1/18 ラプラス変換 - 東海大学yasue/ffn/Laplace.pdf1/18 ラプラス変換【安江正樹＠東海大学理学部物理学科】ラプラス変換 Ⅰ. ラプラス変換・逆変換

1/18 ラプラス変換

【安江正樹＠東海大学理学部物理学科】

ラプラス変換

Ⅰ.ラプラス変換・逆変換

ラプラス変換：

( ) ( ) ( )( )0

Re 0sxF s e f x dx s s¥

-= > Üò は複素数でもよい (1.1)

よりラプラス逆変換：

( ) ( )12

isx

i

f x e F s dsi

s

sp

+ ¥

- ¥

= ò (1.2)

を導く。更に、(1.2)を計算するのに

複素定積分の留数定理を用いると、(1.2)の計算結果が公式として与えられる

という結果を用いる。

(1.1)から(1.2)を出すために、既に知っているフーリエ変換／逆変換：

( ) ( )

( ) ( )

12

ikx

ikx

f x e f k dk

f k e f x dx

p

¥

-¥

¥-

-¥

ì=ï

ïíï =ïî

ò

ò

フーリエ変換

フーリエ逆変換

(1.3)

の知識を用いる。まずフーリエ逆変換

( ) ( )ikxf k f xe dx¥

-

-¥

= ò (1.4)

を用いるために、 ( ) ( )0

sxF s e f x dx¥

-= ò の0

¥

ò を-¥

¥

ò にする：

( ) ( ) ( )0

???sxF s e f x dx F s dx¥ ¥

-¥

-= Þ =ò ò (1.5)

そのため、 : 0x -¥ ® では 0 の関数 ( )f̂ x :

( ) ( )ˆ0

00

fx

xf x

xì=î

>

<í

(1.6)

を用いて、

( ) ( ) ( )0

ˆsx sxF s e f x d f xx e dx¥ ¥

-

¥

-

-

= =ò ò (1.7)



とする。すると、 ( )ˆsxe f x-のフーリエ逆変換の：改めて、関数 ( ) ( ),g x g k として

( ) ( )ikxg k e g x dx¥

-

-¥

= ò (1.8)

を考えれて、 ( ) ( )ˆsxg x e f x-= を代入すれば

( ) ( )( )

( ) ( )

0

ˆ ˆs i

g x

xsik kx xg k e f x e f xe dx dx¥

-

-¥

-¥

¥+

-¥

--= =

=

òò

ò

( ) ( )( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

0

0 0

ˆˆ

ˆ 0

0

0s ik

s i

x

xk sx

f x f xe f x

xd

x

s

xf x

e f x dx F F e f x di xk s

-

¥- -

+

+

¥

¥

æ ö+ Üç ÷ç ÷

è

ì =ïí

=

>

<î

= =

ø

= Ü+

ïò

ò ò

(1.9)

を得る。つまり、

( ) ( )g k F s ik= + (1.10)

である。元の関数 ( ) ( )ˆsxg x e f x-= は、フーリエ変換： ( ) ( )12

ikxg x e g k dxp

¥

-¥

= ò より、

( ) ( )

( )( )

( )( )

( ) ( ) ( ) ( )

1ˆ2

1 12

2

ˆ2

1

ikx

s

ikx

g x g k

ik x

sx

s ikx x

e dk

e dk e dk

e f x F s ik

f x e F s ik F s ik

g x e g k dx

p

p

p p

¥

-¥

¥ ¥+

-¥ -¥

¥

-¥

-

Þ

=

= +

=

Þ

= + +

ò

ò

ò

ò

(1.11)

なので、

( ) ( ) ( )1ˆ2

s ik xf x F s ike dkp

¥+

-¥

= +ò (1.12)

を得る。ここで、(1.1)のラプラス変換での sが複素数であるので、 ( )Re 0s > を考慮して

( ) , :0

s is w s w

s

ì = +ïí

>ïî

実数(1.13)

として代入すると

( ) ( )( ) ( )( )1ˆ2

xi k i k kf x e F ds w s wp

+

¥

+¥

-

+ += ò (1.14)



と表わせる。更に、(1.14)の積分変数 ( )i ks w+ + を改めて複素数 s：

( )s kis w= + + (1.15)

と表わすと、

ds kid= (1.16)であり、積分範囲は

( )( ) ( ):: :

s ki

k s is i iis w

s w s sw s-¥ ¥

= + +

Þ + +-¥® ¥ -¥ - ¥® + ®+ + ¥Þ¥

(1.17)

