DERET FOURIER:Fungsi Periodik, Deret Fourier, Differensial dan Integral Deret Fourier

Tim Kalkulus 2

Fungsi Periodik

Fungsi f(x) dikatakan periodik dengan perioda P, jika untuk semua harga x berlaku:

f(x+P) = f(x); P adalah konstanta positif

Harga terkecil dari P > 0 disebut perioda terkecil atau disebut perioda dari f(x).

Contoh:

Fungsi sin x mempunyai periode 2, 4, 6,…karena sin (x+2) = sin (x+4)= sin (x+6) =…=sin x

Periode dari sin nx atau cos nx: dengan n bilangan bulat positif adalah 2/n

Periode dari tan x adalah Fungsi konstan mempunyai periode

sembarang bilangan positif

Contoh gambar dari fungsi-Contoh gambar dari fungsi-fungsi periodikfungsi periodik

a.a.

b.b.

f(x)

periode

periode

f(x)

x

x

Kontinuitas

Fungsi f(x) dikatakan kontinu pada setiap segmen (piecewise continuous function), bila f(x) hanya kontinu pada interval-interval tertentu dan diskontinu pada titik-titik yang banyaknya berhingga. Harga f(x) di titik-titik diskontinu ditentukan dengan menghitung harga limit fungsi f(x) untuk x mendekati titik diskontinu (ujung masing-masing interval)

Contoh gambar kontinuitasContoh gambar kontinuitas

f(x)

x1 x2 x3 x4

x

Definisi Deret Fourier

Jika fungsi f(x) terdefinisi pada interval (-L,L) dan diluar interval tersebut f(x) periodik dengan periode 2L, maka deret Fourier atau ekspansi Fourier dari fungsi f(x) tersebut didefinisikan sebagai berikut:

)1(...sincos2

)(1

0

nnn L

xnbLxnaaxf

dengan koefisien Fourier an, bn ditentukan oleh:

)3(......,3,2,1,0;sin)(1

)2(...)(1;cos)(10

L

Ln

L

L

L

Ln

ndxLxnxf

Lb

dxxfL

adxLxnxf

La

Jika interval (-L,L) sembarang dan f(x) mempunyai periode 2L maka

dengan C sembarang bilangan real.Jika C=-L maka rumus (4) dan (5) akan sama dengan (2) dan (3).

)5(...2

...,3,2,1,0;sin)(1

2 2)4(...)(1

0;cos)(1

LC

Cndx

Lxnxf

Lnb

LC

C

LC

Cdxxf

Ladx

Lxnxf

Lna

Syarat / Kondisi DirichletDeret Fourier konvergen bila memenuhi syarat/ kondisi Dirichlet

Teorema: Jika1. f(x) terdefinisi dan bernilai tunggal, kecuali pada

beberapa titik yang banyaknya berhingga pada interval (-L,L)

2. f(x) periodik dengan periode 2L3. f(x) dan f(x) merupakan fungsi-fungsi yang

kontinu pada setiap segmen pada interval (-L,L).

maka deret Fourier (1) dengan koefisien (2) dan (3) atau (4) dan (5) konvergen ke :

1. f(x) jika x merupakan titik kontinu pada interval (-L,L)

2. jika x adalah titik diskontinu

2

)()( xfxf

Contoh:Tentukan deret Fourier dari

dan bagaimanakah f(x) harus ditentukan pada x=-5; x=0 dan x=5 agar deret Fourier tersebut konvergen ke f(x) pada interval (-5,5)

10

503050

)( periodexuntukxuntuk

xf

Fungsi Genap dan Fungsi Ganjil

Fungsi f(x) disebut fungsi genap jika f(-x)=f(x) untuk setiap x. Fungsi f(x) disebut fungsi ganjil jika f(-x) = - f(x) untuk setiap x.Contoh:1. Fungsi polinomial dalam x yang suku-sukunya adalah x berpangkat genap merupakan fungsi genap. Jika f(x) fungsi genap maka

2.Fungsi polinomial dalam x yang suku-sukunya adalah x berpangkat ganjil merupakan fungsi ganjil. Jika f(x) fungsi ganjil maka

aa

a

dxxfdxxf0

)(2)(

0)(

a

a

dxxf

Deret Sinus dan Deret Cosinus Setengah jangkauan (Half-Range)a. Deret fourier dari fungsi genap:

Jika f(x) fungsi genap maka bn=0 sehingga yang muncul hanya suku-suku yang mengandung cosinus (suku-suku dari an)

L

Ln

L

L

L

n

dxLxnxf

Lb

dxLxnxf

Ldx

Lxnxf

La

0sin)(1

cos)(2cos)(1

0

Deret Sinus dan Deret Cosinus Setengah jangkauan (Half-Range)b.Deret fourier dari fungsi ganjil:

Jika f(x) fungsi ganjil maka an=0, sehingga yang muncul hanya suku-suku yang mengandung sinus (suku-suku dari bn)

LL

Ln

L

Ln

dxLxnxf

Ldx

Lxnxf

Lb

dxLxnxf

La

0

sin)(2sin)(1

0cos)(1

Deret sinus dan cosinus setengah jangkauan adalah suatu deret fourier yang hanya mengandung suku sinus dan cosinus saja.

Apabila diinginkan deret setengah jangkauan yang sesuai dengan fungsi yang diberikan, fungsi yang dimaksud biasanya hanya diberikan dalam setengah interval dari (-L,L) yaitu pada interval (0,L). Setengah lainnya yaitu (-L,0) ditentukan berdasarkan penjelasan fungsinya genap atau ganjil.

Deret sinus setengah jangkauan adalah deret Fourier dengan:a. f(x) fungsi ganjilb.

Deret cosinus setengah jangkauan adalah deret Fourier dengan:a. f(x) fungsi genapb.

L

nn dxLxnxf

Lba

0

sin)(2;0

0;cos)(2

0

n

L

n bdxLxnxf

La

Contoh

Ekspansikan f(x)=x; 0<x<2 ke dalam;a.Deret sinus setengah jangkauanb.Deret cosinus setengah jangkauan

DIFFERENSIAL DAN INTEGRAL DARI DERET FOURIER

TheoremaDeret fourier f(x) diintegrasikan dari a sampai

x dan menghasilkan deret yang akan konvergen seragam terhadap

yang dibuktikan oleh f(x) kontinu pada interval -L ≤ x ≤ L dimana a dan x berada pada interval tersebut

x

adxxf )(