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8/16/2019 11.LFyC.Cardinalidad.pdf

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RelacionesEquipotencia

Conjuntos NumerablesPropiedades de conjuntos numerables

Conjuntos Infinitos

Cardinalidad

Juan Manuel Rabasedas

10/03/2011

Juan Manuel Rabasedas Cardinalidad

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Conjuntos Infinitos

Conceptos Básicos

Definiremos como relación entre dos conjuntos A y B un conjuntoR ⊆ A × B

A × B = {(a, b), a ∈ Ayb ∈ B}


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Conjuntos Infinitos

Conceptos Básicos


A × B = {(a, b), a ∈ Ayb ∈ B}

A y B pueden ser el mismo conjunto.


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Conjuntos Infinitos

Conceptos Básicos


A × B = {(a, b), a ∈ Ayb ∈ B}

A y B pueden ser el mismo conjunto.Promiedades:

aRb ≡ (a, b) ∈ R, a Rb ≡ (a, b) /∈ R


R l i

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Conjuntos Infinitos

Conceptos Básicos


A × B = {(a, b), a ∈ Ayb ∈ B}


aRb ≡ (a, b) ∈ R, a Rb ≡ (a, b) /∈ R

Reflexiva ∀a ∈ A, aRa


R l i

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Conjuntos Infinitos

Conceptos Básicos


A × B = {(a, b), a ∈ Ayb ∈ B}


aRb ≡ (a, b) ∈ R, a Rb ≡ (a, b) /∈ R


Simétrica ∀a,b ∈ A si aRb ⇒ bRa


Relaciones

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Conjuntos Infinitos

Conceptos Básicos


A × B = {(a, b), a ∈ Ayb ∈ B}


aRb ≡ (a, b) ∈ R, a Rb ≡ (a, b) /∈ R



Antisimétrica ∀a,b ∈ A si aRb y bRa ⇒ a = b


Relaciones

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Conjuntos Infinitos

Conceptos Básicos


A × B = {(a, b), a ∈ Ayb ∈ B}


aRb ≡ (a, b) ∈ R, a Rb ≡ (a, b) /∈ R



Antisimétrica ∀a,b ∈ A si aRb y bRa ⇒ a = bSi a = b y aRb ⇒ b Ra


Relaciones

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Conjuntos Infinitos

Conceptos Básicos


A × B = {(a, b), a ∈ Ayb ∈ B}


aRb ≡ (a, b) ∈ R, a Rb ≡ (a, b) /∈ R



Antisimétrica ∀a,b ∈ A si aRb y bRa ⇒ a = bSi a = b y aRb ⇒ b Ra

Transitiva ∀a,b,c ∈ A si aRb y bRc ⇒ aRc


Relaciones

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Conjuntos Infinitos

Relaciones de equivalencia

Definición

Una relaci´ on de dice que es de equivalencia cuando es:


Relaciones



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EquipotenciaConjuntos Numerables

Propiedades de conjuntos numerablesConjuntos Infinitos


Definición


Reflexiva


Relaciones

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Definición


Reflexiva Simétrica


Relaciones



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Definición


Reflexiva Simétrica Transitiva


RelacionesE i i



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Definición


Reflexiva Simétrica Transitiva

Definición

Una relaci´ on de equivalencia R sobre un conjunto X define subconjuntos disjuntos en X llamados clases de equivalencia de lasiguiente manera: Dado un elemento a ∈ X , al conjunto dado por todos los elementos relacionados con a

[a] = {x ∈ X |aRx}


RelacionesE i t i



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Equipotencia

DefiniciónDados dos conjuntos A y B, se dice que A es equipotente a B si existe una biyecci´ on de A en B


RelacionesE i ote cia

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Ejemplo

El conjunto P = {x ∈ N, x es par} es equipotente a N



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Ejemplo

El conjunto P = {x ∈ N, x es par} es equipotente a NDebo probar que existe una funci´ on biyectiva

f : P → N o f : N → P



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Ejemplo


f : P → N o f : N → P Propongo f (x) = x

2



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Ejemplo



2

Pruebo que f : P → N es inyectiva y sobreyectiva



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qu pote c aConjuntos Numerables


