Upload
gladysbetty
View
1.447
Download
11
Embed Size (px)
Citation preview
Tema
1111HIPÓTESIS CON
UNA SOLA MUESTRA
Material de Clases © Jorge Córdova Egocheaga. Febrero 2003
1. Utilizar datos provenientes de una muestra aleatoria para conocer el parámetro poblacional.
2. Comprender los dos tipos de errores posibles que se producen al probar una hipótesis.
3. Plantear pruebas de una cola y pruebas de dos colas.
4. Realizar el procedimiento para probar hipótesis.5. Usar con propiedad las distribuciones t ,Z y 2 para
probar hipótesis sobre medias, proporciones y varianzas de población.
Al finalizar el Tema 11, el participante será capaz de:
OBJETIVOS
Material de Clases © Jorge Córdova Egocheaga. Febrero 2003
1. Conceptos básicos
2. Prueba de hipótesis acerca de la media poblacional
3. Prueba de hipótesis acerca de la proporción poblacional
4. Prueba de hipótesis acerca de la varianza poblacional
CONTENIDO
Material de Clases © Jorge Córdova Egocheaga. Febrero 2003
11.1 CONCEPTOS BÁSICOS
Hipótesis planteada o nula. Hp ó H0
Es la suposición que el parámetro tome un determinado valor.
Ejemplo: La hipótesis nula es que la media de la población es igual a 200.
Ho : = 200
(A) Hipótesis: Suposición acerca del parámetro.
Material de Clases © Jorge Córdova Egocheaga. Febrero 2003
Hipótesis alternativa (Ha o H1) Es el complemento de la hipótesis nula. Se acepta cuando se rechaza la hipótesis nula.FormasSi Ho : = 200 Ha : 200Si Ho : 200 Ha : > 200Si Ho : 200 Ha : < 200
La condición “igual” siempre se considera en la hipótesis nula
Material de Clases © Jorge Córdova Egocheaga. Febrero 2003
Las siguientes afirmaciones son hipótesis estadísticas.
La media de vida de los peruanos es de 72 años.
La eficacia de dos medicamentos para curar el cáncer es similar.
Las notas de la el aula sigue un modelo normal de media de 12 y desviación estándar de 2.5
Una prueba de hipótesis permite aceptar o rechazar si determinadas afirmaciones son ciertas o falsas en función de los datos observados en una muestra.
Material de Clases © Jorge Córdova Egocheaga. Febrero 2003
El propósito de la prueba de hipótesis no es cuestionar el valor calculado del estadístico (muestral), sino hacer un juicio con respecto a la diferencia entre estadístico de muestra y un valor planteado del parámetro.
(B) Objetivo de la prueba de hipótesis.
Material de Clases © Jorge Córdova Egocheaga. Febrero 2003
(C) Nivel de significación ()
Si suponemos que la hipótesis planteada es verdadera, entonces, el nivel de significación indicará la probabilidad de no aceptarla, es decir, estén fuera de área de aceptación.
-Z0 Z0
(1 -
Zona deAceptación
Material de Clases © Jorge Córdova Egocheaga. Febrero 2003
El nivel de confianza (1-), indica la probabilidad de aceptar la hipótesis planteada, cuando es verdadera en la población.
Material de Clases © Jorge Córdova Egocheaga. Febrero 2003
EN LA POBLACIÓN ACEPTAR Hp RECHAZAR Hp
Hp es cierta Decisión correcta Error tipo I ó
Hp es falsa Error tipo II ó Decisión correcta
Cualquiera sea la decisión tomada a partir de una prueba de hipótesis, ya sea de aceptación de la Hp o de la Ha, puede incurrirse en error:
La muestra seleccionada conduce a
(D) Tipos de errores
Material de Clases © Jorge Córdova Egocheaga. Febrero 2003
Zona de Rechazo Hp
(1 -
(1 -
Poder de la pruebaHp o
Zona de aceptación Hp1
Ha o
Zona de rechazo
si Hp es cierta
o
Material de Clases © Jorge Córdova Egocheaga. Febrero 2003
Si la hipótesis planteada, Hp : 0 , es cierta, la zona de rechazo, , medirá la probabilidad de que se rechace dicha hipótesis siendo cierta, incurriendo en Error Tipo I o .