と変更を受け

( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )1 1 1ˆ2 2 2

ii k x

i

xi

xs s

i

f x F i k Fe s ids e F s dsi

e dks

s w

s

s

s

s wp p p

+ ¥

- ¥

¥ + ¥+ +

-¥ - ¥

= + + = - =ò ò ò (1.18)

を得る。最終的に、

( ) ( ) ( )( ) ( )( )

ˆ 01ˆ 0ˆ2 0 0

isx

i

f x f x xf x e F s ds

i f x x

s

s

sp

+ ¥

- ¥

ì = >ï= > í= <ïî

ò

(1.19)

が

( )f̂ x のラプラス逆変換

になる。ここまで、まだ

( )f x のラプラス逆変換は、わからない

ので、次に、(1.19)から ( )f x のラプラス逆変換を求める。

Ⅱ.ラプラス逆変換と留数定理

(1.19)の積分 ( ) ( )1 02

isx

i

e F s dsi

s

s

sp

+ ¥

- ¥

>ò は、複素定積分なので、留数定理を用いるが、定積分経路によ

って複素定積分の値が変わる。つまり、

虚軸

実軸a´

C

虚軸

実軸a´

C¢

( )( )

( ) ( )11 1

2 !n

nC

zdz a

i nzC

ap +Þ =-ò定積分経路:g

g ( )

( ) 11 0

2 nC

zdz

i z aC

p +¢Þ =

-¢ ò定積分経路:

g



である。このように、同じ複素定積分でも、積分値が 0 になる場合があるので、 ( )f̂ x の場合分け

と関連づける事ができ、(1.6)の条件として

( ) ( )( )

( ) ( )( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )( )

1

1

1 1ˆ02 !ˆ

ˆ 0 1ˆ02

0

00

nnC

nC

zx f x dz a

i nz af x f x

f x zx f x dz

i

x

xz

f x

a

p

p

+

+¢

ì> Þ = = =ï

-ì ï=ï ïÞí í=ï ïî < Þ = =ï -ï

>

î

<

ò

ò

gg

g(1.20)

の利用を考えると

( ) ( ) ( ) ( )( ) 1

1 1! 2

nnC

za dz

n i z af x

p +æ ö= =ç ÷è ø -ò留数定理 g

g (1.21)

と表わせる。ところで、

( ) ( )n ag には、変数 xがないので、 xの関数（ ( )f x ）ではない

( )

( ) ( )??? 1

!

xxnf x a

n=

を含まないを含む

g

ので矛盾があるように見えるが、実際には、

( ) ( )1ˆ2

isx

i

f x e F s dsi

s

sp

+ ¥

- ¥

= ò (1.22)

に応用するので、

( ) ( ), 0xzz G z xx e¯¯æ ö = >ç ÷

è øg (1.23)

の様に「 xの関数」であり

( ) ( )( )

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

,

1 , 1 1 ,2 !

0z

z

z

n

x

xx

nC

e G zf x dz a

i nz e G z x

zx x

ap + Ü == =-

>ò

g

g g (1.24)

と表せば、 xを含んでいるので、

( ) ( ),n a xg として、変数 xを含み xの関数（ ( )f x ）である

( )

( ) ( ) ( ) ( )1 , ,!

xxn zxf x a x z x e G z

n= Ü =

を含むを含む

g g

と表わせる。

留数定理を用いるには、定積分経路が閉曲線で表わされて閉じている必要がある。そこで、i

i

s

s

+ ¥

- ¥ò の

積分の ( ):s is s- ¥ + ¥ を含む閉曲線の定積分経路が必要になる。 ( ):s is s- ¥ + ¥ を図で指定す



ると、 0s > なので

虚軸

実軸

s

is - ¥

is + ¥

i

i

s

s

+ ¥

- ¥

=ò ò

なので、これを含む閉曲線を作れば、通常、半円を追加して

虚軸

実軸a´

C

Þ

虚軸

実軸

C

a´ s

0x >

iRs -

iRs +

R®¥

虚軸

実軸a´

C¢

Þ

虚軸

実軸

C¢

a´ s

0x <

iRs -

iRs +

R®¥

のようになる。このとき、定積分経路は、と分解でき、

ò0

00

xxC

RC >ì

®¥ Þ í <î ¢

=0: 半径で0になるはずのとき、になる

事を確認すれば（【付録】で証明する）

i

i

s

s

+ ¥

- ¥

= + = =ò ò ò ò òを得る。従って、期待通り留数定理より

( ) ( ) ( )( )

( )( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )( )

( )( ) 1

1 1

1

,

,12

0

,1 1ˆ 0 ,2 !

