1

12. Trigonometria I.

I. Elméleti összefoglaló Szögmérés

A szög mérésének két gyakran használt módja van: fokban, illetve radiánban (ívmértékben) mérünk.

A teljesszög °360 , ennek a 360-ad része az °1 . A szög nagyságát mérhetjük az egységsugarú kör kerületén is. Az α szög ívmértéke egyen-

lő az egységsugarú körben az α középponti szöghöz tartozó körív hosszával. Az ívmérték egysége az 1 radián. A teljesszöghöz az egységsugarú körben tartozó körív hossza π2 , így a teljesszög ívmértéke π2 .

Tehát a π2 és a °360 ugyanazt a szöget méri, az első esetben radiánban, a második esetben fokban mértünk. Így °= 360)(2 radπ , °= 180)(radπ .

Ha fokban mért szöget váltunk át radiánra, akkor elegendő azt tudnunk, hogy ez a szög a °180 -nak hányszorosa, mert ugyanennyiszerese lesz a π -nek is (radiánban). Például a °18 a

°180 -nak tizedrésze, ezért )(10

18 radπ

=° . Ha a szög radiánban mérve 9

π, ez a π -nek kilen-

cede, így fokban mérve a szög a °180 kilenced része: °= 20)(9rad

π.

Az átváltások képlete: ( ) πα

α ⋅°°

=180

rad és ( )

°⋅=° 180π

αα

rad.

Legyünk figyelemmel a fok és a radián használatára. Nem ugyanazt jelenti a 180sin és a °180sin .

Hegyesszögek szögfüggvényei Ha két derékszögű háromszögnek ugyanakkora az egyik hegyesszöge, akkor a háromszögek

hasonlók. (Hiszen mindkét háromszögnek van még egy derékszöge, így a harmadik szögük-ben is megegyeznek.) Ezért ha két derékszögű háromszögnek ugyanakkora az egyik hegyes-szöge, akkor a két háromszögben bármely két megfelelő oldal aránya ugyanakkora, mindegy, mekkorák az oldalak. Derékszögű háromszögben az oldalak aránya csak a háromszög hegyes-szögétől függ.

Ezek az arányok csak az α szögtől függenek, ezért nevezzük ezeket az α szög szögfügg-vényeinek. A lehetséges hat arányból négy arányt használunk, ezek az α szög szinusz, koszi-nusz, tangens és kotangens függvényei.

2

átfogó

befogószemköztiszöggelsin ==

c

aα

befogómellettiszög

befogószemköztiszöggeltg ==

b

aα

átfogó

befogómellettiszögcos ==

c

bα

befogószemköztiszöggel

befogómellettiszögctg ==

a

bα

A pótszögek szögfüggvényeit könnyű leolvasni az ábráról ( )αβ −°= 90 :

( ) αα cos90sin =−° ( ) αα sin90cos =−° ( ) αα ctg90tg =−° ( ) αα tg90ctg =−°

Nevezetes szögek szögfüggvényei

Tekintsük a 2 egység oldalú szabályos háromszöget. Az ábráról leolvashatók a °30 és a °60 szögfüggvényei:

2

160cos30sin =°=°

2

330cos60sin =°=°

3

3

3

160ctg30tg ==°=° 330ctg60tg =°=°

3

Vegyünk egy derékszögű háromszöget, melynek a befogói 1 egység hosszúak, az átfogó hosz-

sza ekkor 2 hosszú. Az ábráról leolvashatjuk a °45 szögfüggvényeit:

2

2

2

145cos45sin ==°=° 145ctg45tg =°=°

Gyakran használt kapcsolatok a szögfüggvények között:

1cossin 22 =+ αα αα

αcos

sintg =

α

αctg

1tg =

αα

αsin

cosctg =

Szögfüggvények értelmezése forgásszögre

A koordinátarendszer origója körül forgatott egységvektornak az x tengellyel bezárt szögét jelölje α . A αsin és αcos szögfüggvényeket ennek az egységvektornak a koordinátáival azonosítjuk, és ezzel a derékszögű háromszögben definiált αsin , αcos szögfüggvényeket hegyesszögnél nagyobb szögekre is értelmezzük, összhangban az eddigi definíciókkal. Az α szög koszinusza az egységvektor első koordinátája; az α szög szinusza az egységvektor má-sodik koordinátája.

