1.1 Sistemas de Numeracion

MÉTODOS NUMÉRICOSMÉTODOS NUMÉRICOS1.11.1 Sistemas de numeraciónSistemas de numeración

Gustavo RochaGustavo Rocha

2005-22005-2

1.11.1 Sistemas numéricos.Sistemas numéricos.

Los números son los mismos en todos lados.Los números son los mismos en todos lados.

Sus nombres y su simbología podrán ser diferentes, pero tienen el mismo Sus nombres y su simbología podrán ser diferentes, pero tienen el mismo significado.significado.

Los pueblos primitivos aprendieron a contar con los dedos, con los que no Los pueblos primitivos aprendieron a contar con los dedos, con los que no podían alcanzar cifras elevadas, pero si las suficientes para satisfacer sus podían alcanzar cifras elevadas, pero si las suficientes para satisfacer sus necesidades.necesidades.

Si querían recordar algunos números, hacían incisiones en un palo o marcas Si querían recordar algunos números, hacían incisiones en un palo o marcas en una roca.en una roca.

1.11.1 Sistemas numéricos.Sistemas numéricos.

Aún ahora, para contar algunas cosas, es útil usar rayas verticales, Aún ahora, para contar algunas cosas, es útil usar rayas verticales, agrupando de cinco en cinco.agrupando de cinco en cinco.

Hay muchas maneras de contar: de dos en dos, porque las personas Hay muchas maneras de contar: de dos en dos, porque las personas tienen dos manos, dos pies, dos ojos y dos orejas; de cinco en cinco, tienen dos manos, dos pies, dos ojos y dos orejas; de cinco en cinco, porque hay cinco dedos en cada mano; de diez en diez, porque son porque hay cinco dedos en cada mano; de diez en diez, porque son diez los dedos de las manos; de veinte en veinte, porque se tienen diez los dedos de las manos; de veinte en veinte, porque se tienen veinte dedos sumando los de las manos y los pies. Por eso, los veinte dedos sumando los de las manos y los pies. Por eso, los números que sirven para contar se llaman naturales: x números que sirven para contar se llaman naturales: x N. N.

Cuando la gente empezó a escribir, también encontró la forma de Cuando la gente empezó a escribir, también encontró la forma de representar los números de manera más sencilla, con símbolos.representar los números de manera más sencilla, con símbolos.

1.1.1 Los números egipcios.1.1.1 Los números egipcios.Los egipcios fueron quizá los primeros que crearon una forma de escritura numérica, Los egipcios fueron quizá los primeros que crearon una forma de escritura numérica, usando diferentes símbolos:usando diferentes símbolos:

|| 11 10001000 1 000 0001 000 000 1010 10 00010 000 10 000 00010 000 000

100100 100 000100 000

El sistema numeral egipcio tiene como base el diez, pero no es posicional, porque no El sistema numeral egipcio tiene como base el diez, pero no es posicional, porque no hace uso del cero; para representar un número, se repetían los ocho símbolos hace uso del cero; para representar un número, se repetían los ocho símbolos anotados, hasta nueve veces cada uno, con lo cual se alcanzaba un rango de anotados, hasta nueve veces cada uno, con lo cual se alcanzaba un rango de representación de 1 a 99 999 999.representación de 1 a 99 999 999.De izquierda a derecha, primero aparecían las unidades, luego las decenas, en De izquierda a derecha, primero aparecían las unidades, luego las decenas, en seguida las centenas y así, sucesivamente. La interpretación de los números se seguida las centenas y así, sucesivamente. La interpretación de los números se hace leyendo de derecha a izquierda, sumando los valores de los símbolos.hace leyendo de derecha a izquierda, sumando los valores de los símbolos.

Ejemplo:Ejemplo:| | | | | |

| | | || | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | |

1818 102102 1997 1997

1.1.2 Los números romanos1.1.2 Los números romanos

Los romanos usaron letras del alfabeto para construir un sistema de Los romanos usaron letras del alfabeto para construir un sistema de numeración que resultaba algo más fácil de manejar:numeración que resultaba algo más fácil de manejar:

II VV X X L L C C D D M M

11 55 1010 5050 100100 500500 10001000

Los números romanos todavía se usan, por tradición, en relojes, Los números romanos todavía se usan, por tradición, en relojes, para el capitulado de libros, etc., como representaciones elegantes para el capitulado de libros, etc., como representaciones elegantes de los números, pero ya no para fines aritméticos.de los números, pero ya no para fines aritméticos.

Las reglas de escritura incluyen el no usar nunca tres símbolos Las reglas de escritura incluyen el no usar nunca tres símbolos iguales juntos, lo que implica tener que hacer restas para interpretar iguales juntos, lo que implica tener que hacer restas para interpretar correctamente la representación de algunos números: IV, cinco correctamente la representación de algunos números: IV, cinco menos uno; IX, diez menos uno; XL, cincuenta menos diez; XC, menos uno; IX, diez menos uno; XL, cincuenta menos diez; XC, cien menos diez; CD, quinientos menos cien; y CM, mil menos cien.cien menos diez; CD, quinientos menos cien; y CM, mil menos cien.

