Если число независимых испытаний п достаточно велико, а вероятность

появления события в каждом испытании мала, то для вычисления

Рп (т) применяют формулу Пуассона:

np,!

Pn причемem

mm

. (3)

Для вычислений по формулам (1) и (2) пользуются специальными таблицами

функций Лапласа (см. Приложение 3, Приложение 4)

2

2

21x

x

e

(4)

(5)

Функция x - четная, функция Ф ( х) - нечетная. Формула (2) может быть

записана с помощью функции Ф ( х) следующим образом:

Рп ( 1221 )m ttmm (6)

При этом важно правильно выбрать соответствующую формулу: (1), (2), (3).

Пример 1. Вероятность получения с конвейера изделия первого сорта равна

0,9. Определите вероятность того, что из взятых на проверку 600 изделий 530

будут первого сорта.

81

Эксперимент заключается в проведении 600 повторных независимых

испытаний с двумя исходами в каждом. Вероятность появления изделия

первого сорта в каждом испытании постоянна. Следовательно, схема Бернулли

применима.

По условию задачи п = 600, т — 530, р = 0,9. Так как п достаточно велико, а

р и 1 —р не малы, то для вычисления вероятности того, что событие А (взятая

деталь оказалась первого сорта) появилось 530 раз, можно использовать

формулу (1). При этом вычисления осуществляются в следующем порядке:

1) Вначале вычислим

136,01,09,0600

1npq1

.

2) Затем находим

36,1136,0540530

npq

npmx

3) В силу четности функции (х) имеем (-1,36) = (1,36).

4) По таблице значений (х) находим (1,36) = 0,1582.

5) Следовательно,

Р600(530)≈0,136 ∙0,1582≈0,021.

Пример 2. С базы в магазин отправлено 4000 тщательно упакованных

доброкачественных изделий. Вероятность того, что изделие повредится в пути,

равна 0,0005. Найдите вероятность того, что в магазин прибудут 3 испорченных

изделия

Испытания, рассматриваемые в задаче, удовлетворяют схеме Бернулли.

По условию задачи п = 4000, т = 3, Р = 0,0005. Так как п достаточно велико, а р

= 0,0005 сравнительно мало, то для вычисления P4000 (3) можно

воспользоваться формулой Пуассона. Сначала вычислим: =пр= 2. Тогда по

формуле (3)

82

P4000 (3) 2-3

e!3

2 =0,1804.

П р и м е р 3. В условиях примера 1 найдите вероятность того, что из

взятых на проверку 600 изделий от 530 до 532 изделий (включительно) будут

первого сорта.

По условию задачи п = 600, m1 = 530, m2=532, р = 0,9. Так как для

вычисления Рп (m) можно использовать формулу Лапласа, а число слагаемых в

сумме

2

1im

m

mimP равно трем, то для вычисления 532530P600 m можно

использовать формулу (2)

1) Вначале вычислим: npq1 0,136.

2) Затем находим: 3,2,1,

inpq

npmx ii

при m1 = 530 x1 =(530 — 540) ∙ 0,136 = —1,36,

при m2 = 531 х2 = (531 — 540) ∙ 0,136 = —1,22,

при т3 = 532 х3 = (532 — 540) ∙ 0,136 = —1,09,

3) В силу четности функции (х) имеем:

(х1) = (1,36), (х2) = (1,22), (х3) = (1,09).

4) По таблице значений (х) находим:

(х1)= 0,1582, (х2) = 0,1895, (x3) = 0,2396.

5) Следовательно,

532530P600 m 0,136 (0,1582 + 0,1895 + 0,2396)= 0,08.

83

П р и м е р 4. В условиях примера 1 найдите вероятность того, что из

взятых на проверку 600 изделий от 520 до 535 изделий (включительно) будут

изделиями первого сорта.

По условию задачи п = 600, т1 =520, т2 = 535, р = 0,9. Так как число

независимых испытаний достаточно велико и число слагаемых в сумме

2

1im

m

mimP равно шестнадцати, то для вычисления 535520P600 m можно

использовать интегральную теорему Лапласа. По формуле (2):

12600 t535520P tm .

1) Сначала вычислим

68,01,09,0600

540535t,72,21,09,0600

540520t 21

2) По таблице значений функции Лапласа, учитывая ее нечетность, находим:

Ф (t1) и Ф (t2):

3) Следовательно,

535520P600 m -0,2517 + 0,4967 = 0,2450.

Пример 5. Используя условия примера 2, найдите вероятность того, что в

магазин прибудет от 3 до 5 испорченных изделий.

По условию задачи п = 4000, т1 = 3, т2 = 5, р = 0,0005 и

= пр = 2. Так как для вычисления Рп (т) можно использовать формулу

Пуассона, а число слагаемых в сумме

2

1im

m

mimP равно трем, то для вычисления

53P4000 m можно использовать формулу (3)

Упражнения

84

1. Найдите вероятность того, что при десяти независимых испытаниях

событие А произойдет 4 раза, если вероятность его появления при каждом

испытании равна 31 . Вычисление выполните, используя теорему Бернулли и

локальную теорему Лапласа. Найдите относительную ошибку полученного

результата. Объясните, почему эта ошибка велика.

Ответ:

a) 2276,04P10

b) 2419,04P10

c) %28,6

2. Какова вероятность того, что при 80 бросаниях игральной кости шестерка

выпадет 10 раз?

Ответ: 0726,010P80

3. Вероятность отказа каждого прибора при испытании равна 0,2. Что

вероятнее: отказ четырех приборов при испытании 20 или отказ шести

приборов при испытании 30, если приборы испытываются независимо друг от

друга?

Ответ: 64P 3020 P

4. Вероятность того, что на некотором предприятии расход электроэнергии

превысит суточную норму, равна 0,2. Какова вероятность того, что за 25

рабочих дней будет зафиксирован перерасход электроэнергии: а) в течение

пяти дней, б) от пяти до семи дней включительно?

Ответ: a) 1995,05P25

b) 4966,075P25 m .

5. Какова вероятность того, что при 80 бросаниях игральной кости пятерка

85

выпадет от 10 до 20 раз включительно?

Ответ: 8185,02010P80 m .

6. Упаковщик укладывает 900 деталей, проверенных ОТК или изготовленных

рабочими, имеющими личное клеймо. Вероятность того, что деталь помечена

личным клеймом, равна 0,1. Найдите вероятность того, что среди них окажется

от 100 до 120 деталей с личным клеймом.

Ответ: 1330,0120100P800 m .

7. Электростанция обслуживает сеть с 6000 лампочек, вероятность

включения каждой из которых за время t равна 0,8. Найдите вероятность того,

что одновременно будет включено не менее 4750 ламп.

Ответ: 9463,060004750P6000 m .

8. Вероятность выигрыша на один билет лотереи равна 0,02. Какова

вероятность того, что из 100 билетов выигрыш выпадет: а) на два билета, б)

хотя бы на один билет, в) на два или три билета?

Ответ: a) 2848,02P100 . б) 8972,01mP100 .в) 5054,032P100 m

9. Вероятность того, что изделие не выдержит испытания, равна 0,005.

Найдите вероятность того, что из 600 проверяемых изделий не выдержат

испытания более двух изделий.

Ответ: 5768,02mP600

10. Вероятность того, что на странице книги могут оказаться опечатки, равна

0,0025. Проверяется книга, содержащая 800 страниц. Найдите вероятность того,

что с опечатками окажется: а) 5 страниц, б) от трех до пяти страниц.

Ответ: a) 0361,05P800 .б) 3057,053P800 m

11. С торговой базы в магазин отправлено п доброкачественных изделий.

Вероятность того, что изделие повредится в пути, равна р, причем п велико, а р

86

мало. Известно, что вероятность получения магазином четырех изделий,

получивших дефекты, равна вероятности получения магазином пяти изделий с

дефектами. Найдите вероятность того, что магазин получит семь изделий с

дефектами. Ответ: 1053,07Pn .

12. Из полного набора костей домино наудачу 75 раз извлекают по одной

кости, причем после каждого извлечения кость возвращается в игру. Какова

вероятность того, что при этом «дубль» появится 25 раз? Ответ:

0265,025P75 .

ЧАСТЬ III

ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ

Практическое занятие №8

11. Генеральная совокупность и выборка. Мы приступаем к изучению элементов математической статистики, в

которой разрабатываются научно обоснованные методы сбора статистических

данных и их обработки.

Пусть требуется изучить множество однородных объектов (это

множество называют статической совокупностью) относительно некоторого

качественного или количественного признака, характеризующего эти объекты.

Например, если имеется партия деталей, то качественным признаком может

служить стандартность детали, а количественным – контролируемый размер

детали. Лучший вариант – провести сплошное обследование, то есть изучить

каждый объект. Однако в большинстве случаев по разным причинам это

сделать невозможно. Препятствием этому может быть большое число объектов,

их недоступность. Если, например, нужно знать глубину воронки при взрыве

снаряда из опытной партии, то, производя сплошное обследование, мы

уничтожим всю партию.

87

Сплошное обследование проводить экономически нецелесообразно, даже

если это возможно. Средством для получения необходимых данных служит

выборочное наблюдение.

Определение 9.1. Статистическая совокупность, из которой отбирают часть

объектов, называется генеральной совокупностью. Та часть объектов, которая

попала на проверку, называется выборочной совокупностью или выборкой.

Число элементов в генеральной совокупности или в выборке называют их

объёмами.

Математическая статистика позволяет, анализируя данные, полученные при

изучении выборки, сделать правильные выводы о всей совокупности.

П р и м е р 1. Плоды одного дерева 200 штук обследуют на наличие

специфического для данного сорта вкуса. Для этого отбирают 10 штук. Здесь

200 - объём генеральной совокупности, а 10-объём выборки. Возможны два

принципиально разных способа организации выборки:

1) повторная выборка: выборку формируют следующим образом: обследуется

объект из генеральной совокупности и возвращается назад в генеральную

совокупность;

2) бесповторная выборка; объект после обследования в генеральную

совокупность не возвращается.

На практике в основном применяют второй способ.

Если объем выборки составляет малую часть объема генеральной

совокупности, то разница, получаемая вследствие изучения повторной и

бесповторной выборок, мала.

Важнейшее требование, предъявляемое к выборке - это её

репрезентативность.

Определение 9.2. Выборка называется репрезентативной (пред-

ставительной), если все объекты генеральной совокупности имеют одинаковую

вероятность попасть в выборку, то есть выбор объектов генеральной

совокупности производится случайно.

88

Например, для того чтобы оценить будущий урожай плодов сада, можно

сделать выборку из генеральной совокупности еще не созревших плодов и

исследовать их характеристики. Если вся выборка будет сделана с одного

дерева, то она не будет репрезентативной. Репрезентативная выборка должна

состоять из случайно выбранных плодов со случайно выбранных деревьев сада.

Пусть из генеральной совокупности извлечена выборка, причем значение

х1 наблюдалось n1 раз,

х2 –//-//-//- n2 раз,

……………………………………………………………

хк -//-//-//- nk раз,

n1 + n2 + … + nk - объем выборки. Наблюдаемые значения х1, х2,…, xk называют

вариантами, а последовательность вариант, записанных в возрастающем

порядке - вариационным рядом. Числа наблюдений n1, n2, … nk называют

частотами, а их отношения к объему выборки (n.)

- относительными частотами.

Замечание. Для контроля: сумма относительных частот равна 1. Докажите это.

Определение 9.3. Статистическим распределением называют перечень

вариант (либо последовательности интервалов) и соответствующих им частот

или относительных частот.

П р и м е р 2. Перейти от частот к относительным частотам в рас-

пределении:

Варианта хк 2 6 12

Частота nk 3 10 7

**2

2*

11 ,...,, k

k PnnP

nnP

nn

89

Найдем относительные частоты. Учитывая, что n = 3 + 10 + 7 = 20, будем

иметь:

Запишем таблицу относительных частот:

Варианта хк 2 6 12

Относительная частота *кР 0,15 0,50 0,35

Для графического изображения статистического распределения

используются полигоны и гистограммы.

Для построения полигона на оси Ох откладывают значения варианты х, на

оси Оу - значения частот nк (или относительных частот).

П р и м е р 3. Построить полигон частот по данному распределению:

хк 1 4 5 7

nk 20 10 14 6

;15,0203*

1 P ;50,02010*

2 P 35,0207*

3 P

*кР

90

0

5

10

15

20

25

1 4 5 7

x

n

Гистограммой называют ступенчатую фигуру, состоящую из

прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы длины

h,а высоты равны отношениям , (плотность относительной частоты), можно

брать и

Нетрудно видеть, что площадь к-го прямоугольника равна

-относительной частоте вариант, попавших в к - й интервал. Площадь

гистограммы равна сумме всех , то есть единице.

П р и м е р 4. Построить гистограмму частот по данному распределению

выборки объема, n = 100:

частичный

интервал

сумма частот вариант

интервала nk nn k

hPk

*

hnk

**

kk P

hPh

*кР

91

5 - 10

10 - 15

15 – 20

20 - 25

25 - 30

30 - 35

35 - 40

4

6

16

36

24

10

4

0.8

1.2

3.2

7.2

4.8

2.0

0.8

0

5

10

15

20

25

30

35

40

5 10 15 20 25 30 35 40

92

Упражнения.

1. Пусть из партии электрических лампочек образована выборка из 200

лампочек. Качество лампочек характеризуется данными таблицы:

срок службы в час. число лампочек

900 – 1100

1100 – 1300

1300 – 1500

10

120

70 Итого: 200

Постройте гистограмму частот.

Указание: выбрать на оси Ох масштаб 0,5 см = 100 часов, а по оси Оу

1 единицу масштаба выбрать равной 1 см.

2. Произведено выборочное обследование дальности поездок пассажиров в

пригородных электропоездах. Данные обследования приведены в таблице:

Дальность поездки (в км) Число пассажиров

0 – 10

10 – 20

20 – 30

30 – 40

40 – 50

50 - 60

50

150

200

400

300

100

Итого: 1200

93

Постройте гистограмму частот.

3.Постройте полигон частот по данному распределению выборки:

4. Построить полигон относительных частот по данному распределению

выборки

а)

б)

xk 1 4 5 8 9 kp 0,15 0,25 0,3 0,2 0,1

5. Построить гистограмму частот распределения выборки

группы городов число

по числу жителей (тыс.) городов

до 10 506 10 - 20 440 20 - 50 449 50 - 100 151

100 - 500 123 500 – 1000 25 Итого 1694

хк 15 20 25 30 35

nk 10 15 30 20 25

хк 2 4 5 7 10 kp 0,15 0,2 0,1 0,1 0,45

94

Указание: длины интервалов различны, поэтому надо делить nk не на h, а на

hk, то есть на длину к-го интервала.

7. Построить полигон частот распределения выборки:

Процент выполнения

нормы

Процент рабочих

50

75

100

125

150

175

200

2

18

32

30

11

6

1

95

Практическое занятие №9

12. Меры центральной тенденции. После того, как статистический материал собран, приступают к анализу

полученных данных. Среди статистических характеристик наиболее важное

место занимают так называемые средние.

Определение 10.1. Выборочной средней вx называют среднее

арифметическое значение признака выборочной совокупности. Если

статистическое распределение задано таблицей

x x1 x2 … xk n n1 n2 … nk

то

,...2211

nnxnxnxx KK

B

где

n = n1 + n2 + … + nk

По найденному значению вx судят о генеральной средней Гx - то есть о

средней в генеральной совокупности.

П р и м е р 1. Пусть из партии в 10000 электрических лампочек образована

выборочная совокупность из 200 лампочек. Качество лампочек в генеральной и

выборочной совокупностях характеризуется данными

96

Срок

службы

в час

Количество

лампочек

Срок

службы

в час

Количество

лампочек

900 -

1100

1100 -

1300

1300 -

1500

1000

6000

3000

900 -

1100

1100 -

1300

1300 -

1500

10

120

70

Итого: 10000 Итого: 200

.).(124010000

300014006000120010001000 часxГ

.).(1260200

7014001201200101000 часxB

Как видно, выборочная средняя дает хорошее приближение средней

генеральной, ошибка всего в 20 часов; зато вместо исследования 10000

лампочек мы ограничились исследованием 200 лампочек.

П р и м е р 2. Вычислить среднюю заработную плату рабочих цеха № 2

по данным таблицы

Зарплата в руб. Число рабочих

2400

2500

2600

2700

2800

2900

3000

1

5

9

19

11

4

1

97

Итого 50

Определение 10.2. Медианой (Ме) называется значение наблюдаемой

величины хк , приходящееся на середину статистического распределения.

Если выборочная совокупность содержит четное число членов, то в

качестве Ме берут среднее арифметическое значение 2-х средних членов.

П р и м е р 3. Вычислить медиану статистического распределения:

размер обуви x число проданных пар n Накопленные частоты

36 1 1

37 1 1+1=2 38 5 2+5 = 7 39 8 7 + 8 = 15 40 17 15 + 17 = 32 41 21 32 + 21 = 53 42 18 53 + 18 = 71 43 8 71 + 8 = 79

Итого 79

Объем выборки 79. Следовательно, медианой будет значение х40 в ряду х1 , х2 ,

…, х79 , в котором каждое из значений повторено столько раз, сколько оно

встречается. Таким образом, Me = х40 = 41 размер.

