Pregled elementarnih funkcij - matematika.fe.uni-lj.simatematika.fe.uni-lj.si/html/sola/Sandbox/FE/VSS/matematika_1/Mat1vs... · Kotne funkcije so sinus, kosinus, tangens in kotangens

Pregledelementarnih

funkcij

Potenčna funkcija

Korenska funkcija

Polinom

Racionalnafunkcija

Eksponentnafunkcija

Logaritemskafunkcija

Kotne funkcije

Ciklometričnefunkcije

Hiperboličnefunkcije

Univerza v Ljubljani, FE

Melita Hajdinjak

Matematika I (VS)

Pregled elementarnih funkcij

2013/14

1 / 46

Pregledelementarnih

funkcij

Potenčna funkcija

Korenska funkcija

Polinom

Racionalnafunkcija

Eksponentnafunkcija


Kotne funkcije



Potenčna funkcija

Funkcijo oblikef (x) = xn,

kjer je n ∈ Z, imenujemo potenčna funkcija.

Število n imenujemo eksponent.

Funkciji, ki ju dobimo za n = 0 in n = 1, sta pravzaprav linearnifunkciji f (x) = 1 in f (x) = x , zato ju ne uvrščamo med pravepotenčne funkcije.

Definicijsko območje potenčne funkcije je R, če je n ≥ 0, inR\{0}, če je n < 0.

2 / 46

Pregledelementarnih

funkcij

Potenčna funkcija

Korenska funkcija

Polinom

Racionalnafunkcija

Eksponentnafunkcija


Kotne funkcije



n ≥ 1, lih:

-2 -1 1 2x

-4

-2

2

4

x3

n > 1, sod:

-1.5 -1.0 -0.5 0.5 1.0 1.5x

-2

-1

1

2

x4

3 / 46

Pregledelementarnih

funkcij

Potenčna funkcija

Korenska funkcija

Polinom

Racionalnafunkcija

Eksponentnafunkcija


Kotne funkcije



n ≤ −1, lih:

-4 -2 2 4x

-4

-2

2

4

1

x

n < −1, sod:

-4 -2 2 4x

-4

-2

2

4

1

x2

4 / 46

Pregledelementarnih

funkcij

Potenčna funkcija

Korenska funkcija

Polinom

Racionalnafunkcija

Eksponentnafunkcija


Kotne funkcije



Korenska funkcija

Funkcijo oblikef (x) = n

√x ,

kjer je n ∈ N, n > 1, imenujemo korenska funkcija.

Število n imenujemo korenski eksponent.

Definicijsko območje korenske funkcije je R, če je n lih, in [0, ∞),če je n sod.

Zveza med korensko in potenčno funkcijo za n > 1:

n√

x = y ⇐⇒ x = yn.

5 / 46

Pregledelementarnih

funkcij

Potenčna funkcija

Korenska funkcija

Polinom

Racionalnafunkcija

Eksponentnafunkcija


Kotne funkcije



Korenska funkcija je inverzna funkcija (cele ali zožene) potenčnefunkcije:

◮ če je n liho število, je potenčna funkcija f (x) = xn injektivnafunkcija, ki ima inverz f −1(x) = n

√x ,

-2 -1 1 2x

-2

-1

1

2

x3

6 / 46

Pregledelementarnih

funkcij

Potenčna funkcija

Korenska funkcija

Polinom

Racionalnafunkcija

Eksponentnafunkcija


Kotne funkcije



◮ če je n sodo število, potenčna funkcija f (x) = xn niinjektivna funkcija in inverz dobimo, če se omejimo nanenegativna števila.

Če je x pozitiven, ima enačba x = yn celo dve realni rešitvi,ki se razlikujeta samo za predznak. Po dogovoru za rezultatn-tega korena izberemo nenegativno rešitev te enačbe.

7 / 46

Pregledelementarnih

funkcij

Potenčna funkcija

Korenska funkcija

Polinom

Racionalnafunkcija

Eksponentnafunkcija


Kotne funkcije



-1 1 2 3x

-1

1

2

3

4

x

8 / 46

Pregledelementarnih

funkcij

Potenčna funkcija

Korenska funkcija

Polinom

Racionalnafunkcija

Eksponentnafunkcija


Kotne funkcije



Polinom

Funkcijo oblike

p(x) = anxn + an−1xn−1 + · · · + a1x + a0,

kjer je an 6= 0, ai ∈ R, i = 0, . . . , n, imenujemo polinom.

Število n imenujemo stopnja polinoma p.