El sistema numeral romano usa el diez como base, es decir, que la El sistema numeral romano usa el diez como base, es decir, que la progresión se realiza de diez en diez, de derecha a izquierda; el no progresión se realiza de diez en diez, de derecha a izquierda; el no uso del cero lo hace pseudo-posicional. Utiliza treinta numerales uso del cero lo hace pseudo-posicional. Utiliza treinta numerales básicos para representar números en el rango de 1 a 3999:básicos para representar números en el rango de 1 a 3999:

1.1.2 Los números romanos1.1.2 Los números romanos– Para las unidades: Para las unidades: I II III IV V VI VII VIII IX I II III IV V VI VII VIII IX

1 2 3 4 5 6 7 8 91 2 3 4 5 6 7 8 9– Para las decenas: Para las decenas: X XX XXX XL L LX LXX LXXX X XX XXX XL L LX LXX LXXX

XCXC 10 20 30 40 50 60 70 80 9010 20 30 40 50 60 70 80 90

– Para las centenas: Para las centenas: C CC CCC CD D DC DCC DCCC C CC CCC CD D DC DCC DCCC CMCM

100 200 300 400 500 600 700 800 900100 200 300 400 500 600 700 800 900– Para las unidades de millar:Para las unidades de millar: M MM MMM M MM MMM

1000 2000 30001000 2000 3000Con objeto de aumentar el rango de escritura de los números romanos, más Con objeto de aumentar el rango de escritura de los números romanos, más tarde se optó por colocar una raya sobre los numerales, para indicar que su tarde se optó por colocar una raya sobre los numerales, para indicar que su valor se incrementa mil veces, dos rayas, para incrementarlo un millón de valor se incrementa mil veces, dos rayas, para incrementarlo un millón de veces, etc.; esta regla tiene validez a partir del número IV y hasta el número veces, etc.; esta regla tiene validez a partir del número IV y hasta el número MMMCMXCIX.MMMCMXCIX.

Ejemplos:Ejemplos: XVIIIXVIII CII CII MCMXCVII MCMXCVII X|VIIIX|VIII C|II C|II M|CM|XC|VII M|CM|XC|VII

10 | 8 10 | 8 100 | 2 100 | 2 1000 |900| 90 | 7 1000 |900| 90 | 7

18 10218 102 1997 1997

1.1.3 Los números mayas1.1.3 Los números mayas

El sistema numeral maya es semejante al romano, pero resulta El sistema numeral maya es semejante al romano, pero resulta superior por cuanto al uso del cero y porque en ningún caso es superior por cuanto al uso del cero y porque en ningún caso es necesario restar para interpretar un número. El sistema maya usa necesario restar para interpretar un número. El sistema maya usa solamente tres símbolos:solamente tres símbolos:

00 11 5 5

Con estos símbolos se puede representar cualquier número de 0 a Con estos símbolos se puede representar cualquier número de 0 a , para lo cual requiere del uso de veinte numerales básicos:, para lo cual requiere del uso de veinte numerales básicos:

00 55 1010 1515

11 66 1111 1616

22 77 1212 1717

33 88 1313 1818

44 99 1414 1919

1.1.3 Los números mayas1.1.3 Los números mayas

El sistema de numeración maya es vigesimal, es decir, que la El sistema de numeración maya es vigesimal, es decir, que la progresión se realiza de veinte en veinte, de abajo hacia arriba, lo progresión se realiza de veinte en veinte, de abajo hacia arriba, lo que le da la característica de ser posicional, donde la primera que le da la característica de ser posicional, donde la primera posición representa unidades, la segunda veintenas, las tercera posición representa unidades, la segunda veintenas, las tercera múltiplos de cuatrocientos, la cuarta múltiplos de ocho mil, etc. Se múltiplos de cuatrocientos, la cuarta múltiplos de ocho mil, etc. Se escribe y se lee de arriba hacia abajo.escribe y se lee de arriba hacia abajo.

Ejemplos:Ejemplos:

4 x 400 = 16004 x 400 = 1600

5 x 20 = 100 5 x 20 = 100 19 x 20 = 380 19 x 20 = 380

18 x 1 = 1818 x 1 = 18 2 x 1 = 2 2 x 1 = 2 17 x 1 = 17 17 x 1 = 17

1818 102 102 19971997

1.1.4 La evolución de los números.1.1.4 La evolución de los números.

Además de contar, la gente empezó a necesitar hacer algo más con Además de contar, la gente empezó a necesitar hacer algo más con

los números: medirlos, fraccionarlos, sumarlos, restarlos, los números: medirlos, fraccionarlos, sumarlos, restarlos,

multiplicarlos y dividirlos. Así nació la aritmética, la que ha multiplicarlos y dividirlos. Así nació la aritmética, la que ha

evolucionado a medida que el hombre avanza y encuentra muchas evolucionado a medida que el hombre avanza y encuentra muchas

cosas que calcular y también muy distintas maneras de hacerlo. cosas que calcular y también muy distintas maneras de hacerlo.

Pero toda la matemática se basa en el simple acto de contar.Pero toda la matemática se basa en el simple acto de contar.

La necesidad de utilizar números cada vez mayores trajo consigo la La necesidad de utilizar números cada vez mayores trajo consigo la

noción de infinito: noción de infinito: , descubierta por los griegos a través de un , descubierta por los griegos a través de un

elevado nivel de abstracción.elevado nivel de abstracción.

