学習 1 　図形への利用⑴　〜面積の公式〜

学習 2 　図形への利用⑵　〜面積の公式の利用〜

問題　底辺が 12 cm，面積が 36 cm2 の三角形がある。この三角形の高さは何 cm か。解　三角形の高さをxcm とすると，

　　　 12×12×x＝36 より，x＝6　

　　高さが6cm のとき，三角形の面積は 12×12×6＝36 (cm2) で，問題に適している。

答　6 cm

三角形の面積は， 12×(底辺)×(高さ)

1 次の問いに答えよ。■□ ⑴　高さが5cm で，面積が 20 cm2 の三角形がある。この三角形の底辺は何 cm か。□ ⑵　面積が 54 cm2 のひし形がある。一方の対角線が6cm のとき，もう一方の対角線は何 cm か。■□ ⑶　上底が7cm，高さが6cm，面積が 60 cm2 の台形がある。この台形の下底は何 cm か。□ ⑷　周の長さが 24∏ cm の円がある。この円の半径は何 cm か。

問題　周の長さが 54 cm で，横の長さが縦の長さの2倍より3cm 短い長方形がある。この長方

形の面積は何 cm2 か。解　長方形の縦の長さをxcm とすると，横の長さは (2x－3) cm と表せるから，　　　2｛ x＋(2x－3)｝＝54 より，x＝10　 長方形の周の長さは，2×｛(縦の長さ)＋(横の長さ)｝

　　縦の長さが 10 cm のとき，横の長さは 2×10－3＝17 (cm) で，問題に適している。　　よって，長方形の面積は，10×17＝170 (cm2)

答　170 cm2

2 次の問いに答えよ。■□ ⑴　周の長さが 60 cm で，横の長さが縦の長さより6cm 長い長方形がある。この長方形の面積は

何 cm2 か。□ ⑵　高さが4cm で，上底が下底より2cm 短く，面積が 28 cm2 の台形がある。この台形の上底を

2cm 長くして平行四辺形にすると，面積は何 cm2 になるか。

3 次の問いに答えよ。■□ ⑴　右の図1で，四角形 ABCD は長方形，点Eは辺 CD の真ん中の点，点Fは辺

BC 上の点である。三角形 AEF の面積が 28 cm2 のとき，CF の長さは何 cm か。

□ ⑵　右の図2で，四角形 ABCD，EFGD

　　 は平行四辺形で，辺 BC，FG を底辺としたときの高さはともに6cm である。三角形 DCG の面積が 15 cm2 のとき，四角形 ABFE の面積は何 cm2 か。

★

注意 x＝10 は，長方形の縦の長さを表している。問題で問われているのは面積であることに注意。

図1A D

B C

E

F

8cm

9cm図2

B GFC

A E D6cm

7cm

３ 章　方程式

86

▶チェック問題 扌 P894 方程式の利用⑶

学習 3 　図形への利用⑶　〜点の移動〜問題　右の図の長方形 ABCD で，点Pは辺 AD 上をAからDまで

毎秒2cm の速さで動く。次の問いに答えよ。

⑴　点PがAを出発してからx秒後の三角形 PCD の面積を，xを

使ったもっとも簡単な式で表せ。

⑵　三角形 PCD の面積が 15 cm2 になるのは，点PがAを出発してから何秒後か。解　⑴ 点PがAを出発してx秒後には，AP＝2x cm，PD＝AD－AP＝12－2x （cm） となる。

よって，三角形 PCD の面積は， 12×PD×CD＝ 1

2×（12－2x）×6＝－6x＋36 （cm2）

⑵ 三角形 PCD の面積が 15 cm2 のとき，　　－6x＋36＝15 より，x＝3.5　x＝3.5 のとき，三角形 PCD の面積は　－6×3.5＋36＝15 （cm2） で，問題に適している。

答　⑴　－6x＋36 (cm2)　　⑵　3.5秒後

4 右の図の長方形 ABCD で，点Pは辺 AD 上をAからDまで毎秒3cm の速さで動く。次の問いに答えよ。■□ ⑴　点PがAを出発してからx秒後の三角形 PCD の面積を，xを使ったもっとも簡単な式で表せ。

