Upload
vhsanson
View
219
Download
1
Embed Size (px)
DESCRIPTION
Ensina como Criar circuitos magneticos com acoplamento
Citation preview
Circuitos Elétricos Circuitos Magneticamente Acoplados
Alessandro L. Koerich
Engenharia de Computação
Pontifícia Universidade Católica do Paraná (PUCPR)
Introdução
• Os circuitos que estudamos até o momento são considerados
condutivamente acoplados.
– Um laço afeta o laço vizinho através da condução de corrente.
• Quando dois laços com ou sem contato se afetam através do
campo magnético gerado por um deles, são chamados de
magneticamente acoplados.
• Exemplo: Transformador bobinas magneticamente
acopladas para transferir energia de um circuito para outro.
Indutância Mútua
• Quando dois indutores (ou bobinas) estão próximos, o fluxo
magnético causado pela corrente em uma bobina induz tensão na
outra bobina.
• Este fenômeno é chamado de indutância mútua.
• Para um indutor simples de N
espiras, quando uma corrente i
flui através dele, um fluxo
magnético é produzido ao redor
dele.
• De acordo com a lei de Faraday, a tensão induzida no indutor é:
𝑣 = 𝑁𝑑𝜙
𝑑𝑡
Indutância Mútua
• Mas o fluxo é produzido pela corrente i, portanto qualquer mudança em é causada por uma variação na corrente:
𝑣 = 𝑁𝑑𝜙
𝑑𝑖
𝑑𝑖
𝑑𝑡
ou
𝑣 = 𝐿𝑑𝑖
𝑑𝑡
• A indutância L do indutor é dada por:
𝐿 = 𝑁𝑑𝜙
𝑑𝑖
• Esta indutância é chamada de auto-indutância, pois relaciona a tensão induzida em uma bobina por uma corrente variante no tempo na mesma bobina.
Indutância Mútua
• Considerando agora duas bobinas com auto-indutâncias L1 e L2 que estão próximas. A bobina 1 tem N1 voltas e a bobina 2 tem N2 voltas. Assumimos que a bobina 2 não transporta corrente.
• O fluxo magnético 1 originário na bobina 1 tem dois componentes: o componente 11 percorre somente a bobina 1 e o componente 12 percorre ambas as bobinas. Portanto:
𝜙1 = 𝜙11 + 𝜙12
Indutância Mútua
• Apesar das duas bobinas estarem fisicamente separadas,
elas estão magneticamente acopladas. Como o fluxo total 1
percorre a bobina 1, a tensão induzida na bobina 1:
𝑣1 = 𝑁1𝑑𝜙1
𝑑𝑡
• Somente o fluxo 12 percorre a bobina 2, logo a tensão
induzida na bobina 2:
𝑣2 = 𝑁2
𝑑𝜙12
𝑑𝑡
Indutância Mútua
• Novamente, como os fluxos são causados pela corrente i1 fluindo na bobina 1:
𝑣1 = 𝑁1𝑑𝜙1
𝑑𝑖1
𝑑𝑖1𝑑𝑡
= 𝐿1𝑑𝑖1𝑑𝑡
• onde 𝐿1 = 𝑁1𝑑𝜙1/𝑑𝑖1 é a auto-indutância da bobina 1. Da mesma maneira:
𝑣2 = 𝑁2
𝑑𝜙12
𝑑𝑖1
𝑑𝑖1𝑑𝑡
= 𝑀21
𝑑𝑖1𝑑𝑡
onde:
𝑀21 = 𝑁2
𝑑𝜙12
𝑑𝑖1
• M21 é a indutância mútua da bobina 2 com respeito a bobina 1. O índice 21 indica que a indutância relaciona a tensão induzida na bobina 2 à corrente na bobina 1. Assim, a tensão mútua em circuito aberto (ou tensão induzida) sobre a bobina 2 é:
𝑣2 = 𝑀21
𝑑𝑖1𝑑𝑡
Indutância Mútua
• Supondo agora que a corrente i2 flui na bobina 2, enquanto a bobina 1 não transporta corrente.
