12 modelagem mat_sist_term

Modelagem Matemática de Sistemas Térmicos 1

1 INTRODUÇ

Sistemas térmipor condução, cformas de transuma forma sobrmais comum. Exde um automóvescritório, etc.

Há três maneirconvecção e radem kcal/s, é dad

(1)

onde θ∆ = difK = coef

(2)

(3)

onde k = condA = área∆X = esph = coef

Na transferênci

(4)

onde Kr = coef tamθ1 = tempθ1 = temp

12
Modelagem Matemática de SistemasTérmicos
1

ÃO

cos são sistemas nos quais estão envolvidos o armazenamento e o fluxo de caloronvecção ou radiação. A rigor, sempre estão envolvidas simultaneamente as trêsferência de calor. Entretanto, na prática, tem-se em geral a preponderância dee as demais ou então a preponderância de duas formas sobre a terceira, o que éemplos clássicos de sistemas térmicos são o sistema de arrefecimento do motorel, o refrigerador doméstico, o sistema de condicionamento de ar de um

as pelas quais o calor pode fluir de uma substância para outra: condução,iação. Na transferência de calor por condução ou convecção, o fluxo de calor q,o por

θ∆= Kq

erença de temperatura, em Kiciente de proporcionalidade, em kcal/s.K, dado por

XkAK∆

= na condução

hAK = na convecção

utividade térmica, em kcal/m.s.K normal ao fluxo de calor, m2

essura do condutor, em miciente de transferência de calor por convecção, kcal/m2.s.K

a de calor por radiação, o fluxo de calor q, em kcal/s, é dado por

)(Kq 42

41r θ−θ=

iciente de proporcionalidade, em kcal/s.K4, que depende da emissividade,anho e configuração da superfícieeratura do emissor, em Keratura do emissor, em K

Modelagem Matemática de Sistemas Térmicos

2

2

Na modelagem que será feita a seguir, serão consideradas apenas as transferências de calor porcondução e por convecção, desprezando-se o efeito da radiação.

2 VARIÁVEIS TÉRMICAS

As variáveis usadas para descrever o comportamento de um sistema térmico são:

θ = temperatura em Kelvins [K] o C = K - 273,15

q = fluxo de calor em Watts [W] 1 W = 1 J/s

As temperaturas em vários pontos de um corpo variam com a localização, o que significa que osistema térmico é inerentemente um sistema com parâmetros distribuídos. Em conseqüência, osmodelos matemáticos são constituídos por equações diferenciais parciais, pois as propriedadessão distribuídas e não concentradas. Na modelagem e na análise, entretanto, para simplificar oproblema, é conveniente admitir que um sistema térmico possa ser representado por um modelode parâmetros concentrados, no qual as substâncias que são caracterizadas pela resistência aofluxo de calor têm capacitância térmica desprezível e que as substâncias que são representadaspela capacitância térmica têm resistência desprezível ao fluxo de calor. Isso nos conduzirá amodelos regidos por equações diferenciais ordinárias, com as suas já conhecidas vantagens.

3 NÚMERO DE BIOT

Existe um parâmetro adimensional, denominado Número de Biot, que serve de critério paradefinir se um sistema térmico pode ser admitido como de parâmetros concentrados. Ele édefinido como

(5) k

hLBi c=

onde h e k já foram definidos e onde Lc é o comprimento característico do sólido, definido por

(6) s

c AVL =

onde V = volume do sólido, em m3

As = é a área da superfície de contato entre sólido e fluido, no caso de transferência de calor por convecção, em m2

Evidentemente, Lc depende da forma do sólido.

Assim, para esferas de raio r, temos:


3

3

r31

r4

r34

L 2

3

c =π

π=

Para cilindros maciços de raio r e comprimento L:

)Lr(2

rLr2rL2

LrL 2

2

c +=

π+π

π=

Para cubos de aresta L:

6L

L6LL 2

3

c ==

Um critério aceitável para que a temmperatura no interior de um sólido não varie com alocalização é que

(7) 1,0k

hLBi c <=

4 VARIÁVEIS INCREMENTAIS

Para a maioria dos sistemas térmicos existe uma condição de equilíbrio que define o ponto deoperação do sistema. Assim, podemos definir uma temperatura incremental e um fluxo de calorincremental como

(8) −θ−θ=θ )t()t(

^

(9) −

−= q)t(q)t(q^

onde -q e

−θ são os valores das variáveis no ponto de operação.

