139042970 Seminarski Rad Matematika

8/13/2019 139042970 Seminarski Rad Matematika

1/19

INTERNACIONALNI UNIVERZITET TRAVNIK INTERNATIONAL UNIVERSITY OF TRAVNIK

INTERNACIONALNI UNIVERZITET TRAVNIKEKOLOKI FAKULTET

TRAVNIK

OPERACIJE S MATRICAMA

SEMINARSKI RAD

Matematika

Travnik, decembar, 2012. Godine

SADRAJ


2/19

U!D........................................................................................................................."

1. #!$AM MATRI%E I !#ERA%I$E SA MATRI%AMA.......................................&1.1 Sabiran'e matrica i mno(en'e matrica )ka*arom.........................................&

1.2. Mno(en'e matrica......................................................................................+

1.". Tran)onovana matrica.............................................................................-

2. #!$AM DETERMINANTE MATRI%E...............................................................10

NAIN I/RAUNAAN$A DETERMINANTE REDA 2. i "..........................10

!S!INE DETERMINANI.................................................................................10

2.1. #o'am determinante matrice....................................................................10

2.2. Ira3navan'e determinanti reda 2 i reda ".............................................10

2.". !)obine determinanti..............................................................................12

". #!$AM MIN!RA I K!4AKT!RA I NAIN N$I5!!G

I/RAUNAAN$A. 6A#6A%E!! #RAI6! ! RA/!$U

DETERMINANTE................ ...............................................................................1"

".1. Minor i ko7aktori.....................................................................................1"

".2. 6a*aceovo ravi*o o ravo'3 determinante............................................1&/AK6$UAK............................................................................................................1+

6ITERATURA...........................................................................................................18

UVOD

2


3/19

#ri*ikom itan'a i*i )*39an'a i*a:an'a o ovom )eminar)kom rad3 i redmeta

;Matematika< =e vam biti o'a9n'eni o)novni o'movi i *inearne a*:ebre. Da va) ma*o bo*'e

3onamo )a va(no)ti matematiki> radn'i re=i =emo neko*iko ri'ei o rim'eni *inearne

a*:ebre.

#ri i3avan'3 ona9an'a neko: mode*a 3 odre?enom vremen)kom tren3tk3

o)matra'3 )e vari'ab*e ko'e nam karakteri93 mode* i 3oava )e n'i>ova me?3avi)no)t. Na

rim'er, 3ko*iko o)matramo neki od mode*a do>otka, vari'ab*e ko'e o)matramo mo:3 biti

do>odak, inve)tici'e, v*adina otro9n'a, otro9n'a, 3k3ni orei, )toa orea na do>odak i

dr. Na o)nov3 emiri')ki> ro3avan'a i ekonom)ki> reto)tavki mode*a vea ime?3

vari'ab*i i)ka3'e )e 'ednainama vee. /a te 'ednaine vee mo(emo reto)taviti da )3

*inearne, 'er )e mo:3 odre?enim matemat)kim metodama @a date okvirne vri'edno)ti

vari'ab*i *ineariirati. Na ta' nain mode* 'e okarakteri)an )i)temom *inearni> 'ednad(bi.

R'e9en'e to: )i)tema *inearni> 'ednad(bi 'e tv. ekvi*ibri'3m i*i ravnote(ni o*o(a'

mode*a. !n 'e red)tav*'en onim vri'edno)tima vari'ab*i 3 ko'ima mode* ne te(i ka rom'eni.

!drediti ekvi*ibri3m mode*a nai ri'e9iti )i)tem *inearni> 'ednad(bi, a to )e ini 3ravo

metodama *inearne a*:ebre ko'e =emo 3 da*'em 3onati.

1. POJAM MATRICE I OPERACIJE SA MATRICAMA

3


4/19

U matematici, matrica 'e ravo3:aona tab*icabro'eva, i*i o=enito, tab*ica ko'a )e )a)to'i

od a)traktni> ob'ekata ko'i )e mo:3 )abirati, od3imati i mno(iti. Matrice )e kori)te a

oi)ivan'e *inearni> 'ednad(bi, a ra=en'e koe7ici'enata *inearni> tran)7ormaci'a, kao i a

3van'e odataka ko'i avi)e od dva arametra. Matrice )e mo:3 )abirati, od3imati, mno(iti i

ra*a:ati na rane naine, 9to i> ini k*'3nim koncetom 3 *inearno' a*:ebriiteori'i matrica.

