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SECUNDARIA
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Tema 6:Tecnicas de estimacion de una variable
incorporando informacion secundaria
Eduardo [email protected]
Grupo de Investigacion de HidrogeologaDepartamento de Ingeniera Hidraulica y Medio Ambiente
Universidad Politecnica de Valencia
Master en Ingeniera Hidraulica y Medio Ambiente
Geoestadstica Tema 6: Tecnicas de estimacion de una variable incorporando informacion secundaria
Contenidos
1 Introduccion.
2 Tipos de datos.
3 Krigeado por estratos.
4 Krigeado simple con media local.
5 Krigeado con una deriva externa.
6 El paradigma del cokrigeado:
7 Un ejemplo de cokrigeado ordinario.
8 Cokrigeado colocalizado.
9 Un ejemplo de cokrigeado colocalizado.
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Geoestadstica Tema 6: Tecnicas de estimacion de una variable incorporando informacion secundaria
1 Introduccion
Algoritmos para la estimacion de una variable a partir de informacion acerca de lamisma variable.
Inclusion en el proceso de estimacion de una o mas variables que estan correlacionadascon la variable de interes.
Aprovechamiento de la correlacion cruzada entre las distintas variables con la variablede interes para mejorar el conocimiento acerca de esta ultima.
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Geoestadstica Tema 6: Tecnicas de estimacion de una variable incorporando informacion secundaria
2 Tipos de datos
Informacion directa, principal o dura. Es escasa y muy costosa. Se trata de medidas con una incertidumbre nula o despreciable. Ejemplos: datos de precipitacion, transmisividad, conductividad hidraulica, concentra-
cion de un contaminante.
Informacion indirecta, secundaria o blanda. Es conocida abundantemente a un costo relativo bajo. Son medidas asociadas a una incertidumbre. Ejemplos: datos de radar, porosidad del terreno, informacion geofsica, informacion
derivada de un MDT.
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Geoestadstica Tema 6: Tecnicas de estimacion de una variable incorporando informacion secundaria
3 Krigeado por estratos (KPE)
Supongamos que la informacion secundaria toma la forma de un mapa categorico deun atributo determinado sobre el area de estudio, luego el KPE comprende los pasossiguientes:
1 El area de estudio es estratificada de acuerdo a los lmites establecidos por el mapacategorico de informacion secundaria.
2 Se calcula el variograma para cada uno de los estratos establecidos.3 Las estimaciones dentro de cada estrato se llevan a cabo utilizando los datos y el
variograma pertenecientes a ese estrato.
Si no hay suficientes datos para calcular un variograma por estrato se puede calcular unovalido sobre todo el dominio de trabajo.
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Geoestadstica Tema 6: Tecnicas de estimacion de una variable incorporando informacion secundaria
4 Krigeado simple con media local (KSML)
El estimador por krigeado simple es:
ZKS(u) =n=1
[Z(u)m] +m
El KSML sustituye la media estacionaria m por una variando suavemente en funcion dela informacion secundaria disponible en la localizacion estudiada, luego el estimador porKSML es:
ZKSML(u) =n=1
[Z(u)mKSML(u)] +mKSML(u)
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Geoestadstica Tema 6: Tecnicas de estimacion de una variable incorporando informacion secundaria
Estimacion de media local
Informacion secundaria categorica. La media local de la variable primaria mKSML se calcula como la media aritmetica de
los datos que caen dentro de cada categora.
Informacion secundaria continua. La media local de la variable primaria mKSML puede ser una funcion (lineal o no) del
valor del atributo secundario y en cada localizacion u, esto es:
mKSML(u) = f(y(u))
La funcion f() puede ser determinada por regresion.
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Geoestadstica Tema 6: Tecnicas de estimacion de una variable incorporando informacion secundaria
Sistema de KSML
Los pesos del KSML se obtienen resolviendo un sistema de krigeado simple que se escribe:n=1
CR(u u) = CR(u u), = 1, ..., n
donde CR(h) es la funcion de covarianza de la funcion aleatoria R(u), es decir de losresiduos Z(u)m(u).
La funcion de covarianza de R(u) se puede calcular a partir de los datos y de las mediaslocales.
