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8/13/2019 126959068 Problemario de Circuitos Electricos II
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3/263
Directorio
DR. JOS ENRIQUE VILLA RIVERADirector General
DR. EFRN PARADA ARIASSecretario General
DRA. YOLOXCHITL BUSTAMANTE DEZ
Secretaria Acadmica
ING. MANUEL QUINTERO QUINTEROSecretario de Apoyo Acadmico
DR. SCAR ESCRCEGA NAVARRETESecretario de Extensin y Difusin
CP. RAL SNCHEZ NGELESSecretario de Administracin
DR. JORGE VERDEJA LPEZSecretario Tcnico
DR. LUIS ZEDILLO PONCE DE LENSecretario Ejecutivo de la Comisin de Operacin
y Fomento de Actividades Acadmicas
ING. JESS ORTIZ GUTIRREZSecretario Ejecutivo del Patronato
de Obras e Instalaciones
LIC. ARTURO SALCIDO BELTRNDirector de Publicaciones
8/13/2019 126959068 Problemario de Circuitos Electricos II
4/263
ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERAMECNICA Y ELCTRICA
UNIDAD ZACATENCO
PROBLEMARIO DE CIRCUITOSELCTRICOS II
Elvio Candelaria Cruz
INSTITUTO POLITCNICONACIONALMxico
8/13/2019 126959068 Problemario de Circuitos Electricos II
5/263
Problemario de circuitos elctricos II
Primera edicin: 2004
D.R. 2004INSTITUTO POLITCNICO NACIONALDireccin de PublicacionesTresguerras 27, 06040, Mxico, DF
ISBN 970-36-0205-3
Impreso en Mxico / Printed in Mexico
8/13/2019 126959068 Problemario de Circuitos Electricos II
6/263
Al
M. en C. Arturo Cepeda Salinas
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CONTENIDO
PRLOGO ------------------------------------------------------------------------------------ 11
CAPTULO I. ESTRUCTURAS PASIVAS DE DOS TERMINALES ------------ 13
- Clculo de impedancias- Clculo de admitancias- Reducciones serie-paralelo- Problemas complementarios
CAPTULO II. TEOREMAS DE REDES --------------------------------------------- 53
- Divisor de voltaje- Divisor de corriente- Teorema de Thvenin- Teorema de Norton- Teorema del intercambio de fuentes- Teorema de superposicin- Dualidad- Problemas complementarios
CAPTULO III. VALORES MEDIOS Y POTENCIA ------------------------------ 103
- Valores medios de 1 y 2 orden- Potencia compleja, aparente, activa y reactiva- Factor de potencia- Teorema de la mxima transferencia de potencia media- Problemas complementarios
CAPTULO IV. RESONANCIA -------------------------------------------------------- 131
- Dependencia de la frecuencia- Resonancia y antirresonancia- Resonancia de un circuito RLC- Factor de calidad, ancho de banda y selectividad de un circuito resonante- Resonancia de circuitos de dos ramas- Problemas complementarios
9
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8/263
CAPTULO V. REDES CON MULTIFRECUENCIAS --------------------------- 181
- Redes con fuentes senoidales de distintas frecuencias- Redes con fuentes peridicas no senoidales. Series de Fourier- Red auxiliar de C.D.-
Red auxiliar de C.A.- Valores efectivos de corriente, voltaje y potencia media- Problemas complementarios
CAPTULO VI. REDES DE DOS PUERTOS --------------------------------------- 219
- Ecuaciones y representaciones con parmetrosZ- Ecuaciones y representaciones con parmetros Y- Ecuaciones con parmetros de transmisin directos e inversos- El transformador ideal- Ecuaciones y representaciones con parmetros hbridos directos e inversos- Equivalencias entre parmetros- Conexiones fundamentales entre redes de dos puertos- Problemas complementarios
BIBLIOGRAFA --------------------------------------------------------------------------- 299
10 Problemario de Circuitos Elctricos II
8/13/2019 126959068 Problemario de Circuitos Electricos II
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PRLOGO
Este trabajo es producto del Programa Acadmico de Ao Sabtico otorgado al autor
durante el periodo 2001-2002. Externo mi agradecimiento al licenciado Francisco
Ramrez Rodrguez, Coordinador General de Programas Acadmicos Especiales de laSecretara Acadmica del Instituto Politcnico Nacional y al licenciado Alfredo
Villafuerte Iturbide, responsable del Programa Ao Sabtico, por las atenciones que sesirvieron brindar al suscrito para hacer posible la realizacin de este trabajo.
El presente Problemario de circuitos elctricos II est destinado a estudiantes de
Ingeniera en Comunicaciones y Electrnica y carreras afines; tiene como finalidad
servir de apoyo en su preparacin profesional para el estudio de la Teora de los
Circuitos Elctricos en los tpicos que se tratan.
Se ha pretendido facilitar la comprensin de los temas mediante el planteamiento,desarrollo y solucin metdicos de problemas ilustrativos que permitan al estudiante
ejercitar sus conocimientos tericos y prcticos.
Para la resolucin paso a paso de problemas de este trabajo se utilizaron, en gran
parte, las tcnicas de anlisis de los mtodos de mallas y nodos desarrollados por eldoctor Enrique Bustamante Llaca en su importante obraModern Analysis of Alternating
Current Networks, por lo que se recomienda al estudiante conocer previamente estosmtodos. Cabe mencionar que en dichos anlisis se emplean letras minsculas para
denotar impedancias de mallas o admitancias de nodos y con letras maysculas lasimpedancias o admitancias de elementos. Asimismo gran parte de la simbologa usada
en este problemario es la misma de la obra citada.
Es mi convencimiento de que solamente el esfuerzo propio del estudiante har deeste trabajo un recurso didctico provechoso.
Finalmente deseo expresar mi agradecimiento a Jos Juan Carbajal Hernndez,
pasante de la carrera de Ingeniera en Comunicaciones y Electrnica por su apoyo e
iniciativa en la captura del material de esta obra.
Elvio Candelaria Cruz.
11
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CAPTULO I
ESTRUCTURAS PASIVAS
DE DOS TERMINALES
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PROBLEMA 1
Calcule la impedancia equivalente entre las terminalesaybde la red mostrada:
Solucin:
1. Se hace una simplificacin del circuito:
Se conecta una fuente de voltajeEy se asignan sentidos arbitrarios a elementos y alas corrientes de mallas; la fuente se conecta a las terminales de inters. La mallaformada con la fuente de voltaje debe ser la malla 1:
Elvio Candelaria Cruz 15
8/13/2019 126959068 Problemario de Circuitos Electricos II
12/263
2. Se calculan las impedancias propias y mutuas de mallas (aplicar las reglas del mtodode mallas):
i
i
i
i
i
2--2
0
34
37
26
=
=
+=
+=
+=
+=
z
z
z
zz
z
23
13
12
33
22
11 36
3. Aplicando la frmula general:
0.93i--
43.224i36
--
--
--
--
024113134733243
6205178
733
620517863167
3722
2226
37220
222634
03436
11
3332
2322
333231
232221
131211
11
.....
..
.cof
..i
ii
ii
ii
iii
ii
cof
Z
Z
ab
r,m
r,m
ab
===
=+=
=+=
+
+
+
++
++
===
zz
zz
zz
zzz
zzz
zzz
z
z
det
det
Este resultado significa que la red origin equivalente a:
Se sugiere al estudiante resolver este problema usando el mtodo de reduccin serie-
16 Problemario de Circuitos Elctricos II
al es
paralelo.
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13/263
PROBLEMA2
Encuentre la impedancia equ ales ay ben la red dada, a lafrecuencia angular =1rad/seg.
ta una fuenteEentre las terminales ay b, con la cual se forma la malla 1. Sel signo de la inductancia mutua entre las bobinas k y l. Se asignan sentidos a
2. Se obtienen las im
ivalente entre las termin
Solucin:
1. Se conecdetermina eelementos y a corrientes de malla.
Lk,l < 0L = -0.5Hyk,l
pedancias propias y mutuas de mallas.
i).)((i))((i
i).)((i)(i
))((i
i).)((i)(i
))((i 850121
2318 - +=++++=z11
45012231
6650121
102316
3
----
--
=+=
=+++=
z
z
12
22+
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3. Se aplica la frmula general:
Elvio Candelaria Cruz 17
ii-
i-
idet
i
ii
ii
cof
det
Z
ZZ
eq
m,r
abeq
33.233.9664270
42-70
6-6
6-64-
4-8
+==
=
+
===
z
z
z
rm,
11
Esta impedancia se puede representar con elementos de circuito como se muestra:
Es posible resolver este problema pasando del circuito original al circuitotransformado, donde se indican las impedancias de elementos y aplicar as el mtodo demallas. El circuito transformado sera el que se muestra a continuacin:
8/13/2019 126959068 Problemario de Circuitos Electricos II
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18 Problemario de Circuitos Elctricos II
P 3ROBLEMA
En la red mostrada calcule:a la frecuencia angular =103rad/seg.
bservacin: Una configuracin con bobinas acopladas como se muestra en este
O tambin ver Bustam vol. I, ed. Limusa-
a) La impedancia totalZ ,Tb) El valor del inductor equivalente.
