Matematika

Matematika

Kocsis Imre

TERC Kft. • Budapest, 2013

© Kocsis Imre, 2013

Kézirat lezárva: 2012.

ISBN 978-963-9968-69-1

Kiadja a TERC Kereskedelmi és Szolgáltató Kft. Szakkönyvkiadó Üzletága, az 1795-ben

alapított Magyar Könyvkiadók és Könyvterjesztők Egyesülésének a tagja

A kiadásért felel: a kft. igazgatója Felelős szerkesztő: Lévai-Kanyó Judit

Műszaki szerkesztő: TERC Kft. Terjedelem: 6 szerzői ív

4

TARTALOMJEGYZÉK

ELŐSZÓ ......................................................................................................................................................... 9 

1.  LOGIKAI FÜGGVÉNYEK ......................................................................................................................... 10 

1.1  A LOGIKAI FÜGGVÉNYEK SZEREPE ................................................................................................................... 10 

1.2  A LOGIKAI FÜGGVÉNYEK MEGADÁSA ............................................................................................................... 10 

1.3  NORMÁLFORMÁK ....................................................................................................................................... 12 

1.4  A LOGIKAI FÜGGVÉNYEK EGYSZERŰSÍTÉSE ........................................................................................................ 13 

2. KOMPLEX SZÁMOK .................................................................................................................................. 18 

2.1 A KOMPLEX SZÁMOK KÜLÖNFÉLE ALAKJAI, ELNEVEZÉSEK ........................................................................................... 18 

2.2 ALAPMŰVELETEK, HATVÁNYOZÁS, GYÖKVONÁS ...................................................................................................... 19 

2.3 SZÁMOLÁS VÁLTAKOZÓÁRAMÚ HÁLÓZATOKBAN ..................................................................................................... 20 

3. DIFFERENCIÁLÁS ...................................................................................................................................... 27 

3.1 LINEÁRIS FÜGGVÉNYEK ...................................................................................................................................... 27 

3.2DIFFERENCIÁLHÁNYADOS; DERIVÁLT FÜGGVÉNY ...................................................................................................... 28 

3.3 VÁLTOZÁSI GYORSASÁG ..................................................................................................................................... 31 

3.4 IRÁNY MENTI DERIVÁLT; PARCIÁLIS DERIVÁLT .......................................................................................................... 34 

3.5 A TÉRGÖRBÉK GÖRBÜLETE ÉS TORZIÓJA ................................................................................................................. 36 

3.6 VEKTORMEZŐK DIVERGENCIÁJA ÉS ROTÁCIÓJA ........................................................................................................ 38 

3.7 PRIMITÍV FÜGGVÉNY; POTENCIÁLFÜGGVÉNY .......................................................................................................... 41 

4. INTEGRÁLÁS ............................................................................................................................................ 44 

4.1 INTEGRÁLRA VEZETŐ PROBLÉMÁK ........................................................................................................................ 44 

4.2 JORDAN‐MÉRTÉK; HALMAZ FELOSZTÁSA ................................................................................................................ 47 

4.3 INTEGRÁLKÖZELÍTŐ ÖSSZEGEK ............................................................................................................................. 48 

4.4 SKALÁRÉRTÉKŰ FÜGGVÉNYEK INTEGRÁLJA .............................................................................................................. 52 

4.4.1 Az  n  típusú függvények integrálja ............................................................................................... 52 

4.4.2 Az integrál néhány alapvető tulajdonsága ........................................................................................... 52 

4.4.3   típusú függvények integrálja ..................................................................................................... 53 

4.4.4  2  típusú függvények integrálja .................................................................................................... 54 

4.4.5  3  típusú függvények (skalármezők) integrálja ............................................................................ 54 

4.4.6 Az integrál kiszámítása polár‐ és hengerkoordinátákkal ..................................................................... 54 

4.5 IMPROPRIUS INTEGRÁL ...................................................................................................................................... 56 

4.6 VEKTORÉRTÉKŰ ÉS KOMPLEX ÉRTÉKŰ FÜGGVÉNYEK INTEGRÁLÁSA ............................................................................... 57 

4.7 VEKTORMEZŐK INTEGRÁLÁSA .............................................................................................................................. 57 

4.7.1 Erőtér munkája; görbe menti integrál .................................................................................................. 57 

4.7.2 Felület menti integrál; fluxus ................................................................................................................ 59 

4.7.3 Kapcsolatok az integrálok között ......................................................................................................... 60 

4.8 AZ INTEGRÁL KISZÁMÍTÁSA ................................................................................................................................. 62 

4.8.1 Newton–Leibniz‐formula ...................................................................................................................... 62 

4.8.2 Görbe menti integrál kiszámítása potenciálos terekben ...................................................................... 63 

4.8.3 Numerikus integrálás (közelítőmódszerek) .......................................................................................... 63 

5. FOURIER‐ANALÍZIS ................................................................................................................................... 66 

5.1 FOURIER‐SOROK ............................................................................................................................................... 66 

5.1.1 Hilbert‐tér; a Fourier‐sor általános fogalma ........................................................................................ 66 

5

5.1.2 Exponenciális Fourier‐sorok .................................................................................................................. 68 

5.1.3 Trigonometrikus Fourier‐sorok ............................................................................................................. 68 

5.2 INTEGRÁLTRANSZFORMÁCIÓK ............................................................................................................................. 76 

5.3 FOURIER‐TRANSZFORMÁCIÓ ............................................................................................................................... 77 

5.3.1 Fourier‐integrál; Fourier‐transzformált ................................................................................................ 77 

5.3.2 A Fourier‐transzformáció néhány alapvető tulajdonsága .................................................................... 80 

5.3.3 Megjegyzések a jelfeldolgozással kapcsolatban .................................................................................. 81 

6. LAPLACE‐TRANSZFORMÁCIÓ; LINEÁRIS RENDSZEREK ELEMZÉSE ............................................................... 82 

6.1 LAPLACE‐TRANSZFORMÁCIÓ ............................................................................................................................... 82 

6.1.1 A Laplace‐transzformáció fogalma ...................................................................................................... 82 

6.1.2 A Laplace‐transzformáció néhány tulajdonsága .................................................................................. 84 

6.2 LINEÁRIS RENDSZEREK ....................................................................................................................................... 85 

6.2.1 Lineáris rendszerek leírása az időtartományban .................................................................................. 85 

6.2.2 A homogén lineáris konstansegyütthatós differenciálegyenletek megoldáshalmaza ......................... 86 

6.2.3 Az inhomogén lineáris konstansegyütthatós differenciálegyenletek megoldáshalmaza ..................... 89 

6.3 VIZSGÁLÓFÜGGVÉNYEK; SÚLYFÜGGVÉNY ............................................................................................................... 90 

6.4 A LAPLACE‐TRANSZFORMÁCIÓ ALKALMAZÁSA A LINEÁRIS RENDSZEREK VIZSGÁLATÁBAN .................................................. 92 

6.5 LINEÁRIS RENDSZEREK VIZSGÁLATA A FREKVENCIATARTOMÁNYBAN ............................................................................. 93 

6.6 LINEÁRIS KEZDETIÉRTÉK‐PROBLÉMÁK MEGOLDÁSA LAPLACE‐TRANSZFORMÁCIÓVAL........................................................ 94 

FELHASZNÁLT SZAKIRODALOM .................................................................................................................... 97 

6

ALKALMAZOTT JELÖLÉSEK

a természetes számok halmaza az egész számok halmaza ℚ a racionális számok halmaza a valós számok halmaza a komplex számok halmaza

[a,b] zárt intervallum ]a,b[ nyílt intervallum Mn×k az n×k típusú valós mátrixok halmaza detA az A mátrix determinánsa AT az A mátrix transzponáltja i képzetes egység Re(z) a z komplex szám valós része Im(z) a z komplex szám képzetes része z a z komplex szám konjugáltja u~ komplex feszültség

i~

komplex áramerősség v vektor

ba skaláris szorzat

b,a skaláris szorzat

ba vektoriális szorzat

cba vegyes szorzat

ba diadikus szorzat , hossz, norma

[] fizikai mértékegység (fizikai dimenzió) nabla operátor Laplace-operátor x elsőrendű parciális derivált 2xy másodrendű parciális derivált

v irány menti derivált grad gradiens div divergencia rot rotáció görbület torzió mérték

kf Fourier-együttható

FS Fourier-sor FI Fourier-integrál FT Fourier-transzformált FT -1 inverz Fourier-transzformált L{f} Laplace-transzformált L-1{f} inverz Laplace-transzformált f*g konvolúció

7

1(t) egységugrásfüggvény (t) Dirac-delta függvény H(s) átviteli függvény w(t) súlyfüggvény v(t) átmeneti függvény

8

ÁBRÁK JEGYZÉKE

2.1 ábra: Komplex számsík .................................................................................. 18 2.2 ábra: Komplex számok összeadása ................................................................. 19 2.3 ábra: Komplex számok szorzása ..................................................................... 19 2.4. ábra: Komplex feszültség- és áramfüggvények ................................................ 22 2.5 ábra: Ellenállás, kondenzátor, tekercs impedanciája .......................................... 23 3.1 ábra: Kísérő triéder, síkok .............................................................................. 37 4.1 ábra: Erőtér adott görbe menti munkája .......................................................... 58 4.2 ábra: Vektortér fluxusa .................................................................................. 59 4.3 ábra: A Gauss–Osztrogradszkij-tétel mennyiségeinek szemléltetése ..................... 62 4.4 ábra: A Stokes-tétel mennyiségeinek szemléltetése ........................................... 62 5.1 ábra: Periodikus jel frekvenciaspektruma ......................................................... 69 5.2 ábra: tkcost 0 függvények, k ............................................................ 71 5.3 ábra: tksint 0 függvények, k ............................................................. 71 5.4 ábra: Konvolúció........................................................................................... 77 5.5 ábra: A Fourier-transzformáció és az inverz Fourier-transzformáció ...................... 78 5.6 ábra: A valós és a komplex spektrum összehasonlítása ...................................... 80 6.1 ábra: A rugalmas mechanikai lengőrendszer modellje ........................................ 87 6.2 ábra: Tranziens rezgés kis és nagy csillapítás esetén ......................................... 88 6.3 ábra: A Dirac-delta függvény származtatása ..................................................... 91 6.4 ábra: Egységugrásfüggvény ........................................................................... 92 6.5 ábra: Nykvist- és Bode-diagram ...................................................................... 94 

9

ELŐSZÓ

A Létesítménymérnöki mesterképzés „Matematika” című tárgyának oktatásakor elsődleges feladatunknak azt tekintjük, hogy rávilágítsunk a műszaki tárgyak tananyagának matematikai vonatkozásaira. Ehhez (és a terjedelmi korláthoz) alkalmazkodva e jegyzet felépítése rendhagyó, néhány témakör rövid összefoglalását tartalmazza kézikönyvszerűen. Az érintett témakörök számos matematika tankönyvben és jegyzetben megjelennek, a szándék nem ezek szaporítása volt, hanem egy olyan típusú feldolgozás, ami a műszaki tartalomnak a matematika oktatásában való megjelenésére adhat mintát. A szemléletmódot közel állónak érezzük a [2] forráséhoz. A „Fourier-analízis”, valamint a „Laplace-transzformáció, lineáris rendszerek” c. részeket az [1] forrás letisztult gondolatmenetére és a [3] gazdag tartalmára alapoztuk. A szöveg, jellege miatt nem tartalmaz tételes hivatkozásokat.

10

1. LOGIKAI FÜGGVÉNYEK

1.1 A logikai függvények szerepe

A digitális technika eszközrendszerét meghatározza az a tény, hogy az adatok kétállapotú tárolóelemekben (memóriacellákban) bináris formában vannak tárolva. Így a legbonyolultabb rendszerek állapotainak leírása és a legbonyolultabb manipulációk kódja is végeredményben bináris jelsorozat. Ha analóg eszközt akarunk kezelni digitális rendszerrel, akkor a feldolgozáshoz az analóg jelet digitálissá kell alakítani, a beavatkozáshoz pedig vissza kell alakítani analóggá. A digitális rendszerekben való problémamegoldás végső soron azt jelenti, hogy a „bemeneten” megjelenő, a vizsgált rendszer állapotát leíró (véges hosszúságú) bináris jelsorozatra a „kimeneten”, egy másik, a beavatkozást kódoló (véges hosszúságú) bináris jelsorozatot kell előállítani. A digitális technikában használt két bináris jelet a 0 és az 1 jelöli. Ennek a számábrázolásban is haszna van, hiszen a kettes számrendszerben is ezt a két jelet használjuk. Azokat a függvényeket, amelyek véges bináris jelsorozathoz véges bináris jelsorozatot rendelnek, logikai függvényeknek nevezzük. Az elnevezés onnan ered, hogy a bináris jelek kezelésére a matematikai logika fogalmait, műveleteit használjuk (ezek eredetileg az igaz-hamis logikai értékkel való számolásra szolgáltak), függetlenül attól, hogy a bináris jelek az adott esetben logikai értéket jelentenek-e. 1.2 A logikai függvények megadása

A logikai függvények kn }1,0{}1,0{ típusú függvények, ahol n és k pozitív egész

számok. Egy kn }1,0{}1,0{ típusú függvény előállítható k db }1,0{}1,0{ n típusú függvénnyel, mint koordinátafüggvénnyel. A továbbiakban ilyen }1,0{}1,0{ n típusú (n-változós) függvényekkel foglalkozunk, amelyek egy n hosszúságú bináris jelsorozathoz egy bináris jelet rendelnek. Könnyen

belátható, hogy n22 különböző n-változós logikai függvény létezik: a lehetséges

bemenetek száma 2n, és azt, hogy ezek közül melyekhez tartozik „1” kimenet ennyi féleképpen lehet megadni (ennyi a részhalmazok száma).

11

Egyváltozós logikai függvények 4 féle egyváltozós logikai függvény létezik, ezek foglalja össze a táblázat:

X X 0 0 0 1 1 1 0 1 0 1

Az egyváltozós logikai függvények közül a negáció (invertálás) függvényt érdemes kiemelni, mely a bemenet értékét 0-ról 1-re, 1-ről pedig 0-ra változtatja. Ennek jelölése:

XX . Kétváltozós logikai függvények 16 féle kétváltozós logikai függvény létezik, ezeket foglalja össze a következő táblázat.

X Y X Y

(AND)

X+Y (OR)

YX (NOR)

YX (NAND)

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1

A kétváltozós logikai függvények közül a konjunkció (ÉS, AND, szorzás), a diszjunkció (VAGY, OR, összeadás) függvényeket, valamint ezek negáltjait a NAND és a NOR függvényeket emeltük ki, mivel ezek a függvények alapvető szerepet játszanak a logikai függvényekkel való számolásokban, illetve a logikai függvények fizikai megvalósításában (a gyakorlatban elsősorban NAND, illetve NOR kapukat használnak).

A logikai függvények megadásának a fentiekben használt módját igazságtáblázatnak nevezzük. A gyakorlatban az jellemző, hogy a megoldandó probléma meghatározza a megvalósítandó logikai függvény értékeit, vagyis az igazságtáblázatát, ezután következik a formális leírás, majd az egyszerűsítés és végül a fizikai megvalósítás.

A kettőnél több változós logikai függvények esetén a fentieknek megfelelően kell az igazságtáblázatot elkészíteni.

Példa: Jól ismert feladat a szavazógép logikai függvényének felírása. Három szavazó van (A, B, C), akik igennel (1 input) vagy nemmel (0 input) szavaznak. Az előterjesztést akkor fogadják el (1 output), ha többségben vannak az igenek, különben elvetik (0 output). A szavazógép logikai függvénye:

X Y Z f(X,Y,Z) 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1

12

1.3 Normálformák

Diszjunktív normálformáról beszélünk, ha a logikai függvény a változók és negáltjaik konjunkcióinak diszjunkciója. Például egy háromváltozós logikai függvény diszjunktív normál formában: ZYXZYXZYXZYX)Z,Y,X(f . Az igazságtáblázatból könnyen felírható a diszjunktív normálforma. A fenti szavazógép esetén például:

X Y Z f(X,Y,Z) 0 0 0 0

ZYXZYXZYXZYX)Z,Y,X(f

0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 1 ZYX 1 0 0 0 1 0 1 1 ZYX 1 1 0 1 ZYX 1 1 1 1 ZYX

A diszjunktív normálformában szereplő konjunkciókat mintermeknek nevezzük. Egy minterm egyértelműen azonosítható úgy, hogy megadjuk, mely változók szerepelnek ponált, illetve negált formában. Ha ezt az 1 és a 0 jelekkel tesszük, akkor a kód bináris számként fogható fel, és decimális alakban is kifejezhető. A háromváltozós példánkban:

ZYX ZYX ZYX ZYX bináris kód 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 decimális megfelelő 3 5 6 7

a minterm jelölése 33m 3

5m 36m 3

7m

A függvény jelölése: 3

37

36

35

33 )7,6,5,3(mmmmf

Konjunktív normálformáról beszélünk, ha a logikai függvény a változók és negáltjaik diszjunkcióinak konjunkciója. Például egy háromváltozós logikai függvény konjunktív normálformában: )ZYX()ZYX()ZYX()ZYX()Z,Y,X(f .

A konjunktív normálformában szereplő diszjunkciókat maxtermeknek nevezzük. Egy maxterm egyértelműen azonosítható úgy, hogy megadjuk, mely változók szerepelnek ponált, illetve negált formában. Ha ezt az 1 és a 0 jelekkel tesszük, akkor a kód bináris számként fogható fel, és decimális alakban is kifejezhető. A háromváltozós példánkban:

ZYX ZYX ZYX ZYX bináris kód 1 1 1 1 0 1 0 1 0 0 0 0 decimális megfelelő 7 5 2 0

a minterm jelölése 37M 3

5M 32M 3

0M

A függvény jelölése: 3

37

35

32

30 )7,5,2,0(MMMMf .

13

1.4 A logikai függvények egyszerűsítése

A negáció, konjunkció és diszjunkció függvényekre érvényesek a következő összefüggések (X, Y és Z bináris változók, azaz X,Y,Z{0,1}):

OR (+) AND () idempotencia XXX XXX

11X X1X X0X 00X

kommutativitás XYYX XYYX asszociativitás Z)YX()ZY(X Z)YX()ZY(X

disztributivitás )ZX()YX(ZYX )ZX()YX()ZY(X

1XX 0XX

XX de Morgan-azonosságok YXYX YXYX

elnyelési szabályok XYXX X)YX(X

Az itt felsorolt azonosságok felhasználásával átalakíthatók (egyszerűsíthetők) a negáció, konjunkció- és diszjunkció-függvényekkel felírt bonyolultabb logikai függvények.

Példa:

YXZYXZYXZXYXZY)XX(ZXYXZYZX YXZX)1Z(YX)Y1(ZX

Az azonosságokkal való számolás igen körülményes, azért gyorsabb és áttekinthetőbb módszereket feljesztettek ki. Ilyen eszköz az ún. Karnaugh-tábla, amely lehet minterm- vagy maxterm-tábla. A táblában annyi cella szerepel, amennyi minterm illetve maxterm képezhető (ez a változók számától függ). A táblában 1-et írunk azokba a cellákba, melyeknek megfelelő minterm, illetve maxterm szerepel a függvény előállításában. A Karnaugh-táblákban a változók értékeit az ún. Grey kódnak megfelelő sorrenben kell szerepeltetni. Karnaugh-tábla kétváltozós függvények esetén Minterm-tábla:

X \ Y 0 1

0 0 1

1 2 3

Például az 23

21

20 mmmYXYXYX)Y,X(f

függvény minterm-táblája:

X \ Y 0 1

0 1 1 1 1

14

Karnaugh-tábla háromváltozós függvények esetén Minterm-tábla:

X

\ YZ

00

01

11

10

0 0 1 3 2

1 4 5 7 6

Például az ZYXZYXZYXZYX)Z,Y,X(f

37

36

35

33 mmmm függvény minterm táblája:

X \ YZ 00 01 11 10

0 1 1 1 1 1

Karnaugh-tábla négyváltozós függvények esetén Minterm-tábla:

XY \ ZV 00 01 11 10

00 0 1 3 2

01 4 5 7 6

11 12 13 15 14

10 8 9 11 10

Például az VZYXVZYXVZYX)V,Z,Y,X(f

413

45

43 mmm függvény minterm táblája:

XY \ ZV 00 01 11 10

00 1 01 1 11 1 10

A Karnaugh-tábla jelentősége az, hogy segítségével „grafikus” egyszerűsítést lehet végrehajtani a az alábbiak szerint: 1. A táblában olyan 1-esekből álló, vízszintesen vagy függőlegesen összefüggő

részeket (hurkokat) kell keresni, amelyek 2 hatvány (2,4,8,…) darab 1-est tartalmaznak.

2. Egy huroknak úgy feleltetünk meg formulát (konjunkciót), hogy a ponált és negált formában egyaránt szereplő változókat elhagyjuk, a többit pedig a hurokban szereplő cellák által meghatározott formában (ponált vagy negált) szerepeltetjük.

3. Egy cella több hurokban is szerepelhet. 4. A táblázat szemközti szélső celláit szomszédosak kell tekinteni a hurkok

képzésénél. Lehetséges hurkok kétváltozós függvény esetén:

X \ Y 0 1 X \ Y 0 1 X \ Y 0 1 X \ Y 0 1 X \ Y 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 X Y Y X 1

15

Lehetséges hurkok háromváltozós függvény esetén:

X\YZ 00 01 11 10 X\YZ 00 01 11 10 X\YZ 00 01 11 10 0 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 ZY ZY ZY

X\YZ 00 01 11 10 X\YZ 00 01 11 10 X\YZ 00 01 11 10 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 ZY YX ZX

X\YZ 00 01 11 10 X\YZ 00 01 11 10 X\YZ 00 01 11 10 0 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 YX YX ZX

X\YZ 00 01 11 10 X\YZ 00 01 11 10 X\YZ 00 01 11 10 0 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 YX ZX ZX

X\YZ 00 01 11 10 X\YZ 00 01 11 10 X\YZ 00 01 11 10 0 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Y Z Y

X\YZ 00 01 11 10 X\YZ 00 01 11 10 X\YZ 00 01 11 10 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Z X X

X\YZ 00 01 11 10 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

Példa: Egyszerűsítsük a szavazógép logikai függvényét! A függvény igazságtáblázata és előállítása diszjunktív normálformában:

X Y Z f(X,Y,Z) 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 1 ZYX 1 0 0 0 1 0 1 1 ZYX 1 1 0 1 ZYX 1 1 1 1 ZYX

ZYXZYXZYXZYX)Z,Y,X(f

16

A függvény minterm táblája és az egyszerűsítéshez használt hurkok:

ZX YX

ZY

Az f függvény egyszerűsített formája ez alapján:

.ZYZXYX)Z,Y,X(f

Négyváltozós esetben a lehetséges hurkok nagy száma miatt nem rajzoljuk fel az összes esetet, csak néhány jellegzetes 4, illetve 8 cellás hurok alakot.

