1

12. Trigonometria I.

I. Elmleti sszefoglal Szgmrs

A szg mrsnek kt gyakran hasznlt mdja van: fokban, illetve radinban (vmrtkben) mrnk.

A teljesszg 360 , ennek a 360-ad rsze az 1 . A szg nagysgt mrhetjk az egysgsugar kr kerletn is. Az szg vmrtke egyen-

l az egysgsugar krben az kzpponti szghz tartoz krv hosszval. Az vmrtk egysge az 1 radin. A teljesszghz az egysgsugar krben tartoz krv hossza 2 , gy a teljesszg vmrtke 2 .

Teht a 2 s a 360 ugyanazt a szget mri, az els esetben radinban, a msodik esetben fokban mrtnk. gy = 360)(2 rad , = 180)(rad .

Ha fokban mrt szget vltunk t radinra, akkor elegend azt tudnunk, hogy ez a szg a 180 -nak hnyszorosa, mert ugyanennyiszerese lesz a -nek is (radinban). Pldul a 18 a

180 -nak tizedrsze, ezrt )(10

18 rad

= . Ha a szg radinban mrve 9

, ez a -nek kilen-

cede, gy fokban mrve a szg a 180 kilenced rsze: = 20)(9rad

.

Az tvltsok kplete: ( )

=180

rad s ( )

= 180

rad.

Legynk figyelemmel a fok s a radin hasznlatra. Nem ugyanazt jelenti a 180sin s a 180sin .

Hegyesszgek szgfggvnyei Ha kt derkszg hromszgnek ugyanakkora az egyik hegyesszge, akkor a hromszgek

hasonlk. (Hiszen mindkt hromszgnek van mg egy derkszge, gy a harmadik szgk-ben is megegyeznek.) Ezrt ha kt derkszg hromszgnek ugyanakkora az egyik hegyes-szge, akkor a kt hromszgben brmely kt megfelel oldal arnya ugyanakkora, mindegy, mekkork az oldalak. Derkszg hromszgben az oldalak arnya csak a hromszg hegyes-szgtl fgg.

Ezek az arnyok csak az szgtl fggenek, ezrt nevezzk ezeket az szg szgfgg-vnyeinek. A lehetsges hat arnybl ngy arnyt hasznlunk, ezek az szg szinusz, koszi-nusz, tangens s kotangens fggvnyei.

2

tfog

befogszemkztiszggelsin ==

c

a

befogmellettiszg

befogszemkztiszggeltg ==

b

a

tfog

befogmellettiszgcos ==

c

b

befogszemkztiszggel

befogmellettiszgctg ==

a

b

A ptszgek szgfggvnyeit knny leolvasni az brrl ( ) = 90 : ( ) cos90sin = ( ) sin90cos = ( ) ctg90tg = ( ) tg90ctg =

Nevezetes szgek szgfggvnyei

Tekintsk a 2 egysg oldal szablyos hromszget. Az brrl leolvashatk a 30 s a 60 szgfggvnyei:

2

160cos30sin ==

2

330cos60sin ==

3

3

3

160ctg30tg === 330ctg60tg ==

3

Vegynk egy derkszg hromszget, melynek a befogi 1 egysg hosszak, az tfog hosz-

sza ekkor 2 hossz. Az brrl leolvashatjuk a 45 szgfggvnyeit:

2

2

2

145cos45sin === 145ctg45tg ==

Gyakran hasznlt kapcsolatok a szgfggvnyek kztt:

1cossin 22 =+

cos

sintg =

ctg

1tg =

sin

cosctg =

Szgfggvnyek rtelmezse forgsszgre

A koordintarendszer origja krl forgatott egysgvektornak az x tengellyel bezrt szgt jellje . A sin s cos szgfggvnyeket ennek az egysgvektornak a koordintival azonostjuk, s ezzel a derkszg hromszgben definilt sin , cos szgfggvnyeket hegyesszgnl nagyobb szgekre is rtelmezzk, sszhangban az eddigi defincikkal. Az szg koszinusza az egysgvektor els koordintja; az szg szinusza az egysgvektor m-sodik koordintja.

