Embed Size (px)
Citation preview
I Pored uslova koinpatibilnosti, u Cvorovima sistema mora da budu zadovoljeni i uslovi ' ravnoteie. Na Evor i , koji je izdvojen iz datog sistema, deluju sile veze (generalisane sile
na hajeviina Btapova) i spoljaBnje koncentrisane sile i momenti koji neposredno deluju u Cvoru i , slika 4.5.
IComponente ovog vektora zadaju se u globalnoln koordinatnom sistemu tako da se izbegava operacija transforlnacije vektora iz lokalnog u globalni koordinatni sistem.
Slika 4.5 - Ravnotcia sila u Cvoru i.
Uslovi ravnoteie sila koje deluju na Cvor i, nlogu da se prikaiu sledeConl vektorskom j ednaCinon1:
gde indeks J oznaCava surniranje po svim Btapovima koji su povezani u Cvoru i, dok qi oznaeava broj Btapova koji su povezani u Cvom i. ~ n a l o ~ n o uslovinla ravnoteie Evora i, koji su prikazani izrazom (4.26), mogu da se formiraju uslovi ravnoteie svih Cvorova i prikaiu saieto u sledeCein vidu:
P*-R* = o , (4.27)
gde su:
vektor zadatih spoljainjih sila i vektor sila veze u Cvorovima sisteina, koji ima NCvorova. Za ilustraciju znaCenja izraza (4.27) i (4.28), odnosno naEina foriniranja uslova ravnoteie, moie da posluii pretl~odni primer, koji je prikazan na slici 4.4. Stapovi i Evorovi sistema su razdvojeni, a njihov medusobni uticaj zamenjen silama veze. Sile veze predstavljaju uravnoteien sistem unutras'njih sila, tako da se njihovo dejstvo na Cvorove i Stapove uzima sa suprotnim smerom, slika 4.6. Sile veze su jednake generalisanim silama na lcrajevima Stapova. Pored sila veze na Evorove dejstvuju i zadate koncentrisane sile i momenti.
Uslovi ravnoteie Evorova 1 do 4 na slici 4.6 inogu da se prikaiu sledeCiin jednaCinama:
P,*-R;' =O,
u kojima uz vektor sila veze gornji indeks oznaEava Stap, a donji indeks kraj Stapa, levi (i) ili desni (Ic). JednaCine (4.29) lnogu da se prikaiu u sledeCeln matriEnoin obliku:
prll
odnosno, kratko kao: p*- jTR* = o ,
gde je jT transponovana kineinatieka matrica, koja je ranije definisana izrazom (4.24). Na osnovu uporedenja (4.27) i (4.3 1) sledi
tj. veza izinedu vektora R* i R , koja je u skladu sa principoln kontragradijentnosti, analogna vezi izmedu vektora q * i q* , koja je data izrazom (4.23).
Slnenom (4.32) u (4.27), uz vodenje raEuna o (4.20), dobija se:
p* - jT(K*q* - Q * ) = 0 ,
odnosno uz vodenje raCuna o (4.23 j:
MatriEna jednaEina (4.34), u kojoj je nepoznat vektor poineranja Evorova q*, posle sredivanja, inoie da se prikaie kao sistem algebarskih jednaEina:
gde je K* niatrica koeficijenata uz nepoznate, a S* vektor slobodnih Clanova:
Matrica K* se naziva matrica krutosti sislema, a vektor S* vektor slobodnih danova. Ovaj vektor predstavlja zbir vektora zadatih spoljaSnjih sila u Cvorovima sistema i vektora ekvivalentnog optere6enja sistema. Matrica kmtosti sjstema K*, koja se prema (4.3 6) dobjja tako Sto se inatrica krutosti nepovezanih Stapova K* pomnoii s leva sa JT i s desna sa J , je kvadratna matrica niieg reda od matrice K*. PoSto su elementi inatrica JT i J nule ili jedinice, proizvod J ~ K * J , u stvari, znaCi saino saiimanje kvazjdijagonalne matrice K*, Sto je za primer na slici 4.4, shematski prikazano na sledeCi naCin:
Ovo saiimanje kao Sto Ce biti kasnije pokazano, inoie da se izvede neposredno, bez inalriEnog innoienja.
Slika 4.6 - Uslovi ravnoteic Evorova sistema
4.1.5 ICONTURN1 USLOVI. ODKEDIVANJE POMEKANJA ~ V O K O V A I REAICCIJA OSLONACA
Izrazom (4.35) definisan je sistem algebarskih jednaCina u kojem su nepoznate koinponente vektora poineranja i obrtanja Evorova Zj', dok su komponente vektora S* poznati slobodni Elanovi. Potrebno je da se iz ovog sistema odrede poineranja i obrtanja Cvorova. Neposrednim reiavanjein sistema (4.35), to nije moguCe postiki poSto je matrica
krutosti sisteina K*, odnosno matrica koeficijenata sisteina jednaCina (4.39, singularna. To je zato ito su u vektoru poiiieranja q* sadriana i poiiieranja sistema kao krute figure u raviii, tako da polo2aj sisteina nije definisan. Da bi se odredio poloiaj sistema u ravni neophodno je zadati konurne uslove, odnosno uslove oslanjanja sistema. Za unutrainje kinematiCki stabilne ravne sisteine minimalan broj konturnih uslova je tri, poito sistem kao kruto telo inia tri stepeiia slobode kretanja u ravni. Prema tome, u vektoru pomeranja q* uvek postoji jedan broj poznatih (zadatih) kornponenata, kojima se definiiu uslovi oslanjanja. IVa taj naCin, ukupan broj nepoznatih poineranja i obrtanja se sinanjuje za broj poznatih (zadatih) poiiieranja i obrtanja oslonaca.
Ako se slobodna poineranja i obrtanja Cvorova koja su nepoznata grupiiu i prikaiu kao lto~iiponente vektora q;, a poznata pomeranja i obrtanja oslonaCkih Cvorova kao
koniponente vektora qi talto da je:
tada sistem jednaCina (4.35) moie da se prikaie u sledekein dekoinponovanom oblikm:
odnosno da se razdvoji na dva sistema jednaCina:
Iz prvog sistenia jednaCina (4.39) neposredno se dobija:
a polo111 iz drugog sisteina jednacina (4.39), uz vodenje raCuna da je:
S; = R: +Q; , (4.41)
reakcije oslonaca:
R: = ~ ; , ~ q f + K;,q; - Q; . (4.42)
Izrazinla (4.40) i (4.42) eksplicitno su prikazana poineranja Cvorova i reakcije oslonaca sisteina u zavisnosti od spoljainjih uticaja, koji niogu da budu zadati dui pojedinih gtapova ili u Evoroviina sisteina. Razlikujeino dva osnovna sluCaja konturnih uslova: I , homogeni lconturni uslovi, odnosno potpuno spreCena pomeranja (obrtanja) u oslonaCkim Cvorovima; 2. nehomogeni lconturni uslovi, odnosno oinogukena zadata poiiieranja (obrtanja) oslonaca.
Honz ogeni lconturni uslovi.
U sluCaju homogenih konturnih uslova sve komponente vektora qi su jednake nuli. Tada
se iz (4.40) i (4.42) neposredno dobija:
gde je: " *
KO, = K;$ K:;' .
Specijalan sluCaj homogenih konturnih uslova predstavljaju kinematiCki odredeni sistemi, kod kojih su pomeranja i obrtanja svih Cvorova sistema jednaka nuli, q* = 0 , (q: = q i = 0).
-
Tada se iz (4.43), sa q: = 0 , uz smenu q i = q* i R i = R*, dobija
tj. ved pomata relacija izmedu generalisanih sila i komponenata ekvivalentnog opteredenja na krajevima obostrano totalno ukljeitenih itapova sistema.
Nehomogeni konturni uslovi Uticaji od pomeranja oslonaca
U sluEaju nehomogenih konturnih uslova barem jedna od komponenata vektora q i je razlieita od nule. U posebnom sluEaju kada su zadata pomeranja oslonaca, a nosaC nije optereden, tj. kada je:
q ; + o , Q;=Q:=s:=o, (4.45)
iz (4.40) i (4.42) neposredno sledi:
gde su: K:, = K:;LK:, , K, = K:, - K;K,~'K:, .
Kada su odredena pomeranja Cvorova sistema, lako mogu da se odrede generalisane sile na krajevima pojedinih itapova pomodu izraza (4.20). Izrazom (4.20) generalisane sile su date u globalnom koordinatnom sistemu. Medutim, zbog njihovog fiziekog znaEenja, pogodnije je da se one dobiju u lokalnom koordinatnom sistemu itapa. To se postiie pomoku matrice transformacije. Ako se jednaCina (4.20) pornnoii s leva matricom transformacije Tj , uz vodenje raCuna o (4.12), (4.17) i (4.18), dobija se izraz:
R j = k j r q ; -Q j = kjqj -Qj , (4.48)
pomodu kojeg se odreduju generalisane sile na krajevima itapa j, u lokalnom koordinatnom sistemu.
4.1.6 DIREKTNO FORMIRANJE JEDNACINA SISTEMA. POSTUPAK KODNIH BROJEVA
Za dobijanje sistema jednaCina (4.79, prema prethndnn izlnftenom postupku, potrebno je odrediti matrice krutosti i vektore ekvivalentnog opteredenja svih itapova sistema, potom izvriiti njihovu transformaciju iz lokalnih u globalni koordinatni sistem, forrnirati matrice K* i J i vektor Q i na kraju, izvriiti matriCna rnnoienja K* = J ~ K * J i Q* = J ~ Q * . Ovaj
naCin formiranja jednaEina sistema, iako veoma jednostavan i matematiCki egzaktan, nije uvek i racionalan. To se naroCito odnosi na sisteme sa velikim brojem gtapova. Tada su matrice K* i J velike, tako da one zauzimaju znatan prostor u memoriji raCunara. Osim
toga, u medusobniin proizvodiina ovih inatrica dolazi do ogroinnog broja nmoienja nuloin ili jedinicoin. Stoga je poieljno da se izbegne forinirailje inatrica K" i J, a samiin tiin i operacija njihovog medusobnog mloienja. To je inoguke s obzirom na veC poltazanu strukturu inatrice J. PoSto su eletnenti ove inatrice nule ili jedinice; operacije innoienja matricoin J dovode saino do odredenih transforillacija kojima se menja poloiaj pojedinih eleinenata u inatrici K* i vektoru Q* . Ove transforiiiacije inogu da se izbegnu, tako da se inatrica I<* i vektor Q* formiraju neposredno polazeki od inatrica k; i vektora Q', , j=1,2 ... M, za pojedine Stapove sisteina.
Izraz za vezu geileralisanih sila i generalisanih poilieranja na krajeviina Stapa (4.20), inoie da se prikaie u sledekein obliku:
gde indeks j oznaCava Stap, a indeksi i i k ltrajeve s'tapa odnosno Cvorove. Iz (4.49) neposredno sledi:
R? = Icyq; + - Q" . (4.50)
Smenom (4..50) u uslove ravnoteie (4.26), za Cvor i, dobija se:
odnosno
K L ~ : + K:,~; = 1',* +Q; , i = 1,2 ,... 4 , gde su:
Alto se jednaeine (4.52) ispiSu redoill za sve Cvorove sistema, tako da indeltsi i i lc na ltrajeviina Stapova uzmu oznake odgovarajukih Cvorova, dobija se sistem jednaCina (4.35). Na ovaj naCin, za razliku od prethodnog postupka, inatrica krutosti i vektor ekvivalentnog opterekenja sistema, dobijaju se direktnim putetn. Dijagonalni blokovi K;;, koji
predstavljaju luutosti Evora i, i=1,2,. . . N, foilniraju se preina (4.53) kao zbir Evornih krutosti svih Stapova koji se vezuju u Cvoru i. Vandijagonalni blokovi I<$ postoje samo uz
sused~ie Cvorove (k), koji su vezani Stapo~n Q) sa Evorom (i) i jednaki su blolcu k;, iliatrice
krutosti tog Stapa. Na sliEan naCin, vektor ekvivalentnog opteredenja u nekoiii Evo~u sistema, dobija se kao zbir vektora ekvivalentnih opterekeiija za krajeve svil~ Stapova koji su vezani u toin Evoru.
Za ilustraciju postupka direktnog forlniranja inatrice krutosti i velttora ekvivalentnog opterekenja sistema, inoie da posluii primer koji je prikazan na slici 4.7.
Uslovi ravnoteie Cvorova od 1 do 6, siste~na koji je prikazan na slici 4.7, uz pretpostalcu da su svi Stapovi i Cvorovi siste~na opterekeni, pretna (4.52), su:
K43q3 +K44q4 +K45q5 = P4 + Q 4 = S4 K52q2 +K54q4 +K55q5 +K56qG = '5 + Q 5 = '5 9
K65q5 +K,,q, = P, +Q, = S, ,
odnosno
gde su: I
K , ] =hl Q l =QI K2, = ki2 +I<:, +ki2 Q, = Q: +Q: i-Q:
I<,, = k:, + ki3 Q3 =Q:+Q: 3 1 I < ~ ~ = Q~ =Q: +Q: 4 G
I<,, = kS5 +1<;5 Q~ =Q:+Q:+Q; 6
I<,, = kGG 0, = Q," Ku = k c , i ;t j, Stapa koji povezuje Evorove i i j .
Slilta 4.7 - Oznalce Stapova i Evorova siste~na.
Prilikonl ispisivanja izraza (4.54) odnosno (4.54a) i (4.54b), radi pojednostavljenja, ispuitene su zvezdice uz osnovne oznake. Podrazuilleva se da su sve veliEine date u globalnoin koordinatnorn sisternu. Direktan naEin formulisanja izraza (4.54) shematski je priltazan na slici 4.8.
U direktnoin postupla foriniranj a inatrice krutosti sisteina, koj i j e sheinatski prikazan na slici 4.8, polazi se od inatrica h t o s t i Stapova u globalnoin koordinatnoin sisteinu. Blokovi illatrice h t o s t i Stapa, i-lc, koji iinaju lokalne oznake ii, il, lci, lclc, prekodiraju se tako da indeksi i i Ic dobiju oznake odgovarajukih Evorova sisteina. Praktikuje se da se indeks i koji oznacava levi ltraj Stapa u kome je koordinatni poeetak lokalnog sistema poklapa sa Evoroin koji inla niiu oznaku, a kraj lc, koji oznaEava desni kraj Stapa, sa Evoroin koji iina viSu oznaku, kao Sto je prikazano u tabeli na slici 4.8. Potom se forinira kvadratna nula inatrica sa N blok-kolona i N blok-vrsta, gde je N broj Evorova.
Matrica krutosti sistema se dobija tako ito se blokovi lnatrica krutosti pojedinih itapova unose u kvadratnu nula matricu na poziciju koja je odredena njihovim kodnin~ brojeviina. Ako se na istoj poziciji nadu blokovi matrica dva ili viie s'tapova, oni se sabiraju. Ovaj naCin formiranja lnatrice poznat je pod nazivolnpostupalc kodnih brojeva.
Slika 4.8 - Shematski prikaz naCina formiranja matricc krutosti sistcma
UobiCajeno je da se postupak kodnih brojeva, umesto na blokove, prilnenjuje na eleinente lnatrice krutosti. Tada se kodiraju sve vrste i sve kolone lnatrica krutosti gtapova u skladu sa oznakalna generalisanih pomeranja i sila u Cvorovima sistema. Postupak se sastoji iz
, sledeCih koraka: 1 .Odrede se matrice krutosti svih Stapova i izvrii njihova transjormacija u odnosu na globalni koordinatni sistem. 2. NumeriSu se (lcodiraju) vrste i kolone rnatrica itapova prerna globalnim koordinatama, odnosno stepenima slobode odgovarajuiih Evorova. Na taj nac'in,svalci elemenat matrice krutosti itapa ima dva indeksa, pomoiu kojih se odreduje poloiaj elementa u matrici krutosti sistema. 3. Formira se lcvadratna nula matrica reda n gde je n ukupan broj stepeni slobode sistema. Vrste ove matrice odgovaraju generalisanirn silama, a kolone generalisanirn porneranjima u c'vorovima sistema. 4. U ovu matricu se unose elementi rnatrica krutosti pojedinih Stapova na pozicije lcoje su odredene njihovim oznalcama, odnosno indeksima u globalnom koordinatnom sisternu. Kada se, pri tome, na istoj poziciji nadu elernenti matrica dva ili viSe Stapova, oni se sabiraju, slilca 4.9. Na slichn naEin se dobija i velctor ekvivalentnog optereienja Q*.
fi7xlz)
Slika 4.9 - Formiranje matrice krutosti sistema.
Za ilustraciju ovog postupka prikazan je nosaC na slici 4.10. Sistem iina tri Stapa, Cetiri Cvora i ukupno 12 generalisanih koordinata odnosno parametra pomeranja, od kojih je osain nepoznato, dok su Cetiri poznata iz uslova oslanjanja. Nepoznata pomeranja Cvorova obeleiena su redom od 1 do 8, a potom poznata, brojeviina od 9 do 12. Na ovaj naCin, u matrici krutosti obezbeden je poredak kao u (4.38), tako da se bez dodatnih transformacija inogu neposredno da odrede poineranja Cvorova i reakcije oslonaca.