XY\ZV 00 01 11 10 XY\ZV 00 01 11 10 XY\ZV 00 01 11 10 00 00 1 1 00 1 1 01 1 1 01 01 11 1 1 11 11 10 10 1 1 10 1 1 VY ZY VY

XY\ZV 00 01 11 10 XY\ZV 00 01 11 10 XY\ZV 00 01 11 10 00 1 1 00 1 1 00 1 1 1 1 01 1 1 01 1 1 01 11 1 1 11 1 1 11 10 1 1 10 1 1 10 1 1 1 1 V Z Y

Példa Egyszerűsítsük az f függvényt, amelynek igazságtáblázata

X Y Z V f(X,Y,Z,V) 0 0 0 0 1 VZYX 0 0 0 1 0 0 1 0 1 VZYX 0 0 1 1 1 VZYX 0 1 0 0 0 1 0 1 1 VZYX 0 1 1 0 0 1 1 1 1 VZYX 1 0 0 0 1 VZYX 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 VZYX 1 1 0 0 1 VZYX 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1

VZYXVZYXVZYXVZYX)V,Z,Y,X(f VZYXVZYXVZYXVZYX

17

A függvény minterm táblája és az egyszerűsítéshez használt hurkok:

VZX

VYX

VYX

VZY

Az f függvény egyszerűsített formája ez alapján:

.VYXVYXVZYVZX)V,Z,Y,X(f

18

2. KOMPLEX SZÁMOK

2.1 A komplex számok különféle alakjai, elnevezések

algebrai alak: iba a,b trigonometrikus alak: )sini(cosr r, , r0

exponenciális alak: ier r, , r0 A komplex számok ábrázolása, komplex számsík: : a komplex számok halmaza

i: képzetes egység

a: valós rész (Re(z))

b: képzetes rész (Im(z))

r: hossz, abszolút érték (|z|)

: szög/argumentum (arg(z))

z : komplex konjugált

2.1 ábra: Komplex számsík

Kapcsolat a komplex szám jellemzői között:

sinra ,barz 22

cosrb .a

btg

Megjegyzések: 1. A képzetes egységet sokszor j-vel jelölik. A „Számolás váltakozóáramú hálózatokban”

című részben mi is ezt tesszük, hogy a képzetes egység és az áramerősség jele ne egyezzen meg.

2. A ibaz komplex számot a ibaz komplex szám konjugáltjának nevezzük. 3. Bizonyos számolásokban z komplex számot azonosítják a komplex számsíkban az

origóból a z-nek megfelelő pontba mutató vektorral. E vektor „koordinátái” a komplex szám valós és képzetes része.

19

4. Egy komplex számhoz a [0,2[ tartományból egyértelműen hozzárendelhető szög. A komplex számokkal való számolásokban gyakran adódnak más szögértékek is. Ilyenkor – tekintettel a sin- és a cos-függvények 2 szerinti periodicitására – a szöghöz hozzáadható a 2 érték egész számszorosa (k 2, k ), amivel megkapható a [0,2[ tartományba tartozó szögérték.

5. Mivel a tangens függvényperiódusa , azaz a [0,2[ intervallumon minden értéket kétszer vesz fel, önmagában a b/a hányados nem határozza meg egyértelműen a komplex szám szögét.

2.2 Alapműveletek, hatványozás, gyökvonás

Az összeadás és a kivonás az algebrai, a szorzás, osztás, hatványozás és a gyökvonás a trigonometrikus és az exponenciális alakban végezhető el könnyebben. Összeadás és kivonás

,ibbaaibaiba 21212211 .ibbaaibaiba 21212211

(E műveletek megfelelnek a vektorok összeadásának és kivonásának.)

ibaz 111

ibaz 222

i)bb()aa(zz 212121

2.2 ábra: Komplex számok összeadása

21

)sini(cosrz 1111

)sini(cosrz 2222

2

1zz

21 zz

21

2.3 ábra: Komplex számok szorzása

Szorzás, osztás és pozitív egész kitevős hatványozás

;)sin(i)cos(rr)sini(cosr)sini(cosr 212121222111

;)sin(i)cos(r

r

)sini(cosr

)sini(cosr2121

2

1

222

111

)nsin(i)ncos(r)sini(cosr nn (n pozitív egész szám). Megjegyzés: ii=i2=-1. Gyökvonás Tekintettel arra, hogy a szöget a 2 egész számú többszörösével (k 2,k ) megváltoztatva ugyanazt a komplex számot kapjuk, könnyen belátható, hogy adott 0z

komplex szám esetén a )sini(cosrzn egyenletnek (n pozitív egész szám) n

darab különböző megoldása van: azok a komplex számok, melyek hossza n r , szöge

pedig a n2)1n(

n,...,

n22

n,

n2

n,

n

szögek valamelyike.

20

Így minden 0z komplex számnak n darab különböző n-edik gyöke van, melyek az

origó középpontú, n r sugarú körön, egy szabályos n-szög csúcsaiban helyezkednek el a komplex számsíkban:

.1n,...,2 ,1 ,0k,n

2k

nsini

n

2k

ncosr)sini(cosr nn

Komplex exponenciális függvény Az exponenciális alak a komplex exponenciális függvénnyel van felírva, amely az

0n

nz

!nze , z

hatványsorral van definiálva. Ha a z komplex változó (kitevő) helyett az x valós változó szerepel, akkor a valós

exponenciális függvényt kapjuk: 0n

nx )!n/x(e , x . Tisztán képzetes kitevő esetén

a függvényértékek komplexek, amelyekben (a képzetes tengely irányában) 2 szerinti periodikusság mutatkozik. A periodikusság jól látható az sinicosei

Euler-formulából, mely a tisztán képzetes kitevőjű exponenciális és a valós szinusz- és koszinusz függvények közti összefüggés. Érdekes a = esetén adódó 01ei összefüggés az alapvető matematikai konstansok között. A szorzás, osztás és a pozitív egész kitevős hatványozás exponenciális alakban:

,errerer )(i21

i2

i1 2121 ,e

r

r

er

er )(i

2

1i

2

i1 21

2

1

)n(inni erer

(n pozitív egész szám).

2.3 Számolás váltakozóáramú hálózatokban

Az elektromosságtanban feltételezzük, hogy az ún. passzív áramköri elemekből (ohmos ellenállásból, kondenzátorból és tekercsből) álló rendszerek lineárisak, így teljesül a szuperpozíció elve. A linearitás, valamint a Fourier-elmélet alapján megállapítható, hogy a periodikus időfüggvényű feszültséggenerátorok (ill. áramgenerátorok) felfoghatók harmonikus (szokásos szóhasználattal élve: szinuszos) időfüggvényű feszültséggenerátorok (ill. áramgenerátorok) soros kapcsolásaként. Ennek alapján a periodikusan gerjesztett, csak passzív elemeket tartalmazó áramkörök vizsgálata a harmonikus gerjesztésű rendszerek elemzésén alapul. Az elektromosságtanból tudjuk, hogy a passzív áramköri elemek feszültsége és árama színuszos gerjesztés esetén az alábbiak szerint függ össze (az egyszerűbb áttekinthetőség érdekében a feszültségfüggvény esetén nulla fázisszöget feltételezünk).

21

Ellenálláson (R) Feszültség )tsin(U)t(u 0

Áramerősség )tsin(RU)tsin(I)t(i 0

0

R/UI 00 Fáziseltolódás =0 Kondenzátoron (C) Feszültség )tsin(U)t(u 0

Áramerősség

2tsinCU

2tsinI)t(i 00

CUI 00

Fáziseltolódás 2

, az áram „90°-kal siet” a feszültséghez képest

Tekercsen (L) Feszültség )tsin(U)t(u 0

Áramerősség

2tsin

LU

2tsinI)t(i 0

0

)L/(UI 00

fáziseltolódás 2

, az áram „90°-kal késik” a feszültséghez képest

A váltakozóáramú hálózatokban végzett számítások szempontjából fontos megjegyezni, hogy míg ohmos ellenállás esetén a feszültség és az áramerősség pillanatnyi értékeinek hányadosa bármely időpillanatban megegyezik az egyenáramú ellenállással

0

0IU

)t(i)t(uR , addig a kondenzátor és a tekercs esetén ez a hányados az

körfrekvencia függvénye, és nem hordoz közvetlen fizikai jelentést. Számolások egyszerűsítése végett a váltakozóáramú hálózatokban a feszültséget és az áramerősséget komplex értékű függvényekkel írjuk le (az idő függvényében). E függvények hányadosa az időtől független állandó, a komplex impedancia, vagy másképpen komplex váltakozóáramú ellenállás. A komplex függvények alkalmazásának egyik előnye, hogy az egyenáramú körökben használt összefüggések (pl. a Kirchhoff-törvények) érvényben maradnak. Az alábbiakban összefoglaljuk a számításokban előforduló komplex értékű függvényeket és ezek összefüggéseit. A feszültség–idő függvény leírása komplex formában Ebben a részben a képzetes egységet j, a mennyiségek komplex értékeit ~ jelöli. A feszültség időbeli változását leíró )tsin(U)t(u U0 függvény az

)t(j0UU0

UeU)tsin(j)tcos(U)t(u~ az ún. komplex feszültségfüggvény képzetes része: )t(u~Im)t(u .

22

Ahhoz, hogy a U fázisszög (konstans) és az időtől függő t tag szerepét megkülönböztessük, az exponenciális kifejezést szétbontjuk:

.eU~

eeUeU)t(u~ tj0

tjj0

)t(j0

UU

Az Uj00 eUU

~ komplex számot a feszültségfüggvény komplex amplitúdójának

nevezzük. Mivel 1e Uj , a komplex amplitúdó nagysága megegyezik az 0U valós

amplitúdóval (maximális feszültséggel), emellett tartalmazza a U fázisszöget is. Az áramerősséghez ugyanezen az elven rendelünk komplex függvényt: az

)tsin(I)t(i I0 függvény szerint változó áramerősséghez rendelt komplex áramerősség-függvény:

.eI)tsin(j)tcos(I)t(i~ )t(j

0II0I

A valós áramerősség-függvény a komplex áramerősség-függvény képzetes része:

)t(i~Im)t(i . Az áramerősség-függvény komplex amplitúdója: Ij00 eII

~ , ezzel

.eI~

eeIeI)t(i~ tj

0tjj

0)t(j

0 II A fentiek alapján a komplex amplitúdó nagysága megegyezik az 0I valós amplitúdóval (maximális áramerősséggel), emellett tartalmazza a fázisszöget is. A komplex feszültség- és áramerősség-értékek a komplex számsíkban vektorokként ábrázolhatók, amelyek harmonikus gerjesztés esetén szögsebességgel egyenletes körmozgást végeznek az origó körül. A vektorok által bezárt szög a feszültség és az áramerősség fázisának eltérése.

0U0I

Re

Im

)t(i~

)t(u~

0U

0I

)t(i

)t(u

2.4. ábra: Komplex feszültség- és áramfüggvények

Impedancia Egy passzív áramköri elem impedanciája az elem komplex feszültség- és áramerősség-amplitúdójának hányadosa:

.eI

U

eI

eU

I~U~

Z~ )(j

0

0j

0

j0

0

0 IU

I

U

23

Az impedancia tehát a feszültség és az áramerősség maximális értékétől, valamint a fázisszögek eltérésétől függ. A három áramköri elem esetén, a fentiek alapján:

Áramköri elemek IU

)(j

0

0 IUeIUZ

~ 0

0IUZ

Ellenállás 0 ReRZ~ 0j

R R

Kondenzátor 2

jXjC

1eC

1Z~

C2j

C

C1

Tekercs 2

jXjLeLZ~

L2j

L

L

Megjegyzések 1. A komplex impedancia ohmos ellenállás esetén pozitív valós szám, kondenzátor és

tekercs esetén tisztán képzetes (negatív, illetve pozitív előjellel). 2. Az ellenállás impedanciája nem függ az gerjesztési körfrekvenciától, míg a

kondenzátoré csökken, a tekercsé pedig növekszik az növekedtével. Emiatt különböző gerjesztési frekvenciákra egy adott áramkör másképpen reagál.

3. A kondenzátor és a tekercs impedanciájának nagyságát látszólagos ellenállásnak is hívjuk.

A valós impedancia a komplex impedancia nagysága:

.I

Ue

I

Ue

I

UZ~

Z0

0)(j

0

0)(j

0

0 IUIU

A komplex feszültség- és áramerősség-amplitúdókkal érvényes az Ohm törvény és a Kirchhoff-törvények:

Ohm-törvény: .~~~

00 ZIU

Csomóponti törvény: .0

~~0

nnI

Huroktörvény: .0~~

0 n

nU

L

C1

z~ImC

1L

Z~

ReR

Z~

tengely valós

tengely képzetes

2.5 ábra: Ellenállás, kondenzátor, tekercs impedanciája

24

Soros és párhuzamos kapcsolásnál a komplex impedanciákra érvényesek az egyenáramú

körökben is használ összefüggések. Sorosan kapcsolt, n1 Z~

,...,Z~

impedanciájú elemek eredő impedanciája:

.Z~

...Z~

Z~

n1soros,eredő Párhuzamosan kapcsolt, n1 Z

~,...,Z

~ impedanciájú elemek eredő impedanciájára:

n1párhuzamos,eredő Z~1...

Z~1

Z~

1 .

Ha a kapcsolás ellenállás mellett kondenzátort és/vagy tekercset is tartalmaz, akkor eredő impedancia valós és képzetes részt egyaránt tartalmaz. Az összetevőket a komplex számsíkban ábrázolva jól látható az egyes impedanciák hatása az eredőre (2.5 ábra).

Soros RC kapcsolás esetén például az alábbiak szerint alakulnak a függvények és összefüggések: Generátorfeszültség: valós feszültségfüggvény: );tsin(U)t(u 0gg

komplex feszültségfüggvény: ;eU)t(u~ tj0gg

komplex feszültségamplitúdó: .UU~

0g0g

Eredő impedancia:

.jC

1RZ

~Z~

Z~

CRRC

A körben folyó áram:

komplex áramerőssé amplitúdó: ;j

C

1R

U

Z~U~

I~ 0g

RC

0g0

valós áramerősség-amplitúdó: ;

C

1R

UI~

I2

2

0g00

komplex áramerősség-függvény:

tj2

2

0gtj0gtj0 ej

C1R

C1R

Ue

jC

1R

UeI

~)t(i

~

,eIe

C

1R

Uee

C

1R

C

1R

U )t(j0

)t(j

22

0gtjj2

22

2

0g

ahol: 0CR

1R

C1

tg

, így 2

0 , az áramerősség „siet” a generátor-

feszültséghez képest (kapacitív jellegű kapcsolás);

25

valós áramfüggvény:

).tsin(I)tsin(j)tcos(IImeIIm)t(i~

Im)t(i 00)t(j

0

Az áramköri elemek feszültsége

komplex feszültségamplitúdók: ,Rj

C

1R

UZ~

I~

U~ 0g

R00R

;jC

1

jC

1R

UZ~

I~

U~ 0g

C00C

valós feszültségamplitúdók: ,RIR

C

1R

UU~

U 022

0g0R0R

;XIC

1

C

1R

UU~

U C022

0g0C0C

komplex feszültségfüggvények:

tj2

2

0gtj0gtj0RR ej

C1RR

C1R

UeR

jC

1R

UeU

~)t(u~

,eRIeR

C

1R

Uee

C

1RR

C

1R

U )t(j0

)t(j

22

0gtjj2

22

2

0g RRR

ahol: CR

1tg R . Mivel R (lásd előbb a komplex áramerősség-függvényt), az

ellenállás árama fázisban van az ellenállás feszültségével: )t(j0R eRI)t(u~ .

26

tj0gtj0CC ej

C1

jC

1R

UeU

~)t(u~

tj2

2

0gtj2

2

0g eRjC

1C

1

C1R

Uej

C1Rj

C1

C1R

U

tjj22

22

0g eeRC

1C

1

C1R

UC

,eRIeC

1

C

1R

U )t(j0

)t(j

22

0g CC

ahol:

2tg

tg1

C1Rtg C , azaz

2C

, így a kondenzátor feszültsége

„90°-kal késik” az áramához képest:

2

tj0C eRI)t(u~ ;

valós feszültségfüggvények:

)t(j0RR eRIIm)t(u~Im)t(u

);tsin(RI)tsin(j)tcos(RIIm 00

2tj

0CC eRIIm)t(u~Im)t(u

.2

tsinRI2

tsinj2

tcosRIIm 00

27

3. DIFFERENCIÁLÁS

3.1 Lineáris függvények

A műszaki folyamatok leírásában fontos szerepet töltenek be a lineáris modellek, amelyekben egyes mennyiségek között – legalábbis egy bizonyos határig – lineáris kapcsolatot feltételezünk. A rugalmasságtan lineáris elmélete például a feszültség és az alakváltozás közt feltételezett lineáris kapcsolaton alapszik. Ennek legegyszerűbb megnyilvánulása a lineáris rugókarakterisztika feltételezése. A szabályozástechnika elmélete is a lineáris rendszerek viselkedését tárgyalja a szuperpozíció elvét alapul véve. A lineáris modellek a lineáris függvény fogalmára épülnek. Az X és Y lineáris terek között ható f:XY függvényt akkor nevezzük lineárisnak, ha bármely x1,x2X és bármely 1,2 esetén fennáll, hogy

22112211 xfxfxxf .

A lineáris tér fogalma igen általános, mi itt a differenciálás kapcsán csak az , 2és 3 lineáris terek között ható lineáris függvényekkel foglalkozunk. A lineáris algebrából ismert, hogy az n k típusú lineáris függvények és a (k×n) típusú mátrixok között kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés létesíthető: az : n k lineáris függvényhez egyértelműen létezik egy olyan (k×n) típusú K mátrix, amelyre xKx , x n. A későbbiekben tárgyalt esetekben felírjuk a lineáris függvényeket:

X Y K k xk)x(

3

3

2

1

kkk

k xk)x(

3 321 kkkk xk)x(

3 3

333231

232221

131211

kkkkkkkkk

K xK)x(

28

Megjegyzések: 1. Az típusú xkx lineáris függvény grafikonja az origón átmenő, k

meredekségű egyenes (a síkban). 2. Az 3 típusú xkx lineáris függvény grafikonja az origón átmenő, k

irányvektorú egyenes (a térben). 3. Egy 3 típusú lineáris függvény egy rögzített k vektorral képzett

332211 xkxkxkxkx skaláris szorzat formájában áll elő. 4. Geometriai viszonyok, mozgások leírásában fontosak az n n típusú lineáris

függvényeket, melyeket az n tér lineáris transzformációinak is nevezzük: az 2 2 típusú lineáris függvények síkbeli, az 3 3 típusú lineáris függvények

térbeli lineáris transzformációk. 5. A mechanikában a (síkbeli, illetve térbeli) feszültségi és az alakváltozási állapot

szintén 2 2, illetve 3 3 típusú lineáris függvényekkel, más szóval tenzorokkal írható le. Ezek a tenzorok általában különböző fizikai dimenziójú mennyiségeket kapcsolnak össze. A feszültségtenzor például irányhoz rendel

feszültségvektort: nT)n( , adott bázisban:

z

y

x

zyzxz

zyyxy

zxyxx

z

y

x

nnn

.

Az 3 3 típusú lineáris függvények (tenzorok) invariánsai A lineáris algebrából ismert, hogy különböző bázisokban (koordináta-rendszerekben) a tér elemeinek (vektorainak) különbözők a koordinátái, és ezzel együtt a tér lineáris transzformációinak mátrixa is más. Itt nem térünk ki arra a kérdésre, hogy a koordináta-rendszer megváltoztatása hogyan hat egy lineáris transzformáció mátrixára, de azt megjegyezzük, hogy a lineáris függvényekhez tartoznak koordináta-rendszertől független skalár- illetve vektorértékek, amelyek a lineáris függvények különböző bázisbeli mátrixaiból számítva ugyanazt az értéket adják. Ezek az értékek olyan fizikai mennyiségekkel vannak összefüggésben, melyek nem kötődnek koordináta-rendszerhez, például forrásosság, örvényesség az erőterek, illetve az áramlási terek esetén. 3.2Differenciálhányados; derivált függvény

Egy f függvényről általában akkor mondjuk, hogy differenciálható az értelmezési tartományának egy 0x belső pontjában, ha a „bemenet” 0xxx és a „kimenet”

)x(f)x(ff 0 megváltozása közötti kapcsolat jól közelíthető a x egy lineáris függvényével: )x(f . (Intervallumon itt az f függvény értelmezési tartományának megfelelő n dimenziós intervallumot értünk, ami n darab nyílt intervallum Descartes-szorzataként definiálunk.) A „jól közelítés” az f hibatagra vonatkozó követelmény: a hibatagnak „elegendően gyorsan” kell tartania nullához, midőn x tart a nullához. Legyen X, illetve Y az , 2, 3halmazok valamelyike, IX nyílt intervallum, f:IY. Az f:IY függvényről akkor mondjuk, hogy differenciálható az Ix0 helyen, ha van olyan :XY lineáris függvény, amelyre

)x(h)x()x(f)xx(ff 00 , 0Gx és ,0)(

lim0

x

xhx

ahol G0 valamely origó középpontú nyílt gömb.

29

Az f:IY függvény x0I helyhez kötődő lineáris közelítésén azt értjük, hogy

)x()x(f)xx(ff 00 , 0Gx , vagyis azt, hogy a függvénynek a bemenet x megváltozásához tartozó f változását a definícióban szereplő lineáris függvény változásával közelítjük. Az )x( értéket szokás a

x -hez tartozó differenciálnak nevezni. A lineáris közelítést gyakran az

)xx()x(f)x(L)x(f 00 , 0xGx

formában írjuk, ahol

0xG valamely 0x középpontú nyílt gömb. Itt L:XY elsőfokú

függvény (polinom), így ezt a formát pontosabb elsőfokú közelítésnek nevezni. Az lineáris függvényt – az X és Y halmazok dimenzióktól függően – meghatározó k

számot, k vektort, illetve K mátrixot az f függvény 0x helyhez tartozó differenciálhányadosának nevezzük. A fenti fogalmak és ezek jelölése a tárgyalt függvénytípusok esetén: típusú függvények (f:I , Ix0 ).

lineáris függvény xk)x( , k

differenciálhányados k

a differenciálhányados jelölése )x(fk 0 vagy )x(dxdfk 0

differenciál x)x(fx 0

lineáris közelítés x)x(f)x(f)xx(ff 000 )xx()x(f)x(f)x(L)x(f 000

Megjegyzés: Az L függvény grafikonja az f függvény grafikonjának érintőegyenese az

))x(f,x( 00 pontban. 3 típusú függvények ( r :I 3, t0I).

lineáris függvény tk)t( , k 3

differenciálhányados )t(rk 0 3

a differenciálhányados jelölése )t(rk 0

differenciál t)t(rt 0

lineáris közelítés tk)t(r)tt(rr 00

)tt()t(r)t(r)t(L)t(r 000

30

Megjegyzések: 1. A L függvény az )t(rt függvény elsőfokú függvénnyel való közelítése a 0t

helyen. Az L függvény grafikonja az r függvény grafikonjának érintőegyenese az )t(r 0 pontban, ennek irányvektora a pontbeli differenciálhányados vektor.

2. Az 3 típusú függvények a geometriában elsősorban a térgörbékhez, a mechanikában elsősorban a mozgás pályájához kötődnek. A térgörbék 3 típusú függvénnyel való előállításánál a változót általában t-vel jelöljük, és paraméternek nevezzük. A mozgások vizsgálatánál a hely és az idő kapcsolatát 3 típusú függvénnyel adjuk meg, továbbá a mozgást jellemző sebesség és gyorsulás időtől való függése is ilyen típusú függvény. A változót (az időt) ebben az esetben is t-vel jelöljük. A differenciálhányadost mindkét témakörben vessző helyett ponttal szokás jelölni.

3. Analóg módon értelmezhető bármely n pozitív egész esetén az n típusú függvények differenciálhatósága. A síkbeli problémák vizsgálatához az 2 típusú függvényekre vonatkozó megfelelő formulák szükségesek.

3 típusú függvények (skalármezők) (f:I , Ir0 ).

lineáris függvény rk)r( , k 3

differenciálhányados k 3

a differenciálhányados jelölése 0rf gradk vagy 0rfk vagy 0rrddfk

differenciál rrf gradr 0

lineáris közelítés rrf gradrfrff 00

rrf gradrfrLrf 00

Megjegyzések: 1. Analóg módon értelmezhető bármely n pozitív egész esetén az n típusú

függvények differenciálhatósága. Egy n típusú függvény gradiense egy n-beli vektor.