Los números naturales ya no fueron suficientes; había la necesidad Los números naturales ya no fueron suficientes; había la necesidad

de fraccionarlos para dividir en partes un todo, y así nacieron los de fraccionarlos para dividir en partes un todo, y así nacieron los

números racionales: Q = {q números racionales: Q = {q q = a/b}, (a, b q = a/b}, (a, b N). N).

1.1.4 La evolución de los números.1.1.4 La evolución de los números.

La aparición del cero: 0, nace de la necesidad de representar la La aparición del cero: 0, nace de la necesidad de representar la diferencia entre dos números idénticos y constituye el elemento diferencia entre dos números idénticos y constituye el elemento fundamental para la construcción de los sistemas numéricos fundamental para la construcción de los sistemas numéricos posicionales.posicionales.Con la invención del álgebra, aparecieron los números negativos Con la invención del álgebra, aparecieron los números negativos como solución de ecuaciones, y con ello se pudo establecer la como solución de ecuaciones, y con ello se pudo establecer la clasificación de los números enteros en positivos y negativos:clasificación de los números enteros en positivos y negativos:ZZ++ = {z > 0}; Z = {z > 0}; Z-- = {z < 0} = {z < 0}La necesidad de representar algunas cantidades requeridas por los La necesidad de representar algunas cantidades requeridas por los desarrollos geométricos trajo consigo el advenimiento de los desarrollos geométricos trajo consigo el advenimiento de los números irracionales: números irracionales: , e, , e, 2, etc. Q2, etc. Qcc = {u = {u u u R, u R, u Q} Q}La unidad y fundamento lógico del estudio de los números se La unidad y fundamento lógico del estudio de los números se alcanzó a través de la construcción del sistema de los números alcanzó a través de la construcción del sistema de los números reales, R, que incluye a todos los mencionados anteriormente.reales, R, que incluye a todos los mencionados anteriormente.Los números complejos, C, aparecieron de la misma manera que Los números complejos, C, aparecieron de la misma manera que los negativos, al resolver ecuaciones cuyo resultado requería de la los negativos, al resolver ecuaciones cuyo resultado requería de la introducción de los llamados números imaginarios.introducción de los llamados números imaginarios.

1.1.51.1.5 El sistema decimal indo-arábigo. El sistema decimal indo-arábigo.

Los numerales que han resultado más apropiados son los que usamos en Los numerales que han resultado más apropiados son los que usamos en la actualidad. Fueron introducidos a Europa a través de los árabes, pero no la actualidad. Fueron introducidos a Europa a través de los árabes, pero no fueron ellos quienes los inventaron, sino los hindúes, que desde hace fueron ellos quienes los inventaron, sino los hindúes, que desde hace diecisiete siglos usaban símbolos muy similares a los guarismos que se diecisiete siglos usaban símbolos muy similares a los guarismos que se manejan hoy en día.manejan hoy en día.Los cálculos, sin embargo, eran lentos y engorrosos, hasta que los árabes Los cálculos, sin embargo, eran lentos y engorrosos, hasta que los árabes inventaron el diez y, con él, el sistema decimal posicional que conocemos, inventaron el diez y, con él, el sistema decimal posicional que conocemos, conviniendo en que el valor de un guarismo varía con su posición, conviniendo en que el valor de un guarismo varía con su posición, acompañándolo de uno o varios ceros:acompañándolo de uno o varios ceros:– 10 es diez veces uno.10 es diez veces uno.– 100 es diez veces diez veces uno, o cien veces uno.100 es diez veces diez veces uno, o cien veces uno.– 1000 es diez veces diez veces diez veces uno, o mil veces uno.1000 es diez veces diez veces diez veces uno, o mil veces uno.– etc.etc.

Ejemplo: El numeral 853, en base diez, representa el número ochocientos Ejemplo: El numeral 853, en base diez, representa el número ochocientos cincuenta y tres, y se interpreta como sigue:cincuenta y tres, y se interpreta como sigue:

88 5 5 3 3 (8 x 10(8 x 1022) + (5 x 10) + (5 x 1011) + (3 x 10) + (3 x 1000) = 800 + 50 + 3 = 853) = 800 + 50 + 3 = 853

1.1.51.1.5 El sistema decimal indo-arábigo. El sistema decimal indo-arábigo.

El sistema decimal permite manejar no solamente números enteros, sino todos los El sistema decimal permite manejar no solamente números enteros, sino todos los números reales, incluyendo racionales e irracionales, y también los números números reales, incluyendo racionales e irracionales, y también los números complejos.complejos.

En el sistema decimal, los números reales se representan de la misma manera que En el sistema decimal, los números reales se representan de la misma manera que los enteros, sólo que el valor de un guarismo, a la derecha del punto decimal, varía los enteros, sólo que el valor de un guarismo, a la derecha del punto decimal, varía con su posición, anteponiéndole uno o varios ceros:con su posición, anteponiéndole uno o varios ceros:

– 0.1 es la décima parte de uno.0.1 es la décima parte de uno.

– 0.01 es la centésima parte de uno.0.01 es la centésima parte de uno.

– 0.001 es la milésima parte de uno.0.001 es la milésima parte de uno.

– etc.etc.