■□ ⑵　三角形 PCD の面積が 63 cm2 になるのは，点PがAを出発してから何秒後か。

5 右の図の長方形 ABCD で，点Mは辺 BC の真ん中の点である。また，点Pは辺 CD，DA 上をCからDを通ってAまで，毎秒1cm の速さで動く。点PがCを出発してからの時間をt秒として，次の問いに答えよ。□ ⑴　tの値が次のときの三角形 AMP の面積は何 cm2 か。　　①　t＝3 のとき　　　②　t＝8 のとき　　　③　t＝10 のとき□ ⑵　次のときの三角形 AMP の面積を，tを使ったもっとも簡単な式で表せ。　　①　点Pが辺 CD 上にあるとき　　　②　点Pが辺 DA 上にあるとき□ ⑶　三角形 AMP の面積が 30 cm2 になるときのtの値をすべて求めよ。

★

6 右の図の長方形 ABCD で，点Pは辺 AD 上をAからDまで毎秒2cm の速さで，点Qは辺 CB 上をCからBまで毎秒3cm の速さで動く。点QはBに到達すると止まるが，その後も点PはDに向かって動き，Dに到達して止まるものとする。このとき，長方形 ABCD を直線 PQ によって2つに分けた図形のうち，頂点Aをふくむ方の図形をSとする。　2点P，QがそれぞれA，Cを同時に出発するとき，次の問いに答えよ。□ ⑴　図形Sが長方形になるのは，2点P，Qが出発してから何秒後か。□ ⑵　図形Sの面積が 156 cm2 になるのは，2点P，Qが出発してから何秒後か。すべて求めよ。

★★

AP→ D

B C12cm

6cm

A D

B C

P→

18cm

12cm

A D

B CM

↑P

12cm

8cm

A D

B C

P→

Q←

12cm

30cm

注意 12÷2＝6 （秒） より，点Pは出発して6秒後にDに着くので，xの値の範囲は

0≦x≦6 である。方程式の解がこの範囲にあることも確認しておくこと。

87

4 　方程式の利用⑶

学習 4 　規則性への利用⑴　〜数の表〜

学習 5 　規則性への利用⑵　〜図形と規則性〜

問題　右のカレンダーで4つの数を で囲み，その和を考える。4つの数のうち最小の数をnとして，次の問いに答えよ。⑴　n＝17 のとき，4つの数の和を求めよ。

⑵　4つの数の和が72のとき，nの値を求めよ。解　4つの数の関係は，右のようになっている　　から，4つの数の和は，　　n＋(n＋1)＋(n＋7)＋(n＋8)＝4n＋16

　　⑴ 4n＋16 に n＝17 を代入すると，4×17＋16＝84

　　⑵ 4つの数の和が 72 になるとき，4n＋16＝72 より，n＝14　これは問題に適している。答　⑴　84　　⑵　n＝14

問題　1辺が2cm の正六角形を右の図のように規則正しく並べて

図形を作っていく。次の問いに答えよ。

⑴　正六角形を4個並べたとき，図形全体の周の長さは何 cm か。

⑵　図形全体の周の長さが 156 cm になるのは，正六角形を何個並べたときか。解　正六角形が1個のときの周の長さは 12 cm で，　　正六角形が1個増えるごとに周の長さは8cm ずつ増えていく。　　⑴ 12＋8×（4－1）＝36 （cm）　 はじめの 12 cm に，8cm を （4－1＝）3回たせばよい。

　　⑵ 正六角形をn個並べたときの図形全体の周の長さは，12＋8（n－1）＝8n＋4 （cm）　　　これが 156 cm になるとき，8n＋4＝156 より，n＝19

　　　n＝19 のとき，図形全体の周の長さは 12＋8×（19－1）＝156 （cm） で，問題に適している。答　⑴　36 cm　　⑵　19個

7 右の図のように，自然数を1から順に6つずつ並べた表で，5つの数を で囲み，その和を考える。5つの数のうち，真ん中の数をnとして，次の問いに答えよ。■□ ⑴　n＝27 のとき，5つの数の和を求めよ。■□ ⑵　5つの数の和が 200 のとき，nの値を求めよ。

8 右の図のように，1辺6cm の正方形の紙を，のりしろの部分が1辺3cm の正方形になるように貼り合わせて図形を作っていく。次の問いに答えよ。■□ ⑴　図形全体の周の長さについて　　①　正方形の紙を4枚使ったとき，図形全体の周の長さは何 cm か。　　②　図形全体の周の長さが 120 cm になるのは，正方形の紙を何枚使ったときか。□ ⑵　図形全体の面積について　　①　正方形の紙を4枚使ったとき，図形全体の面積は何 cm2 か。　　②　図形全体の面積が 360 cm2 になるのは，正方形の紙を何枚使ったときか。

n n＋1

n＋7 n＋8

水 木 金 土火月日

2 3 4 51

9 10 11 12876

16 17 18 19151413

23 24 25 26222120

30 31292827

1 2 3 4 5 6

7 8 9 10 11 12

13 14 15 16 17 18

19 20 21 22 23 24

25 26 27 28 29 30

………………

2cm

3cm

6cm

３ 章　方程式

88

レベル１

1 次の問いに答えよ。■□ ⑴　底辺が8cm で，面積が 16 cm2 の三角形がある。この三角形の高さは何 cm か。■□ ⑵　上底が下底より1cm 短く，高さが8cm の台形がある。この台形の面積が 52 cm2 のとき，上底は何 cm か。