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Geoestadstica Tema 6: Tecnicas de estimacion de una variable incorporando informacion secundaria
5 Krigeado con una deriva externa (KDE)
El KDE es un caso particular del krigeado con un modelo de tendencia o krigeadouniversal en el cual la componente de tendencia m(u) es modelizada como una funcionlineal de una variable secundaria y(u) que vara suavemente (en lugar de una funcion delas coordenadas espaciales), esto es:
m(u) = a0 + a1y(u)
El estimador por KDE tiene la forma siguiente:
ZKDE(u) =n=1
Z(u)
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Geoestadstica Tema 6: Tecnicas de estimacion de una variable incorporando informacion secundaria
Sistema de ecuaciones del KDE
Los coeficientes de ponderacion se obtienen resolviendo el siguiente sistema deecuaciones lineales:
n=1
CR(u u) + 0 + 1y(u) = CR(u u), = 1, ..., n
n=1
= 1
n=1
y(u) = y(u)
El sistema de KDE es un caso particular del sistema de KT donde K=1 y la componentede tendencia f1(u) en cada localizacion es identificada con el valor y(u) de una variablesecundaria.
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Geoestadstica Tema 6: Tecnicas de estimacion de una variable incorporando informacion secundaria
6 El paradigma del cokrigeado
El cokrigeado (CK) permite incorporar en el proceso de estimacion de una variableinformacion secundaria que no es exhaustivamente conocida.
Desde el punto de vista de la correlacion espacial es la tecnica de estimacion mas potenteya que en la construccion del estimador intervienen los valores de la variable principal, lao las variables secundarias y todos los patrones de continuidad espacial entre variables.
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Geoestadstica Tema 6: Tecnicas de estimacion de una variable incorporando informacion secundaria
El estimador general por cokrigeado
El estimador general por cokrigeado tiene la forma siguiente:
Z(1)CK (u)m1(u) =
n11=1
1[Z1(u1)m1(u1)] +
+Nvi=2
nii=1
i[Zi(ui)mi(ui)]
donde Z(1)CK (u) es el estimador de la variable principal por cokrigeado en la localizacion
(u), m1(u) y mi(ui) son los valores esperados de las variables aleatorias Z1(u) y Zi(ui)respectivamente, 1 y i son los pesos asignados a los datos primarios y secundariosrespectivamente, y n1, Nv y ni son el numero de datos de la variable principal, el numerode variables secundarias y el numero de datos de la variable secundaria que intervienenen la estimacion de la localizacion (u) respectivamente.
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Geoestadstica Tema 6: Tecnicas de estimacion de una variable incorporando informacion secundaria
El estimador y la varianza por cokrigeado ordinario
El estimador por cokrigeado ordinario considerando solo una variable secundaria es:
Z(1)CKO(u) =
n11=1
1Z1(u1) +n22=1
2Z2(u2)
y la varianza de la estimacion es:
2CKO(u) = 21 1
n11=1
1C1(u1 u)n22=1
2C12(u2 u)
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Geoestadstica Tema 6: Tecnicas de estimacion de una variable incorporando informacion secundaria
El sistema de cokrigeado ordinario
Los coeficientes de ponderacion 1 y 2 se obtienen resolviendo el siguiente sistemade ecuaciones lineales:
n11=1
1C1(u1 u1) +n22=1
2C12(u1 u2) + 1 =C1(u1 u), 1 = 1, ..., n1
n11=1
1C12(u1 u2) +n22=1
2C2(u2 u2) + 2 =C12(u2 u), 2 = 1, ..., n2
n11=1
1 = 1
n22=1
2 = 0
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Geoestadstica Tema 6: Tecnicas de estimacion de una variable incorporando informacion secundaria
El estimador y la varianza porcokrigeado ordinario estandarizado
El estimador por cokrigeado ordinario estandarizado considerando solo una variablesecundaria es:
Z(1)CKO(u) =
n11=1
1Z1(u1) +n22=1
2[Z2(u2)m2 +m1]
y la varianza de la estimacion es:
2CKO(u) = 21 1
n11=1
1C1(u1 u)n22=1
2C12(u2 u)
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Geoestadstica Tema 6: Tecnicas de estimacion de una variable incorporando informacion secundaria
El sistema de cokrigeado ordinario estandarizado
Los coeficientes de ponderacion 1 y 2 se obtienen resolviendo el siguiente sistemade ecuaciones lineales:
n11=1
1C1(u1 u1) +n22=1
2C12(u1 u2) + =C1(u1 u), 1 = 1, ..., n1
n11=1
1C12(u1 u2) +n22=1
2C2(u2 u2) + =C12(u2 u), 2 = 1, ..., n2