5orionta*ne )e *ini'e 3 matrici ov3 vr)te, a vertika*ne ko*one matrice.

Matricom 7ormata mxn )matrat =emo )>em3 od mn rea*ni> bro'eva. Ako 'e A matrica

7ormata mxn , tada n'ene e*emente onaavamo )a ija

, :d'e nam i onaava redni bro' vr)te,

a j redni bro' ko*one matrice A , i i9emo ( )ij mxnA a

= .

Na rim'er, e*ement "Ba )e na*ai 3 tre=o' vr)ti i eto' ko*oni matrice.

Matric3 7ormata mxn mo(emo ai)ati i kao

11 12 1

21 22 2

1 2

...

...

... ... ... ...

...

n

n

m m mn

a a aa a a

A

a a a

= .

Matric3 7ormata 1mx @ ko'a ima )amo 'edn3 ko*on3 ovemo vektorCko*onom, a matric3

7ormata 1xn @ ko'a ima )amo 'edn3 vr)t3 ovemo vektorCvr)tom.

Na rim'er, matrica

1

0

"

&

A

= 'e vektorCko*ona, 'er 'e 7ormata &1.

Matrica ( )2 " -A =

'e vektorCvr)ta, 'er 'e 7ormata "1.

Sk3 )vi> matrica 7ormata mxn i'i e*ementi )3 rea*ni bro'evi onaavamo )a Rmn@ ri em3'e Ronaka a )k3 rea*ni> bro'eva .

1.1. Sabiranj !a"ri#a i !n$%nj !a"ri#a &'a(ar$!

4
http://hr.wikipedia.org/wiki/Matematikahttp://hr.wikipedia.org/wiki/Brojhttp://hr.wikipedia.org/wiki/Sustav_linearnih_jednad%C5%BEbihttp://hr.wikipedia.org/w/index.php?title=Koeficijent&action=edit&redlink=1http://hr.wikipedia.org/w/index.php?title=Linearna_transformacija&action=edit&redlink=1http://hr.wikipedia.org/wiki/Linearna_algebrahttp://hr.wikipedia.org/wiki/Linearna_algebrahttp://hr.wikipedia.org/w/index.php?title=Teorija_matrica&action=edit&redlink=1http://hr.wikipedia.org/wiki/Matematikahttp://hr.wikipedia.org/wiki/Brojhttp://hr.wikipedia.org/wiki/Sustav_linearnih_jednad%C5%BEbihttp://hr.wikipedia.org/w/index.php?title=Koeficijent&action=edit&redlink=1http://hr.wikipedia.org/w/index.php?title=Linearna_transformacija&action=edit&redlink=1http://hr.wikipedia.org/wiki/Linearna_algebrahttp://hr.wikipedia.org/w/index.php?title=Teorija_matrica&action=edit&redlink=1


5/19

Dvi'e o)novne oeraci'e ) matricama )3 )abiran'e matrica i mno(en'e matrice

)ka*arom @t'. mno(en'e matrice rea*nim bro'em. Matrice A i B mo(emo )abrati ako i )amo

ako )3 'ednaki> 7ormata. U tom )*3a'3 matrice )e )abira'3 tako 9to )e )aber3 oni e*ementimatrica ko'i )e na*ae 3 i)to' vr)ti i i)to' ko*oni. To ai)3'emo na *i'ede=i nain

Ako 'e( )ij mxnA a= i ( )ij mxn

B b=, tada 'e

( )ij ij mxnA B a b+ = + .

#rim'er Saberimo matrice

1 0

2 "

8 12

A =

i

2 "

1 &

8 11

B

= . Imamo

1 "

1 8

1& 1

A B

+ = .

Anao*:no )abiran'3, matrice 'ednaki> 7ormata od3imamo tako 9to od3memo

od:ovara'3=e e*emente 'edne matrice od e*emenata dr3:e matrice. /a matrice A i B i

ret>odno: rim'era 'e

( )1 2 0 " " "2 1 " & " 1

8 8 12 11 0 2"

A B

= = .

Za)a"a'* /adane )3 matrice

iF@AAT2

!drediti arametar t R takav da je matrica B skalarna.

Rjeenje:

&t2&F-

&t2F&

t2F1

5


6/19

t1F 1, ne od:ovara

t2F C1 'e)te konano r'e9en'e.