2. Egy 3 skalármező gradiensfüggvénye egy 3 3vektormező. 3. A transzportfolyamatok leírásában nagy jelentősége van a gradiens fogalmának:

egy intenzív mennyiség inhomogenitása a megfelelő extenzív (legtöbbször skalár) mennyiség áramát okozza, az inhomogenitás mértéke pedig a gradienssel adható meg. Ha egy extenzív mennyiség áramsűrűsége (egységnyi felületre vonatkoztatott árama, ami irányfüggő) j , a megfelelő intenzív mennyiség y (legtöbbször skalármező), akkor

ry gradLrj ,

ahol: L az (egységnyi hosszúságra vonatkoztatott) vezetési tényező. (Sokszor röviden csak annyit írnak, hogy y gradLj .) Néhány példa:

31

Extenzív mennyiség Intenzív mennyiség Vezetési tényező

elektromos áram, I elektromos potenciál, U vezetőképesség, =1/ hő, Q hőmérséklet, T hővezetési tényező, térfogat, IV nyomás, p szivárgási tényező, A tömeg, Im sűrűség, diffúziós tényező, D

3 3típusú függvények (vektormezők) ( v :I 3, 0r I). lineáris függvény: rK)r( , KM3 3

differenciálhányados: KM3 3

a differenciálhányados jelölése: )r(vK 0 vagy 0rrdvdK .

differenciál: rrvr 0

lineáris közelítés: rrvrvrvv 00

rrvrvrLrv 00

Derivált függvény A differenciálhatóság pontbeli jellemző, de intervallumra is „kiterjeszthető”. Ha az f:IY függvény az I intervallum minden pontjában differenciálható, akkor azt mondjuk, hogy az f függvény differenciálható az I intervallumon. Az intervallum pontjaihoz a pontbeli differenciálhányadost rendelő függvényt derivált függvénynek nevezzük. Egy függvényt folytonosan differenciálhatónak nevezünk, ha a derivált függvénye folytonos. 3.3 Változási gyorsaság

A műszaki folyamatok leírása során használt függvények mennyiségek kapcsolatát (függését) fejezik ki. (A szemléletesség kedvéért az értelmezési tartomány, illetve az értékkészlet elemeit néhol a függvény bemeneti, illetve kimeneti értékeinek fogjuk hívni.) Alapvető kérdés, hogy egy mennyiség megváltozása egy másik mennyiségben milyen változást idéz elő, vagyis hogyan függ össze a két megváltozás. Erre a kérdésre a (pillanatnyi) változási gyorsaság ad választ. Lineáris kapcsolat esetén a változási gyorsaság állandó, megegyezik a lineáris függvényt (a típustól függően) meghatározó számmal, vektorral vagy mátrixszal, és könnyen kifejezhető a bemenet és a kimenet megváltozásából (az típusú függvények esetén például egyszerű osztással). Ha a kapcsolat nem lineáris, akkor a változási gyorsaság pillanatnyi értékéről beszélhetünk, ami a differenciálható függvények esetén a függvényt az adott helyen jól közelítő lineáris függvény meghatározó adata, vagyis a függvény differenciálhányadosa. Leggyakrabban az időre vagy a helyre vonatkoztatjuk a változás gyorsaságát, számos alapvető fizikai mennyiség változási gyorsaságot fejez ki. A következő táblázat néhány példát mutat erre:

32

Mennyiség Változási gyorsaság az időre

vonatkoztatva

pályakoordináta (s, [m]) pályasebesség

sm ,v

pályasebesség

sm ,v pályagyorsulás

2s

m ,a

helyvektor ( r , [m]) sebességvektor

sm ,v

sebességvektor

sm ,v gyorsulás vektor

2s

m ,a

rendszer által leadott/felvett energia (E, [J]) teljesítmény

W

sJ ,P

adott keresztmetszeten átáramlott töltésmennyiség (Q, [C])

áramerősség

A

sC ,I

Mennyiség Változási gyorsaság a helyre

vonatkoztatva

hőmérséklet (T, [°C]) hőmérsékleti „gradiens”

mC ,

elektromos potenciál (U, [V]) elektromos térerősség

mV ,E

A pillanatnyi változási gyorsaság és a differenciálhányados kapcsolata könnyebben megérthető a differenciálhányados fogalmának a differenciahányados függvényen alapuló (a fentiekben bemutatottal ekvivalens) bevezetésével. A differenciálhatóság ekvivalens megfogalmazása típusú függvényekre Az f:I függvény pontosan akkor differenciálható az x0I helyen, ha a

x)x(f)xx(flim 00

0x

határérték létezik és véges (valós szám). Ekkor a határérték megegyezik az

)x(f 0 differenciálhányadossal. A x

)x(f)xx(fx 00

függvényt az f függvény x0

helyen vett differenciahányados-függvényének nevezzük.

A műszaki elmélet leírásakor a differenciálhányadosra gyakran a rövid xflim

0x

formulával utalnak, aminek csak akkor van értelme, ha tudjuk, hogy a differenciák mely pontra vonatkoznak.

A differenciahányados-függvény x

)x(f)xx(f 00

értéke az )x(f,x 00 és az

)xx(f,xx 00 függvénypontokra illeszkedő szelő, az )x(f 0 differenciálhányados pedig az )x(f,x 00 pontbeli érintő (vagy úgy is fogalmazhatunk, hogy a függvény)

33

meredekségét adja. Így a x

)x(f)xx(flim 000x

formula szemléletes geometriai

jelentése: differenciálható függvény adott pontbeli meredeksége egyenlő a pontra illeszkedő szelők meredekségének határértékével, miközben x0. Ez összhangban van azzal a képpel, hogy az érintő egyenest a szelők határhelyzetének tekinthetjük. A differenciahányados függvényhez az átlagos változási gyorsaság fogalma kapcsolható:

az f és az x mennyiségek viszonyában a x

)x(f)xx(fxf 00

érték (a x változáshoz

tartozó) átlagos változási gyorsaságot, a )x(fxflim

x)x(f)xx(flim 0

0x00

0x

határérték pedig az x0 helyen vett pillanatnyi változási gyorsaságot fejezi ki. Példaként tekintsük egy vezető adott keresztmetszetén átfolyt töltésmennyiség időfüggését leíró tQ(t), t[tA,tB] függvénykapcsolatot. Az átfolyt töltésmennyiség átlagos változási gyorsaságát (átlagos áramerősséget) valamely [t1,t2] időintervallumban

a 12

12tt

)t(Q)t(QtQ

érték adja. Így, ha t0[tA,tB] egy rögzített időpillanat, akkor a

tQ

t)t(Q)tt(Q 00

differenciahányados-függvény értéke az átlagos áramerősséget

adja a [t0,t0+t] (illetve t<0 esetén a [t0+t,t0]) időintervallumban. Ha pedig a tQ(t) függvény differenciálható a t0 helyen, akkor a

)t(I)t(QtQlim

t)t(Q)tt(Qlim 00

0t00

0t

határérték (differenciálhányados) a t0 időpillanatban vett pillanatnyi áramerősség. Hasonló gondolatmenet fogalmazható meg minden, változási gyorsaságot kifejező mennyiség esetén, amennyiben skalármennyiségek kapcsolatát vizsgáljuk. A korábban említett változási gyorsaságokra vonatkozó összefüggések összefoglalva:

pillanatnyi sebesség: tslim

t)t(s)tt(slim)t(

dtds)t(s)t(v

0t00

0t000

;

pillanatnyi gyorsulás: tvlim

t)t(v)tt(vlim)t(

dtdv)t(v)t(a

0t00

0t000

;

pillanatnyi teljesítmény: tElim

t)t(E)tt(Elim)t(

dtdE)t(E)t(P

0t00

0t000

;

pillanatnyi áramerősség: tQlim

t)t(Q)tt(Qlim)t(

dtdQ)t(Q)t(I

0t00

0t000

;

ahol: s pályakoordináta; v pályasebesség; a pályagyorsulás; E energia; P teljesítmény; Q töltésmennyiség; I áramerősség. A differenciálhatóság ekvivalens megfogalmazása 3 típusú függvényekre Az r :I 3 függvény pontosan akkor differenciálható a t0I helyen, ha a

t)t(r)tt(rlim 00

0t

34

határérték létezik és véges ( 3-beli vektor). Ekkor a határérték megegyezik az )t(r 0

differenciálhányadossal. A t

)t(r)tt(rt 00

függvényt az f függvény x0 helyen vett

differenciahányados függvényének nevezzük.

A differenciálhányadosra gyakran a rövid trlim

0t

formulával utalnak, aminek csak akkor

van értelme, ha tudjuk, hogy a differenciák mely pontra vonatkoznak.

A differenciahányados-függvény t

)t(r)tt(r 00

értéke a )t(r,t 00 és a

)tt(r,tt 00 függvénypontokra illeszkedő egyenes, az )t(r 0 differenciálhányados

pedig a )t(r,t 00 pontbeli érintő egyenes irányvektora. A differenciahányados-függvényhez, illetve a differenciálhányadoshoz itt is az átlagos, illetve a pillanatnyi változási gyorsaság fogalma kapcsolható. Példaként tekintsük egy mozgó pont helyének időfüggését leíró )t(rt , t[tA,tB] függvénykapcsolatot, a mozgás pályáját. A hely átlagos változási gyorsaságát (az átlagsebességet) valamely [t1,t2] időintervallumban („helyileg” a pályának az )t(r 1 és

)t(r 2 pontok közti ívén) a 12

12tt

)t(r)t(rtr

érték adja. Legyen t0[tA,tB] egy rögzített

időpillanat. Ekkor az tr

t)t(r)tt(r 00

differenciahányados függvény értéke az

átlagos sebességet adja a [t0,t0+t] (illetve t<0 esetén a [t0+t,t0]) időintervallumban. Ha pedig a )t(rt függvény differenciálható a t0 helyen, akkor a

)t(v)t(rtrlim

t)t(r)tt(rlim 00

0t00

0t

határérték (differenciálhányados) a t0 időpillanatban vett pillanatnyi sebesség. 3.4 Irány menti derivált; parciális derivált

A többváltozós függvények differenciálszámítása az ún. parciális deriváltak segítségével történik. A parciális deriváltak egyváltozós függvények deriváltjai, amelyek úgy állnak elő, hogy a többváltozós függvény változóit egy kivételével rögzítjük. Ha például az (x,y,z)f(x,y,z) háromváltozós függvény x és y változóját valamely x0, illetve y0 értéken rögzítjük, akkor egy zf(x0,y0,z) egyváltozós függvényt kapunk. Ha ezt a függvényt differenciáljuk valamely z0 helyen, akkor a kapott differenciálhányados az eredeti háromváltozós függvény z változó szerinti parciális differenciálhányadosát kapjuk az (x0,y0,z0) helyen. Az alábbiakban először bevezetjük az irány menti derivált fogalmát, ennek speciális eseteként állnak elő a parciális deriváltak. Irány menti derivált Legyen I 3 (háromdimenziós) nyílt intervallum. Ha az f:I függvény differenciálható az Ir0 helyen, v0 3 egy rögzített vektor és ve a v irányú egységvektor, akkor a

v00v erf gradrf értéket az )r(fr függvény 0r helyen, v 3 irányban vett irány menti differenciálhányadosának vagy irány menti deriváltjának nevezzük.

35

Ha a v vektor speciálisan 3 természetes bázisának egy eleme (bázisvektor), akkor az irány menti differenciálhányadost parciális differenciálhányadosnak nevezzük. Parciális derivált Ha az f:I függvény differenciálható az 0r I helyen, és ie az i-edik bázisvektor az 3 természetes bázisában (i{1,2,3}), akkor a )r(f 0ei

irány menti differenciálhányadost az

)r(fr függvény 0r helyen vett, i-edik változó szerinti parciális differenciálhányadosának (vagy parciális deriváltjának) nevezzük. A parciális deriváltakat többféleképpen szokás jelölni. Az )r(fr függvény 0r helyen vett i-edik változó (xi) szerinti parciális deriváltjának leggyakoribb jelölései:

)r(f 0i , )r(f 0xi , )r(f

x 0i

, )r(xf

0i

.

Ha nem áll fenn a félreértés veszélye, használhatjuk az )r(f 0i , illetve az )r(f 0xi

jelöléseket is. Parciális derivált függvény Ha az f:I függvény differenciálható az I intervallumon, akkor az )r(fr i függvényt az )r(fr függvény i-edik változó szerinti parciális derivált függvényének nevezzük. A gradiens és a parciális deriváltak kapcsolata A parciális deriváltakat definiáló i00e0i e)r(f grad)r(f)r(f

i (i=1,2,3) formulából

könnyen látható, hogy a parciális deriváltak valójában a gradiens vektorkoordinátái. Így a gradiensvektort a )f,f,f(f grad 321 alakban is írhatjuk. Az alábbiakban megadjuk az irány menti és a parciális deriváltak definícióját az irány menti differenciálhányados fogalmának felhasználása nélkül, és egyben rávilágítunk e fogalmak jelentésére. Szűkítsük le az f függvényt az értelmezési tartománynak egy v0 er , ]-0,0[ „egydimenziós” részhalmazára, és tekintsük a v0 erf egyváltozós függvényt. A

)r(f 0v iránymenti differenciálhányados megegyezik ennek a függvénynek a =0 helyen vett differenciálhányadosával:

0v0

00v

rferflimrf .

Az irány menti differenciálhányados azt fejezi ki, hogy az adott pontból adott irányban „kimozdulva” milyen gyorsan változik a függvény értéke. A gradiens geometriai jelentése Igazolható, hogy az irány menti differenciálhányados értéke akkor maximális, ha v a

)r(f grad 0 -lal egyirányú. Ezt úgy is megfogalmazhatjuk, hogy a gradiensvektor azt az irányt mutatja az értelmezési tartomány egy adott helyén, amely irányban „kimozdulva” a „leggyorsabb” a függvény növekedése. A koordinátatengellyel párhuzamos irányokban speciálisan a parciális differenciálhányadosok adják a változás gyorsaságát.

36

Parciális differenciálhányados

0i0

00i

rferflimrf , i = 1, 2, 3.

A fentiekkel összhangban ez az egyváltozós i0 erf függvény =0 helyen vett differenciálhányadosa. Egy z,y,xfz,y,x , Iz,y,x függvény parciális deriváltjai az Iz,y,x 000 helyen felírhatók a következőképpen is (itt rendre =x,y,z):

x)z,y,x(f)z,y,xx(flim)z,y,x(f)z,y,x(f 000000

0x000x0001

;

y)z,y,x(f)z,yy,x(flim)z,y,x(f)z,y,x(f 000000

0y000y0002

;

z)z,y,x(f)zz,y,x(flim)z,y,x(f)z,y,x(f 000000

0z000z0003

.

3.5 A térgörbék görbülete és torziója

A következőkben áttekintünk néhány fogalmat, amely a térgörbék differenciálással való vizsgálatához kötődnek. Kísérő triéder Legyen r :I kétszer differenciálható függvény és t0I. Tegyük fel, hogy

0)t(r)t(r 00 (vagyis hogy az )t(r 0 és )t(r 0

derivált vektorok egyike sem nulla és nem is párhuzamosak). A )t(rt függvény kísérő trédere a t0I helyen az egységnyi

hosszúságú, egymásra páronként merőleges vektorokból álló )t(b),t(n),t(e 000 vektorrendszer, ahol

)t(r)t(r)t(e

0

00

,

)t(r)t(r)t(r)t(r)t(b

00

000

, )t(e)t(b)t(n 000 .

Az )t(e 0 vektor az )t(r 0 differenciálhányados-vektorral megegyező irányú, egységnyi

hosszúságú vektor, neve: érintő egységvektor. A )t(b 0 vektor az )t(r 0 és az )t(r 0

derivált vektorok által kifeszített sík (simulósík) egységnyi hosszúságú normálvektora, neve: binormális egységvektor. Az )t(n 0 vektor az )t(e 0 és a )t(b 0 vektorok vektoriális szorzata, neve: főnormális egységvektor. Az e , n és b vektorok ebben a sorrendben jobbsodrású rendszert alkotnak.

37

A triéder vektorai által kifeszített síkok: Az e és az n vektorok síkja: simulósík (S). Ebben a síkban van a simulókör és a görbületi középpont (a simulókör középpontja). A simuló síknak b

normálvektora. Az n és a b vektorok síkja: normális sík (N). A normális síknak e

normálvektora. Az e és a b vektorok síkja: rektifikáló sík (R). A rektifikáló síknak n normálvektora. Egy kétszer differenciálható térgörbe minden pontjához tartozik érintő egységvektor.

e

n

b R

N

S

3.1 ábra: Kísérő triéder, síkok

Egyenes esetén az érintő egységvektor minden pontban ugyanaz: az egyenes irányvektora. Ha a görbe eltér az egyenestől, akkor a görbén haladva az érintő egységvektor elfordul. Az elfordulás „gyorsaságát” a görbület értéke mutatja. Ha )t(r 1 és )t(r 2 az r :I görbe két különböző pontja, s az )t(r 1 és az )t(r 2

görbepontok közti ívhossz, az )t(r 1 és az )t(r 2

vektorok szöge (az érintővektor

szögelfordulása), akkor a s hányadost, ahol a [t1,t2] intervallumra vonatkozó átlagos

görbületnek nevezzük. A görbület értéke a görbe egy rögzített pontjában az átlagos görbület fogalmának felhasználásával határértékként adódik, a következők szerint. Görbület Legyen r :I kétszer differenciálható függvény, t0I rögzített, tI, s az )t(r 0 és az

)t(r vektorok által meghatározott görbepontok közti ívhossz, az )t(e 0 és az )t(e

vektorok szöge. Ekkor a s

lim0s

határértéket (ha létezik és véges) a )t(rt görbe

)t(r 0 pontbeli görbületének nevezzük. A görbület értéke azt mutatja meg, hogy a görbén haladva mennyi az érintővektor szögelfordulása (radiánban mérve) egységnyi ívhosszra vonatkoztatva. Fizikai dimenziója ]m/rad[ . A görbület kiszámítható az alábbi képlettel: egy kétszer differenciálható r :I függvény

görbülete a t0I helyen ( 0)t(r 0 esetben):

30

000

)t(r

)t(r)t(r)t(

.

Kimutatható, hogy a görbület értéke független a görbe paraméterezésétől, vagyis attól, hogy a görbét milyen képlettel állítjuk elő. Az egyenes görbülete nulla. Ahol a görbület nem nulla, ott a görbület nagyságának reciprokát görbületi sugárnak nevezzük:

)t(1)t(R0

0 .

Anyagi pont mozgásának vizsgálatakor a pálya pontjaihoz tartozó kísérő triéder vektorai az ún. természetes koordináta-rendszer bázisvektorai. A természetes koordináta-rendszernek fontos szerepe van a mozgástani összefüggések levezetésében. A pillanatnyi sebesség irányát az érintő egységvektor mutatja. (Fentebb láttuk, hogy a derivált vektor mozgás esetén a sebességvektor.) A mozgás a pálya minden pontjában (minden

38

időpillanatban) felfogható egy olyan körmozgásként, ami egy, a simuló síkban fekvő, a görbületi sugárral egyenlő sugarú körön (a simulókörön) történik. A kör középpontja a normális egységvektor mint irányvektor által meghatározott, a vizsgált görbeponton átmenő egyenesen van, a pálya „homorú” oldalán. Így egy általános mozgás pillanatnyi jellemzőinek kapcsolatát a körmozgásnál ismert összefüggésekkel lehet leírni. Egy kétszer differenciálható térgörbe minden olyan pontjához – ahol r és r nem nulla és nem párhuzamos vektor – tartozik kísérő triéder. A görbén haladva a triéder vektorai elfordulhatnak. Ha a térgörbe háromszor differenciálható, akkor a binormális egységvektor (vagyis a simulósík) elfordulásnak „gyorsaságát” a torzió értéke mutatja. Egy háromszor differenciálható térgörbe pontosan akkor síkgörbe, ha a torziója nulla. Torzió Legyen r :I háromszor differenciálható függvény, t0I rögzített, tI, s az )t(r 0 és az

)t(r vektorok által meghatározott görbepontok közti ívhossz, a )t(b 0 és a )t(b

vektorok (előjeles) szöge. Ekkor a s

lim0s

határértéket (ha létezik és véges) a )t(rt

görbe )t(r 0 pontbeli torziójának nevezzük. A torzió értéke azt mutatja meg, hogy a görbén haladva mennyi a binormális egységvektor (a simulósík) szögelfordulása (radiánban mérve) egységnyi ívhosszra vonatkoztatva. Fizikai dimenziója ]m/rad[ . A torzió kiszámítható az alábbi képlettel: egy háromszor differenciálható r :I függvény torziója a t0I helyen:

200

0000

)t(r)t(r

)t(r)t(r)t(r)t(

.

(A számlálóban a három vektor vegyes szorzata szerepel.) 3.6 Vektormezők divergenciája és rotációja

A vektormezők differenciálással való vizsgálatának alapja a korábban értelmezett differenciálhányados-tenzor, amelynek mátrixa a három koordinátafüggvény parciális deriváltjait tartalmazza. Könnyen belátható, hogy a differenciálhányados-mátrix elemei függenek a koordináta-rendszer megválasztásától. Ahogyan azt a lineáris függvények tárgyalásakor már megemlítettük, a tenzorhoz tartoznak a koordináta-rendszer megválasztásától független skalár-, illetve vektorértékek (invariánsok), amelyek a bázistól független fizikai mennyiségekkel vannak kapcsolatban. Erőterek, áramlási terek derivált tenzorához kötődően két invariánst említünk meg. A divergencia a vektormező forrásosságát mutatja. Folyadék áramlását vizsgálva adott térrészben a sebességmező divergenciája ott különbözik nullától, ahol nyelő vagy forrás van (anyag lép be az áramlási térbe, vagy távozik onnan). Elektromos térben az elektromos térerősségmező divergenciája ott különbözik nullától, ahol töltés van. Mágneses térben a mágneses térerősségmező divergenciája nulla, mert mágneses töltés nem létezik. Úgy is szoktunk fogalmazni, hogy az elektromos tér forrásos, míg a mágneses tér nem.

39

Divergencia A v :I differenciálható vektormező 0r I helyen vett divergenciája:

0zz0yy0xx0 rvrvrvrvdiv .

A divergencia a

0zz0zy0zx

0yz0yy0yx

0xz0xy0xx

0rvrvrvrvrvrvrvrvrv

rv differenciálhányados-mátrix

főátlójában lévő elemek összege, skalármennyiség. A divergencia szerepe a transzportegyenletekben Valamely extenzív mennyiségre vonatkozó

)t,r(j div)t,r(q)t,r(t

egyenletet, ahol: a vizsgált extenzív mennyiségre vonatkozóan a térfogati sűrűség; j a felületi áramsűrűség; q a forrássűrűség, általános kontinuitási (vagy transzport) egyenletnek nevezzük. (Ezt röviden úgy szokták írni, hogy j divqt .) Az általános transzport-egyenlet alkalmas bármely (helytől és időtől függő) extenzív mennyiség változásának leírására, az egyenlet megoldásával a mennyiség eloszlása az idő függvényében meghatározható. Ha például az extenzív mennyiség a tömeg ]kg[ , akkor az egyenletben szereplő

mennyiségek fizikai dimenziója a következő: a térfogati sűrűségé

3m

kg , a felületi

áramsűrűségé

2mskg , a forrássűrűségé

3mskg .

A kontinuitási egyenlet j div tagja azzal függ össze, hogy egy hely infinitezimális környezetéből van-e kiáramlás (vagy oda beáramlás). Ennek pontos megfogalmazásához szükséges a vektormező felület menti integráljának fogalma. Legyen F az 0r helyet a belsejében tartalmazó zárt felület, amelynek térfogata V. Az

Ad jF felület menti integrál értéke a térrészből kiáramló (negatív érték esetén

beáramló) extenzív mennyiség értékét adja másodpercenként. Az integrál értékét osztva V térfogattal a kiáramlás gyorsaságának térfogategységre jutó értékét kapjuk. A térrészt az 0r pontra „zsugorítva” jutunk a pontbeli divergenciához, ami lokális jellemző:

V

Ad jlimrjdiv F

Vr0V0

0

.

Ez a formula összefügg a Gauss–Osztrogradszkij-tétellel, amely szerint a fenti mennyiségek között fennáll, hogy dV j divAd j

VF .