n11=1
1 +n22=1
2 = 1
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Geoestadstica Tema 6: Tecnicas de estimacion de una variable incorporando informacion secundaria
7 Un ejemplo de cokrigeado ordinario1 Informacion disponible: 2 datos de la variable principal (U) y de 3 datos de la
variable secundaria (V) con la siguiente configuracion:
2 Modelo de continuidad espacial:U(h) = 440000 + 70000 Esf(h) + 95000 Esf(h)UV (h) = 47000 + 50000 Esf(h) + 40000 Esf(h)V (h) = 22000 + 40000 Esf(h) + 45000 Esf(h)
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Geoestadstica Tema 6: Tecnicas de estimacion de una variable incorporando informacion secundaria
3 Construccion del sistema de cokrigeado:
CUU11 CUU12 C
UV13 C
UV14 C
UV15 1 0
CUU21 CUU22 C
UV23 C
UV24 C
UV25 1 0
CUV31 CUV32 C
VV33 C
VV34 C
VV35 0 1
CUV41 CUV42 C
VV43 C
VV44 C
VV45 0 1
CUV51 CUV52 C
VV53 C
VV54 C
VV55 0 1
1 1 0 0 0 0 00 0 1 1 1 0 0
1212312
=
CUU10CUU20CUV30CUV40CUV5010
=
605000 99155 137000 49715 57615 1 099155 605000 49715 137000 45554 1 0137000 49715 107000 49623 57158 0 149715 137000 49623 107000 45164 0 157615 45554 57158 45164 107000 0 11 1 0 0 0 0 00 0 1 1 1 0 0
1
13422910233470210526977588710
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Geoestadstica Tema 6: Tecnicas de estimacion de una variable incorporando informacion secundaria
4 Solucion:
=
1234512
= C1 D =
0.5120.4880.2160.3970.666
20596313823
u0 =
n1i=1
iui +n2i=1
ivi = 398
2CKO = 681549
El estimador es igual a 398 y la varianza del error 681549.
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Geoestadstica Tema 6: Tecnicas de estimacion de una variable incorporando informacion secundaria
8 Cokrigeado colocalizado
Cuando la informacion secundaria esta muy densamente muestreada el algoritmo de CKtiene los siguientes inconvenientes:
1 El contraste entre la densidad de muestreo de la variable principal y la secundaria haceque el sistema de ecuaciones de CK tienda a ser muy inestable.
2 Los datos secundarios que estan muy cerca de la localizacion de la variable principal aser estimada apantallan el efecto de los demas datos blandos.
Una solucion a estos problemas es construir un estimador de la variable principal enuna dada localizacion reteniendo solo el dato colocalizado de la variable secundaria,aproximacion conocida como cokrigeado colocalizado.
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Geoestadstica Tema 6: Tecnicas de estimacion de una variable incorporando informacion secundaria
El estimador general por cokrigeado colocalizado
El estimador general por cokrigeado colocalizado tiene la forma siguiente:
Z(1)CKC(u)m1(u) =
n11=1
1 [Z1(u1)m1(u1)] +
+Nvi=2
i [Zi(u)mi(u)]
donde Z(1)CKC(u) es el estimador de la variable principal por cokrigeado colocalizado en
la localizacion (u), m1(u) y mi(u) son los valores esperados de las variables aleatoriasZ1(u) y Zi(u) respectivamente, 1 y i son los pesos asignados a los datos primarios ysecundarios respectivamente, y n1 y Nv son el numero de datos de la variable principaly el numero de variables secundarias que intervienen en la estimacion de la localizacion(u) respectivamente.
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Geoestadstica Tema 6: Tecnicas de estimacion de una variable incorporando informacion secundaria
Cokrigeado colocalizado ordinario estandarizado
El estimador por cokrigeado colocalizado ordinario estandarizado considerando solo unavariable secundaria es:
Z(1)CKCO(u) =
n11=1
1 Z1(u1) + 2 [Z2(u)m2 +m1]
y el sistema de ecuaciones cuya solucion nos da los coeficientes de ponderacion es:
n11=1
1 C1(u1 u1) + 2 C12(u1 u0) = C1(u1 u), 1 = 1, ..., n1
n11=1
1 C12(u u1) + 2 C2(0) + = C12(0)n11=1
1 + 2 = 1
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Geoestadstica Tema 6: Tecnicas de estimacion de una variable incorporando informacion secundaria
Cokrigeado colocalizado bajo un modelo de Markov
A traves de una aproximacion de tipo markoviana la funcion de covarianza cruzada entredos variables se puede expresar:
C12(h) wC12(0)C11(0)
C11(h) = 12(0) C11(h)
o en terminos de correlograma
12(h) w 12(0) 11(h)
o en terminos de variograma
12(h) w 12(0) 11(h)
donde 12(0) es el coeficiente de correlacion lineal entre las variables.