𝜙2 = 𝜙21 + 𝜙22
• Como o fluxo total 2 percorre a bobina 2, a tensão induzida na bobina 2:
𝑣2 = 𝑁2
𝑑𝜙2
𝑑𝑡= 𝑁2
𝑑𝜙2
𝑑𝑖2
𝑑𝑖2𝑑𝑡
= 𝐿2𝑑𝑖2𝑑𝑡
• onde 𝐿2 = 𝑁2𝑑𝜙2/𝑑𝑖2 é a auto-indutância da bobina 2.
Indutância Mútua
• Da mesma maneira:
𝑣1 = 𝑁1𝑑𝜙21
𝑑𝑡= 𝑁1
𝑑𝜙21
𝑑𝑖2
𝑑𝑖2𝑑𝑡
= 𝑀12
𝑑𝑖2𝑑𝑡
onde:
𝑀12 = 𝑁1𝑑𝜙21
𝑑𝑖2
• M12 é a indutância mútua da bobina 1 com respeito a bobina 2. O índice 12 indica que a indutância relaciona a tensão induzida na bobina 1 à corrente na bobina 2. Assim, a tensão mútua em circuito aberto (ou tensão induzida) sobre a bobina 1 é:
𝑣1 = 𝑀12
𝑑𝑖2𝑑𝑡
Indutância Mútua
• Veremos que:
𝑀12 = 𝑀21 = 𝑀
• M é a indutância mútua entre duas bobinas. É medida em
henrys (H).
• Note que o acoplamento mútuo existe somente se as bobinas
estiverem próximas e os circuitos forem alimentados por
fontes variantes no tempo.
Indutância Mútua é a capacidade de um indutor induzir uma
tensão sobre um indutor vizinho, medida em henrys (H).
Indutância Mútua
• Convenção do ponto para a análise de circuitos:
– A polaridade da indutância mútua depende dos aspectos construtivos.
– A convenção de pontos eliminada a necessidade de descrever os
aspectos construtivos em circuitos
• Um ponto é colocado no circuito em um dos terminais de cada
um dos indutores acoplados magneticamente.
• Indica a direção do fluxo magnético se a corrente entra pelo
terminal marcado com o ponto.
Indutância Mútua
• A convenção dos pontos diz o seguinte:
Se uma corrente entra pelo terminal com o ponto de uma bobina, a polaridade de referência da tensão mútua na segunda bobina
é positiva no terminal com o ponto da segunda bobina.
• ou
Se uma corrente sai pelo terminal com o ponto de uma bobina, a polaridade de referencia da tensão mútua na segunda bobina é
negativa no terminal com o ponto da segunda bobina.
• Assim, a polaridade de referencia de um tensão mútua depende da direção de referencia da corrente induzida e os pontos nas bobinas acopladas.
Indutância Mútua
• A aplicação da convenção de
pontos pode ser ilustrada pelas
figuras ao lado:
Indutância Mútua
• A convenção de pontos, para indutores conectados em série,
pontos se somando, a indutância total será:
𝐿 = 𝐿1 + 𝐿2 + 2𝑀
• Para indutores conectados em série, com pontos opostos, a
indutância total será:
𝐿 = 𝐿1 + 𝐿2 − 2𝑀
Análise de Circuitos Envolvendo
Indutâncias Mútuas
• Aplicando a LTK na malha1:
𝑣1 = 𝑖1𝑅1 + 𝐿1𝑑𝑖1𝑑𝑡
+ 𝑀𝑑𝑖2𝑑𝑡
• Aplicando a LTK na malha 2:
𝑣2 = 𝑖2𝑅2 + 𝐿2𝑑𝑖2𝑑𝑡
+ 𝑀𝑑𝑖1𝑑𝑡
• Passando para o domínio da frequência:
𝐕1 = 𝑅1 + 𝑗𝜔𝐿1 𝐈1 + 𝑗𝜔𝑀𝐈2
𝐕2 = 𝑗𝜔𝑀𝐈1 + 𝑅2 + 𝑗𝜔𝐿2 𝐈2
Análise de Circuitos Envolvendo
Indutâncias Mútuas
• Aplicando a LTK na malha 1:
𝐕 = 𝐙1 + 𝑗𝜔𝐿1 𝐈1 + 𝑗𝜔𝑀𝐈2
• Aplicando a LTK na malha 2:
0 = −𝑗𝜔𝑀𝐈1 + 𝐙𝐿 + 𝑗𝜔𝐿2 𝐈2
• As equações acima podem ser resolvidas da maneira usual para encontrar as correntes.