,1ˆ 0 02

12

nnC

n

i

ni

i

C

ni

z xf x f x x dz a x f x

i nz a

z xf x x dz

i z

s xd

s xds

i s a

si s a

a

s

s

s

sp

pp

p+

+

+ ¥

+- ¥

+

-¢

¥

+¥

ì= > Þ = = =ï

-ïíï = < Þ = =ï -î -

-òò

ò ò

g

gg

g

g

(1.25)

と計算できるので

( ) ( )( )

( )( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )10

1

,1 1 , , , , 0!,1

2=1

2 !n

n

i

ni

C

z xdz a x a x a x

i nzs x

f x dsi s a a

s

s pp +

+ ¥

+- ¥

= = =-

=-ò ò

ggg g g

(1.26)

= +ò ò ò



を得る。まとめると

( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )01

,1 1 , , , , 0!=12 !

in

ni

s xf x ds a x a x a x

i ns a

s

sp

+ ¥

+- ¥

= = =-òg

g g g (1.27)

になる。

Ⅲ.留数定理によるラプラス逆変換の確認

ラプラス逆変換(1.2)の複素定積分

( ) ( )12

si

i

xe F sf x dsi

s

sp

+ ¥

- ¥

= ò (1.28)

は、次の特別な場合：

( )( ) 1

1ns

F sa +=

-(1.29)

では

( )( ) 1

1 12 ! !

sx si n n

n

x ax

sn

i a

d xf x dsi n ds

e e es a n

s

sp

+ ¥

- ¥ =+ =

-= =ò (1.30)

の様に留数定理を用いて計算できる。計算できた結果を再度ラプラス変換(1.1)すれば、(1.29)の

( )F s に戻る。つまり、

( ) ( )( )0 0

1 !1

n

xx sx

as

n

F s e ds

x e xn

da

ef x x+

¥ ¥- -= Þ =

-ò ò (1.31)

と x積分の結果がわかっている。このような特別な場合では、

x積分の答えが分かる：( ) 1

0

1!

n axsx

nx ee dxn s a

¥-

+=-ò (1.32)

ので、

( ) 10

1!

n axsx

nx ee dxn s a

¥-

+=-ò

もし正しく積分できれば

(1.33)

の結果が得られるはずである。そこで、

0 !

n axsx x ee dx

n

¥-ò を積分計算して、積分結果が

( ) 11

ns a +-になる事を確認する

ことを見てみる。

0 !

n axsx x ee dx

n

¥-ò の積分にはガンマ関数 ( )xG を用いると簡単に計算できる。 ( )xG とは、



( )( ) ( )( ) ( )

1

0

11 ! 0,1,2,3,

t xx x x

x e t dtn n n

¥- -

G + = GìïG = Þ íG + = =ïî

ò (1.34)

と定義される。従って、

( )

( )( )( ) ( ) ( )

0 0 0

1 1 1 1! ! ! n

n axns a x s a xsx n s a x s a x

s ax ee dx x e dx e dn n n s a

¥ ¥ ¥- - - -- - -

-= =

-ò ò ò正

(1.35)

に於て、 ( )y s a x= - とすると、(1.34)より

( )

( )

( )( )

( )

1!

0 01 1 1

1 1 1 1 11! ! !

nnn ax

sx nn n

yn

x ee dx e ds a s a s a

yn

y nn n

G

+

+

¥- -

+

¥

+= =-

+- -

G =ò ò

(1.36)

を得る。ここで、(1.35)において、 ( )xG を用いるために

s a>

の条件がつく。その結果、

( ) 10

1!

n axsx

nx ee dxn s a

¥-

+=-ò

正しく積分できて

(1.37)

とわかった。以上から

0 !

n axsx x ee dx

n

¥-ò を積分計算して、積分結果が

( ) 11

ns a +-になる事を確認できた！！！

事になる。従って、

( ) ( )( )

( ) ( )

10

1!2

sx

is

n

xx

i

n a

e dx s afF ss a

Fe ds

x

x ef xi

sn

s

sp

¥-

+

¥

+

¥

-

= = Ü >

= =

-ò

ò

１

(1.38)

を得る。

Ⅳ.三角関数・双曲線関数

摩擦のある振動を記述する微分方程式を解く際に必要になる三角関数や双曲線関数のラプラス変

換をあらかじめ求めておく。三角関数：

cos sincos ,sin

2 2 cos sin

ikxikx ikx ikx ikx

ikx

e kx i kxe e e ekx kxi e kx i kx

- -

-

ì = ++ - ï= = Ü í= -ïî

(1.39)

や双曲線関数：



cosh sinhcosh ,sinh

2 2 cosh sinh

kxkx kx kx kx

kx

e kx kxe e e ekx kxe kx kx

- -

-

ì = ++ - ï= = Ü í= -ïî

(1.40)