Slika 4.10 - Ilustracija postupl<a dircktnog formiranja ~natricc krutosti i vektora ekvivalcntnog optcrckcnja.
4. I .7 STRUKT~RA MATRICE KRUTOSTI
Matrica krutosti sisteina je kvadratna matrica Ciji je red jednak ukupnom broju stepeni slobode sistema. Ona je simetriCna i singularna. Simetrija matrice krutosti je posledica stava o uzajarnnosti uticaja, a singularitet matrice sejavlja zbog toga Sto su u generalisanim pomeranjima Cvorova sadriana i poineranja sistema kao krute figure u ravni. Osim toga, znatan broj elemenata matrice krutosti je jednak nuli. Elementi koji su razliCiti od nule grupisani su oko glavne dijagonale, u obliku trake, slika 4.1 1. Trakasti oblik matrice krutosti nastaje zbog toga Sto se u jednom Cvoru vezuje znatno inanje elemenata od ukupnog broja Stapova sistema i Sto jedan ;tap moEe da poveie samo
dva Cvora. Sirina trake zavisi od broja stepeni slobode u Cvoroviilla i od razlilte iznledu broja (oznake) Cvorova na krajevilna Stapa.
Slilca 4.11 - Traltasta strulttura ~natricc krutosti.
Ako je tllaltsiillalila razlilta izinedu Cvorova na jednom Stapu my a broj stepeni slobode LI.
Cvoiu s, tada se Sirina polutrake inoie da odrecli prenla izrazu: b - (in + 1)s. (4.55)
Sirina tralte utiCe na brzinu i efikasnost reSavai~ja sisteina jednaCina, talto da je 11jena inininlizacija od posebnog praktiCnog znaCaja. PoSto je broj stepeni slobode u jedllom sisteniu konstantan, Sirina tralte direktno zavisi od naCina obeleiavanja Cvorova odnosno generalisanill poineranja (sila) u datoln sistemu. To je ilustsovano na priineru nosah koji je psikazan na slici 4.12.
Slika 4.12 - Sirina trakc inatiicc Itrutosti u zavisnosti od naCina obcleiavanja Cvorova
4.1.8 PRIMER I
Na slici 4.13 prikazan je nosaC koji se sastoji od tri Stapa. Horizontalni Stapovi su ltonstantnog popreEilog preseka, dok je kosi Stap proinenljivog popreenog preseka, sa lineainoiii proinenom visine. Polrebno je odrediti poineranja i obrtanja Evorova, realtcije osloilaca i sile u Stapoviina usled dejstva sledeCih spoljaSnjih uticaja:
a) zadatog opterekenja, b) leiliperalure u osi Slapova 2 i 3, t = 20°C) c) temperatume razlike dui: Stapa 2, At = to - t " = 20 OC, d) obrtanja ukljeStenja u Evoru 2, c, = 2'.
Slilca 4.13 -- Gcomctrija nosaCa i spoljaS11ji uticaji lcoji deluju na nosaC.
StatiClti sisteiii, sa oznakaina Evoruva, Stapova i geileralisanih poilleranja u Cvorovima, priltazan je na slici 4.14.
Slika 4.14 - Generalisana poineranja u Cvorovima sistcma.
Stapovi 1 i 3 su na jednom kraju kruto vezani, a na drugom kraju zglavkasto, dok je itap 2 na oba kraja kruto vezan. Od ukupno devet generalisanih porneranja tri su slobodna, odnosno nepoznata (1,2,3) dok je ostalih iest (4 ... 9) poznato iz uslova oslanjanja.
Karakteristike popreCnih preseka Etapova 1 i 2 su:
Matrice krutosti itapova
Matrica krutosti itapa 1 odreduje se prema izrazu (3.65) uz zanemarenje uticaja norrnalnih sila, ito se postiie brisanjem prve i Cetvrte kolone i prve i Cetvrte vrste, tako da se dobija:
I 0.04688 0.18750 -0.04688
k, = EI, 0.18750 0.7500 -0.18750
-0.04688 -0.18750 0.04688
Matrica krutosti Stapa 2 odreduje se prema izrazu (3.33)
1 2 3 7 8 9
8.0 0.0 0.0 -8.0 0.0
0.0 0.05556 0.16667 0.0 -0.05556
Poito je itap 3 promenljivog popreCnog preseka, prvo je potrebno odrediti elemente bazne matrice krutosti, prema (3.38), uz primenu numeriEke integracije. Za numeriCko sracunavanje koeficijenata bazne matrice krutosti, Etap je podeljen na pet jednakih delova, slika 4.15, a zbirovi su odredeni prema izrazu (3.57).
Slika 4.15 - NumcriCko odredivanje karaktcristika Stapa 3.
I c ' EI,.S = - C (h , /h, , , )~, , = 0.02083 x 6.96535 = 0.14492, F, m=o
K,, - koeficijenti numeriCke integracije , K,, =0.5, m=0,5 , K,,, =1.0, m=1,2,3,4.
Matrica krutosti Stapa 3 sraCunava se prema izrazu (3.64):
Matrice transfornlacije iz lokalnih koordinatnih sistema Stapova, u globalni koordinatni sistem.
Matrice krutosti Stapova, transformisane u odnosu na referentni koordinatni sistem su:
2 3 4
i 0.04688 -0.1 8750 -0.04688 2
k; = T , * ~ , T = -0.18750 0.75000 -0.18750 3 ,
-0.04688 -0.18750 0.04688 4
k; = k2 , 1 2 3 5
1 6
4.42138 3.30505 0.0439 1 -4.42138
3.30505 2.49343 -0.05855 -3.30505
0.04391 -0.05855 0.36594 -0.04391
-4.42138 -3.30505 -0.04391 4.42138
-3.30505 -2.49343 0.05855 3.30505
Matrica krutosti sistema, koja se odreduje prema izrazu (4.38):
a) Uticaji od zadatog opterekenja. Vektori elcvivalen~nog opterekenja.
I<" - EI,.
Nepoznata pomeranja u slobodnoln Cvoru, prenla prvoj jednaCini izraza (4.43):
-12.42138 3.30505 0.04391 '1 0.0 -4.42138 3.50505 '2.59587 -0.07938 1 -0.04688 -3.30505 0.04391 _ -0.07938 . ..... 1.78261:/ 0.18750 -0.04391
- 0 . 0 . -0.04688 0.'18750 0.04688 0.0 -4.42138 -3.30505 -0.04391' 0.0 4.42138 -3.30505 -2.49343 0.058551 \ 0.0 3.30505 -8.0 0.0 0.0 1 \ 0.0 0.0
0.0 -0.05556 -.O. 16667 10.0 0.0 0.0 0.16667 0.33333 '0.0 0.0
I
Generalisane sile na kl-ajevima Stapova prema izrazu (4.48):
18.4465
Reakcije oslonaca, prema drugoj jednaCini izraza (4.43):
R; =
Velttori generalisanih ponieranja Stapova u lokalnolil ltoordinatnoni sistei~iu:
- - 38.246
147.572
111.495
-147.572
18.079
-35.005 - -
- 0.0 -0.04688 0.18750-
-4.42138 -3.30505 -0.04391
-3.30505 -2.49343 0,05855
-8.0 0.0 0.0
0.0 -0.05556 -0.16667
0.0 0.16667 0.33333 - -
4
5
6
7
8
9
[ 18'4465]
-69.2694 -
-4.3804
- - -36.
0.0
0.0
0.0
-13.5
22.5 - -
- -
Dijagra~ni sila
Slika 4.17 - Dijagrami sila od optcrckenja.
b) Uticaji od temperature u osama :tapova 2 i 3.
Vektori elcvivalentnog opteredenja
E O , , = ~ C K , ~ , (h, 1 h,ll) = 6.96535
EF,6,, = EF,atl = 3 x l o6 x x 20x 5 = 3000.0
Vektor Q* sistema Btapova:
Nepoznata poineranja Evorova, preina izrazu (4.43):
Reakcije oslonaca:
Vektori generalisanih pomeranja u lokalnim koordinatnim sistemima:
Generalisane sile na krajevima Btapova:
19.322
Slilta 4.19 - Dijagran~i silc od tcmpcmlure u osarna Stapova 2 i 3.
c) Ulicaji od lemnperaturne razlilce At dui s'tapa 2.
~t = t o -t" = 30- 10 = 2 0 " ~
Velctor ekvivaleiltnog opterekenja Stapa 2 prema izrazu (3.32), za EI = 6.25 x lo4 lciV~n~, a = 10 ' OC-', h = 0.5 m je:
Q:' =Q: =[o 0 25.0 0 0 -25.01
a potom, vektor elcvivalentnog opterekenja za sistem:
1 2 3 4 5 6 7 8 9
Q*' =[o 0 25.0 0 0 0 0 0 -25.01
Polneranje i obrtanje Cvora 1 preina izrazu (4.43):
d) Uticaji od obrtanja tvora 3
Reakcije oslonaca: - -
0.0 -0.04688 0.18750
g 9 = cp, = 2' = 2 x 0.000291 rad. = 0 . 5 8 2 ~ 10" rad.
4: = -K:;'IC:,~;
- - 0.0
R; =
1
9
1 9
. 0.0
K:,~: = EIc [ : 0. 16667] 0.33333
- - 2.602
- - 0
0.582x10-~ - -
-4.42 138 -3.30505 -0.04391 -0.24825
--3.30505 -2.49343
-8.0 0.0 0.0
0.0 -0.0556 -0.16667
0.0 0.16667 0.33333 - -
4
0.0
0.0
0.0
0.0
-25.0 - -
- -
-1.986
-0.216
1.986
-2.385
29.812 - -
5
6
7
8
9
Reakcije oslonaca. 4 . . . 8 9
Slika 4.21 - Uticaji od obrtanja Cvora 3 za 2': a) dijagram momenata savijanja, b) reakcijc oslonaca.
4.2 ORTOGONALNI OKVIRI
Ortogonalni okviri su ravni linijski nosaEi kod kojih svi itapovi leie u jednoin od dva nledusobno ortogonalna pravca. Ortogonalni okviri se Eesto javljaju kao konstrukcijski sistemi zgrada, kao i u rnnogim drugim inienjerskim objektima. Kod ovih nosaEa, aksijalne deformacije, u poredenju sa deformacijama koje potiEu od savijanja, obiEno su neznatne, tako da mogu da se zanemare bez bitnog uticaja na taEnost analize. To praktiEno znaEi da inoie da se zaneinari uticaj normalnih sila na deformaciju Stapa, kao Sto je to sluEaj u pribliinoj metodi deformacjje. Na taj naEin, smanjuje se broj stepeni slobode. U Evorovima Stapa, kao osnovne kinematieke veliEine ostaju pomeranja upravna na osu Stapa i obrtanja, tako da elemenat ima ukupno Eetiri stepeni slobode, po dva u svakom Evoru. Pored ovog pojednostavljenja postoji i drugo, koje je oinogukeno ortogonalnoSku Stapova sistema.
Ako se zanemari uticaj aksijalnih sila na deformaciju gtapa, veza izmedu statiEkih i deforinacijsklh velicina (3.37) se redukuje, tako da neposredno moie da se uspostavi samo veza izmedu momenata savij anj a i deformacionih uglova na krajevima Stapa, tj .
Veza izmedu generalisanih sila na krajevima Stapa i osnovnih statiCkih veliEina (3.44), takode se redukuje i postaje:
1 1
R = = CI'S ,
a veze izinedu osnovnih deformacijskih veliCina i generalisanih pomeranja na krajevilna Stapa (3.41), postaje:
PolazeCi od izraza (3.48), uz vodenje raCuna o (4.56) i (4.57), za lnatricu kiutosti Stapa dobija se:
1 1
1 - 1 1 - 0
k = c'k,c =
0 1
a k k a. =- - a;.; a;.k , ak-- , b=-, c , = a , + b , c k = a k + b A A A
Matrica h t o s t i koja je data izrazoin (4.59) predstavlja specijalan sluCaj matrice krutosti ravnog Stapa i inoie da se dobije redukcijom matrice h t o s t i koja je data izrazom (3.49) ako se u njoj izostave vrste i kolone koje odgovaraju generalisaniin silama i pomeranjima u pravcu ose Stapa.
U sluCaju Stapa konstantnog popreCnog preseka, EI=const., matrica h t o s t i (4.59) postaje:
Na sliCan naCin, polazeCi od matrice krutosti Stapa koja je data izrazoii~ (3.64), izostavljanjem prve i Cetvrte vrste i kolone, dobija se matrica krutosti Stapa koji je na levom kraju kruto, a na desnom kraju zglavkasto vezan u Cvoru:
U sluCaju Stapa ltoiistantnog popreCnog preseka, EI = const., izraz (4.61) postaje:
3: :;',I. kg =-- 31 31 1
(4.62)
-3 -31 3
Dlugo pojednostavljenje u analizi ortogonalnih okvira, u odnosu na opStu analizu raviiih nosaCa, tiCe se transforinacije iz lokalnih koordinatnih sisteina u referentni koordinatni sistem. PoSto su kod ortogonalnih okvira svi Stapovi postavljeni tako da su paralelni sa dva inedusobno ortogonalna pravca, ovi pravci, logicno, treba da budu izabrani za pravce osa refereiitnog koordinatnog sistema. Pogodnim izboroin lokalnih ltoordinatnih sistema, nioie da se izbegne proces transformacije inatrica i vektora iz lokalnih u refereni-ni koosdinai-ni sistem. Radi toga, loltalni koordinatni sisteni treba birati uvek tako da niu se orijeiitacija osa poklapa sa orijentacijoni osa referentiiih sistema, kao Sto je to prikazano na slici 4.22.
Slika 4.22 - Poloiaj loltalnih koordinatilih sistcm aortogonalnog okvira.
Osa Xrefernog siste~na je horizontalna, a osa Y vertikalna. Svi Stapovi sistema su vertikalni ili horizontalni. U sluCaju horizontalnih Stapova, ako se lokalni koordinatni sistem postavi u Cvoiu na levoin kraju Stapa, tako da se osa x poklapa sa osoin X, orijentacija ose y poklapa se sa orijentacijoin ose Y. U sluCaju vertikalnih Stapova, da bi se obezbedila ista orijentacija osa x i y, lokalnog i osa X i Y referentnog sisteina, potrebno je da se koordinatni poCetak lokalnog koordinatnog sistema postavi u Cvor na gornjenl kraju Stapa, sa orijentacijoin osa x i y kao i na slici 4.22.
4.2.1 PRIMER
Na slici 4.23 prilcazan je ortogonalni okvir sa Stapovima konstantnog popreCnog preseka, koji je optereken ravnoinerno podeljeniin opterekenjein dui ose Stapa 2 i koncentrisanom horizontalnom siloin u Cvoru 2. Potrebno je odrediti poineranja i obrtanja Cvorova, reakcije osloi~aca i sile u Stapoviina: a) usled zadatog opterekenja, b) usled horizontalnog pomeranja Evora 4 za 2~111.
Slilm 4.23 - Ortogonalni olcvir sa Slapovillla lcollstantnog popreCnog preseka.
Oznake Stapova, Cvorova i generalisanih pomeranja, prikazane su na slici 4.24.
brqj gcncralisanih pomcranja:c) bsoj ncpoznatih gcneralisaaih pomerai!ja:3 broj oslo11aZlkih poznatih pomcrallja:h
Slika 4.24 - a) Oznalce Stapova i Evorova, b) generalisana pomeranja.
Matrice lcrutosti Stapova
Matrice krutosti gtapova odreduju se preiila izrazu (4.62).
Matrica luutosti sistema
a) Uticaji od zadatog optereienja
Velctor elcvivalentnog optereienja
Slika 4.25 - Ekvivalcnb~o optcrcCenje za Stap 2.
Veklor slobodnih Elallova
1 2 3 4 5 6 7 8 9
S' = P' +Q* =[-40.0 -1041.7 1041.7 0. -250. 0. 0. -250.0 0.1'
Pomeranje i obrtanje Evorova
Reakcije oslonca
Sile u Btapoviina
R, = k,q, -Q,
Slilta 4.26 - Dijagam sila od optereder~ja.
b) Uticaji od horizontulnog porneranja oslonca 4 za 2cnz
Vektor oslonaEkih (zadatih) pomeranja qo:
4 5 6 7 8 9
q; =[o 0 0 0.02 0 01
Vektor poineranja slobodnih Cvorova:
I 1.48998 -0.04332 -0.08441 -0.3 0.0 3.0 -0.69444
Q , = K ~ ' K : , ~ , = - -0.04332 0.01595 -0.001 14 -3.0 1.92 20.0 0.0
-0.08441 -0,001 14 0.02097 I 0.0 1.92 0.0 -4.16667
Reakcjje oslonaca:
Sile u s'tapovima:
Slika 4.27 - Dijagrami unutrasnjih sila usled polneranja oslonca 4.