4

Tetszleges szgekre a tangens s kotangens fggvnyeket ktfle mdon is definilhatjuk, mely defincik ekvivalensek.

Az szg tangense a koordintaskon annak a pontnak a msodik koordintja, amelyet az szggel elforgatott egysgvektor egyenese az orig krli egysgsugar kr ( )0;1 pontj-hoz hzott rintbl kimetsz ezt ltjuk az elz oldalon lev brn. (A metszspont akkor ltezik, ha Zkk + ,18090 .)

Az szg kotangense a koordintaskon annak a pontnak az els koordintja, amelyet az szggel elforgatott egysgvektor egyenese az orig krli egysgsugar kr ( )1;0 pontj-hoz hzott rintbl kimetsz ezt ltjuk az elz oldalon lev brn. (A metszspont akkor ltezik, ha Zkk + ,1800 .)

A msik rtelmezs:

cos

sintg = , ahol 0cos , azaz Zkk + ,18090 .

sin

cosctg = , ahol 0sin , azaz Zkk + ,1800 .

Ha ismerjk a szgfggvnyek rtkeit az els sknegyedben, abbl ki tudjuk szmolni a

szgfggvnyek rtkt ms sknegyedben is. Az szg helyett vegyk azt az ' hegyes-szget, amelyet az szg az x tengellyel bezr. Az ' szghz tartoz fggvnyrtk, vagy annak az ellentettje lesz az szghz tartoz fggvnyrtk.

Negyed Szg Hegyesszg sin cos tg ctg

I.

5

sszefggsek a szgfggvnyek kztt Az egysgvektor 90 -kal val elforgatsa felcserli a koordintkat s az egyiknek megvl-toztatja az eljelt. Ezt hasznlva lthatak a kvetkez sszefggsek:

( ) cos90sin =+ ( ) sin90cos =+ ( ) cos90sin = ( ) sin90cos = ( ) ctg90tg =+ ( ) tg90ctg =+ ( ) ctg90tg = ( ) tg90ctg =

Az egysgvektor 180 -kal val elforgatsa megvltoztatja a koordintk eljelt. Erre gon-dolva kapjuk a kvetkez sszefggseket:

( ) sin180sin =+ ( ) cos180cos =+ ( ) tg180tg =+ ( ) ctg180ctg =+

A hegyesszgekre megismert sszefggsek (pldul 1cossin 22 =+ , vagy a ptszgek szgfggvnyei) rvnyesek a hegyesszgnl nagyobb szgekre is.

Geometriai feladatokban nagy segtsget nyjthatnak a szgfggvnyek. Kt hasznos ssze-fggs:

Ha egy hromszg kt oldala a s b, a kzbezrt szg , akkor a hromszg terlete

2

sin abt = .

Ha egy hromszg a oldalval szemkzti szge , a kr rt kr sugara R, akkor fennll az sin2 = Ra sszefggs.

II. Kidolgozott feladatok

1. Tltse ki a tblzatot! Egy-egy szgnek a nagysgt megadtuk fokban, hatrozza meg a nagysgt radinban, illetve fordtva: adott a szg nagysga radinban, hatrozza meg, hogy az hny fokos szg!