を含む ( )f x のラプラス変換を求める。つまり

( )cos cosh

sin sinh

ax ax

ax ax

e kx e kxf x

e kx e kx

ì ìï ï= í íï ïî î

(1.41)

のラプラス変換を求める。摩擦のある場合に、バネの振動を起こす力は、バネの伸びを、 xとして

バネ力 ( ) 0 :kx k= - > ばね定数

摩擦力 ( )2 2 0 :dxd

R R Rt

= - = - >　摩擦の強さv

なので、力を2

2d xmdt

で置き換えて、運動方程式：

2

2 2d x dxm R kxdt dt

= - - (1.42)

を得る。両辺をmで割って

20

2

2 2 0d x R dx k xdt m dt m

wg

+ + = (1.43)

なので、それぞれの係数：

20

kmRm

w

g

ì =ïïíï =ïî

(1.44)

として、2

202 2 0d x dx x

dt dtg w+ + = (1.45)

である。特に、 0g = の場合の、解 xは、

0 0cos sinx A t B tw w= + (1.46)と知っているので、(1.45)をラプラス変換で解くには、三角関数のラプラス変換が必要になる。ま

た、(1.39)から、

( )( ) ( )

( )( ) ( )

cos cosh2 2

sin sinh2 2 2 2

ik ik

ik i

i x i x kx kx

i x i x kx kx kx kx kx kxk

e e e ex kx

e e e e e e e ex kxi i

ik

ik i ii

- -

- - - -

ì + += =

-

=ïïí

- - - -ï = = = = =ïî

(1.47)

がわかるので、双曲線関数のラプラス変換も、三角関数のラプラス変換の結果から求められる。

三角関数

ラプラス変換は、



( ) ( ) ( )0

cossin

axsx

ax

e kxF s e f x dx f x

e kx

¥- ìï= Ü = í

ïîò (1.48)

であるので、( )cos sin cos sinikx ax ikx ax axik xae i ekx kx e ke ix e kxe += + Þ = = + (1.49)

を用いて、

( ) ( )

0 0 0

cos sinsx sa ax axxik x x seF s e dx e dx i e dxe kx e kx¥ ¥ ¥

- -+ -= = +ò ò ò 実部虚部

(1.50)

を計算すれば良い。計算は簡単にでき、

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( )( )

0

0 0 00 1

0 0 1 1 00

a s ik x a s ik a s ika s ik xsx

a s a

a i

sik ika

x

s

k

s a

e e eF s e dx e dxa s ik a

s a

s ik

e e e e e ea s ik a s ik s ik

e

a

¥¥ ¥ - + - + ´¥ - + ´- +-

- ´¥ - ´´¥ ´- ´¥ -- ´¥

+ é ù -= = = =ê ú- + - +ë û

- -= Þ = = = =

- + - +-

->

-

ò ò (1.51)

なので、

( ) ( )

0

1s ik xx aF s e di

e xs a k

¥+-= =

- -ò (1.52)

を得る。従って、 ( ) 1F ss a ik

=- -

の実部と虚部を抜き出せば、0 0

,cos sinax asx sx xe kx e ke xdx e dx¥ ¥

- -ò ò 実部虚部

の積

分結果が分かる。1

s a ik- -を有理化の手続き：

( ) ( ) 2 21 x iy

x iyx iy

x iy x iy x y-

= =-

+ +-+(1.53)

をして、(1.50)と比較すれば

( )( ) ( ) ( )2 2 22 2 2

0 0

cos sinax axsx sxs a ik s a kF s i e dx i e dxs a k s a k s a

e kx e kxk

¥ ¥- -- + -

= = + = +- + - + - + ò ò

実部虚部実部虚部

(1.54)

である。つまり、

( )( )

( )

2 20

2 20

cos

sin

ax

a

sx

sx x

s ae de kx

e

xs a k

F ske dx

s a kkx

¥-

¥-

ì -=ï

- +ï= íï =ï - +î

ò

ò(1.55)

を得る。ラプラス逆変換と合わせて



( ) ( )( )

( ) ( )

( ) ( )( )

( ) ( )

02 2

02 2

1 1

2 2cos sin

sx sx

i isx sx

i

ax x

i

a

s a kF s F ss a k s a k

f x f xe dx e dx

e ds e dsi i

f x e kxF s F sf x e kxs s

s sp p

¥ ¥- -

+ ¥ + ¥

- ¥ - ¥

-- + - +

ì ì= = = =ï ï

ï ïí íï ï= = = =ï ïî î

ò ò

ò ò(1.56)