5 CAPACITÂNCIA TÉRMICA

Existe uma relação entre a temperatura de um corpo físico e o calor nele armazenado. Nãohavendo mudança de fase e desde que a faixa de temperaturas não seja excessiva, tal relaçãopode ser considerada linear. Assim, sendo qi(t) o fluxo de calor que entra em um corpo e qo(t) ofluxo de calor que sai do mesmo corpo, o calor líquido (no sentido contábil) armazenado no corpoentre dois instantes de tempo t0 e t é dado por

λλ−λ∫ d)](q)(q[ ot

t i0

onde λ é uma variável muda usada na integração.


4

4

Vamos assumir que o calor armazenado durante esse intervalo de tempo seja igual a uma certaconstante C multiplicada pela variação de temperatura, ou seja

)]t()t([Cd)](q)(q[ 0ot

t i0

θ−θ=λλ−λ∫

onde θ(t0) é a temperatura do corpo no instante de referência t0. Podemos rescrever a equaçãoacima como

(10) λλ−λ+θ=θ ∫ d)](q)(q[C1)t()t( o

t

t i00

onde a constante C é definida como a capacitância térmica do corpo, dada em [J/K]. Para umcorpo de massa M e calor específico c, a capacitância térmica é dada por C = Mc, para M em [kg]e c em [J/kg.K].

Diferenciando a eq. (10), obtemos

(11) )]t(q)t(q[C1)t( oi

.−=θ

equação que é muito usada quando o sistema é modelado no espaço de estados.

6 RESISTÊNCIA TÉRMICA

No caso de transferência de calor por condução, a Lei de Fourier estabelece que o fluxo de calorq(t) entre dois corpos com temperatura θ1(t) > θ2(t), separados por um meio condutor, é dado por

d)t()t(

A)t(q 21 θ−θα=

onde α = condutividade térmica do material condutor [J/m.s.K] ou [W/m.K] (tabelada)A = área normal ao fluxo de calor [m2]d = espessura do condutor [m]

Podemos rescrever a equação acima como

(12) )]t()t([R1)t(q 21 θ−θ=

onde R é definida como a resistência térmica e é função do material e das dimensões do meiocondutor, sendo dada por

(13) α

=AdR


5

5

Só podemos usar a eq. (12) quando não há armazenamento de energia térmica no meio condutor.Caso isso não aconteça, devemos então incluir a capacitância térmica do meio condutor nomodelo.

Resistências térmicas em série

Consideremos dois corpos com temperaturas θ1(t) > θ2(t), separados por duas resistênciastérmicas em série R1 e R2, conforme ilustra a fig. 1(a):

Fig. 1

Sendo q(t) o fluxo de calor através das mesmas e estando as resistências perfeitamente isoladastermicamente, queremos achar uma resistência térmica equivalente Req, conforme a fig. 1(b).Chamando θB a temperatura na interface das duas resistências, podemos escrever a eq. (12) duasvezes:

)(R1q B11

θ−θ=

)(R1q 2B2

θ−θ=

Eliminando θB nas equações acima, chegamos a

)(RR

1q 2121

θ−θ+

=

que, comparada com a eq. (12), permite que escrevamos

Req = R1 + R2

donde podemos concluir que existe uma analogia com as resistências elétricas em série.Podemos estender o resultado para n resistências térmicas em série:

(14) ∑=

=n

1iieq RR


6

6

Resistências térmicas em paralelo

Aproveitando a analogia citada, podemos estabelecer uma expressão para n resistênciastérmicas em paralelo:

(15)

∑=

= n

1i i

eq

R1

1R

7 FONTE TÉRMICA

A fonte térmica ideal adiciona ou retira energia térmica do sistema. No primeiro caso, o fluxo decalor qi(t) é positivo e, no segundo caso, qi(t) é negativo. A fonte térmica ideal é representadapela fig. 2:

Fig. 2

Vamos estudar, a seguir, a modelagem matemática de alguns sistemas térmicos através deexemplos.