Definicijsko območje vsakega polinoma je R.

9 / 46

Pregledelementarnih

funkcij

Potenčna funkcija

Korenska funkcija

Polinom

Racionalnafunkcija

Eksponentnafunkcija


Kotne funkcije



Izrek. (Osnovni izrek algebre)Polinom p stopnje n ima največ n realnih ničel, torej p(x) = 0 zanajveč n različnih realnih vrednosti spremenljivke x . Natančneje,polinom p stopnje n ima natanko n kompleksnih ničel, od katerihso nekatere lahko tudi večkratne.

Če ima polinom p točno n realnih ničel x1, . . . , xn, ga lahkozapišemo v obliki

p(x) = an(x − xn)...(x − x1).

10 / 46

Pregledelementarnih

funkcij

Potenčna funkcija

Korenska funkcija

Polinom

Racionalnafunkcija

Eksponentnafunkcija


Kotne funkcije



Primer. Narišimo graf polinoma

p(x) = 6x4 − 13x3 + 7x2 + x − 1.

Niče polinoma lahko iščemo s Hornerjevim algoritmom.

Ničle: x1,2 = 1 (2. stopnje), x3 = 1

2, x4 = − 1

3.

11 / 46

Pregledelementarnih

funkcij

Potenčna funkcija

Korenska funkcija

Polinom

Racionalnafunkcija

Eksponentnafunkcija


Kotne funkcije



-1.0 -0.5 0.5 1.0 1.5 2.0x

-1.0

-0.5

0.5

1.0

6 x4- 13 x3

+ 7 x2+ x - 1

12 / 46

Pregledelementarnih

funkcij

Potenčna funkcija

Korenska funkcija

Polinom

Racionalnafunkcija

Eksponentnafunkcija


Kotne funkcije



Racionalna funkcija

Funkcijo oblike

R(x) =p(x)

q(x),

kjer sta p in q polinoma, imenujemo racionalna funkcija.

Definicijsko območje racionalne funkcije je množicaR\{x : q(x) = 0}.

Po osnovnem izreku algebre zato racionalna funkcija ni definiranav največ toliko točkah, kot je stopnja polinoma q.

13 / 46

Pregledelementarnih

funkcij

Potenčna funkcija

Korenska funkcija

Polinom

Racionalnafunkcija

Eksponentnafunkcija


Kotne funkcije



Če želimo narisati graf racionalne funkcije, je dobro skupnefaktorje polinomov p in q najprej okrajšati.

Le če polinoma p in q racionalne funkcije R nimata skupnih ničel,namreč velja:

◮ ničle polinoma p so ničle racionalne funkcije R ,

◮ ničle polinoma q so poli racionalne funkcije R , v okolicikaterih je graf R neomejen.

14 / 46

Pregledelementarnih

funkcij

Potenčna funkcija

Korenska funkcija

Polinom

Racionalnafunkcija

Eksponentnafunkcija


Kotne funkcije



Če je stopnja polinoma p manjša od stopnje polinoma q, imaracionalna funkcija vodoravno asimptoto y = 0.

-4 -2 2 4 6x

-4

-3

-2

-1

1

x - 3

x2- x + 1

15 / 46

Pregledelementarnih

funkcij

Potenčna funkcija

Korenska funkcija

Polinom

Racionalnafunkcija

Eksponentnafunkcija


Kotne funkcije



Če je stopnja polinoma p večja ali enaka stopnji polinoma q,asimptoto racionalne funkcije dobimo kot kvocient pri deljenjupolinomov p in q.

16 / 46

Pregledelementarnih

funkcij

Potenčna funkcija

Korenska funkcija

Polinom

Racionalnafunkcija

Eksponentnafunkcija


Kotne funkcije



Primer. Izračunajmo asimptoti racionalnih funkcij:

a) R(x) =x2 − 1x + 5

b) R(x) =5x4 + x3 − 1

x2 + 5

Asimptoti: y = x − 5 (premica), y = 5x2 + x − 25 (parabola).

17 / 46

Pregledelementarnih

funkcij

Potenčna funkcija

Korenska funkcija

Polinom

Racionalnafunkcija

Eksponentnafunkcija


Kotne funkcije



Primer. Narišimo graf racionalne funkcije

R(x) =x3 − x

x(x + 5).

Skupne faktorje najprej okrajšajmo!

Ničli x1,2 = ±1, pol x = −5, asimptota y = x − 5.