Supongamos que la hipótesis planteada es falsa, Hp: 0 , y que la alternante Ha: > 0 es verdadera, y si los resultados de la muestra nos conducen a aceptar la hipótesis planteada, estamos cometiendo el Error Tipo II ó
Material de Clases © Jorge Córdova Egocheaga. Febrero 2003
La magnitud del Error depende de la magnitud del Error y de la discrepancia entre 0 y 1
Se observa la existencia de una relación inversa entre la magnitud de los errores y : conforme aumenta, disminuye.
Material de Clases © Jorge Córdova Egocheaga. Febrero 2003
Esto obliga a establecer con cuidado el valor de para las pruebas estadísticas. Lo ideal sería establecer y . En la práctica se establece el nivel y para disminuir el Error se incrementa el número de observaciones en la muestra, pues así se acortan los limites de confianza respecto a la hipótesis planteada.
Material de Clases © Jorge Córdova Egocheaga. Febrero 2003
La meta de las pruebas estadísticas es rechazar la hipótesis planteada. En otras palabras, es deseable aumentar cuando ésta es verdadera, o sea, incrementar lo que se llama poder de la prueba (1- )
La aceptación de la hipótesis planteada debe interpretarse como que la información aleatoria de la muestra disponible no permite detectar la falsedad de esta hipótesis.
Material de Clases © Jorge Córdova Egocheaga. Febrero 2003
Hp : = 200
Ha : 200
a) Prueba bilateral o de dos extremos: la hipótesis planteada se formula con la igualdad
E) Tipos de prueba
Ejemplo
-Z0 Z0
(1 -
Zona deAceptación
Material de Clases © Jorge Córdova Egocheaga. Febrero 2003
Hp : 200
Ha : < 200
Hp : 200Ha :> 200
b) Pruebas unilateral o de un extremo: la hipótesis planteada se formula con o
(1 - (1 -
Material de Clases © Jorge Córdova Egocheaga. Febrero 2003
11.2 Prueba de hipótesis acerca de la media poblacional
Se afirma que el salario diario medio de los técnicos de una cierta zona minera es de S/.65,42, con una desviación estándar S/. 2,32. Una muestra de 144 técnicos que laboran en esa zona reciben un salario diario medio de 64,82 soles. ¿Puede considerarse este resultado como sustento para afirmar que técnicos de esa zona tienen un salario diario diferente de S/. 65,42 a un nivel de significación = 0,05 ?.
(A) Con varianzas conocidas (muestras grandes)Ejemplo:
Material de Clases © Jorge Córdova Egocheaga. Febrero 2003
1) Plantear las hipótesis:
Hp : = 65,42
Ha : 65,42
2) Seleccionar el nivel de significación: = 0.05
3) Elegir la prueba estadística:
Los supuestos son:• la población está normalmente distribuida.• la muestra ha sido seleccionada al azar.
c
-x
x
Procedimiento
Material de Clases © Jorge Córdova Egocheaga. Febrero 2003
Si { -1.96 Zc 1.96 } se acepta la Ho, en caso contrario se rechaza.
5) Cálculos: 10,3
14432,2
42,6582,64c
-Z0
-1.96
Z0
1,96
(1 -
4) Determinación de los criterios de decisión
Material de Clases © Jorge Córdova Egocheaga. Febrero 2003
(1) Se rechaza la hipótesis planteada y se acepta la hipótesis alternante a un nivel de significación de 0,05. La prueba resultó ser significativa.
(2) La evidencia estadística permite rechazar la hipótesis planteada.
(3) Por lo tanto los datos muestrales confirman que el promedio de salarios diarios de los técnicos de la zona de estudio es menor de S/.65,42.
6) Conclusiones
Material de Clases © Jorge Córdova Egocheaga. Febrero 2003
El administrador de un centro de salud desea saber si el tiempo medio invertido por los pacientes en la sala de espera es mayor que 20 minutos. Una muestra de 100 pacientes permanecieron, en promedio, 23 minutos en la sala de espera entre el registro y la atención por algún médico del centro de salud. La desviación estándar de la muestra fue de 10. Sea =0.05
EJEMPLO
: 20Ho : 20Ha
2.Definir la prueba estadística: Como n = 100, entonces se aplica PRUEBA Z
1. Plantear las hipótesis
Material de Clases © Jorge Córdova Egocheaga. Febrero 2003
4. Determinar el valor crítico: Como = 0,05 y es de una sola cola, entonces Z = 1.645
1,645
Criterios de decisión
Si prueba Z es mayor que 1,645, se rechaza Ho.