Ejemplo: El numeral 0.0745, en base diez, es la representación del número Ejemplo: El numeral 0.0745, en base diez, es la representación del número fraccionario "setecientos cuarenta y cinco diez milésimos".fraccionario "setecientos cuarenta y cinco diez milésimos".

.0.0 77 44 55

(7 x 10(7 x 10-2-2) + (4 x 10) + (4 x 10-3-3) + (5 x 10) + (5 x 10-4-4) = 0.07 + 0.004 + 0.0005 = 0.0745) = 0.07 + 0.004 + 0.0005 = 0.0745

1.1.6 El sistema binario.1.1.6 El sistema binario.

El sistema binario es similar al decimal, pero su base es dos en lugar El sistema binario es similar al decimal, pero su base es dos en lugar

de diez y utiliza solamente dos símbolos o dígitos binarios: 0 y 1, en de diez y utiliza solamente dos símbolos o dígitos binarios: 0 y 1, en

vez de los diez guarismos que requiere el decimal. El valor de los vez de los diez guarismos que requiere el decimal. El valor de los

unos varía con su posición, acompañándolos de uno o varios ceros:unos varía con su posición, acompañándolos de uno o varios ceros:

– 10 es dos veces uno.10 es dos veces uno.

– 100 es dos veces dos veces uno, o cuatro veces uno.100 es dos veces dos veces uno, o cuatro veces uno.

– 1000 es dos veces dos veces dos veces uno, u ocho veces uno.1000 es dos veces dos veces dos veces uno, u ocho veces uno.

– etc.etc.

El sistema binario se emplea en las computadoras digitales, porque El sistema binario se emplea en las computadoras digitales, porque

los alambres que forman los circuitos electrónicos presentan solo los alambres que forman los circuitos electrónicos presentan solo

dos estados: magnetizados o no magnetizados, dependiendo si pasa dos estados: magnetizados o no magnetizados, dependiendo si pasa

o no corriente por ellos.o no corriente por ellos.


En vez de agrupar de diez en diez, se agrupa de dos en dos; por ejemplo, el número trece, En vez de agrupar de diez en diez, se agrupa de dos en dos; por ejemplo, el número trece, representado a través de marcas simples e iguales:representado a través de marcas simples e iguales:

| | | | | | | | | | | | || | | | | | | | | | | | |

se agrupa por parejas, de izquierda a derecha:se agrupa por parejas, de izquierda a derecha:

| | | | | | | | | | | | || | | | | | | | | | | | |

luego se agrupa por parejas de óvalos, otra vez de izquierda a derecha:luego se agrupa por parejas de óvalos, otra vez de izquierda a derecha:

| | | | | | | | | | | | || | | | | | | | | | | | |

luego por parejas de óvalos más grandes y así, sucesivamente:luego por parejas de óvalos más grandes y así, sucesivamente:

| | | | | | | | | | | | || | | | | | | | | | | | |

El número de marcas agrupadas dentro de cada óvalo, e incluso la marca que queda fuera de ellos, El número de marcas agrupadas dentro de cada óvalo, e incluso la marca que queda fuera de ellos, corresponde a una potencia de 2.corresponde a una potencia de 2.

223 2 222 2 200

Sumando los valores obtenidos, se tiene: 2Sumando los valores obtenidos, se tiene: 233 + 2 + 222 + 2 + 200 = 8 + 4 + 1 = 13, en sistema decimal, = 8 + 4 + 1 = 13, en sistema decimal,

o bien: (1 x 2o bien: (1 x 233) + (1 x 2) + (1 x 222) + (0 x 2) + (0 x 211) + (1 x 2) + (1 x 200))


Considerando los coeficientes de las potencias de 2, se obtiene el numeral:Considerando los coeficientes de las potencias de 2, se obtiene el numeral:11 11 00 11

que representa el número trece en sistema binario, y se lee "uno, uno, cero, uno". El que representa el número trece en sistema binario, y se lee "uno, uno, cero, uno". El numeral obtenido se interpreta como sigue: De derecha a izquierda, el primer 1 numeral obtenido se interpreta como sigue: De derecha a izquierda, el primer 1 representa una unidad (2representa una unidad (200); luego aparece un cero, lo que significa que no hay ); luego aparece un cero, lo que significa que no hay ningún grupo de dos unidades (2ningún grupo de dos unidades (211); el siguiente 1 representa dos grupos de dos ); el siguiente 1 representa dos grupos de dos unidades (2unidades (222); y el último 1 representa cuatro grupos de dos unidades (2); y el último 1 representa cuatro grupos de dos unidades (233).).Al igual que en el sistema decimal, en el binario también se pueden representar Al igual que en el sistema decimal, en el binario también se pueden representar números fraccionarios. El valor de los unos, a la derecha del punto decimal, varía números fraccionarios. El valor de los unos, a la derecha del punto decimal, varía con su posición, anteponiéndoles uno o varios ceros:con su posición, anteponiéndoles uno o varios ceros:

– 0.1 es la mitad de uno.0.1 es la mitad de uno.– 0.01 es la cuarta parte de uno.0.01 es la cuarta parte de uno.– 0.001 es la octava parte de uno.0.001 es la octava parte de uno.– etc.etc.