18 / 46

Pregledelementarnih

funkcij

Potenčna funkcija

Korenska funkcija

Polinom

Racionalnafunkcija

Eksponentnafunkcija


Kotne funkcije



-30 -20 -10 10 20 30x

-30

-20

-10

10

20

x2- 1

x + 5

19 / 46

Pregledelementarnih

funkcij

Potenčna funkcija

Korenska funkcija

Polinom

Racionalnafunkcija

Eksponentnafunkcija


Kotne funkcije



Eksponentna funkcija

Funkcijo oblikef (x) = ax ,

kjer je realno število a > 0 in a 6= 1, imenujemo eksponentnafunkcija.

Najpogosteje uporabljamo osnovo a = e, torej

f (x) = ex .

Definicijsko območje eksponentne funkcije je množica R.

20 / 46

Pregledelementarnih

funkcij

Potenčna funkcija

Korenska funkcija

Polinom

Racionalnafunkcija

Eksponentnafunkcija


Kotne funkcije



Za a > 1 je f (x) = ax strogo naraščajoča, pozitivna inneomejena funkcija. Njena zaloga vrednosti je množica (0, ∞).

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4x

1

2

3

4

2x

21 / 46

Pregledelementarnih

funkcij

Potenčna funkcija

Korenska funkcija

Polinom

Racionalnafunkcija

Eksponentnafunkcija


Kotne funkcije



Za 0 < a < 1 je f (x) = ax strogo padajoča, pozitivna inneomejena funkcija. Njena zaloga vrednosti je množica (0, ∞).

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4x

1

2

3

4

2-x

22 / 46

Pregledelementarnih

funkcij

Potenčna funkcija

Korenska funkcija

Polinom

Racionalnafunkcija

Eksponentnafunkcija


Kotne funkcije



Eksponentna funkcija je strogo monotona, zato injektivna, torejobstaja njena inverzna funkcija.

23 / 46

Pregledelementarnih

funkcij

Potenčna funkcija

Korenska funkcija

Polinom

Racionalnafunkcija

Eksponentnafunkcija


Kotne funkcije



Logaritemska funkcija

Inverzna funkcija eksponentne funkcije ax je oblike

f (x) = loga x ,

kjer je realno število a > 0 in a 6= 1, in jo imenujemo logaritemskafunkcija.

Definicijsko območje logaritemske funkcije je enako zalogivrednosti eksponentne funkcije, torej množici (0, ∞).

24 / 46

Pregledelementarnih

funkcij

Potenčna funkcija

Korenska funkcija

Polinom

Racionalnafunkcija

Eksponentnafunkcija


Kotne funkcije



Za a > 1 je f (x) = loga x strogo naraščajoča in neomejenafunkcija. Njena zaloga vrednosti je množica R.

-3 -2 -1 1 2 3 4x

-3

-2

1

2

3

4

logHxL

logH2L

25 / 46

Pregledelementarnih

funkcij

Potenčna funkcija

Korenska funkcija

Polinom

Racionalnafunkcija

Eksponentnafunkcija


Kotne funkcije



Za 0 < a < 1 je f (x) = loga x strogo padajoča in neomejenafunkcija. Njena zaloga vrednosti je množica R.

-3 -2 -1 1 2 3 4x

-2

-1

1

2

3

4

-

logHxL

logH2L

26 / 46

Pregledelementarnih

funkcij

Potenčna funkcija

Korenska funkcija

Polinom

Racionalnafunkcija

Eksponentnafunkcija


Kotne funkcije



Lastnosti logaritemske funkcije:

◮ definirana je samo za pozitivna realna števila,

◮ je strogo monotona in neomejena,

◮ premica x = 0 je njen pol,

◮ loga 1 = 0 (ničla je x0 = 1),

◮ y = ax ⇐⇒ x = loga y ,

◮ loga(xy) = loga x + loga y ,

◮ logaxy= loga x − loga y ,

◮ loga xb = b loga x .

27 / 46

Pregledelementarnih

funkcij

Potenčna funkcija

Korenska funkcija

Polinom

Racionalnafunkcija

Eksponentnafunkcija


Kotne funkcije



Največkrat obravnavamo logaritemsko funkcijo z osnovo

a = e.

V tem primeru logaritemsko funkcijo imenujemo naravnilogaritem in pišemo

f (x) = loge x = ln x .

Opomba. Nekateri naravni logaritem zapisujejo kot log x , kar jevčasih tudi oznaka za desetiški logaritem.

28 / 46

Pregledelementarnih

funkcij

Potenčna funkcija

Korenska funkcija

Polinom

Racionalnafunkcija

Eksponentnafunkcija


Kotne funkcije



Kotne (trigonometrične) funkcije

Kotne funkcije so sinus, kosinus, tangens in kotangens.