• Note que assumiremos sempre que a indutância mútua e a posição dos pontos são fornecidas.
Energia em Circuitos Acoplados
• A energia armazenada em um indutor:
𝑤 =1
2𝐿𝑖2
• A energia armazenada em dois indutores
acoplados magneticamente, assumindo
que a corrente entra nos terminais com
ponto em ambos indutores:
𝑤 =1
2𝐿1𝑖1
2 +1
2𝐿2𝑖2
2 +𝑀𝑖1𝑖2
• Se uma corrente entra pelo terminal com o ponto em um indutor e
sai pelo terminal com ponto no outro indutor:
𝑤 =1
2𝐿1𝐼1
2 +1
2𝐿2𝐼2
2 −𝑀𝑖1𝑖2
Energia em Circuitos Acoplados
• O limite superior para a indutância mútua M:
𝑀 ≤ 𝐿1𝐿2
• Ou seja, a média geométrica das auto-indutâncias dos indutores.
• O coeficiente de acoplamento, mostra o quanto a indutância mútua se aproxima de seu limite superior:
𝑘 =𝑀
𝐿1𝐿2
• onde 0 ≤ 𝑘 ≤ 1. O coeficiente de acoplamento é a fração do fluxo total emanando de um indutor que conecta ao outro indutor:
𝑘 =𝜙12
𝜙1=
𝜙12
𝜙11 + 𝜙12 𝑘 =
𝜙21
𝜙2=
𝜙21
𝜙21 + 𝜙22
Energia em Circuitos Acoplados
• Se todo o fluxo produzido por um indutor atinge outro, então k
= 1 e temos uma acoplamento 100% ou perfeitamente
acoplados.
• Para k < 0,5 temos indutores fracamente acoplados.
• Para k > 0,5 temos indutores fortemente acoplados.
• O coeficiente de acoplamento é
uma medida do acoplamento
magnético entre dois indutores;
0 ≤ 𝑘 ≤ 1.
Transformador Linear
• É um dispositivo magnético que utiliza o fenômeno da
indutância mutua.
• Um transformador é geralmente um dispositivo de quatro
terminais compreendendo dois ou mais bobinas acopladas
magneticamente.
• A bobina conectada diretamente a uma fonte de tensão é
chamado de enrolamento primário.
• A bobina conectada a carga é chamada de enrolamento
secundário.
• As resistências representam as perdas nas bobinas.
Transformador Linear
• Um transformador é considerado linear se as bobinas são
enroladas em um material magnético linear (permeabilidade
magnética constante), como baquelite, ar, plástico e madeira.
• Para obtermos a impedância de entrada, aplicamos a LTK
nas duas malhas, e temos:
𝐙in =𝐕
𝐈1= 𝑅1 + 𝑗𝜔𝐿1 +
𝜔2𝑀2
𝑅2 + 𝑗𝜔𝐿2 + 𝐙𝐿
– O primeiro termo (𝑅1 + 𝑗𝜔𝐿1) é a impedância primária.
– O segundo termo é devido ao acoplamento entre os enrolamentos
primário e secundário e é chamada de impedância refletida ao primário:
𝐙𝑅 =𝜔2𝑀2
𝑅2 + 𝑗𝜔𝐿2 + 𝐙𝐿
Transformador Linear
• Para simplificar a análise é possível substituir o acoplamento
magnético por um circuito equivalente T (ou Y) ou (ou )
que não contém a indutância mútua:
• Circuito equivalente T:
𝐿𝑎 = 𝐿1 −𝑀, 𝐿𝑏 = 𝐿2 −𝑀, 𝐿𝑐 = 𝑀
• Circuito equivalente :
𝐿𝐴 =𝐿1𝐿2 −𝑀2
𝐿2 −𝑀, 𝐿𝐵 =
𝐿1𝐿2 −𝑀2
𝐿1 −𝑀, 𝐿𝐶 =
𝐿1𝐿2 −𝑀2
𝑀
Transformador Ideal
• Um transformador ideal é aquele com acoplamento perfeito (k
= 1).