Matrica )e mno(i )ka*arom tako 9to )e )vaki e*ement te matrice omno(i datim

)ka*arom @odno)no rea*nim bro'em. To ai)3'emo na )*i'ede=i nain

Ako 'e data matrica( )ij mxnA a= i rea*an bro' , tada 'e ( )ij mxn

A a =.

/a matrice A i B i ret>odno: rim'era 'e

2 0

2 & +

1& 2&

A = , dok 'e

"1

21 1

22 2

8 11

2 2

B

= .

Na kra'3, ira3na'mo matric3 " 2A B . Kao rvo, omno(i=emo matrice A i B )ka*arima, a

atim =emo tako dobi'ene matrice od3eti. Imamo

" 0 & + 8 +

" 2 + H 2 - - 1

21 "+ 1& 22 8 B-

A B

= =

.

Sabiran'e matrica @i)to: 7ormata i mno(en'e matrica )ka*arom ima )*i'ede=e o)obine.

/a , , mxnA B C i , vri'edi

1. A B B A+ = + @)abiran'e matrica 'e kom3tativno

2. ( ) ( )A B C A B C+ + = + +

@)abiran'e matrica 'e a)oci'ativno

". #o)to'i matrica mxnO @ tv. n3*aCmatrica, t'. matrica i'i )vi e*ementi )3 'ednaki n3*a

takva da a )ve matricemxnA vri'edi A O O A A+ = + = .

N3*a matrica ove )e 'o9 i ne3tra*ni e*ement 3 odno)3 na )abiran'e matrica.

&. /a )vak3 matric3mxnA o)to'i n'o' )3rotna matrica

mxnA takva da 'e

( ) ( )A A A A O+ = + = .

B. ( ) ( )A A = .

6


7/19

+. ( )A A A + = +

.

8. ( )A B A B + = +

.

1.+. Mn$%nj !a"ri#a

/a dvi'e matricemxnA i sxpB ka(emo da )3 &a,(a&n3ko*iko 'e n s= . Dak*e,

matrice A i B )3 )a:*a)ne ako i )amo ako 'e bro' vr)ta matrice B 'ednak bro'3 ko*ona

matrice A .

Neka )3 )adamxnA i

nxpB dvi'e )a:*a)ne matrice, ri em3 'e( )ij mxnA a= i

( )jk nxpB b= . #roivod matrica A i B 'e matrica C, 7ormata mxp , takva da 'e ( )ik mxpC c=

i

vri'edi 1

n

ik ij jk

j

c a b=

= . Dak*e, e*emenat 3 i Cto' vr)ti i kCto' ko*oni matrice C AB= dobi'emo

tako 9to )vaki od e*emenata i Cte vr)te matrice A omno(imo ) od:ovara'3=im e*ementom kC

te ko*one matrice B i te roivode )aberemo.

#red)tavimo ov3 de7inici'3 na )*i'ede=em rim'er3

#rim'er. Na?imo roivod matrica

0 1 1 0

1 " 2 0

2 & 1 2

A

= i

1 0 1

2 1 2

1 0 "

0 2 0

B

= .

#ri'e )ve:a, matrice A i B )3 )a:*a)ne, 'er 'e bro' ko*ona matrice A 'ednak bro'3 vr)ta

matrice B @'ednak &.

#roivod matrica A i B bi=e matrica 7ormata "". N'3 dobi'amo na )*i'ede=i nain

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )

1 0 10 1 1 0

2 1 21 " 2 0

1 0 "2 & 1 2

0 2 0

0 1 1 2 1 1 0 0 0 0 1 1 1 0 0 2 0 1 1 2 1 " 0 0

1 1 " 2 2 1 0 0 1 0 " 1 2 0 0 2 1 1 " 2 2 " 0 0

2 1 & 2 1 1 2 0 2 0 & 1 1 0 2 2 2 1 & 2 1 " 2 0

A B

= = + + + + + + + + +

+ + + + + + + + + + + + + + + + + +

7


8/19

F

" 1 1

B " 11

H - H

.

I ovo: rim'era tako?er mo(emo ak*'3iti da mno(en'e matrica ni'e kom3tativna

oeraci'a. Naime, iako )3 matrice A i B )a:*a)ne, kao i matriceB i A , matrica C AB= 'e

7ormata "", dok 'e matrica D BA= 7ormata &&.