4

Tetszőleges szögekre a tangens és kotangens függvényeket kétféle módon is definiálhatjuk, mely definíciók ekvivalensek.

Az α szög tangense a koordinátasíkon annak a pontnak a második koordinátája, amelyet az

α szöggel elforgatott egységvektor egyenese az origó körüli egységsugarú kör ( )0;1 pontjá-

hoz húzott érintőből kimetsz – ezt látjuk az előző oldalon levő ábrán. (A metszéspont akkor létezik, ha Zkk ∈°⋅+°≠ ,18090α .)

Az α szög kotangense a koordinátasíkon annak a pontnak az első koordinátája, amelyet az

α szöggel elforgatott egységvektor egyenese az origó körüli egységsugarú kör ( )1;0 pontjá-

hoz húzott érintőből kimetsz – ezt látjuk az előző oldalon levő ábrán. (A metszéspont akkor létezik, ha Zkk ∈°⋅+°≠ ,1800α .)

A másik értelmezés:

αα

αcos

sintg = , ahol 0cos ≠α , azaz Zkk ∈°⋅+°≠ ,18090α .

αα

αsin

cosctg = , ahol 0sin ≠α , azaz Zkk ∈°⋅+°≠ ,1800α .

Ha ismerjük a szögfüggvények értékeit az első síknegyedben, abból ki tudjuk számolni a

szögfüggvények értékét más síknegyedben is. Az α szög helyett vegyük azt az 'α hegyes-szöget, amelyet az α szög az x tengellyel bezár. Az 'α szöghöz tartozó függvényérték, vagy annak az ellentettje lesz az α szöghöz tartozó függvényérték.

Negyed Szög Hegyesszög αsin αcos αtg αctg

I. °<<° 900 α αα =' 'sinα 'cosα 'αtg 'αctg

II. °<<° 18090 α αα −°= 180' 'sinα 'cosα− 'αtg− 'αctg−

III. °<<° 270180 α °−= 180' αα 'sinα− 'cosα− 'αtg 'αctg

IV. °<<° 360270 α αα −°= 360' 'sinα− 'cosα 'αtg− 'αctg−

Példa: Mennyi °210sin értéke? A °210 a III. síknegyedben van, ez a szög az x tengellyel

°−°=° 18021030 -os hegyesszöget zár be, így a táblázat szerint 2

130sin210sin −=°−=° .

A szögfüggvények értékeit °°°° 270,180,90,0 szögekre a táblázat mutatja. ( °360 -hoz ugyanolyan függvényértékek tartoznak, mint a °0 -hoz.)

αsin αcos αtg αctg

°= 0α 0 1 0 Nincs értelmezve.

°= 90α 1 0 Nincs értelmezve. 0

°= 180α 0 1− 0 Nincs értelmezve.

°= 270α 1− 0 Nincs értelmezve. 0

5

Összefüggések a szögfüggvények között Az egységvektor °90 -kal való elforgatása felcseréli a koordinátákat és az egyiknek megvál-toztatja az előjelét. Ezt használva láthatóak a következő összefüggések:

( ) αα cos90sin =°+ ( ) αα sin90cos −=°+

( ) αα cos90sin −=°− ( ) αα sin90cos =°−

( ) αα ctg90tg −=°+ ( ) αα tg90ctg −=°+

( ) αα ctg90tg −=°− ( ) αα tg90ctg −=°−

Az egységvektor °180 -kal való elforgatása megváltoztatja a koordináták előjelét. Erre gon-dolva kapjuk a következő összefüggéseket:

( ) αα sin180sin −=°+ ( ) αα cos180cos −=°+

( ) αα tg180tg =°+ ( ) αα ctg180ctg =°+

A hegyesszögekre megismert összefüggések (például 1cossin 22 =+ αα , vagy a pótszögek szögfüggvényei) érvényesek a hegyesszögnél nagyobb szögekre is.