Példák: Ha folyadék áramlását vizsgáljuk, akkor rjr a felületi tömegáramsűrűség-függvény.

Ha F zárt felület az áramlási térben, akkor az Ad jF felületmenti integrálérték a tér-

40

részből kiáramló (negatív érték esetén beáramló) folyadék tömegét adja másodper-cenként. Ha a hő konduktív terjedését vizsgáljuk, akkor rjr a felületi hőáramsűrűség-

függvény. Ha F zárt felület, akkor az Ad jF felület menti integrálérték a térrészből

kiáramló (negatív érték esetén beáramló) hőt adja másodpercenként (vagyis a hőteljesítményt). Az előjeltől függően hűl, illetve melegszik a térrész. Ha az elektromos vezetést vizsgáljuk, akkor rjr a felületi elektromos töltésáram-

sűrűség-függvény. Ha F zárt felület, akkor az Ad jF felület menti integrál értéke a

térrészből kiáramló (negatív érték esetén beáramló) töltésmennyiséget adja másodper-cenként (vagyis az áramerősséget). A j felületi áramsűrűség származhat a megfelelő intenzív mennyiség inhomogenitásából (erre előbb több példát is adtunk a gradiens fogalmához kapcsolódóan) és a közeg mozgásából. Az előbbi esetben konduktív (vezetéses), az utóbbi esetben konvektív áramról beszélünk. Képlettel:

y gradLvj , ahol_ v a konvektív áramsűrűség; v a közeg áramlási sebessége; y gradL konduktív (vezetéses) áramsűrűség; L a vezetési tényező. A konvektív tag az áramlási sebességgel, a konduktív tag az extenzív mennyiség gradiensével arányos. A kontinuitási egyenlet a konvektív és a konduktív áramsűrűség figyelembevételével:

y gradLvdivqt . Példaként tekintsük a hővezetés általános egyenletét (a hőmérséklet-eloszlást leíró egyenlet) szilárd test esetén (ekkor nem kell számolunk a közeg mozgásával, azaz

0v ):

qc

1TaTt

,

ahol: az a együttható a hőmérséklet-vezetési tényező; az ún. Laplace-operátor:

z2zzy

2yyx

2xx TTT Tgrad divT . (A hővezetés általános egyenlete az általános

kontinuitási egyenletből vezethető le.) Az általános hővezetési egyenlet egyszerűbb formát ölt, ha további feltételezéseket teszünk: ha a test hőforrásmentes (q=0), akkor a Fourier-egyenletet kapjuk: TaTt , ha a hőmérsékletmező időben állandó (stacioner), akkor a Poisson-egyenletet

kapjuk: 0q1T

,

ha a test hőforrásmentes és a hőmérsékletmező időben állandó, akkor a Laplace-egyenletet kapjuk: 0T .

Fontos példa a diffúzió (tömegáramlás). Amennyiben nincs tömegforrás, a kontinuitási egyenletből kiindulva a Fick-egyenlet kapjuk:

0 graddivDt vagy Dt , ahol: D a diffúziós tényező. Érdemes összehasonlítani a Fourier-és a Fick-egyenlet, amiből kiderül, hogy a hővezetés és a diffúzió hasonló jelenségek, az egyenletük matematikailag megegyezik.

41

Ha a tömegtranszportot abban az esetben vizsgáljuk, amikor a konduktív áram elhanyagolható a konvektívhez képest, a Reynolds-egyenletet kapjuk:

0vdivt . Rotáció A v :I differenciálható vektormező 0r I helyen vett rotációja:

0xy0yx

0xz0zx

0yz0zy

0rvrvrvrv

rvrvrv rot .

A rotáció kiszámítására utaló szimbolikus jelölés:

zyx

zyxvvv

kjidetv rot .

A rotáció a vektormező örvényességével függ össze. Tekintsük például egy rvr sebességmezőt, legyen F az 0r helyet a belsejében tartalmazó felület az áramlási térben,

amelynek felülete A, továbbá legyen az F felületet határoló zárt görbe G. Ekkor az rdvG

görbe menti integrál értékét a vetormezőnek a görbére vonatkozó cirkulációjának nevezzük. A felületet az 0r pontra „zsugorítva” lokális jellemzőhöz, a pontbeli rotációhoz („lokális cirkulációhoz”) jutunk:

A

rdvlim)r(vrotn G

Fr0A0

0

.

Az áramlási tér (sebességtér) egy pontjában számított rotációnak szögsebesség jelentése van. Ha a rotáció nem nulla 0r -ban, akkor az 0r hely környezetében a közeg

forgómozgást végez, amelynek szögsebessége )r(v rot21

0 .

Szokás bevezetni a ),,( zyx nablaoperátort (más néven Hamilton-operátort),

amellyel a fenti differenciáloperátorok könnyen felírhatók, és az ezeket tartalmazó egyenletek könnyebben kezelhetők. A gradiens-, a divergencia-, a rotáció- és a derivált mátrix szimbolikus jelölése a nablaoperátorral:

f)f,f,f(f radg zyx vvvvv div zzyyxx

fff graddivffff 22zz

2yy

2xx

vvvvv

vvv rot

xyyx

xzzx

yzzy

, vvvvvvvvvv

v

zzzyzx

yzyyyx

xzxyxx

.

3.7 Primitív függvény; potenciálfüggvény

A számolásokban (pl. integrálok kiszámítása, differenciálegyenletek megoldása) nagy jelentősége van annak, hogy egy függvényről meg tudjuk mondani, hogy derivált

42

függvény-e, és ha igen, akkor hogy melyik függvényé. Ez a kérdés bármely függvénytípusnál felvetődik, amelynek differenciálásáról beszéltünk. Az egyváltozós függvények körében egy F:I függvényről akkor mondjuk, hogy az f:I függvénynek primitív függvénye, ha F differenciálható az I intervallumon, és

)x(F)x(f minden xI esetén. Jelölés: fF .

Az integrálfüggvény tulajdonságaiból azonnal adódik, hogy intervallumon értelmezett folytonos függvénynek létezik primitív függvénye. A primitív függvény megtalálása általában igen nehéz, egyes esetekben nem is írható fel elemi függvényekkel. Például a valószínűségszámításban fellépő egyes eloszlásfüggvényekre nem létezik elemi függvényekkel felírható képlet, pedig a derivált függvényük (a sűrűségfüggvény) ismert. Az ilyen eloszlásfüggvények közelítő értékeiket táblázatból kell kikeresni. Ha F primitív függvénye f-nek, akkor az F+c függvény is primitív függvénye f-nek bármely c valós szám esetén, így ha egy függvénynek van primitív függvénye, akkor végtelen sok primitív függvénye van, ezek azonban legfeljebb konstansban térhet el egymástól. Egy függvény primitív függvényeinek halmazát a függvény határozatlan integráljának nevezzük. A vektorterekkel kapcsolatban alapvető kérdés, hogy potenciálos-e. Ha egy )r(vr vektormező esetén létezik olyan )r(ur skalármező, amelyre )r(ugrad)r(v , akkor az

)r(vr vektormezőt potenciálosnak, az )r(ur függvényt potenciálfüggvénynek nevezzük. Igazolható, hogy a potenciálos vektorterekben a rotáció azonosan nulla, és ezzel összefüggésben a cirkuláció bármely zárt görbére nulla. Ha egy erőteret potenciálos vektormező ír le, akkor azt konzervatív erőtérnek nevezzük. A konzervatív erőterek esetén azt szoktunk hangsúlyozni, hogy az erőtér munkája (cirkuláció) nem függ az anyagi pont mozgásának pályájától, csak annak kezdő- és végpontjától. Konzervatív például a gravitációs erőtér, az elektrosztatikus erőtér, a rugóerőtér, és általában minden homogén, illetve centrális erőtér. A konzervatív erőterekben az anyagi ponthoz – a hely függvényében – potenciális (helyzeti) energia rendelhető, ami a mechanikai energia egyik összetevője a mozgási energia mellett. Példa:

z

z3

22

yez2eyx2

yx3)r(v . Mivel az )r(vrotr függvény azonosan nulla, a vektormezőnek

létezik u potenciálfüggvénye. A keresett )r(ur potenciálfüggvénynek teljesítenie kell az alábbi egyenlőségeket:

22x yx3)r(u.I , z3

y eyx2)r(u.II , zz yez2)r(u.III .

I.-ből x szerinti integrálással: )z,y(gyx)z,y,x(u 23 , ahol g egyelőre ismeretlen

függvény. u ezen formáját II.-be helyettesítve: z3y

3 eyx2)z,y(gyx2 , amiből

)z(hye)z,y(g z , így )z(hyeyx)z,y,x(u z23 , ahol h egyelőre ismeretlen függvény.

u ezen formáját III.-ba helyettesítve: zz

z yez2)z(hye , amiből Cz)z(h 2 .

Mindezek alapján Czyeyx)z,y,x(u 2z23 , ahol C tetszőleges valós szám.

43

Példa: Pontszerű M tömeg által keltett gravitációs tér térerőssége, ha a vonatkoztatási pont a

tömegpont helye:

kgNe

|r|1M)r(E r2grav

2

311

skgm1067,6 , egy m

tömegpontra az r helyen ható gravitációs erő: ]N[e|r|mMmEF r2gravgrav

. Az

erőtér potenciálfüggvénye:

kgJ

|r|1M)r(ugrav . Összefüggés: gravgrav Egradu

(a -1 szorzó a fizikai fogalmak definíciójából adódik). Egy m tömegpont potenciális energiája az r helyen: ]N[m)r(u)r(U gravgrav .

Példa: Pontszerű Q töltés által keltett elektrosztatikus tér térerőssége, ha a vonatkoztatási pont

a töltés helye:

CNr

|r|1Qk)r(E 0

2el

2

29

CmN109k egy q töltésre az r helyen

ható elektosztatikus erő: ]N[e|r|qQkq)r(E)r(F r2elel

. Az erőtér potenciálfüggvénye:

CJ

|r|1Qk)r(uel . Összefüggés: elel Egradu (a -1 szorzó a fizikai fogalmak

definíciójából adódik). Egy q töltés potenciális energiája az r helyen: ]N[q)r(u)r(U elel .

44

4. INTEGRÁLÁS

4.1 Integrálra vezető problémák

A műszaki számításokban gyakran találkozunk azzal, hogy mennyiségek értékei úgy állnak elő, hogy egy függvény értékét szorozzuk az értelmezési tartománya egy részhalmazának mértékével, például a tömeget úgy kapjuk meg, hogy a térfogati tömegsűrűséget szorozzuk a test által kitöltött térrész térfogatával. Ezek az esetek vezetnek az integrál fogalmához. Az egyszerű szorzás csak akkor alkalmazható, ha a függvény értéke állandó az adott halmazon. Egyébként úgy kell eljárnunk, hogy a szorzatokat alkalmasan megválasztott (ez eredeti halmaz ún. felosztásával előálló) részhalmazokon számítjuk ki, a szorzatokat összeadjuk, megkapva így a mennyiség egy közelítő értékét. Az elméleti pontos értékhez egyfajta határértékként jutunk úgy, hogy a felosztást finomítva megfigyeljük a közelítő összegek viselkedését. A műszaki számításokban előforduló integrálok kiszámítását az n típusú, folytonos, korlátos függvények integráljára alapozzuk: például a komplex és a vektor értékű függvények integráljait, az improprius integrálokat, a görbe menti és a felület menti integrálokat, bizonyos feltételek mellett, erre vezethetjük vissza. A példáink elsősorban az alábbi problémakörökhöz kapcsolódnak: 1. Mennyiség adott időtartam alatti megváltozásának kiszámítása az idő szerinti változási gyorsaságból. Ha egy mennyiség idő szerinti változási gyorsasága ([~/s] dimenziójú) mérhető vagy számítható, időben állandó érték, akkor a mennyiség megváltozása a változási gyorsaság és az eltelt idő szorzata. Például a mozgások vizsgálatánál bizonyos esetekben a gyorsulás határozható meg a körülményekből, ami a sebesség változási gyorsasága; egy áramkörben mért áramerősség a vezető egy keresztmetszetén átáramlott töltésmennyiség változási gyorsasága. 2. Extenzív mennyiség összértékének meghatározása egy tartományon a sűrűségfüggvény ismeretében. Ha egy tartomány pontjaiban ismert egy mennyiségnek egy tartomány egységnyi részére (pl. egységnyi hosszra, területre, térfogatra) vonatkoztatott értéke (sűrűsége), és a sűrűség értéke a tartományon belül állandó, akkor a mennyiség összértéke a sűrűség és a tartomány mértékének szorzata. A leggyakrabban előforduló sűrűség jellegű mennyiségek a tömegsűrűség, az elektromos töltéssűrűség, az erősűrűség (nyomás), az

45

energiasűrűség, a fluxussűrűség, de bármely extenzív mennyiség sűrűségéről beszélhetünk. 3. A munka kiszámítása. Itt egyrészt az erőtér munkájának kiszámításával foglalkozunk, miközben egy pontszerű test befut egy pályát az erőtérben (görbe menti integrál), másrészt a gázok tágulási munkájának meghatározásával. 4. Adott felületen „átmenő” fluxus kiszámítása. Itt az erőterekkel és az áramlási terekkel foglalkozunk: adott felülethez meghatározzuk a rajta áthaladó erővonalak, illetve áramvonalak számát. 5. Geometriai jellemzők kiszámítása. Például: terület, térfogat, ívhossz, felszín. 6. Nyomatékok kiszámítása. Például: statikai (elsőrendű) nyomaték, tehetetlenségi (másodrendű) nyomaték. A következő táblázat néhány példát (szorzási szabályt) mutat ezen kategóriákból. A változási gyorsaságon alapuló számítások Itt a tartomány időintervallum, mértéke az időtartam: t , ]s[ .

Mennyiség változási gyorsasága A mennyiség megváltozása t idő alatt (állandó változási gyorsaság esetén)

pályasebesség: v ,

sm a pályakoordináta megváltozása:

tvs , ]m[

sebességvektor: v ,

sm a hely vektor megváltozása (elmozdulás):

tvr , ]m[

pálya menti gyorsulás: a ,

2s

m a pálya menti sebesség megváltozása:

tav ,

sm

gyorsulásvektor: a ,

2s

m a sebesség vektor megváltozása:

tav ,

sm

áramerősség: I ,

sCA átáramlott töltésmennyiség:

tIQ , ]C[

teljesítmény: P ,

W

sJ leadott energia:

tPE , ]J[

A vonalmenti sűrűségen alapuló számítások Itt a tartomány görbedarab (speciálisan lehet szakasz), mértéke ívhossz: s , ]m[ .

46

Sűrűség Mennyiség összértéke

(állandó sűrűség esetén)

vonal menti tömegsűrűség: tömeg ,

mkg

tömeg: sm tömeg , ]kg[

vonal menti töltéssűrűség: töltés ,

mC

töltés: sQ töltés , ]C[

vonal menti erősűrűség: f ,

mN

eredő erő: sfF , ]N[

A felületi sűrűségen alapuló számítások Itt a tartomány felületdarab, mértéke a felszín: A , ]m[ 2 .

Sűrűség Mennyiség összértéke

(állandó sűrűség esetén)

felületi tömegsűrűség: tömeg ,

2m

kg tömeg:

Am tömeg , ]kg[

felületi töltéssűrűség: töltés ,

2m

C töltés:

AQ töltés , ]C[

felületi erősűrűség (nyomás): p , ]Pa[ erő:

ApF , ]N[

fluxussűrűség (vektormező): fluxus:

AcosA

A térfogati sűrűségen alapuló számítások Itt a tartomány térrész, mértéke a térfogat: V , ]m[ 3 .

Sűrűség Mennyiség összértéke

(állandó sűrűség esetén) térfogati töltéssűrűség:

töltés ,

3m

C töltés:

VQ töltés , ]C[

térfogati tömegsűrűség:

tömeg ,

3m

kg tömeg:

Vm tömeg , ]kg[

térfogati energiasűrűség:

energia ,

3mJ

tömeg: VE energia , J

47

Egyéb számítások

Mennyiség A tartomány mértéke Szorzat

erő (vektor): F , ]N[ elmozdulás: r , ]m[ az erő munkája:

rFW , ]J[

nyomás: p , ]Pa[ térfogatváltozás: V , ]m[ 3 (izobar) munkavégzés:

VpW , ]J[

magasság: d, ]m[ hossz: x , ]m[ terület:

xdT , ]m[ 2

magasság: d, ]m[ terület: T , ]m[ 2 térfogat:

TdV , ]m[ 3 4.2 Jordan-mérték; halmaz felosztása

A klasszikus műszaki problémák tárgyalásához megfelelő a Riemann integrál fogalma, ami a Jordan-mértékhez kötődik. (A matematikában hasznosabbnak bizonyultak a Riemann integrálnál általánosabb integrálfogalmak, például az ún. Lebesgue mértékhez kötődő Lebesgue integrál.)

, 2 és 3 korlátos részhalmazai körében a Jordan-mérhetőség megfelel annak, hogy a halmaznak a klasszikus értelemben van hossza, területe, illetve térfogata. Az n-beli Jordan-mérték fogalma az n-dimenziós intervallumok mértékéből származtatható. Ha az

n21 I,...,I,I egydimenziós korlátos intervallumok hossza n21 L,...,L,L , akkor az

n21 I...II n-dimenziós intervallum mértéke n21n21 L...LL)I...II( . Először a belső és a külső mérték fogalmát definiáljuk! Ha a D n korlátos halmaz által tartalmazott k21 B,...,B,B n-dimenziós intervallumok

esetén bármely kettőre fennáll, hogy nincs közös belső pontjuk, akkor a )B(k

1ii

összeget

a D-hez tartozó belső összegnek nevezzük. Ha D n korlátos halmaz, a k21 K,...,K,K n-

dimenziós intervallumokra k

1iiKD

, továbbá bármely kettőre fennáll, hogy nincs közös

belső pontjuk, akkor a )K(k

1ii

összeget a D-hez tartozó külső összegnek nevezzük.

Egy D n korlátos halmaz belső mértékén a D-hez tartozó belső összegek halmazának pontos felső korlátját (szuprémumát), külső mértékén a D-hez tartozó külső összegek halmazának pontos alsó korlátját (infinumát) értjük. Továbbá D-t Jordan-mérhetőnek nevezzük, ha a belső mértéke egyenlő a külső mértékével. Ezt a közös értéket a D Jordan-mértékének nevezzük. Az n típusú függvények Riemann-integrálját n Jordan-mérhető részhalmazain értelmezzük. Az integrál definiálásakor használjuk az ilyen halmazok felosztásának fogalmát. Jordan-mérhető halmazok k21 D,...,D,D rendszerét a D n Jordan-mérhető halmaz felosztásának nevezzük, ha az egyesítésük (uniójuk) kiadja D-t, továbbá bármely kettőre fennáll, hogy nincs közös belső pontjuk.

48

Egy D n halmaz átmérőjén az elemei távolságának pontos felső korlátját értjük: |yx|sup)D(diam

Dy,x

. Egy D n halmaz D= k21 D,...,D,D felosztásának finomsága a

szereplő halmazok átmérőinek maximuma: finomság(D)= )D(diammax ii

.

Egy D n halmazhoz tartozó, minden határon túl finomodó felosztássorozaton a D felosztásainak olyan D1,D2,… sorozatát értjük, melyre

klim (finomság(Dk))=0.

4.3 Integrálközelítő összegek

Ebben a részben – az előbb bemutatott problémákhoz kapcsolódóan – néhány példát mutatunk integrálközelítő összegre. Ahhoz, hogy a műszaki összefüggésekben szereplő integrálokat „értsük”, mindenekelőtt azzal kell tisztában lennünk, hogy ezek mögött milyen integrálközelítő összegek vannak, illetve hogy ezek milyen alapösszefüggésekből származnak. Az integrálokkal kapcsolatos elméleti megfontolások és az integrálok kiszámításának különböző lehetőségei ebből a szempontból nem annyira lényegesek. 1. Pályakoordináta megváltozásának kiszámítása a pályamenti sebességből Rögzített pályán mozgó anyagi pont pályasebessége a ]t,t[ BA időtartamon a )t(vt függvény szerint alakul. Írjuk fel közelítőleg a pályakoordináta értékének megváltozását! A ]t,t[ BA időintervallum felosztása legyen Bn210A tt...tttt . Minden részintervallumban válasszunk egy időpillanatot: nn22110 t...ttt . Ha a ]t,t[ i1i részintervallumokban állandó )(v i sebességet feltételezünk, akkor a pályakoordináta értékének a mozgás során bekövetkező megváltozása közelítőleg (integrálközelítő összeg):

n

1iii

n

1i1iii

n

1ii t)(v)tt()(vss

A hely megváltozásának pontos értékét a b

a

t

tdt)t(vs integrál adja.

2. Az energiaváltozás kiszámítás a teljesítményből Egy rendszer energialeadása a ]t,t[ BA időintervallumon a )t(Pt függvény szerint alakul. Írjuk fel közelítőleg a leadott energia értékét! A ]t,t[ BA időintervallum felosztása legyen Bn210A tt...tttt . Minden részintervallumban válasszunk egy időpillanatot: nn22110 t...ttt . Ha a ]t,t[ i1i részintervallumokban állandó )(P i teljesítményt feltételezünk, akkor a leadott energia közelítőleg (integrálközelítő összeg):

n

1iii

n

1i1iii

n

1ii t)(P)tt()(PEE

Az energiaváltozását pontos értékét a b

a

t

tdt)t(PE integrál adja.

49

3. A tágulási munka kiszámítása a p-V diagramból Zárt térrészben lévő gáz AV térfogatról BV térfogatra tágul. A folyamat során a gáz nyomását a térfogat függvényében a )V(pV , BA V,VV függvény írja le. Határozzuk meg a gáz által végzett tágulási munkát a folyamat során! A ]V,V[ BA intervallum felosztása legyen Bn210A VV...VVVV . Minden részintervallumban válasszunk egy térfogatértéket: nn22110 V...VVV . Ha a ]V,V[ i1i részintervallumokban állandó )(p i nyomást feltételezünk, akkor a munkavégzés közelítőleg (integrálközelítő összeg):

n

1iii

n

1i1iii

n

1ii V)(p)()(pWW .

A tágulási munka pontos értékét a b

a

V

VdV)V(pW integrál adja.

4. Vezető keresztmetszetén átáramlott töltésmennyiség kiszámítása az áramerősségből Egy vezető adott keresztmetszetén mért áramerősség a ]t,t[ BA időintervallum alatt

)t(It , BA ttt függvény szerint alakul. Írjuk fel a keresztmetszeten átáramlott töltésmennyiség közelítő értékét! A ]t,t[ BA időintervallum felosztása legyen Bn210A tt...tttt . Minden részintervallumban válasszunk egy időpillanatot: nn22110 t...ttt . Ha a ]t,t[ i1i részintervallumokban állandó )(I i áramerősséget feltételezünk, akkor az átáramlott töltésmennyiség közelítőleg (integrálközelítő összeg):

n

1iii

n

1i1iii

n

1ii t)(I)tt()(IQQ .

A töltésmennyiség pontos értékét a b

a

t

tdt)t(IQ integrál adja.

5. Eredő erő kiszámítása vonal mentén megoszló, párhuzamos erőrendszer esetén Egy egyenes tartót a tartóra merőleges megoszló erőrendszer terhel. A tartó ]b,a[

szakaszán a vonal menti erősűrűség az )x(fx , b,ax függvény szerint alakul. Írjuk fel az erőrendszer eredőjének közelítő értékét! Az ]b,a[ intervallum felosztása legyen bx...xxxa n210 . Minden

részintervallumban válasszunk egy helyet: nn22110 x...xxx . Ha az ]x,x[ i1i részintervallumokban állandó )(f i erősűrűséget feltételezünk, akkor az erőrendszer eredője közelítőleg (integrálközelítő összeg):

n

1iii

n

1i1iii

n

1ii x)(f)xx()(fFF .

Az eredő erő pontos értékét a b

adx)x(fF integrál adja.