Matric3 A i ret>odno: rim'era ni'e mo:3=e omno(iti )am3 )a )obom, t'.

ira3nati roivod A A . Da bi nek3 matric3 bi*o mo:3=e omno(iti )am3 )a )obom,

otrebno 'e i dovo*'no na ona b3de kvadratna matrica, t'. da ima 'ednak bro' vr)ta i ko*ona

@dak*e, mora biti m n= . Takve matrice 'e mo:3=e i )teenovati rirodnim bro'em, na

)*i'ede=i nain.

/anxnA o de7inici'i )tav*'amo

0

nA E= i1m mA A A = , a )vaki rirodan bro' m .

!vd'e )mo )a nE onai*i 'edinin3 matric3 reda n @t'. 'edinin3 matric3 7ormata nxn . Iako

'e n3*aCmatrica bi*a matrica i'i )vi e*ementi )3 n3*e, 'edinina matrica ni'e matrica i'i )vi

e*ementi )3 'edinice. Ime 'edinina matrica otie od to:a 9to )e mno(en'em )a 'edininom

matricom @od:ovara'3=e: 7ormata ne mi'en'a o*ana matrica, kao 9to )e ni mno(en'em bro'a

)a 'edinicom ta' bro' ne mi'en'a.

$edinina matrica 'e matrica i'i e*ementi na :*avo' di'a:ona*i )3 'edinice, a na )vim o)ta*im

m'e)tima )3 n3*e. Dr3:im ri'eima,( )n ij nxnE e= , ri em3 'e 1ije = a i j= , dok 'e 0ije = a

)ve o)ta*e i i j . Na rim'er,

2

1 0

0 1E =

,"

1 0 00 1 0

0 0 1

E = i

&

1 0 0 0

0 1 0 00 0 1 0

0 0 0 1

E

= .

Mo(e )e okaati da, 3ko*iko 'enxnA , tada 'e n nA E E A A = = @ova o)obina 'e ana*o:na

o)obini rea*ni> bro'eva t'. in'enici da 'e 1 1a a a = = , a )ve rea*ne bro'eve a .

Mno(en'e matrica, ored navedeni> ima i )*i'ede=e o)obine @ ovd'e )3 nam A , B i C

kvadratne matrice i)to: 7ormata

1. ( ) ( )A B C A B C = @mno(en'e matrica 'e a)oci'ativno, iako ni'e kom3tativno

8


9/19

2. ( )A B C AB AC + = +

@mno(en'e matrica 'e di)trib3tivno ) *i'eva rema )abiran'3

". ( )B C A BA CA+ = +

@mno(en'e matrica 'e di)trib3tivno ) de)na rema )abiran'3

&. A O O A O = = @ )a O )mo onai*i n3*aCmatric3

Naomin'emo na kra'3 da, bo: to:a 9to mno(en'e matrica ni'e kom3tativno moramo

o)ebno ramatrati mno(en'e ) *i'eve i ) de)ne )trane i voditi o tome ra3na.

Za)a"a'* /a matrice

i

Irac3nati a A b AC c A

Rj-nj*

a)

b)

c)

1.. Tran&/$n$0ana !a"ri#a

Neka 'e data matrica( )ij mxnA a= . Tran)onovana matrica matrice A , 3 onaci TA )e

de7ini9e )a( )T ji nxmA a= .

Dak*e, matricaTA )e dobi'e kada 3 matrici A vr)te i ko*one ami'ene m'e)ta @t'. rva vr)ta

o)tane rva ko*ona, dr3:a vr)ta o)tane dr3:a ko*ona, itd.

9


10/19

Za)a"a'* !dredimo tran)onovan3 matric3 matrice

0 1 1 0

1 " 2 0

2 & 1 2

A

= .

Kako 'e matrica A 7ormata "&, to =e tran)onovana matrica biti 7ormata &".

Rj-nj Imamo

0 1 2

1 " &

1 2 1

0 0 2

TA

= .

!i:*edno 'e da 'e ( )T

TA A=. !eraci'a tran)onovan'a matrica ima i )*i'ede=e o)obine

1. ( )T T TA B A B + = +

, :d'e )3 A i B matrice i)to: 7ormata, a i rea*ni bro'evi.

2. ( )T T TA B B A =

, :d'e )3 A i B )a:*a)ne matrice.