Fok Radin Fok Radin Fok Radin Fok Radin

0 330 6

5

2

3

300 225 6

7

27 90 4

4

3

315 132 3

6

6

Megolds: 300 a 180 -nak 3

5-szorosa, gy a 300 radinban mrve a -nek

3

5-

szorosa. Arnyossg helyett knyelmesen szmolhatunk az tvlt kpletekkel is:

( )

=180

rad s ( )

= 180

rad. Pldul )(39,2

180

137137 rad

= , illet-

ve = 47,7018023,1

)(23,1

rad . A kitlttt tblzat:

Fok Radin Fok Radin Fok Radin Fok Radin

0 0 330 760,56

11

150

6

5 270

2

3

300 236,53

5

225 927,3

4

5

210

6

7 180

27 471,015,0 90 571,12

45

4

135

4

3

315 498,54

7

132

304,2

733,0

60

3

30

6

2. Mennyi az albbi kifejezsek rtke?

a) ++++++++

90cos2cos1cos0cos

90sin2sin1sin0sin

K

K

b) 89tg3tg2tg1tg K

c) ( ) ( ) ( ) ( ) 89tg13tg12tg11tg1 K d) ++++ 90sin30sin20sin10sin 2222 K

e) 2

3cos

3

4cos

4

5cos

Megolds:

a) ( ) = 90cossin , gy K,88cos2sin,89cos1sin,90cos0sin === A szmllban s a nevezben ugyanazon szmok sszege ll, ezrt a trt rtke 1.

b) ( ) ( )( )

1sin

cos

cos

sin

90cos

90sin

cos

sin90tgtg ==

=

, ezrt 189tg1tg = ,

188tg2tg = , 187tg3tg = ,..., 146tg44tg = s 145tg = , a szorzat rtke 1.

c) 045tg1 = , teht a szorzat rtke 0 lesz.

d) ( ) = 90cossin s 1cossin 22 =+ miatt 110cos10sin80sin10sin 2222 =+=+ ,

120cos20sin70sin20sin 2222 =+=+ ,

130cos30sin60sin30sin 2222 =+=+ ,

140cos40sin50sin40sin 2222 =+=+ s 190sin 2 = . Ezrt az sszeg 511111 =++++ .

e) 02

3cos =

, ezrt a szorzat rtke 0.

7

3. Mekkora lehet sin rtke, ha 3ctg = ?

I. Megolds: 3sin

cosctg ==

, azaz sin3cos = . Mivel 1cossin 22 =+ , gy

( ) 1sin3sin 22 =+ , innen 10

1sin 2 = ,

10

1sin = .

II. Megolds: Tegyk fel, hogy hegyesszg, majd vegynk fel egy 1 s 3 egysg befogj, hegyesszg derkszg hromszget. Ennek tfogja a Pitagorasz-ttel

alapjn 10 , innen definci alapjn leolvashatk a keresett szgfggvnyrtk,

10

1sin = .

A ( )+= 180ctgctg tulajdonsg miatt mg a III. sknegyedben is van egy megol-

ds, ekkor 10

1sin = .

4. Mekkora annak a rombusznak a nagyobbik bels szge, amelynek rvidebb tlja 4 egysg, oldala 5 egysg hosszsg?

Megolds. A nagyobbik bels szg a rombusz nagyobbik tljval szemben fekszik.

5

2cos = , ezrt = 42,66 .

A rombusz legnagyobb szge: = 84,1322 .

8

5. Az ABCD egyenl szr trapz hosszabbik alapjn fekv szgei 60 -osak, a trapzba

rt, az oldalakat rint kr sugara 33 cm. Mekkora a trapz kerlete?

Megolds: A trapz oldalait a bert kr ngy pontban rinti, kzlk hrmat megne-veztnk az brn, ezek a K, M, N pontok.

A BKO derkszg hromszgben 933330ctg ===OKBK cm.

A CKO derkszg hromszgben 33

13360ctg === OKCK cm.

1239 =+== BCAD cm. Az ABCD ngyszg rintngyszg, ezrt a szemkzti oldalak sszege egyenl:

241212 =+=+=+ BCADCDAB cm, a trapz kerlete 482424 =+ cm.

6. Egy hromszg legkisebb oldala 1 egysg. Szgeinek nagysga .75,60,45

a) Mekkora a hromszg kr rt krnek sugara? b) Mekkora a hromszg terlete? c) Mekkora a hromszg kerlete?