Ocircuito, no necesariamente debe tener acoplamiento entre todas ellas. Ver, por ej. HaytWilliam H.- Kemmerly Jack E. Anlisis de Circuitos en Ingenieraproblema 9, pgina472, cuarta ed. McGRAW HILL Es posible disponer fsicamente tres bobinas detal manera que haya un acoplamiento mutuo entre las bobinas AyBy entreBy C,pero no entreAy C. Un arreglo as se muestra en la figura dada. Obtngase v(t) .
ante Llaca E. Alternating Current Networks,Wiley, ej. 2, pgina 233 o Jimnez Garza Ramos Fernando Problemas de Teora de losCircuitos,vol. 1, ed. Limusa, problema 1, pgina 72, entre otros ejemplos.
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Solucin: Habiendo conectado la fuente de voltaje E, la impedancia entre lasterminales ay b(Z ) se calcula como en los problemas anteriores.T
Elvio Candelaria Cruz 19
De acuerdo con las marcas de polaridad en las bobinas:
L12= -4x10-3Hy
L13 = 3x10-3Hy
[ ]
ii
i
ii
i
cof
det
ixiixxi
ixixi
i
xixxi
xixi
m,r
TZ 97.488.968338672
28
2854
5410
5-4)103(10)-4x10(10-10210--4
2-825010
10
20010
1010)52(1044
10)104-(1021050010
1)102(10)108(1046
3-33-33-3
3
6
3
63-3
3-3
6-3
3-33-3
+=+
=
+
+
==
+=+=
=+++++=
=+++++=
z
z
z
z
z
11
12
22
11
El valor de la bobina puede calcularse a partir de su impedancia:
ZL= iL = i(103)L =4.97i L = 4.97/103 = 4.97 mHy
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20 Problemario de Circuitos Elctricos II
PROBLEMA4
Encuentre la resistencia totalRTindicada que presenta el circuito mostrado cuando:a) ay bestn en circuito abierto; use reduccin serie-paralelo.b) ay bestn en corto circuito; use reduccin serie-paralelo.
Solucin:
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a)
Elvio Candelaria Cruz 21
b)
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Solucin: En este problema es fcil ver que un extremo del resistor de 5es el punto b,por lo que el circuito puede dibujarse como:
este circuito se puede reducir a:
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donde 10/7 es el paralelo delos resistores de 5y 2:5||2=10/7
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quedando 8en serie con (10/7):
8+(10/7) = 56/7 + 10/7 = 66/7
el resistor equivalente es:Rab= 66/7 || 10 = 4.85
Elvio Candelaria Cruz23
8/13/2019 126959068 Problemario de Circuitos Electricos II
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PROBLEMA6
CalculeRaben el siguiente circuito.
olucin: Para resolver este tipo de problemas podemos auxiliarnos de un punto oSpuntos exteriores y rehacer el circuito observando qu elementos se encuentranconectados entre los puntos de referencia:
=+
++
= 75.15155
)15)(5(
3020
)30)(20(Rab
24 Problemario de Circuitos Elctricos II
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PROBLEMA7
CalculeReqentre las terminal
Solucin:
esayb.
= 2811
z
=
==
=
=
=
=
=
50.15
5012
1237
501218
123710
181028
12
18
10
50
37
11
23
13
12
33
22
z
z
z
z
z
z
cof
detm,r
eqR
lvio Candelaria Cruz 25
z
E
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PROBLEMA8
En el siguiente circuito calcul :
Solucin: ir de 4 mallas, sin embargo las dosresistencias de la periferia estn en
o si se desea darle la form
eZab
Este problema puede resolverse a partparalelo y pueden reducirse a una sola:
a siguiente:
21 JJ
EZ = ab +
Aplicando el mtodo de mallas para encontrarJ1yJ2:
05
2333
1322
1211
==
==
zz
zz
26 Problemario de Circuitos Elctricos II
29 == zz
47
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27/263
199490 ==
23
199
23
199
39
199
23
199
702
40
25
199
39
199
740
49
20
742
205
0742
490
205
21
2
1
321
321
321
.EE
EE
E
E
E
E
E
E
E
E
JJZ
J
J
JJJ
JJJ
JJJ
ab=
+=
+=
=
=
=
=
=++
=++
=+
lvio Candelaria Cruz 27
E
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PROBLEMA9
Calcule la impedancia total entre las terminalesaybdel siguiente circuito:
Solucin: Este circuito puede configurarse de la forma que se muestra tomando lospuntos a, b, cy dcomo referencia:
d
= 922
11
z
==
==
=
=
=
=
=
2.362
199
71
19
712
193
235
1
2
3
7
5
11
,
23
13
12
33
z
z
z
z
z
z
cof
detrm
abZ
28 Problemario de Circuitos Elctricos II
z
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PROBLEMA10
Encuentre la impedancia equivalente entre las terminales ay bde la red dada, a lafrecuencia =103rad/seg.
Solucin: Obtendremos L12 y L13 de la ecuacin para el coeficiente de acoplamientoentre dos bobinas:
LLLLL
Llkkl
lk
klkk ==
De acuerdo con las marcas de polaridad:
L12>0L13
8/13/2019 126959068 Problemario de Circuitos Electricos II
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+=+
+=
+
+
+
== ii
i
i
ii
ii
cof
detm,r
eqZ 92.744.81434.11929.110
14
1454.04
54.0482.89
11z
z
El circuito original queda reducido a la siguiente forma:
30 Problemario de Circuitos Elctricos II
8/13/2019 126959068 Problemario de Circuitos Electricos II
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PROBLEMA11
Calcule la impedancia equivalente entre las terminalesayb:
olucin: Los sentidos de las bobinas fueron asignados de forma tal que fueranongruentes con el signo positivo de cada una de las impedancias mutuas. Unapedancia mutua positiva conlleva una inductancia mutua positiva.
Scim
=+
+=
+
+
==
=++=
+=++=
=+=
ii
i
i
ii
ii
cof
det
iiiii
iiii
iiii
m,r
eqZ 02.107.851228102
512
512
8
23
51227412
82658
11
12
22
11
z
z
a impedancia equivalente es:
Elvio Candelaria Cruz 31
z
z
z
L
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PROBLEMA12
pias y mutuas de mallas, qu Calcule las impedancias pro e permitan encontrar laZeqde6
13 < 0 = -3x10 HyL23 > 0 = 2x10
-4Hy
la red mostrada, a una frecuencia angular de 10 rad/seg.
Solucin:
L12 < 0 = -10-4 Hy
-4L
ixixiixiix
x
ixxixxiix
xx
ixixxiix
xx
100)103)(10()102)(10()10)(10()102)(10(10
103
104900)102)(10)((2)108102)(10(10
107103900
103900)10)(10)((2)102106)(10(10
103106900
46464646
6
8
12
246446
6
88
22
246446
6
88
11
=++=
=+++
+=
=++++
+=
z
z
z
uito transformado, de acuerdo con los sentidos asignadosarbitrariamente a los elementos, las impedancias mutuas entre elementos son:
Z12 = i106(-10-4) = -100i
Z13 = i106(-3x10-4) = -300i
Z23 = i106(2x10-4) = 200i
y las impedancias de mallas se obtienen com es de arriba lo indican.
2 Problemario de Circuitos Elctricos II
Si se prefiere obtener el circ
o las ecuacion
3
8/13/2019 126959068 Problemario de Circuitos Electricos II
33/263
PROBLEMA13
permitan calcular la admitancia minalesayb, a la frecuencia=103rad/seg.
Solucin: Se . Se tendr laterminal a ponente. Se
positiva, por lo que el sentido de los elementos es el que se muestra.
aplica es:
Encuentre las admitancias propias y mutuas de nodos de la red mostrada queequivalente entre las ter
conecta una fuente de corriente Ifcentre las terminales ay b conectada al nodo 1 y la terminal b a la base de la com
observa que por tener una invertancia mutua negativa la inductancia mutua ha de ser
La frmula que se
yyy
yy
yy
22
2221
1211
11
==cof
detn,p
abY
Clculo de las admitancias de nodos:
ixxi
x312
10310210
102 =
=y
ixxi
i
xx
ixxxi
333
3363
3
33
22
333
3
3
11
3
10106)102)(10(
10
1102104
10210310210
210
+=+++=
=++=
y
y
n Yab.
Elvio Candelaria Cruz 33
Se sustituyen valores e
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34/263
PROBLEMA14
Calcule la admitancia equivalente entre las terminalesayb en el circuito mostrado,a la frecuencia =103rad/seg.
Solucin:La terminal a deber ser el nodo 1, donde se conecte la fuente de corriente.
yy
y
yy
y
y1211
22
2221
11
==cof
detn,p
abY
ii
i
i
i
i
xixi
ixixi
xixi
ixi
xixi
Yab 04.443.85.075.3257
5.07
5.072
249
2)102.0)(10(
1)105000)(10(2
5.07)104.0)(10(
1
)102.0)(10(
1)103000)(10()105000)(10(25
49)102.0)(10( 1)105000)(10()104000)(10(27
33
63
12
3333
6363
22
336363
+=+
+=
+
+
+
=
==
+=+++++=
+=++++=
y
y
y
Problemario de Circuitos Elctricos II
11
34
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35/263
Este resultado significa que la red original es equivalente a:
Elvio Candelaria Cruz 35
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36/263
PROBLEMA15
Calcule la admitancia equivalente entre las terminales a y b, a la frecuencia =2rad/seg.