Ejemplo



2


Inyectiva: Sea x1, x2 ∈ P



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q pConjuntos Numerables


Ejemplo



2


Inyectiva: Sea x1, x2 ∈ P Si f (x1) = f (x2)



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Conjuntos Infinitos

Ejemplo



2


Inyectiva: Sea x1, x2 ∈ P Si f (x1) = f (x2) ⇒

x12

= x22





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Conjuntos Infinitos

Ejemplo



2



x12

= x22

⇒ x1 = x2



C j N bl

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Conjuntos Infinitos

Ejemplo



2



x12

= x22

⇒ x1 = x2luego f es Inyectiva



C j t N bl

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Conjuntos Infinitos

Ejemplo



2



x12

= x22


Sobreeyectiva:Tomando b ∈ N existe a = 2b ∈ P



Conjuntos Numerables

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Conjuntos Infinitos

Ejemplo



2

Pruebo que f : P → N es inyectiva y sobreyectivaInyectiva: Sea x1, x2 ∈ P Si f (x1) = f (x2) ⇒

x12

= x22


Sobreeyectiva:Tomando b ∈ N existe a = 2b ∈ P tal que f (a) = f (2b) = 2b

2 = b




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Conjuntos Infinitos

Ejemplo



2

Pruebo que f : P → N es inyectiva y sobreyectivaInyectiva: Sea x1, x2 ∈ P Si f (x1) = f (x2) ⇒

x12

= x22


Sobreeyectiva:Tomando b ∈ N existe a = 2b ∈ P tal que f (a) = f (2b) = 2b

2 = b

luego f (a) = b y f es Sobreyectiva.




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Conjuntos Infinitos

Ejercicio

[0, 1] es equipotente a [a, b] ∀a, b ∈ R, a < bf : [0, 1] → [a, b]x → f (x) = (b − a)x + a es biyectiva




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Conjuntos Infinitos

Ejercicio


Teorema

La relaci´ on de equipotencia es una relaci´ on de equivalencia




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jPropiedades de conjuntos numerables

Conjuntos Infinitos

Ejercicio


Teorema


Observaciones:

De ahora en adelante simbolizaremos la relación de

equipotenca con el simbolo ∼, es decir escribiremos A ∼ B ,caso contrario A ∼B




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jPropiedades de conjuntos numerables

Conjuntos Infinitos

Ejercicio


Teorema


Observaciones:

De ahora en adelante simbolizaremos la relación de

equipotenca con el simbolo ∼, es decir escribiremos A ∼ B ,caso contrario A ∼B

La relación ∼ vincula conjuntos cualesquiera entre śı, por lotanto es una relación de equivalencia en el conjunto de todoslos conjuntos.




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DefiniciónSea A un conjunto. Se llama n´ umero cardinal de A o cardinal de A o potencia de A a la clase de equivalencia de A sobre la relaci´ onde equipotencia.

Simbolizaremos a esta clase como: Card(A) o simplemente #(A)



Conjuntos NumerablesP i d d d j bl



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DefiniciónSea A un conjunto. Se llama n´ umero cardinal de A o cardinal de A o potencia de A a la clase de equivalencia de A sobre la relaci´ onde equipotencia.

Simbolizaremos a esta clase como: Card(A) o simplemente #(A)

Ejemplo

Todos los conjuntos unitarios son equipotentes entre śı. Ellos

constitullen un cardinal que simbilizaremos con 1

Genealizando si X = {x1, x2, . . . xn} con n elementos distintos diremos Card(X ) = n o #(X ) = n



Conjuntos NumerablesP i d d d j t bl



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Ejercicio

Probar que #(∅) = {∅}.Parea ellos probar que: Dado A = ∅ ⇒ A ∼∅Convendremos llamar a esta clase de equivalencia 0


RelacionesEquipotenciaConjuntos Numerables

Propiedades de conjuntos numerables

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Definición

Se dice que un conjunto A es finito si es vaćıo o es equipotente aun intervalo natural [1, n]N = {1, 2, 3, . . . n}






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Definición

Se dice que un conjunto A es finito si es vaćıo o es equipotente aun intervalo natural [1, n]N = {1, 2, 3, . . . n}Se dice que A es infinito en caso contrario.