Si prueba Z es menor o igual que 1,645, se acepta Ho.
0
3. Seleccionar el nivel de significación = 0,05
Material de Clases © Jorge Córdova Egocheaga. Febrero 2003
5. Realizar el cálculo del estadístico Z
23 20 33
10 1100
x
xZ
s
6. Conclusiones
(A) Se rechaza la hipótesis planteada, se acepta la hipótesis alternante a un nivel de significación de 0,05. La prueba resultó significativa
(B) Los datos disponibles como evidencia empírica, han permitido rechazar la hipótesis planteada.
(C) El tiempo que espera un paciente muy probablemente sea mayor a los 20 minutos.
Material de Clases © Jorge Córdova Egocheaga. Febrero 2003
EJEMPLO
Una encuesta en 64 laboratorios médicos reveló que el precio medio cobrado por realizar cierta prueba es de S/. 12.00 con una desviación estándar de S/. 6.00. ¿ Proveen estos datos la suficiente información para indicar que la media de la población es mayor que 10?. Sea = 0.01
Material de Clases © Jorge Córdova Egocheaga. Febrero 2003
EJEMPLO
Los siguientes datos son los consumos de oxígeno (en ml) durante la incubación de una muestra aleatoria de 15 suspensiones celulares: 14.0, 14.1, 14.5, 13.2, 11.2, 14.0, 14.1, 12.2, 11.1, 13.7, 13.2, 16.0, 12.8, 14.4, 12.9.
¿Proporcionan estos datos suficiente evidencia, aun nivel de 0.05 de significación , de que la media de la población no es igual a 12 ml.?.
Material de Clases © Jorge Córdova Egocheaga. Febrero 2003
El administrador de una clínica quiere saber si la población que concurre a una clínica A tiene un ingreso medio familiar mayor al de la población que concurre a una clínica B. Los datos consisten en los ingresos familiares de 75 pacientes internados en la clínica A y 80 pacientes internados en la clínica B. Las medias de las muestra son S/ 6800 y S/ 5450 respectivamente, y varianzas de S/ 600 y S/ 500 respectivamente.
EJEMPLO
Material de Clases © Jorge Córdova Egocheaga. Febrero 2003
Un epidemiólogo desea comparar dos vacunas antirrábicas para averiguar si es posible concluir que existe diferencia en su efectividad. Las personas que previamente habían sido vacunada contra la rabia se dividieron en dos grupos. El grupo 1 recibió una dosis de refuerzo de la vacuna del tipo 1, y el grupo 2 recibió una dosis de refuerzo de la vacuna del tipo 2. Las respuestas de los anticuerpos se registraron dos semanas después: Grupo n s
1 10 4.5 2.5
2 9 2.5 2.0
x
EJEMPLO
Material de Clases © Jorge Córdova Egocheaga. Febrero 2003
EJEMPLO
Doce individuos participaron en un experimento para estudiar la efectividad de cierta dieta, combinada con un programa de ejercicios, para la reducción de los niveles de colesterol en suero. ¿ proporcionan estos datos la evidencia suficiente para concluir que el programa de ejercicios y dieta es efectivo para la reducción de los niveles de colesterol en el suero?.
Antes: 201, 231, 221, 260, 228, 237, 326, 235, 240, 267, 284, 201
Después: 200, 236, 216, 233, 224, 216, 296, 195, 207, 247, 210, 209
Material de Clases © Jorge Córdova Egocheaga. Febrero 2003
Antes del inicio de un programa de inmunización contra la rubéola en un área metropolitana, una encuesta reveló que 150 integrantes de una muestra de 500 niños de primaria habían sido inmunizados contra esta enfermedad. ¿son compatibles estos datos con el punto de vista de que el 50% de los niños de primaria de dicha área habían sido vacunados contra la rubéola?.
EJEMPLO
Material de Clases © Jorge Córdova Egocheaga. Febrero 2003
Ejemplo: En un programa de mejoramiento del desempeño en un centro de salud los participantes miden su progreso mediante el tiempo que les toma realizar cierto proceso. Se tomó una muestra de 25 sujetos de esta empresa para medirles el tiempo que requieren para culminar el proceso (en minutos) de otorgar una cita a un paciente, encontrándose una media muestral de 11,7 minutos y una desviación de estándar de 2,3 minutos. ¿Se puede afirmar que el tiempo medio para culminar este proceso es inferior de 12 minutos?. Utilice un nivel de significación = 0,05.