Ejemplo: El numeral binario 0.1101 es la representación del número fraccionario Ejemplo: El numeral binario 0.1101 es la representación del número fraccionario "trece dieciseisavos“"trece dieciseisavos“

.1.1 11 00 11 (1 x 2(1 x 2-1-1) + (1 x 2) + (1 x 2-2-2) + (0 x 2) + (0 x 2-3-3) + (1 x 2) + (1 x 2-4-4) = 0.5 + 0.25 + 0.0625 = 0.8125) = 0.5 + 0.25 + 0.0625 = 0.8125

1.1.7 Los sistemas octal y hexagesimal.1.1.7 Los sistemas octal y hexagesimal.

El sistema octal, o de base ocho, requiere de 8 símbolos, los cuales pueden ser los El sistema octal, o de base ocho, requiere de 8 símbolos, los cuales pueden ser los mismos del sistema decimal, del 0 al 7, o cualesquiera otros que se elijan mismos del sistema decimal, del 0 al 7, o cualesquiera otros que se elijan convencionalmente. El valor de un guarismo varía con su posición, acompañándolo convencionalmente. El valor de un guarismo varía con su posición, acompañándolo de uno o varios ceros:de uno o varios ceros:

– 10 es ocho veces uno.10 es ocho veces uno.– 100 es sesenta y cuatro veces uno.100 es sesenta y cuatro veces uno.– 1000 es quinientas doce veces uno.1000 es quinientas doce veces uno.– etc.etc.

Aquí la agrupación se hace de ocho en ocho, como se muestra: Aquí la agrupación se hace de ocho en ocho, como se muestra:

| | | | | | | | | | | | | | | | | | || | | | | | | | | | | | | | | | | | |

que se puede expresar: (2 x 8que se puede expresar: (2 x 811) + (3 x 8) + (3 x 800) )

equivalente a:equivalente a: 16 + 3 = 19, en sistema decimal. 16 + 3 = 19, en sistema decimal.

Considerando los coeficientes de las potencias de 8, se obtiene el numeral 23 que se Considerando los coeficientes de las potencias de 8, se obtiene el numeral 23 que se lee "dos, tres“ y representa al número diecinueve en sistema octal. El numeral lee "dos, tres“ y representa al número diecinueve en sistema octal. El numeral obtenido se interpreta como sigue: De derecha a izquierda, el 3 representa tres obtenido se interpreta como sigue: De derecha a izquierda, el 3 representa tres unidades (8unidades (800) y el 2 representa dos grupos de ocho unidades (8) y el 2 representa dos grupos de ocho unidades (811).).


La representación de números fraccionarios en el sistema octal se La representación de números fraccionarios en el sistema octal se hace considerando:hace considerando:– 0.1 es la octava parte de uno.0.1 es la octava parte de uno.– 0.01 es la sesenta y cuatroava parte de uno.0.01 es la sesenta y cuatroava parte de uno.– 0.001 es la quinientos doceava parte de uno.0.001 es la quinientos doceava parte de uno.– etc.etc.

El sistema hexagesimal, o de base dieciséis, requiere de 16 El sistema hexagesimal, o de base dieciséis, requiere de 16 símbolos, los cuales pueden ser los mismos diez dígitos del sistema símbolos, los cuales pueden ser los mismos diez dígitos del sistema decimal, del 0 al 9, complementados, por convención, por las decimal, del 0 al 9, complementados, por convención, por las primeras seis letras del alfabeto: A = 10, B = 11, C = 12, D = 13, E = primeras seis letras del alfabeto: A = 10, B = 11, C = 12, D = 13, E = 14 y F = 15 (podrían utilizarse, en su lugar, otros cinco símbolos 14 y F = 15 (podrían utilizarse, en su lugar, otros cinco símbolos cualesquiera). El valor de un guarismo varía con su posición, cualesquiera). El valor de un guarismo varía con su posición, acompañándolo de uno o varios ceros:acompañándolo de uno o varios ceros:– 10 es dieciséis veces uno.10 es dieciséis veces uno.– 100 es doscientos cincuenta y seis veces uno.100 es doscientos cincuenta y seis veces uno.– 1000 es cuatro mil noventa y seis veces uno.1000 es cuatro mil noventa y seis veces uno.– etc.etc.


Aquí la agrupación se hace de dieciséis en dieciséis, como se muestra:Aquí la agrupación se hace de dieciséis en dieciséis, como se muestra:

| | | | | | | | | | | | | | | | | | || | | | | | | | | | | | | | | | | | |

que se puede expresar: (1 x 16que se puede expresar: (1 x 1611) + (3 x 16) + (3 x 1600))

equivalente a:equivalente a: 16 + 3 = 19, en sistema decimal. 16 + 3 = 19, en sistema decimal.

Considerando los coeficientes de las potencias de 16, se obtiene el numeral 13 que Considerando los coeficientes de las potencias de 16, se obtiene el numeral 13 que se lee "uno, tres“ y representa al número diecinueve en sistema hexagesimal. El se lee "uno, tres“ y representa al número diecinueve en sistema hexagesimal. El numeral obtenido se interpreta como sigue: De derecha a izquierda, el 3 representa numeral obtenido se interpreta como sigue: De derecha a izquierda, el 3 representa tres unidades (16tres unidades (1600) y el 1 representa un grupo de dieciséis unidades (16) y el 1 representa un grupo de dieciséis unidades (1611).).