Megolds: a) A 45 -os szggel szemben van az 1 egysg hosszsg oldal, hiszen a legkisebb oldal a legkisebb szggel szemben van.

Az sin2 = Ra sszefggsbl (ahol a a hromszg egyik oldala, R a kr rt kr

sugara, az a-val szemkzti szg) = 45sin21 R addik. 707,02

1=R egysg.

9

Ugyanezt a kpletet hasznlva a 60 -os szggel szemkzti oldal

2

360sin

2

12 = egysg hossz.

Ismt az elbbi kpletet hasznljuk, gy a 75 -os szggel szemkzti oldal hossza

( )2

133045sin

2

1275sin

2

12

+=+= egysg. ( 75sin rtkt szmolhat-

juk a megfelel addcis kplettel, vagy gy, ahogyan ezt a 7. ajnlott feladatban tesz-szk. Vlaszthatjuk az egyszerbb utat is: hasznljunk szmolgpet!)

b) A hromszg terlete:

( )592,0

8

33

2

3045sin

2

3

2

75sin

2

31

2

sin

+=

+=

=

=

abT terletegysg.

c) A kerlet 59,32

633

2

1362

2

13

2

31

++=

+++=

+++=K egysg.

7. Egy ngyzet egyik cscst s a szemkzti oldalak felezpontjait sszektttk, gy kaptunk egy egyenl szr hromszget. Mekkora a hromszg szrszge?

I. Megolds: Vlasszuk a ngyzet oldalt 2 egysgnek. A Pitagorasz-ttel segt ki-

szmolni az egyenl szr hromszg szrnak hosszt: 5 .

A hromszg terlete: 2

sin5

2

sin55 =

=t . A hromszg terlett megkap-

hatjuk gy is, hogy a ngyzet terletbl elhagyjuk a felesleges terletrszeket:

2

3

2

1114 =

++=t .

Ezekbl: 2

3

2

sin5=

=

t , gy

5

3sin = s = 86,36 (kzeltleg).

10

II. Megolds: Ha a ngyzet oldala 2 egysg, akkor (Pitagorasz ttellel szmolva) a h-

romszg oldalai: 2,5,5 .

A hromszget az alaphoz tartoz magassggal kt derkszg hromszgre bontjuk:

3162,05

2

2

2sin =

, gy = 43,18

2

(kzeltleg), s = 86,36 .

III. Ajnlott feladatok

1. Melyik a legnagyobb a

15cos

1,

15sin

1,15tg,15cos,15sin szmok kzl? V-

laszt szmolgp segtsge nlkl indokolja!

2. Szmolja ki az albbi mveletsorok rtkt! (Szmolgp hasznlata nlkl.)

a)

6sin

3cos

6sin

3cos

+

b)

4tg

4sin4 32

c) 4

5ctg

4tg2

2

3sin

2cos

+ d)

6

5sin

4

3ctg

3

4cos

e) 20ctg20tg f)

70sin

20cos

g) ++ 300sin135sin315sin150cos

h) ++++ 170cos130cos90cos50cos10cos

11

3. Az lltsok kzl melyik igaz, melyik hamis? Vlaszt szmolgp segtsge nlkl indokolja! a) 189sin1sin >+

b) 5

2cos

5

2sin

<

c)

+

6. Mekkora szget zr be egymssal a kocka kt klnbz testtlja?

7. Igazoljuk a

2cos1

2sintg

+= azonossgot, ahol

12

12. Az ABC hromszg A cscsnl lev szg 30 , az innen indul szgfelez a szem-kzti oldalt az E pontban metszi. Mekkora az AEC hromszg terlete, ha

4,6 == ACAB ?

13. Mutassa meg, hogy az ABC hromszg A cscsbl indul szgfelezjnek hossza

cb

bc

fa +

= 2

cos2

.