□ ⑶　周の長さが10∏ cm の円がある。この円の面積は何 cm2 か。□ ⑷　周の長さが 54 cm で，横の長さが縦の長さの2倍より9cm 短い長方形がある。この長方形の面積は何 cm2 か。

レベル２

4 右の図のように，縦1cm，横2cm の長方形のタイルを規則正しく並べ，1番目，2番目，3番目，4番目，……と図形を作っていく。次の問いに答えよ。□ ⑴　6番目の図形に使われるタイルの枚数と，図形の周の長さを求めよ。

□ ⑵　図形の周の長さが 150 cm になるのは，何番目の図形か。

★

2 右の図で，三角形 ABC は角Bが 90° の直角三角形である。点P

は辺 AB，BC 上をAからBを通ってCまで，毎秒2cm の速さで動く。点PがAを出発してからの時間をt秒として，次の問いに答えよ。■□ ⑴　tの値が次のときの三角形 APC の面積は何 cm2 か。　　①　t＝1 のとき ②　t＝7 のとき■□ ⑵　次のときの三角形APCの面積を，t を使ったもっとも簡単な式で表せ。　　①　点Pが辺 AB 上にあるとき ②　点Pが辺 BC 上にあるとき■□ ⑶　三角形 APC の面積が 32 cm2 になるときのtの値をすべて求めよ。