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Definición


Observaciones:

A ∼ [1, n]N ⇔ #(A) = n






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Definición


Observaciones:

A ∼ [1, n]N ⇔ #(A) = n

Siendo A = ∅ se tiene que:A es finito ⇔ ∃n ∈ N tal que A ∼ [1, n]N




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p ju uConjuntos Infinitos

Definición


Observaciones:

A ∼ [1, n]N ⇔ #(A) = n

Siendo A = ∅ se tiene que:A es finito ⇔ ∃n ∈ N tal que A ∼ [1, n]NA es infinito⇔ n ∈ N tal que A ∼ [1, n]N ⇔ A ∼[1, n]N∀n ∈ N




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p jConjuntos Infinitos

Lema

N ∼ N − {x} ∀x ∈ N

Demostraci´ on:

Debemos encontrar una biyecci´ on entre ambos conjuntos.

La siguiente disposici´ on nos suguiere una:

N → 1 2 . . . x − 1 x x + 1 . . .N − {x} → 1 2 . . . x − 1 x + 1 x + 2 . . .






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Conjuntos Infinitos

Lema

N ∼ N − {x} ∀x ∈ N

Demostraci´ on:



N → 1 2 . . . x − 1 x x + 1 . . .N − {x} → 1 2 . . . x − 1 x + 1 x + 2 . . .

La funci´ on f : N → N − {x}

n → f (n) =

n si n < xn + 1 si n ≥ x

Es biyectiva



Propiedades de conjuntos numerablesC



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Conjuntos Infinitos

Lema

N ∼ N − {x} ∀x ∈ N

Demostraci´ on:



N → 1 2 . . . x − 1 x x + 1 . . .N − {x} → 1 2 . . . x − 1 x + 1 x + 2 . . .

La funci´ on f : N → N − {x}

n → f (n) =

n si n < xn + 1 si n ≥ x

Es biyectiva Ejercicio



Propiedades de conjuntos numerablesC j I fi i

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Conjuntos Infinitos

TeoremaN es un conjunto infinito



Propiedades de conjuntos numerablesC j t I fi it

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44/86

Conjuntos Infinitos

TeoremaN es un conjunto infinito Debemos ver que N ∼[1, n]N∀n ∈ N




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Conjuntos Infinitos


i) n = 1 es claramente cierto ya que N ∼[1, 1]N = {1}




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Conjuntos Infinitos



ii) debemos probar que N ∼[1, n]N ⇒ N ∼[1, n + 1]N




Conjuntos Infinitos

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Conjuntos Infinitos



ii) debemos probar que N ∼[1, n]N ⇒ N ∼[1, n + 1]Npruebo la contrareciproca N ∼ [1, n + 1]N ⇒ N ∼ [1, n]N




Conjuntos Infinitos

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Conjuntos Infinitos



ii) debemos probar que N ∼[1, n]N ⇒ N ∼[1, n + 1]Npruebo la contrareciproca N ∼ [1, n + 1]N ⇒ N ∼ [1, n]NN ∼ [1, n + 1]N ⇒ ∃f : N → [1, n + 1]N biyectiva




Conjuntos Infinitos

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j



ii) debemos probar que N ∼[1, n]N ⇒ N ∼[1, n + 1]Npruebo la contrareciproca N ∼ [1, n + 1]N ⇒ N ∼ [1, n]NN ∼ [1, n + 1]N ⇒ ∃f : N → [1, n + 1]N biyectiva⇒ ∃!b ∈ N|f (b) = n + 1