Geometriai feladatokban nagy segítséget nyújthatnak a szögfüggvények. Két hasznos össze-függés:

• Ha egy háromszög két oldala a és b, a közbezárt szög γ , akkor a háromszög területe

2

sin γabt = .

• Ha egy háromszög a oldalával szemközti szöge α , a köré írt kör sugara R, akkor fennáll az αsin2 ⋅= Ra összefüggés.

II. Kidolgozott feladatok

1. Töltse ki a táblázatot! Egy-egy szögnek a nagyságát megadtuk fokban, határozza meg a nagyságát radiánban, illetve fordítva: adott a szög nagysága radiánban, határozza meg, hogy az hány fokos szög!

Fok Radián Fok Radián Fok Radián Fok Radián

°0 °330 6

5π

2

3π

°300 °225 6

7π π

°27 °90 4

π

4

3π

°315 °132 3

π

6

π

6

Megoldás: °300 a °180 -nak 3

5-szorosa, így a °300 radiánban mérve a π -nek

3

5-

szorosa. Arányosság helyett kényelmesen számolhatunk az átváltó képletekkel is:

( ) πα

α ⋅°°

=180

rad és ( )

°⋅=° 180π

αα

rad. Például )(39,2

180

137137 rad≈⋅

°°

=° π , illet-

ve °≈°⋅= 47,7018023,1

)(23,1π

rad . A kitöltött táblázat:

Fok Radián Fok Radián Fok Radián Fok Radián

°0 0 °330 760,56

11≈

π °150

6

5π °270

2

3π

°300 236,53

5≈

π °225 927,3

4

5≈

π °210

6

7π °180 π

°27 471,015,0 ≈⋅π °90 571,12≈

π °45

4

π °135

4

3π

°315 498,54

7≈

π °132

304,2

733,0

≈

≈⋅π °60

3

π °30

6

π

2. Mennyi az alábbi kifejezések értéke?

a) °++°+°+°°++°+°+°

90cos2cos1cos0cos

90sin2sin1sin0sin

K

K

b) °⋅⋅°⋅°⋅° 89tg3tg2tg1tg K

c) ( ) ( ) ( ) ( )°−⋅⋅°−⋅°−⋅°− 89tg13tg12tg11tg1 K

d) °++°+°+° 90sin30sin20sin10sin 2222K

e) 2

3cos

3

4cos

4

5cos

πππ⋅⋅

Megoldás:

a) ( )αα −°= 90cossin , így K,88cos2sin,89cos1sin,90cos0sin °=°°=°°=°

A számlálóban és a nevezőben ugyanazon számok összege áll, ezért a tört értéke 1.

b) ( ) ( )( )

1sin

cos

cos

sin

90cos

90sin

cos

sin90tgtg =⋅=

−°−°

⋅=−°⋅αα

αα

αα

αα

αα , ezért 189tg1tg =°⋅° ,

188tg2tg =°⋅° , 187tg3tg =°⋅° ,..., 146tg44tg =°⋅° és 145tg =° , a szorzat értéke 1.

c) 045tg1 =°− , tehát a szorzat értéke 0 lesz.

d) ( )αα −°= 90cossin és 1cossin 22 =+ αα miatt

110cos10sin80sin10sin 2222 =°+°=°+° ,

120cos20sin70sin20sin 2222 =°+°=°+° ,

130cos30sin60sin30sin 2222 =°+°=°+° ,

140cos40sin50sin40sin 2222 =°+°=°+° és 190sin 2 =° . Ezért az összeg 511111 =++++ .

e) 02

3cos =

π, ezért a szorzat értéke 0.

7

3. Mekkora lehet αsin értéke, ha 3ctg =α ?

I. Megoldás: 3sin

cosctg ==

αα

α , azaz αα sin3cos = . Mivel 1cossin 22 =+ αα , így

( ) 1sin3sin 22 =+ αα , innen 10

1sin 2 =α ,

10

1sin ±=α .