13

Az ajnlott feladatok megoldsai

1. Melyik a legnagyobb a

15cos

1,

15sin

1,15tg,15cos,15sin szmok kzl? V-

laszt szmolgp segtsge nlkl indokolja! Megolds: Ha

14

3. Az lltsok kzl melyik igaz, melyik hamis? Vlaszt szmolgp segtsge nlkl indokolja!

a) 189sin1sin >+ b) 5

2cos

5

2sin

<

c)

> , gy 2sinsin > .)

b) HAMIS. Ugyanis cossin > , ha 24

15

6. Mekkora szget zr be egymssal a kocka kt klnbz testtlja?

Megolds: Vegyk a kocknak azt a skmetszett, melyen rajta van kt testtl. Ez a skmetszet egy tglalap, a tglalap rvidebb oldala a kocka le, hosszabb oldala a koc-ka laptlja, tlja a kocka testtlja.

Ha a kocka le 2 egysg, akkor a laptlja 22 , a testtlja 32 hossz. A skmet-

szet, a tglalap kt szomszdos cscst s kzppontjt sszektve (lsd az brt) ka-punk egy hegyesszg, egyenl szr hromszget. Ennek terlete a tglalap terlet-

nek negyede: 2=t , msrszt 2

sin3

2

sin33 =

=t ,

gy

=

= 53,70,2

sin3

2

sin332

.

Megjegyzs: Knyelmesen szmolhatunk a szinusz defincijt felhasznlva:

3

1

2sin =

, 264,35 , gy 53,70 .

7. Igazoljuk a

2cos1

2sintg

+= azonossgot, ahol

16

8. Mennyi 75sin pontos rtke? Szmolgp nlkl szmoljon! Megolds: A 15 -os szget tartalmaz derkszg hromszg tfogja a Pitagorasz-

ttel alapjn: ( ) 322348132 22 +=+=++ .

Ebben a derkszg hromszgben szmolhatjuk a keresett szgfggvnyrtket:

( )4

6231

4

2324

4

232

2

1

322

3215cos

2 +=+=+=+=

+

+= ,

s = 15cos75sin , gy 4

6275sin

+= .

9. Mutassa meg, hogy igazak a kvetkez azonossgok, ahol hegyesszg.

22 ctg1

1

tg1

tgsin

+=

+=

22 tg1

1

ctg1

ctgcos

+=

+=

I. Megolds: Vegynk fel egy olyan derkszg hromszget, ahol az hegyesszg melletti befog 1 egysg. Ekkor a szemkzti befog tg , az tfog a Pitagorasz-ttel

szerint 2tg1+ . Innen

2tg1

tgsin

+= ,

2tg1

1cos

+= .

Majd vegynk fel egy olyan derkszg hromszget, ahol az hegyesszggel szemkzti befog 1 egysg. Ekkor a szg melletti befog ctg , az tfog a

Pitagorasz-ttel szerint 2ctg1+ .

Innen

2ctg1

1sin

+= ,

2ctg1

ctgcos

+= .

17

II. Megolds: Hasznljuk a

cos

sintg = azonossgot.

sin

cos

1cos

sin

cos

1cos

sin

cos

sincos

cos

sin

cos

sin1

cos

sin

tg1

tg

22

22

2

22===

+=

+

=+

Hasonl talaktssal megkapjuk a msik, igazolsra vr sszefggst is.

10. Mutassa meg, hogy az r-sugar krbe rt szablyos 12-szg terlete 23r .

Megolds: A sokszg terlete 12-szerese az OAB egyenl szr hromszg terlet-

nek. A hromszg szrszge =

= 3012

360 .

A hromszg terlete 422

30sin 2212 rrrr=

=

. A 12-szg terlete: 2

2

34

12 rr

= .

Megjegyzs: Krschk Jzsef (18641933) ezt az lltst egy elegns tdarabolssal bizonytotta.