8 MODELOS MATEMÁTICOS DE SISTEMAS TÉRMICOS

Exemplo 1

A fig. 3 mostra uma capacitância térmica C isolada do ambiente por uma resistência térmicaequivalente R. A temperatura interna é θ, considerada uniforme, enquanto que a temperaturaambiente é θa, também uniforme. Calor é adicionado ao interior do sistema com um fluxo qi(t). No

ponto de operação, os valores de qi e θ são -

i e q θ−

, respectivamente. Desenvolver um modelomatemático para o sistema em termos das variáveis incrementais.

Fig. 3


7

7

Solução

Aplicando a eq. (12): ])t([R1)t(q ao θ−θ=

Substituindo na eq. (11): ]})t([R1)t(q{

C1)t( ai

.θ−θ−=θ

ou

onde reconhecemos uma EDOL de 1a ordem com coeficientes constantes, não homogênea, comduas entradas qi(t) e θa e saída θ(t). A constante de tempo do sistema é dada por τ = RC.

Em termos das variáveis incrementais −θ−θ=θ )t()t(

^ e

−

−= q)t(q)t(q^

podemos obter um modelo matemático substituindo θ(t), qi(t) e suas derivadas na EDOL acima,chegando a

Vemos, agora, que temos um sistema com apenas uma entrada e uma saída.

Exemplo 2 - Termômetro de mercúrio

A fig. 4 ilustra um sistema térmico constando de um termômetro de mercúrio que está,

inicialmente, à temperatura ambiente −θ e é mergulhado em um reservatório cujo líquido está a

uma temperatura −θ + θb, isto é, θb acima da temperatura ambiente.

Fig. 4

O reservatório tem capacitância térmica C e o termômetro tem resistência térmica R.Desenvolver um modelo matemático para o sistema em termos das variáveis incrementais.

ai.

)t(Rq)t()t(RC θ+=θ+θ

)t(qR)t()t(RC i^^

.^

=θ+θ


8

8

Solução

Aplicando a eq. (12) para o termômetro: )]t([R1)t(q bi θ−θ=

Substituindo na eq. (11): )]}t([R1{

C1)t( b

.θ−θ=θ

ou (16)

onde reconhecemos uma EDOL de 1a ordem com coeficientes constantes, não homogênea, comentrada θb e saída θ(t). A constante de tempo do sistema é dada por τ = RC.

Comparando a eq. (16) com a EDOL modelo matemático do circuito elétrico RC paralelo mostradona fig. 5, dada por

eedtedRC io

o =+

Fig. 5

vemos que existe uma analogia entre o sistema térmico e o sistema elétrico, denominada analogiaeletrotérmica, dada pela tabela seguinte:

Sistema elétrico Sistema térmico

voltagem e temperatura θcorrente elétrica i fluxo de calor qresistência elétrica R resistência térmica RCapacitância C capacitância térmica C

Exemplo 3

A fig. 6 mostra um vaso indeformável de volume V, no qual um líquido de massa específica ρ ecalor específico c escoa através dele. Um "mixer" assegura que a temperatura do líquidopermaneça uniforme em todo o reservatório e igual a θ(t). O líquido entra no reservatório com

uma vazão volumétrica constante −w à temperatura θi(t). Ele sai do reservatório com a mesma

vazão volumétrica à temperatura θo(t), considerada igual à temperatura do líquido θ(t), devido àmistura perfeita feita pelo "mixer". A resistência térmica do vaso é R e a temperatura ambienteé constante e igual a θa.

b.

)t()t(RC θ=θ+θ


9

9

Fig. 6

É adicionado um fluxo de calor qh(t) ao líquido por meio de um aquecedor. Desenvolver um modelomatemático para o sistema.

Solução

Calor que entra no vaso: )t(cw)t(q)t(q ihi θρ+=−

Calor que sai do vaso: [ ] )t(cw)t(R1)t(q

_a0 θρ+θ−θ=

Capacitância térmica: C = Mc = ρVc

Levando na eq. (11):

)]}t(cw))t((R1[)]t(cw)t(q{[

cV1)]t(q)t(q[

C1)t( aihoi

.θρ+θ−θ−θρ+

ρ=−=θ

−−

Rearrumando a equação acima, chegamos à EDOL de 1a ordem

onde a constante de tempo é dada por

RC1

Vw

1

+

=τ −.