II. Megoldás: Tegyük fel, hogy α hegyesszög, majd vegyünk fel egy 1 és 3 egység befogójú, α hegyesszögű derékszögű háromszöget. Ennek átfogója a Pitagorasz-tétel

alapján 10 , innen definíció alapján leolvashatók a keresett szögfüggvényérték,

10

1sin =α .

A ( )°+= 180ctgctg αα tulajdonság miatt még a III. síknegyedben is van egy megol-

dás, ekkor 10

1sin −=α .

4. Mekkora annak a rombusznak a nagyobbik belső szöge, amelynek rövidebb átlója 4 egység, oldala 5 egység hosszúságú?

Megoldás. A nagyobbik belső szög a rombusz nagyobbik átlójával szemben fekszik.

5

2cos =α , ezért °= 42,66α .

A rombusz legnagyobb szöge: °= 84,1322α .

8

5. Az ABCD egyenlő szárú trapéz hosszabbik alapján fekvő szögei °60 -osak, a trapézba

írt, az oldalakat érintő kör sugara 33 cm. Mekkora a trapéz kerülete?

Megoldás: A trapéz oldalait a beírt kör négy pontban érinti, közülük hármat megne-veztünk az ábrán, ezek a K, M, N pontok.

A BKO derékszögű háromszögben 933330ctg =⋅=°⋅=OKBK cm.

A CKO derékszögű háromszögben 33

13360ctg =⋅=°⋅= OKCK cm.

1239 =+== BCAD cm. Az ABCD négyszög érintőnégyszög, ezért a szemközti oldalak összege egyenlő:

241212 =+=+=+ BCADCDAB cm, a trapéz kerülete 482424 =+ cm.

6. Egy háromszög legkisebb oldala 1 egység. Szögeinek nagysága .75,60,45 °°°

a) Mekkora a háromszög köré írt körének sugara? b) Mekkora a háromszög területe? c) Mekkora a háromszög kerülete?

Megoldás: a) A °45 -os szöggel szemben van az 1 egység hosszúságú oldal, hiszen a legkisebb oldal a legkisebb szöggel szemben van.

Az αsin2 ⋅= Ra összefüggésből (ahol a a háromszög egyik oldala, R a köré írt kör

sugara, α az a-val szemközti szög) °⋅= 45sin21 R adódik. 707,02

1≈=R egység.

9

Ugyanezt a képletet használva a °60 -os szöggel szemközti oldal

2

360sin

2

12 =°⋅⋅ egység hosszú.

Ismét az előbbi képletet használjuk, így a °75 -os szöggel szemközti oldal hossza

( )2

133045sin

2

1275sin

2

12

+=°+°⋅⋅=°⋅⋅ egység. ( °75sin értékét számolhat-

juk a megfelelő addíciós képlettel, vagy úgy, ahogyan ezt a 7. ajánlott feladatban tesz-szük. Választhatjuk az egyszerűbb utat is: használjunk számológépet!)

b) A háromszög területe:

( )592,0

8

33

2

3045sin

2

3

2

75sin

2

31

2

sin≈

+=

°+°⋅=

°⋅⋅=

⋅=

γabT területegység.

c) A kerület 59,32

633

2

1362

2

13

2

31 ≈

++=

+++=

+++=K egység.

7. Egy négyzet egyik csúcsát és a szemközti oldalak felezőpontjait összekötöttük, így kaptunk egy egyenlő szárú háromszöget. Mekkora a háromszög szárszöge?

I. Megoldás: Válasszuk a négyzet oldalát 2 egységnek. A Pitagorasz-tétel segít ki-

számolni az egyenlő szárú háromszög szárának hosszát: 5 .

A háromszög területe: 2

sin5

2

sin55 αα ⋅=

⋅⋅=t . A háromszög területét megkap-

hatjuk úgy is, hogy a négyzet területéből elhagyjuk a felesleges területrészeket:

2

3

2

1114 =

++−=t .

Ezekből: 2

3

2

sin5=

⋅=

αt , így

5

3sin =α és °= 86,36α (közelítőleg).

10

II. Megoldás: Ha a négyzet oldala 2 egység, akkor (Pitagorasz tétellel számolva) a há-

romszög oldalai: 2,5,5 .