3 右の図のように，1から順に奇数の書かれたカードを規則正しく並べていく。次の問いに答えよ。■□ ⑴　図のア，イにあてはまる数をそれぞれ答えよ。

■□ ⑵　3枚のカード 9

117 に書かれている奇数の和は 27 である。このように に書かれて

いる3つの奇数の和が 117 になるとき，この3つの奇数を求めよ。

A

P↓

B C

8cm

12cm

3

51

9

117

1513 ア

イ

89

4 　方程式の利用⑶

4 方程式の利用⑶チェック問題

レベル１

11　■□

方程式 x3＋4＝－2x－10 を右のように解いた。

の中には，間違いがある。最初に間違って書いた式はどれか。ア～エの中から1つ選び，記号で答えよ。また，正しい解を求めよ。

33 次の比例式を解け。■□ ⑴　（2x＋1）：6＝3：4 □ ⑵　2：5＝（x－2）：（x＋7） 〔茨城県〕　 〔千葉県〕

44 次の問いに答えよ。■□ ⑴　xについての方程式 ax－3（a－2）x＝8－4x の解が x＝－2 のとき，aの値を求めよ。 〔大分県〕

□ ⑵　xについての方程式 x－a

3－ax＋2

4＝1 の解が x＝2 のとき，aの値を求めよ。

〔熊本マリスト学園高〕

55 4つの数a，b，c，dについて，| a

c　

b

d |＝ad－bc と約束する。例えば，|

1

3　

2

4 |＝1×4－2×3＝－2

である。次の問いに答えよ。 〔成城高・改〕

□ ⑴　| 4

－2　

5

3 | を計算せよ。 □ ⑵　|

5

3　x

1 |＝|

x＋1

4　

3

2 | を満たすxの値を求めよ。

★

22 次の方程式を解け。■□ ⑴　x＋7＝1－2x □ ⑵　9x＋2＝4x＋17

〔熊本県〕　 〔沖縄県〕

■□ ⑶　8－3（2x－1）＝2－3x □ ⑷　3（2x－1）＝2（4x＋3）－5

〔富山県〕　 〔日大山形高〕

■□ ⑸　0.2x－3＝0.07x－0.4 □ ⑹　－0.75x＋2.7＝x－0.8 〔広陵高〕　 〔西武学園文理高〕

■□ ⑺　 310

x－ 32＝ 4

5 x＋1 □ ⑻　 x

6＋2＝ x

2－3

〔千葉県〕　 〔成田高〕

■□ ⑼　 3x－95＋7＝x＋10

3 □ ⑽　 5x＋1

4－ 2x＋1

2＝1

〔大阪府〕　 〔駿台甲府高〕

方程式 x3＋4＝－2x－10 の解き方

x3＋2x＝－10－4 ……ア

x＋6x＝－14 ……イ 7x＝－14 ……ウ x＝－2 ……エ

３ 章　方程式

90

章末問題 1

レベル２

11 次の問いに答えよ。□ ⑴　連続する3つの奇数があり，その和は 165 である。この3つの奇数のうち，いちばん小さい奇

数を求めよ。 〔常総学院高〕

□ ⑵　2桁の自然数がある。十の位と一の位の数の和が 14 で，十の位と一の位の数を入れかえてできる数は，もとの数を2倍したものより 23 小さい。もとの自然数を求めよ。 〔高知学芸高〕

□ ⑶　1本80円の鉛筆と1本120円のボールペンを合わせて11本買い，代金の合計を1000円にしたい。鉛筆とボールペンをそれぞれ何本買えばよいか。 〔鹿児島県〕

□ ⑷　姉は1000円，妹は800円を持っている。同じ値段のケーキを姉は1個，妹は2個買ったところ，姉の残金は妹の残金の8倍になった。ケーキ1個の値段は何円か。

□⑸　100本のマッチ棒を使って右の図1のように，マッチ棒を並べて右方向にのみ正方形をつくっていくとき，正方形は何個つくることができるか求めよ。例えば，右の図2のように9

本のマッチ棒を使った場合，正方形は2個つくることができる。 〔鳥取県〕

2個

図1 図2

22 次の問いに答えよ。□ ⑴　A君は全長 10 km のランニングコースをスタート地点から時速 12 km で走っていたが，途中で

足に痛みを感じたので，途中からゴール地点まで時速4km で歩いた。このとき，スタート地点からゴール地点までにかかった時間は，時速 12 km で走りぬいた場合と比べ，10分長かった。

　　　A君が走った道のりと歩いた道のりはそれぞれ何 km か。 〔熊本県〕

□ ⑵　ある学校の昨年の生徒数は男女合わせて140人であった。今年の生徒数は昨年と比べて，男子が5％増え，女子が10％減ったので，今年の生徒数は男女合わせて135人であった。今年の男子の生徒数は何人か，求めよ。 〔大分県〕

★

33 図1のように4段に並べられた10個の の中に，次の手順で数字を書いていく。

　1段目…連続する4つの奇数を左から順に書く。　2段目…1段目のとなり合う2つの数の和を書く。　3段目…2段目のとなり合う2つの数の和を書く。　4段目…3段目の2つの数の和を書く。

　　図2は，1段目に4つの奇数 1，3，5，7 を書いた場合である。次の問いに答えよ。 〔静岡県・改〕

□ ⑴　1段目のいちばん左に7を書いたとき，4段目に書かれる数はいくつになるか。□ ⑵　4段目に書かれる数が 128 のとき，1段目に書かれた4つの奇数の和はいくつになるか。