Определение 10.3. Модой (Мо) называется наиболее часто встречающееся

значение наблюдаемой величины.

Пример 4. Для примера 3 найти моду. Наибольшей частоте (21) соответствует

значение размера обуви 41. Следовательно, Мо = 41 размер.

)(270050

1300042900112800192700926005250012400 рубxB

98

Упражнения.

1. Результаты измерения роста 100 школьников приведены в таблице:

рост 154-158 158-162 162-166 166-170 170-174 174-178 178-182

число

школь-

ников

10 14 26 28 12 8 2

Найти хB , Мо, Ме.

Указание. Найти середины интервалов и принять их в качестве хк

Ответ:

2. С плодового дерева случайным образом отобрано 10 плодов, их веса в

граммах записаны в таблице:

вес в 211 220 225 230 231 234 245 253 274 305 число плодов 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

Найти Вx , Ме.

Ответ: 233)234231(21)(

21,243 65 xxMexB .

4. Ниже приводится статистическое распределение коров по процентному

содержанию жира в их молоке:

166)168164(21)(

21,168,166 5150 xxMeMoxB

99

Процент

жира

в молоке

3,5

3,6

3,7

3,8

3,9

4,0

4,1

4,2

4,3

итого

Число

коров

1

1

3

4

7

5

2

1

1

25

Найти вx , Me, Mo.

Ответ: вx = 26,75 ; Me = 1/2∙(x50 + x5l)= 1/2∙(25 + 25) = 25 ; Мо = 25.

4. Результаты выборочного обследования урожайности пшеницы представлены

таблицей:

Урожайность в ц. с га Число га

11-13

13-15

15-17

17-19

100

250

450

200

Итого 1000

Найти вx , Me, Mo.

100

Ответ: вx =15,5 ц.; Me= 1/2∙(x500 + x50l)= 1/2∙(16 + 16) = 16 ц., Mo=16 ц.

5. Выборка задана статистическим распределением

x 4 7 8 12

n 5 2 3 10

Найти вx , Me, Mo.

Ответ: вx =8,9; Me= 1/2∙(x l 0 + x l l)= 1/2∙(8 + 12) = 10, Mo=12.

6. Выборка задана статистическим распределением

x 15 20 25 30 35

n 10 15 30 20 25

Найти вx , Me, Mo.

Ответ: вx =26,75; Me= 1/2∙(x 5 0 + x 5 l)= 1/2∙(25 + 25) = 25, Mo=25.

7. Задание:путем опроса n школьниц соберите данные о размере их обуви,

составьте таблицу статистического распределения. Найдите вx , Me, Mo.

Указание: за n удобно принять одно из чисел 10, 20, 25.

8. Имеются данные о числе учащихся в 24-х классах:

28 27 26 28 27 25 22 24

25 23 24 25 22 21 23 19

20 21 22 19 21 20 22 18

a) Составьте таблицу cтатистического распределения. Найдите вx , Me, Mo.

Ответ: вx = 23, Мо = 22, Мe= 22,5.

101

13. Мера рассеивания дискретных данных. Начнем с примера.

Пример 1. Пусть средняя зарплата рабочих в 1-ом цехе составляет 2000 рублей,

причем наименьшая зарплата 900 рублей, а наибольшая - 6000 рублей. Средняя

зарплата рабочих во 2-ом цехе тоже 2000 рублей, причем наименьшая зарплата

1500 рублей, а наибольшая - 4000 рублей. Хотя средние зарплаты в обоих цехах

одинаковы - 2000 рублей, но сравнивать уровни зарплат в цехах нельзя.

Рассмотренный пример показывает, что надо ввести такие характеристики

статистического распределения, которые показывали бы, как сильно

рассматриваемая величина колеблется вокруг средней.

Определение 11. 1. Размахом вариации называют разность между наибольшим

и наименьшим значениями наблюдаемой величины всего статистического

распределения: R = minmaxx x .

В примере 1 для первого цеха R=6000-900=5100 (руб), для второго цеха

R=4000-1500=2500 (руб).

К сожалению, размах вариации- характеристика плохая, поскольку она

вычисляется на крайних значениях, которые часто не типичны. Скажем, в

рассматриваемом примере 900 руб. оклад уборщицы, а 6000-оклад начальника

цеха.

Удачнее всего характеризует колебание наблюдаемой величины около ее

выборочной средней так называемое среднее квадратическое отклонение.

Определение 11.2. Средним квадратическим отклонением называют число

n

22

221

21

вkвkвв nxxnxxnxx

,

где

knnnn 21 .

Пример 2. Найти среднее квадратическое отклонение по данному

статистическому распределению.

102

Найдем

4,19110

319451922186

вx

Тогда

82,204,810

34,19119454,191192242,191186 222

в .

Замечание. Чем больше значение сpeднeгo квадратического отклонения в

тем больше размах колебаний наблюдаемой величины вокруг

среднего значения вx .

Упражнения.

1. Проведено 10 наблюдений над контрольными участками посева. Данные

собраны в таблице:

Урожай в

ц. с га kx

2

7

29 30 31 32 33 34

kn 1 1 2 1 2 2 1

Найти ВR , .

Ответ: R=7, В =2,2.

3. Вычислить сpeднeе квадратическое отклонение в и размах вариации R по

данным таблицы

kx 186 192 194

kn 2 5 3

kx

103

Сорт говядины Выход в %

I

II

III

63

32

5

Итого 100

Ответ: в =0,5862 - 0,5862 ; R = 3 - 1 = 2.

3. Средняя заработная плата рабочих цеха № 2 в течение одного дня

приведена в таблице:

Заработная плата Число рабочих в рублях в цехе № 2 400 1 500 5 600 9 700 19 800 11 900 4 1000 1 Итого 50

Найти R и в .

Ответ: R= 600 руб., в =121 руб. 70 коп.

104

Приложения

14. Пакет анализа Microsoft Excel

14.1. Основные статистические функции

1. СРЗНАЧ Возвращает среднее (арифметическое) своих аргументов. 2. СТАНДОТКЛОН Оценивает стандартное отклонение по выборке.

Стандартное отклонение - это мера того, насколько широко разбросаны точки данных относительно их среднего.

3. МОДА Возвращает наиболее часто встречающееся или повторяющееся значение в массиве или интервале данных.

4. МЕДИАНА Возвращает медиану вариационного ряда. Медиана — это число, которое является серединой вариационного ряда, то есть половина чисел ряда имеют значения большие, чем медиана, а половина чисел имеют значения меньшие, чем медиана.

Пример. Проведено 10 наблюдений над контрольными участками посева.

Данные собраны в таблице:

Урожай в

ц. с га kx

2

7

29 30 31 32 33 34

kn 1 1 2 1 2 2 1

Найти среднее значение, среднее квадратическое отклонение, моду и медиану.

105

Формула Описание (результат) =СРЗНАЧ(B2:K2) Среднее арифметическое приведенных выше чисел (31) Формула Описание (результат) =СТАНДОТКЛОН(B2:K2) Стандартное отклонение среднего урожая (2,2) Формула Описание (результат) =МОДА(B2:K2) Мода или наиболее часто встречающееся число (30) Формула Описание (результат) =МЕДИАНА(B2:K2) Медиана десяти чисел в приведенном выше списке (30)

14.2. Диаграмма Построение диаграммы. Основные правила построения диаграмм.

Без преувеличения можно сказать, что построение диаграмм – одна из

наиболее часто используемых возможностей Excel. Обычно диаграммы

106

создаются с помощью мастера диаграмм. Вызвать его можно с помощью

опции Диаграмма пункта меню Вставка, или щелчком по кнопке Мастер

диаграмм панели инструментов Стандартная.

Диаграмма строится в четыре шага.

Выбирается внешний вид диаграммы. Существует несколько вариантов

внешнего вида диаграммы, которые представлены на вкладке Стандартные.

Если предложенные варианты не устраивают, можно перейти на вкладку

Нестандартные. Чтобы оценить конечный результат, можно воспользоваться

кнопкой Просмотр результата. Переход к следующему шагу мастера диаграмм

осуществляется с помощью кнопки Далее. Общее количество шагов и текущий

шаг выводятся в заголовке мастера диаграмм.

На втором шаге на вкладке Диапазон данных необходимо указать

диапазон данных (поле Диапазон), если это не было сделано раньше, а так же,

возможно, уточнить расположение данных Ряды в Строках или в Столбцах. На

вкладке Ряд разрешается уточнить имя каждого из рядов данных (список Ряд,

поля Список и Значение), а так же указать данные, используемые в качестве

Подписи оси Х.

Третий шаг предоставляет возможность оформить различные элементы

диаграммы.

На четвертом шаге требуется уточнить, где будет расположена

диаграмма. Можно Поместить диаграмму на листе: Отдельном или

Имеющемся. После щелчка по кнопке Готово создание диаграммы закончено.

После создания диаграммы может возникнуть необходимость изменить ее

местоположение и, возможно, размер. Чтобы переместить диаграмму, надо

ухватить ее мышью за край и перенести в любое место листа. Если при этом

держать нажатой клавишу Alt, то диаграмма будет располагаться точно по

ячейкам (привязываться к ним). Если ухватить один из элементов диаграммы,

например легенду, то, возможно, изменить компоновку диаграммы.

107

Сразу после создания диаграммы может выясниться, что некоторым

элементам не хватает места, а некоторые наоборот, слишком велики. Устранить

этот недостаток достаточно просто. При щелчке мышью по любому элементу

диаграммы, по краям элемента появятся маленькие квадратики. Можно

ухватиться за любой из них и протащить его в сторону увеличения или

уменьшения размеров.

Если щелкнуть по краю диаграммы, то маленькие квадратики появятся

вокруг всего рисунка. В этом случае увеличение или уменьшение размеров

будет относиться ко всем элементам диаграммы.

Редактирование диаграммы удобно производить с помощью панели

инструментов Диаграмма.

В состав Microsoft Excel входит набор средств анализа данных (так

называемый пакет анализа), предназначенный для решения сложных

статистических и инженерных задач. Для проведения анализа данных с

помощью этих инструментов следует указать входные данные и выбрать

параметры; анализ будет проведен с помощью подходящей статистической или

инженерной макрофункции, а результат будет помещен в выходной диапазон.

Другие средства позволяют представить результаты анализа в графическом

виде.

Графические изображения используются, прежде всего, для наглядного

представления статистических данных. Благодаря ним существенно

облегчается восприятие и понимание этих данных. Существенна их роль и

тогда, когда речь идет о контроле полноты и достоверности исходного

статистического материала, используемого для обработки и анализа.

Статистические данные приводятся в виде длинных и сложных

статистических таблиц (см., например, табл.1), поэтому бывает весьма трудно

обнаружить в них имеющиеся неточности и ошибки.

108

15. Регрессионный анализ выборки биржевых ставок

15.1. Графическое представление выборки биржевых ставок Графическое представление статистических данных помогает легко и

быстро выявить ничем не оправданные пики и впадины, явно не

соответствующие изображаемым статистическим данным, аномалии и

отклонения. На графике, построенном по данным таблицы 1 (рис.1), наглядно

показано распределение курса биржевых ставок в зависимости от времени

совершения сделки и цены сделки в рублях.

Графическое представление статистических данных является не только

средством иллюстрации статистических данных и контроля их правильности и

достоверности. Благодаря своим свойствам оно является важным средством

толкования и анализа статистических данных, а в некоторых случаях -

единственным и незаменимым способом их обобщения и познания. В

частности, оно незаменимо при одновременном изучении нескольких

взаимосвязанных экономических явлений, так как позволяет с первого взгляда

установить существующие между ними соотношения и связи, различие и

подобие, а также выявить особенности их изменений во времени.

Однако, чтобы эффективнее использовать графические изображения

статистических данных, необходимо овладеть методикой и техникой их

построения. К этому следует добавить, что построенное графическое

изображение статистических данных биржевых ставок в наибольшей степени

соответствует характеру и содержанию изображаемых данных и поставленной

задаче их анализа.

109

Таблица 1. Выборка биржевых ставок относительно времени совершения сделки и цены сделки в рублях за один день работы биржи

Время Цена сделки в рублях

11:16:45 99,45

11:21:53 99,4

11:23:09 99,31

11:23:37 99,31

11:24:49 99

11:24:57 99

11:48:40 98,61

11:49:45 98,99

11:53:51 98,66

11:55:05 98,65

11:55:24 98,7

11:58:18 98,8

11:58:24 98,65

11:58:35 98,8

110

курс биржевых ставок в рублях

98,5

98,6

98,7

98,8

98,9

99

99,1

99,2

99,3

99,4

99,5

11:16

:45

11:21

:53

11:23

:09

11:23

:37

11:24

:49

11:24

:57

11:48

:40

11:49

:45

11:53

:51

11:55

:05

11:55

:24

11:58

:18

11:58

:24

11:58

:35

время совершения сделки

цена

сде

лки

111

15.2. Корреляционный и регрессионный анализ выборки Корреляция - один из инструментов пакета анализа Microsoft Excel.

Используется для количественной оценки взаимосвязи двух наборов данных,

представленных в безразмерном виде. Коэффициент корреляции выборки

представляет собой ковариацию двух наборов данных, деленную на

произведение их стандартных отклонений.

Корреляционный анализ дает возможность установить ассоциированы ли

наборы данных по величине, то есть: большие значения из одного набора

данных связаны с большими значениями другого набора (положительная

корреляция); или, наоборот, малые значения одного набора связаны с

большими значениями другого (отрицательная корреляция); или данные двух

диапазонов никак не связаны (корреляция близка к нулю).

Регрессия также является инструментом пакета анализа данных Microsoft

Excel. Линейный регрессионный анализ заключается в подборе графика для

набора наблюдений с помощью метода наименьших квадратов. Регрессия

используется для анализа воздействия на отдельную зависимую переменную

значений одной или более независимых переменных. Например, на курс

биржевых ставок влияют несколько факторов, включая такие, как время

совершения сделки и ее цена. Регрессия пропорционально распределяет меру

качества по этим двум факторам на основе данных функционирования курса

биржевых ставок. Результаты регрессии могут быть использованы для

предсказания качеств новых, не совершенных еще биржевых сделок. Например,

используя результаты таблицы 1, можно с помощью регрессии предсказать

цены следующих сделок.

112

15.3. Интерпретация моделей регрессии

Наиболее сложным этапом, завершающим регрессионный анализ,

является интерпретация полученных результатов, то есть перевод их с языка

статистики и математики на язык экономики.

Интерпретация моделей регрессии осуществляется методами той отрасли

знаний, к которой относятся исследуемые явления. Всякая интерпретация

Время Цена сделки в рублях

11:16:45 99,45

11:21:53 99,4

11:23:09 99,31

11:23:37 99,31

11:24:49 99

11:24:57 99

11:48:40 98,61

11:49:45 98,99 предсказание

11:53:51 98,66 98,69

11:55:05 98,65 98,67

11:55:24 98,7 98,67

11:58:18 98,8 98,61

11:58:24 98,65 98,61

11:58:35 98,8 98,61

113

начинается со статистической оценки уравнения регрессии в целом и оценки

значимости входящих в модель факторных признаков, то есть с изучения, как

они влияют на величину результативного признака. Чем больше величина

коэффициента регрессии, тем значительнее влияние данного признака на

моделируемую обработку биржевых ставок. Особое значение при этом имеет

знак перед коэффициентом регрессии. Знаки коэффициентов регрессии говорят

о характере влияния на результативный признак статистической обработки

биржевых ставок. Если факторный признак имеет плюс, то с увеличением

данного фактора результативный признак возрастает; если факторный признак

со знаком минус, то с его увеличением результативный признак уменьшается.

Интерпретация этих знаков полностью определяется социально-экономическим

содержанием моделируемого признака. Если его величина изменяется в

сторону увеличения, то плюсовые знаки факторных признаков имеют

положительное влияние. При изменении результативного признака в сторону

снижения положительные значения имеют минусовые знаки факторных

признаков. Если экономическая теория подсказывает, что факторный признак

должен иметь положительное значение, а он со знаком минус, то необходимо

проверить расчеты параметров уравнения регрессии.

Корреляционный и регрессионный анализ позволяет определить

зависимость между факторами, а также проследить влияние задействованных

факторов. Эти показатели имеют широкое применение в обработке

статистических данных для достижения наилучших показателей биржевых

ставок.

114

115

Приложение 1. Задачи по комбинаторике и теории вероятностей для повторения

1. Дано слово “ингредиент”. Сколько различных слов можно составить,

переставляя его буквы?

2. Сколькими способами можно выбирать по 6 участников из состава хора в 10

участников, так, чтобы каждый день были разные составы хора.

3. У шестизначных чисел три первые цифры четные, а три другие нечетные.

Сколько таких чисел существует?