を得る。

双曲線関数

ラプラス変換は、

( ) ( ) ( )0

coshsinh

axsx

ax

e kxF s e f x dx f x

e kx

¥- ìï= Ü = í

ïîò (1.57)

であるが、と同様の手続きは使えない。その代り、双曲線関数と三角関数の対応から(1.47)を用い

て、三角関数のラプラス変換の結果の(1.54)を使うことができる。(1.47)を考慮して

( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

2 20 0

2 20 0

cos cosh

sin sinh

sx ax sx ax

sx ax sx ax

s ae e xdx e e kxdxikik

ik

s a

e e xdx e e kxdxs a

ik iik

¥ ¥- -

¥ ¥- -

-= =

- +

= =- +

ò ò

ò ò

　　

　

(1.58)

より、

( )( )

( )

2 20

2 20

cosh

sinh

ax

ax

sx

sx

s ae kx

e

e dxs a k

F ske dx

s a kkx

¥-

¥-

ì -=ï

- -ï= íï =ï - -î

ò

ò(1.59)

を得る。つまり、

( ) ( )( )

( ) ( )

( ) ( )( )

( ) ( )

02 2

02 2

1 1

2cosh sin

2h

sx sx

i isx sx

i i

ax ax

s a kF s F sfs a k

e dx es a k

F s F s

x f x dx

f x ee ds e dsi

ki

x f x e kxs s

s sp p

¥ ¥- -

+ ¥ + ¥

- ¥ - ¥

ì ì= = = =ï ï

ï ïí íï ï= = = =ïî

--

ï

-

î

- -ò ò

ò ò(1.60)

である。

Ⅴ.微分方程式を解く

(1.45)の微分方程式を ( )x f t= として解

( ) ( ) ( )2

202 2 0

d f x df xf x

dx dxg w+ + = (1.61)

を解く。(1.61)全体をラプラス変換するので

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2

2

22 20 02

00 0 0

2 2 0sx sx sx sxd fd f x df xf x e dx e

x df xe dx f x

dx dxdx e dx

dx dxg w g w

¥ ¥--

¥¥- -æ ö

+ + = + + =ç ÷è ø

ò ò òò



(1.62)であり、それぞれの微分項のラプラス変換が必要になる：

( ) ( ) ( )0

sxf x e f x dx F s¥

- =ò のラプラス変換の定義: (1.63)

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )00 0

sxsx s sx sx xdf xe dx f xe dx e f x

dxfx

sd

e ex

d

¥ ¥¥- -- - -é ù= - + Üë û

¢ ¢ = -ò ò のラプラス変換:

( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

( )

( )

( ) ( ) ( )

0 10

0

0 10

0

0

0

0 0

s

F x

sx s s

sx sf x dx e f e f

s e f x dx e f e f sF s f

se s´¥¥

- - ´

¥-

-

- ´¥ - ´

é ùê ú= - + ¥ -ê úë û

= + ¥ -

- >

= -

ò

ò

(1.64)

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )( ) ( )

( ) ( ) ( )

2

2

0

2

20 0 0

0 10

0

0

0

sF s

sx sx

f

sx

sx s s

d f x df x dfd f xdx

xe dx e dx e

dx dx dx

df x df dfs e dx e e

dx dx dxs

¥¥ ¥- - -

¥

-

- - ´¥ - ´

é ù¢= - + ê úë û

é ù¥ê ú= + -ê úë û

>

ò ò

ò

のラプラス変換:

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 0 0 00s s f s F s sfF s f f- ¢ ¢= - = - -

(1.65)

より、最終的に

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )2

2

0

0

2

0

0

0 0

sx

sx

sx

e dx F s

e dx sF s f

e dx s F s s

f x

df xdx

d f xdx

f f

¥-

¥-

¥-

=

= -

¢= - -

ò

ò

ò

(1.66)

を得る。

以上から、微分方程式のラプラス変換(1.62)は、(1.66)を用いて

( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( )

( )

( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )

2

2

0 0 0

20

0 0 0

20

2

2

0 2 0

2 0 0 0

s F s sf f sF s f F s

sx sx sxd f x df xf x

de dx e dx e dx

F s sF

x d

s f

x

s F s sf f

g w

g w

¢- - -

¥ ¥ ¥- - -= + + =

¢= + - + - -

ò ò ò

(1.67)

なので、

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )22 2

02 20

0 0 2 02 0 02

sf f f s f fF s

s s sg

g wg

w gg

¢ ¢+ + + += =

+ + -+ +(1.68)



を得る。ここで、 2 20w g- の符号によってｍ、3 つの場合分けが必要になり

( )( )

2 20

2 20

20

2

2

2

0 :