4.2.2 KONTTNUALNI N O S A ~ I
NosaCi koji se sastoje samo od jednog Stapa odnosno jedne grede, koja je oslonjena na tri ili vise oslonaca, nazivaju se kontinualni nosaCi. ICod kontinualnih nosaCa, saino je jedan oslonac nepohetan, dok su svi ostali pokretni, poito spreCavaju pomeranja samo upravno na osu nosaEa, a dozvoljavaju poineranja u pravcu ose nosaCa. Kontinualni nosaCi inogu da se shvate i kao specijalni sluCaj ortogonalnih okvira, ako se pokretni oslonci zainene vertikalniin prostiin Stapovima ili elastiCniin oprugaina, koje iinaju samo aksijalnu krutost, slika 4.28.
Slilta 4.28 - Kontinualni nosac na clastiCniin osloncima.
Na slici 4.28 prikazan je kontinualni nosaC sa konaCno mnogo polja. Na nlestima oslanjanja postavljene su opruge Cije su krutosti Ci, i = 1,2 ... n gde je n broj oslonaca. PoSto ijelna aksijalnih sila, Stap kontinualnog nosaCa ima Cetiri stepena slobode, po dva u Cvorovil~a na hajeviina Stapa. Na slici 4.28b prikazani su stepeni slobode Stapa sa oznakaina u lokalnom i u globalnoill koordinatnom sisteinu. Matrica krutosti Stapa je ista kao i u sluCaju ortogonalnih okvira, za sluCaj proinenljivog popreCnog preseka data izazoin (4.61). Za sluCaj konstantnog popreenog preseka za Stap i , gde itap nosi oznaku levog Cvora, inatrica krutosti je:
Ako se od matrica .krutosti Stapova,' na poznati naCin, for~nira inatrica hutosti sistema, uz uzimanje u obzir krutosti oslonaCkih opruga, dobija se:
. . , .
..., .. .
. . ;
K* = , .., ..
-
- - "# (P, v: cp. ... C, + 1 2/cl '61, kl . -1 2k1 61, lc,
61, kcl 41:k, -6lIkl 21:lc, .. .
.-.V;.-l , , 'pi-] vi ' p i a . * ' i+ I (Pi+l ' * ' 12/~,-~ 61,-,1~,-~ C, + 12(lci-, + lc,) -61,-11ci-1 + 61,1c, -1 21cj 61,1ci
6 1 j 1 ~ ~ l 21tl lei-, -6/,-llc,-l + l,k, 4 /c,-, + 44% -61,1c, 21i2/ci
(4.66)
Za kontinualni nosaC na nepromenljiviin osloncilna v; = 0, i = 1,2 ... n, matrica krutosti ima sledeki izgled:
NosaCi su siinetriCni ako su iin svi eleinenti rasporedeni sinletriCno u odnosu na jednu ili viSe osa, ltoje se nazivaju ose sirnelrije. Icod siinetriCnih nosaCa silnetriCno postavljeni Stapovi inlaju iste geometrijske i inehaniCke karakteristike. Iconturni uslovi, odnosno uslovi oslanjanja nosaCa, takode su simetriCni slika ,4.29.
Slika 4.29 - SimctriCni nosaCi.
Proizvoljno opterekenje koje deluje na simetriCni nosaC uvek moie da se razdvoji na dva dela, od kojih je jedan deo sirnetricizo oplereienje, a drugi, antimetricizo optereienje. Na
osnovu principa superpozicije, analiza statiCko-deformacijskog stanja nosaCa, u okviru linerane teorije, inoBe da se sprovede odvojeno za ova dva opterekenja, a da se potom dobijeni rezultati saberu. U simetric'nim nosac'ima sirnetricizo opterekenje izaziva simetricize, a antimetricizo opteredenje, antimetrihe uticaje. To oinogukava da se analiza simetriCnih nosaCa olakSa poSto se obim posla, koji je neophodan za dobijanje reSenja, znatno sinanjuje.
4.3.1 IZBOR GENERALISANIH POMERANJA
Generalisana pomeranja u Cvorovima simetriCnih nosaCa mogu da se razdvoje na simetriEna i antimetriCna, kao Sto je to prikazano na slici 4.30. Generalisana poineranja u slobodniin Cvorovima, tj. vertikalna porneranja i obrtslnja u Cvorovima 1 i 2 oznaEena su kao i ranije, sa qi, i = 1, 2, 3 ,4 , slika 4.30a. S obzirom'na siinetriju nosaCa, za generalisana poineranja u Cvoroviina nosaCa inogu da se usvoje i parovi pomeranja (obrtanja) u sinletriCniin Cvorovima, koji su oznaCeni sa ri, i = 1, 2, 3, 4, od kojih rl i rz odgovaraju siinetriCnoj , a r3 i rq antimetrihoj deforiilaciji slika 4.30b.
Slika 4.30 - Gcneralisana pomeranja: a) bez vodenja raCuna o simetriji nosaCa (qi), b) uz vodenje raEuna o simetriji nosaCa (ri).
Sa slike 4.30 je oCigledno da postoji sledeka veza izrnedu generalisanih pomeranja qi i ri ,
q 4 = - 3 + q .
Izraz (4.68) moie da se prikaie u sledekem matriCnom obliku:
gde su:
Izrazoin (4.69) dat je naCin transformacije vektora generalisanih pomeranja q* u vektor generalisanih poineranja r* . Ako se kao osnowe nepoznate veliEine u analizi usvoje koinponente vektora r , tada je neophodno da se izvrSi transforinacija sistema jednaEina, odnosno inatrice krutosti i vektora ekvivalentnog opteretenja datog sistema.
NaEin transforinacije matrice i vektora dat je izrazima (4.18) i (4.12), saino Sto na mesto inatrice transformacije T treba uzeti inatricu T .
gde su ~ ; i Q; inatrica krutosti i vektor ekvivalentnog opteretenja koji odgovaraju
generalisaniin poineranjima q*. Sve veliEine u izrazu (4.71) su u globalnom koordinatnom sistemu. Izraz (4.71) lako ~ n o i e da se izvede iz jednakosti radova sistenia pri generalisaniin * * pomeranjiiila q i r , tj.
q * 7 ' ~ i = r * T ~ : , (4.72)
* * gde su R * ~ i R*,. vektori generalisanih sila koji su korespondentni vektoriina q i r . Ako se u (4.72) smeni:
uz vodenje raEuna o (4.69), iz jednakosti leve i desne strane ovog izraza, dobija se
Transformisana matrica K*,. je kvazidijagonalna inatrica, poSto inia dva dijagonalna bloka, koji stoje uz sinietriEna i antin~etriCna generalisana pomeranja, dok su vandijagonalni blokovi nula-inatrice. Na taj naEin, jednacine sistema, imaju sledeti izgled:
gde:indeksi s i - a oznacavaju 'simetriju i antimetriju: Sistem (4.74) se raspada na dva nezavisna sistema
* * Ksrs = S: ,
* * * Kurd = S, ,
iz kojih mogu da se 'odrede simetriCna r,* i antimetriEna rl: generalisana pomeranja Evorova. Kad su odredene komponente pomeranja vektora r, iz (4.69) mogu da se odrede
komponente pomeranja vektora q*. Dalji postupak za dobijanje sila u Stapovima sisteina je u sveinu isti kao u prethodnim razmatranjima.
4.3.2 ICONTURNI USLOVI U OSI SIMETRIJE
Izboroin parova pomeranja i obrtanja simetriCno rasporedenih Cvorova sistema, za generalisana pomeranja, kao Sto je to prethodno pokazano, problem statiEko-deformacijske analize siinetriEnih nosaCa se razdvaja na dva medusobno nezavisna dela: 1 . analizu nosac'a zisled dGstva simetritnog opterekenja (uticaja), 2. analizu nosata usled dejstva antimetritnog opterekenja (uticaja). Ovaj postupak, iako je veoina jednostavan, za nosaCe sa velikiin brojeln Stapova i Cvorova nije pogodan, poSto je tada neophodno formirati inatricu transforinacije ? , koja je visokog reda, a potom izvriiti matriCno innoienje prema izrazu (4.71). Zato je znatno pogodnije da se razinatra samo jedna polovina simetriEnog nosaEa. Radi toga je neophodno definisati konturne uslove u osi simetrije, dui koje se nosaC moie da razdvoji na dva jednaka dela.
IConturni uslovi se definiSu posebno za sluEaj siinetrienih spoljagnjih uticaja, usled kojih nastaje simetriCna deforlnacija, a posebno za sluEaj antilnetrienih spoljainjih uticaja, usled kojih nastaj e antiinetriCna deformacij a nosaCa.
a) Osa simetrije pro lazi Iwoz c'vor
Na slici 4.3 1 je prikazan simetriEan nosaC sa osom simetrije koja prolazi kroz Evor s.
Slika 4.31 - a) SimetiiEan nosac; b) simctriEno i antilnctricno optcrcCenjc.
Opteredenje 2P koje deluje na nosaC razdvojeno je na dva opteredenja, simetricno i antiinetriCno, koja su prikazana na slici 4.3 1b.
U sluCaju siinetriEnog opteredenja, iz uslova ravnoteie izdvojenog dela nosaCa (slika 4.3 1c) sledi:
H = H 1 , V+V'=R, , (4.76) \
M = M 1 .
Pogto je V = V' = R, /2 , nioie se zakljuCiti da je u simetriCnoin nosaCu pri simetriCnoin opteredenju komponenta unutrahjih sila u pravcu ose siinetrije statiCki odredena veliCina, i jednhlta polovini rezultante spoljaSnjih sila na izdvojenoin delu nosaCa koji sadrii Cvor s. Ako se izdvoji deo nosaCa besltonaCno blisko uz Cvor s , iz drugog uslova ravnoteie sledi da je u preseku nosaCa koji se poklapa sa osoin siinetrije sila V, koja je u pravcu ose siinetrije, jednalca nuli. Pri simetriCnoin opterekenju, popreCni presek nosaCa u osi siinetrije se ne obrCe, a inoie da se poinera saino u pravcu ose siinetrije, tako da je cp = 0, u = 0, v# 0. Preina toqie, u sluCaju dejstva siinetriCnih spoljahjih uticaja u preseku nosaCa koji se poklapa sa osoin simetrije vaie slededi statiCko-kineinatiCki uslovi:
Na taj naCin, u analizi nosaCa inoie da se razinatra saino jedna polovina nosaCa, uz ltontume uslove u osi siiiletrije (4.77), koji su prikazani na slici 4.31e. Oslonac na slici 4.3Je inoie da pril~horiz~ntal~sj_1uj~minenat ---_- savijanja F._-dr- a n.e,.l~loie .. --- da priini v a a m a -
--..._._ .... --- s i s j o ~ l o ~ ~ a ~ ~ ~ ~ o ~ u c ~ v a ~ ~ p o i n e r a n j e ,, . , . . . . . u , . pravcu ._M....-2.---.. ose sinletrije, a spreEava pornera=-
. .. .... . _ .... -. -A. . ... .. - . . . . . . . . . - , , upravnu na _,.___l____ usu siinelrije _ i obrlur?je . . prezg ka...... . .. - .. 7-
U sluCaju antiinetriCkog opteredenja iz uslova ravnoteie izdvojenog dela nosata oko Cvora s, slika 4.3 Id, sledi:
PoSto je H = H' = Rh /2 , inoie se zakljuCiti da je u simetriCnoin nosaCu pri antimetriCnoin opteredenju koinponenta unutrainjih sila koja je upravna na osu siinetrije staticki odredena i jednaka polovini rezultante spoljainjih sila na izdvojenom delu nosaCa oko Cvora s. Ako se izdvoji deo nosaCa beskonaCno blisko uz Cvor s, iz prvog i drugog uslova ravnoteie (4.78) sledi da su u preseku nosaCa u osi siinetrije sila H, koja je upravna na osu simetrije i inol~lenat savijanja My jednaki nuli. Pri antiinetriCnon1 opteredenju, poprehi presek nosaCa u osi siinetrije iiloie da se obrde i polnera upravno na osu siinetrije, dok mu je pomeranje u pravcu ose siinetrije spreceno tako da je u $0, v=O, cp $0. Prema tonie, u sluEaju dejstva ai~tiinetriEnih spoljainjih uticaja, u preseku nosaCa u osi simetrije vaie slededi statieko- kinematiiki uslovi:
Na taj naCin, u analizi nosaCa inoie da se razinatra saino jedna polovina nosaCa, uz konturne uslove u osi simetrije (4.79), koji su prikazani na slici 4.31f. Oslonac na slici 4.3 1f ~ n o i e da primi silu u pravcu ose siinetrije, a ne inoie da priini silu upravnu na osu
simetrije i momenat savijanja. pva j ~s&--m~ava_pomeranje lyarm-naa-osuU simetrije i obrtanmreseka, I ma-._ ._ a spreEava pomeranje u p r a v c u o & e m i i ~ m ~ G a j s t w j e koniGfiiii6a"n̂ ~"*~il~+P(P;f"Pj]"T-*k-65~ntrisani momenat M y slika 4.32, tada s obzirom da vertikalna komponenta P, spada u siinetriEno, a horizontalna koinponenta PdY i inoinenat M u antimetricno opterekenje, pri analizi jedne polovine nosaCa treba zadati u Cvoru s , u sluCaju simetrije silu P, /2, a u sluEaju antimetrije, silu P, /2 i .inomenat M 2 , slika 4.32b.
Slika 4.32 - IConcentrisana sila i momcnat u Evoru, u osi simetrijc.
b) Osa simetrije se2e itapove nosaca
Na slici 4.33 prikazan je sluCaj kada osa simetrije seCe (polovi) horizontalne Stapove sisteina.
Slika 4.33 - Osa simctrijc scCc Stapovc nosaCa.
SiinetriCnoj deforinaciji ovog nosaCa odgovara sistem na slici 4.33bY a antiinetriCnoj deformaciji sistem na slici 4 .33~ . U osi simerije, u sluCaju siinetriCne deformacije, za svaki Stap, zadata su dva uslova po polneranjima i jedan po silama, tj.
a u sluCaju antiinetriCne deforinacije, dva uslova po silama i jedan po poineranjima, tj.
Analiza sistenla na slici 4 . 3 3 ~ koja odgovara antiinetriCniin spoljaSnjiin uticajiina, je poznata. Matrice krutosti i vektor ekvivalentnog opterekenja za Stapove koji inlajy Cvorove na osi silnetrije odreduju se na naCin koji je izloien u trekein poglavlju za Stap tipa g. Medutim, u sistemu na slici 4.33bY koji odgovara simetriCnim spoljainjim
uticajima, pojavljuju se Stapovi koji su na jednoin la-aju kruto vezani dok se na drugoin kraju, koji je na osi siinetrije, moraju zadovoljiti konturni uslovi koji su dati izrazoin (4.80). Za analizu sisteina na slici 4.33b, potrebno je odrediti inatrice krutosti i vektore ekvivalentnog opterekenja ovih Stapova, koji se nazivaju Ztapovi tipa s, po Cvoru s na osi simetrije.
c) Nosac' sa Ztapovima u osi simetrije
Na slici 4.34 prikazan je nosaC sa Stapoin u osi siinetrije. Ako zainislimo da je ovaj Stap raseCen dui ose simetrije i tako zainenjen sa dva Stapa koji su postavljeni beskonaCno blislto sa jedne i sa druge strane ose simetrije, slika 4.34b, tada se analiza nosaCa na slici 4.34a illoie da svede na sluCaj nosaCa bez Stapa u osi siinetrije.
Sistemi na slici 4.34c,d, koji odgovaraju siinetriCnoj i antiinetricnoj deIormaciji nosaCa, mogu joS da se pojednostave. Pri siinetriCnoj deforinaciji, Stapovi u osi siinetrije inogu da prime saino opterekenje i temperaturu u pravcu ose Stapa. PoSto ovi Stapovi nisu opterekeni transverzalniill opterekenjem i teinperaturnom razlikoin At i poito su pomeranja upravno na pravac ose Stapa i obi-tanja Cvorova spreCena, sledi da su na lcrajevima ovih Stapova, inoinenti i transverzalne sile jednake nu.li. Stoga se u sisteillu ltoji odgovara simetriCnoj deforillaciji nosaCa, inogu da uvedu zglobovi na krajeviina Stapova koji leie u osi siinetrije, slika 4.34e. U ovii11 Stapoviina postoje saino norinalne sile.
Pri anti~netriCnoj defor~naciji, Stapovi u osi siinetrije inogu da prime, smo opterekenje upravno na osu Stapa i teinperaturnu razliku At . PoSto ovi Stapovi nisu opterekeni poduiniil~ opterekenjem niti tenlperaturom u osi Stapa 1 poSto su spreCena poineranja krajeva gtapa u pravcu use blsipa, sledi da su u oviill Stapovima normalne sile jedilake nuli. Stoga se u ovim Stapovinla moie uvesti poduini zglob, koji onelnogukava prenoSenje aksijalnih sila, slika 4.34f. U ovim Stapovima, prema tome, mogu da se jave samo 111onlenti i transverzalne sile.
