11º MatViseu

Conceitos de geometria….

Francisco Morgado

11º MatViseu

• Funções …– Determinar o D’f (CDf), aritmética intervalar,etc.– Reunião/intersecção de objectos

• Equação da recta e do plano… culinária

• Transição entre objectos, animações • Bolzano suas implicações e suas limitações

• Determinação de zeros, porque falham alguns sistemas?, em pontos isolados, em componentes sem variação de sinal!!!!, …uma boa investigação!!!!

• Números complexos, aplicados na parte gráfica

• Várias dimensões….

Equação da recta

A

BRecta X = A + t*(B-A) t

Segmento de recta X = A + t*(B-A); t[0,1]

X = (1-t)*A + t*B; t[0,1]

X = (1-t^2)*A + t^2*B; t[0,1] X = (1-t^0.5)*A + t^0.5*B; t[0,1]

1

1

Equação do plano

uP

W(A,B,C)

vAx+By+Cz+D=0

Importância!?

Equação da recta

Qual a equação mais importante, para a programação ?

•Vectorial•Paramétrica•Cartesiana•Reduzida

Como posso saber quais os pontos que estão do mesmo lado?

Aplicação (culinária)

- Como fazer Arroz Doce !?

ArrozDoce(t) = (1-t)*Arroz + t*Doce; t[0,1]

Se t 1 =>

Açucar

Leite

Arroz Açucar

Leite

Arroz

ArrozDoce(s,t) = Arroz + s*Leite + t*Açucar; s,t[0,1]

Açucar

Leite

Arroz

Aplicação (“Estudo”, cores, curvas bezier,…)

- Aplicação ao estudo !?

VidaEstudante(t) = (1-t)*Estudo + t*Diversão; t[0,1]

Se t 1 ???; Se t = 0 (demasiado estudo)

- Aplicação nas cores !?

VidaEstudante(s,t) = Alimentação + s*Estudo + t*Diversão;

MisturaCor(t) = (1-t)*Verde + t*Azul; t[0,1]

- Aplicação nas curvas, … na renault (inicialmente “Bezier”, 1962)…

http://pt.wikipedia.org/wiki/Curva_de_B%C3%A9zier

Programa de Bezier….

Cor(s,t,u) = s*Vermelho+t*Verde + u*Azul;

- Mais dimensões!?, como representar ?

Aplicação (transição entre objectos)

Objecto(t) = (1-t)*Obj_Inicial + t*Obj_Final; t[0,1]

t=0 t=1t=0.75t=0.4t=0.2 t=0.3

Aplicação (transição entre objectos)

E se tivermos

Objecto(t) = (1-t^2)*Obj_Inicial + t^2*Obj_Final; t[0,1]

Qual o efeito, na animação? (em ter (t), (t^2), t^0.5)

t=0 t=1t=0.75t=0.4t=0.2 t=0.3

Programa Deformação….

Teorema de Bolzano…

Normalmente os softwares de visualização utilizam o Corolário T. Bolzano, para determinar os zeros de uma função!!!,

Zeros com variação de sinal

A B

f(B)

f(A)

X

A B

f(B)

f(A)

Mas nas situações onde não existe variação de sinal!!!!!

Teorema de Bolzano…

Zeros com e sem variação de sinal

F(t)=f o r(t)

[0,1]

Componente sem variação de sinal de f

Componente com variação de sinal de f

-

++

(y-x).((x-2.2)2+(y-2.2)2).((x+2.8)2+(y-2.2)2-0.3)2=0

Trabalhando com outras forças!!!!

Funções…

Como poderemos contribuir para melhorar os sistemas gráficos?

F(t)=f o r(t)

- Não basear o cálculo dos zeros na variação de sinal

- Aritmética intervalar ?

- Aritmética Afim ?

- D’f como determina?

a b

Y

X

…

“Se é verdade que as funções com derivada são as mais simples, as mais fáceis de tratar, também é verdade que elas são as excepções, e não a regra. Ou, se se preferir uma linguagem geométrica, as curvas que não possuem tangente são a regra, enquanto as curvas regulares, como a circunferência, são casos, apesar de interessantes, muito particulares.”

Repare-se nesta fotografia: onde os ovos com cascas lisas são os mais raros! No entanto são os mais conhecidos pela sociedade em geral!

http://www.estv.ipv.pt/paginaspessoais/fmorgado/Implicitas/ImplicitasModelacao.htm

Cálculo com intervalos…

Aritmética intervalar: foi introduzida por R. Moore em 1966 no contexto de investigação matemática, sendo aplicada na representação de curvas, determinação de zeros,… A aritmética intervalar consiste num conjunto de operações simples sobre intervalos, nomeadamente:

Adição: [a,b]+[c,d] = [a+c,b+d]

Subtração: [a,b]-[c,d] = [a-d,b-c]

Produto: [a,b]*[c,d] = [min(ac,ad,bc,bd), max(ac,ad,bc,bd)]

Divisão: [a,b]/[c,d] = [a,b]*[1/d,1/c]

- Considerar a função f(x,y) = x*y+y <=> f(x,y) = y(x+1)

Subdivisão regular…

Desafio, encontrar uma função que dê a:

Reunião de duas ou mais funções

Intersecção de duas ou mais funções

“Dividir para conquistar”

Outro tipo de partição…• “Se A,B C então existe grande probabilidade de existirem mais

pontos pontos da curva (C ) entre A e B.”

Ω

Ω(a) Subespaço inicial e a árvore

Ω-

Ω-

(b) Primeira partição Ω+

Ωl1l1 Ω+

(c) Segunda partição

l1

l3l2

l2 l1

l3

l1

l3l2

l6l5 l7l4

(d) Terceira partição

l2 l1

l3

l6

l7

l5

l4

Exemplos

(2x2+y2+z2-1)3-(1/10)x2z3-y2z3 = 0

Números complexos…

Z = ρcis(φ) Zα = 1cis(α) Zβ = 1cis(β)

Z’ = Z*Zα*Zβ = ρcis(φ + α + β) ; Rotação

Z = ρcis(φ) Conjugado(Z) = ρcis(-φ) Simetria XX

Uma possível aplicação dos complexos, pode ser nas transformações geométricas….

Usadas nos jogos de computadores, onde o utilizador têm de rodar, ampliar, movimentar-se

Z = ρcis(φ) Z^n = Z; Quantas rotações preciso de fazer para voltar ao estado inicial ?

Alguns desafios

Encontrar uma “teoria” que permita determinar todos os zeros de uma função, sem usar “pré-requisitos”.

Representar várias dimensões…(x,y,z,estado emocional, altura pessoa, etc)

Propor um modelo de reformas que seja sustentável…, talvez usar eq. vectorial da recta???