Solucin:
HyL 61
12 =
yy
yy
yyy
yyy232221
yyy
y
y
3332
2322
333231
131211
11
==cof
n,p
abY
Calcularemos las admitancias propias y mutuas de nodos:
det
( )
C
CC
CG
i
i
i
i
ii
i
323
13
12
12
4
4333
2
3222
1
11
0
=
=
=
++=
++=
=
y
y
y
y
y
y
36 Problemario de Circuitos Elctricos II
8/13/2019 126959068 Problemario de Circuitos Electricos II
37/263
Se requiere conocer el valor de 1, 2, 4 y 12. Procederemos a calcular el valor destas invertancias mediante la siguiente frmula:e
Yrnehs
Yrnehs
Yrnehs
cof
det
cof
LL
LL
L
LLL kl
kl
kl
kl
48
1152
4
61
72
1152
44
1
36
36
1
32
181
8
1
6
1
6
1
4
181
12
22
2221
1211
22
11
=
=
==
=
=
==
==
Al sustituir valores:
ii
i
ii
ii
ii
iii
ii
ii
ii
ii
ii
ii
Yab 073.1.0343618
351
0
351
02418
2
1)2(
0
242
48
222)
3512
72
2
1)2(1
182
3,2
13
12
22
11
=
+=
=
=
=
=
==
=+
+
=+
+=
==
y
y
y
y
y
Elvio Candelaria Cruz 37
36
i
i 10312(33 =y
24
497
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38/263
PROBLEMA16
Encuentre la admitancia equivalente entre las terminales a y b en el circuitomostrado, a la frecuencia =10 rad/seg.
Solucin: Se asignan sentidos arbitrarios a las dos bobinas acopladas para determinarL12= + 0.2Hy. Calcularemos primeramente las invertancias propias y mutua de las dosbobinas acopladas 1 y 2 ya que dichas invertancias se necesitarn para poder calcular lasadmitancias.
cof
Yrnehcof
Yrnehscof
YrnehscofL 24.04.011
11 ====
L
L
L
12.0
2.0
32.0
6.0
2.0
4.02.0
2.06.0
12
12
22
22
==
=
==
=
Las admitancias propias de los elementos son:
38 Problemario de Circuitos Elctricos II
kl
kl =
8/13/2019 126959068 Problemario de Circuitos Electricos II
39/263
ii
x
ii
xi
ii
xi
iii
iii
Y
Y
Y
Y
Y
26101050
1
6
101010
105.12
1
)8.1)(10(10
8101010251
)2.1)(10(28
3.0)10(
3
2.0)10(
2
3
5
3
4
3
3
222
11
1
=+=
+=++=
+=+++=
===
===
La admitancia mutua entre el elemento 1 y el elemento 2 se calcula mediante
iii
i
Y
Y kl
kl=
1.010
11212
=
==
Obsrvese que la invertancia 12es de signo contrario a la inductancia L12.
Podemos representar el circuito original mediante admitancias, obteniendo:
Las admitancias de nodos son:
iiii
iiii
iiiiii
YYY
YYY
YYYYY
4.261.026)3.0(
7.7162610103.0
3.516)1.0(2268103.02.0
125212
54222
12532111 2
+=++=+=
+=+++=++=
+=+++=+++=
y
y
y
Elvio Candelaria Cruz 39
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40/263
Aplicando la frmula general:
y
yab
det
Ypn,
=
11cof
ii
i
i
ii
ii
Yab 5.716.1531.2692.1669.2575.175246.300
7.716
8.23695.184
7.716
7.7164.26
4.263.516
+==
=
+
+=
+
++
++
=
Lo que significa que la admitancia total equivale al siguiente elemento paralelo:
40 Problemario de Circuitos Elctricos II
8/13/2019 126959068 Problemario de Circuitos Electricos II
41/263
PROBLEMA17
Calcule Yaben el circuito mostrado.
olucin: De acuerdo con las marcas de polaridad, los sentidos de los elementosmutuaositiva y, consecuentemente, una admitancia mutua negativa:
recordar que
Sacoplados que se muestran cumplen con L < 0, lo que origina una invertanciaklp
( )i
i
klkl
klY
== .
iiiiii 188)3(210201230822
+=++=y
ii
i
i
ii
ii
cof
det
iiii
iiii
n,p
abY 84.1551.2188172265
188
188138
1382510
138)3(20308
251020301582
11
11
+=+
+=
+
+
+
==
=++=
+=+++=
y
y
y
y
El circuito original queda reducido a la siguiente forma:
Elvio Candelaria Cruz 41
12
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42/263
PROBLEMA18
Encuentre las admitancias de nodos de la red mostrada que permitan calcular laadmitancia equivalente entre las terminalesayb.
Solucin: Podemo zando reduccin serie-paralelo entreconductancias y capacitores.
En este circuito no es posible aplicar reduccin serie-paralelo, por lo queaplicaramos la frmula general ya conocida
s reducir el circuito utili
:
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13
11
10
1128
52351310 =+=y
1110
23
13
33
22
=
=
+=
+=
y
y
y
11y
12 =yi
i
i
42
ii
yy
yyy
3332
232211
cofab
yyy yyy
yyy
y333231
232221
131211
==
detpn,
Problemario de Circuitos Elctricos II
Y
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PROBLEMA20
Calcule las admitancias propias y mutuas de nodos, que permitan encontrar la Yaben
Solucin: Las adm arcas de polaridadentidos que se asignan a las bobinas acopladas cumplen con lo siguiente: si
> 0 se tendr una Lkl< 0 y viceversa.
el circuito dado.
itancias propias y mutuas son datos. Segn las mdadas, los skl
i
i
klkl
klY)( == Recordar que:
Se puede observar que las dos conductancias laterales pueden
+=++=
=++=
=++=
y
y
La Yabse obtendra aplicando la frmula general:
ser reducidas a una:
iiiii
iiiii
iiiii
195)()3()2()25(5
3947)3(2253010425
265)2(22520155
12
22
11y
y
y
11
,det
cof
pn
abY =
Elvio Candelaria Cruz 45
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PROBLEMA1
Calcule la impedancia equivalente entre las terminalesaybde la red mostrada:
PROBLEMA2
En la red mostrada calcule:
a) La impedancia total ZTa la frecuencia angular =103rad/seg.b) El valor del inductor o capacitor equivalente.
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PROBLEMA3
En el siguiente circuito calculeRab.
Elvio Candelaria Cruz 49
PROBLEMA4
En el siguiente circuito calculeRab.
PROBLEMA5
Calcule la impedancia equivalente entre las terminalesayb.
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PROBLEMA6
Encuentre la impedancia equivalente entre las terminales a y b en la red mostrada a la frecuencia
=103rad/seg.
50 Problemario de Circuitos Elctricos II
PROBLEMA7
Encuentre las admitancias propias y mutuas de nodos de la red mostrada que permitan calcular la
admitancia equivalente entre las terminalesayba la frecuencia =103rad/seg.
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PROBLEMA8
Calcule la admitancia equivalente entre las terminales ay ben el circuito mostrado a la frecuencia
=103rad/seg.
PROBLEMA9
Calcule la admitancia equivalente entre las terminalesayba la frecuencia =2 rad/seg.
Elvio Candelaria Cruz 51
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52 Problemario de Circuitos Elctricos II
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CAPTULO II
TEOREMAS DE REDES
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PROBLEMA1
Usando dos veces divisor de voltaje calcule V.
Solucin:
Para calcular el voltaje en la resistencia de 7.5aplicaremos la siguiente frmula:
( )
Volts
R
V
R
VV
ab
T
fv
R
4510
)5.7)(60( ==
=
La siguiente figura muestra el circuito original con la resistencia de 20 a laizquierda de ay b, teniendo entre estos puntos la tensin de 45V(fuente aparente).
Elvio Candelaria Cruz 55
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Al aplicar divisor de voltaje en la seccin de la derecha se tendr:
voltsV 3048)45(8=
+=
56 Problemario de Circuitos Elctricos II
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PROBLEMA2
En el siguiente circuito calcu de voltaje.
olucin:Podemos establecer por L. K. V. (ley de Kirchhoff para voltajes):
o bien usando el siguiente diagrama:
le Vabempleando divisor
S
)1(.....................0 ==+ 1331 VVVVVV abab
VVV
VVV
ab
ab
13
31
=
=+
Para calcular V3pasemos primeramente la rama que contiene a las resistencias de 35a la izquierda de la fuente de alimentacin, lo anterior con objeto de facilitar la
Elvio Candelaria Cruz 57
yvisualizacin del divisor de voltaje.
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11.11)20(10
18
3 ==V
Para calcular V1pasemos ahora la rama que contiene a las resistencias de 10y de
a la izquierda de la fuente:8
voltsV 5.78)20(3
1 ==
Sustituyendo en (1):
voltsVab 61.35.711.11 ==
Se sugiere al estudiante comprobar este resultado empleando la trayectoria queV2y V4.
Problemario de Circuitos Elctricos II
involucre a
58
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63/263
P 3
olucin: 1 3 ab mediante el siguienteiagrama, se tendr:
ROBLEMA
En el siguiente circuito encuentre Vabempleando divisor de voltaje.
S Representando las cadas de voltaje V , V y Vd
VVab 13 =
voltsiii
voltsii
i
ii
i
voltsii
i
ii
i
V
V
V
V
VVVV
ab
ab
ab
2.8577.177.1147.0101.1561.0669.0708.0
:endoSustituyen
669.0708.016
1012
61056
2)56(
101.1561.058
610
8335
2)35(
3
1
31
===
=+
=++
=
+=
+=
++
+=
=+
Elvio Candelaria Cruz 59
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PROBLEMA4
Empleando divisor de corriente calcule las corrientes en las ramas 2 y 3. Verifique laley de Kirchhoff para corrientes en el nodo A.