4. На конференции 52 человека. Сколькими способами можно выбрать 5

делегатов?

5. Сколькими способами можно выбрать 1 овцу и 1 свинью, если на ферме 20

овец и 24 свиньи?

6. Сколько различных ожерелий можно составить из 7 бусинок различных

размеров ( надо использовать все 7 бусинок)?

7. Сколькими способами можно распределить 12 шаров по 3 ящикам?

8. На диск нанесены 12 бук. Пусть секретное слово состоит из 5 букв. Сколько

неудачных попыток может быть сделано человеком незнающим секретного

слова?

9. Сколько можно получить различных слов, переставляя буквы слова:

“Миссисипи”

10. В первенстве России по футболу участвуют 18 команд. Разыгрываются

медали золотые, серебряные и бронзовые. Сколькими способами они могут

быть распределены?

11. Пусть из пункта A в B ведут 5 дорог, а из B в C три дороги. Сколько

существует дорог из A в C через B?

12. У мамы 3 груши и 2 яблока. Каждый день в течение 5 дней подряд она

выдает по 1 фрукту. Сколькими способами это можно сделать?

13. Из пяти различных красок надо выбрать три различные. Сколькими

116

способами это можно сделать?

14. Сколькими способами можно выбрать 2 согласные и 1 гласную из букв

слова “логарифм”?

15. Найти число способов распределения 8 пассажиров по 8 вагонам, если для

каждого пассажира существенным является только номер вагона, а не

занимаемое им место?

16. Определить число различных трехбуквенных слов, получаемых

перестановкой букв слова “книга”?

17. Найти число пятизначных чисел, у которых любые две соседние цифры

различны.

18. Имеются пирожные 4 видов: эклеры, наполеоны, бисквитные, песочные.

Сколькими способами покупатель может отобрать 10 пирожных?

19. В аквариуме 36 рыбок 4 видов поровну. Выбираем 4 рыбки. В скольких

случаях эти рыбки одного вида?

20. 7 пассажиров рассаживаются в 3-х вагонах. В скольких способах в первом 2

человека, во втором-4 человека и в третьем 1 человек?

21. Сколько разных слов можно получить переставляя буквы слова

вероятность?

22. Сколько существует различных четырехзначных чисел имеющих две

одинаковые цифры?

23. Сколько разных трехбуквенных слов можно составить из букв слова

‘деталь’?

24. Из 7 красок надо выбрать 4 разные краски. Сколькими способами это можно

сделать?

25. Сколько слов можно образовать переставляя буквы слова “математика”?

26. На собрании выступили 5 человек А,Б,В,Г,Д. В скольких случаях В

выступает следом за А?

27. 5 человек рассаживаются за некруглым столом. В скольких случаях два

фиксированных лица окажутся рядом?

117

28. В лотерее из 11 билетов -3 выигрышные. Выбирают 5 билетов. В скольких

случаях 2 из них - выигрышные?

29. Найти число пятизначных чисел, имеющих в своей записи нули?

30. Трое студентов сдают экзамен. Сколько существует вариантов

распределения оценок?

31. из колоды карт в 52 листа выбирают 6 карт. В скольких случаях среди них

будет 2 карты пик?

32. Из 90 деталей 25 бракованных. В скольких способах из 3 выбранных деталей

ровно 2 - бракованные?

33. На 5 карточках написаны буквы слова “лилия”. Сколько слов можно

образовать, переставляя карточки?

34. Сколько существует пятизначных номеров, все цифры которых четны?

35. Сколько чисел меньших чем миллион, можно написать с помощью цифр 8 и

9?

36. Сколькими способами можно надеть 5 различных колец на пальцы одной

руки, исключая большой палец?

37. Сколько существует семизначных чисел, среди цифр которых три нуля?

38. Надо послать 6 срочных писем. Сколькими способами это можно сделать,

если для передачи писем можно послать 3 курьеров, и каждое из писем можно

дать любому из курьеров?

39. Сколькими способами можно выбрать гласную и согласную буквы из букв

слова “камзол”?

40. Сколькими способами можно расставить на полке 10 книг, так чтобы 3

книги, нужные Вам, стояли рядом?

41. Сколькими способами можно указать на шахматной доске два квадрата?

42. Множество Е содержит 10 первых букв русского алфавита. Сколько

различных алфавитов из трех букв можно составить из данного множества

букв? Какова вероятность того, что случайно выбранный алфавит будет

содержать букву «a»?

118

43. У мамы 3 апельсина и две груши. Каждый день в течение 5 дней она выдает

сыну по 1 фрукту. Какова вероятность того, что груши она выдаст в первые два

дня?

44. 7 человек рассаживают на 7 местах. Какова вероятность того, что лица A,B.C

окажутся рядом?

45. В записанном телефонном номере 5403*** три последние цифры стерлись.

Какова вероятность того, что стерлись одинаковые цифры?

46. Группа, состоящая из 8 человек, занимает места за круглым столом в

случайном порядке. Какова вероятность того, что при этом два определенных

лица окажутся сидящими рядом?

47. В библиотеке имеются книги по 16 разделам науки. Поступили очередные

четыре заказа на литературу. Считая, что любой состав заказанной литературы

равновозможен, найти вероятности следующих событий: А - заказаны книги из

различных разделов наук, В - заказаны книги из одного и того же раздела

науки.

48. Опыт состоит в четырехкратном выборе с возвращением одной из букв

алфавита E = {а, б, к, о, м} и выкладывании слова в порядке поступления букв.

Какова вероятность того, что в результате будет выложено слово «мама»?

49. Десять приезжих мужчин, среди которых Петров и Иванов, размещаются в

гостинице в два трехместных и один четырехместный номер. Сколько

существует способов их размещения? Какова вероятность того, что Петров и

Иванов попадут в четырехместный номер?

50. Студент пришел на экзамен, зная лишь 20 из 25 вопросов программы.

Экзаменатор задал студенту 3 вопроса. Используя понятие условной

вероятности, найти вероятность того, что студент знает все эти вопросы.

51. Разыскивая специальную книгу, студент решил обойти три библиотеки. Для

каждой библиотеки одинаково вероятно, есть в ее фондах книга или нет. И

если книга есть, то одинаково вероятно, занята она другим читателем или нет.

119

Что более вероятно — достанет студент книгу или нет если известно, что

библиотеки комплектуются независимо одна от другой?

52. Пусть имеется три урны с белыми и черными шарами. В первой урне

содержатся 3 черных и 2 белых шара, во второй — 2 черных и 2 белых, а

в третьей — 5 черных и 4 белых. Наудачу выбирается урна, и из нее наудачу

выбирается шар. Найти вероятность того, что выбранный шар — белый.

53. Пусть имеется три урны с белыми и черными шарами. В первой урне

содержатся 3 черных и 3 белых шара, во второй — 4 черных и 1 белый, в

третьей — 2 черных и 5 белых. Наудачу выбрана урна, и из нее наудачу выбран

шар. Этот шар оказался черным. Какова вероятность того, что была выбрана

третья урна?

54. Монету бросают 8 раз. Найти вероятность того, что «герб» выпадет 3 раза.

55. Двенадцать человек случайным образом рассаживаются на один ряд из 12 мест.

Найти вероятность того, что три определенных человека окажутся рядом.

56. Автомобильный номер состоит из 2 букв и четырех цифр. Найти вероятность

того, что номер имеет вид 13-17-АБ.

57. В ящике 8 и 12 красных шаров. Вынули два шара. Какова вероятность того, что

они красные.

58. Бросили две игральные кости. Что вероятнее: получить в сумме 5 или 9 очков.

59. Найти вероятность того, что из полной колоды карт извлечены тройка,

семерка, туз.

60. Состав урны: 10 шаров, из которых 7 белых. Один шар укатился, цвет его

неизвестен. Вынимается 1 шар. Какова вероятность того, что его цвет белый.

61. На полке расставлены 7 книг, в числе которых 2 книги, нужные Вам. Какова

вероятность того, что они стоят рядом.

62. В играх первенства участвуют 16 команд, которые разделены на 4 группы.

Какова вероятность того, что 2 фиксированные команды войдут в одну группу.

63. При передаче сообщения вероятность искажения одного знака равна 0,1.

Какова вероятность того, что сообщение из 10 знаков не содержит искажений.

120

64. Вероятность брака равна 0,05. Какова вероятность того, что из 500 изделий

ровно 25 бракованных.

65. В книге из 500 страниц имеется 50 опечаток. Какова вероятность того, что на

случайно выбранной странице окажется ровно 3 опечатки.

66. Из колоды карт выбирается одна карта. Какова вероятность того, что выбрана

карта черной масти.

67. 6 охотников увидели лису и одновременно выстрелили. Вероятность убить

лису у каждого 1/3. Какова вероятность того, что лиса будет убита.

68. Найти вероятность того, что при 12000 бросаний игральной кости число

выпадений “6” заключено между 1900 и 2150.

69. Средняя плотность болезнетворных микробов в одном кубическом метре равна

100. Берется на пробу 2 дм 3 . Найти вероятность того, что в нем будет

обнаружен хотя бы один микроб.

70. Колода карт делится на две стопы по 26 карт. С какой вероятностью в каждой

окажется по два туза?

71. Из таблицы случайных чисел наудачу выбраны 200 двухзначных чисел ( от 00

до 99). Определить вероятность того, что число 33 среди них встретиться ровно

3 раза.

72. Что вероятнее: выиграть у равносильного противника 3 партии из 4 или 5 из 8?

73. Бросили две игральные кости и нашли сумму очков. Что вероятнее получить в

сумме 7 или 8 очков?

74. 7 человек рассаживаются на 7 местах. Какова вероятность того, что

определенные 4 лица окажутся рядом?

75. Какова вероятность того, что пятизначное число имеет в своей записи два нуля?

76. 12 шаров размещают по трем ящикам. Какова вероятность того, что что все

шары окажутся в одном ящике.

77. Из колоды карт из 36 листов вынимаются (без возврата) 4 карты. Вычислить

вероятность того, что среди них два туза.

121

78. Левши в среднем составляют 1%. Какова вероятность того, что из 200 человек

не менее 4 левшей.

79. Из 25 контрольных работ 5 оценены “отлично”. Наудачу извлекаем 3 работы.

Какова вероятность того, что среди них одна оценена на “отлично”.

80. Дано множество трехзначных чисел составленных и из цифр 1,2,3,4,5,6,7.

Выбираем одно из таких чисел. Какова вероятность того, что все его цифры

различны.

81. Имеется 10000 случайных цифр (от 0 до 9 каждая). Какова вероятность того,

что число “девяток” среди них заключено между 940 и 1060.

82. Вероятность забросить мяч в корзину баскетболистом равна 0,6. Произведено 8

бросков. Какова вероятность того, что при этом будет ровно 2 попадания.

Приложение 2. Контрольная работа по комбинаторике и теории вероятностей

ВАРИАНТ № 1

1. Сколькими способами можно выбрать 12 человек из 17-ти, если данные два

человека не могут быть выбраны вместе?

2. Из колоды в 52 карты извлекаются наудачу 4 карты. Найти

вероятность того, что будет получен следующий состав: валет, дама и два

короля.

3. Вероятность того, что наудачу названный студент сдаст первый экзамен,

равна 0,9, второй экзамен — 0,8 и третий — 0,7. Найти вероятность того, что

студент сдаст хотя бы один экзамен, считая экзамены независимыми друг от

друга.

4. В первой урне 2 белых и 4 черных шара, а во второй — 3 белых и

1 черный шар. Из первой урны во вторую переложили два шара, а затем из

второй урны вынули наугад один шар. Определить вероятность того, что

вынутый шар — белый.

5. Какова вероятность того, что сумма трех наудачу взятых отрезков,

длина каждого из которых не превосходит l , будет больше l ?

6. В семье пять детей. Найти вероятность того, что среди этих детей - три

девочки и два мальчика. Вероятности рождения мальчика и девочки

предполагаются одинаковыми.

ВАРИАНТ № 2

1. В теннисном турнире участвуют 10 мужчин и 6 женщин. Сколькими

способами можно составить четыре смешанные пары?

2. В лотерее выпущено n билетов, из которых m выигрышные. Куплено k

билетов. Найти вероятность того, что из k билетов ровно один

выигрышный.

123

3. В первом ящике 1 белый, 2 красных и 3 синих шара; во втором —2

белых, 6 красных, 4 синих шара. Из каждого ящика вынули по шару. Найти

вероятность того, что среди вынутых шаров нет синих?

4. Производится серия независимых выстрелов зажигательными снарядами

по резервуару с горючим. Каждый снаряд попадает в резервуар с вероятностью

p . Если в резервуар попадает один снаряд, то горючее воспламеняется с

вероятностью- p , если два снаряда, - с полной достоверностью. Найти

вероятность того, что при n выстрелах горючее воспламенится.

5. Найти вероятность того, что монета радиусом 2 см, брошенная на

бесконечную шахматную доску с клетками шириной 5 см, пересечет не

более одной стороны клетки.

6. В классе 20 мальчиков и 10 девочек. На каждый из трех вопросов, заданных

учителем, ответили по одному ученику. Какова вероятность того, что среди

ответивших было два мальчика и одна девочка?

ВАРИАНТ 3

1. Пусть на кону лежит карта - валет треф, а козыри пики. Найти вероятность того, что наудачу взятой из колоды картой карта, лежащая на кону, будет бита. 2. Сколько существует 7- значных телефонных номеров, все цифры которых

различные?

3. Вероятность хотя бы одного попадания стрелком в мишень при четырех

выстрелах равна 0,9919. Найти вероятность попадания при одном выстреле.

4. По каналу связи передается одна из трех последовательностей букв:

AAAA, BBBB или CCCC , вероятности которых равны соответственно 0,3,

0,4 и 0,3. Буква принимается правильно с вероятностью 0,6; вероятность ее

приема за другую — 0,2 и 0,2 (буквы искажаются независимо друг от друга).

Найти вероятность того, что передано AAAA, если получено ABCA.

5. Отрезок AB длина которого 60 см, разделен точкой C в отношении 3:1. На

этот отрезок наудачу брошены пять точек. Найти вероятность того, что три

124

из них окажутся левее точки C и две — правее. Предполагается, что

вероятность попадания точки на отрезок пропорциональна длине отрезка и не

зависит от его расположения.

6. Найти вероятность того, что в 10 испытаниях по схеме Бернулли с

вероятностью успеха 0,4 появятся 6 успехов, причем 3 из них в трех последних

испытаниях.

ВАРИАНТ № 4

1. Множество E содержит 11 первых букв русского алфавита. Сколько

различных алфавитов из трех букв можно составить из данного множества

букв? Какова вероятность того, что случайно выбранный алфавит будет

содержать букву а ?

2. В лотерее выпущено n билетов, из которых m выигрышные. Куплено k

билетов. Найти вероятность того, что из k билетов хотя бы один -

выигрышный.

3. Вероятность одного попадания в цель при одном залпе из двух орудий равна

0,46. Найти вероятность поражения цели при одном выстреле первым из

орудий, если известно, что для второго орудия эта вероятность равна 0,6.

4. Известно, что 5% всех мужчин и 0,25% всех женщин дальтоники. Наугад

выбранное лицо страдает дальтонизмом. Какова вероятность того, что это

мужчина? (Считать, что мужчин и женщин одинаковое число.)

5. На отрезке [5 , 0] наудачу поставлены две точки, разбившие его на три

отрезка. Найти вероятность того, что из этих отрезков можно построить

треугольник.

6. В урне 18 белых и 9 черных шаров. Вынули подряд 4 шара, причем

каждый вынутый шар возвращают в урну перед извлечением следующего и

шары в урне перемешивают. Какова вероятность того, что из четырех вынутых

шаров окажется два белых?