Slika 4.34 - SimetriEni nosaE sa Stapom u osi simctrijc I
Poito je transverzalna sila u Cvoru s jednaka nuli Stap tipa s ima pet generalisanih sila, tri u Cvoru i i dve u Cvoru s. Oviin silama odgovaraju generalisana pomeranja, kao Sto je prikazano na slici 4.35. Pomeranje vs u Cvoru s nema status nezavisnog generalisanog pomeranja, poito ono lnoie da se odredi, odnosno eliminiSe, pomoCu uslova Ts=O. Preina tome, Stap tipa s iina pet stepeni slobode, tri u Cvoru i i dva u Cvoru s, slika 4.35b.
4.35 - Generalisane sile i generalisana pomeranja Btapa tipa s.
PolazeCi od veze izinedu generalisanih sila i generalisanih pomeranja na krajevilna Stapa tipa k, uz uvodenje oznake s za Cvor na desnom kraju Stapa, tj.
iz uslova T, = 0 , neposredno sledi da je:
Sinenom (4.83) u (4.82), dobija se:
odnosno:
inatrica krutosti Stapa tipa s, postaje:
Koeficijenti kii u izrazu (4.87) odreduju se kao za Stap tipa k, duiine Is . Za Stap konstantnog popreCnog preseka EI = const., smenom
illatrica kl-utosli postaje: /
FiziCko znaCenje elemenata matrice krutosti ks prikazano je na slici 4.36. Vektor ekvivalentnog opterekenja za Stap s odreduje se na isti naEin kao i za Stapove tipa k i tipa g.
Prilikom foriniranja matrice krutosti i vektora ekvivalentnog opteredenja za Stap tipa s, pored Cvora i na levom kraju Stapa uveden je i Cvor s na osi simetrije. Medutim, kod analize siiiletriCnih nosaCa pri dejstvu simetriCnih spoljaSnjih uticaja, kada se analizira samo jedna polovina nosaCa, nije neophodno uvoditi Cvorove na osi simetrije, poito se sile i pomeranja u tim preseci~na mogu dobiti analizom Stapova koje preseca osa simetrije. Sile i pomeranja u osi simetrije uvek mogu da se eliminiSu i izraze pomoCu sila i pomeranja na
krajeviina itapa. Prelna tome, moie da se uspostavi direktna zavisnost izinedu generalisanih sila i generalisanih poineranja Stapa u Evoru i.
Slika 4.36 - Geometrijsko statiClto znaCcnje elc~llenata lnatraicc krutosti k,,,
Da bi se ovo postiglo, pogodno je da se pode od itapa i - k, duiine I = 2I,, koji simetrije, slika 4.37.
- - - ... .................
,-,I
a. L. d--------l q1,Rl ~ , R J 90, R6 q4, R4
I
1;.;29,. ..--- I 1 I I
5 \
...........
polovi osa
Slika 4.37 - Gcncralisana pomcranja Stapa tipa s.
Poito je itap i - k simetriean, to iz uslova silnetrije neposredno sledi:
Veza izmedu generalisanih sila i generalisanih pomeranja u Cvoru i, uz vodenje raeuna o (4.90) je:
gde su koeficijjenti kQ , koeficijenti matrice krutosti Stapa i - k, duZine I. PoSto na osnovu simetrij e Stapa i izraza (3.94), postoje sledeke jednakosti:
veza izlnedu generalisanih sila i generalisanih poineranja na kraju Stapa, u Cvoiu i, postaje:
gde su koeficijenti Ic,", , Ic0, i koeficijenti bazne matrice Stapa i - k, duiine I.
U sluCaju Stapa konstantnog popreCnog preseka, EI = const., poito je:
izzatrica krutosti Stapa tipa s postaje:
0 F I I
2EI 0 -
Matrice krutosti Stapa ltoja je data izrazoin (4.94), odnosno izrazoin (4.96) nzoie da se dobije neposredno preko matrice (4.87), odnosno (4.89), ako se u njiina izbriSu dve poslednje vrste i dve poslednje kolone i stavi I, =1/2.
ICoinponente odgovarajuteg vektora ekvivalentnog opterekenja, za neke karakteristizne sluCajeve opterekenja, prikazane su u tabeli 4.1.
Tabela 4.1
opteretenj e
P Wl
1 ---------- / a,-" ------ I
Q2 = -PI pl2
Q3 =-7
PRINIER 1
b l o flt
11
& 1 ------- I
8 II J -.--- / ...,. . I
Na slici 4.38 prikazan je simetriCan okvir sa gtapovima prolnenljivog popreCnog preseka. Potrebno je odrediti sile u presecima nosaCa usled zadatog opterekenja.
aEF Ql =-,(to - t " ) , Q2 = O
t o - *I, Q3 = EIa - h
Ql = P
1
f- ....................................................... 160 .................... --. .................. ,- / Slika 4.38 - SimctriEan nosaE sa Stapoviina promenljivog popreEnog prescka.
Slilta 4.39 - Razdvajanje zadatog optereCenja na siinetrieno i antimetriCno opterekenje.
ICoristeki se uslovilna simetrije, za oba sluCaja opterekenja, uinesto celog nosaCa inoie da se posinatra jedna polovina nosaCa, tako da se broj nepoznatih velicina znatno sinanjuje.
Po~neranja i obrtanja Cvorova prikazana su na slici 4.40. U sluCaju siinetrije pomeranja na kraju s Stapa 4 nisu oznaCena kao nepoznate veliCine.
- broj mogucih pomcranja Cvorova 12 - broj inogucih pomerailja Cvorova 13 - broj ncpoznatih pomeranjt7-7, - broj ncpoznatih poincranja 8
Slika 4.40 - Pomcranjc Cvorova.
Stap 1 ICraj
i l 1c F/Ic 1 1 P h I, /I
Matrice krutosti Stapova u lokalnoin koordinatnom sistemu:
Uporedni moinenat inercije Ic=12
&ap 3 je proinenljivog popreCnog preseka. Geometrija Stapa i dijagraini statiCkih uticaja u osnovnoin sisteinu prikazani su na slici 4.41
I
) Slika 4.41 - Geomehija, optereCcnjc i dijagrami sila u osnovnom sistemu za Stap 3.
Iz konturnog uslova da je reakcija desnog oslonca vertikalna sledi: 1
I( = V - - x 2 0 ~ 8 = 8 0 k N k - 2
= T, = 80 cosa = 71.554 kN
Odredivanje eleiiienata matrice fleksibilnosti Stapa.
Deo 4-5
Matrica fleksibilnosti f3 i bazna inatrica krutosti ko3
Matricn Itru tosti 1 ~ s
Geoinetrija Stapa i dijagrain sila u osnovnoln sisteinu prikazani su na slici 4.42
Slika 4.42 - Dijagram sila u osilovnoin sistetnu.
Ueo 3-6
1 0 . 7 ~ AZ, = -- 1
(2 x 0.5 x 3.7809 + 11) = 0.6036- EIc 12 EI,
$tap 4
Matrica fleksibilnosti i bazna inatrica krutosti
(:::036 0.0 1.6567 0.0
f4 =- 4.1470 -2.5246 0.0 0.3831 0.2332 EIc
0.0 -2.5246 4.1470 0.0 0.2332 0.3831
Matrica krutosti Stapa s
216:~ 0 0 3.3135 0 0
0 0 kP,-k,, 0 0.1499
Matrice transfornacije iz lokalnih u globalni koordinatni sistem:
Matrice krutosti Stapova u globalnoin koordinatnom sistemu.
k; = qTkiq 10 1 1 12 1 2 3
,T4 = I .
k; = EIc
T = T = 1 2
- 0.1 182 0.0 -0.3542 -0.1 182 0.0 -0.3542
0.0 5.2477 0.0 0.0 -5.2477 0.0
-0.3542 0.0 1.4170 0.3542 0.0 0.7085
-0.1 182 0.0 0.3542 0.1 182 00 0.3542
0.0 -5.2477 0.0 0.0 5.2477 0.0
-0.3542 0.0 0.7085 0.3542 0.0 1.4170 -
T3 =
- - 0 1 0
-1 0 0
0 0 1 0 1 0
-1 0 0
0 ."O 1 - -
- - 0.894 0.447
-0.447 0.894
1
0.894 0.447
-0.447 0.894
1 - -
Matrica krutosti sistema:
Vektor ekvivalentnog opterekenja
&ap 3 x, =-XI
p,, = p cos2 a = 16.0 (a* - P*)x, -a; = 0
p, = p cosa sina = 8.0 (3.0436 +- 2.09)Xl = 668.3
X, = 130.1853 kNm
Slilra 4.43 - Ko~nponentc vcktora clcvivalcntnog optcrckenja za Stap 3
Vektor koncentrisanih sila u Cvorovima sistema.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 1 1 1 2
~ * ~ = [ 5 . 0 0 0 5.0 0 0 0 0 0 0 0 01
Vektor ekvivalentnog opterekenja.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Q*' = [0.0 - 240.0 - 726.3278 0.0 - 80.0 130.185 0.0 - 80.0 - 130.1853 0.0 0.0 0.01
Vektor slobodnih Clanova. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 1 12
s*' = Q*' + P*' = [5.0 - 240.0 - 726.3278 5.0 - 80.0 - 130.1853 - 80.0 0.0 - 130.1853 0.0 0.0 0.01
Slilca 4.44 - Ko~npnncntc vclclora clcvivalcnlnog optcrcCc11ja za Slap 4
Nepoznata pomeranja Cvorova i reakcije oslonaca:
Generalisane sile na krajevima Stapova ( R , = kiq, -Qi , q, = T ~ J )
Dijagralni sila
Slika 4.45 - Dijagran~i sila N, T, Mod simctriEnog optercCcl~ja.
b) Antimentrija
Matrice krutosti Stapova 1 i 2 su iste kao i u sluEaju simetrije
Stap 3
Matrica fleksibilnosti i bazna matrica krutosti
Matrica krutosti:
Matrica transfor~nacije.
0.894 0.447 -0.447 0.894
1 0.894 0.447
-0.447 0.894 Matrica h t o s t i . "
4 5 6 7
! 9
Slika 4.46 - Dijagram sila u os~~ovnoln sistcmu.
Deo 5-6 EF,AZ, = 5.5 l2 = 5.5
Matrica fleksibilnosti i bazna matrica kmtosti:
Matrica luutosti
Matrica krutosti sisteina
Vektor slobodnih Elanova.
Slika 4.47 - Dijagrami sila N, T, M o d antimetricnog opterekenja.
Dijagrami sila u presecima od opterebenja
Slika 4.48 - Dijagrami sila N, T, M o d ulcupnog opterekenja.
Nosac' sa itapovima lconstantnog preseka
Prethodni primer regen je i za sistem u kome je uzeto da su svi Stapovi sa konstantniin popreEnim presecima.
Matrica krutosti Stapa 3.
Matrica krutosti Stapa 4
I 2 3
Vektor ekvivalentnog opterekenja
Stap 3
Slilca 4.49 - Komponcnte vektora ekvivalentnog opterecenja za Stap 3.
Slika 4.50 - Koinponente vektora ekvivaientnog opterecenja za Stap 4 .
Vektor ekvivalentnog opterekenja i vektor slobodnih Elanova.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 1 12
Q*' = [O.O -240.0 -640.0 0.0 -80.0 -106.6 -80.0 0.0 106.6 0.0 0.0 0.01
1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 1 1 12
s*' =Q*'+P*' =[5.0 -240.0 -640.0 5.0 -80.0 -106.0 -80.0 0.0 106.0 0.0 0.0 0.01
Matrica h t o s t i sistema 1 2
0.0 11.3701 -0.0208 0.0 -0.1875 0.0
0.0 -6.1224
Poineranje Cvorova:
Sile na krajevima Stapova.
Slika 4.51 - Dijagram sil N, T, Mod silnctriCnog optcrekcnja. I
kl, 1c2 - ltao kod simetrije
I 2.3470 0.0 0.0 -2.3470 0.0 0.0 0.0026 0.0236 0.0 -0.0026
k, = EI, = 0.0 0.0236 0.21 12 0.0 -0.0236 -2.3470 0.0 0.0 2.3470 0.0
0.0 -0.0026 -0.0236 0.0 0.21 12
Matrica krutosti sistema.
Vektor slobodnih Clanova Q* = o
Pomeranje Cvorova
Sile na krajevima s'tapova
Slika 4.52 - Dijagran~ sila N, T, Mod antiinetrihog optereCenja
Dijagram sila u presecima od optereienja
Slika 4.53 - Dijagram sila N, T, Mod ukupnog opterekenja
PRIMER 2
Za zatvoreni okvir koji Cine Stapovi konstantnih popreCnih preseka, slika 4.54, potrebno je odrediti pomeranja i sile u Cvorovima od zadatog ravnomerno raspodeljenog opterekenja i to: 1) PomoCu generalisanih pomeranja koja odgovaraju simetriCnoj i antilnetritnoj deforlnacjji okvira; 2) Neposredno, koristeCi se dvoosnom silnetrijom nosaEa i razlaganjem optereCenja na simetriCno i antiinetxiCno.
Slika 4.54 - Gcometrija okvira i optercCenje.
1. Res'enje pomoCu generalisanih pomeranja ri
I<ao nepoznata pomeranja qi , javljaju se obrtanja Cvorova, koja su prikazana na slici 4.55
Slika 4.55 - Paramch-i polncranja qi , i=I, ... 4.
Generalisana pomeranja ri , i=1, .. .4 predstavljaju obrtanja Cvorova, koja se zadaju is tovrlneno u sva Cetiri Cvora. Ova pomeranja izazivaju simetxiCne ili antimetriCne forme deforrnacije okvira u odnosu na ose simetrije x i y , kao Sto je prikazano na slici 4.56.
Matrice krutosti Stapova
1 2 3 4
24 144 -24 1 4 I 24 144 -24 1441
, EI 144 1152 -144 576 1 k =- EI 144 1152 -144 576 3 k r-
I l3 -24 -144 24 -1442 l3 -24 -144 24 - 1 4 4 4
144 576 -144 1152 144 576 -144 1152
Matrice lu-utosti sistema 1 2 3 4
r2304 576 576 011
Vektor ekvivalentnog opterekenja ,/
Slilta 4.57 - I<omponente velctora clcvivalcntnog opterekcnja.
Vektor generalisanih pomeranja
SIika 4.58 - Dijagrami momenta i transvcrzalnih sila.
ICo111ponente vektora q (obrtanja Cvorova):
Moiiienti na krajeviina Stapova:
lo-, p12 PI2 M,, = (-7.55208~ 1152+4.94767~ 5 7 6 ) - = -6.125-
12 192 192
2. Razlaganje opteretenja nu simetricizo i antimetriCno
' Zadato opterekenje moie da se prikaie kao zbir od Eetiri opteredenja, koja su prikazana na slici 4.59.
Slika 4.59 - Razlaganje opterekenja na simetriEno i antimctrieno.
Ovinl opteredenjinla odgovaraju forine deformacije nosaEa kao na slici 4.56. Za svako od opteredenja koja su prikazana na slici 4.59 dovoljno je analizirati samo jednu Eetvrtinu nosaEa, tako da se uvek pojavljuje po jedna nepoznata veliCina (ugao obrtanja 50).
Slika 4,60 - Simctrija u odnosu na x i y.
Slika 4.61 - Silnctrija u odnosu nay , antimetrija u odnosu na x.
Slika 4.62 Silnctrija u odnosu na x , antimct~ija u odnosu nay.
, 12EI - 12EI lc,, =---
112 I 12EI
k,, =- I
Slika 4.63 - Antimetrija u odnosu na x i y.
Ukupni uticaji dobijaju se superpozicijom uticaja (a+b+c+d). Na taj naEin, na priiner za ugno obrtanja i inoinenat savijanja u Evoru 1, dobija se:
I<od reietkastih 11osaEa svi Stapovi su vezani u Evorovima zglavkasto. PoSto zglavkaste veze dozvoljavaju nesinetano obrtanje preseka u Cvoroviina, obrtanja Evorova se ne m o p uzeti za generalisana pomeranja, tako da Cvor reSetkastog nosata ima dva stepena slobode. To su poineranja u dva ortogonalna pravca.
Matrice krutoti i vektor ekvivalentnog optereienja, za aksijalno napregnuti Stap, prikazani su u odeljlcu 3.4.1. U analizi Stapa kao aksijalno napregnutog elementa sa Cvorovima na krajevima, javljaju se samo pomeranja i sile u pravcu ose Stapa tako da elemenat ima dva stepena slobode. Medutim, u analizi ravnog regetkastog sistema, u svakom Evoru, odnosno na svako~ll lu-aju Stapa, neophoho je uvesti po dva nezavisna pomeranja..
Na slici 4.64 je prikazan Stap regetkastog nosaEa sa generalisanim pomeranjima i silama u loltalnom i u globalnom koordinatnom sistemu.
Projektovanjem kornponenta vektora na pravac ose x lokalnog sistema, odnosno na pravce X i Y osa globalnog sistema, dobijaju se sledeie veze izrnedu pomeranja odnosno sila u ova dva koordinatna sistema:
odnosno
gde je T pravougaona inatrica transformacije:
PolazeCi od izraza (4.18), uz vodenje raCuna o (3.10), (3.13) i (4.98) za inatricu h t o s t i i vektor ekvivalentnog optereCenja ravnog reietkastog itapa, u globalnoin koordinatnoin sisteinu, dobija se:
PoiiioCu izraza (4.99) iiiogu lako da se formiraju inatrice krutosti i vektori ekvivalentnog opteredenja, direktno u globalnoin sisteinu, bez fonniranja matrice transforniacije.