A háromszöget az alaphoz tartozó magassággal két derékszögű háromszögre bontjuk:

3162,05

2

2

2sin ≈=

α, így °= 43,18

2

α (közelítőleg), és °= 86,36α .

III. Ajánlott feladatok

1. Melyik a legnagyobb a °°

°°°15cos

1,

15sin

1,15tg,15cos,15sin számok közül? Vá-

laszát számológép segítsége nélkül indokolja!

2. Számolja ki az alábbi műveletsorok értékét! (Számológép használata nélkül.)

a)

6sin

3cos

6sin

3cos

ππ

ππ

+

− b)

4tg

4sin4 32 ππ

−⋅

c) 4

5ctg

4tg2

2

3sin

2cos

ππππ⋅⋅+− d)

6

5sin

4

3ctg

3

4cos

πππ−⋅

e) °⋅° 20ctg20tg f) °°

70sin

20cos

g) °−°+°+° 300sin135sin315sin150cos

h) °+°+°+°+° 170cos130cos90cos50cos10cos

11

3. Az állítások közül melyik igaz, melyik hamis? Válaszát számológép segítsége nélkül indokolja! a) 189sin1sin >°+°

b) 5

2cos

5

2sin

ππ<

c)

<

2

coscos2

sinsinππ

d) °<°⋅° 40sin20cos10sin

4. Számológép segítsége nélkül döntse el, melyik szám a nagyobb:

a) °50sin vagy °50cos ? b) °35cos vagy °55sin ?

5. Számológép segítsége nélkül mutassa meg, hogy

a) 140cos40sin >°+° b) 140cos40sin >°+°

6. Mekkora szöget zár be egymással a kocka két különböző testátlója?

7. Igazoljuk a α

αα

2cos1

2sintg

+= azonosságot, ahol °<<° 450 α .

8. Mennyi °75sin pontos értéke? Számológép nélkül számoljon!

9. Mutassa meg, hogy igazak a következő azonosságok, ahol α hegyesszög.

αα

αα

22 ctg1

1

tg1

tgsin

+=

+=

αα

αα

22 tg1

1

ctg1

ctgcos

+=

+=

10. Mutassa meg, hogy az r sugarú körbe írt szabályos 12-szög területe 23r .

11. Egy templomtorony magasságának meghatározása céljából egy, a torony alappontján átmenő vízszintes egyenes A pontjából a torony α , egy másik B pontjából β szög-

ben látszik. Ha az A és B pontok távolsága x méter, akkor milyen magas a torony?

12

12. Az ABC háromszög A csúcsánál levő szög °30 , az innen induló szögfelező a szem-közti oldalt az E pontban metszi. Mekkora az AEC háromszög területe, ha

4,6 == ACAB ?

13. Mutassa meg, hogy az ABC háromszög A csúcsából induló szögfelezőjének hossza

cb

bc

fa +

⋅= 2

cos2α

.

13

Az ajánlott feladatok megoldásai

1. Melyik a legnagyobb a °°

°°°15cos

1,

15sin

1,15tg,15cos,15sin számok közül? Vá-

laszát számológép segítsége nélkül indokolja! Megoldás: Ha °<<° 450 α , akkor αα cossin < , így 115cos15sin <°<° , és innen

°<

°<

15sin

1

15cos

11 , továbbá 1

15cos

15sin15tg <

°°

=° .

Tehát az öt szám közül a legnagyobb szám: °15sin

1.

2. Számolja ki az alábbi műveletsorok értékét! (Számológép használata nélkül.)

a)

6sin

3cos

6sin

3cos

ππ

ππ

+

− b)

4tg

4sin4 32 ππ

−⋅

c) 4

5ctg

4tg2

2

3sin

2cos

ππππ⋅⋅+− d)

6

5sin

4

3ctg

3

4cos

πππ−⋅

e) °⋅° 20ctg20tg f) °°

70sin

20cos

g) °−°+°+° 300sin135sin315sin150cos

h) °+°+°+°+° 170cos130cos90cos50cos10cos Megoldás:

a) 6

sin3

cosππ

= , így a tört értéke 0.

b) 112

24 3

2

=−

⋅ .

c) ( ) 311210 =⋅⋅+−− .

d) ( ) 02

11

2

1=−−⋅

− .

e) 1ctgtg =⋅ αα .

f) ( ) °=°−°=° 70sin2090sin20cos , így a tört értéke 1.

g) 02

3

2

2

2

2

2

3=

−−+

−+− .

h) 0170cos10cos =°+° , 0130cos50cos =°+° , 090cos =° , ezért az összeg értéke 0.