0 :

0

k

k

w g

w g

w

g

g

g

ì = >ïï = - <íï

=ïî

-

-

-

小さい摩擦弱い

大きい摩擦強い (1.69)

である。従って、ラプラス変換後の関数 ( )F s として、それに連れて

( )

( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( )( )

2 202

2 202

2 20

22

22

2

2 0 00

2 0 00

2 0 00

s f fk

s

s f fF s k

s

k

k

s f fs

w g

w g

w g

gg

gg

gg

ì ¢+ += >ï

+ïï ¢+ +ï= = - <í

+ïï ¢+ +ï =ï +

-+

--

î-

(1.70)

の 3 種類の関数が得られる。 2 2 2 20 00, 0w g w g- > - < では、 ( )F s が分数関数の(1.56)・(1.60)と比較で

きる。また、 2 20w g= では、の場合は、(1.38)と比較できる。

2 2 20 0kw g- = >

( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( )( )

( ) ( )( )

( )( )

( )( ) ( )( )

( )( )

( )

( )( )

( )

( ) ( ) ( ) ( )

2

2 2 22

2

2 22

2 2

2 2

2

2 0 0 0 0 0

0 0 0

0 0

cos

1

o

si

s

n

0 c

BA

a

x

axx

ss k

s aF ss a k

f x

kks k

kF ss

s f f s f f fF s

s k s k s k

f f f

a

f ff x f

k

e

a k

f x e kxkx

e ekxg

g g gg g

gg g

g

g

g

g-

+ +

-

++ +

-=

- +

¢ ¢+ + + +

+

= = ++ + + + + +

¢= + +

ì ì =ï ïÜ = - í íï ï=î î

¢+=

=

+

( )cos sin nsi xx e A k B kkx x xgg- -= +

(1.71)

2 2 20 0kw g- = <

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( )( )

( ) ( )( )

( )( )

( )

( )( )

( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 0 00 0 0

0 00 cosh si

cosh

cosh

1

sinh

sin nhh

ax

B

x

A

a

x xx

s f fF s f f f

s k

a

f ff x f e A k

kks k

kF ss a k

f x e kx

e kx

ss k

s aF ss a k

f x e kx

e kx x B kxk

g gg

gg

gg

g

g

g

g

- - -

¢+ +¢= = + +

+ -

ì ì =ï ïÜ = - í

+ -

- -

=í

ï ï=î î

¢+

++ -

-=

-

= =

-

+ +

(1.72)



2 20 0w g- =

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( )( )

( ) ( )( )

( )( )

( ) ( )( )

2

2

2 2

2 0 0 10 0 0

1 0 1 0 0

s f f sF s f f

s

fs s s

sf f f

g g gg g g

gg g+

¢+ + + ¢= = + ++ +

+

+

¢= + +

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )( )

( )( )

( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1

1 2

1 1

1

0 00

1!

n

n

n axnax

BA

x

ax

n

axxx

a

x

G s G sF s

s a s a

d def x e G an da da

d

aG sn

f ff x f Ae B e

G

e xeda

sF s

s af x

k

e G a

e A Bxg gg g

g

g

g - --

=

+

=

-

=-

ì= - ì ï

ï ïÜ = í íï ï= î ïî

¢+=

= =- -

= =

é ùê úë

=

+ = +

-

û

=

= +

(1.73)

と計算できる。以上から、微分方程式(1.61)の解は・・・

( )( ) ( )( )( ) ( )

2 2 2 2 20 0

2 2 2 20 0

2 2 2 2 20 0

cos sin :

:

cosh sinh :

x

x

x

e A kx B kx k

f x e A Bx

e A kx B kx k

g

g

g

w g g w g

w g g w g

g w g w g

-

-

-

ì + - = Þ <ïï= + = Þ =íï + - = Þ >ïî

小さい摩擦弱い

変わり目の境界

大きい摩擦強い

(1.74)

である。(1.74)に有るように、g の強さによって、振動の様子が変化することがわかる。

付録

複素定積分

( )( )

( )( )

( )( )

( )

( )( )

( )( )

( )( )

( )

1 1 1

1 1 1

, , ,1 1 1 02 2 2

, , ,1 1 1 02 2 2

n n nC

n n nC

z x z x z xdz dz dz x

i i iz a z a z a

z x z x z xdz dz dz x

i i iz a z a z a

p p p

p p p

+ + +

+ + +¢

= + >- - -

= + <- - -

ò ò ò

ò ò ò

g g g

g g g(1.75)

は、

虚軸

実軸

C

a´ s

0x >

iRs -

iRs +

R®¥

虚軸

実軸

C¢

a´ s

0x <

iRs -

iRs +

R®¥

を積分経路として持つ。そこで、複素定積分の結果が、

( )( )