Podemos observar que temos três entradas, θi(t), qh(t) e θa, e apenas uma saída, θ(t).

Exemplo 4

Uma esfera de cobre (ρ = 8954 kg/m3, c = 383,1 J/kg.0C e k = 385 W/m. 0C), de diâmetro 0,06m, é subitamente colocada em um reservatório que contem um líquido quente a uma temperaturaθo. Em conseqüência, a temperatura da esfera, θ(t), cresce com o tempo. O coeficiente detransferência de calor por convecção é h = 25 W/ m. 0C. Pedem-se:

ahi.

RC1)t(q

C1)t(

Vw)t()

RC1

Vw()t( θ++θ=θ++θ

−−


10

10

(a) É válido usar um modelo com parâmetros concentrados? Justifique;(b) Caso positivo, obter um modelo matemático para o sistema;(c) Calcular a constante de tempo do sistema.

Solução

(a) m 01,0206,0.

31r

31Lc ===

1,010x49,6385

01,0x25k

hLBi 4c <=== −

Logo, é possível.

(b) Aplicando a eq. (11):

)]t(q)t(q[C1)t( oi

.−=θ

onde C = Mc = ρVc

)]t([hAq osi θ−θ=

0qo =

Logo: { }0)]t([hAVc1)t( os

.−θ−θ

ρ=θ

o.

s)t()t(

hAVc

θ=θ+θρ

(c) h 87,22s 137225

01,0x1,383x8954hcL

hAVc c

s===

ρ=

ρ=τ

Modelagem Matemática de Sistemas Térmicos 11

EXERCÍCIOS

1 A figura mostra um vaso fechado, isolado, cheio de líquido e contendo um aquecedorelétrico imerso no líquido. A resistência elétrica do aquecedor, por sua vez, está colocadadentro de uma jaqueta metálica de resistência térmica RHL. A resistência térmica do vasoe de seu isolamento é RLa. O aquecedor tem uma capacitância térmica CH e o líquido umacapacitância térmica CL. A temperatura do aquecedor é θH e a do líquido é θL, a qual éconsiderada uniforme devido ao "mixer".

O aqufor(a)

(b)

(c)

Ob

2

Da

Re

aquecedor elétrico e o líquido estão inicialmeecedor desligado. No instante t = 0, o aquecenecido ao sistema é qi(t). Pedem-se: modelo matemático no espaço de estados, usandpodem ser obtidas diretamente a partir da eq.

usando o VisSim, graficar as temperaturas θH(sendo um degrau de amplitude 1,5 x 104 W;

a partir do gráfico do item (b), achar o tempodesejada θd = 365 K.

s.: para os itens (b) e (c) usar os dados numérico

Uma esfera de alumínio de diâmetro 0,08 m200 0C. Ela é retirada do forno e colocada20 0C. Conhecendo as propriedades do alum

(a) É válido usar um modelo com parâmetros (b) Caso positivo, obter um modelo matemá

(c) Calcular a constante de tempo do sistem

dos do Alumínio: ρ = 2707 kg/m3; c = 8h = 3,5 W/ m. 0C

sp.: (a) Sim; (b) ar.

s)t()t(

hAVc

θ=θ+θρ

Dados numéricos:

CH = 20 x 103 J/KCL = 1 x 106 J/KRHL = 1 x 10-3 K/WRLA = 5 x 10-3 K/Wθa = 300 K

11

nte à temperatura ambiente θa, estando odor é ligado, de modo que o fluxo de calor

o as variáveis de estado θH(t) e θL(t), as quais(9);t) e θL(t) para as entradas θa = 300 K e qi(t)

que leva o líquido para atingir a temperatura

s mostrados ao lado da figura.

encontra-se em um forno à temperatura de ao ar livre que se encontra à temperatura deínio, dadas abaixo, pedem-se: concentrados? Justifique;

tico para o sistema;a.

96 J/kg.0C; k = 204 W/m. 0C;

(c) 2,56 h


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