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Geoestadstica Tema 6: Tecnicas de estimacion de una variable incorporando informacion secundaria
El estimador y el sistema de cokrigeado colocalizadobajo un modelo de Markov
El estimador y el sistema de ecuaciones del cokrigeado colocalizado bajo un modelo deMarkov en su forma estandarizada son:
Z(1)CKCSM(u)m1
1=
n11=1
1[Z1(u1)m1]
1+ 2
[Z2(u)m2]2
n11=1
1 1(u1 u1) + 2 12(0) 1(u1 u0) =1(u1 u), 1 = 1, ..., n1
n11=1
1 12(0) 1(u u1) + 2 = 12(0)
donde 12(0) es el coeficiente de correlacion lineal entre las variables.
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Geoestadstica Tema 6: Tecnicas de estimacion de una variable incorporando informacion secundaria
Casos particulares
Si 12(0) = 0 entonces 2 = 0 y el dato secundario colocalizado es ignorado, esto es:
Z(1)CKCSM(u)m1
1=
n11=1
1[Z1(u1)m1]
1
Si 12(0) = 1 entonces 2 = 1 y 1 = 0 1 = 1, ..., n1, por lo que el estimadorcorresponde al dato secundario colocalizado estandarizado, esto es:
Z(1)CKCSM(u)m1
1=Z2(u)m2
2
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Geoestadstica Tema 6: Tecnicas de estimacion de una variable incorporando informacion secundaria
9 Un ejemplo de cokrigeado colocalizado
Los datos estan constituidos por 3 pozos.
La variable principal es la porosidad y la variable secundaria es la amplitud ssmica.
El modelo estadstico utilizado es:
Variable Media Desviacion estandar CorrelacionPorosidad media 12.7 1.7
Amplitud 2495.0 1313.00.7
El variograma asumido para la porosidad es:
(h) = 1.0 Esf1500(h)
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Geoestadstica Tema 6: Tecnicas de estimacion de una variable incorporando informacion secundaria
Un ejemplo de cokrigeado colocalizado
Porosidad
9.3
15.5
Amplitud
-527.395
6465.62
Krigeado ordinario
9.3
15.5
Cokrigeado colocalizado
9.3
15.5
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Geoestadstica Tema 6: Tecnicas de estimacion de una variable incorporando informacion secundaria
Un ejemplo de cokrigeado colocalizado
Veremos de forma intuitiva como responde el cokrigeado colocalizado a los cambios enel modelo de continuidad espacial.
Estimaremos un mapa de la porosidad media para los siguientes casos:
= 0.0 = 0.5 = 0.9Efecto pepita puro case 1 case 2 case 3
Alcance corto (100 m) case 4 case 5 case 6Alcance largo (3000 m) case 7 case 8 case 9
Excepto la correlacion y el modelo de variograma, los demas parametros permanecenidenticos para los 9 casos considerados.
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Geoestadstica Tema 6: Tecnicas de estimacion de una variable incorporando informacion secundaria
Modelo de continuidad espacial y campos estimados
Efecto pepita puro
Caso 1
9.3
15.5
= 0.0
Caso 2
9.3
15.5
= 0.5
Caso 3
9.3
15.5
= 0.9
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Geoestadstica Tema 6: Tecnicas de estimacion de una variable incorporando informacion secundaria
Modelo de continuidad espacial y campos estimados
Alcance = 100
Caso 4
9.3
15.5
= 0.0
Caso 5
9.3
15.5
= 0.5
Caso 6
9.3
15.5
= 0.9
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Geoestadstica Tema 6: Tecnicas de estimacion de una variable incorporando informacion secundaria
Modelo de continuidad espacial y campos estimados
Alcance = 3000
Caso 7
9.3
15.5
= 0.0
Caso 8
9.3
15.5
= 0.5
Caso 9
9.3
15.5
= 0.9
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Geoestadstica Tema 6: Tecnicas de estimacion de una variable incorporando informacion secundaria
Bibliografa
Isaaks, E. y Srivastava, R. (1989). An Introduction to Applied Geostatistics, OxfordUniversity Press, New York.
Goovaerts, P. (1997). Geostatistics for Natural Resources Evaluation, Oxford Uni-versity Press, New York.
Froidevaux, R. (1998). Geostatistics for Petroleum Reservoir Characterization.Workshop Notes, FSS International.
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Geoestadstica Tema 6: Tecnicas de estimacion de una variable incorporando informacion secundaria
Para leer en casa...
Xu, W, Tran, T, Srivastava, R. M. y Journel, A. (1992). Integrating seismic datain reservoir modeling: the collocated cokriging alternative, SPE paper 24742.(7-Lectura-Xu-etal-SPE92.pdf )
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