14

3. Az állítások közül melyik igaz, melyik hamis? Válaszát számológép segítsége nélkül indokolja!

a) 189sin1sin >°+° b) 5

2cos

5

2sin

ππ<

c)

<

2

coscos2

sinsinππ

d) °<°⋅° 40sin20cos10sin

Megoldás: a) IGAZ. A baloldali összeg két tagja egy 1 egység átfogójú derékszögű háromszög két befogójának hossza (ahol az egyik hegyesszög °89 ), így azok összege nagyobb 1-nél.

Másképp: 11cos1sin1cos1sin89sin1sin 22 =°+°>°+°=°+° .

(Felhasználtuk, hogy 0sin1 >> α , így αα 2sinsin > .)

b) HAMIS. Ugyanis αα cossin > , ha 24

πα

π<< .

c) IGAZ.

==<

2

coscos0cos12

sinsinππ

.

d) IGAZ. °<°<°⋅° 40sin10sin20cos10sin .

4. Számológép segítsége nélkül döntse el, melyik szám a nagyobb: a) °50sin vagy °50cos ? b) °35cos vagy °55sin ? Megoldás: a) °=°>° 50cos40sin50sin . b) °=° 55sin35cos .

5. Számológép segítsége nélkül mutassa meg, hogy a) 140cos40sin >°+°

b) 140cos40sin >°+°

Megoldás: Ha 1sin0 << x , akkor 1sinsinsin 2 <<< xxx , ugyanígy ha

1cos0 << x , akkor 1coscoscos2 <<< xxx .

Továbbá 1cossin 22 =+ xx . Ezeket használjuk a bizonyításban.

a) 140cos40sin40cos40sin 22 =°+°>°+° .

b) 140cos40sin40cos40sin40cos40sin 22 =°+°>°+°>°+° .

15

6. Mekkora szöget zár be egymással a kocka két különböző testátlója?

Megoldás: Vegyük a kockának azt a síkmetszetét, melyen rajta van két testátló. Ez a síkmetszet egy téglalap, a téglalap rövidebb oldala a kocka éle, hosszabb oldala a koc-ka lapátlója, átlója a kocka testátlója.

Ha a kocka éle 2 egység, akkor a lapátlója 22 , a testátlója 32 hosszú. A síkmet-

szet, a téglalap két szomszédos csúcsát és középpontját összekötve (lásd az ábrát) ka-punk egy hegyesszögű, egyenlő szárú háromszöget. Ennek területe a téglalap területé-

nek negyede: 2=t , másrészt 2

sin3

2

sin33 αα ⋅=

⋅⋅=t ,

így °≈⋅

=⋅⋅

= 53,70,2

sin3

2

sin332 α

αα.

Megjegyzés: Kényelmesen számolhatunk a szinusz definícióját felhasználva:

3

1

2sin =

α, °≈ 264,35α , így °≈ 53,70α .

7. Igazoljuk a α

αα

2cos1

2sintg

+= azonosságot, ahol °<<° 450 α .

Megoldás: Vegyünk fel egy egységsugarú kört, majd egyik átmérőjén a középpontból mérjünk fel α2 nagyságú szöget. Az ábráról leolvasható az összefüggés.

16

8. Mennyi °75sin pontos értéke? Számológép nélkül számoljon! Megoldás: A °15 -os szöget tartalmazó derékszögű háromszög átfogója a Pitagorasz-

tétel alapján: ( ) 322348132 22+=+=++ .