Solucin:La corriente de 5|0 Amp. proveniente de la fuente, se bifurca por las ramas 2y 3.
As:
.929.013.2
10602540
5)2540(
.929.086.215100
503005)1060(3 i
10602540
32
2
3
32
2
ampi
ii
i
ampii
i
ii
ZZ
IZI
ZZ
IZI
fc =
++
==
+=
=++
==
+
+
Aplicando la ley de Kirchhoff al nodo A:
321
321
fc ++
0
.5929.013.2929.086.21
ampii
III
III+=
=++=
I
=++
Problemario de Circuitos Elctricos II60
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65/263
PROBLEMA5
Usando reduccin serie-paralelo y divisor de corriente encuentreIX.
Solucin: Reduciendo resistencias en paralelo entre los puntos A, B y C, D:
En el circuito de la figura 3 podemos calcular la corriente totalIT.
mAk
IT 5.22155.337 ==
Regresando al circuito de la figura 2, tenemos que la corrienteITse distribuye por laresistencia de 20ky por la rama que nos interesa (10ken serie con 20k).
Elvio Candelaria Cruz 61
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En la misma figura 2, aplicando divisor de corriente para calcularI1:
mAkkk
xkI 9202010
)105.22)(20( 3
1 =
++=
En la figura 4 observamos que laI1se distribuye como se muestra:
Aplicando nuevamente divisor de corriente se obtieneIx.
mAk
xk6
)109)(60( 3==
Ix 90
62 ario de Circuitos Elctricos IIProblem
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+=++
== ii
iZZ Theq 88.873.25265
ii )3)(95(
3. Se dibuja el circuito equivalente de Th .venin y se conecta el resistor de 6
.109.70.618.888.73
155.197.68xI += ampi =
Elvio Candelaria Cruz 65
8/13/2019 126959068 Problemario de Circuitos Electricos II
70/263
PROBLEMA8
Aplicando el teorema de Thvenin, calcule la corriente en el resistor de 5k.
olucin:Separando el resistor de 5ky aplicando el mtodo de mallas para calcular eloltaje de Thvenin entre las terminales ay b, tendremos que:
54000
3
32
321
321
321
Ampx
D
JJ
JJJ
=+
+=++
De la ecuacin (4) tenemos:
J3= 100x10-3-J2
66 Problemario de Circuitos Elctricos II
S
v
VTH= (2.7K)(J2)
)4(...............................10100
)3(..................................560000 D
JJJ =++
)2(
)1(
.......................200
.................................20004700 JJJ =++
8/13/2019 126959068 Problemario de Circuitos Electricos II
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PROBLEMA9
Encuentre el circuito equivalente de Thvenin entre las terminales ay b.
Solucin:
i
i
i
i J )86.365()3 1=+JVV abTh
22
37
26
4(
12
22
11
1
=
+=
+=
==
z
z
Estableciendo las ecuaciones de mallas:
z
ii JJ 0)3(7)22( 2121
=++
volts
amp.
i
i
ii
ii
i
i
ii
J
JJ
Th26.351.76)36.86)(510.51(0.352
10.510.352
2436
614
3722
2226
370
222
2)22()2(6
1
==
=
+
+=
+
+
+
=
=++
68 Problemario de Circuitos Elctricos II
V
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73/263
La impedancia de Thvenin se calcula del circuito siguiente:
+= i3733z
=
=
=
++
=
+
+
+
++
++
==
=
=
+=
+=
+=
i
i
ii
ii
ii
cof
det
i
i
i
i
Z
eq
rm
eq
93.002.4
1.1313.47.332.43
6.205.178
2436
63167
3722
2226
37220
03436
22
0
34
26
36
11
,
23
13
12
22
11
z
z
z
z
z
z
z
El circuito equivalente de Thvenin es:
iii 222634
iii
Z
Elvio Candelaria Cruz 69
8/13/2019 126959068 Problemario de Circuitos Electricos II
74/263
PROBLEMA10
Utilizando el teorema de Thvenin encuentre la corriente que circula por el resistorde 8.
olucin: Habiendo separado el resistor de 8, se tendr la malla 2. Habremos de
calcular Vab= VTh.
Aplicando el mtodo de ma
S
llas para encontrarJ1yJ2:
.491.5 amp=173
950
1913
1318
190
1350
01913
501318
13
19
18
1
21
21
12
22
J
JJ
JJ
=
=
=+
=
=
=
=
z
z
z11
70 Problemario de Circuitos Elctricos II
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75/263
8/13/2019 126959068 Problemario de Circuitos Electricos II
76/263
E=RIR=E/I
JJI 21+= (corrientes diferentes de las anteriores)
Empleando el mtodo de mallas:
==+
==
=
=
18103
=
=+
=+
=++
=
=
=
=
=
66.3173
634
634
51
634
122
634
634
122
1014
18100
30
018103
10140
305
10
3
0
18
5
2
1
321
321
321
23
13
12
33
22
EE
E
I
ER
E
E
E
E
J
JJJ
JJJ
JJJ
z
z
z
z
72 Problemario de Circuitos Elctricos II
= 14
11
z
1014E
J
0
305
51E
z
8/13/2019 126959068 Problemario de Circuitos Electricos II
77/263
Al conectar al circuito equivalente de Thvenin el resistor de 8:
Ix= 2.31 = 198 mA11.66
lvio Candelaria Cruz 73E
8/13/2019 126959068 Problemario de Circuitos Electricos II
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PROBLEMA11
En la red mostrada en to equivalente de Norton entre las terminalesayb.
Solucin: Se cortocircuitan las term by se orientan elementos y mallas:
Z12 -4i
Aplicando el mtodo de mallas:
Sustituyendo impedancias de mallas:
cuentre el circui
inales ay
=
i
i
i
JJ
JJ
4
104
22
0
10
12
22
11
222121
212111
=
+=
+=
=+
=+
z
z
z
zz
zz
0)104()4(
10)4()22(
21
21
=++=++
JJJJii
ii
La corriente que circula por las terminal rtocircuitadas es la corriente de Norton,en este casoJ2.
74 Problemario de Circuitos Elctricos II
es co
8/13/2019 126959068 Problemario de Circuitos Electricos II
79/263
i 1022+
ampi
i8.141.4144
280 =
amp.
.
ii
i
I
J
N8.141.4144
44
422
042
=
+=
+
=
Calculemos ahora la impedancia vista entre las terminales a y b, para estonecesitamos pacificar la estructura activa original y conectar la fuenteE:
ii 1044 +
+=++
=+
+
+
==
=
+=
+=
ii
i
i
ii
ii
cof
det
i
i
i
rm
abZ 6822284
22
224
4104
4
22
104
11
,
12
22
11
z
z
z
z
Representando esta impedancia con elementos de circuito tendremos el circuitoequivalente de Norton como sigue:
lvio Candelaria Cruz 75
z
E
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80/263
O bien, en funcin de la admitancia:
iiZ
Y 06.008.011
=== ab
ab 68+
Obtenindose:
76 oblemario de Circuitos Elctricos IIPr
8/13/2019 126959068 Problemario de Circuitos Electricos II
81/263
8/13/2019 126959068 Problemario de Circuitos Electricos II
82/263
iii
iiYN 15.247.13362
)33)(62(=
+
=
El circuito equivalente de No
78 Problemario de Circuitos Elctricos II
rton entre ay bes:
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83/263
8/13/2019 126959068 Problemario de Circuitos Electricos II
84/263
== 55
1ZY NN
. Conectamos la carga al circuito equivalente de Norton y aplicamos divisor de
orriente con impedancias.
4
c
56.11623.256.2694.8
9020
435
)904(5=
=
++
=
iI
LZamp.
80 Problemario de Circuitos Elctricos II
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85/263
PROBLEMA14
Obtenga el circuito equivalente de Norton entre los puntosaybde la siguiente red.
olucin: Separamos la carga de 3+4iy cortocircuitamos las terminales ay b.
todo de mallas para encontrarIN:
+
=
=
+=
=
+=+=
JJ
JJJ
JJJ
J
Di
Dii
i
i
i
i
i
z
z
zz
lvio Candelaria Cruz 81
S
Aplicando el m
)4(.......................3
)3(.....................)45(00
)2(......................0)1020()1020(
)1(.......................20)1020()1030(
0
0
)1020(
45
1020
1030
23
321
321
321
23
13
12
33
22
11
=
=++
=++++
z
z
=++ JJi
E
8/13/2019 126959068 Problemario de Circuitos Electricos II
86/263
Sumando las ecuaciones (2) y (3):
:)1(e
)...(............................................................3)1()1(:)4(e
).......(....................0)45()1020()1020(
321
321
321
Cii
B
Aiii
J J J
)(........................................20)1020()1030(
D
0D
JJJ
JJJ
=+++
=+
=++++
Observamos en nuestro circuito que J3es la corriente de Norton. As:
ii
ii
iii
i
ii
IJ N 22.161.820.69011.694130390
2)10(201030
110
451020)10(20
0
01020)10(20
=+=+
=
++
++
++
==
31
ii320640
2)10(201030+
++
3
Calculando la impedancia de Norton:
+=+
+=
++
+= i
i
i
i
iZA 71030
100200
102010
)1020(10
8/13/2019 126959068 Problemario de Circuitos Electricos II
87/263
82 Problemario de Circuitos Elctricos II
El circuito equivalente de Norton queda:
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88/263
Elvio Candelaria Cruz 83
PROBLEMA15
Empleando reduccin serie-paralelo e intercambio de fuentes calcule Vab en el
circuito mostrado.
olucin: Del lado izquierdo:S
IRV
V 12)2)(6( ==
=
volts
Del lado derecho en el
circuito original, tendremos:
V 12)6)(2( == volts
8/13/2019 126959068 Problemario de Circuitos Electricos II
89/263
84 Problemario de Circuitos Elctricos II
Haciendo las sustituciones correspondientes:
voltsRI
amp.I
I
III
V
VVVVVV
ab
RRR
202)(10)(
203618
01261036212
03610221
===
==+
=+++++=+++++
8/13/2019 126959068 Problemario de Circuitos Electricos II
90/263
Elvio Candelar 85
Empleando IL que seindica en el circu
olucin:
ia Cruz
PROBLEMA16
el teorema del intercambio de fuentes encuentre la corrienteito mostrado.