La representación de números fraccionarios en el sistema hexagesimal se hace La representación de números fraccionarios en el sistema hexagesimal se hace considerando:considerando:

– 0.1 es la dieciseisava parte de uno.0.1 es la dieciseisava parte de uno.– 0.01 es la doscientos cincuenta y seisava parte de uno.0.01 es la doscientos cincuenta y seisava parte de uno.– 0.001 es la cuatro mil noventa y seisava parte de uno.0.001 es la cuatro mil noventa y seisava parte de uno.– etc.etc.

1.1.81.1.8 Conversión de números enteros Conversión de números enterosde un sistema a otro.de un sistema a otro.

Conversión de enteros de base decimal a bases binaria, octal y hexagesimal: El Conversión de enteros de base decimal a bases binaria, octal y hexagesimal: El entero decimal entero decimal nn se divide entre la base se divide entre la base bb (2, 8 o 16) y se registra el cociente (2, 8 o 16) y se registra el cociente cc11 y el y el residuo residuo rr11 resultantes, abajo y a la derecha, respectivamente; el cociente resultantes, abajo y a la derecha, respectivamente; el cociente c1c1 se divide se divide entre la base entre la base bb, registrando el cociente , registrando el cociente cc22 y el residuo y el residuo rr2 2 de de igual manera; el igual manera; el procedimiento se repite hasta alcanzar un cociente procedimiento se repite hasta alcanzar un cociente cckk,, que sea cero, con un residuo que sea cero, con un residuo rrkk. El número . El número nn, expresado en base , expresado en base bb, se construye a partir de los residuos, en el , se construye a partir de los residuos, en el orden: orden: rrkk, , rrk-1k-1, ..., , ..., rr22, , rr11..Ejemplo: Convertir el número decimal 199710 a los sistemas binario, octal y Ejemplo: Convertir el número decimal 199710 a los sistemas binario, octal y hexagesimal.hexagesimal.

– A binario:A binario: divisiones sucesivas entre 2.divisiones sucesivas entre 2.

19971997 11 998998 00 499499 11

249249 11 124124 00

6262 00 3131 11 1515 11 77 11 33 11 11 11 00

lectura

El número 1997El número 199710 10 en binario es:en binario es:

111110011011111100110122


A octal: divisiones sucesivas entre 8.A octal: divisiones sucesivas entre 8.

19971997 55 249249 11 3131 77 33 33 00

A hexagesimal: divisiones sucesivas entre 16.A hexagesimal: divisiones sucesivas entre 16.

19971997 13 = D13 = D 124124 12 = C12 = C 77 7 7 00

El número 1997El número 19971010 en octal es: en octal es:

3715371588

El número 1997El número 19971010 en hexagesimal es: en hexagesimal es:

7CD7CD1616


Conversión de bases binaria, octal o hexagesimal, a base decimal. Cada uno de los Conversión de bases binaria, octal o hexagesimal, a base decimal. Cada uno de los dígitos que conforman el número m, expresado en binario, octal o hexagesimal, se dígitos que conforman el número m, expresado en binario, octal o hexagesimal, se multiplica por la base (2, 8 o 16, respectivamente) elevada a una potencia igual a la multiplica por la base (2, 8 o 16, respectivamente) elevada a una potencia igual a la posición del dígito, empezando por la potencia cero, de derecha a izquierda. La posición del dígito, empezando por la potencia cero, de derecha a izquierda. La suma de estos productos es el número m, en base decimal.suma de estos productos es el número m, en base decimal.

Ejemplo: Convertir el número binario 111001101 al sistema decimal.Ejemplo: Convertir el número binario 111001101 al sistema decimal.1 x 21 x 288 + 1 x 2 + 1 x 277 + 1 x 2 + 1 x 266 + 1 x 2 + 1 x 233 + 1 x 2 + 1 x 222 + 1 x 2 + 1 x 200 = =

256 + 128 + 64 + 8 + 4 + 1 = 461256 + 128 + 64 + 8 + 4 + 1 = 4611010

Ejemplo: Convertir el número octal 543Ejemplo: Convertir el número octal 54388 al sistema decimal. al sistema decimal.

5 x 85 x 822 + 4 x 8 + 4 x 811 + 3 x 8 + 3 x 800 = 320 + 32 + 3 = 35510 = 320 + 32 + 3 = 35510

Ejemplo: Convertir el número hexagesimal 9B2Ejemplo: Convertir el número hexagesimal 9B21616 al sistema decimal. al sistema decimal.

9 x 169 x 1622 + 11 x 16 + 11 x 1611 + 2 x 16 + 2 x 1600 = 2304 + 176 + 2 = 2482 = 2304 + 176 + 2 = 24821010

La tabla siguiente muestra las equivalencias entre los primeros 16 numerales en los La tabla siguiente muestra las equivalencias entre los primeros 16 numerales en los sistemas binario, octal y hexagesimal; el sistema decimal aparece sólo como sistemas binario, octal y hexagesimal; el sistema decimal aparece sólo como referencia. Con estas equivalencias se puede hacer la conversión de cualquier referencia. Con estas equivalencias se puede hacer la conversión de cualquier entero de un sistema a otro.entero de un sistema a otro.

Conversión de enteros entre Conversión de enteros entre los sistemas binario, octal y hexagesimallos sistemas binario, octal y hexagesimal..