(B) Con varianzas desconocidas (muestras chicas)
Material de Clases © Jorge Córdova Egocheaga. Febrero 2003
1) Hipótesis: Hp : 12
Ha :12
2) Nivel de significación: = 0,05
3) Prueba estadística:
Los supuestos son:•la población se distribuye normalmente.•la muestra elegida al azar.
tcxSn
-
Solución
Material de Clases © Jorge Córdova Egocheaga. Febrero 2003
4) Criterios de decisión
to con GL = 24 y = 0,05
Si { tc>-1,711} se acepta la Hp en caso contrario se rechaza
-t0-1.711
(1 -
Material de Clases © Jorge Córdova Egocheaga. Febrero 2003
5) Cálculos:
6522,0
253,2
1270,11c t
Material de Clases © Jorge Córdova Egocheaga. Febrero 2003
6) Conclusiones
Se acepta la hipótesis planteada a un nivel de significación de = 0,05. La prueba resultó no significativa.
Los datos muestrales no permiten afirmar que el tiempo requerido para culminar la tarea es inferior a 12 minutos.
Material de Clases © Jorge Córdova Egocheaga. Febrero 2003
Ejemplo
Se hizo un estudio de una muestra de 25 registros de pacientes de un hospital de enfermedades crónicas tomando como base pacientes externos. El número medio de visitas por paciente fue 4,8 y la desviación estándar muestral fue de 2. ¿Puede concluirse a partir de estos datos que la media de la población es mayor que cuatro visitas por paciente?. Suponga que la probabilidad de cometer error del tipo I es de 0,05.
Material de Clases © Jorge Córdova Egocheaga. Febrero 2003
11.3 Prueba de hipótesis acerca de la proporción poblacional ()
El Gerente de la Clínica Santa María afirma que por lo menos 55% de los pacientes se encuentra plenamente satisfecho con los servicios recibidos. ¿Qué conclusión puede obtenerse si de una muestra aleatoria de 500 pacientes 245 manifestaron su preferencia?. Utilice un nivel de significación = 0,01 para comprobar la afirmación.
Proporción muestral 49,0
500
245=p :
Ejemplo:
Material de Clases © Jorge Córdova Egocheaga. Febrero 2003
1) Planteo de Hipótesis:
Hp : 0,55
Ha : 0,55
2) Nivel de significación: = 0,01
3) Prueba estadística:
Los supuestos son:• la población se distribuye
normalmente.• la muestra ha sido seleccionada al
azar.
p
-pc
Material de Clases © Jorge Córdova Egocheaga. Febrero 2003
Si { Zc>-2,33} se acepta la hipótesis planteada, en caso contrario se rechaza.
Z-2,33
(1 -
4) Criterios de decisión
Material de Clases © Jorge Córdova Egocheaga. Febrero 2003
5) Cálculos
p n
( )1
022,0500
)45,0)(55,0(p
Reemplazando valores en Z:
73,2022,0
06,0
022,0
55,049,0 Z
Material de Clases © Jorge Córdova Egocheaga. Febrero 2003
6) Conclusiones 1) Se rechaza la hipótesis planteada y se acepta
la hipótesis alternante a un nivel de significación = 0,01. La prueba resultó ser altamente significativa.
2) La evidencia empírica nos permite rechazar la hipótesis planteada.
3) El Gerente de Clínica está equivocado en su afirmación, puesto que el resultado de la prueba indica que los pacientes que se encuentran plenamente satisfechos es menor a 55%.
Material de Clases © Jorge Córdova Egocheaga. Febrero 2003
11.4 Prueba de Hipótesis acerca de la varianza poblacional
El Gerente de Producción una fábrica productora de material quirúrgico, entre ellos agujas N° 21, desea que la variabilidad de éstas sea a lo más 0,0005 pulgadas cuadradas y para el efecto, decide tomar una muestra de su producción escogiéndola al azar obteniendo los resultados: 1,13; 1,12; 1,15; 1,10; 1,11; 1,18; 1,20; 1,14; 1,12; 1,19; 1,10; 1,14; 1,13.La probabilidad de cometer error tipo I escogido por el fabricante es 0,01.