S
amp.iIL
2.581.7569.4417.08
66.863066.8630
166 =
=
+=
8/13/2019 126959068 Problemario de Circuitos Electricos II
91/263
86 itos Elctricos II
Por intercambio sucesi le la corriente queircula por la resistencia de 8.5.
olucin:En las figuras siguientes se ilustra el intercambio de fuentes y resistenciasntre ay b:
Problemario de Circu
PROBLEMA17
vo de fuentes entre los puntos ayb, calcuc
Se
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Elvio Candelaria Cruz 87
amp.Iab 15656
8.565
656
==+
=
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88 Problemario de Circuitos Elctricos II
En el siguien empleando el teorema desuperposicin.
Solucin:
PROBLEMA18
te circuito encuentre la corriente Ix
1. Hacemos actuar la fuente de corriente y anulamos la fuente de voltajecortocircuitndola.
+=+++
= ii
iZA 7102010
)1020(10
Por divisor de corriente:
i
i
i
i
I 312321
312
)03)(7(1
+=
+=
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2. Hacemos actuar ahora la fuente de voltaje y anulamos la fuente de corrienteabrindola.
89
Aplicando el mtodo de mallas:
Elvio Candelaria Cruz
0)625()1020(
2)1020()1030(
)1020(
625
1030
21
21
12
22
11
=+++
=++
+=
+=
+=
JJ
JJii
ii
i
i
i
z
z
Se observa que laJ2=I2. As:
z
i
i
ii
ii
i
i
I 33924
625)1020(
)1020(1030
0)1020(
21030
2 +
+=
++
++
+
+
=
La corriente totalIser la suma de las respuestas parcialesI1eI2:x
i
i
i
iI
III
x
x
339
24
312
321
21
++
++
=
+=
Haciendo operaciones algebraicas podem I1e I2a sus formas cartesianassumarlas, obteniendo un resultado aceptable; sin embargo, a fin de llegar a unsultado ms exacto multiplicaremos el numerador y denominador de Ipor el factor
(3+i inador queI2:
os convertiryre 1
) y as obtener el mismo denom
amp.ii
i
i
i
i
i
i
i
ii
ii
I
I
x =+=
++=
+++
++=
++=
+++
=
22.161.820.69011.6941339
326433924
3393060
3393060
))(33(12
))(33(211
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Puede verificarse este resultado con el del problema No. 14 de este mismo captulo.
90 oblemario de Circuitos Elctricos II
Em
Solucin:
1. Hacemo la. Elcircuito queda:
Pr
PROBLEMA19
pleando el teorema de superposicin encuentreIx.
s actuar la fuente de voltaje y anulamos la fuente de corriente abrindo
amp.I 6
33
34
141
=+
=
2. Ahora hacemos actuar la fuente de corriente y anulamos la fuente de voltajecortocircuitndola. El circuito queda:
8/13/2019 126959068 Problemario de Circuitos Electricos II
96/263
Elvio Candelaria Cruz 91
Resolviendo por el m
)2...(..............................036
)1......(..............................23
321
321
321
D
D
todo de mallas:
J )3...(..............................63J J2JJJ
JJJ
=++
=++
=+
Restando la ecuacin (3) de (1):
36
).(..............................7
:Adems
).......(..........044
321
31
321
C
B
A
).....(..........0
:(2)dey
JJJ
JJ
JJ
=++
=+
=
321
321
=++
=++
J
Ordenando coeficientes de estas tres ecuaciones:
044321
= JJJ
036
70 JJJ
J J J
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97/263
92 Problemario de Circuitos Elctricos II
amp.
041
J 11414
361
101
441
701
3 =
=
=
Se observa en el circuito que a total esIx=I1+I2.
061
I2= -J3. As, la respuest
Ix= 6 + (-J3) = 6+(-1) =5 amp.
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6. Se extrae la grfica dual y se sustituyen los elementos bsicos correspondientes encada elemento general de dicha grfica.
4 Problemario de Circuitos Elctricos II
En la red original se tiene:= nmero total de elementos de la red dada = 5.
9
-c = nmero de nodos independientes de la red dada = 2.= nmero de mallas independientes de la red dada = 3.
Grfica de la red dual.
En la red dual se tiene que:= 5 elementos.
-c = 3 nodos independientes.= 2 mallas independientes.
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100/263
Al aplicar la correspondencia entre elementos dada por el principio de dualidadespecial se obtiene la red dual siguiente:
Elvio Candelaria Cruz 95Correspondencia entre ecuaciones:
Red dada Red dual
ILiVIRV
IiS
V
IiS
RV
EIRV
555
444
3
3
3
2
2
22
1111
==
=
+=
=
VCiIVGI
Vi
I
Vi
GI
IVGI fc
555
444
3
3
3
2
2
22
1111
==
=
+=
+=
odo I) malla 1) 0431 = VVV 0431 = IIIn
Inodo II) 05432 =++I I I malla 2)
l
05432
=++ VVVV
ma la 1) 0321
= VVV nodo 1) 0321 = III la 2) 0
43 =VV mal nodo 2) 043 =II malla 3) 0
52 =VV nodo 3) 052 =II
8/13/2019 126959068 Problemario de Circuitos Electricos II
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96 itos Elctricos IIProblemario de Circu
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102/263
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PROBLEMA1
Usando dos veces el divisor de voltaje encuentre Vab.
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PROBLEMA2
En la siguiente red calcule Vabempleando divisor de voltaje.
PROBLEMA3
Usando reduccin serie-paralelo y divisor de corriente encuentre la corriente Ix.
Elvio Candelaria Cruz 99
8/13/2019 126959068 Problemario de Circuitos Electricos II
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PROBLEMA4
Aplicando intercambio de fuentes y el teorema de Thvenin encuentre la corriente
en la carga de 50+20i.
PROBLEMA5
Empleando el teorema de Thvenin encuentre la corriente en la carga de 3.
PROBLEMA6
Encuentre el circuito equivalente de Norton entre las terminales ayb.
100 Problemario de Circuitos Elctricos II
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PROBLEMA7
Encuentre el circuito equivalente de Norton entre las terminales ayb.
PROBLEMA8
Empleando intercambio de fuentes encuentre la tensin entre los puntos ay b del
circuito mostrado.
PROBLEMA9
En el siguiente circuito encuentre Ixempleando el teorema de superposicin.
Elvio Candelaria Cruz 101
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PROBLEMA10
uito mostrado y verifique Obtenga la red dual del circ la correspondencia entre sus
Problemario de Circuitos Elctricos II
ecuaciones (emplee dualidad especial).
102
8/13/2019 126959068 Problemario de Circuitos Electricos II
108/263
CAPTULO III
VALORES MEDIOSY
POTENCIA
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PROBLEMA1
Dada la funcin i(t) =I0sen(t) representada en la grfica, encontrar:
a) El valor medioIm.b) El valor eficazIef.
Solucin:
a) El valor medio de la funcin i(t) = I0sen(t) con t como variable independiente yperiodo T=2es:
[ ] [ ]
01]1[2
cos(0))cos(22
)cos(2
)()sen(21
)(1
0
2
0
0
2
0
0
00
=+=
+====
t
tdt
dttiT
II
IIII
m
T
m
b) El valor eficaz o r.m.s. de la funcin dada es:
[ ]
202
2
2)sen(24
1
22
)()(sen2
)()sen(211
0
2
0
2
0
2
0
2
0
2
2
02
0
2
00
2
IIII
III
t
t
tdt
tdt
dtiT
ef
T
ef
=
=
==
==
Elvio Candelaria Cruz 105
8/13/2019 126959068 Problemario de Circuitos Electricos II
111/263
PROBLEMA2
Calcule la potencia activa, reactiva, aparente y el factor de potencia en la rama 2 del
circuito dado. Dibuje el tringulo de potencias de esta rama.
Solucin:
IZP2
=
La corriente en la rama 2 esJ2, luego:
JZP 22
=
Aplicando el mtodo de mallas:
0)1555()5030(
12)5030()4045(
5030
1555
4045
21
21
12
22
11
=++
=++
=
+=
+=
J
JJii
ii
i
i
i
z
z
z
106 Problemario de Circuitos Elctricos II
8/13/2019 126959068 Problemario de Circuitos Electricos II
112/263
resolviendo para J2:
amp.i
i
ii
ii
i
i
J =
=
+
=
++
++
+
+
= 61.10.2012.063447.24
59699.71
1253475
)512(30
1555)50(30
)50(304045
0)50(30
124045
2
l sustituir valores en:a
VAiiZP I =+=+== 19.5472.14.101.1)201.0)(3525( 22
e la expresin:
=P + iP obtenemos:
activa= 1.01Watts
= 1.4VARS
aparente= 1.72 VA
p.= cos(54.19) = 0.58+(adelantado)
ringulo de potencias en la rama 2:
DP a r
P
PreactivaP
f.