Ako 'eTA A= , a matric3 A ka(emo da 'e &i!"rinamatrica. !i:*edno 'e da )imetrina

matrica mora biti kvadratna.

#rim'er. Matrica

2 1 0

1 " 1

0 1 1

A =

'e )imetrina matrica.

Ako 'eTA A= , a matric3 ka(emo da 'e

'$&$&i!"rina. Ko)o)imetrina matrica mora biti kvadratna i imati n3*e na :*avno'

di'a:ona*i.

#rim'er. Matrica

0 1 2

1 0 2

2 2 0

A

= 'e ko)o)imetrina matrica.

10


11/19

+. POJAM DETERMINANTE MATRICE

NA2IN IZRA2UNAVANJA DETERMINANTE REDA +. i .OSO3INE DETERMINANI

+.1. P$ja! )"r!inan" !a"ri#

U ret>odnom di'e*3 )mo vid'e*i da mno(en'e kvadratni> matrica ima o)obine )*ine

o)obinama mno(en'a rea*ni> bro'eva @ o)im kom3tativno)ti .

$edna od ti> o)obina 'e)te e:i)tenci'a 'edinine matrice nE )a o)obinom da 'e

n nA E E A A = = , a )venxnA .

Kako 3 )k33 rea*ni> bro'eva )vaki rea*an bro' a , 0a ima )vo' inverni e*ement

1a takav da vri'edi1 1

1a a a a = = , o)tav*'a )e itan'e da *i )*ina o)obina vri'edi a )ve

matricenxnA , A O . Dak*e, o)tav*'a )e itan'e a ko'e matrice

nxnA o)to'i matrica

1 nxnA takva da vri'edi1 1

nA A A A E = = .

!d:ovor na to itan'e =e nam dati determinanta matrice.

Stro:a de7inici'a determinante matrice, ba9 kao i )tro:a de7inici'a matrice 'e

matematiki do)ta a>t'evna i mi 'e ovd'e ne=emo navoditi.

Smatrat =emo da 'e determinanta kvadratne matricenxnA rea*an bro' ridr3(en to'

matrici. !naavat =emo :a )a detA i*iA

.

Naomenimo da )e determinanta ridr3(3'e i)k*'3ivo kvadratno' matrici. Uko*iko 'e matrica

7ormata nxn , a determinant3 ridr3(en3 to' matrici ka(emo da 'e reda n .

.+. I4ra5na0anj )"r!inan"i r)a +. i r)a .

Neka 'e

a b

A c d

= roivo*'na matrica 7ormata 22. #o de7inici'i 'e

11


12/19

det a b

A ac bdc d

= = .

Dak*e, determinanta reda 2 )e ira3nava tako 9to )e od roivoda e*emenata na

:*avno' di'a:ona*i od3me roivod e*emenata na )oredno' di'a:ona*i te determinante.

#rim'er. Ira3na'mo determinant3 matrice

" 2

& "A

= .

Imamo( )

" 2det " " & 2 H - 18

& "A

= = = + =.

Neka 'e )ada

1 1 1

2 2 2

" " "

a b cA a b c

a b c

= roivo*'na matrica 7ormata "". Determinant3

matrice A mo(emo ira3nati na )*i'ede=i nain

Kao rvo, ) de)ne )trane determinante doi9emo rve dvi'e ko*one matrice A , a atim

mno(imo e*emente na tri :*avne di'a:ona*e, )aberemo i> i od n'i> od3memo bir roivoda

e*emenata )a )oredne di'a:ona*e. Imamo

( ) ( )1 1 1 1 1

2 2 2 2 2 1 2 " 1 2 " 1 2 " " 2 1 " 2 1 " 2 1

" " " " "

det

a b c a bA a b c a b a b c b c a c a b a b c b c a c a b

a b c a b= = + + + +

.#o)to'e i dr3:i naini ira3navan'a determinanti tre=e: reda, kao 9to 'e ravi*o tro3:*a

i dr3:a, ko'a ne=emo ovd'e navoditi.

#rim'er. Ira3na'mo determinant3 matrice

1 2 0

2 " 1

0 2 1

A = .

Imamo

( ) ( )( ) ( ) ( )( )1 2 0 1 2

det 2 " 1 2 " 1 " 1 2 1 0 0 2 2 0 " 0 2 1 1 1 2 2

0 2 1 0 2

" 2 & H.