Za kote, manjše od π/2, so definirane s pomočjo razmerij medstranicami v pravokotnem trikotniku.

sin α =

naspr. kateta

hipotenuza

cos α =

pril. kateta

hipotenuza

tan α =

naspr. kateta

pril. kateta

ctan α =

pril. kateta

naspr. kateta

29 / 46

Pregledelementarnih

funkcij

Potenčna funkcija

Korenska funkcija

Polinom

Racionalnafunkcija

Eksponentnafunkcija


Kotne funkcije



Definicijsko območje kotnih funkcij sinus in kosinus razširimo namnožico vseh realnih števil.

Definicijsko območje funkcije

tan x = tg x =sin x

cos x

je množica R\{ π

2+ kπ : k ∈ Z}.

Definicijsko območje funkcije

ctan x = cot x = ctg x =cos x

sin x

je množica R\{kπ : k ∈ Z}.

30 / 46

Pregledelementarnih

funkcij

Potenčna funkcija

Korenska funkcija

Polinom

Racionalnafunkcija

Eksponentnafunkcija


Kotne funkcije



Funkciji sinus in kosinus sta periodični s periodo 2π:

sin x = sin(x + 2π) in cos x = cos(x + 2π)

za vsak x ∈ R.

Funkciji tangens in kotangens sta periodični s periodo π:

tan x = tan(x + π) in ctan x = ctan(x + π)

za vsak x ∈ R.

31 / 46

Pregledelementarnih

funkcij

Potenčna funkcija

Korenska funkcija

Polinom

Racionalnafunkcija

Eksponentnafunkcija


Kotne funkcije



Med kotnimi funkcijami veljajo številne zveze, kot so:

sin2 x + cos2 x = 1,

tan2 x + 1 = 1/ cos2 x ,

ctan2 x + 1 = 1/ sin2 x ,

tan x ctan x = 1,

sin(2x) = 2 sin x cos x ,

cos(2x) = cos2 x − sin2 x ,

sin2x

2=

1 − cos x

2,

cos2x

2=

1 + cos x

2.

32 / 46

Pregledelementarnih

funkcij

Potenčna funkcija

Korenska funkcija

Polinom

Racionalnafunkcija

Eksponentnafunkcija


Kotne funkcije



Grafa funkcij sinus in kosinus:

-2 Π -

3 Π

2-Π -

Π

2

Π

2Π

3 Π

22 Π

x

-1

1

sinHxL

-2 Π -

3 Π

2-Π -

Π

2

Π

2Π

3 Π

22 Π

x

-1

1

cosHxL

33 / 46

Pregledelementarnih

funkcij

Potenčna funkcija

Korenska funkcija

Polinom

Racionalnafunkcija

Eksponentnafunkcija


Kotne funkcije



Grafa funkcij tangens in kotangens:

-2 Π -

3 Π

2-Π -

Π

2

Π

2Π

3 Π

22 Π

x

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

cotHxL

34 / 46

Pregledelementarnih

funkcij

Potenčna funkcija

Korenska funkcija

Polinom

Racionalnafunkcija

Eksponentnafunkcija


Kotne funkcije



Ciklometrične funkcije

Kotne funkcije niso injektivne, zato inverzne funkcije kotnih funkcijne obstajajo.

Če pa se omejimo na območje, kjer je posamezna kotna funkcijainjektivna, lahko definiramo inverze zoženih kotnih funkcij. Teinverze imenujemo ciklometrične funkcije.

35 / 46

Pregledelementarnih

funkcij

Potenčna funkcija

Korenska funkcija

Polinom

Racionalnafunkcija

Eksponentnafunkcija


Kotne funkcije



Pri sinusni funkciji se omejimo na interval [− π

2, π

2]. Inverzno

oziroma ciklometrično funkcijo te zožene sinusne funkcijeimenujemo arkus sinus in pišemo

f (x) = arcsin x .

Velja:y = arcsin x ⇐⇒ sin y = x .

Definicijsko območje funkcije arkus sinus je [−1, 1], njena zalogavrednosti pa [− π

2, π

2].