6. Síkidom területe A fenti példákban megfigyelhetjük, hogy az integrálközelítő összegek felírásakor egy függvény értékeit szoroztuk intervallumok hosszával. Ezeket a szorzatokat előjeles téglalap-területeknek feleltethetjük meg, amit a gyakorlatban úgy is szoktunk

50

fogalmazni, hogy az érték „függvény alatti területként” adódik: például a gáz által végzett tágulási munka a „p-V diagram alatti területtel” egyenlő. Természetesen akkor is hasonló integrálközelítő összeget kell felírnunk, ha valóban területet kell számolnunk. Ha egy olyan síkidommal van dolgunk, amit egy nemnegatív f:[a,b] függvény határoz meg úgy, hogy a síkidomot „egyik oldalról” a függvény grafikonja (görbedarab), „másik oldalról” az [a,b] intervallum, többi oldalról a tartományt lezáró függőleges vonalak határolnak, akkor a síkidom területének (a függvény alatti területnek) a közelítő értékét az alábbiak szerint kapjuk: Az ]b,a[ intervallum felosztása legyen bx...xxxa n210 . Minden

részintervallumban válasszunk egy helyet: nn22110 x...xxx . Ha az ]x,x[ i1i részintervallumokban állandó )(f i függvényértéket feltételezünk, akkor a terület közelítőleg (integrálközelítő összeg):

n

1iii

n

1i1iii

n

1ii x)(f)xx()(fAA .

A terület pontos értékét az b

adx)x(fA integrál adja.

7. Forgástest térfogata Testek térfogatának számítása is integrálközelítő összeg felírásán alapszik. Abban a speciális esetben, amikor a test egy nemnegatív értékű )x(fx , b,ax függvény x tengely körüli megforgatásával keletkező forgástest, akkor a térfogata az alábbiak szerint közelíthető: Az ]b,a[ intervallum felosztása legyen bx...xxxa n210 . Minden

részintervallumban válasszunk egy helyet: nn22110 x...xxx . Ha az ]x,x[ i1i részintervallumokban állandó )(f i függvényértéket feltételezünk, akkor a térfogat közelítőleg (integrálközelítő összeg, hengerek térfogatainak összege):

n

1iii

2n

1i1iii

2n

1ii x)(f)xx()(fVV .

A térfogat pontos értékét a b

a

2 dx)x(fV integrál adja.

8. Tartály falára ható erő A fentiekben felsorolt integrálközelítő összegek néhány tipikus számoláshoz tartoznak. A műszaki számításokban általában a geometriai viszonyokból és a számítás szempontjából lényeges mennyiségek helytől vagy időtől való függése alapján lehet megkonstruálni a közelítő összeget. Például egy vízzel telt tartály d széles, h magas függőleges oldalfalára a víz hidrosztatikai nyomásából adódóan ható eredő nyomóerő közelítőleg:

n

1iii

n

1i1iii

n

1ii xdg)xx(dgFF , h

x

0

1ix ix

d

ahol: a víz sűrűsége; g a gravitációs gyorsulás; hx...xxx0 n210 a ]h,0[

intervallum egy felosztása és nn22110 x...xxx . A erő közelítése a

51

xg)x(p , h,0x függvényen alapszik, ami a vízoszlop magasságából adódó hidrosztatikai nyomás.

Az erő pontos értékét az h

0dxxbgV integrál adja.

9. Térfogat Ha egy olyan testtel van dolgunk, amit egy nemnegatív f:[a,b]×[c,d] kétváltozós függvény határoz meg úgy, hogy a testet „egyik oldalról” a függvény grafikonja (felületdarab), „másik oldalról” az [a,b]×[c,d] téglalap, a többi oldalról pedig a tartományt lezáró „függőleges” síkidomok határolnak, akkor a test térfogatának közelítő értékét az alábbiak szerint kapjuk. Az ]b,a[ intervallum felosztása legyen bx...xxxa n210 , a ]d,c[ intervallum

felosztása legyen dy...yyyc m210 . Ezzel az [a,b]×[c,d] téglalapot n m

darab kis téglalapra osztottuk: ]y,y[]x,x[ j1ji1i , m,...,1j,n,...,1i . Minden kis

téglalapban válasszunk egy ]y,y[]x,x[r j1ji1iij helyet. Ha az ]y,y[]x,x[ j1ji1i

téglalapon állandó )r(f ij függvényértéket feltételezünk, akkor a térfogat közelítőleg

(integrálközelítő összeg, téglatestek térfogatainak összege):

n

1i

m

1jijij

n

1i

m

1jjiij

n

1i

m

1j1jj1iiiji A)r(fyx)r(f)yy()xx()r(fVV ,

ahol: Aij az ]y,y[]x,x[ j1ji1i téglalap területe.

A térfogat pontos értékét a dA )y,x(fdxdy )y,x(fV]d,c[]b,a[]d,c[]b,a[

kettős integrál adja.

10. Tömeg Ha egy V0=[a,b]×[c,d]×[e,f] téglatest térfogati tömegsűrűségét egy :V0 háromváltozós függvény írja le, akkor a test tömegét az alábbiak szerint közelíthetjük: Az ]b,a[ intervallum felosztása legyen bx...xxxa n210 , a ]d,c[ intervallum

felosztása legyen dy...yyyc m210 , az ]f,e[ intervallum felosztása legyen

fz...zzze k210 . Ezzel a V0 téglatestet n·m·k darab kis téglatestre osztottuk:

]z,z[]y,y[]x,x[V l1lj1ji1iijl , k,...,1l,m,...,1j,n,...,1i . Minden kis téglalapban

válasszunk egy ]z,z[]y,y[]x,x[r l1lj1ji1iijl helyet. Ha a ijlV téglatestben állandó

)r( ijl sűrűséget feltételezünk, akkor a tömeg közelítőleg (integrálközelítő összeg):

n

1i

m

1j

k

1l1ll1jj1iiijl

n

1i

m

1j

k

1lijl )zz()yy()xx()r(mm

n

1i

m

1j

k

1lijlijl

n

1i

m

1j

k

1lljiijl V)r(zyx)r( ,

ahol: Vijl az ]z,z[]y,y[]x,x[ l1lj1ji1i téglatest térfogata.

A tömeg pontos értékét az dV rm0V térfogati (hármas) integrál adja.

52

4.4 Skalárértékű függvények integrálja

4.4.1 Az n típusú függvények integrálja

Legyen D az n halmaz egy Jordan-mérhető részhalmaza, és tekintsük az f:D korlátos függvényt. Legyen D= D,...,D,D k21 a D egy felosztása, és legyen = ),...,,( k21 ,

iDi, i=1,…,k. Ekkor az

I(D, )=

k

1iii Df

összeget, ahol iD a Di halmaz mértékét jelöli, az f függvény D felosztáshoz és a

alapponthoz tartozó integrálközelítő összegének nevezzük. Ha bármely minden határon túl finomodó (Di,i), i=1,2,... (beosztás, alappont)-sorozat esetén létezik a

ilim I(Di,i)

határérték, akkor azt mondjuk, hogy az f függvény integrálható a D halmazon. Ha az f függvény integrálható a D halmazon, akkor a határérték egyértelmű, és az f függvény D halmazon vett integráljának nevezzük. Jelölése:

Df . Igazolható, hogy ha az f függvény

folytonos is, akkor integrálható. Ekkor az D

f integrált bármely minden határon túl

finomodó (Di,i) (beosztás,alappont)-sorozat esetén megkapjuk a i

lim I(Di,i)

határértékkel. 4.4.2 Az integrál néhány alapvető tulajdonsága

Az integrál lineáris: ha az f,g:D függvények integrálhatók, akkor bármely , esetén

DDD

gf)gf( .

Az integrál végesen additív: ha az ffüggvény integrálható a D1,…,Dk halmazokon, akkor

integrálható ezek k

1iiDD

unióján is. Továbbá, ha a D1,…,Dk halmazok közül bármely

kettőre igaz, hogy nincs közös belső pontjuk, akkor

k

1i DD i

ff .

Ha az f:D függvény integrálható és M)x(fm , xD, akkor

)D(Mf)D(mD

A következőkben néhány megjegyzést teszünk az , 2 , 3 típusú függvények integráljával kapcsolatban.

53

4.4.3 típusú függvények integrálja

Az f:[a,b] függvény [a,b] intervallumon vett integráljának jelölése: b

af , vagy dx)x(f

b

a .

Egy f:[a,b] függvény esetén az integrálközelítő összegek téglalapok előjeles

területeinek összegei, az b

af integrál pedig „geometriailag” a függvény alatti előjeles

területet adja. Sokszor fogalmazunk úgy, hogy egy mennyiség „függvény alatti területként” adódik. Egyes alkalmazásokban fontosak a szakaszonként folytonos függvények. Ha az I1,I2,…,Ik olyan intervallumok, amelyek páronként diszjunktak, egyesítésük kiadja az I intervallumot, továbbá az f:I függvény korlátos és folytonos az I1,I2,…,Ik intervallumok mindegyikén, akkor azt mondjuk, hogy az f függvény szakaszonként folytonos I-n. A szakaszonként folytonos függvények szakadási helyeinek száma véges, és az integrál véges additivitása miatt az ilyen függvények integrálhatók. Ha az f:a,b függvény folytonos, akkor van olyan a,b, amelyre

)ab()(ffb

a , avagy

b

af

ab1)(f .

Mennyiségek időfüggésének vizsgálatában többféle átlagos érték használatos. Mechanikai vagy elektromos rezgések szintjének jellemzésére legalkalmasabb az

Tt

t

2effektív

0

0

dt)t(xT1x effektív érték (négyzetes közép, T a periódusidő).

Használatos még az

Tt

tátlag

0

0

dt)t(xT1x átlag (integrálközép), és az

Tt

tátlag

0

0

dt)t(xT1x a függvény abszolút értékének átlaga is.

A változók cseréje (helyettesítéses integrálás) Az elméleti levezetésekben és az integrálok kiszámításában is fontos technika a változótranszformáció (új változó bevezetése). Az egyváltozós függvények integrálját illetően ez a következőképpen fogalmazható meg: ha a g:x1,x2c,d függvény folytonosan differenciálható és az f:c,d függvény folytonos, akkor

)x(g

)x(g

x

x

21

11

2

1

ggff .

A számolásokban inkább az dtdtdx)t(xfdx)x(f

2

1

2

1

t

t

x

x írásmódot használjuk, ahol a „régi”

és az „új” változó kapcsolatát a )t(xt , illetve az )x(tx függvények jelölik.

Példa: 1

0

teln

1lnt

e

1dttdte

etdx

xxln .

Itt g(t)=et, g'(t)=et, g-1(x)=lnx, avagy: xlnt , tex , tedtdx

.

54

4.4.4 2 típusú függvények integrálja

n=2 esetben, vagyis ha az értelmezési tartomány kétdimenziós, az integrált szokás kettős integrálnak nevezni és a következő módokon jelölni:

DDD

dxdy )y,x(fdA )y,x(fdA )y,x(f .

Egy kétváltozós f:D függvény esetén az integrálközelítő összegek téglatestek előjeles térfogatainak összegei, az

Df integrál pedig „geometriailag” a függvény alatti előjeles

térfogatot adja. Sokszor fogalmazunk úgy, hogy egy mennyiség „függvény alatti térfogatként” adódik. Az integrál kiszámítása szempontjából fontos, hogy a kettős integrál bizonyos feltételek mellett visszavezethető két egyszeres integrál kiszámítására (Fubini-tétel). Ha f folytonos és ]b,a[]b,a[D 2211 (téglalap tartomány), akkor:

dxdy )y,x(fdxdy )y,x(f1

1

2

2

b

ax

b

ayI

.

Ha f folytonos és )x(gy)x(g,bxa:)y,x(D 21 (normál tartomány), akkor

dxdy )y,x(fdxdy )y,x(fb

ax

)x(g

)x(gyI

2

1

.

4.4.5 3 típusú függvények (skalármezők) integrálja

n=3 esetben, vagyis ha az értelmezési tartomány háromdimenziós, az integrált szokás hármas integrálnak vagy térfogati integrálnak nevezni és a következő módokon jelölni:

DDD

dxdydz )z,y,x(fdV )z,y,x(fdV )z,y,x(f .

Az integrál kiszámítása szempontjából fontos, hogy a térfogati integrál bizonyos feltételek mellett visszavezethető három egyszeres integrál kiszámítására (Fubini tétel). Ha f folytonos és ]b,a[]b,a[]b,a[D 332211 (téglatest tartomány), akkor

dxdydz)z,y,x(fdxdydz )z,y,x(f1

1

2

2

3

3

b

ax

b

ay

b

azI

.

Ha f folytonos és )y,x(hy)y,x(h),x(gy)x(g,bxa:)z,y,x(D 2121 (normál tartomány), akkor

dxdydz)z,y,x(fdxdydz )z,y,x(f1

1

2

1

2

1

b

ax

)x(g

)x(gy

)y,x(h

)y,x(hzI

.

4.4.6 Az integrál kiszámítása polár- és hengerkoordinátákkal

Számos alkalmazásban egyszerűbb az integrálási tartomány, vagy a függvény felírása polár- vagy henger-koordináta-rendszerben, mint derékszögűben, így célszerű lehet polár-, illetve hengerkoordinátákra áttérni. A változók cseréjének gondolata hasonló az típusú függvényeknél leírtakhoz.

55

Áttérés polárkoordinátákra 2 típusú függvények esetén 2 típusú függvényeknél az (x,y) derékszögű és az (r,) polárkoordináták közti

kapcsolatot az

sinrcosr

),r(T),r(T

),r(Tyx

y

x folytonosan differenciálható

transzformációs függvény teremti meg. A D 2 korlátos halmazokra vezessük be a D)sinr,cosr(:),r(D ),r( jelölést.

Az integrál polárkoordinátákkal való felírásában az 2 2 típusú T függvény

cosrsinsinrcos

)sinr()sinr()cosr()cosr(

),r(T),r(T),r(T),r(T

),r(Tr

r

yyr

xxr

deriváltja játsza a főszerepet: ha D egy folytonosan differenciálható zárt görbével határolt tartomány a síkban, f:D folytonos függvény, akkor

),r(),r( DDD

drd r)sinr,cosr(fdrd ),r(Tdet)sinr,cosr(fdxdy )y,x(f ,

ahol: az ),r(Tdet),r( függvényt a T transzformáció Jacobi-determinánsának

nevezzük. Áttérés polár-koordinátákra 3 típusú függvények esetén

3 típusú függvényeknél az (x,y,z) derékszögű és az (r,,) polár-koordináták közti

kapcsolatot az

cosr

sinsinrsincosr

),,r(T),,r(T),,r(T

),,r(T)z,y,x(

z

y

x folytonosan

differenciálható transzformációs függvény teremti meg. A D 3 korlátos halmazokra vezessük be a

D)cosr,sinsinr,sincosr(:),,r(D ),,r(

jelölést. Az integrál polárkoordinátákkal való felírásában az 3 3 típusú T függvény

),,r(T),,r(T),,r(T),,r(T),,r(T),,r(T),,r(T),,r(T),,r(T

),,r(T

zzzr

yyyr

xxxr

)cosr()cosr()cosr()sinsinr()sinsinr()sinsinr()sincosr()sincosr()sincosr(

r

r

r

sinr0cos

cossinrsincosrsinsincoscosrsinsinrsincos

deriváltja játssza a főszerepet: ha D egy folytonosan differenciálható zárt görbével határolt tartomány a síkban, f:D folytonos függvény, akkor

),,r(DD

ddrd ),,r(Tdet)cosr,sinsinr,sincosr(fdxdydz )z,y,x(f

),,r(D

2 ddrd )sinr()cosr,sinsinr,sincosr(f ,

ahol: az ),,r(Tdet),,r( függvényt a T transzformáció Jacobi-

determinánsának nevezzük.

56

Áttérés hengerkoordinátákra 3 típusú függvények esetén 3 típusú függvényeknél az (x,y,z) derékszögű és az (r,,z) hengerkoordináták közti

kapcsolatot az

zsinrcosr

)z,,r(T)z,,r(T)z,,r(T

)z,,r(T)z,y,x(

z

y

x folytonosan differenciálható

transzformációs függvény teremti meg. A D 3 korlátos halmazokra vezessük be a D)z,sinr,cosr(:)z,,r(D )z,,r(

jelölést. Az integrál hengerkoordinátákkal való felírásában az 3 3 típusú T függvény

)z,,r(T)z,,r(T)z,,r(T)z,,r(T)z,,r(T)z,,r(T)z,,r(T)z,,r(T)z,,r(T

)z,,r(T

zzzzr

yzyyr

xzxxr

1000cosrsin0sinrcos

)z()z()z()sinr()sinr()sinr()cosr()cosr()cosr(

zr

zr

zr

deriváltja játssza a főszerepet: ha D egy folytonosan differenciálható, zárt felülettel határolt tartomány a térben, f:D folytonos függvény, akkor

),,r(DD

dzdrd )z,,r(Tdet)z,sinr,cosr(fdxdydz )z,y,x(f

),,r(D

dzdrd r)z,sinr,cosr(f ,

ahol az )z,,r(Tdet)z,,r( függvényt a T transzformáció Jacobi-

determinánsának nevezzük. 4.5 Improprius integrál

A Riemann-integrált korlátos függvény esetén és korlátos intervallumon definiáltuk. Van értelme azonban az integrálási tartományon nemkorlátos függvények integráljáról, ill. nem-korlátos tartományon vett integrálról beszélni az alábbi definíciók alapján. Legyen a , ab vagy b=+ és az f:[a,b[ függvény integrálható minden c[a,b[ esetén az [a,c] intervallumon. Ekkor az f függvény [a,b[ intervallumon vett improprius

integrálján a Iflimc

abc

határértéket értjük, amennyiben ez egy valós szám. Ebben az

esetben azt mondjuk, hogy az improprius integrál konvergens, különben azt, hogy divergens. Legyen b , ba vagy a=- és f:]a,b] integrálható minden c]a,b esetén a [c,b] intervallumon. Ekkor az f függvény ]a,b] intervallumon vett improprius integrálján a

Iflimb

cac

határértéket értjük, amennyiben ez egy valós szám. Ebben az esetben azt

mondjuk, hogy az improprius integrál konvergens, különben azt, hogy divergens.

57

Ha az f:]a,b[ függvényre (a {-}, b {+}) valamely c esetén léteznek az

cf és az

cf improprius integrálok, akkor az f függvény ]-,+[ intervallumon vett

improprius integrálján az

c

cff értéket értjük.

Példa:

arctgblim)arctga(limdx

x11limdx

x11limdx

x11

ba

b

02b

0

a2a2 .

4.6 Vektorértékű és komplex értékű függvények integrálása

Az mvektortér elemei közti, valamint a komplex számok közti műveletek tulajdonságai alapján az n m típusú és az n típusú függvények integrálhatóságának és integráljának fogalma visszavezethető az n típusú függvényre korábban tárgyalt megfelelő fogalmakra. Legyen D n, f :D m korlátos függvény, )f,...,f(f m1 . Az f D halmazon vett integráljához kapcsolódó integrálközelítő összeg:

I(D, )=

k

1i

k

1iii1ii1

k

1iii Df,...,DfDf .

Az f :D m függvény integrálható a D halmazon, ha az fi:D , i=1,…,m

koordinátafüggvényei integrálhatók a D halmazon, és ekkor

Dm

D1

Df,...,ff .

Legyen D n, f:D korlátos függvény, )x(bi)x(a)x(f . Az f függvény D halmazon vett integráljához kapcsolódó integrálközelítő összeg:

I(D, )=

k

1jjjj

k

1jjj D)(bi)(aD)(f .

Az f:D függvény integrálható a D halmazon, ha az a,b:D függvények integrálhatók a D halmazon, és ekkor

DDDbiaf .

4.7 Vektormezők integrálása

4.7.1 Erőtér munkája; görbe menti integrál

Egy erőtér munkájának kiszámítása azon alapszik, hogy az állandó F erő által egy tömegponton végzett munkát a rFW skaláris szorzat adja, ahol r az elmozdulás vektor.

58

))(r(F 1r

1r 2r3r 4r

))(r(F 2

))(r(F 3

))(r(F 4

AB

F

4.1 ábra: Erőtér adott görbe menti munkája

Ennek alapján az rFr erőtér munkája egy tömegponton, míg az egy )t(rt ,

BA ttt függvénnyel megadott pályát (görbeívet) befut, az alábbiak szerint közelíthető: A ]t,t[ BA időintervallum felosztása legyen Bk210A tt...tttt . Minden részintervallumban válasszunk egy időpillanatot: kk22110 t...ttt . A

]t,t[ i1i részintervallumokban állandó )(F i erőt feltételezve a munka értéke közelítőleg:

k

1iii

k

1i1iii

k

1ii r)(rF)rr()(rFWW .

Általában egy v : 3 3 folytonos vektormezőnek egy folytonosan differenciálható

)t(rt , BA ttt görbe mentén vett görbe menti integráljának közelítő összege (a

fenti gondolatokat és jelöléseket használva):

k

1iii r)(rv , a görbe menti integrál

pedig az

B

A

B

A

t

t

r

,rdt )t(r))t(r(vrd )r(v

érték. Ennek megfelelően a munka pontos értékét a

B

A

B

A

t

t

r

,rdt )t(r))t(r(Frd )r(FW

görbe menti integrál adja. Példa:

)zy5,yzx,zyx()z,y,x(v)r(v 24 , : )t,t6,t4()t(r 2 , 0t1,

59

1

0

3442t

tdt 1,12t,1-t65,t36t)t4(,t6t-t-4dt )t(r))t(r(vrd )r(v

2

1

8,86dt )1tt54t18tt432(1

0

2345

4.7.2 Felület menti integrál; fluxus

Egy 0vr konstans (homogén) vektormező fluxusát egy A területű, n

normálvektorú 1|n| sík tartományra vonatkozóan a AvAnv 00 skaláris

szorzat adja. A A vektor iránya egyezik az n normálvektor irányával, a nagysága pedig egyenlő a A területtel. Mivel a Anv0 szorzat előjele függ a normálvektor felvételétől, a definíció korrektségéhez a sík egyik oldalát (félteret) ki kell jelölnünk pozitívnak, és a normálvektornak erre kell mutatnia. Így a fluxus akkor adódik pozitívra, ha 0v a negatív oldalról a pozitív oldal felé haladva metszi a síkot. Ha a tartományt irányított zárt görbe határolja, akkor a normálvektort úgy kell felvenni, hogy azt a görbe pozitív körüljárási irány szerint kerülje meg. A differenciálható vektorterek vonalakkal szemléltethetők: az áramlási terek áramvonalakkal, az erőterek erővonalakkal. A vektortér iránya minden pontban érintőleges az adott ponton áthaladó vonalra, a vonalak egységnyi (a vonalakra merőleges) felületre számított számát (a vonalak „sűrűségét”) egy pont környezetében megfelel a vektortér adott pontbeli nagyságának.

A

0v

iA ),(rv ii

0F

4.2 ábra: Vektortér fluxusa

Ennek alapján az rvr vektormező fluxusa egy

)w,u(z)w,u(y)w,u(x

)w,u(r)w,u( ,

21 uuu , 21 www függvénnyel megadott F0 felületre vonatkozóan az alábbiak szerint közelíthető: Jelöljük ki az F0 felületet pozitív oldalát, osszuk fel a felületet k1 A,...,A felszínű felületdarabokra, vegyünk fel a felületdarabokon rendre ),(r ii , i=1,…,k pontokat, ahol tekintsük a felületnek a pozitív irányba mutató egységnyi nagyságú k1 n,...,n

60

normálvektorait, és képezzük a iii nAA , i=1,…,k vektorokat. A fluxus közelítő értéke ekkor:

k

1iiii

k

1ii A),(rv .

A fluxus pontos értékét a

00 F

wuF

dudw )w,u(r)w,u(r)w,u(rvAd )r(v ,

felületmenti integrál adja, ahol:

)w,u(z)w,u(y)w,u(x

)w,u(r

u

u

u

u ,

)w,u(z)w,u(y)w,u(x

)w,u(r

w

w

w

w .