• Consiste em duas bobinas com um número grande de voltas
em um núcleo comum de alta permeabilidade. Devido a esta
alta permeabilidade do núcleo, o fluxo liga todas as voltas de
ambas as bobinas, resultando portanto em um acoplamento
perfeito.
• Um transformador é dito ser ideal se:
– As bobinas tiveram reatâncias bastante elevadas (L1, L2, M );
– O coeficiente de acoplamneto é unitário (k=1);
– Os enrolamentos primário e secundário não possuem perdas (R1 = R2=
0).
Transformador Ideal
• Transformadores com núcleo de ferro são uma aproximação
de transformadores ideais.
• De acordo com a Lei de Faraday,
as tensões sobre os enrolamentos
primário e secundário são
respectivamente:
𝑣1 = 𝑁1𝑑𝜙
𝑑𝑡 𝑣2 = 𝑁2
𝑑𝜙
𝑑𝑡
Transformador Ideal
• Dividindo as equações anteriores temos:
𝑣2𝑣1
=𝑁2
𝑁1= 𝑛
onde n é a razão de voltas ou razão de transformação.
• Usando fasores, temos:
𝐕2𝐕1
=𝑁2
𝑁1= 𝑛
Transformador Ideal
• Pelo princípio da conservação da energia, temos:
𝑣1𝑖1 = 𝑣2𝑖2
• Na forma fasor, temos: 𝐈1𝐈2
=𝐕2𝐕1
= 𝑛
• Mostrando que as correntes primária e secundária estão
relacionadas à razão de voltas de maneira inversa que as
tensões, então: 𝐈2𝐈1=𝑁1𝑁2
=1
𝑛
Transformador Ideal
𝐈2𝐈1=𝑁1𝑁2
=1
𝑛
• Quando n=1, chamamos o transformador de transformador de
isolamento.
• Se n>1 temos um transformador elevador, pois a tensão
aumenta do primário para o secundário (V2>V1).
• Se n<1 temos um transformador abaixador, pois a tensão
decresce do primário para o secundário (V2<V1).
Transformador Ideal
• Quanto a polaridade das tensões e direção das correntes,
temos:
1. Se V1 e V2 são ambas positivas
ou ambas negativas nos
terminais com ponto, use +n.
Caso contrário use –n.
2. Se tanto I1 quanto I2 entram
ou ambas saem dos terminais
com ponto, use –n.
Caso contrário use +n.
Transformador Ideal
• A potência complexa no enrolamento primário é:
𝐒1 = 𝐕1𝐈1∗ =
𝐕2𝑛(𝑛𝐈2)
∗= 𝐕2𝐈2∗ = 𝐒2
• Não há perda de potência. O transformador ideal não absorve
potência.
• A impedância de entrada vista pela fonte:
𝑍𝑖𝑛 =𝐕1𝐈1
=1
𝑛2𝐕2𝐈2
• Mas como 𝐕2 𝐈2 = 𝐙𝐿, então:
𝑍𝑖𝑛 =𝐙𝐿𝑛2
Transformador Ideal
• Uma prática comum na análise de circuitos é eliminar o
transformador, refletindo as impedâncias e fontes de um lado
do transformador para o outro.
• Refletindo o lado secundário para o primário:
– Obtemos o equivalente de Thevenin do circuito a direita dos terminais a-
b.
– Obtemos VTh como a tensão de circuito aberto nos terminais a-b.
– Obtemos ZTh removendo a fonte tensão no enrolamento secundário e
inserindo uma fonte unitária nos terminais a-b.
– Tendo VTh e ZTh adicionamos o equivalente de Thevenin à esquerda de
a-b.
Transformador Ideal
• Refletindo o lado secundário para o primário:
𝐕Th =𝐕𝑠2𝑛 𝐙Th =
𝐙2𝑛2
Transformador Ideal
• A regra geral para eliminar o transformador e refletir o circuito
secundário para o lado do primário é: dividir a impedância
secundária por n2, dividir a tensão secundária por n e
multiplicar a corrente secundária por n.
• Para refletir o lado primário do circuito para o lado secundário:
– A regra para eliminar o transformador e refletir o circuito primário para o
lado secundário é: multiplicar a impedância primária por n2, multiplicar a
tensão primária por n e dividir a corrente primária por n.