36 / 46

Pregledelementarnih

funkcij

Potenčna funkcija

Korenska funkcija

Polinom

Racionalnafunkcija

Eksponentnafunkcija


Kotne funkcije



Graf funkcije arkus sinus

-

Π

2-1 1 Π

2

x

-

Π

2

-1

1

Π

2

sin-1HxL

37 / 46

Pregledelementarnih

funkcij

Potenčna funkcija

Korenska funkcija

Polinom

Racionalnafunkcija

Eksponentnafunkcija


Kotne funkcije



Pri kosinusni funkciji se omejimo na interval [0, π]. Inverznooziroma ciklometrično funkcijo te zožene kosinusne funkcijeimenujemo arkus kosinus in pišemo

f (x) = arccos x .

Velja:y = arccos x ⇐⇒ cos y = x .

Definicijsko območje funkcije arkus kosinus je [−1, 1], njena zalogavrednosti pa [0, π].

38 / 46

Pregledelementarnih

funkcij

Potenčna funkcija

Korenska funkcija

Polinom

Racionalnafunkcija

Eksponentnafunkcija


Kotne funkcije



Graf funkcije arkus kosinus

-1 1 Π

2Π

x

-1

1

Π

2

Π

cos-1HxL

39 / 46

Pregledelementarnih

funkcij

Potenčna funkcija

Korenska funkcija

Polinom

Racionalnafunkcija

Eksponentnafunkcija


Kotne funkcije



Pri funkciji tangens se omejimo na interval [− π

2, π

2]. Inverzno

oziroma ciklometrično funkcijo tako zožene funkcije tangensimenujemo arkus tangens in pišemo

f (x) = arctan x .

Velja:y = arctan x ⇐⇒ tan y = x .

Definicijsko območje funkcije arkus tangens je R, njena zalogavrednosti pa [− π

2, π

2].

40 / 46

Pregledelementarnih

funkcij

Potenčna funkcija

Korenska funkcija

Polinom

Racionalnafunkcija

Eksponentnafunkcija


Kotne funkcije



Graf funkcije arkus tangens

-

Π

2

Π

2

x

-

Π

2

Π

2

tan-1HxL

41 / 46

Pregledelementarnih

funkcij

Potenčna funkcija

Korenska funkcija

Polinom

Racionalnafunkcija

Eksponentnafunkcija


Kotne funkcije



Pri funkciji kotangens se omejimo na interval [0, π]. Inverznooziroma ciklometrično funkcijo tako zožene funkcije kotangensimenujemo arkus kotangens in pišemo

f (x) = arcctan x .

Velja:y = arcctan x ⇐⇒ ctan y = x .

Definicijsko območje funkcije arkus kotangens je R, njena zalogavrednosti pa [0, π].

42 / 46

Pregledelementarnih

funkcij

Potenčna funkcija

Korenska funkcija

Polinom

Racionalnafunkcija

Eksponentnafunkcija


Kotne funkcije



Graf funkcije arkus kotangens

Π

2Π

3 Π

2

x

Π

2

Π

cot-1HxL

43 / 46

Pregledelementarnih

funkcij

Potenčna funkcija

Korenska funkcija

Polinom

Racionalnafunkcija

Eksponentnafunkcija


Kotne funkcije



Hiperbolične funkcije

To je skupno ime za funkcije hiperbolični sinus, hiperboličnikosinus, hiperbolični tangens in hiperbolični kotangens, ki sodefinirane takole:

sh x = sinh x =ex − e−x

2,

ch x = cosh x =ex + e−x

2,

th x = tanh x =sinh x

cosh x,

cth x = ctanh x =cosh x

sinh x.

44 / 46

Pregledelementarnih

funkcij

Potenčna funkcija

Korenska funkcija

Polinom

Racionalnafunkcija

Eksponentnafunkcija


Kotne funkcije



Za hiperbolične funkcije veljajo podobne zveze kot za kotnefunkcije, na primer

cosh2 x − sinh2 x = 1,

sinh(2x) = 2 sinh x cosh x ,

cosh(2x) = cosh2 x + sinh2 x .

Inverzne funkcije hiperboličnih funkcij imenujemo area funkcije.

45 / 46

Pregledelementarnih

funkcij

Potenčna funkcija

Korenska funkcija

Polinom

Racionalnafunkcija

Eksponentnafunkcija


Kotne funkcije



Grafa funkcij hiperbolični sinus in kosinus:

-3 -2 -1 1 2 3x

-2

-1

1

2

3

4

8sinhHxL, coshHxL<

46 / 46

Documents

Pregled elementarnih funkcij - matematika.fe.uni-lj.simatematika.fe.uni-lj.si/html/sola/Sandbox/FE/VSS/matematika_1/Mat1vs... · Kotne funkcije so sinus, kosinus, tangens in kotangens