A fluxus megjelenik az áramlástani és az elektromosságtani problémák egyenleteiben: például folyadék áramlásakor a sebességtér fluxusa megadja, hogy mennyi a vizsgált felületen időegység alatt átáramló folyadék térfogata (térfogatáram); egy mágneses térben mozgó tekercsben keletkező indukált feszültség a mágneses fluxus idő szerinti változási gyorsaságával arányos. Példa:

y6

z3xzy

)z,y,x(v)r(v , F0:

w5uw

w3u)w,u(r

2

, 1u0 , 2w1

Számítsuk ki az

0FAd )r(v integrált!

uw6

15w6uw5uw

)w,u(rv 2 ,

0wu2

)w,u(ru ,

1u3

)w,u(rw ,

w3u2u2

w)w,u(r)w,u(r

2wu

00 Fwu

Fdudw )w,u(r)w,u(r)w,u(rvAd )r(v

dudw )uw18wu12u30uw12u2ww5uw(1

0u

2

1w

23322 60.

4.7.3 Kapcsolatok az integrálok között

Maxwell-egyenletek A vektorterekkel kapcsolatos számításokban gyakran kihasználjuk, hogy egy rendszert leíró mennyiségek integráljai összefüggnek. Az összefüggések közül az alábbiakban kettőt emelünk ki, amelyek az áramlástan és az elektromosságtan elméletében fontosak.

61

Az elektromágneses terek alapvető összefüggéseit leíró Maxwell-egyenletek a Gauss–Osztrogradszkij-tétel (divergenciatétel) és a Stokes-tétel (rotációtétel) megnyilvánulásai az elektromágneses terek elméletének fogalomrendszerében. Az egyenletek fizikai tartalma: I. Az elektromos tér forrásos, azaz elektromos töltés jelenlétében erővonalak indulnak a pozitív töltésekről, amelyek a negatív töltéseken végződnek. II. A mágneses indukció változása örvényes elektromos teret indukál. III. A mágneses tér forrásmentes, azaz a mágneses tér erővonalai önmagukba záródnak. IV. Az elektromos áram, illetve a folytonossági egyenlet kielégítéséből adódó eltolási áram mágneses teret hoz létre.

Differenciális alak Integrális alak I. Maxwell-egyenlet (Gauss-törvény)

Ddiv QdV Ad D00 VF

II. Maxwell-egyenlet (Faraday–Lenz-törvény) t

BErot

AdBdtdrdE

0F

III. Maxwell-egyenlet (Gauss mágneses törvénye) 0Bdiv

0Ad B0F

IV. Maxwell-egyenlet (Ampére-törvény) t

DJHrot

AdDdtdAdJrdH

00 FF

Az egyenletekben szereplő mennyiségek:

elektromos térerősség:

mVE elektromos indukció:

2m

AsD

mágneses térerősség:

mAH mágneses indukció: T

mVsB 2

elektromos töltéssűrűség:

3m

C áramsűrűség:

2m

AJ

elektromos töltés: ]C[]As[Q Az egyenletek parciális differenciálegyenletek, amelyekhez a következő határfeltételek kapcsolódnak: 1. Az elektromos térerősség érintőirányú komponense folytonosan megy át a határfelületen: 0EEn 21 ; 2. Az elektromos indukció normális komponense

ugrik, ha a felületen szabad töltéseloszlás van jelen: szabad12 DDn ; 3. A mágneses térerősség érintőirányú komponense ugrik, ha a felületen szabad felületi áram van jelen: szabad12 jHHn ; 4. A mágneses indukció normális komponense

folytonosan megy át a felületen: 0BBn 21 . Gauss–Osztrogradszkij-tétel (divergencia-tétel) A Gauss–Osztrogradszkij-tétel a felületi és a térfogati integrál között egyfajta kapcsolatot fejez ki. Ha F0 egy differenciálható függvénnyel megadott zárt felület, amely a V0 térrészt határolja, akkor a folytonosan differenciálható rvr vektormezőre fennáll, hogy

62

dV v divAd v00 VF .

0F

n

v

0V

4.3 ábra: A Gauss–Osztrogradszkij-tétel mennyiségeinek szemléltetése

Stokes-tétel (rotációtétel) A Stokes tétel a felületi és a görbe menti integrál között egyfajta kapcsolatot fejez ki. Ha F0 egy differenciálható függvénnyel megadott zárt felület, amely a V0 térrészt határolja, akkor a folytonosan differenciálható rvr vektormezőre fennáll, hogy

Advrotrdv0F

.

0F

n

vrot

v

4.4 ábra: A Stokes-tétel mennyiségeinek szemléltetése

4.8 Az integrál kiszámítása

4.8.1 Newton–Leibniz-formula

Az integrálfüggvény és a Newton–Leibniz-formula kapcsolatot teremt az integrál és a primitív függvény fogalmak között.

Az f:a,b integrálható függvény integrálfüggvénye: x

af)x(F , xa,b. Igazolható,

hogy az integrálfüggvény egyben primitív függvény is. Következmény: mivel a folytonos függvények integrálhatók, így minden folytonos függvénynek van primitív függvénye.

63

Ha f:a,b és F:a,b folytonos függvények és )x(f)x(F , xa,b, akkor

)a(F)b(Ffb

a .

Ezt az összefüggést Newton–Leibniz-formulának nevezzük. Eszerint az integrál egyszerű behelyettesítéssel számítható, ha ismert egy primitív függvény. 4.8.2 Görbe menti integrál kiszámítása potenciálos terekben

A görbe menti integrálok kiszámítása a potenciálos vektormezőkben egyszerű, ha ismert a potenciálfüggvény. Ha )r(ur az )r(vr vektormező potenciálfüggvénye, akkor az

1r és az 2r pontokat összekötő, differenciálható görbére:

)r(u)r(urd)r(v 12

.

Példa:

Tekintsük az ]N[yez2

eyx2yx3

)r(Fz

z3

22

, erőteret és a : ]m[

t5)3t(2

tt)t(r 3

2

, t[-1,1] görbét.

Számítsuk ki az erőtér munkáját a görbe mentén!

Felhasználjuk a vektormező (3.7. pontban meghatározott) 2z23 zyeyx)z,y,x(u potenciálfüggvényét. Ezzel:

]J[512)25e88()25e4(58

2u

54

0u))1(r(u))1(r(urd )r(FW 535

.

4.8.3 Numerikus integrálás (közelítőmódszerek)

A Newton–Leibniz-formula alkalmazhatóságának akadálya, hogy a primitív függvény nem áll rendelkezésre. Mivel a műszaki gyakorlatban az integrálok értékét csak adott pontossággal kell ismerni, a műszaki számításokban a numerikus módszereket részesítik előnyben, ahol véges sok függvényértékből alapműveletekkel adódik. A számításba bevont függvényértékek számának növelésével a hiba tetszőlegesen kicsivé tehető. Az integrál közelítő értékét természetes módon kaphatjuk meg a definíciójában szereplő integrálközelítő összegek valamelyikének kiszámításával. Fontos azonban, hogy a kívánt pontosság eléréséhez mennyi számolás szükséges, másképpen fogalmazva: az adatok számának növelésével milyen gyorsan csökken a hiba. Az integrálok közelítő kiszámítására számos módszer áll rendelkezésre, ezek közül a trapéz- és a Simpson-forma a legegyszerűbb. Trapézformula Legyen f:a,b folytonos függvény. Az ]b,a[ intervallumot osszuk fel az xo, x1,..., xn osztópontokkal n db egyenlő hosszúságú intervallumra, majd kössük össze az

osztópontokhoz tartozó függvénypontokat egyenes szakaszokkal. Az f függvény b

af

64

integrálját közelítjük az így előálló trapézok előjeles területeinek összegével. Igazolható, hogy ez az összeg előáll az

2

)x(f)x(f...)x(f2

)x(fn

abf n1n1

ob

a

ún. trapézformulával. A közelítés pontosságával kapcsolatban a következő mondható: ha az f függvény kétszer differenciálható az a,b intervallumon és a második derivált függvénye korlátos, azaz van

olyan K , hogy K)x(f , xa,b, akkor az b

af integrál trapézformulával számított

közelítő értékének eltérése a pontos értékétől kisebb, mint 2

3

n1

12)ab(K

. Látható, hogy

az osztópontok számának növelésével az eltérés tetszőlegesen kicsivé tehető. Simpson-formula Ha az integrált parabolaívek (másodfokú polinomok) alatti területek összegével közelítjük, akkor az ún. Simpson-formulához jutunk. A formula alapja az, hogy egy cxbxaxf 2 másodfokú függvénynek egy ],[ intervallumon vett integrálja

kifejezhető a függvénynek az , és az 2 helyeken vett értékeivel:

)(f2

f4)(f6

dx)cxbxa( 2 .

(Ezt érdemes szem előtt tartani, ha másodfokú függvényt kell integrálni, például mechanikai számításokban.) Legyen f:a,b folytonos függvény. Az ]b,a[ intervallumot osszuk fel az xo,x1,...,x2n osztópontokkal 2n db (páros számú) egyenlő hosszúságú intervallumra, majd illesszünk az (x0,x1,x2),(x2,x3,x4),...,(x2n-2,x2n-1,x2n) osztópontokhoz tartozó függvénypont-hármasokra parabolaíveket (másodfokú polinomokat). Az f:a,b függvény integrálját e másodfokú polinomok integráljainak összegével közelítjük. Igazolható, hogy ez az összeg előáll az

)x(f)x(f4)x(f2...)x(f4)x(f2)x(f4)x(fn6abf n21n22n2321o

b

a

ún. Simpson-formulával. A közelítés pontosságával kapcsolatban a következő mondható: ha az f függvény négyszer differenciálható az a,b intervallumon, és a negyedik derivált függvénye

korlátos, azaz van olyan K , hogy K)x(f )4( , xa,b, akkor az b

af integrál Simpson

65

formulával számított közelítő értékének eltérése a pontos értékétől kisebb, mint

4

5

n1

2880)ab(K

. Látható, hogy az osztópontok számának növelésével az eltérés

tetszőlegesen kicsivé tehető.

66

5. FOURIER-ANALÍZIS

5.1 Fourier-sorok

5.1.1 Hilbert-tér; a Fourier-sor általános fogalma

A Fourier-sor fogalma a Hilbert-terekhez kötődik. Egy lineáris teret akkor nevezünk Hilbert térnek, ha benne értelmezve van ún. belső szorzás, és a tér teljes a belső szorzásból származó normában. Fontos példák Hilbert-térre az Euklideszi terek (pl. geometriai értelemben vett vektorok tere, a valós vagy komplex szám-n-esek tere) és számos függvénytér, például a négyzetesen integrálható függvények tere. A belső szorzás fogalmából származnak az ortogonalitás és ezen keresztül az ortogonális rendszer, ortogonális felbontás fogalmak. A geometriai vektorok körében jól ismertek ezek a fogalmak, amik megalapozzák a függvényterekben megjelenő összefüggések megértését. Belső szorzat; norma Az X (komplex) lineáris téren értelmezett <>:X×X függvényt belső szorzásnak nevezzük, ha bármely x,y,zX és skalár esetén fennáll, hogy

1. 0x,x , 0x0x,x 3. y,xy,x

2. x,yy,x 4. z,yz,xz,yx

Az (X,<>) struktúrát belsőszorzat-térnek nevezzük. Az (X,<>) belső szorzat téren az

:X , x,xx függvény norma. A belsőszorzat-terek vizsgálatában alapvető

fontosságú a szorzat nagyságára vonatkozó Schwarz–Cauchy–Bunyakovszkij-egyenlőt-lenség:

,Xy,x,yxy,yx,xy,x2

ahol az egyenlőség pontosan akkor áll fenn, ha x és y lineárisan összefüggő.

67

Hilbert-tér; ortogonalitás Ha egy belsőszorzat-tér teljes a belső szorzatból származó normában, akkor Hilbert-térnek nevezzük. Egy Hilbert tér két elemét ortogonálisnak nevezünk, ha a belső szorzatuk nulla. Példák: 1. A geometriai vektorok halmaza Hilbert tér a skaláris szorzással. Két vektor

merőleges (ortogonális), ha a skaláris szorzatuk nulla.

2. n Hilbert-tér a skaláris szorzással,

n

1iiin1n1 yx)y,...,y(),x,...,x(y,x ,

n

1i

2in1n1n1 x)x,...,x(),x,...,x()x,...,x(x .

x n és y n ortogonális, ha 0y,x .

3. Az a,b intervallumon értelmezett négyzetesen integrálható a,b függvények

tere Hilbert-tér, b

agfg,f ,

b

a

2ff,ff .

Az f:a,b és a g:a,b négyzetesen integrálható függvények ortogonálisak, ha

0gfg,fb

a .

Ortonormált rendszer; Fourier-együtthatók Egy Hilbert tér elemeinek egy halmazát ortogonális rendszernek nevezzük, ha elemei páronként ortogonálisak. Ha egy ortogonális rendszer minden eleme egységnyi normájú, akkor ortonormált rendszerről beszélünk. Egy véges (n-) dimenziós Hilbert-térben egy n1 b,,...b ortonormált rendszer bázis. Egy x elem koordinátái ebben a bázisban a rendszer elemeivel képzett belső szorzatok:

nn11 bb,x...bb,xx .

Egy végtelen dimenziós Hilbert térben egy megszámlálhatóan végtelen számosságú ,..., 21 ortonormált rendszert ortonormált sorozatnak, ebből az ,..., 21

skalárokkal képzett

1iii összeget ortogonális sornak nevezzük.

Egy Hilbert-térben egy f elemnek egy ,..., 21 ortonormált sorozatra vonatkozó

Fourier-együtthatói: kk ,ff , k=1,2,…, Fourier-sora pedig

1kkk

1kkk ,ff .

Például a négyzetesen integrálható a,b függvények terében egy f függvény Fourier-

együtthatói egy ,..., 21 ortonormált sorozatra vonatkozóan: b

akkk f,ff ,

k=1,2,…, Fourier-sora pedig

1kk

b

ak

1kkk

1kkk f,ff .

68

Megjegyezések: 1. Egy f elemekhez legközelebbi elem a n1,..., altérben éppen a ,..., 21

ortonormált sorozatra vonatkozó Fourier-sorának n-edik részletösszege. 2. Egy f elem pontosan akkor egyenlő a Fourier-sorának összegével, ha fennáll az

1k

2k

1k

2k

2 ,fff Parseval egyenlőség.

Egy ,..., 21 ortonormált sorozatot teljesnek nevezünk, ha abból, hogy 0,f k , k

következik, hogy f=0. 5.1.2 Exponenciális Fourier-sorok

A négyzetesen integrálható 0,1 függvények terében a tki2et , k függvények teljes ortonormált rendszert alkotnak. Itt egy f függvény Fourier-sora:

k

tki21

0

tki2

k

tki2k edte)t(fef .

A Parseval egyenlőség megfelelője:

k

2k

1

0

2 fdt)t(f .

Ugyanígy írható fel a négyzetesen integrálható az 1 szerint periodikus függvények Fourier-sora.

A négyzetesen integrálható, T szerint periodikus függvények terében a tki

T2

et

, k függvények teljes ortogonális rendszert alkotnak. Itt egy f függvény Fourier-

együtthatói dte)t(fT1f

2T

2T

tkiT2

k

, Fourier-sora:

k

tkiT22

T

2T

tkiT2

k

tkiT2

k edte)t(fT1ef

A Parseval-egyenlőség megfelelője:

k

2k

1

0

2 fdt)t(fT1 .

5.1.3 Trigonometrikus Fourier-sorok

Itt az integrálható, T szerint periodikus függvényekkel foglalkozunk. A fentiek

szerint, az T2

0

jelöléssel élve, a tki 0et , k függvények teljes ortogonális

69

rendszert alkotnak. Egy f függvény Fourier-együtthatói erre vonatkozóan

dte)t(fT1)k(f

2T

2T

tki0

0

, k ,Fourier-sora:

FSf(t)

k

tki2T

2T

tki

k

tki0

000 edte)t(fT1e)k(f , t .

Megjegyzések:

1. Az )k(f 0 együtthatók és az tki 0e függvények értékei is komplex számok, de a Fourier-sor részletösszegei és összegfüggvénye valós értékű függvény.

2. A k index --től +-ig fut, így a felbontásban látszólag negatív körfrekvenciák is jelen vannak. Valójában csak a pozitív körfrekvenciáknak van fizikai jelentése, de ezek „duplán” jelennek meg a komplex spektrumban.

3. )k(f)k(f 00 , k , amiből azonnal adódik az is, hogy )k(f)k(f 00 , k .

4. A )k(fk 00 függvényt amplitúdóspektrumnak, a )k(fargk 00 függvényt

fázisspektrumnak, a 2

00 )k(fk függvényt energia spektrumnak nevezzük.

f

0

2T

2T

0 02 03

|f|

00203

T2

0

5.1 ábra: Periodikus jel frekvenciaspektruma Parseval-egyenlőség; energiatartalom Egy mechanikai rezgés vagy elektromos jel esetén az amplitúdók négyzetének integrálja (vagy összege) arányos az energiatartalommal úgy az idő, mint a frekvencia-tartományban. Matematikailag ezt a Parseval-egyenlőség fejezi ki:

k

20

t

2 )k(fdt)t(f21

70

Példa:

Írjuk fel az

t

t

t

t

tf

ha0 ha ha

- ha0

0

2

,4

,2

,0

)( T=2 periódusú négyszögjel komplex Fourier-sorát!

4

2

2

3 4 t

1eki

2]e[ki2

4dte421dte)t(f

21)k(f ki

0tki

0

tkitki0 0

.

Ha k páros, akkor 0)k(f 0 , ha k páratlan, akkor

k

i4)k(f 0 . Így a Fourier-sor:

FSf(t)

k

t)1n2(iei)1n2(

42 .

Célszerű a Fourier-sort valós trigonometrikus függvények segítségével is felírni, mert ekkor egyrészt nem kell komplex értékű függvényekkel számolni, másrészt ebből a formából nyilvánvaló, hogy a Fourier-sor részletösszegei, illetve összege valós függvények. Az, hogy a periodikus függvények felírhatók trigonometrikus függvények összegeként azért is fontos, mert ebből következik, hogy a lineáris rendszerek válaszait elegendő harmonikus gerjesztésekre vizsgálni és a szuperpozíció-elvet alkalmazni az egyéb periodikus gerjesztések hatásának elemzéséhez (l. pl. a frekvenciafüggvény témakört).

A formulákban a továbbiakban is az T2

0

jelölést használjuk. A négyzetesen

integrálható, T szerint periodikus függvények terében teljes ortogonális rendszert alkotnak a

,1t ,tcost 0 ,tsint 0 (alapfüggvények) ,t2cost 0 ,t2sint 0

(felharmonikusok) ,t3cost 0 ,t3sint 0

függvények. Ezt a függvényrendszert trigonometrikus rendszernek nevezzük. A konstans 1 függvénytől eltekintve, a rendszer olyan koszinusz- és szinuszfüggvényekből

áll, amelyek periódusa kT , ahol k pozitív egész szám.

71

T

5.2 ábra: tkcost 0 függvények, k

T

5.3 ábra: tksint 0 függvények, k

A trigonometrikus rendszerbeli függvények páronkénti ortogonalitása abban nyilvánul meg, hogy az alábbi integrálok értéke nulla (n,k ):

0dttncos2T

2T

, 0dttnsin2T

2T

, 0dttkcostnsin2T

2T

;

0dttkcostncos2T

2T

, 0dttksintnsin2T

2T

, (nk).

Az xsinixcose xi , x Euler-formula felhasználásával az exponenciális alakból levezethető a trigonometrikus alak. A számolásban több helyen ki kell használni a cos-függvény páros és a sin-függvény páratlan voltát ( )xsin()xsin(),xcos()xcos( ,

x ). Az f függvény átírása:

dt)tksin()t(fT1idt)tkcos()t(f

T1dte)t(f

T1)k(f

2T

2T

02T

2T

02T

2T

tki0

0

.

A Fourier-sor átírása:

k00

k00

k

tki0 )tksin()k(fi)tkcos()k(fe)k(f 0

1k000

1k000 )tksin()k(f)k(fi)tkcos()k(f)k(f)0(f

72

A fentiek alapján az integrálható, T szerint periodikus f: függvény trigonometrikus Fourier-sora:

FSf(t)

1k0k

1k0k0 )tksin(b)tkcos(aa ,

ahol:

dt)t(fT1)0(fa

2T

2T

0

,

dt)tkcos()t(fT2)k(f)k(fa

2T

2T

000k

, k=1,2,…,

dt)tksin()t(fT2)k(f)k(fib

2T

2T

000k

, k=1,2,…

Az ka és a kb valós számok az f függvény Fourier-együtthatói a trigonometrikus rendszerre nézve. Az ortogonális rendszerekkel kapcsolatban korábban leírtaknak megfelelően a trigonometrikus Fourier-együtthatók az f függvény és a trigonometrikus rendszer elemeinek skaláris szorzataként adódnak. A felírásban szereplő két összeget az f függvény koszinusz, illetve szinusz Fourier-sorának is nevezzük. Ha f páros, akkor a bk együtthatók értéke 0 (a felbontásban nincsenek szinuszos tagok), ha f páratlan, akkor az ak együtthatók értéke 0 (a felbontásban nincsenek koszinuszos tagok). A Fourier-együtthatók összefüggése másképpen kifejezve:

2iba)k(f kk

0

, k=1, 2,…, 2

iba)k(f kk0

, k=-1, -2,…,

amiből látszik, hogy a páros függvények komplex Fourier-együtthatói tisztán valósak, páratlan függvény komplex Fourier-együtthatói tisztán képzetesek. A komplex Fourier-együtthatók nagysága és a valós Fourier-együtthatók összefüggése:

2k

2k0 ba

21)k(f , k .

A Parseval-egyenlőség megfelelője:

1k

2k

1k

2k

20

2T

2T

2 baadt)t(fT1 .

A Fourier-sor függvénysor, így mindenekelőtt az a kérdés vetődik fel, hogy konvergens-e, és ha igen, akkor mi a kapcsolat az FSf(t) összegfüggvény és az eredeti f függvény között. Erre a kérdésre egyfajta választ ad Dirichlet tétele, miszerint ha a 2 szerint periodikus, integrálható f: függvény a [,] intervallumon szakaszonként folytonos és monoton, valamint bármely x helyen létezik a baloldali és jobboldali határértéke, akkor az f függvény Fourier-sora konvergens. Az összegfüggvény a folytonossági helyeken megegyezik az f függvény értékével, a szakadási helyeken pedig a bal és jobb

73

oldali határértékek számtani közepével. A műszaki folyamatok vizsgálatakor általában feltételezhető, hogy a fellépő függvények teljesítik a Dirichlet-feltételeket. A Dirichlet-feltételt teljesítő függvények esetén megállapíthatjuk, hogy a függvény lényegében azonosítható az ,...b,a,b,a,a 22110 számsorozattal (a Fourier-együttha-tókkal), mint egy ortogonális függvényrendszerre (a trigonometrikus rendszerre) vonatkozó „koordinátákkal”. A műszaki számításokban kihasználhatjuk, hogy a periodikus függvények közelíthetők a Fourier-soruk részletösszegeivel. Az alkalmazások jelentős részében azonban nem a közelítés a fontos, hanem a felbonthatóság ténye (szuperpozíció elv), és az, hogy a harmonikus összetevőkre való felbontásban mely felharmonikusok szerepelnek és milyen együtthatóval (amplitúdóval). Ez utóbbi gondolat vezet el a spektrum fogalmához. Ha az f függvény egy mennyiség időbeli lefolyását írja le (például mechanikai vagy elektromos rezgés esetén), akkor a Fourier-sora meghatározott körfrekvenciájú harmonikus összetevőkre való felbontást jelent, a Fourier-együtthatók egy 0 alap-körfrekvenciához és ennek 0k többszöröseihez tartoznak. Így egy olyan függvényhez jutunk, ami „diszkrét” helyeken (körfrekvenciáknál) van értelmezve. Ezt a függvényt szokás (diszkrét) spektrumnak nevezni, és úgy is szoktunk fogalmazni, hogy a folyamatot (például rezgést) a frekvenciatartományban írja le. Egy )tsin(A harmonikus összetevő esetén az A értéket amplitúdónak, az értéket

körfrekvenciának, az

2

f értéket frekvenciának, a függvény f1T periódusát pedig

periódusidőnek szokás nevezni. (Gyakran előfordul, hogy a körfrekvencia helyett – hibásan – frekvenciát mondanak, ami zavart okoz.) Ezek fizikai dimenziója: ]m[A ,

]s[T , ]Hz[s/1f , s/rad . A 2 periódusú jelek )tcos(t és )tsin(t

alapfüggvényei esetén például

s

rad1 , ]Hz[21

s1

21f

, ]s[2T .