Slika 4.64 - Silc i po~neranja na krajcvi~na Stapa: a) u lokalnom sistcmu, b) LI global~lo~n sisicmu, c) transformacija iz jcdnog, u drugi koordinantni sistem.
Icada su forinirane matrice krutosti i vektor ekvivalentnog opterekenja za Stapove sistema, dalji postupak dobjjanja inatrice krutosti sistema i vektora slobodnih Clanova je u sveiiiu isti kao i za pune nosaCe. OptereCenje reietkastih nosaCa su koncentrisane sile u Evoroviina, koje se zadaju u globalnom koordinatnoin sisteinu. U vektoru ekvivalentnog operekenja Q* , preina tome, inogu da se pojave samo uticaji od temperature u osaina Stapova, ili neki drugi aksijalni uticaji koji deluju u pojediniin itapovima, kao ito su uticaji od skupljanja inaterijala, prednaprezanja i sl.
Sile u itapovima mogu da se odrede pomoku izraza (4.48), na isti naCin kao i za pune itapove. Medutim, pogodno je da se ovaj izraz transformiie na sledeki oblik:
gde je:
Izrazi (4.99) i (4.101) izvedeni su za itap konstantnog popreCnog preseka. Za itap promenljivog popreCnog preseka u ovim izraziina se inenja saino aksijalna krutost itapa It, koja se tada odreduje na naCin koji je prikazan u trekem poglavlju.
4.4.1 PRIMER
Na slici 4.65 prikazan je jednostavan reietkasti sisteina koji Cine tri itapa. Potrebno je da se odrede poineranja i sile u itapovima usled a) vertikalne koncentrisane sile P koja deluje u Cvoru 1 i b) uslcd tcinpcraturc t u osi Stapn 3.
Slika 4.65 - Regetlcasti nosaE a) gcometrija i optcrecenje, b) oznake Stapova i Evorova, c) polneranja Evorova.
Matrice krutosti Stapova u referentnom sistemu, prema izrazu (4.98):
a) Matrica lcrutosti sistema i vektor slobodnih c'lanova od optereienja
Pomeranj a
Reakcije oslonaca
Sile u Stapovima
b) Uticaji od temperature t u osi 3apa 3
Vektor ekvivalentnog opteredenja za itap 3 prema izraziina (3.15) i (4.89) je: -
a vektor ekvivalentnog opterekenja
Poineranja Cvora 1 :
Reakcij e oslonaca
Reakcije oslonaca i sile u Stapovima llsled temperaturnih uticaja jednake sai nuli, pogto je sistem statiCki odreden.
4.5 OSLONCI
Oslonac je konstruktivni deo nosaCa koji spreCava poineranje nosaCa u taCki oslanjanja. Pravac u kome je spreCeno poineranje jepravac oslanjanja. Upravno na pravac oslanjanja, taCka.oslanjanja inoie slobodno da se pomera. Pomeranje u taCki oslanjanja iiioie da bude spreEeno potpuno ili samo deliiniCno. U prvom sluCaju, kada je pomeranje spreCeno potpuno, oslanac je apsolutno krut, a u drugoin sluCaju, kada je pomeranje spreceno delirnieno, oslonac je deformabilan ilifleksibilan. Fleksibilni oslonci se Cesto zamenjuju elastic'izim osloncima, kod kojih je pomeranje u pravcu oslanjanja direktno proporcionalno sili u osloncu. Kod ravnih nosaea, u nekoj taCki (Cvoru) nosaCa, mogu da budu spreCena pomeranja u dva nezavisna pravca, pomodu dva oslonca, koji se nazivaju nepokretno leiis'te, ili saino u jednom pravcu, pomodu jednog oslonca, koji se nazivapokretno leiis'te.
Pored pomeranja, u Cvoru moie da bude spreCeno i obrtanje. To se ostvaruje poniodu konstruktivnih delova koji se nazivaju uklje3tenja. Ukljc3lcr1jc mo2e da spreCava obrlanje Cvora (preseka) potpuno ili samo delimiCno. U prvom sluCaju, kada je obrtanje Cvora sprcCe~~o potpuno, ukljeitenje je apsolutno kruto, a u drugom sluCaju, kada je obrtanje Cvora spreCeno smo delimiCno, ukljeitenje je deformabilno ili fleksibilno. Fleksibilno ukljeitenje se Cesto zamenjuje elastiCnim ukljeitenjem, u kome je obrtanj e proporcionalno momentu ukljeitenja. Pokretna leiiita, nepokretna leiiita i ukljestenja Cesto se nazivaju oslonci, kao Sto se poineranja i obrtanja nazivaju jednostavno pomeranja, podrazumevajudi pri tome, njihovo generalisano znaCenje.
4.5.1 ELASTICNI OSLONCI
ICada su poineranja oslonaca totalno spreCena ili unapred zadata, ona direktno ulaze u analizu datog sistema, kao koinponente vektora poznatih poineranja oslonaCkih Cvorova. Medutiin, u sluCaju elastiCnih oslonaca, kada pomeranja oslonaca zavise od krutosti oslonaca, potrebno je definisati vezu izmedu pomeranja i sila u elastihim osloncima. Na slici 4.66 je prikazan Cvor rn nosaCa u kome su delirnieno spreCena sva tri stepena slobode, pomeranja u pravcu osa X i Y i obrtanje oko ose Z.
T..
Slilcn 4.66 - Cvor m sa clastiCni~n osloncima i elastiCnirn uklja6tcnjcm.
Oslonci i ukljeStenja koji delimiCno spreCavaju pomeranja i obrtanja Cvora rn, predstavljeni su poinoCu elastiEnih opruga koje imaju aksijalne krutosti Cx i Cy i rotacionu krutost C, . PoSto su sile u elastihim oprugaina direktno proporcionalne pomeranjima i obrtanju Cvora, to se uticaj opruga na Cvor rn moie da zameni pomoCu koncentrisanih sila i momenata savijanja koji deluju na Evor, a koji su dati u zavisnosti od pomeranja i obrtanja Cvora rn sledeCim izrazoin:
U izrazu (4.102) Cx i Cy su aksijalne krutosti opmga (kN/rn), a C, rotaciona krutost opruge (lcNm/rad). Prema tome, prilikom analize datoag sistema, u Cvom rn sa elastihim osloncima, treba zadati koncentrisane sile Px i Py i momenat M prema (4.102), kao spoljaine kullcenlrisanc uticajc. Uslcd toga, u matrici krutosti sistcma, u dijagonnlnim Elanovima koji odgovaraju generalisanim pomeranjima Evora m, javljaju se dodatni Clanovi Cx , Cy i C,, koji su jednaki krutostima opruga u Cvoru rn. Svc ostalo je isto kao i za sistem bez elastiCnih oslonaca.
Na slici 4.66 je pretpostavljeno da su pomeranja Evora m, delimiEno spreCena u pravcima osa globalnog koordinatnog sistema, tako da su koncentrisane sile Px i Py dobijene direktno u pravcu osa globalnog sistema. Ako to nije sluEaj, potrebno je prethodno izvrSiti transformaciju iz lokalnog sistema, koji se poklapa sa pravcima oslanjanja (opruga), u globalni koordinatni sistem.
Na slici 4.67 prikazana je elastiCna opruga aksijalne krutosti c, koja se poklapa sa osom x lokalnog koordinatnog sistema.
Slika 4.67 - Generalisana pomcranja i silc na krajevi~na clasticnc opruge.
Veza izmedu generalisanih sila i generalisanih poineranja na krajevima opruge je R=kq, gde je k matrica krutosti opruge u lokalnom koordinatnom sisteinu:
Odgovarajuda matrica krutosti u globalnom koordinatnom sistemu dobija se prema izram (4.18)) uz vodenje raCuna o (4.98) i (4.103):
1-hlr -p2 AP p2 I ElastiCni oslonci u nekom Evoru sistema mogu da se zamene dodatnim Stapovima, tzv. elwivalentnim ?tapovima, koji omogudavaju pomeranja sistema koja su jednaka pomeranjima koja nastaju pri elastihim oslonciina. Na slici 4.68 je prikazan Evor m u koine su dodata dva nova Stapa 1 i 2, koji zamenjuju elastihe oslonce u pravcu osa X i Y, Cije su krutosti Cx i Cy .
Slika 4.68 - Zamena elastiEnih oslonaca ekvivalentnim Stapovima.
Ako se usvoje duiine ovih Stapova 11 i lz, koje su obiCno reda veliCine kao i duiine Stapova datog sistema, tada iz uslova jednakih aksijalnih h t o s t i opruga i krutosti ekvivalentnih Stapova sledi da su povrSine popreEnih preseka ekvivalentnih Stapova:
Na sliEan naCin, moie da se zameni i elasticno ukljeitenje ekvivalentnim Stapom koji je upravan na ravan nosaCa, slika 4.69.
Slika 4.69 - Zalncna clastiCnog ukljeitcnja ekvivalcntnim Stapom.
Potrebno je da ekvivalentni Stap ima torzionu krutost jednaku rotacionoj krutosti opruge. Iz ovog uslova, za Stap duiine I , modula klizanja G, moie da se odredi momenat inercije I, popreCnog preseka ekvivalentnog Stapa:
Uvodenje~n ekvivalentnih Stapova umesto elastiCnih oslonaca ostaje se u okviru analize ravnih sistema, poSto ekvivalentni Stapovi leie u ravni nosaCa. Medutini, uvodenjem ekvivalentnog Stapa umesto elastiCnog ukljeStenja, sisteni postaje prostorni, poSto je tada ekvivalentni Stap upravan na ravan nosaCa. Zbog toga ekvivalentni Stapovi iniaju znatno veCu prakticnu primenu kao za~nena elastiCnih oslonaca, nego kao zamena elastiCnih ukljegtenja.
4.5.2 GENERALISANA POMERANJA U CVORU SA POKRETNIM OSLONCEM
Generalisana pomeranja Cvorova sistema, kao osnovne kinematiCke veliCine analize, ilioraju da budu inedusobno nezavisna. Taj uslov ispunjavaju obrtanja i komponente poiiieranja u referentnom koordinatnoin sistemu, za slobodne Cvorove, Cvorove sa nepokretnim osloncima, kao i za Cvorove sa pokretnim osloncima ako je pravac oslanjanja paralelan sa jednom od osa referentnog sistema (4.70a). Medutini, u opitem sluEaju, kada pravac oslanjanja nije paralelan jednoj od osa referentnog sistema tada komponente pomeranja Cvora , koje su paralelnc osama referentnog sistema, nisu medusobno nezavisne i stoga one lie ~nogu da budu izabranc za generalisana pomeranja, slika 4.70b. Medusobno su nezavisne komponente pomeranja koje su u pravcu pomeranja i upravna na pravac pomeranja pokretnog oslonca. Zato u Evoru sa pokretnim osloncem kao generalisana pomeranja treba uzeti pomeranja q,- i q, , slika 4 .70~ . Radi toga se, pored
- - referentnog sistema XOY, uvodi i pomoCni rejerentni sistem XPY, sa poCetko~n u oslonaCkom Cvoru P i osom X koja se poklapa sa pravce~n po~neranja koje dopuSta
- - pokretili oslonac. PomoCni sistem XPY je iste orijentacije kao i referentni sistem XOY
- - Poloiaj lokalnog siste~na xoy u odnosu na XPY odreden je uglon~ y .
Slika 4.70 - Gcncralisana pomcranja u Cvoru sa polcrctniin oslonciina: a) i c) nezavisne b) zavisnc.
PoSto u vektoru generalisanih pomeranja q* , kao komponente pomeranja Cvora P , ulaze komponente poineranja koje se mere u poinoCnom referentnoin sistemu, neophodno je da se o toine povede raCuna prilikoin transformacije matrica kmtosti i vektora ekvivalentnih optereCenja iz lokalnih u aobalni koordinatni sistem, za sve Stapove koji se vezuju u Cvoru P. Na slici 4.71 je prikazan jedan takav Stap, sa komponentaina pomeranja u lokalnom i globalnom koordinatnom sisteinu. Sa slike 4.71 je ocigledno da veliCine koje se odnose na -
Cvor i treba transformisati u odnosu na referentni sistem XOY, a veliCine koje se odnose na - - Cvor P , u odnosu na pomoCni referentni sistem XPY . Na taj naCin, illatrica transforinacije T postaje:
gde su: h = cosy , 1.1 = siny , h = c o s y , F = s iny . (4.108)
Ugao yse ineri od ose referentnog sistema X , a ugao y od ose XpomoCnog refeentnog sistema, do ose x lokalnog koordinatnog sistema, slika 4.71.
-
Slika 4.71 - Gencralisana poincranja u lolcalnom i u globalnom lcoordinatnom sistemu.
Zakon transformacije matrice krutosti i vektora ekvivalentnog opteretenja, ostaje isti kao i ranije, samo Sto umesto lnatrice transformacjje T treba uzeti matricu T , tj.
U analizi sistema, pokretni oslonac moie da se zarneni Stapoln koji ima beskonaCno veliku aksijalnu krutost, a beskonaCno lnalu krutost na savijanje. To se moie postiti uvodenjem u sisteln dodatnog Stapa u pravcu oslanjanja, duiine I, velike povrSine popreenog preseka F i veoma malog nlolnenta inercije I, slika 4.72.
Slika 4.72 - Zalllena polcretnog leiiSta ekvivalelltniln gtapom.
4.5.3 PRIMER
Na slici 4.73 prikazan je nosaE sa pokretnim leiiitem, koje je postavljeno pod uglom u odnosu na osu Stapa 2. Usled zadatog opteretenja potrebno je da se odrede sile u presecima nosaEa.
Slika 4.73 - a) Gcomet~ija nosaEa i opterekenjc, b) Gcneralisana pomeranja.
~ a t r i c a transforrnacije Stapa 2.
0.8 -0.6 0.6 0.8
Matrice krutosti Stapova.
1 2 5 7
0.69444 4.16667 -0.69444 4.16667 1
4.16667 33.33333 -4.16667 16.66667 2 k, = kr = lod2 EI
-0.69444 -4.16667 0.69444 -4.16667 5 I 4.16667 16.66667 -4.16667 33.33333 7
I 2 3 4
! 5 34.72222 0.0 0.0 -34.72222 0.0
0.0 0.08681 2.08333 0.0
2.08333 50.00000 0.0
-34.72222 0.0 0.0 34.72222 0.0
0.0 -0.0868 1 -2.08333 0.0
Za Stap 2: I / F = 0.12
1 6 2 3 4
Matrica krutosti sistema
Vektor ekvivalentnog optereeenja
Slika 4.74 - Ekvivalentno optereCe11je Stapa 2
Poineranje Evorova:
Reakcjje oslonaca.
Slilta 4.75 - Dijagsaini sila N, T, M.
4.6 KONDENZACIJA MATRICE KRUTOSTI SISTEMA
U prethodniin razinatranjima u ovom poglavlju prikazan je naCin formiranja jednaCina sisteina, Kq=S, koje predstavljaju uslove ravnoteie Cvorova i nalazenje regenja, odnosno odredivanje poineranja Evorova, reakcija oslonaca i unutrainjih sila u gtapoviina sisteina. Cesto je polrebtlo da sc broj jcdnaCina sistema sinanji, rcdukcjjom broja stepeni slobode, odnosno reda matrice krutosti sistema. Postupak kojim se to postiie poznat je pod nazivo~n lcondenzacija matrice lcrutosti sistema ili postupak statitke lcondenzacije. On je od posebnog praktienog znaEaja za sisteine sa velikim brojem stepeni slobode, naroCito za ostogonalne konstrukcjjske sisteme zgrada koje su izloiene dinamiCkim dejstvima vetra i zemljotresa, kao i kod drugih sloienih sistema, odnosno struktura koje se sastoje od dve ili viSe podstruktura.
Ako se u vektom poineranja Evorova, q, sa n koinponenata, odnosno n stepeni slobode sistema, jedan broj koinponenata (m) usvoji za glavne ili primarne Icomponente, a broj preostalih koinponenata (s=n-m), za sporedne ili sekundarne kornponente, tako da je:
i pretpostavi da izinedu vektora glavnih i vektora sporednih pomeranja, q,,, i q, , postoji lineurna zavisnost:
(I, = Tqll, , (4.111)
tads se vektor pomeranja q moie da prikaze kao
gde je:
a I je jediniCna niatrica m-tog reda. Smenoin (4.112) u polazni sistem jednaCina, Kq=S, i innoienjeni sistema jednaCina sa matricoin i' s leva, dobija se kondenzovani sistem
jednac'ina sa m nepoznatih, odnosno sa m stepeni slobode:
gde su 'qljl = Sm ,
K = +'KT, s,,, = i's , lcondenzovana inatrica lcrutosti i kondenzovani vektor slobodnih c'lanova datog sistema. Za dobijanje kondenzovanog sistema (4.1 14) neophodno je definisati inatricu transforaincije T kojoin se uspostavlja neposredna relacija izinedu glavnih i sporednih vektora poiiieranja, odnosno glavnih i sporednih stepeni slobode sisteina.