T
lvio Candelaria Cruz 107E
8/13/2019 126959068 Problemario de Circuitos Electricos II
113/263
8/13/2019 126959068 Problemario de Circuitos Electricos II
114/263
Clculo de la potencia en la rama 1:
)(0.8)33.7cos(
68.6
'38
57.3
33.768.63857.3)(1.38)20(301
30.321.3830.3246.09
63.72
1045
)17.18)(1.9030(15:corrientededivisorPor
17.181.90V
I ===17.1826.23
22
1
1
atrasadof.p.
VA
SVAR
watts
ii
amp.i
i
amp.Z
P
P
P
IZP
I
ap
r
a
==
=
=
=
====
==
=
Clculo de la potencia en la rama 2:
050
I= 1.90|17.18amp.
Por divisor de corriente:
)(0.44
73.4
'66
33
63.4373.466633)(1.48)30(152
63.391.4812.5246.09
50.8768.49
1045
17.181.90)20(30
2
i
I+
=
22
22
adelantadof.p.
VA
SVAR
watts
ii
amp.i
P
P
PIZP
ap
r
a
+=
=
=
=
=+=+==
=
=
Comprobacin de la conservacin de la potencia. La potencia total debe ser la suma
e las potencias de cada rama.
esultado coincidente con el obtenido al calcularPTinicialmente).
d
PT=P1 + P2P1P
= 57.3 38i
2 = 33 + 66i
PT= 90.3+28i (r
Clculo de la potencia en la fuente de alimentacin:
=== 18.1795)8.1790.1)(50(IVPf
lvio Candelaria Cruz 109E
8/13/2019 126959068 Problemario de Circuitos Electricos II
115/263
PROBLEMA4
a, reactiva y el factorEncuentre la potencia activ de potencia total del circuito
mostrado cuando la potencia reactiva en rama 2 es de 2000 VARS. Dibuje el
Solucin:
en la rama 2 es:
latringulo de potencias.
La potencia
iii IIP 2502)2050(2 =+= II 20002502202222
+=+
Igualando partes imaginarias:
Este resultado se pudo obtener tambin sabiendo que la potencia reactiva en la rama
amp.I 102
10020
022
=
=ii II200
20002022
==
2 es debida al capacitor, as:
( )( )
( )
( ) ii
i
i
i
i
ii
ii
amp.iiII 2022
===
ZV
ZV
PPP
IZV
VV
IZ
T
cc
383.511355.4538.510460
18(538.5)
502300
590
502300
)154020(50538.5
2050
(538.5)
1540
(538.5)
538.5102050
102200022
22
222
2
2
2
1
2
1
21
22
222
21
=
=
=
=
++=
+
+=+=+=
=+==
=
=
P
8/13/2019 126959068 Problemario de Circuitos Electricos II
116/263
110 Problemario de Circuitos Elctricos II
r
a
==
=
ringulo de potencias:
Obtenindose:
)(0.99)1.93cos(
'383.5
11355.4
atrasadof.p.
SVAR
watts
P
P =
T
8/13/2019 126959068 Problemario de Circuitos Electricos II
117/263
Elvio Candelaria Cruz 111
Obtenga el tringulo de poten otencia del circuito dado, si laotencia reactiva consumida es de 1000 VARS (capacitivos o adelantados)
olucin:
PROBLEMA5
cias total y el factor de pp
S
=
=
=
=
=
5(
7.2779.3
7.2779.32555.16
7.5280.62
715
5038
715
)410)(3Z
ZT
T i
i
i
ii
Como el ngulo de la impedancia conjugada es el mismo que el de la potencia
= IZP , podemos calcular por funciones trigonomtricas la potencia activa y la
ente.
2
potencia apar
wattsP
P
a
a
19010.5259
1000
1000)(27.7
==
tg
=
Potencia aparente = |P|:
8/13/2019 126959068 Problemario de Circuitos Electricos II
118/263
8/13/2019 126959068 Problemario de Circuitos Electricos II
119/263
Elvio Candelaria Cruz 113
La potencia reactiva consumi 1 = 5|45
PROBLEMA6
da por dos impedanciasZ yZ2 = 10|30 enserie es 1920 VARS en retraso otencia activaPay la potenciaaparente |P|, as como el factor de potencia. Obtenga el tringulo de potencias.
olucin:
(inductivos). Hallar la p
Potencia reactiva = 1920 VARS (inductivos)
S
IIIZIZP
PPPzz1
66.8 +=
iii
i
i
T
222
2
2
1T
21
2
)53.819.12()566.853.353.3(
5
53.353.3
=+=+=
+=
+=
igualando partes imaginarias:
Tringulo de potencias:
)(0.81)35cos(
3350
'1920
2744
:queAs
35335019202744
225.088.53
1920
atrasadof.p
V.A.
SVAR
watts
i
P
PP
P
I
T
r
a
T
==
=
=
=
==
==
19208.53
2
2
iiI
=
8/13/2019 126959068 Problemario de Circuitos Electricos II
120/263
114 ario de Circuitos Elctricos II
Encuentre la potencia compleja del circuito mostrado, as como el factor de potencia
Solucin:
Problem
PROBLEMA7
sabiendo que la potencia activa total consumida es de 1500 watts.
)1(..............................45
)63()2
i
13
32(
6332
222
2
2
1
2
21
i
ii
PPP
VVV
Z
V
Z
V
+
=
++
+
+=+=
la parte real de la suma de los dos ltimos trminos de la ecuacin (1) es la potencia realo activa total, entonces:
V=P
6802129
)585)(1500(
1500585
129
150045
32
15004513
2
13
3
2
2
22
==
2
=
V
V
VV
=
+
=+
V
8/13/2019 126959068 Problemario de Circuitos Electricos II
121/263
Elvio Candelaria Cruz 115
)(518.0)8.58cos(.. atrasadop
2895
'2477
1500
8.5828952477150090746.4537.156946.1046
90746.45345
)63)(6802(
7.156946.104613
)32)(6802(
:(1)detrminocadaen6802dosustituyen
21
2
1
2
VA
SVAR
Watts
iii
ii
ii
PPP
P
P
V
r
a
==
=
=
=
==+=+=
=
=
=
=
=
P
P
P
f
8/13/2019 126959068 Problemario de Circuitos Electricos II
122/263
116 Problemario de Circuitos Elctricos II
PROBLEMA8
En el circuito mostrado la potencia en el resistor de 10es de 1000 watts y en elircuito total es de 5000 VA con un factor de potencia de 0.90 adelantado. HallarZ.
olucin: Mtodo 1
c
S
1.572.1436.392.66
58.1940.35
21.8107.70
58.1940.3534.3021.271034.3031.271047.6446.42
1047.6446.42
47.6446.4221.8107.70
25.845000I =
=
25.845000
21.8107.70
)104(10
10
101000
25.84cos(0.90)
11
1
1
1
1
21
2
2
21
2
2
i
ii
IV
i
amp.
Z
ZIV
IV
Z
I
IIII
V
VVI
I
IVIVI
amp.
amp.
volts
==
=
===
=+=+==
+=
+=
=
=
+==
=
=
=
+=
V
ang
2ramalaenactivapotencia22 2IRPa ==
2
1002
2I =
8/13/2019 126959068 Problemario de Circuitos Electricos II
123/263
Elvio Candelaria Cruz 117Mtodo 2.
iZ
iZ
iZ
iZ
voltsi
amp.
ang
Z
Z
Z
Z
VP
VV
IZVV
II
I
IR
T
T
T
T
T
watts
410
)4(1025.84
410
)4(10
25.842.3225.845000
11600
1160025.845000
11600
21.8107.70)104(10
10
10010
1000
1000
10002ramalaenactivaPot.
25.84cos(0.90)
Asimismo
2
2
2
2
2
222
2
2
2
2
++
+=
++
+=
=
=
=
=
=
=+=
==
==
==
=
==
= 2.14 - 1.57i
2.32
haciendo operaciones algebraicas para despejar aZ, obtenemos:
Z
8/13/2019 126959068 Problemario de Circuitos Electricos II
124/263
118 Problemario de Circuitos Elctricos IIMtodo 3.
)1.........(..............................410
84.25)90.0cos(
222
i
ang
V
Z
V
Z
VP
T
T ++==
=
La parte real o potencia activa en la rama 2 vale 1000 watts
=
==
+= iZ
257935001600
+=
+=+
+=+
++=
==
=
+
i
iZ
i
Zi
iZ
i
VV
VRe
57.114.2
38.36668.238.365.4347
11600
40010001160021794500
8.21107711600
21794500
410
116001160084.255000
:(1)ecuacinlaenvaloresdoSustituyen
116001000116
10
1000410
2
2
2
1
iZ
25793500
11600
Z
8/13/2019 126959068 Problemario de Circuitos Electricos II
125/263
8/13/2019 126959068 Problemario de Circuitos Electricos II
126/263
JJ
JJ10204
8410
21
21
=+
=
amp.J
JVTh
0.7173184
132
204
410
104
810
11
2
2
==
=
=
20 Problemario de Circuitos Elctricos II1
V voltsTh 7.89.7173)=
La resistencia de Thvenin se calcula de:
RTh= 4.42
3. Se calcula la potencia mxima enRL.
11(0=
8/13/2019 126959068 Problemario de Circuitos Electricos II
127/263
El valor deRLdebe ser igual al deRThpara que se transfiera la mxima potencia.
watts
amp.I
IRLmax )4.42(0.8922
2
==
PROBLEMA10
Pot 3.51
0.8928.84
7.89
=
==
Elvio Candelaria Cruz 121
En el circuito mostrado encuentre el valor de la impedancia de cargaZLque d lugara la transferencia de potencia mxima y calcule dicha potencia.