125

Приложение 3 Таблица значений функции dzez z

0

21 2

21z

z Ф(z) z Ф(z) z Ф(z) z Ф(z)

0,00 0,0000 0,40 0,1554 0,80 0,2881 1,20 0,3849 0,01 0,0040 0,41 0,1591 о,81 0,2910 1,21 0,3869

0,02 0,0080 0,42 0,1628 0,82 0,2939 1,22 0,3888 0,03 0,0120 0,43 0,1664 0,83 0,2967 1,23 0,3907 0,04 0,0160 0,44 0,1700 0,84 0,2995 1,24 0,3925 0,05 0,0199 0,45 0,1736 0,85 0,3023 1,25 0,3944 0,06 0,0239 0,46 0,1772 0,86 0,3051 1,26 0,3962 0,07 0,0279 0,47 0,1808 0,87 0,3078 1,27 0,3980 0,08 0,0319 0,48 0,1844 0,88 0,3106 1,28 0,3997 0,09 0,0359 0,49 0,1879 0,89 0,3133 1,29 0,4015 0,10 0,0398 0,50 0,1915 0,90 0,3159 1,30 0,4032 0,11 0,0438 0,51 0,1950 0,91 0,3186 1,31 0,4049 0,12 0,0478 0,52 0,1985 0,92 0,3212 1,32 0,4066 0,13 0,0517 0,53 0,2019 0,93 0,3238 1,33 0,4082 0,14 0,0557 0,54 0,2054 0,94 0,3264 1,34 0,4099 0,15 0,0596 0,55 0,2088 0,95 0,3289 1,35 0,4115 0,16 0,0636 0,56 0,2123 0,96 0,3315 1,36 0,4131 0,17 0,0675 0,57 0,2157 0,97 0,3340 1,37 0,4147 0,18 0,0714 0,58 0,2190 0,98 0,3365 1,38 0,4162 0,19 0,0753 0,59 0,2224 0,99 0,3389 1,39 0,4177 0,20 0,0793 0,60 0,2257 1,00 0,3413 1,40 0,4192 0,21 0,0832 0,61 0,2291 1,01 0,3438 1,41 0,4207 0,22 0,0871 0,62 0,2324 1,02 0,3461 1,42 0,4222 0,23 0,0910 0,63 0,2357 1,03 0,3485 1,43 0,4236 0,24 0,0948 0,64 0,2389 1,04 0,3508 1,44 0,4251 0,25 0,0987 0,65 0,2422 1,05 0,3531 1,45 0,4265 0,26 0,1026 0,66 0,2454 1,06 0,3554 1,46 0,4279 0,27 0,1064 0,67 0,2486 1,07 0,3577 1,47 0,4292 0,28 0,1103 0,68 0,2517 1,08 0,3599 1,48 0,4306 0,29 0,1141 0,69 0,2549 1,09 0,3621 1,49 0,4319 0,30 0,1179 0,70 0,2580 1,10 0,3643 1,50 0,4332 0,31 0,1217 0,71 0,2611 1,11 0,3665 1,51 0,4345 0,32 0,1255 0,72 0,2642 1,12 0,3686 1,52 0,4357 0,33 0,1293 0,73 0,2673 1,13 0,3708 1,53 0,4370 0,34 0,1331 0,74 0,2703 1,14 0,3729 1,54 0,4382 0,35 0,1368 0,75 0,2734 1,15 0,3749 1,55 0,4394 0,36 0,1406 0,76 0,2764 1,16 0,3770 1,56 0,4406 0,37 0,1443 0,77 0,2794 1,17 0,3790 1,57 0,4418 0,38 0,1480 0,78 0,2823 1,18 0,3810 1,58 0,4429 0,39 0,1517 0,79 0,2852 1,19 0,3830 1,59 0,4441

126

z Ф(z) z Ф(z) z Ф(z) z Ф(z) 1,60 0,4452 1,84 0,4671 2,16 0,4846 2,66 0,4961 1,61 0,4463 1,85 0,4678 2,18 0,4854 2,68 0,4963 1,62 0,4474 1,86 0,4686 2,20 0,4861 2,70 0,4965 1,63 0,4484 1,87 0,4693 2,22 0,4868 2,72 0,4967 1,64 0,4495 1,88 0,4699 2,24 0,4875 2,74 0,4969 1,65 0,4505 1,89 0,4706 2,26 0,4881 2,76 0,4971 1,66 0,4515 1,90 0,4713 2,28 0,4887 2,78 0,4973 1,67 0,4525 1,91 0,4719 2,30 0,4893 2,80 0,4974 1,68 0,4535 1,92 0,4726 2,32 0,4898 2,82 0,4976 1,69 0,4545 1,93 0,4732 2,34 0,4904 2,84 0,4977 1,70 0,4554 1,94 0,4738 2,36 0,4909 2,86 0,4979 1,71 0,4564 1,95 0,4744 2,38 0,4913 2,88 0,4980 1,72 0,4573 1,96 0,4750 2,40 0,4918 2,90 0,4981 1,73 0,4582 1,97 0,4756 2,42 0,4922 2,92 0,4982 1,74 0,4591 1,98 0,4761 2,44 0,4927 2,94 0,4984 1,75 0,4599 1,99 0,4767 2,46 0,4931 2,96 0,4985 1,76 0,4608 2,00 0,4772 2,48 0,4934 2,98 0,4986 1,77 0,4616 2,02 0,4783 2,50 0,4938 3,00 0,49865 1,78 0,4625 2,04 0,4793 2,52 0,4941 3,20 0,49931 1,79 0,4633 2,06 0,4803 2,54 0,4945 3,40 0,49966 1,80 0,4641 2,08 0,4812 2,56 0,4948 3,60 0,499841 1,81 0,4649 2,10 0,4821 2,58 0,4951 3,80 0,499928 1,82 0,4656 2,12 0,4830 2,60 0,4953 4,00 0,499968 1,83 0,4664 2,14 0,4838 2,62 0,4956 4,50 0,499997 2,64 0,4959 5,00 0,4999997

127

Приложение 4. Таблица значений функции 2

2

21x

x

e

128

ЛИТЕРАТУРА

1. Родионов М.А., Парфенов Г.Н. Логическая мозаика. Учебное пособие для школьников. – Пенза, 1999. 2. Родионов М.А., Шершаков В.П., Марина Е.В. От простого к сложному. Учебно-методическое пособие для школьников и абитуриентов. – Пенза, 2001. 3. Родионов М.А., Пичугина П.Г. Введение в высшую математику. Учебное пособие для студентов медико-биологических специальностей. – Пенза, 2003.

4. Селютин В.Д. О формировании первоначальных стохастических представлений // Математика в школе – 2003 - № 3. 5. Щербатых С.В. Прикладная направленность обучения стохастике в старших классах средней школы. Автореф. ….. канд. пед. наук – Елец, 2006.

129

Оглавление ЧАСТЬ I ................................................................................................................................................................... 12 КОМБИНАТОРИКА ............................................................................................................................................... 12

I. Основные комбинаторные задачи. ........................................................... 12

1.1. Предмет комбинаторики. .......................................................................................................................... 12 1.2. Принципы комбинаторики. Принцип умножения. ................................................................................... 15 1.3. Принципы комбинаторики. Принцип сложения. ...................................................................................... 20

2. Выборка. Размещения, перестановки и сочетания без повторений. ..... 23

2.1. Выборка, основные виды выборок. .......................................................................................................... 23 2.2. Размещения, перестановки, сочетания без повторений. ........................................................................... 25

3. Размещения и сочетания с повторениями. .............................................. 32

4. Формула бинома Ньютона. ...................................................................... 38

4.1. Возведение двучлена х + 1 в натуральную степень. ................................................................................ 38 4.2. Формула бинома Ньютона. ....................................................................................................................... 38

ЧАСТЬ II .................................................................................................................................................................. 43 ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ .................................................................................................................................... 43

5.Понятие о случайном событии. ................................................................ 43

6. Классическое определение вероятности. ................................................ 51

7. Применение комбинаторики к нахождению вероятностей. .................. 58

8. Условная вероятность. Независимые события. ...................................... 63

9. Статистическое определение вероятности. ............................................ 68

10. Повторные независимые испытания с двумя исходами....................... 73

10.1. Формула Бернулли. ................................................................................................................................. 73 10.2. Теоремы Лапласа и Пуассона.................................................................................................................. 79

ЧАСТЬ III ................................................................................................................................................................ 86 ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ ........................................................................................... 86

11. Генеральная совокупность и выборка. .................................................. 86

12. Меры центральной тенденции. .............................................................. 95

13. Мера рассеивания дискретных данных. .............................................. 101

14. Пакет анализа Microsoft Excel ............................................................. 104

14.1. Основные статистические функции ...................................................................................................... 104 14.2. Диаграмма ............................................................................................................................................. 105

15. Регрессионный анализ выборки биржевых ставок ............................. 108

15.1. Графическое представление выборки биржевых ставок ...................................................................... 108 15.2. Корреляционный и регрессионный анализ выборки ............................................................................ 111 15.3. Интерпретация моделей регрессии ....................................................................................................... 112

Приложение 1. Задачи по комбинаторике и теории вероятностей для повторения ............................................. 115 Приложение 2. Контрольная работа по комбинаторике и теории вероятностей ................................................. 122

Приложение 3 Таблица значений функции dzez z

0

21 2

21z ....................................... 125

130

Приложение 4. Таблица значений функции 2

2

21x

x

e

.................................................. 127

Оглавление ............................................................................................................................................................ 128 Комбинаторика, теория вероятностей и математическая статистика .................................................................. 131

131

Родионов Михаил Алексеевич

Яремко Наталия Николаевна

Комбинаторика, теория вероятностей и математическая статистика

Учебное пособие

132

Тест по теории вероятностей и математической статистике 1. Количество способов выбора стартовой шестерки из восьми игроков равно… 1) 56 2) 720 3) 28 4) 113

2. Непрерывная случайная величина Х задана плотностью вероятности .231)(f 18

)4( 2

х

ех

Тогда

D(Х) = … 1) 4 2) 3 3) 6 4) 9 3. Монета брошена 3 раза. Тогда вероятность того, что герб выпадет ровно 2 раза, равна…

1) 81

2) 83

3) 41

4) 43

4. Пусть Х – дискретная случайная величина, заданная законом распределения вероятностей Х -2 1 3 Тогда М(2Х) =… р 0,1 0,3 0,6

1) 3,8 2) 4,6 3) 3,5 4) 4 5. Сколько нужно построить дорог с односторонним движением, чтобы соединить 5 сел друг с другом, если ни одна из дорог не должна проходить через какое-либо третье село. 1) 10 2) 15 3) 20 4) 25 6. В партии из 12 деталей 4 детали первого сорта. Найти вероятность того, что среди двух отобранных друг за другом деталей только одна первого сорта.

1) 91

2) 92

3) 115

4) 3316

7. Студент знает 21 вопрос из 25. Какова вероятность, что он ответит на два предложенных вопроса?

1) 0,84 2) 0,7 3) 0,7056 4) 0,9 8. В партии из 50 деталей 6% бракованных. Какова вероятность, что наугад выбранная деталь окажется стандартной? 1) 0,06 2) 0,94 3) 0,12 4) 0,88 9. Проверкой качества товара занимаются два контролера. Вероятность выявления дефекта первым из них – 0,8, а вторым – 0,95. Найти вероятность того. Что изделие с дефектом будет пропущено.

1) 0,1 2) 0,25 3) 0,05 4) 0,14 10. Вероятность поломки первого станка – 0,4, второго – 0,6. Какова вероятность, что хотя бы один из них сломается? 1) 1 2) 0,48 3) 0,52 4) 0,86 11. Найти вероятность того, что при бросании четырех монет герб выпадет чаще, чем цифра.

1) 21

2) 161

3) 165

4) 41

12. В магазин поступили телевизоры от трех дистрибьюторов в отношении 1 : 3 : 6. Телевизоры, поступающие от первого дистрибьютора, требуют наладки в 3% случаев, от второго и третьего – соответственно 2% и 1%. Найти вероятность того, что поступивший в магазин телевизор требует наладки. 1) 0,02 2) 0,015 3) 0,01 4) 0,018

13. Задана функция распределения дискретной случайной величины Х:

3,132,5,021,25,010,15,0

0,0

)(

хеслихеслихеслихесли

хесли

хF

Найти вероятность того, что Х = 1. 1) 0,1 2) 0,15 3) 0,25 4) 0,4 14. В первом ящике 2 белых и 10 черных шаров, во втором – 8 белых и 4 черных шара. Из каждого

133

ящика вынули по шару. Какова вероятность. Что они оба белые? 1) 1 ∕ 9 2) 5 ∕6 3) 5 ∕7 4) 3 ∕ 8 15. Вероятность того, что пассажир опоздает к отправлению поезда, равна 0,01. Найти наиболее вероятное число опоздавших из 800 пассажиров. 1) 5 2) 6 3) 8 4) 10

134

В предлагаемом пособии содержится два типовых расчета: 1) типовой расчет по теории вероятностей, 2) типовой расчет по математической статистике.

Ав-торы – С.И.Федин, О.Э.Яремко.

Типовой расчет по теории вероятностей. В данном типовом расчете предлагается 30 задач по каждой из 6 тем, перечисленных ниже. Перед задачами даны методические указания и там, где необходимо – примеры. Задачи предлагаются по следующим темам

1. Непосредственный подсчет вероятностей в рамках классической схемы. Теоремы сложения и умножения вероятностей.

2. Формула полной вероятности и формула Байеса. 3. Повторение опытов (схема Бернулли). 4. Дискретные случайные величины. 5. Непрерывные случайные величины. 6. Функции случайных величин.

Тема 1

Непосредственный подсчет вероятностей в рамках классической схемы. Теоремы сложения и умножения вероятностей

Если результаты эксперимента можно представить в виде полной

группы исходов, которые попарно несовместны и равновозможны, то вероятность события A равна отношению числа m благоприятствующих этому событию исходов эксперимента к общему числу n всех возможных исходов, т.е.

nmP(A) .

Вероятность суммы двух событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного наступления:

( ) ( ) ( ) ( ).P A B P A P B P A B При решении задач иногда удобно найти вероятность противоположного

события A , а затем найти вероятность события A по формуле )AP(1P(A) . Вероятность совместного наступления двух событий

равна вероятности одного из них, умноженной на условную вероятность другого, при условии, что первое событие наступило:

( ) ( ) ( / ) ( ) ( / ).P A B P A P B A P B P A B События A и B называются независимыми, если ( ) ( ) ( )P A B P A P B . Для независимых событий появление одного не меняет вероятности появления другого: ( / ) ( )P A B P A и ( / ) ( )P B A P B (см. с. 10-17 учебного пособия).

135

Задача 1. В ящике в случайном порядке разложено двадцать деталей, причем пять из них стандартные. Рабочий берет наудачу три детали.

Найти вероятность того, что, по крайней мере, одна из этих деталей окажется стандартной.

Задача 2. Станция метрополитена оборудована тремя независимо работа-ющими эскалаторами. Вероятность безотказной работы в течение дня для пер-вого эскалатора равна 0,9, для второго – 0,95, для третьего – 0,85.

Найти вероятность того, что в течение дня произойдет поломка не более одного эскалатора.

Задача 3. На складе имеются 8 изделий, 3 из них изготовлены заводом N. Найти вероятность того, что среди 4 наудачу взятых изделий окажется

не более половины, изготовленных заводом N.

Задача 4. У распространителя имеется 20 билетов книжной лотереи, среди которых 7 выигрышных. Куплено 3 билета.

Найти вероятность того, что хотя бы один из купленных билетов выигрыш-ный.

Задача 5. Устройство секретного замка включает в себя 4 ячейки. В первой ячейке осуществляется набор одной из четырех букв A, B, C, D, в трех осталь-ных – одной из десяти цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 (цифры могут повторяться). Чему равна вероятность того, что замок будет открыт с первой попытки?

Задача 6. Имеются две урны. В первой находятся: один белый шар, 3 черных и 4 красных; во второй – 3 белых, 2 черных и 3 красных. Из каждой урны наугад извлекают по одному шару, после чего сравнивают их цвета.

Найти вероятность того, что цвета извлеченных шаров совпадают.

Задача 7. Среди 100 лотерейных билетов есть 5 выигрышных. Найти вероятность того, что два наудачу выбранных билета окажутся

выигрышными.

Задача 8. Электросхема, состоящая из 4 элементов имеет вид

Выход из строя элементов – события независимые в совокупности.

136

Какова вероятность того, что схема обесточится, если вероятность выхода из строя элементов 1a , 2a , 3a , 4a соответственно 0,1; 0,2; 0,3; 0,4.

Задача 9. Два охотника по одному разу стреляют в волка. Для первого охотника вероятность попадания в волка 0,7, для второго – 0,8.

Определить вероятность того, что в волка попадет хотя бы один охотник.

Задача 10. Ведется стрельба по самолету, уязвимым агрегатами которого являются два двигателя и кабина пилота. Для того чтобы вывести из строя са-молет, достаточно поразить оба двигателя вместе или кабину пилота. При дан-ных условиях стрельбы вероятность поражения первого двигателя равна Р1, второго двигателя - Р2, кабины пилота - Р3. Агрегаты самолета поражаются не-зависимо друг от друга.

Найти вероятность того, что самолет будет поражен.

Задача 11. По мишени производятся три выстрела. Вероятности попадания при первом, втором и третьем выстрелах равны соответственно Р1 = 0,4; Р2 = 0,5; Р3 = 0,7.

Какова вероятность того, что в результате этих трех выстрелов в мишени окажется точно одна пробоина.

Задача 12. Студент знает 20 из 25 вопросов программы. Найти вероятность того, что студент знает предложенные ему

экзаменато-ром три вопроса.

Задача 13. Определить вероятность того, что партия из ста изделий, среди которых пять бракованных, будет принята при испытании наудачу выбранной половины всей партии, если условиями приема допускается наличие бракован-ных изделий не более одного из пятидесяти.

Задача 14. Рабочий обслуживает три станка. Вероятность того, что в течение смены его внимания потребует первый станок, равна 0,7, второй – 0,75, третий – 0,8.

Найти вероятность того, что в течение смены внимания рабочего потре-буют не менее двух станков.