~retpostabiino da su u vektoru slobodnih Clanova sisteina, Kq=S, sve komponente koje odgovaraju sporednim stepenima slobode jednake nuli, S,=O, tako da se polazni sistein jednaCina moie da prikaie u sledekem obliku
odnosno kao:
Iz druge inatricne jednaCine (4.1 17) sledi da je
a potoin iz prve matriEne jednaCine (4.1 17), uz vodeiije raCuna o (4.1 18), dobija se:
gde je
Kondenzovana iiiatrica krutosti K je nesingulama, tako da se iz izraza (4.1 19) rnogu odrediti koinponente vektora q,,, , a potom poinoCu izraza (4.1 11) i (4.1 18) koinponente vektora q, , tj.
Za odrcdiva~ijc koiidciizovailc iiintrice lmtosti poiiioku izrnzn (4.120) neopliodiio je forinirati matricu krutosti sistema, odnosno njene odgovarajuke subrnatrice prenia vektoriina glavnih i sporednih stepeni slobode.
Izbor glavnih i sporednih stepeni slobode nije egzaktno odreden. On je stvar kvalitetativne analize i procene pri reiavanju svakog konkretnog probleina. Medutim, u mnogim sluEajeviina, glavni i sporedni stepeni slobode su naznaCeni i predodredeni sainoiii prirodom probleina koji se reiava. Ovde je primenjen statiCki kriterijuin, preina koine sporedniin stepenima slobode odgovaraju homogeni uslovi ravnote?e, odnosno sisteni
homogenih algebarskih jednaCina, a glavnim stepenima slobode, nehomogeni uslovi ravnoteie, odnosno sistem nehomogenih algebarskih jednaCina. U nekim drugiin sluCajeviiiia, na primer u dinamiCkoj analizi, gde se kondenzacija jednaCina sistema Cesto priinenjuje, pri izboru glavnih i sporednih stepeni slobode bitnu ulogu imaju dinamiCke karakteristike sisteina.
Kondenzovana matrica krutosti mo2e da se odredi i neposredno, na osnovu fiziCkog znaCenja njenih elemenata, sliCno direktnom postupku za odredivanje matrice krutosti s'tapa, koji je prikazan u trekem poglavlju.
Pretpostavimo da su u sistemu jedneina K ~ , , = S, komponente vektora S, nepoznate i da
predstavljaju generalisane sile koje odgovaraju komponentaina vektora generalisanih pomeranja q,, , tada elementi matrice K predstavljaju eleinente nlatice krutosti kojoin je uspostavljena neposredna veza izmedu vektora generalisanih sila S, i vektora generalisanih pomeranja q, datog sistema. ZnaCenje elemenata kondenzovane matrice K , prema tome, je analogno poznatom znaCenju elemenata konvencionalne inatrice krutosti: elernenat kg kondenzovane matrice krutosti K predstavlja generalisanu silu lcoja odgovara generalisanom porneranju qi usled jedinicizog generalisanog pomeranja qj=l, pri c'emu su sva ostala generalisana porneranja vektora glavnih pomeranja qm jednalca nuli.
Na osnovu prethodno pokazanog znaCenja njenih elemenata, kondenzovana matrica krutosti moie da se odredi direktnim postupkom. Radi toga, neophodno je u dati statiClti sistem uvesti ograniCenja (oslonce) kojima se ukidaju svi glavni stepeni slobode sisteina, odnosno spreCavaju sva generalisana poineranja koja predstavljaju komponente vektora q,,. Ako se sistemu sa talto uvedenim ogranicenjima (oslonciina) zada gcneralisano ponieranje qj=l i odrede reakcije dodatih oslonaca, koje nastaju usled tog pomeranja, dobike se elementi j-te kolone matrice K . Ako se prethodni postupak priineni za j=1,2 ... m, dobiCe se svi eleinenti kondenzovane matrice krutosti K ., Direktni postupak za dobijanje matrice K ilustrovan je na slici 4.76.
Slika 4.76 - Geometrijsko-statiEko znaEenje elemenata kondenzovane matrice krutosti: a) generalisana pomeranja, b) elementi druge kolone kondenzovane matrice krutosti.
Trospratni ortogonalni okvir koji je prikazan na slici, uz zanemarenje aksijalnih deformacija u svim Stapovima sistema, ima devet stepeni slobode, tri horizontalna pomeranja i Sest obrtanja Cvorova. Ako se za glavne stepene slobode usvoje horizontalna poineranja, a za sporedne obrtanja Cvorova onda je kondenzovana matrica krutosti tredeg reda, K (3x3), dok je matrica krutosti sistema devetog reda, K (9x9). Na slici 4.76b7 prikazano je geometrijsko-statiCko maCenje elemenata druge kolone kondezovane matrice krutosti, koja je poznata pod nazivom matrica popreEne krutosti okvira.
PRIMER I . Za ilustraciju prethodnih razmatranja o statiCkoj kondenzaciji, wet je dvospratni okvir, Cije su geometrijske karakteristike i opteredenje prikazani na slici 4.77. Uz pretpostaku da su aksijalne deformacije male, tako da se mogu zanemariti, sistein ima Sest stepeni slobode, dva horizontalna pomeranja i Cetiri rotacije Evorova, slika 4.77a. Za glavne stepene slobode usvojena su horizontalna pomeranja, q, i q~ , tako da se dati sistem sa Sest stepeni redukuje (kondenzuje) na sistem sa dva stepena slobode.
ZiiaCenje elemenata inatrice krutosti sistema, koji odgovaraju generalisanim pomeranjima ql=l i qs=l, prikazano je na slici 4.77b7c, a elemenata kondenzovane matrice krutosti na slici 4.78b7c.
Slika 4.77 - ~ v 6 s ~ r a t n i ortogonalni okvir: a) geometrija i stepeni slobode,b) elementi prve kolone matrice K, c) elementi Eetvrte kolone matTice K.
Matrica krutosti sistema, koja je odredena na poznati naCin, ima sledeki izgled:
Inverzijom submatrice K, dobij a se:
Kl,ll,l K,, EI K=[K,,,, K , , ] = T
0 61 1212 21' 212
0 61 21' 1212 0
-61 61 21' 0 812 l2
-61 61 0 21' l2 81' -
a potom, prema iaazu (4.120) kondenzovana matrica krutosti:
Matrica K odredena je, na bazi statiCko-geomterijskog znatenja njenih elenlenata, i pomoCu programa SAP 2000, tako Sto su odredene reakcije dodatih oslonaca usled jediniCnih ponleranja, q l=l i qz=l, slika 4.78b,c
Slika 4.78 - Gcoinetrijsko statiCko znaEenje elemenata kondenzovanc matiice kmtosti.
i na taj naCin dobijena matrica:
koja jc jcdnaka matrici K , prethodno dobijenoj neposredno postupkom kondenzacije, ako se uzme daje E I / ~ ~ =lo3 (E = 1 0 7 k ~ l m 2 , 1 =0.1m4,1 = lorn).
LITERATURA
1. Argyris, J.H. and Kelsey, S., Energy Theorems and Str-uclural Analysis, Butteworth Scientific Publications, London, 1960.
2. Beaufait,W.F., Rowan,H.W., Hoad.lcy,G.P. and Hackett,M.R., Computer Methods of Structural Analysis, Prcnticc-Hall, Inc., 1970.
3. Beaufait,W.F., Basic Concepts of Structural Analysis, Prcnticc-Hall, Inc., 1977. 4. DuriC,M. i JovanoviC,P., Teolija oltvirnih konstrukcija, Gradevinska knjiga, Beograd, 1972. 5. Gere,J.M., Weavcr,W., Analysis of Framed Structures, Van Nostrand Reinhold Company, 1965. 6. Jenkins,W.M., Matrix and Digital Computer Methods in Structural Analysis, McGraw-Hill, 1969. 7. Livesley,R.K., Matrix Methods of Structural Analysis, The Macmillan Company, Inc., 1964. 8. Magucme,K., and Gallagher,H.R., Matrix Strjuctural Analysis, John Wiley, 1979. 9. Mcck, J.L., Cornpuler Methods in S~ruclural Analysis, E&FN Spon London, Ncw York, 1991. 10. ScltuloviC,M., Metod konaCnih elemenata, Gradcvinska knjiga, Beograd, 1988. 1 1. SekuloviC, M., Mcdritnu analiza konslrukcija. Gradevinska knjiga, Beograd, 1991. 12. Sckulovic,M, i PetronijcviC,M., Statika konstrukcija 2, zbirka reSenih ispitnih zadataka, NauCna knjiga,
Beograd, 1989.
PROSTORNI NOSACI
Prostorni nosaCi se sastoje od Stapova koji se medusobno sueeljavaju u Cvorovima koji ne leie u jednoj ravni. OptereCenje koje deluje na nosaC, u opitem sluCaju, takode ne leii u jednoj ravni. Zavisno od naCina vezivanja Stapova u Cvorovima, prostorni nosaCi, sliCno ravnim nosaCima, m o p da budu reietkasti i puni. ICod reSetkastih nosaCa sve veze u .
Cvorovinla su zglavkaste. Kod punih nosaEa inora da postoji bareln jedan Evor sa krutoin vezoin. Razinatranja o punim nosaCiina predstavljaju generalizaciju razmatranja o ravnim nosaCima. Osnovne relacije za Stap, transformacije iz loltalnog u globalni koordinatni sistein i naEin formiranja jednaCina za sistem Stapova, formalno ostaju isti kao i za ravne nosaEe. Razlika se ogleda jedino u povedanju broja statiCko-kinematiCkih veliCina koje ulaze u analizu, Sto dovodi do proSirenja i odredene modifikacije matrica kojima se definiSu pojedini koraci analize.
5.1.1 MATRICA KRUTOSTI STAPA
Osnovne statiCke i kinematiEke veliCine prostornog Stapa prikazane su na slici 3.1 u trekem poglavlju. U Cvorovima na krajevima S tapa, kao parametri pomeranja, usvajaj u se poineranja u pravcu osa x, y, z i obrtanja oko osa x, y, z lokalnog koordinatnog sistema. Prostoilni Stap ima 12 stepeni slobode, po Sest u svakom Cvoru. Generalisanim pomeranjiina na krajeviina Stapa odgovaraju generalisane sile (normalne sile, transverzalne sile, inoinenti savijanja i momenti torzije). Konvencija o njihovim pozitivnim znacima prikazana je na slici 3.1.
Veza izmedu generalisanih sila i gelleralisanih punlerallja data jc pvzliatiln izrazunl:
gde su R vektor generalisanih sila, q vektor generalisanih pomeranja, a k matrica krutosti Stapa. Matrica k je simetriCna kvadratna matrica dvanaestog reda. Eleinenti matrice krutosti prostornog Stapa mogu da se odrede na isti naCin kao i za ravan Stap, postupcilna koji su izloieni u treCem poglavlju. Za prostorni Stap to je, svakako, znatno sloienije i teie. Medutim, do inatrice krutosti prostornog Stapa lako moie da se dode ako se pode od principa superpozicije.
Na osnovu principa superpozicije, opSti sluCaj prostornog naponskog stanja Stapa, u okviru linearne analize moie da se razdvoji na: aksijalno naprezanje, savijanje u ravni xoy, savijanje u ravni xoz i uvijanje (torziju) oko ose x. Svako od ovih naponskih stanja posebno je analizirano u trekem poglavlju. Uvodenjein oznaka za generalisane sile i generalisana poineranja na krajeviina Stapa, za navedena naponska stanja:
R,, q, - aksijalno naprezanje , RsZ , q, - savijanje u ravni xoy (oko ose z),
R, , q , - savijanje u ravni xoz (oko ose y),
R, , q, - uvijanje (torzija) oko ose x,
veza izinedu generalisanih sila i generalisanih pomeranja na krajeviina Stapa (5.1) inoie da se prikaie na sledeCi naCin:
U izrazu (5.2) k, je inatrica aksijalne krutosti, k,, i k,, matrice krutosti savijanja oko osa z i y, a k, inatrica torzione krutosti Stapa. Za prav prizmatiCan Stap konstantnog popreCnog preseka, uz zanelnarenje uticaja trarisver~alrii'ti sila na clefunnacije snlica~~ja, ove matrice su date sledekinl izarzima:
1 7 4 10
(5.3) 3 5 9 11 3 5 9 1 1
12 61 -12 61 2 12 -61 -12 -61 3
El, 61 41' -61 21' 6 El, -61 41' 61 212 5
k"=li -12 -61 12 -61 8 1 61 21' -61 412 12 k ~ v 7 - 1 2 6 1 -61 21' 12 61 41' 6119 1 1
U izrazu (5.3) 1 oznaCava duiinu Stapa, F povrSinu popreCnog preseka, I, i I, inomente inercije preseka oko glavnih centralnih osa inercije z i y, J torzionu konstantu, E modul elastiCnosti i ti modul klizan~a.
Kvazidijagonalni oblik inatrice krutosti Stapa u izrazu (5.2) je koinpaktan. Meduliin prilikom transformacije iz lokalnog u globalni koordinatni sistein ta koillpaklriost se gubi. Zbog toga je znatno pogodnije da se generalisane sile i generalisana pomeranja prikaiu drugim redosledom, prvo za Cvor na levom kraju, a potoin za Cvor na desnom kraju Stapa. To dovodi do promene poloiaja pojedinih vrsta i kolona u matrici krutosti Stapa. Za redosled generalisanih pomeranja i generalisanih sila koji je prikazan na slici 5.1 matrica krutosti Stapa se forrnira od matrica krutosti koje su date izazom (5.3) tako Sto se njihovi
elementi rasporeduju na odgovarajuke pozicije koje su odredene brojem generalisane sile (vrsta) i brojem generalisanog pomeranja (kolona).
SIika 5.1 - Generalisane sile i gcncralisana pomcranja prostornog Stapa.
Na taj naCin, veza izmedu generalisanih sila i generalisanih pomeranja (5.1) postaje:
Geometrijsko-statiCko znaCenje pojedinih ele~nenata matrice krutosti prikazano je na slici
Slika 5.2 - Gcometrijsko-statiCko znaCenje eleincnata inatricc krutosti Stapa.
5.1.2 TORZIONA KONSTANTA
Torziona konstanta J je funkcija poprEnog preseka Stapa. Ona se u tehniEkoj teoriji Stapa odreduje uz pretpostavku o odsustvu deplanacije poprecnih preseka u toku deformacije. Pretpostavlja se, dakle, da se Stapovi nalaze u stanju slobodne Saint Venant-ove torzije. Za popreEni presek kruinog oblika, preEnika d, tada je torziona konstanta jednaka polarnom lnolnentu inercije preseka:
Za Stapove pravougaonog popreEnog preseka Sirine t i visine h, torziona konstanta moie da se odredi pomoCu sledeCeg izraza:
odnosno pomoCu izraza:
Vrednost koeficijenta P, za razliEite odnose visine i Sirine preseka, date su u tabeli 5.1.
Tabela 5.1
U graniEnoln slucaju, kada h/t+ w , odnosno za pravougaone preseke veoma male Sirine (debljine) i znatne visine, izraz (5.7) postaje:
Ovaj izraz moie da se uopSti i primeni i na Stapove tankozidnog otvorenog popreEnog preseka (slika 5.3). Pretpostavlja se da se popreEni preek Stapa sastoji iz niza pravougaonika male Sirine, tako da je tada:
t , I I.XI.XIIIII-I.X,.I" -%*<,-%<\-\\%-
Slika 5.3 - PopreEni presek tankozidnog Stapa.
5.1.3 TRANSFORMACIJA IZ LOKALNOG KOORDINATNOG SISTEMA U GLOBALNI KOORDINATNI SISTEM
U analizi prostomih nosaCa kao i u sluCaju ravnih nosaCa, razmatranja o Btapu kao osnovnoin elementu sistema su najjednostavnija u lokalnom koordinatnom sistemu. Za analizu nosaCa kao sistema inedusobno povezanih Stapova potrebno je sprovesti transfor~nacije uticaja iz lokalnih koordinatnih sistema pojedinih Btapova u referentni (globalni) koordinatni sistein.
Na slici 5.4 prikazan je vektor R* Ciji je poloiaj u referentnom sistemu odreden uglovirna x, i = 1, 2, 3. Komponente ovog vektora u pravcu osa referentnog sistema su:
U novoln koordinatnom sistemu xyz Cije ose zaklapaju uglove ~ 7 , i,j = 1, 2, 3 sa osama XYZ, vektor R* moie da se prikaie na taj n a b Sto Ce se svaka od njegovih komponenata Ri*, i = 1, 2, 3 prikazati u sistemu xyz, a potom izvrBiti njlhova superpozicija. Na slici 5.4b to je prikazano za koinponentu R,* Cije su komponente u sistemu xyz:
R,, =~ ,*cosy , , = R,*h,, ,
R,, = Rf cosy,, = R;h,, , (5.10)
Rlj = R,* cosy ;r: R;hL3 ,
gde su:
I,, = cosy,, = cos(X, x) , 4, = cosy ,, = cos(X, y) , Jy3 = cosy ,3 = cos(X, z) ,
Ako se, na sliCan natin, prikaiu komponente 4' i RJ* , tj.
gde su:
Superpozicijom utiacaja, dobija se:
R l = R l l + R 2 1 + R 3 1 = ~ ~ * ~ ~ + ~ ~ h 2 1 + ~ ~ h 3 ~ , ,
R2 = R12 + R2, + R3, = R1*h,, + R;&, + R;h2 ,
R3 = R13 + R23 + R33 = '1*43 + ';43 + ';&3 9
odnosno
gde su:
Matrica h naziva se matrica rotacije.