A = = + + + + =

= =

Za)a"a'* Ira3nati )*i'ede=e determinante matrica rvo: i dr3:o: reda

a AF@&

b F@C"

c)

12


13/19

d)

e)

Rj-nj*

a detAF&

b detF@C"

c det%F2J&C@C1JBF-BF1"

d detDFHJ@C+JC&J10FC"+C&0FC8+

e detEFCBJ8JC"J&FC"BC12FC&8

Za)a"a'* Ira3nati )*i'ede=e determinante tre=e: reda

a)

b)

c)

Rj-nj*

a)

b)

c)

+.+. O&$bin )"r!inan"i

13


14/19

U ret>odnom rim'er3 3oi*i )mo da 3ko*iko 3 determinanti o)to'i do)ta n3*a, *ak9e

'e ira3nati n'i>ov3 vri'edno)t. Sada =emo nave)ti neke o)obine determinanti, omo=3 ko'i>

i> 'e 'edno)tavni'e ira3navati.

1. /a )vak3 kvadratn3 matric3 A 'e det det T

A A= .

2. Ako )3 3 matrici A e*ementi 'edne vr)te i*i ko*one 'ednaki i*i roorciona*ni e*ementima

dr3:e vr)te i*i ko*one, determinanta 'e 'ednaka n3*i.

". Determinanta )e mno(i @di'e*i bro'em ra*iitim od n3*e tako da )e e*ementi 'edne vr)te i*i

ko*one determinante omno(e @odi'e*e tim bro'em.

&. Ako dvi'e vr)te i*i ko*one determinante ami'ene m'e)ta, determinanta mi'en'a rednak.

B. ri'edno)t determinante o)ta'e neromi'en'ena 3ko*iko )ve e*emente 'edne vr)te i*i ko*oneomno(imo nekim rea*nim bro'em i )aberemo )a od:ovara'3=im e*ementima neke dr3:e vr)te

i*i ko*one.

+. /a kvadratne matrice A i B i)to: 7ormata 'e ( )det det detA B A B =

.

U )*i'ede=em rim'er3 okaat =emo kako )e rimi'en'3'3 o)obine determinanti.

Za)a"a'*Ira3nati determinant3

1 2 " &

B + 8 -

H 10 11 12

1" 1& 1B 1+

D=

.

#ri ira3navan'3 ove determinante kori)ti=emo )e o)obinom B. kako bi)mo 3 rvo'

vr)ti determinante dobi*i n3*e. Kako bi)mo 3m'e)to bro'a 2 3 rvo' vr)ti i dr3:o' ko*oni dobi*i

n3*3, rv3 ko*on3 determinante omno(it =emo )a @C2 i dodati dr3:o' ko*oni matrice.

Ana*o:no, rv3 ko*on3 determinante omno(it =emo )a @C" i dodati tre=o' ko*oni kako bi)mo

3 rvo' vr)ti i tre=o' ko*oni dobi*i bro' 0, 3m'e)to bro'a ". Imamo

1 0 0 &

B & - -H - 1+ 12

1" 12 2& 1+

D = .

Kako )3 e*ementi dr3:e ko*one determinante D roorciona*ni e*ementima tre=e ko*one te

determinante, to 'e, na o)nov3 o)obine 2. vri'edno)t determinante D 'ednaka n3*i.

14


15/19

. POJAM MINORA I KOFAKTORA I NA2IN NJI6OVO7IZRA2UNAVANJA.LAPLACEOVO PRAVILO O RAZVOJU DETERMINANTE

.1. Min$r i '$8a'"$r

Neka 'e data kvadratna matrica ( )ij nxnA a= i neka 'e

11 12 1 1

21 22 2 2

1 2

1 2

... ...

... ...

E E ... E ... E

... ...

E E ... E ... E

... ...

j n

j n

i i ij in

n n nj nn

a a a a

a a a a

Da a a a

a a a a

=

determinanta matrice A .

Uoimo e*emenat ija

determinante D . !n )e na*ai 3 i Cto' vr)ti i j Cto' ko*oni. Kada i

determinante D io)tavimo i Ct3 vr)t3 i j Ct3 ko*on3, o)ta*i e*ementi determinante D

7irmira'3 nov3 determinant3 reda ( )1n

. Tako dobi'en3 determinant3 ovemo !in$r$! i*i

&5b)"r!inan"$!e*ementa ija

i onaavamo 'e )a ijM

.