Задача 15. В связке имеются пять различных ключей, из которых только одним можно отпереть дверь. Наудачу выбирается ключ и делается попытка открыть дверь. Ключ, оказавшийся неподходящим, больше не используется.

Найти вероятность того, что для отпирания двери будет использовано не более двух ключей.

Задача 16. Радист трижды вызывает корреспондента. Вероятность того, что будет принят первый вызов, равна 0,2, второй – 0,3, третий – 0,4.

137

Найти вероятность того, что корреспондент услышит вызов радиста.

Задача 17. Студенты выполняют экзаменационную работу в классе кон-тролирующих машин. Работа состоит из трех задач. Для получения положи-тельной оценки достаточно решить две. Для каждой задачи зашифровано пять ответов, из которых только один правильный. Студент N плохо знает материал и поэтому выбирает ответы для каждой задачи наудачу.

Какова вероятность того, что он получит положительную оценку?

Задача 18. В электрическую цепь включены параллельно два прибора. Вероятность отказа первого прибора равна 0,1, второго 0,2.

Найти вероятность того, что откажет хотя бы один прибор этой цепи.

Задача 19. Предприятием послана автомашина за различными материалами на четыре базы. Вероятность наличия нужного материала на первой базе равна 0,9, на второй – 0,95, на третьей – 0,8, на четвертой – 0,6.

Найти вероятность того, что только на одной базе не окажется нужного материала.

Задача 20. Экзаменационный билет содержит три вопроса. Вероятность того, что студент ответит на первый и второй вопросы одинакова, и равна 0,9, на третий – 0,8.

Найти вероятность того, что студент сдаст экзамен, если для этого необ-ходимо ответить, по крайней мере, на два вопроса билета.

Задача 21. Имеется коробка с девятью новыми теннисными мячами. Для каждой игры берут три мяча; после игры их кладут обратно. При выборе мячей, мячи бывшие в употреблении, от ни разу не использованных не отличаются.

Какова вероятность того, что после трех игр в коробке не останется мячей, не побывавших в игре?

Задача 22. Вычислительный центр, который должен производить непрерывную обработку информации, располагает двумя вычислительными устройствами. Известно, что каждое из них имеет вероятность отказа за некоторое время, равную 0,2.

Требуется определить вероятность: а) того, что откажет только одно устройство; б) не откажет ни одно из устройств.

Задача 23. Абонент забыл последнюю цифру номера телефона и поэтому набирает ее наудачу.

Определить вероятность того, что ему придется звонить не более чем в четыре места.

Задача 24. Из полной колоды карт (52 листа) вынимаются сразу 4 карты.

138

Найти вероятность того, что все эти четыре карты будут разных мастей. Задача 25. Вероятность поражения стрелком мишени при каждом

выстреле равна 0,9. Найти вероятность того, что в серии из четырех выстрелов будет меньше

четырех промахов.

Задача 26. Двое играют в шахматы. Игра проводится до выигрыша одним из игроков двух партий подряд. Вероятность выигрыша партии каждым игроком равна 0,5 и не зависит от исхода предыдущих партий.

Найти вероятность того, что игра окончится до четвертой партии.

Задача 27. При включении зажигания двигатель начинает работать с вероятностью 0,95.

Найти вероятность того, что для ввода двигателя в работу придется включать зажигание не более трех раз.

Задача 28. Электрическая цепь между точками M и N составлена по схеме, приведенной на рисунке. Выход из строя за время T различных элементов цепи – независимые события, имеющие следующие вероятности:

Определить вероятность разрыва цепи за указанный промежуток

времени.

элемент K1 K2 1 2 3

вероятность 0,6 0,5 0,4 0,7 0,9

139

Задача 29. Продукция может быть получена из доброкачественных дета-лей, изготовленных из заготовок с применением двух технологий; в первом случае заготовка проходит три технологические операции, вероятности полу-чения брака при каждой из которых равны соответственно 0,1, 0,2, 0,3. Во втором случае имеются две операции, вероятности получения брака при ко-торых одинаковы и равны 0,3.

Определить, какая технология обеспечивает большую вероятность получе-ния первосортной продукции из заготовки, если в первом случае для доброка-чественной детали вероятность получения из нее первосортной продукции равна 0,9, а во втором 0,8.

Задача 30. Устройство состоит из трех элементов, работающих независимо. Вероятности безотказной работы за время T первого, второго и третьего элементов соответственно равны 0,6; 0,7 и 0,8.

Найти вероятности того, что в промежутке времени T будут безотказно работать:

а) только один элемент; б) ровно два элемента.

Тема 2

Формула полной вероятности и формула Байеса

Будем говорить, что события H1, H2, … Hn образуют полную группу, если в результате эксперимента:

-происходит одно из событий Hi , i=1,…, n. -события H1, H2, …, Hn попарно несовместны.

В этом случае имеем: P(H1 + H2 + … + Hn ) = P(H1) + P(H2) + … + P(Hn) = 1, и вероятность произвольного события А, произошедшего в условиях данного эксперимента может быть вычислена по формуле полной вероятности:

1( ) ( ) ( / ).i

n

ii

P A P H P A H

События H1,…,Hn часто называют гипотезами (см. с. 21-23 учебного пособия).

Пример 1. В коробке находится 4 новых и 3 старых теннисных мяча. Для первой игры берут случайным образом 2 мяча, после игры кладут их обратно.

Какова вероятность того, что 2 мяча, взятые для 2-ой игры будут новые?

Решение. Рассмотрим следующие гипотезы: H1 - для первой игры взяты 2 новых мяча; H2 - для первой игры взяты 1 новый и 1 старый мячи;

140

H3 - для первой игры взяты 2 старых мяча. Событие А заключается в том, что для второй игры взяли 2 новых мяча. Используя классическое определение вероятности (слова – “случайным

об-разом“ позволяют считать, что исходы равновозможны) имеем: 24

1 27

2( ) ;7

CP HC

1 14 3

2 27

4( ) ;7

C CP HC

23

3 27

1( ) ;7

CP HC

22

1 27

1( / ) ;2 1

CP A HC

23

2 27

( / ) 1 ;7CP A HC

24

3 27

2( / ) .7CP A HC

Отсюда: .14720

72

71

71

74

211

72)( AP

Пусть H1, H2, … Hn - полная группа событий и известно, что в

результате эксперимента произошло событие А, тогда условная вероятность того, что произошло событие Нi - одно из событий полной группы, вычисляется по формуле Байеса:

1 1

( ) ( / )( / ) , 1,..., .( ) ( / ) ... ( ) ( / )

i ii

n n

P H P A HP H A i nP H P A H P H P A H

Пример 2. Два стрелка по одному разу стреляли по мишени. Известно, что один попадает с вероятностью 0,8; второй - с вероятностью 0,6. После стрельбы в мишени оказалась одна пробоина.

Какова вероятность того, что попал второй стрелок? Решение. Выберем гипотезы следующим образом: H1 - не попал ни первый стрелок, ни второй ;08,04,02,0)( 1 HP H2 - попал первый стрелок и не попал второй ;32,04,08,0)( 2 HP H3 - не попал первый стрелок и попал второй ;12,06,02,0)( 3 HP H4 - попали оба стрелка .48,06,08,0)( 4 HP Тогда, если А - событие, состоящее в том, что один стрелок

попал, то: P(А/H1) = 0, P(А/H2) = 1, P(А/H3) = 1, P(А/H4) = 0. Очевидно, что нам надо вычислить вероятность события Н3 при условии,

что произошло событие A: 3 3

31 1 2 2 3 3 4 4

( ) ( / )( / )( )( / ) ( ) ( / ) ( ) ( / ) ( ) ( / )

0,12 0,12 3 .0,12 0 0,32 1 0,12 1 0, 48 0 0, 44 11

P H P A HP H AP H A H P H P A H P H P A H P H P A H

Замечание. В рассмотренном примере мы воспользовались независимостью экспериментов: 1 стреляет первый стрелок и 2 стреляет второй стрелок, которая следует из того, что вероятности попаданий фиксированы. Задача 1. Два стрелка Иванов и Петров, имеющие по два заряда, поочерёдно стреляют в мишень. Вероятность попадания при одном выстреле

141

равна 2/3 для Иванова и 5/6 для Петрова. Первый стрелок определяется по жребию. Для этого кидается монета и, если выпадает герб, то начинает Иванов, а, если цифра, то первым стреляет Петров. Выигрывает стрелок, попавший первым.

Какова вероятность выигрыша для Петрова?

Задача 2. Два стрелка A и B поочерёдно стреляют в мишень до первого попадания, но не более двух раз каждый. Вероятность попадания при одном выстреле для A равна 0,8, для B – 0,6. Первый стрелок определяется жребием: кидается монета и, если выпадает герб, то первым стреляет A, если цифра, то B. В результате стрельбы выиграл стрелок B.

Какова вероятность, что он стрелял первым?

Задача 3. Два стрелка стреляют по одному разу, независимо друг от друга, выбирая одну из двух мишеней Вероятность выбора 1-ой мишени для них 0,5 и 2/3 соответственно, а вероятность попадания в выбранную мишень 0,8 и 0,9.

Какова вероятность ровно одного попадания во вторую мишень?

Задача 4. Два игрока A и B один раз бросают кость и затем два раза монету. Если на кости выпадает 1 или 2, то выигрывает игрок A, если при подбрасываниях монеты появится хотя бы один герб, и игрок B, если гербов не появится. Если же на кости выпадает число, большее двух, то игрок А выигрывает, если появятся два герба, и игрок B в остальных случаях.

Справедлива ли игра?

Задача 5. В двух пакетах находятся конфеты. В первом пакете 16 штук сорта «Белочка» и 8 штук сорта «Жар-птица», во втором 15 сорта «Белочка» и 5 сорта «Жар-птица». Из первого пакета во второй переложили две конфеты, взятые случайным образом, содержимое второго пакета перемешали и вытащили оттуда одну конфету, которая оказалась «Жар-птицей».

Какова вероятность, что из первого пакета во второй переложили одну «Белочку» и одну «Жар-птицу»?

Задача 6. Берут две колоды карт по 52 карты и из первой во вторую перекладывают случайным образом 2 карты. Затем из второй колоды берётся одна карта.

Какова вероятность, что она окажется дамой?

Задача 7. Среди трёх игральных костей одна фальшивая. На фальшивой кости шестёрка появляется с вероятностью 1/3. Бросили две кости и выпали две шестерки.

Какова вероятность, что среди брошенных костей была фальшивая?

142

Задача 8. Ракета накрывает цель с вероятностью 2/3. По цели выпущено две ракеты. Известно, что при одном попадании цель поражается с вероятностью 1/2, а при двух с вероятностью 65 . Цель поражена.

Какова вероятность, что в неё попала ровно одна ракета?

Задача 9. Кость А имеет две белые и четыре красные грани, кость В две красные и четыре белые. Сначала бросается монета. Если выпадает герб, то бросают кость А, если цифра, то кость В.

Какова вероятность того, что выпадет красная грань?

Задача 10. 30% телевизоров поступает в магазин с первой фабрики, 20% со второй и остальные с третьей. Брак на этих фабриках составляет 5%, 3% и 4% соответственно. Купленный телевизор оказался бракованным.

Какова вероятность того, что он поступил с третьей фабрики?

Задача 11. Взяли две колоды по 52 карты и случайным образом переложили две карты из первой колоды во вторую. Затем из второй колоды вытащили одну карту, которая оказалась картой пиковой масти. Какова вероятность того, что среди переложенных карт не было карт пиковой масти?

Задача 12. Готовясь к экзамену, студент должен был подготовить ответы на две серии вопросов, каждая из которых содержала по 10 вопросов. Он выучил 9 вопросов первой серии и 8 второй. Экзаменатор случайно выбирает серию вопросов и два вопроса из нее, на оба из которых студент должен ответить.

Каковы шансы, что студент сдаст экзамен?

Задача 13. В трёх одинаковых урнах находятся шары: в первой с номерами от 1 до 9 , во второй от 10 до 20 и в третьей от 21 до 30 включительно. Из случайно взятой урны берётся шар и оказывается, что его номер делится на 5.

Какова вероятность, что этот шар взят из первой урны?

Задача 14. В трёх одинаковых урнах находятся шары: в первой с номерами от 10 до 25 , во второй от 26 до 32 и в третьей от 33 до 45 включительно. Из случайно взятой урны берётся шар.

Какова вероятность, что его номер будет простым числом?

Задача 15. Игроки могут с равной вероятностью играть в одну из двух игр. В одной игре используется одна игральная кость, а в другой – две. Счёт в игре в первом случае равен количеству очков, выпавших на кости, а во втором – сумме очков, выпавших на обеих костях. Вы слышите, что выпало два очка.

Какова вероятность, что играют в игру с одной костью?

143

Задача 16. На трёх дочерей Аню, Катю и Анфису в семье возложена обязанность по мытью тарелок. Аня, как старшая, выполняет 40% всей работы, остальную работу Катя и Анфиса делят пополам. Вероятность того, что Аня разобьёт хотя бы одну тарелку равна 0,02, для Кати и Анфисы эта вероятность равна 0,03 и 0,02 соответственно. Родители слышали звон разбитой посуды.

Какова вероятность, что тарелки мыла Аня?

Задача 17. Первая урна содержит 3 красных, 2 белых и 1 синий шар. Вторая урна содержит 4 белых и 2 синих шара. Бросается игральная кость. Если на ней выпало 1 или 6 очков, вынимается шар из первой урны, в противном случае – из второй. Вытащен синий шар.

Какова вероятность, что он взят из второй урны?

Задача 18. Если при бросании кости выпадает больше 2-х очков, то вынимают 2 шара из первой урны, содержащей 1 красный и 4 чёрных шара. Иначе два шара берутся из второй урны, содержащей 3 красных и 2 чёрных шара. Вытащили 1 красный и 1 чёрный шар.

Какова вероятность, что они взяты из первой урны?

Задача 19. Имеются три одинаковых ящика. В первом ящике лежат 2 белых и 2 чёрных шара; во втором ящике - 3 чёрных; в третьем - 1 чёрный и 5 белых. Некто, случайным образом выбирая ящик, наугад вынимает из него шар.

Какова вероятность, что шар будет белый?

Задача 20. На шахматную доску 4Ч4 ставят два коня. Какова вероятность того, что они бьют друг друга?

Задача 21. На шахматную доску 4Ч4 ставят два ферзя.

Какова вероятность того, что они бьют друг друга?

Задача 22. На шахматную доску 4Ч4 ставят два слона. Какова вероятность того, что они не бьют друг друга?

Задача 23. На шахматную доску 4Ч4 ставят две ладьи. Какова вероятность того, что они бьют друг друга?

Задача 24. Некто, выходя из точки А, на перекрёстках равновероятно

выбирает любую дорогу кроме той, по которой пришёл.

144

Какова для него вероятность попасть в точку В? Задача 25. Некто, выходя из точки А, на перекрёстках равновероятно

выбирает любую дорогу кроме той, по которой пришёл.

Какова вероятность того, что он попадёт в точку В?

Задача 26. На "жульнической" кости 5 и 6 очков выпадают с вероятностью (5) (6) 1 3P P . Остальные грани выпадают с равными вероятностями.

Какова вероятность выиграть этой костью против "честной" кости, если каждый игрок бросает свою кость один раз?

Задача 27. Половина всех арбузов поступает в магазин с 1 базы, 1/3 - со 2 базы, остальные - с 3 базы. Арбузы с повышенным содержанием нитратов составляют на 1 базе 15%, на 2 базе - 10%, на 3 - 20%.

Какова вероятность купить недоброкачественный арбуз?

Задача 28. В одном ящике было 3 чёрных и 2 белых шара, в другом - 1 черный и 4 белых. Некто унёс один шар, взяв его наугад из случайно выбранного ящика.

Какова теперь вероятность вынуть наугад чёрный шар?

Задача 29. Три стрелка случайным образом распределяют между собой 3 заряда, один из которых холостой. Стрелки попадают в мишень с вероятностями 1/2, 3/4 и 7/8 соответственно.

Какова вероятность хотя бы одного попадания в мишень?

Задача 30. Из 4-х игральных костей одна фальшивая. На ней 6 очков выпадает с вероятностью 1/3. При бросании случайно выбранной кости выпала шестёрка.

Какова вероятность того, что была выбрана фальшивая кость?

Тема 3

Повторение опытов (схема Бернулли). Пусть проводятся n независимых опытов (экспериментов), в каждом из

которых событие A может наступить с вероятностью p. Обычно появление A называют успехом.

145

Обозначим через q = 1 - p – вероятность того, что событие A не наступает (неудача), и через ( )nB m – событие, заключающееся в том, что в серии из п опытов ровно m опытов закончатся успешно (ровно m раз произойдет событие A).