Ako se jednaCina (5.16) pornnoii s leva sa matricom h , uz vodenje raCuna da je hhT=l , dobija se:
R* = AR (5.17)
Izrazima (5.15) i (5.17) dat je zakon transformacije vektora iz sistema XYZ u sistem xyz i obratno. Ovaj zakon transformacije vaii za bilo koji vektor. Na slici 5.5 prikazan je vektor generalisanih sila (pomeranja) za Stap u lokalnom i globalnom koordinantnom sistemu.
Slika 5.5 - Gcneralisane sile (pomeranja) u lokalnom i globalnom koordinantnom sistemu.
PoSto generalisane sile u Cvoru mogu da se shvate kao dva vektora, kao vektor sila Ris i vektor moinenata Rim , na osnovu (5.15) sledi:
odnosno
gde je:
inatrica transforlnacije za Evor odnosno kraj Stapa.
Ako se na isti naEjn, kao za Evor i, postupi i za Evor Ic, za Stap se dobija:
R = T7'R* , R* = T R ,
gde je T matrica transforrnacije Stapa: - -
5.1.4 ODREDIVANJE ELEMENATA MATRTCE ROTACIJE
Matrica transforinacije T lokalnog u globalni koordinatni sistem je kvazidijagonalna inatrica Ciji su blokovi matrice rotacije h. Prema tome, matrica transformacije je odredena kada je odredena matrica rotacije. Elementi matrice rotacije su definisani kao kosinusi uglova izinedu osa lokalnog i osa globalnog koordinatnog sisteina ilii = cos(& xj), i,j =
1,2,3. Od devet eleinenata inatrice rotacije, s obziroin na njenu simetriju i uslove:
samo su tri inedusobno nezavisna. Medutiin, znatno je pogodnije da se elementi matrice rotacije definiSu pomoCu kosinusa uglova (A, p, v), koje osa Stapa zaklapa sa osama referentnog sistema XYZ, slika 5.6, nego poinoCu kosinusa uglova ilG . Kosinusi uglova koje osa Stapa zaklapa sa osama referentnog sistema, inogu da se odrede poinot11 koordinata Cvarava kaje se zadaju u odnosu na referentni sistem:
Za razliku od ravnog Stapa, gde je poloiaj lokalnog sistema u odnosu na referentni sistem potpuno definisan kosinusima pravca ose Stapa il i p , u sluEaju prostornog Stapa, tri kosinusa pravca ose Stapa A, p, v nisu dovoljni da definiSu poloiaj lokalnog sisteina xyz u odnosu na referentni sistem XYZ. Potreban je joS jedan podatak, a to je ugao P , slika 5.6bJ kojiin se odreduje poloiaj glavnih centralnih osa inercije popreCnog preseka Stapa odnosno osa y i z lokalnog sistema u odnosu na ose globalnog koordinatnog sistema. Parainetri il, p, v i p koji zavise od geoinetrije sisteina u potpunosti definiiu poloiaj lokalnog koordinatnog sistelna svakog Stapa u odnosu na referentni koordinatni sistem. Dok je odredivanje veliCina 2, p i v prema (5.24) sasviin jednostavno, odredivanje parainetra P mo2e da bude neSto teie, o Cemu be biti reCi u narednim razinatranjima.
3' Yo, b 4
8 '\..!
Slika 5.6 - Veza izmedu lokalnog i globalnog koordinatnog sistema.
Radi uspostavljanja veze izmedu elemenata matrice rotacije ilij = cos(.&, xj), i,j = 1,2,3 i kosinusa pravca ose Stapa 4 p, v potrebno je razmotriti problem transformacije vektora R*
iz referentnog sistema XYZ u lokalni sistem xyz . Ova transformacija, koja je definisana izrazom (5.21), moie da se dobije kao zbir tri sukcesivne ravne rotacije, slika 5.6:
1. Rotacije globalnog sistema XYZ oko ose Y za ugao a
2. Rotacije globalnog sistema X,, Y,, Z, oko ose Z, za ugao w
3. Rotacije globalnog sistema Xd Yw, Zo oko ose X, za ugao /I.
I. Rotacija sistema XYZ oko Y ose za ugao a
Ovoin rotacijoin koja je prikazana na slici 5.7 koordinatni sistem XYZ prelazi u novi poloiaj X,, Y,, Z, , u kome se osa X, poklapa sa presekom ravni XOZ i YOX, a osa Y, sa osoin Y, dok osa Z, ostaje u ravni XOZ.
Slika 5.7 - Rotacija sistema XYZ oko ose Y za ugao at
Komponente vektora R* (Rx, RY, RZ), pri O V O ~ rotaciji se transformigu u komponente vektora R, (R&, Ray, R&), na sledeki naCin:
cosa 0 sina I:;] =[La : c:jl:l ,
odnosno:
gde je:
2. Rotacija sistema X,, Y,, 2, oko ose 2, za ugao t%
Icomponente vektora R, (R&, R a y , Rd) pri ovoj rotaciji se transformiSu u komponente vektora R,, kao Sto je prikazano na slici 5.8, na sledeki naEin:
odnosno
gde je:
Slika 5.8 - Rotacija sistema X, Y, Za olto ose Za za ugao w.
s ino = p , cosw = d m ,
3. Rotacije sistema X,, Y,, Z, oko ose X, = x za ugao /3
Rotacijoin sistenla X,, Y,, Z, oko ose Z, za ugao w postignuto je da se osa referentnog sistema X, poklopi sa osom itapa x, i da na taj naCin ostale dve ose referentnog sistema Y,, Z, , dodu u ravan popreCnog preseka itapa, odnosno ravan oxy . Da bi se ove ose (Y, i 2,) poklopile sa pravcima osa x i y lokalnog koordinatnog sisteina potrebno je izvrgiti rotaciju sisteina X,, Y,, Z, oko ose gtapa (x = X,), za ugao /3 . Pri ovoj rotaciji koinponente vektora R, se transformigu u koinponente vektora R(R, , Ry , R,), koje se odnose na lokalni koordinatni sistem, na sledeCi naCin:
a: Slika 5.9 - Rotacija siste
-- ' r -
4 8-
t
ma X,, Y,, Z, oko ose x za ugao p.
0 E!]=[A cosp si:p][tr],
0 -sin p cos P kz
odnosno
gde je
AP = r ' O 0 cos p sin O I P .
Na ovaj naCin, posle tri sukcesivne rotacije, referentni sistem XYZ je doveden do poklapanja sa lokalnim sistemom xyz. Tako je formirana matrica rotacije h, kao proizvod matrica sukcesivnh rotacija:
-hp cos P - vsin P , / h i c o s p -pvcos p + h sin p lL=lL,lL,La = 4 2 7
Kada je odredena matrica rotacije h, pomoCu izraza (5.22) dobija se inatrica transforinacije Stapa iz lokalnog u globalni koordinatni sistein.
Matrica rotacije, koja je data izrazom (5.34) vaii za bilo koji poloiaj Stapa u odnosu na referentni sistein, osiin ako je Stap paralelan sa osoill Y referentnog sisteina, slika 5.10. Tada je A = cos(Xx) = 0 i v = cos(Z,x) = 0 , tako da matrica rotacije (5.34) postaje neodredena. Medutiin, tada je inatricu rotacije inoguCe dobiti neposredno.
Na slici 5.10 prikazana su dva poloiaja Stapa i-k, koji je paralelan sa osom Y . U prvom sluCaju Stap je orijentisan u pozitivnom, a u drugoin slucaju, u negativnoin sineru ose Y. Veza izmedu koinponenata vektora R u lokalnom, xyz i globalnonl XYZ , koordinantnoin sistemu, tada je:
za sluCaj kada je Stap orijentisan u pozitivnoin sineru ose Y, odnosno
za sluCaj kada je Stap orijentisan u suprotnom sineru od smera ose Y. Oba ova slucaja inogu da se prikaiu pomoCu jednog izraza:
gde je:
Matrica rotacije 3L za Stap sistcrna, prema (5.34) odnosno (5.38), definisanu je kada su zadati kosinusi pravca ose Stapa A, ,u , v i ugao P . PoSto se veliEine A, ,u , v dobijaju neposredno pon1oCu koordinata Cvorova (5.24), ostaje jog jedino da se odredi ugao P . To je ugao za koji je potrebno da se ravan Y, 02, zarotira oko ose Stapa x = X,, da bi se ose Y, i 2, poklopile sa osama y i z koje su u pravcu glavnih centralnih osa inercije popreEnog preseka Stapa. Za ugao P se pretpostalja da je pozitivan ako je smer rotacije ravni Y, 02,
oko ose x, kada se gleda iz Cvora k prema Cvoru i, suprotan smeru kretanja kazaljke na satu.
Slika 5.10 - Stap paralelan osi Y refercntnog sistema.
Za Stapove kod kojih je ravan lokalnog sistema koja prolazi kroz osu x i jednu od osa y ili z, paralelna nekoj od osa globalnog koordinatnog sisteina, ugao P moie jednostavno da se nade na osnovu geoinetrije sistema, kao Sto je prikazano na slici 5.1 1.
U opStem slutaju, kada Stap zauzima proizvoljan poloiaj u odnosu na referentni sistem, ugao p se odreduje pomoCu koordinata taCke P, koja se usvaja u ravni popretnog preseka Stapa, na jednoj od glavnih osa inercije popreCnog preseka, slika 5.12.
Ako se na vektor r kojim je u sistemll XYZ ndredena taEka P primene prva dva knraka rotacija, tj. ako se komponente ovog vektora prikaiu u sistemu X, Y, 2, , preina (5.29) dobija se:
odakle sledi:
v, Slika 5.11 - Uglovi
8 p za razlicitc poloiajc Stapa i-k
a potoin prema (slici 5-12),
Kada su poznati kosinusi pravca ose Stapa u odnosu na referentni sistem kao i cos P i sin P, pozilata je i inatrica rotacije h , odilosilo inatrica trslnsformacije T, koja je definisana izrazoin (5.22). Matrica krutosti i vektor ekvivalentnog opterekenja transformiiu se pri prelasku iz lokalnog u globalni koordinatni sistem na poznati naEin:
gde su k* i Q* matrica krutosti i vektor ekvivalentnog opteredenja u globalnoin koordinatnom sistemu, k i Q matrica i vektor ekvivalentnog opteredenja u lokalnoin koordinantnoin sisteinu, a T je inatrica transformacije.
Slika 5.12 - ugao rotacije b.
5.1.5 PRIMER
Za prostorni oltvir, koji je prikazan na slici 5.13 potrebno je odrediti sile u presecima usled:
a) opteredenja, b) vertikalnog poineranja oslonca, c j = 0,01 m
Ostali gtapovi: b/h = 0.6/0.6
Slika 5.13 - Prostorni okvir. Gcoinctrija i opterekenje
Na slici 5.14 prikazana je statiCka shema nosaCa sa generalisanim pomeranjiina u Cvorovima sistema.
B Y
2
Slilca 5.14 - Generalisalla polneranja u Cvorovima sistema.
Geometrijske karakteristike preseka
Stup I
Geometrija nosaEa
Matrice transformacije
1
Evor
1
2
3
4 -
5
$tap
1
2
3
4
gde je il odredeno izrazom (5.34)
Stap 1 Stap 2 Stapovi 3 i 4
1 0 0 0 0 -1
X
0.0 .-- 12.0
12.0
0.0
12.0
Y
6.0
6.0
6.0
0.0 --
0.0
Evor
Z
6.0
6.0
0.0
6.0
6.0
li
12.0
6.0
6.0
6.0
I x
0.05936
0.01827
0.01827
-
i
1
2
4
5
Fx,
0.720
0.360
0.360
0.360
1
0
0
0
Ic
2
3
1
2
1,
0.02160
0.01080
0.01080
..
1,
0.08640
0.01080
0.01080
-
0
0
0
0
0
0
1.0
1.0
k P v P 0
0
1.0
0
0
Matrice krutosti gtapova
Matrica krutosti sisterna
Velctor ekvivalentnog opterkenja
Slilta 5.15 - ICo~~~po~~cntc vclctora clcviva~cnt~~og optcrckcl~ja za Stap 1.
Slika 5.16 - IComponcnte velctora elcvivalcntnog opterkenja za Btap 2.
Vektor ekvivalentnog opterekenja sistema
Vektor koncentrisanih sila u slobodnim Evorovima
Vektor slobodnih Clanova uz nepoznata pomerauja 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 1 1 1 2
s ~ = Q : + P ~ * = [ ~ ~ o -180 0 0 0 -360 -50 -180 0 0753601
ReSenje: Uslovnih jednaCina K S ~ ~ ] = S] :
1 2 3 4 5 6 qf = [0.05505 1 - 0.0943 10 0.019080 0.397183 - 0.237626 -0.951 835
7 8 9 10 11 12 0.054538 0.107815 -0.716427 x lo-' 0.106765 0.010344 0.8547471
Reakcije oslonaca
Sile na krajevima gtapova: Ri = kiq: - Qi :
Slika 5.17 - Realccijc oslonaca od optereCenja.
Porneranje oslonca: q;, = -0.0 1m
ReSenje uslovnih jednaEina ~ 1 , ~ : = -K,~, :
1 2 3 4 5 6
* T -[q~]7=10-3[168158 0.466261~10-' 3.48290 1.15797 0.212397 -0.745114 'is - ' i 2 7 8 9 10 11 12
1.67604 - 9.961 82 -0.898694~ lo-' 2.20321 0.374093-0.8367021
Reakcije oslonaca, R, = K,,q: + KLq: : 13 14 15 16 17 18 19 20
R: = [-9.9686 60.339 0.162 - 299.992 - 50.104 30.573 9.968 9.393 21 22 23 24 25 26 27
-0.162-63.016 - 7.761 1 10.333 0.0 -68.732 0.01
Kontrola reSenja: C X = O : 9:968 - 9.968 = 0 CY=O: 8.393 + 60.339- 68.732 = 0 C Z = O : -0.162+0.162 = O )
Sile na krajevima: R, = kiqy :
Slika 5.18 - Reakcije oslonaca usled vertikalnog pomeranja oslonaca c5 = 0.01 m.
Kod prostomih reSetkastih nosaCa, kao i kod ravnih reSetkastih nosaea, veze svih Stapova u Cvoroviina sistema su zglavkaste. Zbog toga se obrtanja Evorova ne pojavljuju kao generalisana pomeranja. U analizi sistema, kao osnovne nepoznate veliEine, ostaju saino poineranja Cvorova. U svakom Cvoru mogu da postoje tri medusobno nezavisna pomeranja. Ona se usvajaju tako da se poklapaju sa osama referentnog koordinatnog sistema. $tap prostomog reSetkastog nosaCa inla Sest stepeni slobode, po tri u svakom Cvoru. $tapovi nosaea su sposobni da prime salno sile koje deluju u pravcu ose Stapa. OptereCenje se zadaje u Cvorovima nosaCa.
Na slici 5.19 prikazana su generalisana pomeranja i generalisane sile na krajevim Stapa, u lokalnom i u globalnoin koordinantnoin sistemu.
Veza iz~nedu generalisanih sila i generalisanih poineranja na krajevima s'tapa moie da se prikaie na uobieajen naein:
R = k q , gde su:
R = - 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
U izrazu (5.43) 1< je matrica aksijalne krutosti itapa koja je ovde proiirena od inatrice drugog reda na inatricu Sestog reda, u skladu sa oznakama generalisanih sila i generalisanih pomeranja, slika 5.19.
Slika 5.19 - Gcncralisana polneranja i gcneralisane silc u lolcalnom i u globalnom koodinantnoln sistemu.
Matrica rotacije za prostonli reietkasti Stap odredena je izrazoin (5.1.7), tj. poinodu kosinusa uglova koje zaklapaju ose lokalnog sistema sa osama globalnog koordinitnog sistema. Matrica rotacije moie da se dobije i kao specijalan sluCaj izraza (5.34), koji je izveden za pune prostorne nosace. PoSto Stapovi reietkastih nosaea mogu da prime samo .
aksijalne uticaje nije bitan poloiaj glavnih osa inercije popreenog preseka Stapa u odnosu na lokalni, odnosno referentni koordinatni sistem. Zbog toga se za ugao /3 u izrazu (5.34)
moie da uzine bilo koja vrednost. Najjednostavniji izraz se dobija ako se usvoji da je P=O. Tada matrica rotacije prostornog regetkastog Stapa postaje:
Sinenoin (5.44) u (5.22) dobija se matrica krutosti Stapa u referentnom koordinatnom sistemu:
gde je za Stap kons tantnog popeEnog preseka,
Vektor opterekenja se forinira neposredno, u globalnom koordinatnom sistemu, od opterekenja 11 Cvorovima sistema, Eije se koinponente zadaju u odnosu na ose globalnog koordinatnog sisleina. Uticaji od teniperature u osaina pojedinih Stapova u analizu se unose preko vektora Q, Cije se komponente sracunavaju u lokalnom koordinatnom sisteinu preina izrazu (3.15), a potoin transformiiu u globalni koordinatni sistem preina izrazu Q* = T' Q.