Ebben a derékszögű háromszögben számolhatjuk a keresett szögfüggvényértéket:

( )4

6231

4

2324

4

232

2

1

322

3215cos

2 +=+⋅=+⋅=+=

+

+=° ,

és °=° 15cos75sin , így 4

6275sin

+=° .

9. Mutassa meg, hogy igazak a következő azonosságok, ahol α hegyesszög.

αα

αα

22 ctg1

1

tg1

tgsin

+=

+=

αα

αα

22 tg1

1

ctg1

ctgcos

+=

+=

I. Megoldás: Vegyünk fel egy olyan derékszögű háromszöget, ahol az α hegyesszög melletti befogó 1 egység. Ekkor a szemközti befogó αtg , az átfogó a Pitagorasz-tétel

szerint α2tg1+ . Innen α

αα

2tg1

tgsin

+= ,

αα

2tg1

1cos

+= .

Majd vegyünk fel egy olyan derékszögű háromszöget, ahol az α hegyesszöggel szemközti befogó 1 egység. Ekkor a szög melletti befogó αctg , az átfogó a

Pitagorasz-tétel szerint α2ctg1+ .

Innen α

α2ctg1

1sin

+= ,

α

αα

2ctg1

ctgcos

+= .

17

II. Megoldás: Használjuk a αα

αcos

sintg = azonosságot.

α

α

αα

α

αα

ααα

αα

αα

αα

α

αsin

cos

1cos

sin

cos

1cos

sin

cos

sincos

cos

sin

cos

sin1

cos

sin

tg1

tg

22

22

2

22===

+=

+

=+

Hasonló átalakítással megkapjuk a másik, igazolásra váró összefüggést is.

10. Mutassa meg, hogy az r-sugarú körbe írt szabályos 12-szög területe 23r .

Megoldás: A sokszög területe 12-szerese az OAB egyenlő szárú háromszög területé-

nek. A háromszög szárszöge °=°

= 3012

360γ .

A háromszög területe 422

30sin 2212

rrrr=

⋅=

°⋅⋅. A 12-szög területe: 2

2

34

12 rr

=⋅ .

Megjegyzés: Kürschák József (1864–1933) ezt az állítást egy elegáns átdarabolással bizonyította.

11. Egy templomtorony magasságának meghatározása céljából egy, a torony alappontján átmenő vízszintes egyenes A pontjából a torony α , egy másik B pontjából β szög-

ben látszik. Ha az A és B pontok távolsága x méter, akkor milyen magas a torony?

18

Megoldás: ax

m

+=αtg és

a

m=βtg .

Ezekből: ( ) βα tgtg ⋅=⋅+= aaxm , így αβ

αtgtg

tg

−⋅

=x

a .

A torony magassága: αββα

βtgtg

tgtgtg

−⋅⋅

=⋅=x

am .

12. Az ABC háromszög A csúcsánál levő szög °30 , az innen induló szögfelező a szem-közti oldalt az E pontban metszi. Mekkora az AEC háromszög területe, ha

4,6 == ACAB ?

Megoldás. AECABEABC ttt += , azaz

°⋅⋅⋅+°⋅⋅⋅=°⋅⋅⋅ 15sin42

115sin6

2

130sin46

2

1AEAE . Ezért

°⋅=

15sin5

6AE .

4,215sin415sin5

6

2

115sin4

2

1=°⋅⋅

°⋅⋅=°⋅⋅⋅= AEtAEC egység.

19

13. Mutassa meg, hogy az ABC háromszög A csúcsából induló szögfelezőjének hossza

cb

bc

fa +

⋅= 2

cos2α

.

Megoldás. A háromszöget a szögfelező két kisebb háromszögre vágja. Ezek területé-nek összege egyenlő a háromszög területével, azaz

2sin

2

1

2sin

2

1sin

2

1 ααα ⋅⋅+⋅⋅=⋅⋅ aa cfbfbc , azaz

2sin

2sinsin

ααα ⋅+⋅=⋅ aa cfbfbc .

A 2

cos2

sin2sinαα

α ⋅= összefüggést használva, rendezés után kapjuk az

cb

bc

fa +

⋅= 2

cos2α

összefüggést.