( ) ( )( )

( )1 1

, ,1 10 0 0 02 2n n

z x z xdz x dz x

i iz a z ap p+ += > = <- -ò òg g



であると、

( )( )( )

( )( )

( )( )1 1or 1

,, ,1 12 22

1n nC C

i

ni

z x z xdz dz

i iz a z as x

dsi s a

s

spp p+

¥

++¢

+

- ¥

=-

=- -ò ò ò

同じ事g gg(1.76)

と計算ができる。

この証明、つまり、

右半円と左半円の定積分が 0になること

を示す必要がある。

左半円の定積分が 0公式

( ) ( ) f z dz f z dz£ò ò (1.77)

を用いると、

( )0

lim 0R

f z dz®

=ò (1.78)

を証明すれば良い。左半円上の点 zは、

( )23 02 2

iiz Re Re

pqq p ps q q p

æ ö+ç ÷è øæ ö- = £ £ = £ £ç ÷

è ø(1.79)

と表わせ、 2 cos sin2 2

ie i i

p p p= + = より

( ) 0iz iRe qs q p= + £ £ (1.80)

を得る。求める積分は

( ) ( )( ) 1

12

z

n

xe G zf x dz

i z ap +=-ò (1.81)

なので、

( ) ( ) ( ) ( )( ) 1

iRzx zx

niR

G ze f z dz e f z dz f z

z a

s

s

+

+-

= Ü =-ò ò (1.82)

のタイプである。 ( )0

lim R

f z®

= ¥であると、明らかに(1.78)は満たされないので、少なくとも

( ) ( )( )0

lim : R i

Rf z z i eR Rqe s

®= = = +有限値と表わすなのでによる (1.83)

が成立する必要がある。

まず、

( )Re ii i i

i

eded idz iR iR R dz Rd

ddd

eieq

qq qq

qqq

sq

+= = = = - Þ = - (1.84)



を用いて、

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )Re

0 0

e

e e i i

iRzx zx

i

i

i i

R

x i x iRxe i

e f z

z z z i

z iR

R d R e

dz e f z dz

e f e f Rdq q q

s

s

q

p ps q s q

s

q q s

+

-

+ +

= +

= - - == +

=

ò

ò

ò

ò(1.85)

を得る。ここで、( )cos sin sin cosi x iRxx iRx x Rx iRxiee e e e

q q qss s q q++ - ++= = (1.86)を用いると、

( ) ( ) ( )sin cos

0

ex Rx iRx i izx R e dze f z dz e if ze Rp

s qq q qq s- + += - =òò (1.87)

になる。そこで、 ( ) ( )zx zxe f z dz e f z dz£ò ò を用いて、

( ) ( ) ( )

( ) ( )

sin cos

0

sin cos sin

0 0

ex Rx iRx i

x Rx iRx i x R

x i

x

ze f z dz e e f

e e

R e d

R f e d

z z iR

z R df ze e

ps q

p ps q

q q q

q sq q

q

q

s

q

- +

- + -

= += -

£ =

òò

ò ò(1.88)

を得る。ここで、

sin cos sin cos si n

1

n cos siRx iRx Rx iRx Rx iRx Rxe e e e e eq q q q q q q- + - -

=

-= = =

(1.89)

を用いた。(1.83)を ( )f z 適用して、

( ) ( ) s

0

inx Rx xze Rf z d dz R e e qp

se q-£ò ò (1.90)

を得る。更に、積分領域を ( )0.p から ( )0, 2p に変更し、図から分かる

2sin 02

q pq qp

æ ö³ £ £ç ÷è ø

(1.91)

の関係を用いる。そのために、積分範囲を 2p の２つの範囲： ( ) ( )0, 2 , 2,p p p に分けて

( ) ( ) ( )sin sin s2

n

2

i/

0 0 /

Rx Rx Rxz z ze f e f e fd d dp p p

p

q q qq q q- - -= +ò ò ò (1.92)

であるが、第 2 項の ( )2,p p は

sinq2q p

1,2pæ ö

ç ÷è ø

q



sin sind d

q p qq q

q q

¢ = -ìï ¢ =íï ¢ = -î

(1.93)

の変数変換を用いる。変数変換により、 ( )0, 2p になり

sin sin sin s0 /2

in

/2 / 0

2

2

/

0

Rx Rx Rx Rxd d de e e e dpp p

p p

qq q

q q qq q q q¢- - -¢-¢

=¢ ¢= - =ò ò òò定積分の積分変数なのでをにしてよい

(1.94)