V
Solucin:
1. Hallemos el circuito equivalente de Thvenin, obteniendo Thde:
8/13/2019 126959068 Problemario de Circuitos Electricos II
128/263
voltsiiiiIiI
amp.iI
i
iii
VTh =+==+=
=
+=+++=
10.952.759.98451.8)3.70(0.713214410
3.700.7132
2600500100
25)2(4108511z
Clculo de la impedancia de Thvenin:
122 Circuitos Elctricos II
I= 10011z
i6
iIIi =
+==+
701265100)26(5
Problemario de
iii
ii
ii
ii
iii
iiii
i
ZTh 73.24.17011914980265 5064265 26514
1410
14410
265)4(21085
10
12
22
11
+=+
=+
+=+
+=
=+=
+=+++=
=
z
z
z
El circuito equivalente de Thvenin es:
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129/263
2. La mxima transferencia de ZZ ThL= potencia tiene lugar cuando
La impedancia total del circuito es:
ZT=1.4+2.73i+ 1.4 - 2.73i = 2.8
Elvio Candelaria Cruz 123
3. Calculemos I1 , porque la bobina y elcondensador se anulan).(ntese que la carga se reduce a 1.4
watts
amp.V
otIRPot
max
Lmax
T
496
1.4(18.83)1
:esdatransferimximapotencialay
10.952.75
2
2
=
==
ZI 10.918.83
2.81 ===
8/13/2019 126959068 Problemario de Circuitos Electricos II
130/263
24 Problemario de Circuitos Elctricos II1
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131/263
PROBLEMAS
COMPLEMENTARIOS
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PROBLEMA1
El circuito serie mostrado consume 64 watts con un factor de potencia de 0.8 enretraso. Hallar la impedanciaZy el tringulo de potencias.
PROBLEMA2
Encuentre la potencia compleja y el factor de potencia en cada rama de la red dada.Compruebe la conservacin de la potencia compleja.
PROBLEMA3
Empleando divisor de corriente encuentre la potencia en cada rama del circuito dadoy compruebe que Pfc= P1+ P2.
Elvio Candelaria Cruz 127
8/13/2019 126959068 Problemario de Circuitos Electricos II
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PROBLEMA4
tricas obtenga la potenc Mediante funciones trigonom ia reactiva, aparente y el factor
PROBLEMA5
En la siguiente configuracin nte, activa, reactiva y el factorde potencia enZ . Obtenga el tringulo de potencias en dicha impedancia.
=20|0
de potencia del circuito dado, sabiendo que la potencia activa consumida es de 2000watts. Dibuje el tringulo de potencias.
calcule la potencia apare
5
E volts
2= 2+2i
i
28 Problemario de Circuitos Elctricos II
Z1 = 3
ZZ3= 2iZ4= 1 + iZ5= 4 +Z6= 1 + 2i
1
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PROBLEMA6
1La potencia reactiva consumida por dos impedancias Z = 8|-15 yZ = 20|-452 en serie es de 800 VARS adela activa, aparente y el factor de
potencia.
Calcule la potencia compleja en cada rama del circuito dado, cuando la potenciareactiva en la rama 3 es de 500 V
En el circuito mostrado determine el valor de RLal cual se le transfiera la mximapotencia y calcule dicha potencia
Elvio Candelaria Cruz 129
ntados. Hallar la potencia
PROBLEMA7
ARS.
PROBLEMA8
.
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PROBLEMA9
En el circuito dado determine el valor de RLque d lugar a la mxima transferenciade potencia. Calcule la potencia mxima suministrada a la carga.
P 10
ZLque d lugartencia mxima y calcule dicha potencia.
130 Problemario de Circuitos Elctricos II
ROBLEMA
En el circuito mostrado encuentre el valor de la impedancia de cargaa la transferencia de po
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PROBLEMAS
COMPLEMENTARIOS
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PROBLEMA1
Disee un circuito RLCserie resonante para la corriente con una tensin de entradade 5|0 volts que tenga las siguientes especificaciones:
a) Una corriente pico de 10 mA.b) Un ancho de banda de 120 Hz.c) Una frecuencia de resonancia de 3x103Hz.
EncuentreR, Ly Cy las frecuencias de corte.
PROBLEMA2
Un circuito RLCserie con R=20 y L=2 mHy operando a una frecuencia de 500Hz tiene un ngulo de fase de 45 en adelanto. Hallar la frecuencia de resonancia para lacorriente del circuito.
PROBLEMA3
La tensin aplicada a un circuito serie RLC con C=16 F es de)301000cos(2120)( = ttv volts y la corriente que circula es tti 1000sen23)( =
amp. Encuentre los valores de Ry de Lcul ser la frecuencia de resonancia 0para lacorriente?
Elvio Candelaria Cruz 177
8/13/2019 126959068 Problemario de Circuitos Electricos II
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PROBLEMA4
Se tiene un circuito RLC serie con una frecuencia de resonancia para la corriente
PROBLEMA5
En la red dada:
a) Calcule la Q0de la red.para la resonancia en V.
banda es de 5000 Hz.
PROBLEMA6
Calcule el valor de Cpara que el circuito mostrado entre en resonancia para Va una
78 Problemario de Circuitos Elctricos II
de f0= 300 Hz y un ancho de banda AB= 100 Hz. Encuentre la Q0del circuito y lasfrecuencias de corte f1y f2.
b) Encuentre el valor de XCc) Determine la frecuencia de resonancia f0si el ancho ded) Calcule el mximo valor de la tensin VC.e) Calcule las frecuencias de corte f y f .1 2
frecuencia angular 0= 25000 rad/seg.
1
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PROBLEMA7
a) Encuentre la frecuenciab) Calcule las reactanc) EncuentreZTd) Si E=200|0
En el circuito dado:
0que haga mnima la corrienteI.cias XLy XCa esta frecuencia.
a la frecuencia 0.volts encuentre I, I e I .
LEMA8
En el circuito RLCparalelo que se muestra:
a) Encuentre po para la corriente en eler problema
nm. 7 resuelto).) Verifique los resultados anteriores haciendo el desarrollo completo del mtodo.
P 9
Deduzca la expresin para calcular la frecuencia de resonancia para Ven el circuitoparalelo de dos ramas mostrado.
Elvio Candelaria Cruz 179
L C
PROB
r dualidad la frecuencia de resonancia 0capacitor y la expresin para el mdulo mximo de dicha corriente (v
b
ROBLEMA
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PROBLEMA10
En el circuito paralelo de do ncuentre el valor de Ly de Cpara que la red entre en resonancia para Va cualquier frecuencia. Exprese la condicin
que relacione a R , R , Ly C.
80 Problemario de Circuitos Elctricos II
s ramas que se muestra, e
L C
1
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CAPTULO V
REDES CONMULTIFRECUENCIAS
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PROBLEMA1
En el circuito dado ifc(t) = 5 + 10sen1000t + 15sen(2000t + 30) amp. Calcule elvoltaje instantneo en la bobina y en el resistor en serie con la fuente.
Solucin:
Se observa que la fuente posee trmino constante y trminos senoidales, por lo quehabr que resolver la red auxiliar de C.D. y la red auxiliar de C.A. Calcularemos
primeramente el voltaje en la bobina en cada red auxiliar.
Red auxiliar de C.D.En corriente directa la bobina se comporta como corto circuito.
=== 0)0( LiLiZL
Por tanto v0= 0volts
Red auxiliar de C.A.La red auxiliar de C.A. es el circuito original con corrientes y voltajes complejos.
Elvio Candelaria Cruz 183
8/13/2019 126959068 Problemario de Circuitos Electricos II
146/263
En el anlisis de problemas con fuentes senoidales de diferentes frecuencias se
aplica el teorema de superposicin, es decir, haremos actuar por separado cada trminode la fuente para obtener una respuesta parcial y la suma de estas respuestas parciales
ser la respuesta total.
El voltaje en la bobina est dado por:
=
Consideremos primeramente el trmino
VL ZeqI
volts
xix
xix
amp.seg
rad
tt
V
IZV
Z
I
i
eq
eq
fc
=
==
=
=
+=
==
=
88.4879.9
)0)(1088.48(7.99
88.487.991.52300.1
902400
)10)(810(300
)10)(810(300)(
010,1000para
01010sen1000)(
'
'''
'
'
'
33
33
Este complejo corresponde a la senoide
Ahora consideremos el segundo trmino senoidal de la fuente.
voltsttv )48.881000sen(9.79)(' +=
volts
i
ix
xxi
xxi
amp.seg
rad
t
IZV
Z
I
ti
eq
eq
===
=
=
+=
+=
==
+=
116.95239.55)30)(1586.95(15.97
86.9515.973.05300.42
904800
16300
16300
)10)(810(2300
)10)(810)(2(300)(
3015,2000para
3015)3015sen(2000
''''''
''
''
)(''
33
33
uya senoide correspondiente es:
Problemario de Circuitos Elctricos II
C
voltsttv )95.1162000sen(55.239)('' +=
184
8/13/2019 126959068 Problemario de Circuitos Electricos II
147/263
Por lo que el voltaje instantneo en la bobina es:
voltstttv
vtvvtv
L
L
)95.1162000sen(55.239)48.881000sen(9.79)(
)('')(')( 0
+++=
++=
El voltaje instantneo en el resistor de 500
es:
( ) voltstt
voltsfc
tv
titv
R
R
+++=
=
302000sen75001000sen50002500
500
)(
)()(
Elvio Candelaria Cruz 185
8/13/2019 126959068 Problemario de Circuitos Electricos II
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PROBLEMA2
Calcule el voltaje instantneo en el capacitor del circuito mostrado, cuando la fuente6
r de C.D.
esE(t) = 10 + 5sen(10t+60) volts.