IV. Ellenőrző feladatok

1. Számolja ki az alábbi műveletsorok értékét! (Számológép használata nélkül.)

a) °−°⋅ 45tg60cos2 b) °+° 60cos30sin

c) °⋅°

°−45cos45sin

45tg2 d) °−

°−°+

45tg90sin2

90cos1

e) °

+°

+°⋅°360cos

1

180cos

1270cos270sin f) °+°−°+° 120tg135tg2330cos120sin

g) 6

sin6

cos 22 ππ+ h)

4cos

6cos 22 ππ

−

20

2. Töltse ki a táblázatot számológép segítsége nélkül, ha °<<° 900 α .

αsin αcos αtg αctg

5

4

3

8

13

12

3. Egy háromszög két szöge °30 és °45 . A °45 -os szöggel szemközti oldal hossza 12 egység. Mekkora a °30 -os szöggel szemközti oldal?

4. Az ABC egyenlő szárú háromszög BC szárához tartozó súlyvonal 6 egység, az AB

alaphoz tartozó magasság 3 egység. Mekkora a háromszög szárszöge?

5. Egy 5 egység sugarú kör kerületének egyik felén az A, B és C pontok ebben a sor-rendben helyezkednek el. 4,6 == BCAB . Milyen hosszú az AC szakasz?

Az ellenőrző feladatok megoldásai

1. Számolja ki az alábbi műveletsorok értékét! (Számológép használata nélkül.)

a) °−°⋅ 45tg60cos2 b) °+° 60cos30sin

c) °⋅°

°−45cos45sin

45tg2 d) °−

°−°+

45tg90sin2

90cos1

e) °

+°

+°⋅°360cos

1

180cos

1270cos270sin f) °+°−°+° 120tg135tg2330cos120sin

g) 6

sin6

cos 22 ππ+ h)

4cos

6cos 22 ππ

−

Megoldás:

a) 012

12 =−⋅ .

b) 12

1

2

1=+ .

21

c) 212

22

22

=⋅

−.

d) 0112

01=−

−+

.

e) ( ) 01

1

1

101 =+

−+⋅− .

f) ( ) 23122

3

2

3=−−⋅−+ .

g) 1cossin 22 =+ αα .

h) 4

1

2

2

2

322

=

−

.

2. Töltse ki a táblázatot számológép segítsége nélkül, ha °<<° 900 α .

αsin αcos αtg αctg

5

4

3

8

13

12

Megoldás:

αsin αcos αtg αctg

5

4

5

3

3

4

4

3

2

3

2

1 3

3

1

3

1

3

8

8

1 8

13

5

13

12

12

5

5

12

22

3. Egy háromszög két szöge °30 és °45 . A °45 -os szöggel szemközti oldal hossza 12 egység. Mekkora a °30 -os szöggel szemközti oldal?

Megoldás: Az ábra alapján 12

30sinm

=° , így 6=m .

x

m=°45sin , tehát 26

6

22==x .

4. Az ABC egyenlő szárú háromszög BC szárához tartozó súlyvonal 6 egység, az AB alaphoz tartozó magasság 3 egység. Mekkora a háromszög szárszöge?

Megoldás. Az egyenlő szárú háromszög alaphoz tartozó magassága egyben súlyvonal is, a súlyvonalak harmadolják egymást. Így 1,4 == SEAS .

A Pitagorasz-tétel alapján 15=AE .

°=∠=∠ 76,37,15

3tg CAECAE .

A szárszög °48,104 .

23

5. Egy 5 egység sugarú kör kerületének egyik felén az A, B és C pontok ebben a sor-rendben helyezkednek el. 4,6 == BCAB . Milyen hosszú az AC szakasz?

Megoldás. 5

3sin =α , így °= 87,36α és

5

2sin =β , így °= 58,23β .

Az AOC háromszög O-nál lévő szöge βα 22 + .

Az AC húr felezőpontja D, ( )CO

CD=+ βαsin .

Mivel °=+ 45,60βα , így 5

87,045,60sinCD

==° , tehát 7,82 =⋅= CDAC .