A továbbiakban mindig ezeket a mértékegységeket feltételezzük, és nem írjuk ki azokat. A jelfeldolgozásban, amikor a függvény egy időtől függő fizikai mennyiség és mintavételezéssel kell információhoz jutni fontos, hogy a periodikus függvények esetén egy periódus tartalmazza a függvény minden jellemzőjét, így elegendő egy periódus alatt mintavételezni. Példa:

Határozzuk meg az

[2,0]tha,

2t

21

0tha,0)t(f T=2 periódusú függvény Fourier-

sorát! (Itt 10 .)

2

2

2 42 t

74

Mivel páratlan függvényről van szó, így ,...1,0k,0ak A számolás:

0dt2

t21

21dt)t(f

21a0

, illetve

0dt)tkcos(2

t211dttcos)t(f1ak

.

A bk együtthatók meghatározása:

2

0

2

0k dt)tksin(

2t

211dt)tksin()t(f1b

k1

221

k1

k)tksin(

21

k)tkcos(

2t

211

2

0

, ,...2,1k

A primitív függvény parciális módszerrel határozható meg:

dt)tkcos(

21

k)tkcos(

2t

21dt)tksin(

2t

21

k)tksin(

21

k)tkcos(

2t

21

A Fourier-sor: FSf(t)

1k k)tksin(...t4sin

41t3sin

31t2sin

21tsin1

Két részletösszeg:

5

1k k)tksin(t

t6 4 2 0 2 4 6 8 10 121

1

10

1k k)tksin(t

t6 4 2 0 2 4 6 8 10 121

1

Példa

Határozzuk meg (a korábban már vizsgált) az

t hat0 ha0t ha

0t- ha

2,4,2,0

)t(f T=2 periódusú

négyszögjel Fourier-sorát! (Itt 10 .)

2dt421dt)t(f

21a

00

,

75

0)tksin(k4dt)tkcos(41dt)tkcos()t(f1a 0

0k

,

)kcos(1k4)tkcos(

k4dttksin41dttksin)t(f1b 0

0

2

0k

.

Ha k páros, akkor 0bk , ha k páratlan, akkor

k8bk . Így a Fourier-sor:

FSf(t)

1n 1n2

t)1n2(sin82 .

Két részletösszeg:

4

1n 1n2t)1n2(sin82t

8

1n 1n2t)1n2(sin82t

t4 3 2 1 0 1 2 3 4

1

2

3

4

t4 3 2 1 0 1 2 3 4

1

2

3

4

Látható, hogy a közelítés pontossága a vizsgált függvény ugrásainál sokkal rosszabb, mint a többi pontban. Igazolható, hogy a konvergencia (a pontosságot és a számolási igényt összevetve) e helyek közelében igen lassú. Megjegyzés: A periodikus jelek Fourier-analízisének célja annak meghatározása, hogy a jelben milyen frekvenciájú összetevők, milyen amplitúdóval vannak jelen (spektrum). Ebből a szempontból szerencsésebb, ha egy adott 0k körfrekvencia csak egy tagban jelenik meg. A cos- és sin-függvények közti

k

k0

2k

2k0k0k b

aarctgtksinba)tksin(b)tkcos(a

összefüggésekkel a Fourier-sort át lehet alakítani például az alábbi formába, ahol csak szinuszfüggvények szerepelnek:

1kk0k0 )tksin(Aa , ahol ,...2,1k,

baarctg,baAk

kk

2k

2kk

76

Itt már minden körfrekvenciához egyértelműen hozzárendelhető amplitúdó. 5.2 Integráltranszformációk

A matematikában gyakran alkalmazott módszer, hogy ha egy halmazban bizonyos számítások nehézséget okoznak, olyan transzformációt keresünk, amelynek képhalmazában a megfelelő számolás könnyebben elvégezhető, és az eredményből, az eredeti halmazba való visszatéréssel (inverz transzformációval) megkapható az eredeti probléma eredménye. Ilyennek tekinthető az az egyszerű eset, amikor egy n-dimenziós valós lineáris tér elemeit megfeleltetjük a valós szám-n-esek halmazával (rögzített bázisbeli koordinátákkal), és egy műveletet a koordinátákkal végezzük el. Igen fontosak azok a transzformációk, amelyek egyes függvényosztályokban felmerülő számításokat könnyítik meg. Speciálisan ilyennek tekinthető az is, amikor egy periodikus integrálható függvényhez hozzárendeljük a Fourier-együtthatóinak sorozatát. Az ilyen jellegű transzformációk között igen fontosak az integráltraszformációk. Integráltranszformáción egy valós f:[a,b] függvény esetén azt értjük, hogy a függvényhez egy

b

adt )t(f)s,t(K)s(F

összefüggéssel definiált F valós vagy komplex függvényt rendelünk hozzá. A transzformációt a K magfüggvény határozza meg. A műszaki alkalmazásokban kitüntetett szerepük van a tse)s,t(K , s típusú magfüggvénnyel definiált integráltranszformációknak (Fourier- és Laplace-transzformációk), amelyekről a következőkben lesz szó. A jelfeldolgozás az integráltranszformációk alkalmazásának egyik fontos területe, ahol gyakori az ún. konvolúciókkal való számolás: lineáris, időinvariáns rendszerek esetén egy bemenetre (gerjesztésre) adott válasz matematikailag egy – rendszerre jellemző – függvénnyel (súlyfüggvénnyel) való konvolúcióval írható le. Például az integrálható f:[0,[ ésg:[0,[ függvények konvolúciója:

t

0d )t(g)(f)t)(g*f( , t[0,[.

Az így definiált f*g függvény értéke az f „korábbi” értékeiből áll elő összegzéssel (integrálással) úgy, hogy az egyes értékek a g függvény (súlyfüggvény) által meghatározott „súllyal” szerepelnek.

77

t

f

t

g

t

)(f

)t(g

t

0d )t(g)(f)t)(g*f( t

g*f )t)(g*f(

5.4 ábra: Konvolúció

5.3 Fourier-transzformáció

5.3.1 Fourier-integrál; Fourier-transzformált

Egy f: integrálható függvény Fourier-integrálja

FI

de)(f)t(f ti , t ,

ahol

t

ti dte)t(f21)(f , .

A f : függvényt az f függvény Fourier-transzformáltjának, az f meghatározását

Fourier-transzformációnak nevezzük. Az f Fourier-transzformált ismeretében a Fourier-integrál előállítja az f függvény. Ezt a számolást inverz Fourier-transzformációnak nevezzük. Megjegyzések: 1. A t és váltózók arra utalnak, hogy a műszaki alkalmazásokban ezek idő illetve

körfrekvencia jelentéssel bírnak. A két formulából látható, hogy a tf(t) és az F() függvények egymást meghatározzák, lényegében egy folyamat kétféle leírását jelentik: a tf(t) függvény az időtartománybeli, az F() függvény a frekvenciatartománybeli leírás.

2. Előfordul, hogy a transzformációs integrálok felírásakor a körfrekvencia helyett a

frekvenciával számolnak, ekkor nem jelenik meg az 2

1 szorzó a Fourier-

transzformáltban.

78

f

t

f

időtartomány

FOURIER-TRANSZFORMÁCIÓ

FT f :

t

ti dte)t(f21)(f

INVERZ FOURIER-TRANSZFORMÁCIÓ

FT-1 f :

de)(f)t(f ti

f

f

frekvenciatartomány

5.5 ábra: A Fourier-transzformáció és az inverz Fourier-transzformáció

Ahogyan azt a Fourier-soroknál is megjegyeztük, a komplex értékű függvényekkel való számolás elkerülése, illetve a Fourier-integrál valós voltának hangsúlyozása érdekében célszerű a formulákat valós trigonometrikus függvények segítségével is felírni. Egy f: integrálható függvény Fourier-integrálja:

FI

00

d)tsin()(bd)tcos()(a)t(f ,

ahol

FTcosf:

t

dt)tcos()t(f1)(a , 0,

és

FTsinf:

t

dt)tsin()t(f1)(b , 0

az f függvény koszinusz és a szinusz Fourier-transzformáltjai. Érdemes megjegyezni, hogy páratlan függvény koszinusz Fourier-transzformáltja, ill. páros függvény szinusz Fourier-transzformáltja nulla.

Az Euler formula alapján a transzformáltak összefüggése: )(bi)(a21)(f , ugyanis

ttt

ti dt)tsin()t(fi21dt)tcos()t(f

21dte)t(f

21 .

Ezt összevetve a fentiekkel világos, hogy páros függvény Fourier-transzformáltja tisztán valós értékű, páratlan függvény Fourier-transzformáltja tisztán képzetes értékű függvény. A periodikus függvényekkel kapcsolatos számolások a Fourier-sor segítségével hatékonyan elvégezhetők, de nem alkalmasak a nemperiodikus jelek felbontásra. Nemperiodikus függvények esetén a Fourier-sor szerepét a Fourier-integrál veszi át. A Fourier-integrál azt mutatja, hogy a nemperiodikus függvények is előállíthatók harmonikus függvények segítségével, de összeadás helyett integrálást kell végezni, és a felbontásban bármely valós körfrekvencia előfordulhat („folytonos” a spektrum), míg a periodikus függvények spektruma csak k0 „diszkrét” körfrekvenciákat tartalmaz. A Fourier-integrál származtatható úgy, hogy a nemperiodikus függvényeket végtelen hosszú periódusúnak tekintjük, és megfigyeljük a Fourier-együtthatók, valamint a

79

spektrum viselkedését T esetén. A T periódusidő növekedtével a spektrum egyre „sűrűbbé”, határértékben „folytonossá” válik. Példa:

Az

egyébként,0

1t1- ha,1)t(f négyszögjel Fourier-transzformáltja:

1

1

ti1

1t

ti

t

tii

e21dte

21dte)t(f

21)(f

sin1sin2

21

i2ee2

21 titi

.

Így az f függvény előállítása:

desin1)t(f ti .

)t(ft

sin1)(f ,

3 2 1 0 1 2 3

0,2

0,6

1

10 5 0 5 10

0,1

0,2

0,3

A számolást elvégezzük a trigonometrikus függvényeket tartalmazó formulákkal is. A jel szinusz Fourier-transzformáltja nulla, mivel páros függvény. A jel koszinusz Fourier-transzformáltja:

sin2dt)tsin(1dt)tsin()t(f1)(b1

1tt.

Így az f függvény előállítása:

0

d)tcos(sin2)t(f .

)t(ft

sin2)(b

3 2 1 0 1 2 3

0,2

0,6

1

2 4 6 8 100,10

0,10,20,30,40,50,6

80

A két transzformáltat összehasonlítva jól láthatók a korábban megfogalmazott össze-függések:

10 5 0 5 100,1

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

5.6 ábra: A valós és a komplex spektrum összehasonlítása

Parseval egyenlőség; energiatartalom Egy nemperiodikus folytonos jelek energiatartalma az idő-, illetve a frekvenciatartományban:

d)(fdt)t(f21 2

t

2 .

5.3.2 A Fourier-transzformáció néhány alapvető tulajdonsága

Fourier-transzformáció és az inverz Fourier-transzformáció lineáris: ha , , f, g, f és g integrálható függvények, akkor

FT (·f + ·g) = ·FT f + ·FT g,

FT -1 (· f + · g ) = ·FT -1 f + ·FT -1 g .

A Fourier-elméletet műszaki szempontból elsősorban a jelfeldolgozás motiválja. A Fourier-transzformációnak a következőkben felsorolt néhány tulajdonsága a jelekkel végzett természetes manipulációk hatását mutatja: egy változás az időtartományban miként jelenik meg a frekvenciatartományban (spektrumban).

Tulajdonságok Időtartomány Frekvenciatartomány

)t(ft )(f

Eltolás az időtartományban )Tt(ft Tie)(f

Eltolás a frekvenciatartományban (moduláció) ti 0e)t(ft )(f 0

A jel lefutási idejének változtatása (skálázás) )tm(ft

mf

|m|1

Konvolúció )t(g*)t(ft )(g)(f

Mivel 1e Ti , az időbeli eltolás az amplitúdó spektrumot nem változtatja meg, csak a

fázis spektrumot. A Fourier-és az inverz Fourier-transzformáció formuláját tekintve könnyen felfedezhető a hasonlóság. Ebből adódik, hogy ha egy adott típusú módosítást (például eltolást) hajtunk végre az idő- vagy a frekvenciatartományban, akkor ennek következménye a másik tartományban hasonló lesz. Bár itt nem tárgyaljuk a részleteket, érdemes megjegyezni, hogy a két transzformáció „szimmetriája” olyan formában is megnyilvánul, hogy például periodikus jel spektruma diszkrét („vonalas”), és fordítva: diszkrét (mintavételezett) jel

81

spektruma periodikus, vagy hogy az időtartománybeli szorzás a frekvenciatartományban szorzásként, és fordítva: az időtartománybeli szorzás a frekvenciatartományban konvolúcióként jelentkezik. 5.3.3 Megjegyzések a jelfeldolgozással kapcsolatban

A Fourier-transzformáció a jelfeldolgozás (például hangfeldolgozás, képfeldolgozás, műszaki rezgésdiagnosztika) alapvető eszköze. A rezgés, illetve hullám formájában keletkező és terjedő jelek (hang, fény, általában a mechanikai és elektromos rezgések) azonosítása, előállítása, rekonstruálása a jel spektrális felbontását (analizálását) igényli. Adott frekvenciájú és amplitúdójú harmonikus jel előállítása általában egyszerű, a kívánt jel spektrumának ismeretében a jel ilyenek összegével (szuperpozíciójával) előállítható (szintézis). A Fourier-sor és a Fourier-transzformált fenti fogalma olyan függvények elemzésére alkalmas, melyek értékei ismertek a teljes számegyenesen. A gyakorlatban azonban csak véges sok függvényérték áll rendelkezésre, mivel a megfigyelés (mérés) véges időtartamra korlátozódik, és a mérések között technikai okok miatt meghatározott (pozitív) időtartamnak kell eltelni. A digitális jelfeldolgozásban az időtartományban vett minta alapján (a jelre vonatkozó korlátozott információ alapján) kell a spektrumot a lehető legpontosabban meghatározni. A diszkrét Fourier-transzformáció (DFT) fogalma és az ehhez kapcsolódó elmélet választ ad arra, hogy miként lehet a technikai eszközök által biztosított feltételek mellett megfelelő eredményre jutni. A diszkrét jelek elemzésekor a gyakorlatban azzal is szembe kell nézni, hogy a számítógépek adatátviteli és számítási sebessége, valamint a tároló kapacitása véges, így az elméletileg megalapozott elemzések számítási igénye jelentősen meghaladhatja a rendelkezésre álló eszközök lehetőségeit. A számítási igény csökkentésére számos algoritmust dolgoztak ki, ezeket gyors Fourier-transzformációként (FFT) emlegetjük.

82

6. LAPLACE-TRANSZFORMÁCIÓ; LINEÁRIS RENDSZEREK ELEMZÉSE

6.1 Laplace-transzformáció

6.1.1 A Laplace-transzformáció fogalma

Az f:[0,[ függvény Laplace-transzformáltja az

0

ts dt )t(fe)s(F , s

összefüggéssel definiált )s(Fs függvény, amennyiben az integrál konvergens (véges).

A Fourier-transzformáció tie , és a Laplace-transzformáció tses , s

magfüggvénye közti kapcsolat: ha is , akkor titt)i(ts eeee . 0 estén a Laplace-transzformáció magfüggvénye Fourier-transzformáció mag-

függvényébe megy át. Úgy is fogalmazhatunk, hogy egy f(t) függvény Laplace-transzformáltja az te)t(f függvény „egyoldali” (a nemnegatív tartományon vett) Fourier-transzformáltja. Ebből a felírásból jól érzékelhető, hogy azoknak a függvé-nyeknek a halmaza, amelyeknek létezik a Laplace-transzformáltja, bővebb, mint azoknak, amelyeknek létezik a Fourier-transzformáltja. Ebben a részben általában a megfelelő nagybetűvel fogjuk jelölni egy kisbetűs függvény Laplace-transzformáltját, de ha az egyértelműség megkívánja, egy f függvény Laplace-transzformáltjának jelölésére alkalmazzuk az }f{L jelölést is. Az irodalomban más jelölések is előfordulnak. A Laplace-transzformáltat definiáló integrál létezésével kapcsolatos az exponenciális rendű függvény fogalma. Az f:[T,+[ függvény legfeljebb exponenciális rendű, ha vannak olyan K és c számok, melyekre

tceK)t(f , tT,

vagyis, ha az f függvény nagyságát egy exponenciális függvény korlátozza.

83

Igazolható, hogy ha f folytonos és legfeljebb exponenciális rendű c konstanssal, akkor

az

0

ts dt )t(fe)s(F integrál konvergens, ha c|s| . (Az c|s| feltételnek eleget

tevő s komplex számok egy félsíkot alkotnak a komplex számsíkban.) Az alkalmazásokban f sokszor nem folytonos, de szakaszonként folytonos, ami azt jelenti, hogy az értelmezési tartomány olyan intervallumok uniója, amelyek mindegyikén folytonos és korlátos a függvény. Az integrál akkor is véges, ha f szakaszonként folytonos és legfeljebb exponenciális rendű. Példa: Határozzuk meg az 1)t(f függvény Laplace-transzformáltját!

s1elim

s1e

s1limdt elimdt e)s(F tb

b

b

0t

tsb

b

0

tsb0

ts

Példa: Határozzuk meg az tae)t(f függvény Laplace-transzformáltját!

as1dt elimdt edt ee)s(F

b

0

tsb0

t)as(

0

tats

.

Néhány további függvény Laplace-transzformáltja:

)t(ft )s(Fs )t(ft )s(Fs )t(ft )s(Fs

1 s1

ta2 et 3)as(

2

sin(at) 22 asa

t 2s1

tae1 )as(sa

cos(at) 22 ass

t2 3s2

tae as1

sh(at) 22 asa

t3 4s6

taet 2)as(

1

ch(at) 22 ass

A Laplace-transzformált meghatározza az eredeti függvényt. Igazolható, hogy ha az )s(Fs függvény a )t(ft függvény Laplace-transzformáltja, akkor egy alkalmasan

megválasztott mellett

i

is

ts1 ds )s(Fei2

1)t(FL)t(f .

Az FL 1 függvényt az F függvény inverz Laplace-transzformáltjának nevezzük. A lineáris rendszerek elemzésében különösen a fontosak a racionális törtfüggvények inverz

Laplace-transzformáltjai. Ha )p(B)p(A)p(F valódi racionális törtfüggvény (az A polinom

fokszáma kisebb a B polinom fokszámánál), akkor F-et parciális törtekre kell bontani, és

84

a parciális törtek inverz Laplace-transzformáltjait táblázatból ki kell kikeresni. Az előző táblázat értelemszerűen tartalmazza néhány racionális törtfüggvény inverz Laplace-

transzformáltját. Például ta2

1 et)as(

1L

.

6.1.2 A Laplace-transzformáció néhány tulajdonsága

Az alkalmazások, például a konstansegyütthatós lineáris differenciálegyenletek transzfor-málása, szempontjából fontosak a következő tulajdonságok. A megállapítások kapcsán mindig feltételezzük a transzformáltak létezését. Ezeket a tulajdonságokat érdemes összevetni a Fourier-transzformáció tulajdonságaival. Linearitás A Laplace-transzformáció és az inverz Laplace-transzformáció lineáris: ha , , akkor

gLfLgfL ,

gLfLgfL 111 . A deriváltak Laplace-transzformáltja:

)0(f)0(fs)0(fs)0(fs)s(Fs)t(fL )1n()2n(1n1nn)n( .

Ha egy kezdetiérték-probléma esetén a kezdeti időpillanatban a deriváltak értéke nulla, akkor speciálisan )s(Fs)}t(f{L n)n( . Egy függvény deriváltjainak Laplace-transzformáltjait tekintve látható, hogy egy n-edrendű lineáris konstansegyütthatós differenciálegyenletet transzformálva az Y és a H függvények között algebrai kapcsolat adódik. A későbbiekben szó lesz a lineáris

rendszerek ún. átviteli függvényéről, ami az )s(U)s(Y hányadosként van definiálva.

Az integrálfüggvény Laplace-transzformáltja

)s(Fs1d)(fL

t

0

Eltolási tétel

)s(Fe)t(fL s

Hasonlósági tétel

sF1)(fL , ha >0

Áthelyezési tétel

)s(F)t(feL t

Szorzási tétel

)s(F)1()t(ftL )n(nn

Osztási tétel

Ha létezik az )t(ft1 függvény Laplace-

transzformáltja, akkor

sF)t(f

t1L

Végérték tételek

)s(Yslim)t(ylims0t

)s(Yslim)t(ylim0st

85

Konvolúciótétel Ahogyan azt a korábbiakban már említettük, az integrálható f:[0,[ és g:[0,[

függvények konvolúcióján az t

0d )t(g)(f)t)(g*f( , t[0,[ függvényt értjük. A

Fourier-transzformációhoz hasonlóan a Laplace-transzformáció során is azt tapasztaljuk, hogy a konvolúció transzformáltja a transzformáltak szorzata, vagyis számolás egyszerűsödik a transzformáció által. A konvolúciótétel szerint

gLfLd )t(g)(fLt

0

.

Az alábbi példában a konvolúció tételt egy függvény inverz Laplace-transzformáltjának meghatározásához használjuk úgy, hogy a függvényt szorzattá bontjuk, és a tényezők inverz Laplace-transzformáltjainak konvolúcióját számoljuk ki. Példa:

Határozzuk meg az 10s3s

3)s(F 2 függvény inverz Laplace-transzformáltját!

t5t2111

21 e*e3

5s1L*

2s1L3

5s1

2s1L3

10s3s3L)t(f

)ee(73d ee3 t5t2

t

0

)t(52 .

6.2 Lineáris rendszerek

6.2.1 Lineáris rendszerek leírása az időtartományban

A lineáris rendszereket az „időtartományban” elsőrendű lineáris differenciálegyenlet-rendszerek vagy magasabb rendű lineáris differenciálegyenletek, illetve az ezekhez kapcsolódó kezdetiérték-problémák írják le. A )t(ut bemenőjelű, )t(yt kimenőjelű, időinvariáns rendszert a

)x(y)x(yT...)t(yT)t(yT 1

)1n(1n1n

)n(nn

)t(h))t(u(f)x(u)x(u...)t(u)t(uA 1)1m(1m

1m)m(m

m ,

)1n(0

)1n(00 y)0(y,...,y)0(y,y)0(y ,

tömören:

m

0j

)j(jj

n

0i

)i(ii )t(u)t(yT , 1T 0

000 , 1n,...,0i,y)0(y )i(

0)i(

lineáris konstansegyütthatós differenciálegyenlethez kapcsolódó kezdetiérték-probléma írja le, ahol mn , a iT (i=1,…,n) és a i (i=1,…,m) értékek az ún. időállandók,

0,0T mm

nn . Az egyenlet jobb oldalán lévő függvényt szokás gerjesztőfüggvénynek

is nevezni. Ezt tanulmányozva látható, hogy a gerjesztés nem csak a bemenőjelnek választott mennyiségtől, hanem annak változásától (deriváltjaitól) is függhet. Ha h(t)=0, akkor a rendszer gerjesztésmentes, a differenciálegyenlet homogén, különben inhomo-gén. Az inhomogén egyenletek megoldáshalmazának leírásakor használjuk a homogén

86

megfelelő fogalmat arra a homogén egyenletre, amiben a jobb oldalon a h függvény helyett a 0 függvény szerepel. Az egyenletben szereplő A konstans az átviteli tényező, ami a kimenő- és a bemenőjelek arányát fejezi ki, ha állandósult állapot alakul ki (az u és y függvények értéke nem változik). A rendszernek egy )t(ut bemenőjelre adott válasza két hatás eredményeként alakul ki: a rendszer mozgása (változása) egyrészt a kezdeti értékekből adódó kezdeti egyensúlytalanság, másrészt a gerjesztés következménye. Ezek a hatások külön is vizsgálhatók. Ha a rendszert nem éri gerjesztés, akkor egyensúlytalanság tranziens (átmeneti jellegű) hatásként időben lecseng. A tranziens jelenség lefutása a rendszer belső paramétereinek viszonyától függ, ami számszerűen a iT időállandók értékében jelenik meg. A gerjesztésmentes állapotot matematikailag a kezdetiérték-probléma

homogén megfelelője írja le: 0)t(yTn

0i

)i(ii

, 1T 0

000 , )i(

0)i( y)0(y , 1n,...,0i .