Solucin:
Red auxilia ino constante de E(t). En corriente directa el capacitor seConsideremos el trmcomporta como circuito abierto.
===CiCi
Zc )0(11
Por divisor de voltaje:
)(66.6
66.6150
10
10050
)10(100100v ==+
=3
00 vvv cvolts
volts
==
Red auxiliar de C.A.
186 Problemario de Circuitos Elctricos II
8/13/2019 126959068 Problemario de Circuitos Electricos II
149/263
Consideremos ahora el trmino senoidal deE(t).
50.254.980.24987.144.994
2.86100.125
90500
5100
)5100(
C.A.)deauxiliarredlaen(indicada
comodesignamoslacapacitorely100deresistordelparaleloenimpedancialaA
5
10
1051051
605',10para
605)605sen(10)(' 6tt +=
.
6
66
6
ii
i
i
i
ix
ix
i
E
seg
rad
Z
Z
Z
Z
Z
eq
eq
eq
C
C
==
=
=
=
===
==
C
Aplicando divisor de voltaje para hallar el voltaje en el capacitor, tendremos:
E
( )
volts
iiZ
V C
eqC
=
=
=
+=
+=
46.21495.0
68.55.50525.50525.05050
'
'
El voltaje instantneo en el capacitor es la suma de las respuestas parciales de losrminos de la fuenteE(t).
C
CC
+=
+=
46.2110sen495.066.6 6
0
)(
)(')(
Elvio Candelaria Cruz 187
EZeq 14.272514.272560514.87994.4'V
t
( ) voltsttv
tvvtv
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150/263
8/13/2019 126959068 Problemario de Circuitos Electricos II
151/263
En nuestro caso elegiremos2
T= .
0t
2
T
Pudimos tomar 0=0, pero esto implicara integrar dos intervalos de la funcin (de
8/13/2019 126959068 Problemario de Circuitos Electricos II
152/263
Clculo de bn.
=2 (
Tn tf
Tb ==
2 22
2
sensensen)TT
tdtntT
tdtntTT
tdtn 22 4222 T TT VV
Integrando por partes:
vduuvudv =
tnn
vtdtndv
dtdutu
cos1
sen ==
==
( )[ ]
( )[ ]
...3,2,1cos2
0sensen1
2
2sen2
2sen
1sen
1
cos2
coscos2
2cos
2
2cos
4
4
2cos
42cos
4
4
cos1
cos4
22
22
2
2
22
2
2
22
2
2
2
2
2
2
==+=
==
==
=
=
=
=
+=
nnn
V
nnn
T
TnT
Tnntnn
nn
V
nnn
VT
Tn
T
Tn
n
T
T
V
Tn
n
TTn
n
T
T
V
ttdnn
tnn
t
T
V
b
b
n
T
T
T
T
T
Tn
BA
B
B
A
A
A
BA44 344 2144 344 21
La funcin cos nes positiva para npar y negativa para nimpar, con lo que el signola serie trigonomtrica de Fourier es:de los coeficientes se alterna. As,
( )( )
=
+
=
=
=
++= ...4sen
4
13sen
3
12sen
2
1sen
2)( tttt
Vtf
1
1
1
sen2
)1()(
sencos2
)(
:compactaformaEn
n
n
n
tnn
Vtf
tnnn
Vtf
190 Problemario de Circuitos Elctricos II
8/13/2019 126959068 Problemario de Circuitos Electricos II
153/263
PROBLEMA4
rectangular que se muestra.
Solucin:
De la form
n es par, por lo tanto la serie slo contendr trminos cosenos (todas las
Obtenga la serie trigonomtrica de Fourier para la corriente i(t) dada por el pulso
a de onda dada se puede observar lo siguiente:
1. La funci
constantes bnsern cero) ms una constante2
0a .
2. La funcin es susceptible de tener simetra de media onda, por lo que la serie
contendr solamente trminos impares cosenos m2
0as la constante .
L
3. El valor medio de i(t) es 3:
a serie trigonomtrica de Fourier def(t) est dada por:
( )
=
++=
++++++= 0 coscos)( ttf aaa
1
0
2121
sencos2
)(
...2sensen...22
nnn
tntntf
ttt
baa
bb
Clculo de
:compactaformaEn
20a .
tes integracin de la funcinf(t) en un ciclo pueden tomarse en diversos
ejemplo si tomamos t0=0 debemos realizar tres integrales, en los
guientes intervalos:
Los lmi de
intervalos, por
si
8/13/2019 126959068 Problemario de Circuitos Electricos II
154/263
Elvio Candelaria Cruz 191
8/13/2019 126959068 Problemario de Circuitos Electricos II
155/263
192 Problemario de Circuitos Elctricos II
De la expresin calculada para2
sen12
n
nan= se ve que para n=2,4,6, y0=an
para n impar los signos se alternan, por lo que la serie slo contiene cosenos impares
ms una constante2
0 . As, la serie trigo de Fourier e
anomtrica s:
=
+=
+++= ...2
cos72
cos52
cos32
cos3)(ti
1n 2cos
2sen
123
:compactaforman
71513112
tnnn
i(t)
tttt
E
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156/263
Elvio Candelaria Cruz 193
PROBLEMA5
Exprese mediante su serie tri la seal senoidal rectificada demedia onda que se muestra en la
Solucin:
Se observa que la funcin no presenta ningn tipo de simetra, por lo que no es par ni
impar y la serie contendr trminos senos y cosenos.
La serie de Fouri
gonomtrica de Fourierfigura.
er tiene la forma:
( )
=
++= sencos)(nn
tntntv ba
Clculo de a0.
Ntese que en este problema la variable es t.
12 n
0a
[ ] [ ]
[ ]
t
tv
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194 Problemario de Circuitos Elctricos II
aClculo de n
)(cossen)(0)(cossen22
2queobservaSe
20
0sen V
)(
0
2
0
0
tntV
tdtntV
T
t
tttf
na tdtd =+=
=
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159/263
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* Puede verse que la integral buscada vale cero para toda n1, sin embargo se hace un desarrollo similar al que se uspara el clculo de ancon el fin de clarificar el resultado.
Elvio Candelaria Cruz 197obtenemos
+=
+
+++=
++
+
+
+=
...6cos35
24cos
15
22cos
3
2sen
21)(
sen2
...35
6cos
15
4cos
3
2cos2)(
sen2
...6cos)361(
24cos
)161(
22cos
)41(
2)(
ttttV
tv
tVtttVV
tv
tV
tV
tV
tVV
tv
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198 Problemario de Circuitos Elctricos II
PROBLEMA6
Se aplica la seal de la grfica al circuito mostrado. Encuentre la corriente
stantnea i(t). Considere =103rad/seg.
olucin:
La seal en diente de sierra de la figura ha sido analizada en el problema nm. 3,abindose obtenido la serie de Fourier siguiente:
in
S
h
++= ...4sen4
13sen
3
12sen
2
1sen
2
)( ttttV
tv
ustituyendo valores y con una aproximacin de los tres primeros armnicos de la serie,ndremos
Ste
+= t.t.t.t 3000sen4882000sen73121000sen4625)(
Analizaremos ahora la red dada como una red con multifrecuencias.
Red auxiliar de C.A.
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amp.tx
amp.x
ixi
segrad
t
amp.tx
amp.xx
ixi
segrad
t
amp.tx
amp.x
ii
segrad
ti
ZEI
Z
EtE
ti
ZEI
Z
EtE
ti
ZEI
Z
T
T
T
T
T
T
)85.23sen(30001014.08
85.231014.0885.23602
08.48
85.2360260050)(0.2)10(350
esredladeimpedanciala3000Para
08.4808.48sen300
armnicoTercer
)97.13sen(20001031.57
97.131031.57262.871031.5782.87403.11
18012.73
82.87403.1140050)(0.2)10(250
2000Para
volts18012.730012.73sen20
armnicoSegundo
)75.96sen(100010123.5
esientecorrespondsenoidalfuncinlaqueloPor
75.9610123.575.96206.15
025.46
75.96206.1520050)(.2)(1050
esredladeimpedanciala1000Para
3
3
3
3
33
3
3
3
3
)('''
'''''''''
'''
''')('''
)(''
''''''
''
'')(''
)('
'''
'
=
=
=
=+=+=
=
==
+=
==
=
=+=+=
=
==
=
=
=
=+=+=
=
=
=
=
200 Problemario de Circuitos Elctricos II
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La suma de las corrientes parciales halladas es la corriente instantnea del circuito.
amp.tx
txtxti
titititi
)85.23sen(30001014.08
)97.13sen(20001031.57)75.96sen(100010123.5
3
33)(
)(''')('')(')(
+
++=
++=
Elvio Candelaria Cruz 201
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PROBLEMA7
Encuentre la corriente instantnea que circula por la bobina de la red mostradacuando E(t) e