Ejemplo:
Material de Clases © Jorge Córdova Egocheaga. Febrero 2003
1) Planteo de Hipótesis:
Hp : 0,0005
Ha : 0,00052) Nivel de significación: = 0,013) Prueba estadística: (n – 1) S2
Los supuestos son:• la población se distribuye normalmente.• la muestra ha sido seleccionada al azar.
Material de Clases © Jorge Córdova Egocheaga. Febrero 2003
Si { 26,217 } se rechaza la hipótesis planteada, en caso contrario se acepta.
2=0,01
(1 - 0,99
2
2
26,217
4) Criterios de decisión
Material de Clases © Jorge Córdova Egocheaga. Febrero 2003
Datos:n = 13S2= 0,0011634
(13 – 1) (0,0011634) 0,0005
= 27,92736
5) Cálculos
Material de Clases © Jorge Córdova Egocheaga. Febrero 2003
6) Conclusiones
1) Se rechaza la hipótesis planteada y se acepta la hipótesis alternante a un nivel de significación = 0,01. La prueba resultó ser altamente significativa.
2) La evidencia empírica nos permite rechazar la hipótesis planteada.
3) La variabilidad de la longitud de las agujas N° 21 excede a los límites establecidos. El producto no tiene una calidad uniforme.
Material de Clases © Jorge Córdova Egocheaga. Febrero 2003
HOJA DE COMPROBACIÓN
1. En la prueba de hipótesis, suponemos que algún parámetro de población toma un valor particular antes de muestrear. Esta suposición que debe probarse se denomina hipótesis alternativa
2. Suponiendo que una hipótesis dada acerca de la media de una población es correcta entonces el porcentaje de medias de muestra que pudieran caer fuera de ciertos limites de esta media hipotetizada se denomina nivel de significancia
2. En la prueba de hipótesis, la distribución de probabilidad apropiada es siempre la distribución normal
Material de Clases © Jorge Córdova Egocheaga. Febrero 2003
4. Si cometiéramos un error de tipo I, rechazaríamos una hipótesis nula cuando realmente es verdadera
5. Una prueba en la escala sin procesar o en la escala estandarizada nos llevaría a la misma conclusión
6. Si 1,96 es el valor critico de z, entonces el nivel de significancia de la prueba es 0,05
7. Si nuestras hipótesis nula y alternativa son Ho: = 80 y H1: < 80, es apropiado utilizar una prueba de extremo izquierdo
Material de Clases © Jorge Córdova Egocheaga. Febrero 2003
8. Si la media de muestra estandarizada esta entre cero y el valor critico, entonces no debería rechazar Ho
9. El valor 1 - se conoce como la potencia de la prueba
10. Después de efectuar una prueba de un extremo y rechazar Ho se da usted cuenta de que debería haber hecho una prueba de dos extremos, al mismo nivel de significancia. También rechazará Ho para esa prueba
11. A menudo, aunque no siempre, es posible establecer el valor de de manera que obtengamos un equilibrio libre de riesgos en la prueba de hipótesis
Material de Clases © Jorge Córdova Egocheaga. Febrero 2003
12. Usted efectúa una prueba de hipótesis de dos extremos en una media de población y ha establecido el nivel = 0,05. Si la estadística cae dentro de 0,95 del área alrededor de Ho , usted ha probado que la hipótesis nula es cierta
13. Si las pruebas de hipótesis se hicieran a un nivel de significancia de 0,60, la hipótesis nula generalmente se aceptaría cuando no es verdadera
14. Si Ho , = 50 y = 0,05, entonces 1 - debe ser igual a 0,95 cuando = 50.
Material de Clases © Jorge Córdova Egocheaga. Febrero 2003
15. Para un nivel de significancia dado, los valores críticos de t se acercan a 0 al incrementarse el tamaño de la muestra
16. Elegir el nivel de significancia apropiada es mas fácil que elegir la prueba correcta que se debe utilizar
17. Existen métodos matemáticos que garantizan que el nivel de significancia escogido siempre será el apropiado
18. La prueba de hipótesis nos ayuda a sacar conclusiones sobre parámetros estimados
Material de Clases © Jorge Córdova Egocheaga. Febrero 2003
19. Una prueba de hipótesis será útil para determinar si una media de población es 45 o 60 (es decir, Ho: = 45; H1 : = 60)
20. La prueba de hipótesis no puede aprobar inequivocadamen- te la verdad con respecto al valor de un parámetro de población
21.Es apropiado utilizar la potencia de una prueba de hipótesis solo con pruebas de un extremo