Conjuntos Infinitos

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j



ii) debemos probar que N ∼[1, n]N ⇒ N ∼[1, n + 1]Npruebo la contrareciproca N ∼ [1, n + 1]N ⇒ N ∼ [1, n]NN ∼ [1, n + 1]N ⇒ ∃f : N → [1, n + 1]N biyectiva⇒ ∃!b ∈ N|f (b) = n + 1Entonces f : N − {b} → [1, n]N es biyectiva




Conjuntos Infinitos

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ii) debemos probar que N ∼[1, n]N ⇒ N ∼[1, n + 1]Npruebo la contrareciproca N ∼ [1, n + 1]N ⇒ N ∼ [1, n]NN ∼ [1, n + 1]N ⇒ ∃f : N → [1, n + 1]N biyectiva⇒ ∃!b ∈ N|f (b) = n + 1Entonces f : N − {b} → [1, n]N es biyectiva , resultando aśı

N − {b} ∼ [1, n]N


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Conjuntos Infinitos


53/86

Corolario

Sea A un conjunto tal que A ∼ N entonces A es infinito




Conjuntos Infinitos

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Corolario


Propiedades:

1 Todo subconjunto de un conjunto finito es finito.




Conjuntos Infinitos

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55/86

Corolario


Propiedades:


2 Si un conjunto contiene un subconjunto infinito es infinito.


Relaciones



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56/86

Corolario


Propiedades:


2 Si un conjunto contiene un subconjunto infinito es infinito.

3 La unión de dos conjuntos finitos es un conjunto finito.


Relaciones



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Corolario


Propiedades:

1 Todo subconjunto de un conjunto finito es finito.2 Si un conjunto contiene un subconjunto infinito es infinito.

3 La unión de dos conjuntos finitos es un conjunto finito.

4 Si A es un conjunto infinito y F es un conjunto finito de A

resulta que A − F es infinito.


Relaciones





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Definición

Si A ∼ X siendo X ⊂ N se dice que A es numerable Si A ∼ N se dice que A es infinito numerable


Relaciones



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59/86

Definición

Si A ∼ X siendo X ⊂ N se dice que A es numerable Si A ∼ N se dice que A es infinito numerable

Conclusiones:

Un conjunto es numerable si es finito o bien es infinitoequipotente a N.


Relaciones



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DefiniciónSi A ∼ X siendo X ⊂ N se dice que A es numerable Si A ∼ N se dice que A es infinito numerable

Conclusiones:


A no es numerable ⇔ X ⊂ N|X ∼ A.


Relaciones



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Conclusiones:



A no numerable ⇒ A infinito.


Relaciones



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Conclusiones:



A no numerable ⇒ A infinito.

Lamaremos #(N) = ℵ0


Relaciones



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LemaSea A un conjunto infinito numerable ⇔ A puede considerarse como una sucesu´ on inyectiva, es decir A = {a1, a2, . . . , an, . . .}verificando i = j ⇒ ai = a j


Relaciones



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Ejemplo1, 4, 9, 16, 25, 36, . . . , n2, . . .

es infinito numerable.


Relaciones



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Ejemplo1, 4, 9, 16, 25, 36, . . . , n2, . . .


{1, 3, 5, 7, 9, 11, . . . , 2n − 1, . . .} es infinito numerable.


Relaciones



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Ejemplo1, 4, 9, 16, 25, 36, . . . , n2, . . .


{1, 3, 5, 7, 9, 11, . . . , 2n − 1, . . .} es infinito numerable.

Conclusión: Si A se puede ordenar como una sucesión donde no serepiten los elementos, A es numerable.


Relaciones



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Ejemplo

N × N es infinito numerable.Para verlo podemos disponer sus elementos seg´ un el siguiente

esquema.