Binario Octal Binario Hexagesimal Decimal

000000 00 00000000 00 00

001001 11 00010001 11 11

010010 22 00100010 22 22

011011 33 00110011 33 33

100100 44 01000100 44 44

101101 55 01010101 55 55

110110 66 01100110 66 66

111111 77 01110111 77 77

10001000 88 88

10011001 99 99

10101010 AA 1010

10111011 BB 1111

11001100 CC 1212

11011101 DD 1313

11101110 EE 1414

11111111 FF 1515

Conversión de enteros entre Conversión de enteros entre los sistemas binario, octal y hexagesimallos sistemas binario, octal y hexagesimal..

Ejemplo: Convertir el número binario 111110011012 a los sistemas octal y hexagesimal.Ejemplo: Convertir el número binario 111110011012 a los sistemas octal y hexagesimal.A octal:A octal:

011 111 001 101011 111 001 101 3 7 1 53 7 1 5

A hexagesimal: A hexagesimal: 0111 1100 11010111 1100 1101 7 C7 C D D

Ejemplo: Convertir el número octal 543Ejemplo: Convertir el número octal 54388 a los sistemas binario y hexagesimal. a los sistemas binario y hexagesimal.A binario:A binario:

5 45 4 3 3 101 100101 100 011011

A hexagesimal:A hexagesimal:0001 0110 00110001 0110 0011 1 6 31 6 3

Ejemplo: Convertir el número hexagesimal 9B2Ejemplo: Convertir el número hexagesimal 9B21616 a los sistemas binario y octal. a los sistemas binario y octal.A binario:A binario:

9 B 29 B 2 1001 1011 00101001 1011 0010

A octal:A octal:100 110 110 010100 110 110 010

4 6 6 24 6 6 2

El número 11111001101El número 1111100110122 en octal es: 3715 en octal es: 371588

El número 11111001101El número 1111100110122 en hexagesimal es 7CD en hexagesimal es 7CD1616

El número 543El número 54388 en binario es: 101100011 en binario es: 10110001122

El número 543El número 54388 en hexagesimal es: 163 en hexagesimal es: 1631616

El número 9B2El número 9B21616 en binario es: 100110110010 en binario es: 10011011001022

El número 9B2El número 9B21616 en octal es: 4662 en octal es: 466288

1.1.91.1.9 Conversión de númerosConversión de númerosfraccionarios de un sistema a otro.fraccionarios de un sistema a otro.

Conversión de fracciones de base decimal a bases binaria, octal y hexagesimal: La fracción Conversión de fracciones de base decimal a bases binaria, octal y hexagesimal: La fracción decimal decimal nn se multiplica por la base se multiplica por la base bb (2, 8 o 16) y se registra por un lado la parte fraccionaria (2, 8 o 16) y se registra por un lado la parte fraccionaria resultante resultante ff11 y por el otro la parte entera correspondiente y por el otro la parte entera correspondiente ee11; la fracción ; la fracción ff11 se multiplica por la se multiplica por la

base base bb, registrando la fracción , registrando la fracción ff22 y el entero y el entero ee22 asociado; el procedimiento se repite ocho veces ó asociado; el procedimiento se repite ocho veces ó

hasta alcanzar una fracción hasta alcanzar una fracción ffkk,, que sea cero o cercana a cero ( que sea cero o cercana a cero (ffkk 0.9961 ó 0.9961 ó ffkk 0.0039 con su 0.0039 con su

entero asociado entero asociado eekk. El número . El número nn, expresado en base , expresado en base bb, se construye a partir de los enteros, en , se construye a partir de los enteros, en

el orden: el orden: ee11, , ee22, ..., , ..., eek-1k-1, , eekk..

Ejemplo: Convertir la fracción decimal 0.1997Ejemplo: Convertir la fracción decimal 0.19971010 a los sistemas binario, octal y hexagesimal. a los sistemas binario, octal y hexagesimal.

A binario: multiplicaciones sucesivas por 2.A binario: multiplicaciones sucesivas por 2.

.1997.1997

.3994.3994 00

.7988.7988 00

.5976.5976 11

.1952.1952 11

.3904.3904 00

.7808.7808 00

.5616.5616 11

.1232.1232 11

.2464.2464 00

El número 1997El número 19971010 en binario es en binario es aproximadamenteaproximadamente: 0.00110011: 0.0011001122


A octal: multiplicaciones sucesivas por 8.A octal: multiplicaciones sucesivas por 8. .1997.1997 .5676.5676 11 .7808.7808 44

.2464.2464 66 .9712.9712 11 .7696.7696 77 .1568.1568 66 .2544.2544 11 .0352.0352 22 .2816.2816 00

A hexagesimal: multiplicaciones sucesivas por 16.A hexagesimal: multiplicaciones sucesivas por 16..1997.1997

.1952.1952 33 .1232.1232 33 .9712.9712 11 .5392.5392 15 = F15 = F .6272.6272 88 .0352.0352 10 = A10 = A .5632.5632 00 .0112.0112 99 .1792.1792 00

El número 1997El número 19971010 en octal es aproximadamente: 0.14617612 en octal es aproximadamente: 0.1461761288

El número 1997El número 19971010 en hexagesimal es aproximadamente: en hexagesimal es aproximadamente: 0.331F8A090.331F8A091616