を得る。つまり、積分範囲を 2p の２つの範囲： ( )0, 2p では、

/2sin sin sin sin

/2 /2

0 0 0 0

2Rx Rx Rx Rxe d e d e d e dq qp

q qp p p

q q q q- - - -= + =ò ò ò ò (1.95)

である。(1.91)の不等式より、

2sin sin

/2 /2

0 0 0

2 2RxRx Rxe d e d e d

p qq q p

p p

q q q-- -= £ò ò ò (1.96)

q 積分を実行して

( ) ( )/2 2 2 2

sin

0 0 0

2 2 1 12

Rx RxRx Rx Rxe d e d e e eRx Rx Rx

pp p q q

q p pp p pq q- -- - -é ù

£ = - = - - = -ê úë û

ò ò (1.97)

である。ここで、

( ) ( )1 0lim 1 Rx

R

xe-

®¥

>- =

-¥ ( )0x

ìïí

<ïî

のように

0x > や 0x < の値によって、結果が変わる

事がわかる。-¥はここでは使えないので 0x > の値：

( ) ( )lim 1 1 0Rx

Re x-

®¥- = >

を使うことになる。従って、

( )sin

0

lim lim li1 mRx

R R

Rx

Re d e

Rx Rx

pq p pq

®¥ ®¥ ¥

- -

®£ - £ò (1.98)

より、(1.88)は、

( ) ( ) ( ) ( )sin

0

lim lim lim limz Rx

x x

R R R R

xx e dR R R ee f z RR e exRx

dzs

s sp

q pe ee pq®¥ ®¥ ®¥ ¥

-

®£ £ =òò (1.99)

となる。以上から



( ) ( ) ( ) ( )lim 0 lim lim0 0 0R

zx

R

zx

Re f z dzR e f z dz xe

®¥ ®¥ ®¥= Þ == Þ >ò ò (1.100)

なので、条件として

( )0

lim 0R

f z®

= (1.101)

を得る。

右半円の定積分が 0公式

( ) ( ) f z dz f z dz£ò ò (1.102)

を用いると、

( )0

lim 0R

f z dz®

=ò (1.103)

を証明すれば良い。右半円上の点 zは、

( )2 02 2

iiz Re Re

pqq p ps q q p

æ ö-ç ÷è øæ ö- = - £ £ = £ £ç ÷

è ø(1.104)

と表わせ、

( ) 0iz iRe qs q p= - £ £ (1.105)

を得る。同様な計算により

( ) ( ) n

0

six Rxzx R de f z dz R e ep

s qe q£ò ò (1.106)

を得る。ここで

(1.90)の sinRxe q- と(1.106)の sinRxe q+ の符号の違い

により

( ) ( )lim 1 1 0Rx

Re x

®¥- = <

なので、

( ) ( ) ( ) ( )lim 0 lim lim0 0 0R

zx

R

zx

Re f z dzR e f z dz xe

®¥ ®¥ ®¥= Þ == Þ <ò ò (1.107)

を得る。条件は、

( )0

lim 0R

f z®

= (1.108)

である。

ラプラス変換

ラプラス変換の場合は、



( ) ( )( ) 1n

G zf z

z a +=-

(1.109)

なので、

( ) ( )( )

( )( )( )

( )0 10 0

0lim lim 0 lim 0

0R n

i

iR R

G zG z

z iRe xf z

z iRe xz a

q

q

sq p

s+® ® ®

ì = + >ï= = Þ = £ £í= - <ïî-

有限 (1.110)

であれば、

( )( )( )

( )( )

( )( )11o 1r

, ,1 112

,2 2nC

i

n ni

C

z x s xdz ds

i iz az x

dzi z a s a

s

sp pp

+ ¥

+ +- ¥

+¢=

-=

- -òò ò同じ事g gg

(1.111)

が成立する。留数定理により、

( )( )

( )( ) ( )

( )( )

( )

1

1

1 0!

0 12

1

0

2

nzx

nax

C

zx

nC

n

e G zdz

i z a

e G

d e G a

zdz

i

n d

xa

x

z

ap

p

+

+¢

= >-

=-

<

ò

ò

留数定理

留数定理

と計算できる。

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1/18 ラプラス変換 - 東海大学yasue/ffn/Laplace.pdf1/18 ラプラス変換 【安江正樹＠東海大学理学部物理学科】 ラプラス変換 Ⅰ. ラプラス変換・逆変換

1/18 ラプラス変換 - 東海大学yasue/ffn/Laplace.pdf1/18 ラプラス変換【安江正樹＠東海大学理学部物理学科】ラプラス変換 Ⅰ. ラプラス変換・逆変換