Тогда для любого m = 0, 1, . . . , n справедлива формула Бернулли (см. с. 23 учебного пособия). P( ( )nB m )= - .!, !( )!

m m n m mn n

nгде m n mC p q C

Пример. Пусть правильная монета подбрасывается 5 раз. Какова вероятность, что появилось больше гербов, чем цифр? Решение. Здесь событие А – появление герба при одном подбрасывании

монеты. P(A)=1/2 в любом из 5 опытов (подбрасываний), n=5, m – количество появившихся гербов. Пусть B – событие, состоящее в том, что гербов появилось больше, чем цифр. Событию B соответствуют значения m : 3, 4 и 5, от-куда по формуле Бернулли будем иметь

P(B)= 3 2

3 4 55 5 5

4 1 5 01 112 2

1 1 1 1 10 5 1 11 1 .2 2 2 2 32 32 32 2

C C C

Задача 1. Производиться испытание пяти приборов, каждый из которых

выходит из строя с вероятностью 0,1. Найти вероятность того, что хотя бы два прибора выйдут из строя при

испытании.

Задача 2. Производиться 4 выстрела по мишени, вероятность попадания при каждом выстреле 2/3.

Найти вероятность того, что в мишень попадут не менее 2 раз.

Задача 3. Прибор содержит шесть однотипных микросхем, вероятность выхода из строя каждой в течение одного месяца 0,2.

Найти вероятность того, что в течение этого срока из строя выйдет не более половины микросхем.

Задача 4. Накопитель снабжает деталями 8 станков с ЧПУ. В течение 20 минут от каждого станка может поступить заявка на деталь с вероятностью 1/5.

Найти вероятность того, что за 20 минут на накопитель поступит не более трех заявок.

Задача 5. В ралли участвует 10 однотипных машин. Вероятность выхода из строя за период соревнований каждой из них 1/20.

Найти вероятность того, что к финишу придут не менее 8 машин.

Задача 6. Имеется 7 партий деталей, каждая из которых содержит 10% бракованных. Из каждой партии извлекают по 1 детали.

146

Найти вероятность того, что среди извлеченных деталей не менее двух бракованных.

Задача 7. Радиолокационная станция ведет наблюдение за шестью объектами в течение некоторого времени. Контакт с каждым из них может быть потерян с вероятностью 0,2.

Найти вероятность того, что хотя бы с тремя объектами контакт будет поддерживаться в течение всего времени.

Задача 8. Прибор состоит из шести однотипных блоков, но может работать при наличии в исправном состоянии не менее трех из них. За год работы каждый из блоков выходит из строя с вероятностью 0,3.

Найти вероятность того, что за год работы прибор не выйдет из строя.

Задача 9. В семье пять детей. Пусть вероятности появления на свет девочки и мальчика полагаются равными.

Найти вероятность того, что в семье не более двух девочек.

Задача 10. Обрабатывающий центр снабжается заготовками от 10 однотипных накопителей, выдающих при поступлении запроса по одной детали. Вероятность того, что на момент запроса в накопителе имеется заготовка, равна 0,9. Экономически достаточная загрузка центра обеспечивается одновременным поступлением по запросам не менее трех деталей.

Найти вероятность того, что при очередном запросе будет обеспечена достаточная загрузка.

Задача 11. Вероятность поражения самолета средствами ПВО объекта 0,6

Найти вероятность того, что из 8 атакующих объект самолетов к нему прорвется не более шести.

Задача 12. Транспортные средства оптовой базы обеспечивают за день выполнение не более трех заявок. База обслуживает 7 магазинов. Вероятность заявки от каждого из них в течение дня равна 0,3.

Найти вероятность того, что все поступившие на базу в течение дня заявки будут выполнены.

Задача 13. Производиться испытание на " самовозгорание " пяти телевизоров. Прогонка продолжается двое суток. За указанное время каждый из телевизоров перегревается и "самовозгорается" с вероятностью 0,1.

Найти вероятность того, что на момент окончания испытаний сгорит не более двух телевизоров.

Задача 14. Из урны, содержащей 20% белых и 80% черных шаров, наудачу с последующим возвращением извлекают по одному шару.

147

Найти вероятность того, что среди извлеченных шаров будет не менее четырех белых, если процедуру повторяют пять раз.

Задача 15. На участке пять одинаковых станков. Вероятность того, что в произвольный момент каждый из них свободен и готов к обработке поступив-шей детали равна 1/5. На участок для обработки поступают две детали.

Найти вероятность того, что хотя бы одна из них будет сразу же принята к обработке.

Задача 16. Известно, что при прохождении некоторого пролива при плохих метеоусловиях терпит аварию каждое двадцатое судно.

Найти вероятность того, что из восьми вошедших в шторм в этот пролив судов хотя бы три выйдут их него неповрежденными.

Задача 17. Караван из 4 судов пересекает минное поле, вероятность подрыва для каждого из судов считается равной 0,1.

Найти вероятность того, что не менее половины судов уцелеет.

Задача 18. Центр наблюдения поддерживает связь с шестью самолетами, выполняющими учебное задание при условии создания противником активных помех. Связь после ее нарушения не восстанавливается. Вероятность потери связи за период выполнения задания 0,2.

Найти вероятность того, что в момент окончания задания центр потеряет связь не более чем с третью самолетов.

Задача 19. Обрабатывающий участок состоит из пяти однотипных станков. Вероятность того, что станок исправен 0,8. Плановое задание может быть выполнено, если исправно не менее трех станков.

Найти вероятность того, что плановое задание не будет выполнено.

Задача 20. Предварительный анализ показал, что для поражения военного объекта противника необходим прорыв к нему 4 бомбардировщиков. Самолет поражается ПВО объекта с вероятностью 0,8. Атаку ведут 8 самолетов.

Найти вероятность того, что объект будет поражен.

Задача 21. Для разорения страховой фирмы необходимо, чтобы в течение года из 10 застрахованных судов хотя бы 5 затонули. Вероятность потерпеть аварию для каждого из судов 1/20.

Найти вероятность того, что страховая фирма в течение года не разориться.

Задача 22. Страховая фирма застраховала 5 однотипных самолетов, каждый на 1 млн. денежных единиц, страховой взнос за каждый самолет

148

фирма получила в размере 500 000 денежных единиц. Вероятность аварии самолета 0,01.

Найти вероятность того, что в течение страхового срока фирма будет иметь доход от этой операции.

Задача 23. Данные о состоянии погоды в некотором регионе сообщают 7 автоматических метеостанций. Для получения уверенной информации для прогноза необходима исправная работа, по крайней мере, пяти из них. В течение года каждая из станций выходит из строя с вероятностью 0,1.

Найти вероятность того, что в течение года центр обработки наблюдений будет получать достаточную для уверенного прогноза информацию.

Задача 24. На ВЦ от каждого из 10 отделов предприятия в течение рабочего дня с вероятностью 0,2 может поступить заявка на выполнение однотипных расчетов. Расчеты ведутся в ночное время, причем до начала рабочего дня может быть выполнено не более 5 заказов.

Найти вероятность того, что не все поступившие на ВЦ заказы будут выполнены.

Задача 25. Вероятность попадания в мишень при каждом выстреле 0,6. Для получения зачета достаточно, по крайней мере, трех попаданий.

Найти вероятность получить зачет по стрельбе, если делается 5 выстрелов.

Задача 26. Контроллер ОТК проверяет 4 изделия на стандартность. Вероятность того, что изделие стандартно, равна 0,8 для каждого изделия. Найти вероятность того, что более половины проверенных изделий стандартно. Задача 27. Девочка, имеющая 6 колец, бросает их на колышек по одному. Вероятность попадания при каждом броске равна 0,3.

Найти вероятность того, что не менее 4 колец попадут на колышек.

Задача 28. Производиться испытание 4 изделий на надежность. Вероятность выдержать испытание для каждого изделия 0,7.

Найти вероятность того, что испытание выдержат хотя бы два изделия.

Задача 29. Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,3. Производиться 7 независимых выстрелов. Для разрушения цели необходимо, по крайней мере, четыре попадания.

Найти вероятность разрушения цели.

Задача 30. Устройство состоит из 5 независимо работающих элементов. Вероятность отказа каждого элемента за год работы равна 0,15.

149

Найти вероятность того, что за год работы откажут менее трех элементов.

Тема 4

Дискретные случайные величины Дискретной называют случайную величину X, принимающую конечное или счетное (можно перенумеровать) число значений: x1, x2,…. Значение xk принимается с некоторой вероятностью ( ) 0k kp P X x . При этом

.1kk

p

Соответствие, которое каждому значению kx дискретной случайной величины X сопоставляет его вероятность kp , называется законом распределения случайной величины X.

Закон распределения обычно задается в виде таблицы, которая называется рядом распределения:

X x1 x2 . . . P p1 p2 . . .

Функция распределения случайной величины ( ) ( )F x P X x в дискретном случае является кусочно-постоянной и может быть найдена по формуле

( ) ( )k k

k kx x x x

F x p P X x

.

Математическим ожиданием (средним значением) дискретной случайной величины X называется число: ( ) .k k

kE X x p

Если случайная величина принимает счетное число значений, то говорят

что математическое ожидание существует, если ряд 1| |k k

kx p

сходится,

при расходимости ряда говорят, что математического ожидания не существует.

Дисперсией случайной величины X называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического

ожидания: 2M(X))-M(XD(X) . Дисперсию удобно вычислять по формуле 22 (M(X))-)M(XD(X) . Средним квадратичным отклонением случайной величины называют

квадратный корень из дисперсии: ( ) ( ).X D X Среднее квадратичное отклонение является одной из характеристик

рассеяния возможных значений случайной величины вокруг ее математического ожидания (см. с. 27-30, 32-36 учебного пособия).

150

В задачах часто используется биномиальное распределение, то есть распределение случайной величины X – числа наступления события A в п независимых опытах, в каждом из которых событие A может произойти с одной и той же вертятностью p. Случайная величина X принимает целочисленные значения m= 0, 1, …, n с вероятностями ( ) (1 )m m n m

nP X m C p p . Математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратичное

отклонение случайной величины X, распределенной по биномиальному закону, находятся по формулам ( ) , ( ) , ( )E X np D X npq X npq , где q=1- p.

Для всех вариантов расшифровка задания: ” Построить* … отклонение… ” читается так: ” Построить ряд распределения, найти функцию распределения, математическое ожидание и среднее квадратичное отклонение…”.

Задача 1. Спортсмен должен последовательно преодолеть 4 препятствия, каждое из которых преодолевается им с вероятностью p = 0,9. Если спортсмен не преодолевает какое-либо препятствие, он выбывает из соревнований.

Построить*…отклонение числа препятствий, преодолённых спортсменом.

Найти вероятность того, что спортсмен преодолеет: а) не более двух препятствий; б) более трёх препятствий.

Задача 2. Из коробки, в которой находятся 2 зелёных, 2 чёрных и 6 красных стержней для шариковой руки, случайным образом извлекаются 4 стержня.

Построить*… отклонение числа извлечённых стержней красного цвета.

Найти вероятность того, что при этом красных стержней будет: а) не менее трёх

б) хотя бы один.

Задача 3. База снабжает 6 магазинов. В течение дня от каждого из них с вероятностью 1/3 может поступить заявка.

Построить*… отклонение числа заявок, поступивших на базу за день. Найти вероятность того, что их будет более пяти.

Задача 4. Наблюдение за районом осуществляется тремя радиолокационными станциями (РЛС). В район наблюдений попал объект, который обнаруживается любой радиолокационной станцией с вероятностью 0,2. Построить*… отклонение числа РЛС, обнаруживших объект. Найти вероятность того, что их будет не менее двух.

151

Задача 5. Опыт состоит из четырёх независимых подбрасываний двух правильных монет, т.е. выпадение герба и цифры равновозможные события. Построить*… отклонение числа одновременного выпадения двух цифр. Найти вероятность того, что это событие произойдёт не менее трёх раз.

Задача 6. Автоматизированную линию обслуживают 5 манипуляторов. При плановом осмотре их поочередно проверяют. Если характеристики проверяемого манипулятора не удовлетворяют техническим условиям, вся линия останавливается для переналадки. Вероятность того, что при проверке характеристики манипулятора окажутся неудовлетворительными, равна 0,3. Построить*… отклонение числа манипуляторов, проверенных до остановки линии. Найти вероятность того, что до остановки линии будет проверено: а) не более двух манипуляторов б) более трёх манипуляторов.

Задача 7. На пяти карточках написаны цифры 1, 2, 3, 4, 5. Две из карточек вынимаются наугад одновременно. Построить*… отклонение суммы чисел, написанных на этих карточках. Найти вероятность того, что эта сумма будет: а) менее шести б) не менее пяти.

Задача 8. Производятся 4 независимых опыта, в каждом из которых с вероятностью 0,2; 0,4; 0,6; 0,8 соответственно может появиться случайное событие A. Построить*… отклонение числа появлений события А. Найти вероятность того, что А произойдёт не менее чем в половине опытов.

Задача 9. В коробке имеются 7 карандашей, из которых 5 красных. Из этой коробки наудачу извлекаются 3 карандаша. Построить*… отклонение числа красных карандашей в выборке. Найти вероятность того, что в выборке будет: а) хотя бы один красный карандаш б) менее двух красных карандашей.

Задача 10. Стрелок, имеющий 4 патрона, стреляет последовательно по двум мишеням, до поражения обеих мишеней или пока не израсходует все 4 патрона. При попадании в первую мишень стрельба по ней прекращается, и стрелок начинает стрелять по второй мишени. Вероятность попадания при любом выстреле 0,8.

Построить*… отклонение числа поражённых мишеней.

152

Найти вероятность того, что будет поражена хотя бы одна мишень.

Задача 11. Из ящика, содержащего 4 годных и 3 бракованных детали, наугад извлекают 4 детали.

Построить*… отклонение числа вынутых годных деталей. Найти вероятность того, что годных деталей будет: а) менее трех; б) хотя бы одна.

Задача 12. Имеется набор из четырех карточек, на каждой из которых написана одна из цифр 1, 2, 3, 4. Из набора наугад извлекают карточку, затем ее возвращают обратно, после чего наудачу извлекают вторую карточку.

Построить*… отклонение случайной величины, равной сумме чисел, написанных на вынутых карточках.

Найти вероятность того, что эта сумма: а) не превзойдет числа 4; б) будет не менее 6.

Задача 13. Три стрелка независимо друг от друга стреляют в цель. Вероятность попадания каждым стрелком в цель равна 0.6.

Построить*… отклонение числа попаданий, если каждый стрелок делает только один выстрел.

Найти вероятность того, что: а) будет хотя бы одно попадание; б) будет не более одного попадания.

Задача 14. Три стрелка независимо друг от друга стреляют каждый по своей мишени один раз. Вероятности попадания при одном выстреле у стрелков равны соответственно:

1 2 30,3; 0,6; 0,7.p p p Построить*… отклонение числа пораженных мишеней. Найти вероятность того, что пораженных мишеней будет: а) хотя бы одна; б) менее двух.

Задача 15. Опыт состоит из трех независимых подбрасываний одновременно трех монет, каждая из которых с одинаковой вероятностью падает гербом или цифрой вверх.

Построить*… отклонение числа одновременного выпадения двух гербов.

153

Найти вероятность того, что два герба одновременно выпадут хотя бы один раз.

Задача 16. На пути автомобиля 5 светофоров, каждый из них автомобиль проезжает с вероятностью 0,6.

Построить*… отклонение числа светофоров, которые автомобиль проезжает до первой остановки.

Найти вероятность того, что до первой остановки автомобиль проедет:

а) хотя бы один светофор; б) более трех светофоров.

Задача 17. Из урны, в которой было 4 белых и 2 черных шара, переложен один шар в другую урну, в которой находилось 3 черных шара и один белый. После перемешивания из последней урны вынимают 3 шара.

Построить*… отклонение числа черных шаров, вынутых из второй урны.

Найти вероятность того, что из нее будет извлечено: а) по крайней мере, два черных шара; б) не более двух черных шаров.

Задача 18. Стрелок стреляет по мишени до трех попаданий или до тех пор, пока не израсходует все патроны, после чего прекращает стрельбу. Вероятность попадания при каждом выстреле равна 0,6.

Построить*… отклонение числа выстрелов, произведенных стрелком, если у стрелка имеется 5 патронов.

Найти вероятность того, что стрелок произведет, по крайней мере, четыре выстрела.

Задача 19. Ракетная установка обстреливает две удаленные цели. Вероятность попадания при каждом выстреле равна 0,6. Цель при попадании в нее уничтожается. Запуск ракет прекращается после уничтожения обеих целей или после использования имеющихся пяти ракет.

Построить*… отклонение числа запущенных ракет. Найти вероятность того, что при этом будет запущено: а) не более трех ракет; б) от двух до четырех ракет.

154

Задача 20. Три ракетные установки стреляют каждая по своей цели независимо друг от друга до первого попадания, затем прекращают стрельбу. Каждая ракетная установка имеет две ракеты. Вероятность попадания одной ракеты для первой установки – 0,4, для второй – 0,5, для третьей – 0,6.

Построить*… отклонение числа ракетных установок, у которых осталась неизрасходованная ракета.

Найти вероятность того, что будет хотя бы одна такая установка.