Conversión de fracciones de bases binaria, octal o hexagesimal, a base decimal. Conversión de fracciones de bases binaria, octal o hexagesimal, a base decimal. Cada uno de los dígitos que conforman la fracción m, expresado en binario, octal o Cada uno de los dígitos que conforman la fracción m, expresado en binario, octal o hexagesimal, se multiplica por la base (2, 8 o 16, respectivamente) elevada a una hexagesimal, se multiplica por la base (2, 8 o 16, respectivamente) elevada a una potencia igual a la posición del dígito, empezando por la potencia menos uno, de potencia igual a la posición del dígito, empezando por la potencia menos uno, de izquierda a derecha. La suma de estos productos es el número m, en base decimal.izquierda a derecha. La suma de estos productos es el número m, en base decimal.

Ejemplo: Convertir el número binario 0.11100110110 al sistema decimal.Ejemplo: Convertir el número binario 0.11100110110 al sistema decimal.

1 x 21 x 2-1-1 + 1 x 2 + 1 x 2-2-2 + 1 x 2 + 1 x 2-3-3 + 1 x 2 + 1 x 2-6-6 + 1 x 2 + 1 x 2-7-7 + 1 x 2 + 1 x 2-9-9 = =

0.5 + 0.25 + 0.125 + 0.015625 + 0.0078125 + 0-001953125 = 0.90039060.5 + 0.25 + 0.125 + 0.015625 + 0.0078125 + 0-001953125 = 0.90039061010

Ejemplo: Convertir la fracción octal 0.543Ejemplo: Convertir la fracción octal 0.54388 al sistema decimal. al sistema decimal.

5 x 85 x 8-1-1 + 4 x 8 + 4 x 8-2-2 + 3 x 8 + 3 x 8-3-3 = 0.625 + 0.0625 + 0.005859375 = 0.6933593 = 0.625 + 0.0625 + 0.005859375 = 0.69335931010

Ejemplo: Convertir la fracción hexagesimal 0.9B2Ejemplo: Convertir la fracción hexagesimal 0.9B21616 al sistema decimal. al sistema decimal.

9 x 169 x 16-1-1 + 11 x 16 + 11 x 16-2-2 + 2 x 16 + 2 x 16-3-3 = 0.5625 + 0.0429687 + 0.0004882= 0.5625 + 0.0429687 + 0.0004882

= 0.6054687= 0.60546871010

Conversión de fracciones entre los Conversión de fracciones entre los sistemas binario, octal y hexagesimalsistemas binario, octal y hexagesimal

Conversión de fracciones entre los sistemas binario, octal y hexagesimal. La misma tabla del Conversión de fracciones entre los sistemas binario, octal y hexagesimal. La misma tabla del apartado 1.1.8 que muestra las equivalencias entre los primeros 16 numerales en los sistemas apartado 1.1.8 que muestra las equivalencias entre los primeros 16 numerales en los sistemas binario, octal y hexagesimal, sirve también para hacer la conversión de cualquier fracción de un binario, octal y hexagesimal, sirve también para hacer la conversión de cualquier fracción de un sistema a otro.sistema a otro.

Ejemplo: Convertir la fracción binaria 0.11111001101Ejemplo: Convertir la fracción binaria 0.1111100110122 a los sistemas octal y hexagesimal. a los sistemas octal y hexagesimal.

A octal:A octal:

0.111 110 011 0100.111 110 011 010

0. 7 6 3 20. 7 6 3 2

A hexagesimal: A hexagesimal:

0.1111 1001 10100.1111 1001 1010

0. F 9 A0. F 9 A

Ejemplo: Convertir la fracción octal 0.543Ejemplo: Convertir la fracción octal 0.54388 a los sistemas binario y hexagesimal. a los sistemas binario y hexagesimal.

A binario:A binario:

0. 5 4 30. 5 4 3

0.101100 0110.101100 011

A hexagesimal:A hexagesimal:

0.1011 0001 10000.1011 0001 1000

0. B 1 80. B 1 8

El número 11111001101El número 1111100110122 en octal es: 0.7632 en octal es: 0.763288

El número 11111001101El número 1111100110122 en hexagesimal es: 0.F9A en hexagesimal es: 0.F9A1616

El número 543El número 54388 en binario es: 0.101100011 en binario es: 0.10110001122

El número 543El número 54388 en hexagesimal es: 0.B18 en hexagesimal es: 0.B181616

Conversión de fracciones entre los Conversión de fracciones entre los sistemas binario, octal y hexagesimalsistemas binario, octal y hexagesimal

Ejemplo: Convertir la fracción hexagesimal 0.9B2Ejemplo: Convertir la fracción hexagesimal 0.9B21616 a los sistemas binario y octal. a los sistemas binario y octal.

A binario:A binario:

0. 9 B 20. 9 B 2

0.1001 1011 00100.1001 1011 0010

A octal:A octal:

0.100 110 110 010 0.100 110 110 010

0. 4 6 6 20. 4 6 6 2

El número 9B2El número 9B21616 en binario es: 0.100110110010 en binario es: 0.10011011001022

El número 9B2El número 9B21616 en octal es: 0.4662 en octal es: 0.466288

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1.1 Sistemas de Numeracion