Postupak forniiranja jednatina za sistem Stapova, naCin njihovog reSavanja, odredivanje poreinanja, reakcija oslonaca i sila u Stapovima, u sveinu ostaje isti kao i za pune nosate.
Matrica krutosti Stapa (5.45) moie da se izvede na isti naEin kao i za ravan reietkasti Stap, koji je primenjen u poglavlju 4.4. Veza izmedu pomeranja (sila) na krajevima aksijalno napregnutog Stapa u lokalnom sisteniu i pomeranja (sila) na krajevima Stapa u globalnoin sisteinu data je izrazoin (4.97), kao i za ravan Stap, tj.
sano Sto su u sluCaju prostornog Stapa:
i predstavljaju vektore pomeranja i sila na krajevima aksijalno napregnutog Stapa u pravcu ose x , u pravcu osa globalnog koordinatnog sistema XYZ i matricu transformacije, respektivno.
Ako se u izraz (5.41), na mesto matrice T unese matraica Tprema (5.48), tada se dobija matrica krutosti
koja je ista kao j u izrazu (5.45) i (5.46):
Na sliEan naein, za vektor ekvivalentnog opterekenja, dobija se:
I<ada su poznata pomeranja Evorova nosaEa, sile u Stapoviina reSetkastih nosaCa lnogu da se odrede na isti naEin kao i u sluEaju ravnih reSetkastih nosaCa, tj. pomoku izraza:
" * Rj = kjqj -Qj , j=lY2,...,rn (5.5 1)
gde je:
Na slici 5.20 prikazan je reSetkasti prostorni nosaE. Potrebno je da se odrede pomeranja Cvora na vrhu nosaCa i sile u Stapovima usled:
a) dejstva koncentrisane sile P, b) usled vertikalnog po~neranja oslonca b za c, = 0.01 in.
z .@ Slika 5.20 - Prostorni regetkasti nosac.
Poito je nosaE siinetriEan u odnosu na X osu dovoljno je da se analizira sarno jedna polovina nosaea, koja je prikazana na slici 5.21.
Slilta 5.21 - Skica sisrcma i oznakc pomcralija Evorova.
Nepoznata poineranja su 1 i 2, pomeranje 3 je jednako nuli iz uslova simetrije, a ostala ponieranja su sprecena osloncima.
Icoordinate Evorova i geometrija itapova
Matrice krutosti itapova se odreduju direktno u referentnom koordinatnom sisteinu preina izrazima (5.45) i (5.52).
Matrica knltosti sistelna
a) Dejstvo koncentrisane sile P u tvoru I .
Vektor slobodnih Clanova
Pomeranja Cvora 1.
Reakcije oslonaca
S obzirorn da je korigtena sirnetrija nosaCa i opteretenje P/2 , ukupne reakcije u Cvorovima 3 i 4 kao i sile u itapovima 2 i 3 se dobijaju mnoienjem sa 2.
Sile u itapoviiiia
Slika 5.22 - Rcalccije oslonaca i silc u Stapovi~na od optcrckcnja.
b) Vertikalno pomeranje oslonca b za I cm
Vektor slobodnih Clanova q; ima samo jednu komponentu koja je razlitita od nule
Ponieranje Cvora 1.
q+ = - K + - l K + q+ = - V s SO o -8.97658 -8.976581[0 10.53290 - 0 -0.03175 0.00907 0 o]! -o.ol o"' 10 ' = lo-2 [ -0.4 0.952671 1584
0.0 12
Reakcije oslonaca
Slika 5.23 - Realtcijc oslonaca usled verliltalnog polneranja Evora 3 za 0.01 m.
Roitilji predstavljaju specijalan sluCaj prostornih nosaCa. Ose svih itapova roitilja leie u jednoj ravni, koja se naziva ravan ros'tilja. Po svojoj geometriji, rogtilji su ravni nosaCi. Mebutim, opteredenje koje deluje na nosaC nije u ravni nosaCa, vet je upravno na ravan nosaCa. Po tome se roitilji razlikuju od ravnih nosaCa.
Proizvoljno opteredenje, koje na ravan nosaC deluje u nekoj kosoj ravni, koja sa ravni nosaCa zaklapa oitar ugao, moSe da se razloii'na dva opterekenja: a) optereienje u ravni no,c.aEa b) opferekenje upravno na ravan nosata. U lineranoj analizi dejstva ovih opterekenja illogu da se razmatraju odvojeno. Na taj naCin, u prvom sluCaju se analizira ravan nosat, a u drugom sluCaju ros'tilj. U narednim razinatranjiina pretpostavlja se da je ravan XOY ravan roitilja, a osa Z njena nonnala. Usled dejstva opterekenja koje je paralelno osi Z pretpostavlja se da u proizvoljnoj taCki roitjlja inoie da dode samo do poineranja u pravcu ose Z i do obrtanja u ravrlima koje su upravne na ravan roitilja, npr. u ravnima Cije su noramale ose X i Y . Na taj naCin, u svakoin Cvoru roitilja mogu da postoje po tri generalisana pomeranja: pomeranje upravno na ravan roitilja, w , i obrtanja olco osa u ravni ros'tilja,qx i qy >,. ICod ravnih nosaCa, u svakoin Cvoru inogu da postoje, takobe, tri generalisana poineranja: dva porneranja u ravni nosaCa u, v i obrtanje oko normale na ravan nosaCa qz . U Cvoru prostornog nosaCa moie da postoji ukupno Sest generalisanih poineranja, poineranja u pravcu osa X, Y, Z i obrtanja oko osa X, Y, Z , i t 0 je jednako zbiru generalisanih pomeranja u Cvoru ravnog nosaCa i roitilja. Na slici 5.24 prikazana su generalisana pomeranja u Cvolu ravnog nosaEa i roitilja nosaCa.
Slika 5.24 - Generalisana pomeranja u Evoru nosaEa: a) ravni nosat, b) roStilj.
Na slici 5.25 prikazan je s'tap kao elemenat ros'tilja. Lokalni koordinatni sistem je vezan za Stap u Evoru i, tako da se osa x poklapa sa osom Stapa, a ose y i z, sa glavnim osama inercije popreCnog preseka Stapa. Lokalni koordinatni sistem xyz je desne orijentacije. Pretpostavlja se da se centar smicanja poklapa sa teiis'tem poprehog preseka Stapa, kao i da ne dolazi do deplanacije popreEnih preseka u toku deformacije.
Slilta 5.25 - Generalisana po~neranja i gcneralisane silc roltilja.
S obziroin da su uticaji od savijanja i torzije pravog Stapa medusobno nezavisni, veza izinedu generalisanih sila i generalisanih pomeranja na krajeviina s'tapa iina slededu strul<luru:
Matrica krutosti u izrazu (5.53) je kvazidijagonalna, sastavljena od dve podinatrice, od kojih prva, predstavlja matricu torzione lu.utosti, a dmga inatricu krutosti savijanja. Ovaj oblik inatrice krutosti u kojoj su razdvojeni torzija i savijanje, ne ostaje konlpaktan pri forlniraniu matrice ltrutosti sistema, pogotovo ako sistem iina veliki broj Btapova. Zato je pogodnije da se generalisana pomeranja i sile uzmu drugiin redosledom.
Na slici 5.26 priltazana su gencralisana poineranja (sile) 5tapa u lokalnoill i u globalnoln koordinatnom sisteinu na uobiEajeni n a b , tako Sto su prvo ozna~ena pomeranjau Evoru i, a potoin poineranja u Evoru kc.
Uz zanemarenje uticaja transverzalnih sila na deformacije smicanja, matrica krutosti Stapa konstantnog popreEnog preseka, prema oznakama na slici 5.20, ima slededi raspored eleinenata:
Vektor eltvivalel~tnog opterekenja ilna Sest komponenata, dva torziona momenta, dve transverzalne sile i dva momenta savijanja, koji se odreduju lcao Sto je to pokazano u lrekeln poglavlju.
v
-4"-
4Y--
Slika 5.26 - Oznaltc gcncralisanih pomcranja: a) u loltalnoln Itoo~.dinatnom sistelnu, b) u globalnon~ Itoordinatnom sistcmu.
Za oziialce ltao na slici 5.26, vektor ekvivalentnog opterekelija ilna sledeti raspored elenienata:
Q7' = [m,\, 5, mfl m, 5, m,] (5.55)
Matrica lcsutosti (5.54) i vektor ckvivalentnog opterekenja (5.55) vaie za Stap koji j e na oba kraja lauto vezan u Cvorovilna nosaCa. &ap roStilja lnoie da ilna zglavkastu vezu, tj. vezu koja iiioie da primi transverzalnu silu i lnomenat torzije, a ne lnoic da priini lnomenat savijanja. U Cvoru sa zglavkastolii vezoin postoje saino dva stepena slobode, polneranje w i obrtanje q, , dok sc obrtanje cp,, na poznati naCin eliminiSe iz uslova M,=O. U tom sluCaju, Slap inia pet stepeni slobode, a inatrica krutosti, i vektor ekvivalentnog opterekenja prelna oznaltaina ltao na slici 5.27 su:
5.3.3 BAZNA MATRICA KRUTOSTI
Matrica krutosti kojom je uspostavljena veza izmedu generalisanih sila i generalisanih pomeranja itapa kao elementa roitilja je iste strukture kao i matrica krutosti ravnog Stapa. Ona je singularna,kao i matrica krutosti ravnog itapa, tako da nije rnoguCe odrediti generalisana poineranja za proizvoljno zadate generalisane sile na krajevima itapa. U generalisaniin pomeranjima sadriana su i pomeranja itapa kao luutog elementa u ravni roitilja. Generalisane sile nisu medusobno nezavisne, poSto one inoraju zadovoljiti tri uslova ravnoteie Stapa u ravni rogtilja. Na taj naCin, od iest generalisanih sila itapa, samo su tri medusobno nezavisne i one predstavljaju osnovne statiCki nezavisne veliCine Stapa.
Nj jma odgovaraju osnovne deformacij ske veliCine itapa, slika 5.28.
Slika 5.28 - Osnovnc dcfor~naciljsl<c i slaliCl<c vcliCinc Slapa.
Veza izinedu osnovnih statiCkih i osnovnih deformacijskih veliCina uspostavlja se poinoCu bazne inatrice krutosti Stapa:
gde su:
vektor osnovnih statiCkih veliCina, vektor osnovnih deformacijskih veliCina i bazna matrica krutosti Stapa. Bazna malrica k0 je nesingularna.
PoilloCu bazne inatrice krustoti inoie da se odredi, kao i u sluCaju ravnog itapa (poglavlje 3.4.6.), mntrica hutosti itapa roStilja nosaCa. Kadi toga je neop110dno formirati inatrice cT i C poinoCu kojih se uspostavljaju veze izmedu generalisanih sila i osnovnih statiCkih veliCina odnosno veza izmedu osnovnjh deformacijskih veliCina i generalisanih pomeranja Stapa.
Na osnovu slike 5.25 i slike 5.28, oCigledna je veza izmedu generalisanih sila i osnovnih statiCkih veliCina R = C ~ S:
dok je veza izmedu osnovnih deformacijskih veliEina i generalisanih pomeranja, na osnovu principa o kontragradijentnosti:
6 = C q ,
gde je C transponovana matrica cT u izrazu (5.59).
Matrica krutosti itapa dobija se preina izrazu
k = c rk ,C , smenom za lnatrice cT i C vrednosti datih izrazom (5.59), a za rnatricu ko izrazoin (5.58). Posle innoienja matrica u izrazu (5.60), dobija se matrica krutosti itapa koja je prethodno dobijena direktnim postupkom i prikazana izrazom (5.54).
5.3.3 MATRICA TRANSFORMACIJE
Pri prelasku iz lokalnog u globalni koordinatni sistem i obratno, transformiiu se samo komponente vektora rotacija i moinenata dok pomeranja i transverzalrie sile ostaju nepromenjeni, poSto su u oba sluEaja paralehi Z osi. Na slici 5.29 prikazane su komponente momenata u dva koordinatna sistema xoy i XOY Eiji je lnedusobni poloiaj odreden ugloln y.
Slika 5.29 - Transformacija vcktora.
Sa slike 5.29 je oeigledno da postoje sledeke veze izmedu komponenata vektora M u ova dva sistema
M, = Mf. cosy +M;siny = M;A+ M;p, (5.61)
My =-Misiny +M; cosy = - M ; p + ~ ; h .
Veza izlnedu sila u lokalnom i globalnom koordinatnom sistemu, prema tome, je:
R=TR* , (5.62)
gde je:
Za Stap koji je na levoill laaju kruto, a na desnom kraju zglavkasto vezan, inatrica transforinacije je pravougaona matrica sa pet vrsta i Sest kolona:
Icada su odredene matrice kmtosti, vektori ekvivalentnog opterekenja i inatrice transforinacije za pojedine gtapove dalji tok analize, u svemu je isti kao i u sluCaju ravnih odnosno prostornih nosaCa.
5.3.4 PRIMER
Na slici 5.30 priltazan je nosaC ltoji Cine tri Stapa Cije su osc u ravni XOY. Potrebno je odrediti sile u gtapovima usled: a) vertikalnog ravnomerno raspodeljenog opterekenja duE Stapa 1, b) obrtanja ukljeStenja oko ose Xza c,,= 3'.
Slika 5.30 - NosaC i opterekenje.
StatiCka shema nosaCa, sa generalisanim pomeranjima u Cvorovima prikazana je na slici 5.30. Od ukupno 12 generalisanih pomeranja tri su nepoznata, a devet je poznato iz uslova oslanj anja.
Slilta 5.31 - Gc~icralisana pomcranja u Cvorovima sistcma.
Matrice krutosti gtapova
Stapovi 1 i 2 su na jednom kraju zglavkasto a na drugom kmto vezani. Njihove matrice krutosti se odreduju prema izrazu (5.56).
matrice transformacije, prema (5.6 1)
-0.8 0.0 0.6
0.0 1.0 0.0
-0.6 0.0 -0.8
-0.8 0.0 0.6
0.0 1.0 0.0
Transformisane matrice krutosti
1 2 3 4 5 6
-0.192 0.0 0.144 0.192 0.0 -0.1441
0072 0.024 0.096 0 . -0.024 1; -0.36 -0.12 -0.48 0.0 0.12
0.192 0.0 -0.144 -0.192 0.0 0.144 4
-0.024 -0.096 0.0 0.024 0.0 5
a) Uticaji od optevecenja
Matrice krutosti sistema
1 2 3
Vektor ekvivalentnog opterecenja za Stap 1
K' = EI
Slika 5.32 - Ko~nponente vektora ekvivalentnog opteretenja.
- 1.0392 0.0 0.0 0.0 0.0949 0.0045
0.0 0.0045 1.9408
-0.3 0.0 0.0
0.0 0.0469 -0.1875 0.0 -0.1875 0.5
-0.1536 0.0 0.0
-0.0720 0.0240 -0.0960
0.1 152 0.0 -0.0864
-0.1536 0.0 -0.1 152
0.0720 -0.0240 -0.0960
-0.1 152 0.0 -0.0864 -
Pomeranje i obrtanje Evora 1.
= - K ~ ~ ' Q , = EI
Reakcije oslonaca
Vektori generalisanih sila na krajevima Stapova
R~ =ia ' -Qi
Slilia 5.33 - Realccije oslonaca od opterekenja.
b) Obrtanje ukljes'tenja oko ose Xza c,= 3'
q a = 3' = 0.0008726 rad
K ; ~ ~ ; + ~ ; ~ q : , = 0
Reakcij e oslonaca
Slika 5.34 - Realtcije oslonaca od obrtanja Cvora 2 olto Xosc za c,,=3<
Veklori getle~alisatlih sila na lwajevima Slapova * *
R, = k,q, , j = 1,2,3
LITERATURA
I . Baufait,W.F., Rowan, H.W., Hoadley,G.P., and Hacket,M.R., Conzputer Methods in Structzrral Analysis, Prentice-Hall, Inc. 1970.
2. Fenvcs,J.S., Computer Methods in Civil Engineering, Prentice-Hall, 1967. 3. Jenltins,W.M., Matrix and Digital Computer Methods in Structural Analysis, McGraw-Hill, 1969. 4. SekuloviC, M., MatriEna analiza lconstrulrcija, Gradevinska knjiga, Beograd, 199 1. 5 . SeltuloviC,M. i PetronijeviC,M., Statilca konstrukcija 2, zbirlca reienih ispitnih zudatuka, NauCna knjiga,
Beograd, 1989