Задача 21. Батарея состоит из трех орудий. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,9 для одного из орудий и 0,6 для каждого из двух других. Наугад выбирают два орудия, и каждое из них стреляет один раз.

Построить*… отклонение числа попаданий в мишень. Найти вероятность: а) хотя бы одного попадания в мишень; б) хотя бы одного непопадания в мишень.

Задача 22. Группа состоит из пяти отличных, пяти хороших и десяти посредственных студентов. Вероятность правильного ответа на один вопрос экзаменационной программы равна 0,9 для отличного студента, 0,7 для хорошего студента и 0,6 для посредственного студента.

Построить*… отклонение числа правильных ответов на два вопроса наугад выбранного билета одним случайно выбранным студентом данной группы. Найти вероятность того, что правильным будет ответ хотя бы на один вопрос.

Задача 23. С вероятностью попадания при одном выстреле 0,7 охотник стреляет по дичи до первого попадания, но успевает сделать не более четырех выстрелов.

Построить*… отклонение числа промахов. Найти вероятность того, что промахов будет: а) менее двух; б) не менее трех.

Задача 24. Рабочий обслуживает 4 независимо работающих станка. Вероятность того, что в течение часа станок потребует внимания рабочего, равна для первого станка 0,7, для второго – 0,75, для третьего – 0,8 для четвертого – 0,9.

155

Построить*… отклонение числа станков, которые потребуют внимания рабочего.

Найти вероятность того, что таких станков будет не более половины.

Задача 25. Монету подбрасывают 6 раз. Построить*… отклонение разности числа появлений герба и

числа появлений цифры. Найти вероятность того, что эта разность будет менее двух.

Задача 26. В кошельке лежат 5 монет по 1 руб., две монеты по 2 руб. и три монеты по 5 руб.

Построить*… отклонение количества рублей, извлеченных из кошелька, если из него извлекают наугад две монеты.

Найти вероятность того, что будет извлечено: а) не менее четырех рублей; б) более семи рублей.

Задача 27. Производится по два последовательных выстрела по каждой из трех целей. Вероятность попадания при одном выстреле в любую цель равна 0,7. При попадании в цель стрельба по ней прекращается, неизрасходованный патрон при стрельбе по другим целям не используется.

Построить*… отклонение числа пораженных целей. Найти вероятность того, что будет поражено хотя бы две цели.

Задача 28. Для контроля трех партий деталей выбираются случайным образом две партии, и из каждой из них берут наугад одну деталь.

Построить*… отклонение числа бракованных деталей, среди двух выбранных, если в первой партии 2/3 недоброкачественных деталей, во второй 1/3, а в третьей бракованных деталей нет.

Найти вероятность того, что среди этих двух деталей будет хотя бы одна доброкачественная.

Задача 29. Имеются два одинаковых ящика с деталями. В первом ящике содержатся 8 деталей, из них 3 бракованных, во втором – 4 детали, из них – 2 бракованных. Из одного ящика вынимают 3 детали.

Построить*… отклонение числа бракованных деталей среди трех вынутых, если выбор ящиков равновероятен.

156

Найти вероятность того, что будет вынуто не более двух бракованных деталей.

Задача 30. Два студента сдают экзамен, отвечая на два вопроса программы, независимо друг от друга. Вероятность правильного ответа на любой вопрос программы для первого студента – 0,6, для второго – 0,8. При неправильном ответе на вопрос экзамен прекращается.

Построить*… отклонение числа студентов, пытавшихся ответить на оба вопроса.

Найти вероятность того, что будет хотя бы один такой студент.

Тема 5

Непрерывные случайные величины Случайная величина X называется непрерывной случайной величиной, если существует неотрицательная функция f (x) такая, что при любом x выполнено соотношение

( ) ( )x

F x f t dt

, (1)

где, как и раньше, F(x) = (X x) – функция распределения случайной величины X. Функция f (x) называется плотностью распределения (или плотностью распределения вероятностей) случайной величины X (см. с. 31-32, 34-41 учебного пособия). Из (1) следует, что F(x) является непрерывной функцией. Напомним, что, кроме того, функция распределения является неубывающей функцией и

F (x) 1; F (- ) = 0; F (+) =1; (a X b) = F ( b) -- F ( a). Плотность распределения обладает следующими свойствами

-( ) 1, ( ) '( )f x dx f x F x

, если производная F΄(x) существует.

Вероятность попасть на промежуток можно найти, интегрируя плотность распределения (это свойство и свойство (1) эквивалентны)

( ) ( ) .b

aP a X b f x dx

Математическое ожидание (среднее) непрерывной случайной величины X определяется равенством

-( ) ( )E X x f x dx

. Дисперсия непрерывной

случайной величины X определяется равенством 2( ) ( )( ( ))D X f x dxx E x

или 22( ) ( ) ( ( ))D X f x dx E Xx

,

среднее квадратичное отклонение Х равенством ( ) ( )X D X .

157

Задача 1. Плотность распределения случайной величины X имеет вид f (x) = a x 2 e - k x , где k > 0 x .

Найти: а) коэффициент a; б) функцию распределения случайной величины X;

в) вычислить вероятность попадания случайной величины X на интервал (0 k/1 ). Задача 2. Случайная величина X имеет функцию распределения

2

16

0, 0

0 2( )

7 / 4 2 11/ 4

1, 11/ 4

при

при

при

при

;

, ;

, ;

.

x

x xF x

x x

x

Найти а) плотность распределения f (x), построить графики F (x) и f (x) б) математическое ожидание E(X) и дисперсию D(X);

в) вероятность попадания случайной величины X на отрезок 115 Задача 3. Функция распределения непрерывной случайной величины имеет вид

F (x) = A B arctg x x Найти а) постоянные A B

б) плотность распределения f (x), построить графики F (x) и f (x);

в) выяснить существует ли E(X). Задача 4. Плотность распределения случайной величины X имеет вид

2

0, при 1;( )

, при 1.

xf x A x

x

Найти а) коэффициент A б) функцию распределения F (x), построить графики F (x) и f (x); в) математическое ожидание E(X) и дисперсию D(X); г) вероятность попадания случайной величины X в интервал (2 ;

3); д) вероятность того, что при 4 независимых испытаниях

случайная величина X ни разу не попадает на отрезок 2; 3. Задача 5. График плотности распределения случайной величины X

представляет собой полуэллипс с большей полуосью “a” (a - известно).

Найти а) полуось b; б) аналитическое задание f (x); в) моменты E (X), D(X); г) вероятность ( / 2 2 )P Xa a .

158

Задача 6. Функция распределения непрерывной случайной величины X имеет вид

0, при 1;( ) arcsin , при 1 1;

1, при 1.

xF x a b x x

x

Найти а) коэффициенты а и b б) математическое ожидание E(X) и дисперсию D(X).

Задача 7. Случайная величина X распределена по закону

“прямоугольного треугольника” в интервале (0; a).

Задача 8. Функция распределения случайной величины X задана

графиком Найти математическое ожидание E(X) и дисперсию D(X). Задача 9. Случайная величина X подчинена “закону равнобедренного

треугольника” на участке - a; a.

Задача 10. Случайная величина X распределена по закону Коши

2 ( ) 1

af x x

, при x

Найти а) коэффициент a; б) функцию распределения F (x);

в) вероятность попадания случайной величины X на отрезок -11 г) выяснить существует ли E(X) Задача 11. Случайная величина X подчинена показательному закону распределения с параметром >0

Найти: а аналитическое задание f (x); б) математическое ожидание E(X),

дисперсию D(X).

Найти: а) аналитическое задание f (x); б) функцию распределения F (x); в) вероятность (a/2 X a); г) моменты E(X), D(X).

159

, при 0; ( ) 0, при 0.

x xf xx

e

Найти а) функцию распределения F (x); б) вероятность того, что случайная величина X примет

значение меньшее, чем её математическое ожидание.

Задача 12. Случайная величина X подчинена закону Лапласа | | /( ) x uf x a e , где u 0.

Найти а) коэффициент a; б) функцию распределения F (x);

в) математическое ожидание E (X) и дисперсию D (X). Задача 13. Функция распределения случайной величины X имеет вид

.при0

;0при,1 03

3

0

0

xx,

xxxx- (x) F

Найти математическое ожидание E (X) и дисперсию D (X). Задача 14. Плотность распределения случайной величины X имеет вид

2 21 , при ( , );

( ) 0, при ( , ).

x a af x a x

x a a

Найти моменты E(X), D(X); (X) и вероятность P(0 < X < 2a). Задача 15. Плотность распределения случайной величины X имеет вид

cos , при ( / 2, / 2);( )

0, при ( / 2, / 2).a x x

f xx

Найти а) коэффициент a; б) функцию распределения F (x);

в) математическое ожидание E (X) и дисперсию D (X);

г) вероятность 30 4P X

.

Задача 16. Функция распределения непрерывной случайной величины X имеет вид

, при 0; ( ) , при 0 1;

, при 1.

A xF x B x x

C x

Найти а) коэффициенты A, B, C; б) плотность распределения f (x); в) вероятность (0 X 1/2); г) математическое ожидание E (X) и дисперсию D (X);

160

Задача 17. Плотность распределения случайной величины X имеет вид

2

0, при 0;

( ) при 0 / 4;cos0, при / 4.

xAf x x

xx

Найти а) коэффициент A; б) функцию распределения F (x); в) математическое ожидание E (X);

г) вероятность ( / 8 < X < / 4). Задача 18. Дана функция

2

0, при 0;( ) (3 ), при 0 3;

0, при 3.

xf x x x x

x

Найти а) при каком функция f (x) является плотностью распре- деления некоторой случайной величины X;

б) математическое ожидание E (X) и дисперсию D (X). Задача 19. Дана плотность распределения случайной величины X

2

0, при 0;

( ) , при 0 3;3

0, при 3.

xxf x x x

x

Найти а) коэффициент ; б) функцию распределения F (x);

в) математическое ожидание E (X) и дисперсию D (X).

Задача 20. Плотность распределения случайной величины X имеет вид

3

0, при 1;

( ) , при 1 4;

0, при 4.

xaf x xx

x

Найти а) коэффициент a; б) функцию распределения F (x); в) математическое ожидание E (X) и дисперсию D (X); г) вероятность P(3 < X < 5).

Задача 21. Дана плотность распределения случайной величины X

- ( ) x x

af xe e

Найти а) коэффициент a; б) функцию распределения F (x);

161

в) вероятность (0 X ).

Задача 22. Плотность распределения случайной величины X имеет вид

sin , при [0, ]; ( )

0, при [0, ].a x x

f xx

Найти а) коэффициент a; б) функцию распределения F (x); в) математическое ожидание E (X) и дисперсию D (X); г) вероятность P (/2 < X < 3/2).

Задача 23. Плотность распределения случайной величины X имеет вид

23 4544

0, при 3;

( ) 6 , при 3 5;

0, при 5.

x

xf x x x

x

Найти: а) функцию распределения F (x); б) математическое ожидание E (X) и дисперсию D (X).

Задача 24. Плотность распределения случайной величины X имеет вид

2

1 , при ( 3, 3);( ) 9

0, при ( 3, 3).

x f x x

x

Найти а) математическое ожидание E (X) и дисперсию D (X); б) что вероятнее: в результате испытания окажется, что случай- ная величина X < 1 или что случайная величина X > 1?

Задача 25. Пусть задана функция распределения непрерывной случайной величины X

3

0, при 0;( ) , при 0 1;

1, при 1.

xF x a x x

x

Найти а) коэффициент a; б) плотность распределения случайной величины f (x); в) математическое ожидание E (X) и дисперсию D (X); г) вероятность (X (0,2; 0,8)). д) построить графики функций f (x) и F (x).

Задача 26. Дана плотность распределения случайной величины X

162

2

0, при 0;( ) (4 ), при 0 4;

0, при 4.

xf x A x x x

x

Найти: коэффициент A, функцию распределения F (x) и (- 2 X 3). Задача 27. Случайная величина R – расстояние от точки попадания до центра мишени, распределена по закону Рэлея

2 2, при 0;( ) 0, при 0.

h rA r e rf rr

Найти коэффициент A; моменты E(R) и D(R); моду R, то есть точку максимума плотности распределения случайной величины R. Задача 28. Плотность распределения случайной величины X имеет вид

1, при , ; ( )

10 , при , .

c x ex ef x

x ee

e = 2,71…

Найти а) коэффициент c; б) функцию распределения F (x); в) математическое ожидание E (X) и дисперсию D (X); г) вероятность 3

2 2X eP e

Задача 29. Плотность распределения случайной величины X имеет вид

arctg , при [0,1];( )0, при [0,1].c x xf x

x

Найти а) коэффициент c; б) функцию распределения F (x);

в) математическое ожидание E (X).

Задача 30. Плотность распределения случайной величины X имеет вид 2 при 2;cos ,

( )при 2.0,

xa xf x

x

Найти а) коэффициент a; б) вероятность того, что в двух независимых испытаниях

случайная величина X примет значения больше чем / 4.

Тема 6

Функции случайных величин

163

Пусть Х– случайная величина, а g=g(t)–измеримая (например, непрерывная) функция, определенная при любом значении x случайной величины X. Обозначим через Y=g(X) функцию от случайной величины X. Нас будет интересовать закон распределения случайной величины Y, при условии, что закон распределения X и функция g=g(t) известны. В разделе 6 (см. с. 51-53) учебного пособия рассмотрены - случай дискретной случайной величины Х и случай монотонной функции g = g(t) и непрерывной случайной величины X. Мы приведем некоторые общие сведения и рассмотрим пример нахождения закона распределения ( )Y g X при условии, что Х– непрерывная случайная величина, а g=g(t) произвольная измеримая функция. Пусть ( )XF u и ( )Xf u – функция распределения и плотность распределения случайной величины ,X а ( )YF v и ( )Yf v – функция распределения и плотность распределения случайной величины Y . По определению

( ) ( ).YF v P Y v Обозначим через vD множество значений ” x ” случайной величины X , для которых ( )y g x v : { : ( ) }.vD x y g x v Тогда ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) .Y X X

Dvv vF v P Y v P D P X D f t dt

Часто удобнее указать множество vD непосредственно и вычислить ( )X vP D .

Пример 1. Пусть X – непрерывная случайная величина, а g(t)=t 2. Найдем ( )YF v и ( )Yf v , где 2Y X . Если 0v , то множество vD пусто:

2{ : ( ) } .vD x Y x x v Следовательно, ( ) ( ) 0Y Yf v F v при 0v . При v > 0 множество vD имеет вид

2{ : ( ) } { }.vD x Y x x xv v v Отсюда при v > 0 получаем, что 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )Y X X XvF v P X v P D P v X v F v F v и,

дифференцируя по v, получим выражение для плотности распределения случайной величины Y через плотность случайной величины X:

1 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) .2 2 2Y X X X X X Xf v F v F v f v f v f v f v

v v v

Пример 2. Пусть случайная величина X равномерно распределена на промежутке [2, 6], а ( ) | 3 |g t t . Найдем ( )YF v и ( )Yf v , где | 3 |Y X . При

0v множество Dv пусто: { : ( ) | 3 | } .vD x Y x x v Следовательно, при 0v плотность распределения ( ) ( ) 0Y Yf v F v . При v > 0 множество Dv имеет вид

{ : ( ) |3 | } { 3 } {3 3 }.vD x Y x x v v x v v x v Отсюда при v > 0

164

( ) (| 3 | ) ( ) (3 3 ) (3 ) (3 ).Y X X XvF v P X v P D P v X v F v F v Укажем функцию распределения ( )XF u равномерного на [2,6] распределения:

0, 2;2( ) , 2 6;

41, 6.

X

при uuF u при u

при u

При v > 0 выражение 3 – v всегда меньше трех, а при 1v имеем: 3 2.v

Следовательно, 0, 1;

(3 ) 1 , 0 1 .4

X

при vF v v при v

Для того чтобы получить это выражение мы рассмотрели в качестве аргумента “u” функции ( )XF u величину u = 3 – v. Аналогично,

1 , 0 3,(3 ) 41, 3.

X

v при vF vпри v

Следовательно,

0, 0;

, 0 1;2( )

1 , 1 3;4 1, 3.

Y

при vv при v

F vv при v

при v

0, 0 3;1( ) , 0 1;21 , 1 3.4

Y

при v или v

f v при v

при v

Для нахождения моментов ( )Y g X –- функции от непрерывной случайной величины X можно пользоваться следующими формулами для нахождения математического ожидания ( )E Y :

( ) ( ( )) ( ) ( ) ( ) , (2)X Y

R R

E Y E g X g u f u du v f v dv а

также определением и свойствами моментов (например, D(X)=E(X-E(X)) 2 ).

Пример 3. Пусть 2( , )X N a , то есть случайная величина X имеет нормальное

распределение с параметрами а и 2 . Напомним, что ( ) ,E X a 2( )D X , а

плотность распределения имеет вид 2 21( ) exp( ( ) / 2 )2Xf t t a

.