11. Egy templomtorony magassgnak meghatrozsa cljbl egy, a torony alappontjn tmen vzszintes egyenes A pontjbl a torony , egy msik B pontjbl szg-ben ltszik. Ha az A s B pontok tvolsga x mter, akkor milyen magas a torony?

18

Megolds: ax

m

+=tg s

a

m=tg .

Ezekbl: ( ) tgtg =+= aaxm , gy

tgtg

tg

=x

a .

A torony magassga:

tgtg

tgtgtg

==x

am .

12. Az ABC hromszg A cscsnl lev szg 30 , az innen indul szgfelez a szem-kzti oldalt az E pontban metszi. Mekkora az AEC hromszg terlete, ha

4,6 == ACAB ?

Megolds. AECABEABC ttt += , azaz

+= 15sin42

115sin6

2

130sin46

2

1AEAE . Ezrt

=

15sin5

6AE .

4,215sin415sin5

6

2

115sin4

2

1=

== AEtAEC egysg.

19

13. Mutassa meg, hogy az ABC hromszg A cscsbl indul szgfelezjnek hossza

cb

bc

fa +

= 2

cos2

.

Megolds. A hromszget a szgfelez kt kisebb hromszgre vgja. Ezek terlet-nek sszege egyenl a hromszg terletvel, azaz

2sin

2

1

2sin

2

1sin

2

1 += aa cfbfbc , azaz 2

sin2

sinsin

+= aa cfbfbc .

A 2

cos2

sin2sin

= sszefggst hasznlva, rendezs utn kapjuk az

cb

bc

fa +

= 2

cos2

sszefggst.

IV. Ellenrz feladatok

1. Szmolja ki az albbi mveletsorok rtkt! (Szmolgp hasznlata nlkl.)

a) 45tg60cos2 b) + 60cos30sin

c)

45cos45sin

45tg2 d)

+

45tg90sin2

90cos1

e)

+

+360cos

1

180cos

1270cos270sin f) ++ 120tg135tg2330cos120sin

g) 6

sin6

cos 22

+ h) 4

cos6

cos 22

20

2. Tltse ki a tblzatot szmolgp segtsge nlkl, ha

21

c) 212

22

22

=

.

d) 0112

01=

+

.

e) ( ) 01

1

1

101 =+

+ .

f) ( ) 23122

3

2

3=+ .

g) 1cossin 22 =+ .

h) 4

1

2

2

2

322

=

.

2. Tltse ki a tblzatot szmolgp segtsge nlkl, ha

22

3. Egy hromszg kt szge 30 s 45 . A 45 -os szggel szemkzti oldal hossza 12 egysg. Mekkora a 30 -os szggel szemkzti oldal?

Megolds: Az bra alapjn 12

30sinm

= , gy 6=m .

x

m=45sin , teht 26

6

22==x .

4. Az ABC egyenl szr hromszg BC szrhoz tartoz slyvonal 6 egysg, az AB alaphoz tartoz magassg 3 egysg. Mekkora a hromszg szrszge?

Megolds. Az egyenl szr hromszg alaphoz tartoz magassga egyben slyvonal is, a slyvonalak harmadoljk egymst. gy 1,4 == SEAS .

A Pitagorasz-ttel alapjn 15=AE .

== 76,37,15

3tg CAECAE .

A szrszg 48,104 .

23

5. Egy 5 egysg sugar kr kerletnek egyik feln az A, B s C pontok ebben a sor-rendben helyezkednek el. 4,6 == BCAB . Milyen hossz az AC szakasz?

Megolds. 5

3sin = , gy = 87,36 s

5

2sin = , gy = 58,23 .

Az AOC hromszg O-nl lv szge 22 + .

Az AC hr felezpontja D, ( )CO

CD=+ sin .

Mivel =+ 45,60 , gy 5

87,045,60sinCD

== , teht 7,82 == CDAC .