★

図1

1段目2段目3段目4段目

図2

1段目 1 3 52段目 4 8 123段目 12 204段目 32

7

91

3 章　方程式

章末問題 2

チャレンジ レベル１

1 次の方程式を解け。□ ⑴　1.3x－0.8（x－1.5）＝1.5 □ ⑵　0.6（1.2x－5）＝x＋0.08

〔暁高〕　 〔桐朋女子高〕

□ ⑶　0.6x－ 12＝0.75x＋1 □ ⑷　1.5x＋ 2x－1

3＝－2.5

〔山手学院高〕　 〔星陵高〕

□ ⑸　 25

��2x＋ 32��＝

34－ 2－x

3 □ ⑹　 3

4 ��1－ x－2

3��－1＝ 1

2＋ 2x－5

4

〔花園高〕　 〔城西大附城西高〕

□ ⑺　 x－13×4×5

－ 5－2x2×4×5

＝－ 3x＋43×5×6

□ ⑻　 2x＋15－0.2（6x－5）＝ x－2

2－0.7（x－2）

〔春日部共栄高〕　 〔関西大倉高〕

2 次の比例式を解け。

□ ⑴　 x＋43： 7－x

2＝8：15 □ ⑵　4：3＝��x＋

92��：

2（4x＋1）5

　 〔桐朋高〕

3 次の問いに答えよ。□ ⑴　xについての方程式 5x＋4a＝1－ax の解が，2x－3＝4x－11 の解より1小さいとき，aの値

を求めよ。□ ⑵　xについての方程式 －2x－ax＋8＝4（x＋3a） の解が，2x－3＝4（x－2）＋3 の解より3大きい

とき，aの値を求めよ。 〔城西大付川越高〕

□ ⑶　a◦b＝ab－a＋b と定める。例えば，3◦4＝3×4－3＋4＝13 である。このとき，（3◦x）◦5＝25

を満たすxの値を求めよ。 〔日大東北高〕

4 次の問いに答えよ。□ ⑴　箱の中に入っているみかんを，A，B，C，Dの4人で次のように分ける。最初にAさんが

全体の 12

をもらい，2番目にBさんが12個もらい，3番目にCさんが残りの 13

をもらい，最後

にDさんが残ったみかんを全てもらう。Dさんは20個もらった。最初に箱の中には何個のみかんがあったか。 〔豊島岡女子学園高〕

□ ⑵　ある金額をA，B2人に分けると，Aは全体の 34

よりも300円少なく，Bは全体の 13

よりも

100円多くなった。ある金額を求めよ。 〔江戸川学園取手高〕

□ ⑶　ある高校の入学試験を850人が受験し，その30％が合格した。合格者の平均点は不合格者の平均点より40点高く，受験生全体の平均点は55点だった。合格者の平均点は何点だったか。

〔岩倉高〕

★ ★

★

★

★

３ 章　方程式

92

章末チャレンジ問題 1

チャレンジ レベル２

1 ある水槽を満水にするのに蛇口Aだけで水を入れると90分かかる。また，同じ水槽を満水にするのに蛇口Bだけでは120分かかる。あるとき両方の蛇口を同時に開いて水を入れ始め，しばらくたった後に蛇口Bから毎分出る水の量を半分にし，さらにその5分後に蛇口Aから毎分出る水の量も半分にしたところ，60分で満水になった。このとき，蛇口Bから毎分出る水の量を半分にしたのは水を入れ始めてから何分後か。 〔関西学院高〕

★ 　□

2 n個の連続する整数をたして 3000 になるものを考える。そのn個の整数のうち，最小のものの値をm，最大のものの値をMとする。次の問いに答えよ。 〔鎌倉学園高〕

□ ⑴　n＝3 のとき，mの値を求めよ。 □ ⑵　n＝5 のとき，m＋M2

の値を求めよ。

□ ⑶　n＝75 のとき，Mの値を求めよ。★

3 池のまわりにある1周 4500 m の道を，AとBは同じ向きに，CはA，Bと逆向きにそれぞれ一定の速さで自転車で走っている。このとき，AはBに45分ごとに追い抜かれ，BとCは9分ごとに出会うという。Aの速さを毎分 240 m として，次の問いに答えよ。 〔大阪教育大附高平野〕

□ ⑴　Bの速さは毎分何 m か。□ ⑵　AとCは何分何秒ごとに出会うか。

★

4 蘭子さんの妹は，今日が誕生日である。蘭子さんの家は，父，母，妹の4人家族で，4人の今日現在の年齢をすべて足すと126になる。妹が生まれたときの父の年齢は，当時の蘭子さんの年齢の5倍であった。昨年の妹の誕生日のときには，妹の年齢を2倍すると蘭子さんの年齢になった。今日の母の年齢は，今日の父の年齢より2歳年上である。妹は今日で何歳になったのか，求めなさい。

〔お茶の水女子大附高〕

★ 　□

5 A地点からB地点に向かう長さ 60 m の一定速度で動く歩道（水平型エスカレーター，以下「歩道」とする）がある。この歩道を利用する人は2列となり，左の列は歩かない人が，右の列は歩く人が利用している。AからBまでにかかる時間は，歩かない人が75秒，歩く人が30秒である。このとき，次の①～④の にあてはまる数を求めよ。 〔筑波大附高〕

□ ⑴　歩道が止まった場合，右の列の人がAからBまで歩くのにかかる時間は ① 秒である。□ ⑵　多くの人が2列に分かれて歩道を利用する。9時ちょうどに各列の先頭の人は同時にAを出

発する。それぞれの列では人が等間隔に並ぶが，その間隔は右の列が左の列よりも2m 長い。9

時5分に各列の人が同時にBに到達し，この5分間でBに到達した人数はどちらの列も等しかった。この5分間でBに到達した人数は全部で ② 人である。　また，Bに到達する人数が802人になる時刻は，9時 ③ 分 ④ 秒である。

★★

93

3 章　方程式

章末チャレンジ問題 2