Relaciones



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Teorema

Todo subconjunto de un conjunto numerable es numerable


Relaciones



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Teorema


Teorema

Todo conjunto infinito contiene un subconjunto infinito nuemrable


Relaciones



T

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Teorema


Teorema


Definición

Sea {Ai}i∈I una familia de conjuntos siendo I un conjunto no vacio. Podemos definir:

∪i∈I Ai = {x|x ∈ Ai, para algun i ∈ I }


Relaciones



T

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Teorema


Teorema


Definición



Se dice que {Ai}i∈

I

es disjunta dos a dos si verifica

i = j ⇒ Ai ∩ A j = ∅


Relaciones



T

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Teorema


Teorema


Definición




I


i = j ⇒ Ai ∩ A j = ∅


Relaciones



Teorema

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Teorema


Teorema


Definición




I


i = j ⇒ Ai ∩ A j = ∅

Teorema

Uni´ on numerable de conjuntos numerables e s nu me r ab le .


Relaciones



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DefiniciónDados dos conjuntos A y B se dice que B es subconjunto propio de A si verifica B ⊂ A = ∅


Relaciones



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TeoremaUn conjunto es infinito si y solo si es equipotente con alg´ un

subconjunto propio de śı mismol.


Relaciones

EquipotenciaConjuntos NumerablesPropiedades de conjuntos numerables

Conjuntos Infinitos

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Teorema

El conjunto de los n´ umeros reales no es numerable.


Relaciones


Conjuntos Infinitos

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Teorema

El conjunto de los n´ umeros reales no es numerable.


Relaciones


Conjuntos Infinitos

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Definición

Sean α y β dos numeros cardinales. Se dice que α es anterior a β y lo simbolizamos α ≤ β si, siendo A y B conjunto de cardinales αy β respectivamente, se tiene que A es equipotente con una parte

de B.Es decir

α ≤ β ⇔ ∃f : A → C biyectiva y C ⊂ B⇔ ∃f : A → B inyectiva


Relaciones


Conjuntos Infinitos

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Definición

Sean α y β dos numeros cardinales. Se dice que α es anterior a β y lo simbolizamos α ≤ β si, siendo A y B conjunto de cardinales αy β respectivamente, se tiene que A es equipotente con una parte

de B.Es decir

α ≤ β ⇔ ∃f : A → C biyectiva y C ⊂ B⇔ ∃f : A → B inyectiva


Relaciones


Conjuntos Infinitos

Teorema

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Teorema

La relaci´ on definida anteriormente es una relaci´ on de orden en el

conjunto de todos los cardinales.


Relaciones


Conjuntos Infinitos

Teorema

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Teorema



Refelexiva, Antisimetrica y Transitiva.


Relaciones


Conjuntos Infinitos

Teorema

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Teorema




Teorema

ℵ0 ≤ α∀α transfinito o infinito no numerable.


Relaciones


Conjuntos Infinitos

Teorema

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Teorema




Teorema


Del Teorema anterior surge la Hipotesis del Continuo formuladapor Georg Cantor

cardinal α|ℵ0 < α < c

Esta nos dice que no puede existir un cardinal transfinito α que nosea equipotente a N o a RA partir de esta hipotesis comienza a llamarse ℵ1 a c

Juan Manuel Rabasedas Cardinalidad Relaciones


Conjuntos Infinitos

Teorema

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Teorema




Teorema


Del Teorema anterior surge la Hipotesis del Continuo formuladapor Georg Cantor

cardinal α|ℵ0 < α < c

Esta nos dice que no puede existir un cardinal transfinito α que nosea equipotente a N o a RA partir de esta hipotesis comienza a llamarse ℵ1 a c



Conjuntos Infinitos

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Lema

Sea A y B conjuntos tal que:#(A) = ℵ0 y #(A ∪ B) = ℵ1 ⇒ #(B) = ℵ1Demostraci´ on:

B ⊂ (A ∪ B)#(A ∪ B) = ℵ1

⇒ #(B) ≤ ℵ1

si #(B) < ℵ1 ⇒ #(B) ≤ ℵ0 ⇒ #(A ∪ B) = ℵ0 ABSURDO Luego

#(B) = ℵ1



Conjuntos Infinitos

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Teorema

Sea A un conjunto cualquiera luego se cumple la siguiente desigualdad #(A) < #(P(A))

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