Ennek a problémának a megoldása szolgáltatja a megoldás tranziens részét. A megoldás másik összetevője a gerjesztés következtében kialakuló hosszú távú hatás, ami a tranziens jelenség lecsengése után meghatározó. Matematikailag ez az inhomogén egyenlet egy (partikuláris) megoldásának felel meg. 6.2.2 A homogén lineáris konstansegyütthatós differenciálegyenletek megoldáshalmaza

Az

0)t(ya)t('ya...)t(ya)t(ya 01)1n(

1n)n(

n

0an homogén lineáris konstansegyütthatós differenciálegyenlet általános megoldása az

0aa...aa 011n

1nn

n

karakterisztikus egyenlet gyökeitől függ. Ha i a karakterisztikus egyenlet i -szeres valós gyöke, jj viu a karakterisztikus egyenlet j -szeres komplex konjugált

gyökpárja,

n=2 s,,…1,=j r,,…1,=i

s

1jj

r

1ii , akkor az egyenlet általános

megoldása az

xie , xiex ,…, x1 ii ex , i r),…1,=(i

)xvsin(e jxuj , )xvsin(ex j

xuj ,…, )xvsin(ex jxu1 jj ,

)xvcos(e jxuj , )xvcos(ex j

xuj ,…, )xvcos(ex jxu1 jj

jj viu

s),…1,=(j

n-elemű (lineárisan független) függvényrendszer elemeinek összes valós együtthatós lineáris kombinációi halmazaként áll elő. A kezdeti értékeknek eleget tevő megoldásfüggvény az együtthatók megfelelő megválasztásával kapható meg.

87

Példa: Gerjesztés nélküli, lineárisan rugalmas mechanikai lengőrendszer. m [kg] tömegű test egy c [N/m] rugómerevségű rugóhoz, illetve egy – a sebességgel arányos erőt kifejtő – lengéscsillapítóhoz csatlakozik, melynek arányossági tényezője f [Ns/m].

m

c f

6.1 ábra: A rugalmas mechanikai lengőrendszer modellje

A Newton-egyenlet szerint ekkor az )t(ycdt

)t(dyfdt

)t(ydm 2

2 , illetve a

m2fk ,

mc

jelöléseket bevezetve a

0)t(ydt

)t(dyk2dt

)t(yd 22

2

másodrendű homogén lineáris konstansegyütthatós differenciálegyenlet. Az ehhez tartozó karakterisztikus egyenlet: 0k2 22 . A karakterisztikus egyenlet gyökeinek jellege, és így az egyenlet általános megoldása a k és az viszonyától függ. 1. ESET: k , nagy csillapítás, aperiodikus jelleg.

Ekkor két darab, egyszeres multiplicitású valós gyök van: 221 kk ,

222 kk . Az általános megoldás:

tkk

2tkk

1t

2t

1ogénhom

2222

21 ecececec)t(y

, c1,c2 .

2. ESET: k , aperiodikus határeset. Ekkor egy darab, kétszeres multiplicitású valós gyök van: k0 . Az általános megoldás:

tk2

tk1

t2

t1ogénhom etcecetcec)t(y 00 , c1,c2 .

3. ESET: k , kis csillapítás, periodikus jelleg. Ekkor egy darab, egyszeres multiplicitású komplex gyökpár van:

22 kikviu , 22 kikviu . Az általános megoldás:

)tvcos(ec)tvsin(ec)t(y tu2

tu1ogénhom

tkcosectksinec 22tk

222tk

1 , c1,c2 .

A megoldásfüggvény periodikus jellegű 22 k

2

periódussal, az amplitúdó

exponenciálisan csökken. A mechanikai lengőrendszer mozgásba jön, ha 0)0(y , vagyis a testet kimozdítjuk az egyensúlyi helyzetből, vagy ha 0)0(y , azaz kezdeti sebességet kap a test. A mozgás

88

)t(yt kitérés–idő függvénye úgy adódik, hogy a c1,c2 konstansokat kezdeti helynek és sebességnek megfelelően választjuk meg.

0)0(y , 0v)0(y kezdeti értékek mellett a fenti három esetben a következő megoldásfüggvények adódnak:

nagy csillapítás, ( k )

tkshe

k

v)t(y 22tk22

0 ,

aperiodikus határeset ( k ) tk0 etv)t(y ,

kis csillapítás, ( k )

tksine

k

v)t(y 22tk22

0 .

t

)t(y kis csillapítás

nagy csillapítás

aperiodikus határeset

6.2 ábra: Tranziens rezgés kis és nagy csillapítás esetén

Példa: Soros RLC kör. Az ohmos ellenállásból, tekercsből és kondenzátorból álló RLC körök (elektromos rezgő-rendszerek, rezgőkörök) leírása teljes analógiát mutat a mechanikai rezgőrendszerek fenti leírásával, ezért csak röviden ismertetjük.

Egy R ohmos ellenállást, egy L induktivitású tekercset és egy C kapacitású kondenzátort sorosan kapcsolunk egy )t(Et elektromotoros erejű áramforrással, a körben folyó áram:

)t(It .

R

LC)t(E

)t(I

A feszültségesés az egyes áramköri elemeken: )t(IR)t(UR , dt

)t(dIL)t(UL ,

)t(QC1)t(UL (Q a kondenzátor töltése). A Kirchhoff-féle huroktörvény szerint

)t(E)t(U)t(U)t(U CLR , azaz )t(E)t(QC1)t(IR

dt)t(dIL . Deriválva az egyenletet,

és figyelembe véve, hogy dt

)t(dQI azt kapjuk, hogy dt

)t(dE)t(IC1

dt)t(dIR

dt)t(IdL 2

2 .

Konstans 0E)t(E elektromotoros erő esetén a 0)t(ICL1

dt)t(dI

LR

dt)t(Id

2

2 , a

L2Rk ,

CL1

jelöléseket bevezetve pedig a

89

0)t(ydt

)t(dyk2dt

)t(yd 22

2

másodrendű homogén lineáris konstansegyütthatós differenciálegyenlet adódik, ami formailag megegyezik a mechanikai lengőrendszerre kapott egyenlettel. Ennek megfelelően a megoldásfüggvények is hasonlóan alakulnak. 6.2.3 Az inhomogén lineáris konstansegyütthatós differenciálegyenletek megoldáshalmaza

Az inhomogén lineáris konstansegyütthatós differenciálegyenletek megoldáshalmaza szoros kapcsolatban áll a homogén megfelelő megoldáshalmazával: az inhomogén egyenlet általános megoldását megkapjuk, ha a homogén megfelelő általános megoldásához hozzáadjuk az inhomogén egyenlet egy (ún. partikuláris) megoldását:

ispartikulárinhomogénhomogén yyy .

Az előző pontban leírtuk a homogén egyenlet általános megoldását, most a partikuláris megoldás meghatározási lehetőségei közül egyet tekintünk át röviden. A lineáris egyenletek alakjából látszik, hogy bizonyos függvénytípusok esetén a zavaró függvény (h) és a megoldásfüggvény (y) alakja hasonló. Ez akkor fordul elő, ha a deriváltak, és ezzel a deriváltak lineáris kombinációi ugyanabba a függvénytípusba tartoznak, mint az eredeti függvény, például polinomok, exponenciális függvények és a trigonometrikus (szinusz vagy koszinusz) függvények esetén. Ennek alapján bizonyos zavaró függvények esetén meghatározható, hogy a partikuláris megoldást milyen alakban célszerű keresni. Itt csak az előbbiekben említett három példát írjuk le, de a műszaki számításokban leggyakrabban előforduló egyéb esetekre is talál útmutatást az olvasó a matematikai kézikönyvekben. Az )t(f)t(ya...)t(ya)t(ya 1

)1n(1n

)n(n

inhomogén lineáris konstansegyütthatós differenciálegyenlet egy partikuláris megoldását keressük. Ha a zavarófüggvény polinom: 01

1k1k

kk t...tt)t(f

. 1. ESET: ha 0 nem gyöke a karakterisztikus egyenletnek, akkor

011k

1kk

kp t...tt)t(y .

2. ESET: ha 0 r-szeres gyöke a karakterisztikus egyenletnek, akkor 01

1k1k

kk

rp t...ttt)t(y

.

Példa: Határozzuk meg az 1t14t12)t(y12)t(y)t(y 2 egyenlet egy partikuláris megoldását!

Mivel 0 nem gyöke a 122 polinomnak, az 1. ESET szerint kell felírni a zavaró-

függvényt: 012

2p tt)t(y . Az py és az py derivált függvényeket kiszámítva és

visszahelyettesítve az egyenletbe, átrendezés után:

1t14t12)122(t)122(t12 201212

22 .

90

Az együtthatók összehasonlításából a i konstansokra a I. 1212 2 , II. 14)122( 12 , III. 1122 012

egyenletrendszer adódik, amiből 12 , 11 , 00 , azaz

tttt)t(y 201

22p .

Ha a zavarófüggvény exponenciális függvény: teA)t(f .

1. ESET: ha nem gyöke a karakterisztikus egyenletnek, akkor tp eB)t(y .

2. ESET: ha r-szeres gyöke a karakterisztikus egyenletnek, akkor trp etB)t(y .

Példa: Határozzuk meg az te4)t(y)t(y egyenlet egy partikuláris megoldását!

Mivel 1 egyszeres gyöke a 12 polinomnak, a 2. ESET szerint kell a zavaró-

függvényt felírni: tp etB)t(y . Az py és az py derivált függvényeket kiszámítva és

visszahelyettesítve az egyenletbe: xx e4eB2 . Az együtthatók összehasonlításából

2B , azaz xp ex2)x(y .

Ha a zavarófüggvény trigonometrikus függvény: )tsin(A)tcos(A)t(f 21 . 1. ESET: ha i nem gyöke a karakterisztikus egyenletnek, akkor

)tsin(B)tcos(B)t(y 21p .

2. ESET: ha i r-szeres gyöke a karakterisztikus egyenletnek

)tsin(tB)tcos(tB)t(y r2

r1p .

Példa: Határozzuk meg az t2sin)t(y4)t(y egyenlet egy partikuláris megoldását!

Mivel i2i egyszeres gyöke a 42 polinomnak, a 2. ESET szerint kell a zavaró-függvényt felírni: t2sinBt2cosBt)t(y 21p . Az py és az py derivált függvényeket

kiszámítva és visszahelyettesítve az egyenletbe: t2sint2cosB4t2sinB4 21 .

Az együtthatók összehasonlításából a I. 1B4 1 , II. 0B4 2 egyenletrendszer adódik,

amiből 41B1

, 0B2 , azaz t2cost

41)t(yp

.

A linearitás következménye, hogy ha a zavarófüggvény több függvény lineáris kombinációja, akkor a partikuláris megoldást megkaphatjuk úgy, hogy a lineáris kombinációban szereplő függvényekhez külön-külön meghatározzuk megfelelő partikuláris megoldást, és ezek lineáris kombinációját vesszük ugyanazokkal az együtthatókkal. 6.3 Vizsgálófüggvények; súlyfüggvény

A lineáris rendszerek vizsgálatának egyik lehetősége, hogy leírjuk valamely speciális bemenetre (vizsgálófüggvényre) adott választ. A leggyakrabban alkalmazott két vizsgálófüggvény az egységimpulzus (Dirac-delta) függvény és az egységugrásfüggvény.

91

Az egységimpulzus- (Dirac-delta) függvény A Dirac-delta függvény nem valós értékű függvény: értéke csak t=0 esetén különbözik nullától és az integrálja 1.

A Dirac-delta ( )t(t ) függvényhez eljuthatunk a egyébként

t0,0,/1

)t(D

négyszögimpulzus függvény fogalmán keresztül, 0 határátmenettel. A négy-szögimpulzus-függvény egy rövid ideig tartó hatást ír le (a gyakorlatban az értéke nem lehet kisebb egy, az alkalmazott technológiától függő pozitív értéknél), míg az egységimpulzus-függvény az elmélet számára fontos idealizált eset, amikor a hatás egy időpillanatra korlátozódik, ezután a rendszer gerjesztés nélküli.

1

t t

)t(D )t(

6.3 ábra: A Dirac-delta függvény származtatása

A Dirac-delta függvénnyel való számolás szabályai a D függvényekkel kapott eredményekből kaphatók az 0 határátmenettel. Így igazolható például, hogy ha g

folytonos a [0,b] intervallumon valamely pozitív b-re, akkor )0(gd)()(g0

. Ez az

összefüggés jelenik meg például akkor, amikor egy rendszer válaszát pillanatnyi impulzusok hatásainak szuperpozíciójaként írunk fel. A rendszernek az egységimpulzus bemenőjelre adott válaszát súlyfüggvénynek nevezzük, jele w. Zérus kezdeti értékek mellett a rendszernek tetszőleges u bemenőjelre adott válasza meghatározható a súlyfüggvény ismeretében az

d)(u)t(w)t(yt

0

konvolúciós integrállal. Az összefüggés szemléletes jelentése: egy [0,t] időpillanatban ható )t()(u impulzus hatása )(u)t(wt , a rendszer t időpillanatbeli kimenete pedig a [0,t] időtartam alatt ható pillanatnyi impulzusok hatásának összege (integrálja). Az egységimpulzus-függvény Laplace-transzformáltja: 1)t(L .

92

Az egységugrás-függvény

Az egységurás-függvény: 0t0t

,1,0

)t(1

, a rendszer erre adott

válasza az átmeneti függvény, jele v. Az átmeneti függvény a súlyfüggvény deriváltja. A rendszernek tetszőleges bemenetre adott válasza felírható az átmeneti függvény segítségével is a következő formában:

1

t

)t(1

6.4 ábra: Egységugrásfüggvény

dd

)(du)t(v)t(v)0(u)t(yt

0.

Az egységugrásfüggvény Laplace-transzformáltja: s1)t(1L .

6.4 A Laplace-transzformáció alkalmazása a lineáris rendszerek vizsgálatában

A Laplace-transzformáció tulajdonságainak ismertetésekor már megjegyeztük, hogy a lineáris konstansegyütthatós differenciálegyenleteket transzformálva a bemenő- és a kimenőjelek transzformáltjai között algebrai kapcsolat adódik. A transzformáció alkalmazható az inhomogén lineáris differenciálegyenletekhez kapcsolódó kezdetiérték-problémák megoldására (az alábbiakban erre mutatunk példákat), de például szabályozástechnikában nagyobb jelentősége van a transzformáltak hányadosaként adódó átviteli függvénynek. Feltételezve, hogy 0)0(y...)0(y)0(y )1n( , a

)t(y)t(yT...)t(yT)t(yT 1

)1n(1n1n

)n(nn

)t(h))t(u(f)t(u)t(u...)t(u)t(uA 1)1m(1m

1m)m(m

m

egyenletet transzformálva, és abból az )s(U)s(Y hányadost kifejezve kapjuk a rendszer

átviteli függvényét:

1sT...sTsT1s...ss

)s(U)s(Y)s(H

11n1n

1nnn

n

11n1m

1mmm

m

.

A rendszer viselkedését egyértelműen jellemzi az átviteli függvénye. A nevező zérushelyeinek (a pólusoknak) kitüntetett szerepe van a tulajdonságok szempontjából, a pólusok elhelyezkedése meghatározza a tranziens viselkedést. A H(s) átviteli függvény ismeretében egy tetszőleges u(t) bemenőjelre adott y(t) válaszfüggvény kifejezése:

)s(U)s(H)s(Y )s(U)s(HL)t(y 1 .

93

Speciálisan )t()t(u esetén )s(H)s(U)s(H)s(Y , azaz )s(HL)t(w 1 , avagy )t(wL)s(H . Ennek alapján tetszőleges )t(u bemenetre adódik a korábban már felírt

d)(u)t(w)s(U)s(HL)t(yt

0

1 összefüggés. Az )t(1)t(u függvény esetén pedig

)s(Hs1)s(U)s(H)s(Y , azaz

)s(H

s1L)t(v 1 , avagy )t(vLs)s(H .

A végértéktételek alapján egyrészt )s(Hlims

)s(Hslim)0(vss

, másrészt az átmeneti

függvény állandósult értékére (ha van): )s(Hlims

)s(Hslim)t(vlim0s0st

.

Az átviteli függvényt igen hasznossá teszi, hogy tagok soros, párhuzamos kapcsolása, és pozitív, illetve negatív visszacsatolása esetén az összetett rendszer átviteli függvénye a tagok átviteli függvényéből könnyen kifejezhető. Soros kapcsolás: )s(H)s(H)s(H 21 )s(H1 )s(H2

Párhuzamos kapcsolás: )s(H)s(H)s(H 21 )s(H1

)s(H2

Negatív visszacsatolás: )s(H)s(H1)s(H)s(H

21

1

)s(H1

)s(H2

Pozitív visszacsatolás: )s(H)s(H1)s(H)s(H

21

1

)s(H1

)s(H2

6.5 Lineáris rendszerek vizsgálata a frekvenciatartományban

A Fourier-elméletből a lineáris rendszerek tekintetében az adódik, hogy egy rendszer bármely bemenőjelre adott válasza előállítható a harmonikus (szinuszos) bemenőjelekre adott válaszok szuperpozíciójaként. A linearitás miatt egy )tsin(A)t(u uu bemenőjelre adott válasz

)t(y)tsin(A)t(y tranziensyy alakú. Látható, hogy a bemenő- és a kimenőjelek

körfrekvenciája megegyezik, viszont az amplitúdóviszony és a fáziseltolódás a körfrekvenciától függ:

)(a)(A)(A

u

y

, )()()( uy .

Az )(ie)(a függvényt frekvenciafüggvénynek nevezzük. A frekvenciafüggvény a kimenet és a bemenet Fourier-transzformáltjainak hányadosa. Mivel az átviteli függvény kimenet és a bemenet Laplace-transzformáltjainak hányadosa, a két függvény szoros kapcsolatban áll: )i(He)(a )(i .

94

Megjegyzés: A frekvenciafüggvény a súlyfüggvény Fourier-transzformáltja, míg az átviteli függvény a súlyfüggvény Laplace-transzformáltja. Az )(a és az )( függvények megjelenítésére a Nykvist- és a Bode-diagramok használatosak. A Nykvist-diagramban az )(),(a párokat jelenítjük meg úgy, mint a komplex számokat a hossz és a szög alapján. A Bode-diagramban az )(a és az

)( függvények két derékszögű koordináta-rendszerben jelennek meg. A vízszintes tengelyen ( ) mindkét grafikon esetén logaritmikus skálázást alkalmazunk, az )(a

grafikon esetén a függőleges tengelyen decibelskála használatos ( egység10dBn 20/n ). Példa: A rendszer differenciálegyenlete: )t(u)t(y)t(y00002,0)t(y0001,0 , a kezdeti értékek: 0)0(y,0)0(y ,

a rendszer átviteli függvénye: 1s00002,0s0001,0

1)s(H 2

a rendszer Nykvist- és Bode-diagramja (Matlab-bal készített ábrák):

-300 -200 -100 0 100 200 300-600

-400

-200

0

200

400

600Nyquist Diagram

Real Axis

Imag

inar

y A

xis

-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

40

Mag

nitu

de (

dB

)

101

102

103

-180

-135

-90

-45

0

Pha

se (

deg

)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec) 6.5 ábra: Nykvist- és Bode-diagram

6.6 Lineáris kezdetiérték-problémák megoldása Laplace-transzformációval

Az )t(f)t(ya...)t(ya)t(ya 1)1n(

1n)n(

n (an0) inhomogén lineáris

konstansegyütthatós differenciálegyenlethez kapcsolódó kezdetiérték-probléma megoldását keressük, )1n(

0)1n(

00 y)0(y,...,y)0(y,y)0(y .

A deriváltak Laplace-transzformáltjára vonatkozó formulák alapján, a differen-ciálegyenletet transzformálva az )s(Ys és az )s(Fs függvényekre az

)s(Q)s(P)s(F

)s(Q1)s(Y , illetve az

)s(Q)s(P)s(F

)s(Q1L)t(y 1 összefüggés adódik, ahol P

95

és Q polinom. Az )s(Fs függvény kiszámítása problémás lehet, de a konvolúció tétel alkalmazásával ez elkerülhető:

)s(Q)s(PL)s(F

)s(Q1L

)s(Q)s(P)s(F

)s(Q1L)t(y 111

)t(gd)t(g)(f)t(g)t(f*)t(g)s(Q)s(PL)s(FL*

)s(Q1L 2

t

0121

111

.

Alkalmazás elsőrendű kezdetiérték-problémák esetén Tekintsük az

)t(f)t(ya)t(y , 0y)0(y kezdetiérték-problémát. Az egyenletet transzformálva: )s(F)s(Yay)s(Ys 0 , amiből

asy)s(F

as1)s(Y 0

, illetve

ta11 e

as1L)t(g

és ta

01

02 eyas

1Ly)t(g

.

Példa:

te)1t()t(y2)t(y , 1)0(y ,

2s1)s(F

2s1)s(Y

, t21

1 e2s

1L)t(g

, t212 e

2s1L)t(g

,

t2t

0

3t2t2t

0

)t(2 ede)1(eedee)1()t(y ,

ttt2 e92et

31e

97)t(y .

Alkalmazás másodrendű egyenletek esetén Tekintsük az

)t(f)t(yb)t(ya)t(y , 0y)0(y , 0y)0(y

kezdetiérték-problémát. Az egyenletet transzformálva:

)s(F)s(Yby)s(Ysayys)s(Ys 0002 ,

amiből

bsasyy)as()s(F

bsas1)s(Y 2

002

,

illetve

bsas1L)t(g 2

11 ,

bsasyy)as(L)t(g 2

0012 .

96

Példa:

1e)t(y8)t(y6)t(y t , 1)0(y , 2)0(y ,

8s6s8s)s(F

8s6s1)s(Y 22

,

4s1

21

2s1

21L

8s6s1L)t(g 1

21

1

t4t211 e21e

21

4s1L

21

2s1L

21

,

4s12

2s13L

8s6s8sL)t(g 1

21

2

t4t211 e2e34s

1L22s

1L3

,

t4t2t

0

)t(4)t(2 e2e3de21e

21)1e()t(y

,

t4t2t e

4071e

1231

81e

151)t(y .

97

FELHASZNÁLT SZAKIRODALOM

[1] JÁRAI Antal: Modern alkalmazott analízis. Budapest: Typotex Könyvkiadó, 2007. – ISBN 978 9639664 47 0.

[2] Michael D. GREENBERG: Advanced Engineering Mathematics. New Jersey: Prentice Hall, 1998. – ISBN 0 13 321431 1.

[3] KEVICZKY László et. al.: Szabályozástechnika. Budapest: Műegyetemi Kiadó, 2006.