Пусть 2( ) 3g t t и Y = g(X), Z = 3 X - 2Y + 5, T=2X+3. Найдем ( )E Z и ковариацию K(X,T). Используя свойства математического ожидания и выражение дисперсии через начальные моменты (см. с. 33, 35 учебного пособия), будем иметь

165

2 2

2 2 2

( ) (3 2 5) 3 ( ) 2 ( ) 5 3 2 ( 3 ) 5 3 6 ( ) 56 3 6 5. , 1, 2 ( ) 20.

E Z E X Y E X E Y a E X a E Xa a Например при a имеем E Z

Коэффициент корреляции r(X,T) = 1 (см. с. 49), откуда K(X,T)= σ(X)σ(T)=2σ2 (мы воспользовались тем, что D(aX+b)=a2D(X) для любых постоянных a и b).

Пример 4. В условиях предыдущего примера при 21, 2a найти (| 1|)E X . Для нахождения математического ожидания воспользуемся первой

частью формулы (2) и приведенным выше выражением для плотности 2( , )X N a .

21(| 1|) | 1| exp( ( 1) / 4)2 R

E X t t dt

1

21 ( 1)exp( ( 1) / 4)2

t t dt

2

1

( 1)exp( ( 1) / 4) .t t dt

Сделаем

замену переменных ( 1)/ 2t y и ( 1) / 2t y в первом и втором интегралах соответственно, тогда имеем

02 2

0( | 11|) exp( / 2) exp( / 2)E X y y dy y y dy

2 200

2 2 2exp( / 2) exp( / 2) .y y dy y

Задача 1. Функция распределения ( )XF t случайной величины X имеет

вид 1 exp( 2 ), 0,( )0, 0.X

t если tF tесли t

Случайные величины Y = 2 /X и Z = 2 X + 5 являются функциями от случайной величины X.

Найти: а) плотность распределения ( )Yf t случайной величины Y; б) моменты ( ), ( ), ( , )E Z D Z K X Z .

Задача 2. Функция распределения ( )XF t случайной величины Х имеет вид

1 exp( ), 0,( )0, 0.X

t если tF tесли t

Случайные величины Y = X 2 и Z = -3 Х + 2 являются функциями от случайной величины X.

166

Найти: а) плотность распределения ( )Yf t случайной величины Y; б) моменты E(Z), D(Z), K(X, Z).

Задача 3. Функция распределения ( )XF t случайной величины Х имеет вид:

1 exp( 3 ), 0,( )0, 0.X

t если tF tесли t

Случайные величины 2 22 1 2 9 2 1иY X Z X Y XY X являются функциями случайной величины Х. Найти: а) функцию распределения ( )YF t случайной величины Y;

б) математическое ожидание E(Z).

Задача 4. Функция распределения ( )XF t случайной величины Х имеет вид:

1 exp( 2 ), 0,( )0, 0.X

t если tF tесли t

Случайные величины 1 exp( 2 )Y X и 2 22 2 3 1Z X Y XY Y являются функциями случайной величины Х.

Найти: а) функцию распределения ( )YF t случайной величины Y; б) математическое ожидание E(Z).

Задача 5. Случайная величина Х имеет стандартное нормальное распределение. Случайные величины Y = - X + 2 и 2 22 2 3 1Z X Y XY Y являются функциями от случайной величины Х.

Найти: а) плотность распределения ( )Yf t случайной величины Y; б) математическое ожидание E(Z).

Задача 6. Случайная величина Х имеет нормальное распределение с параметрами а =1, =2. Случайные величины Y = (X - 1) / 2 и

2 22 2 2 2Z X Y XY X являются функциями от случайной величины Х. Найти: а) плотность распределения ( )Yf t случайной величины Y;

б) математическое ожидание E(Z).

Задача 7. Случайная величина Х имеет стандартное нормальное распределение. Случайные величины Y = X 2 и Z = 3 X 2 + Y 2 – 2 X + Y +1 являются функциями от случайной величины Х.

Найти: а) плотность распределения ( )Yf t случайной величины Y; б) математическое ожидание E(Z).

Задача 8. Случайная величина Х имеет нормальное распределение с параметрами a = -1, = 3. Случайные величины Y = Х+1| и Z = 2 X 2 – Y 2/ 3 - X + 2Y + 1 являются функциями от случайной величины Х.

167

Найти: а) плотность распределения ( )Yf t случайной величины Y; б) математическое ожидание E(Z).

Задача 9. Плотность распределения fX (t) случайной величины Х имеет вид:

1/3, 1,4 ,( )

0, 1,4 .X

если tf t

если t

Случайные величины Y = FX (X), где FX ( t) - функция распределения случай-ной величины Х, и Z= 3 X 2 - 2Y 2 + X Y + Y - 1 являются функциями от случайной величины Х.

Найти: а) функцию распределения FY ( t) случайной величины Y; б) математическое ожидание E(Z).

Задача 10. Плотность распределения fX (t) случайной величины Х имеет

вид: 1/ 2, 2,4 ,

( )0, 2,4 .X

если tf t

если t

.

Случайные величины Y= Х 2 и Z = 3 X - 1 являются функциями от случайной величины Х.

Найти: а) функцию распределения FY (t) случайной величины Y; б) моменты E(Z), D(Z), K(X,Z).

Задача 11. Плотность распределения fX (t) случайной величины Х имеет

вид: 1/ 2, 1, 1 ,

( )0, 1, 1 .X

если tf t

если t

Случайные величины Y = Х 2 и Z= - 2 X + 3 являются функциями от случайной величины Х.

Найти: а) функцию распределения FY (t) случайной величины Y; б) моменты E(Z), D(Z), K(X,Z).

Задача 12. Плотность распределения fX (t) случайной величины Х имеет

вид: 1/ 4, 1, 3 ,

( )0, 1, 3 .X

если tf t

если t

Случайные величины Y = Х 2 и Z = 2 X - 2 являются функциями от случайной величины Х.

Найти: а) плотность распределения fY (t) случайной величины Y; б) моменты E(Z), D(Z), K(X, Z).

Задача 13. Плотность распределения fX (t) случайной величины Х имеет

вид: , 2, 5 ,

( )0, 2, 5 .X

A если tf t

если t

Случайные величины Y= 3 Х - 2 и Z = - X - 3 являются функциями от случайной величины Х.

168

Найти: а) постоянную А; б) функцию распределения FY (t) случайной величины Y; в) моменты E(Z), D(Z), K(X, Z).

Задача 14. Плотность распределения fX (t) случайной величины Х имеет

вид: 4 , 1,( )

0, 1.X

c если ttf t

если t

Случайные величины Y = ln X и Z = 2 X + 3 являются функциями от случайной величины Х.

Найти: а) постоянную с; б) плотность распределения fY (t) случайной величины Y; в) моменты E(Z), D(Z), K(X, Z).

Задача 15. Функция распределения FX (t) случайной величины Х имеет

вид: 1 exp( 2 ), 0,( )0, 0.X

t если tF tесли t

Случайные величины XY и 2 5Z X являются функциями от случайной величины Х.

Найти: a) плотность распределения fY (t) случайной величины Y; б) моменты E(Z), D(Z), K(X, Z).

Задача 16. Функция распределения FX (t) случайной величины Х имеет

вид: 1 exp( 2 ), 0,( )0, 0.X

t если tF tесли t

Случайные величины ln 2XY и 4 5Z X являются функциями от

случайной величины Х. Найти: a) плотность распределения fY (t) случайной величины Y;

б) моменты E(Z), D(Z), K(X, Z).

Задача 17. Плотность распределения fX (t) случайной величины Х имеет

вид: 2exp( 2 ), 0,( )0, 0.Xf

t если ttесли t

Случайные величины exp( 2 )Y X и 4 3Z X являются функциями от случайной величины Х.

Найти: a) функцию распределения FY (t) случайной величины Y; б) моменты E(Z), D(Z), K(X, Z).

Задача 18. Функция распределения ( )XF t случайной величины Х имеет

вид: 1 exp( 3 ), 0,( )0, 0.X

t если tF tесли t

169

Случайные величины exp( )Y X и 23 2 1Z X Y X являются функциями от случайной величины Х.

Найти: a) плотность распределения fY (t) случайной величины Y; б) математическое ожидание E(Z).

Задача 19. Плотность распределения fX (t) случайной величины Х имеет вид:

2( )1Xf ct

t

.

Случайная величина Y = 1/X является функцией от случайной величины Х. Найти: а) постоянную с; б) плотность распределения fY (t) случайной величины Y. Задача 20. Плотность распределения fX (t) случайной величины Х имеет

вид: 2 , 1,2 ,

( )0, 1,2 .X

a t если tf t

если t

Случайные величины XY и Z = 2 X –3 Y 2 + 4 являются функциями от случайной величины Х.

Найти: а) постоянную a; б) функцию распределения FY (t) случайной величины Y; в) математическое ожидание E(Z).

Задача 21. Плотность распределения fX,Y (x,y) системы случайных величин (X,Y) имеет вид:

,

exp( 3 ), 0 1, 4 ,( , )

0, 0 1, 4 .X Y

x если x и yf x y

если x или y

Случайные величины Z = 2 Y + 1 и T = 2 X – Y / 3 + 2 являются функциями от случайных величин X, Y.

Найти: а) плотность распределения fZ (t) случайной величины Z; б) дисперсию D(T).

Задача 22. Плотность распределения fX,Y (x,y) системы случайных величин (X,Y) имеет вид:

,6exp( 2 3 ), 0 0,( , )0, 0 0.X Y

x y если x и yf x yесли x или y

Случайные величины Z = 3Y - 1 и T = - 3 X + 2 Y - 1 являются функциями от случайных величин X, Y.

Найти: а) плотность распределения fZ (t) случайной величины Z; б) дисперсию D(T).

170

Задача 23. Плотность распределения fX,Y (x,y) системы случайных величин (X,Y) имеет вид:

2

,

2 ( 1)exp 2 , 0,( , ) 22

0, 0.X Y

x y если yf x y

если y

Случайные величины 2 1 и 2 4 2Z X T X Y являются функциями от случайных величин X, Y.

Найти: а) плотность распределения fZ (t) случайной величины Z; б) дисперсию D(T).

Задача 24. Плотность распределения X,Y (x,y) системы случайных величин (X,Y) имеет вид:

2

,

3 ( 1)exp 3 , 0,( , ) 33

0, 0.X Y

x y если yf x y

если y

Случайные величины Z = Y - 2 и T = 2X + Y - 5 являются функциями от случайных величин X, Y.

Найти: а) функцию распределения FZ (t) случайной величины Z; б) дисперсию D(T).

Задача 25. Случайные величины X1 и X2 независимы и имеют распределение Бернулли, задаваемые рядами распределения:

X1 0 1 P 1/2 1/2

X2 0 1 P 2/3 1/3

Найти: а) закон распределения случайной величины Y = X1 + X2; б) математическое ожидание E(2X1

2 + 3X22 - X1X2 + 2X2 - 4).

Задача 26. Случайные величины X1 и X2 независимы и имеют экспоненциальное распределение, задаваемое плотностью распределения:

.3exp(-3 ), 0,( ) 1, 20, 0,kX

t если tf t kесли t

Рассмотрим случайные величины Y=X1 + X2 и 21 1 2 12 3 3 2Z X X X X .

Найти: а) плотность распределения fY (t); б) математическое ожидание E(Z).

Задача 27. Случайные величины X1 и X2 независимы и имеют распределение Пуассона с параметрами 1 = 1 и 2 = 2.

Найти: а) закон распределения случайной величины Y=X1 + X2,

171

б) математическое ожидание случайной величины 21 1 2 12 3Z X X X X .

Напомним, что распределение Пуассона имеет дискретная случайная величина X, принимающая целочисленные значения m= 0, 1, 2, … c вероятностями

( ) , 0,1,2,...; 0.!

mP X m m

me

Задача 28. Случайные величины X1 и Х2 независимы и имеют стандартное нормальное распределение.

Найти: а) закон распределения случайной величины Y=X1 + X2 ; б) математическое ожидание случайной величины

21 1 2 22 5 2Z X X X X .

Задача 29. Определить функции распределения случайных величин Z1 = max (X,Y) и Z2 = min (X,Y), где X и Y независимые случайные величины, имеющие функции распределения FX ( t) и FY (t) соответственно. Задача 30. Плотность распределения fX,Y (x,y) системы случайных

величин (X,Y) имеет вид: 2 2

,1( , ) еxp

2 2X Yx yf x y

Найти: а) закон распределения полярных координат точки (X,Y); б) дисперсию ( 2 ).D X Y

ОГЛАВЛЕНИЕ

Типовой расчет по теории вероятностей Тема 1. Непосредственный подсчёт вероятностей в рамках классической схемы. Теоремы сложения и умножения вероятностей…………………………..3 Тема 2. Формула полной вероятности и формула Байеса ………………………..8 Тема 3. Повторение опытов (схема Бернулли) …………………………………..13 Тема 4. Дискретные случайные величины ……………………………………….17 Тема 5. Непрерывные случайные величины ……………………………………..23 Тема 6. Функции случайных величин.……………………………………………30

172

Практикум по теории вероятностей

Задача 1

Задача на схему случаев В урне 3 белых и 4 черных шара. Какова вероятность изъятия из урны трех черных шаров? n - общее число возможных случаев изъятия 3 шаров из урны. m - число благоприятных случаев. (все три шара черные)

!!!

mnmnC m

n

nmP ,

!4!3!73

7 Cn

Задача 2

Задача на не совместные события. Мишень состоит из 2-х зон, при одном выстреле вероятность попадания в зону 1=0,2, в зону 2=0,4 Найти вероятность промаха? A - попадание. A - промах. А=А1+А2; P(A)=P(A1)+P(A2)-P(A1A2); P(A1A2)=0 APAPAPAP 11

4,04,02,011 21 APAPA

Задача 3

Задача на умножение вероятностей. В урне находится 3 белых и 2 черных шара. Вынимается по 2 шара. Найти вероятность того, что оба шара белые? А1 - первый шар белый. А2 - второй шар белый. А=А1А2

3,0103

21

53

5,021

42

;53

12

1

121

AP

AAP

AP

AAPAPAP

173

Задача 4

Задача на умножение вероятностей. В урне находятся 3 белых и 2 черных шара. Вынимают по очереди 2 шара, причем первый обратно возвращают. Какова вероятность что будут вынуты оба черных шара?

36,0259

5533

5353

21

2

1

APAPAP

AP

AP

Задача 5

Задача на формулу полной вероятности. Имеется 3 урны.

В одной 2 белых и 1 черный шар Во второй 1 белый и 1 черный шар. В третьей 3 белых и 2 черных шара.

Выбирается одна из урн и из нее 1 шар. Какова вероятность, что шар черный? А - черный шар. P(A)=?

n=10 m=4 104

AP

Второй способ через формулу полной вероятности. H1; H2; H3;

52;

21;

31

31

321

321

HAPHAPHAP

HPHPHP

n

iii HAPHPAP

1

41,09037

31

AP

Задача 6

Задача на теорему о повторении опытов. Проводят 4 независимых опыта. Вероятность события в каждом из опыте равна 0,3 Построить ряд и многогранник числа событий. Введем Х-число появлений событий в результате проведенных опытов. X=X0=0 X=X1=1 X=X2=2 X=X3=3

174

X=X4=4

mnmmnnm PPCP 1, - теорема о повторении опытов.

X 0 1 2 3 4 P 0,0024 0,588 P0,4=1*1*0,74=0,0024 P1,4= 1

4C *0,31*0,73=0,588 P2,4= 1

4C *0,32*0,72= P3,4= 1

4C *0,33*0,71= P4,4= 1

4C *0,34*0,70=

Задача 7

Задача на подсчет вероятностей Мишень состоит из 4 зон, производится один выстрел. Найти вероятность промоха, если вероятность попадание в зоны известна и равна: P1=0,1 P2=0,15 P3=0,20 P4=0,25 A - попадание в мишень. A - промах. 3,07,01

7,01

1

4321

APAPAPAPAPAP

APAPAPAP

Задача 8

Задача на условную вероятность. В урне находятся 3 белых и 2 черных шара. Вынимаются 2 шара. Найти вероятность, что оба шара белые. А1 - белый шар А2 - белый шар P(A1A2)=? C=A1A2

175

103

21

53

42

;42

53

;53

12

1

12121

CP

nm

AAP

nm

AP

AAPAPAAPCP

Если первый шар возвращается в урну. P(A1)=P(A2)

259

53

53

212121 AAPAPAPAAP

Задача 9

200

20:

xилиxприxприax

xfX

a=? F(x)=? mx=? ?2 xxD

000

202

4221

21

21

222

1

2

00

2

2

0

2

0

2

0

2

xxпри

xприxxf

xttdtdttfxF

a

aaxaxdxaaxdx

dxxf

xxx

21

204

002

xпри

xприxxпри

xF

176

32

34

92

9162

242

121

68

321

21

21

2

0

42

0

322

2222

222

2

0

32

0

2

x

x

x

xxxxx

x

m

D

xdxxxM

mdxxfxmdxxfmxmXMD

xdxxdxxxfm

2