Determinanta D ima tano2

nxn n= minora, 'er )vakom e*ement3 determinante

od:ovara o 'edan minor.

ro' ( )1 i j

ij ijA M+= ovemo '$8a'"$r$! i*i a(,bar&'i! '$!/(!n"$! e*ementa ija

determinante D , odno)no matrice A .

#rim'er 1. !dredimo minore 22M i 1"M , te ko7aktore "2A i 11A determinante

1 2 0

2 " 1

0 2 1

D=

.

15


16/19

Minor 22M 'ednak 'e determinanti ko'3 dobi'emo kada i determinante D ibacimo

dr3:3 vr)t3 i dr3:3 ko*on3. Dak*e,( )22

1 01 1 0 0 1

0 1M = = = .

Ana*o:no, minor 1"M 'ednak 'e determinanti ko'3 dobi'emo kada i D ibacimo rv3 vr)t3 i

tre=3 ko*on3. Dak*e,1"

2 "& 0 &

0 2M

= = = .

#o de7inici'i ko7aktora 'e( ) ( ) ( ) ( )

" 2

"2 "2

1 01 1 1 1 0 1

2 1A M

+= = = = .

Ana*o:no 'e( ) ( )

1 1

11

" 11 1 " 2 B

2 1

A += = =

.

Za)a"a'*!drediti ko7aktore 21A "2A i &2A matrice

1 1 2 1

2 2 1 0

" 0 1 0

1 0 " 1

A

= .

Rj-nj*

( ) ( ) ( )2 1

21

1 2 1

1 0 1 0 1 1 1

0 " 1

A +

= = =

.

.+. La/(a#$0$ /ra0i($ $ ra40$j5 )"r!inan"

Do )ada )mo vid'e*i kako ira3nati determinant3 dr3:o: i tre=e: reda. Na (a*o)t, ne

o)to'i tako 'edno)tavan nain a ira3navan'e determinanti etvrto: i vi9e: reda. /a to =e

nam o)*3(iti 6a*aceovo ravi*o o ravo'3 determinante ko'e =e nam :ovoriti o tome kakodeterminant3 reda n rikaati kao )3m3 determinanti reda 1n . Na ta' nain, na rim'er

mo(emo determinant3 reda & rikaati kao )3m3 determinanti reda " ko'e namo ira3nati.

Ana*o:no, determinant3 reda B mo(emo rikaati kao )3m3 determinanti reda &, ko'e

ira(avamo kao )3m3 determinanti reda ", itd... )ada =emo nave)ti 6a*aceovo ravi*o o

ravo'3 determinante Teorema. Determinanta D reda n 'ednaka 'e bir3 roivoda

e*emenata ma ko'e vr)te i*i ko*one i n'ima od:ovara'3=i> ko7aktora. Dr3:im ri'eima,

16


17/19

1 1

n n

ij ij ij ij

i j

D a A a A= =

= = . Dak*e, determinant3 mo(emo raviti o roivo*'no' vr)ti i*i

ko*oni. Kako )e ko7aktori @t'. determinante reda 1n mno(e ) od:ovara'3=im e*ementima, a

ravo' determinante 3et =emo on3 vr)t3 i*i ko*on3 3 ko'o' ima na'vi9e n3*a.Kori)no 'e i o)*3(iti )e o)obinama determinanti kako bi)mo dobi*i vr)t3 i*i ko*on3 )a 3no

n3*a.1#rim'er. Determinant3 matrice A i ret>odno: rim'era na''edno)tavni'e 'e raviti o

tre=o' vr)ti, dr3:o' i*i etvrto' ko*oni @'er 3 n'ima imamo o dvi'e n3*e. #oka(imo kako )e

ira3nava determinanta ravo'em o etvrto' ko*oni.

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1& 2& "& &&

1 & & &

1 1 2 1

2 2 1 0det 1 0 0 1

" 0 1 0

1 0 " 12 2 1 1 1 2

1 1 " 0 1 1 1 2 2 1 1 1+ 1 B 1+ B 11.

1 0 " " 0 1

A A A A A

+ +

= = + + + =

= + = + = =

#oka(imo kako determinant3 raviti o tre=o' vr)ti. Imamo

( ) ( )

"1 "2 "" "&

" 1 " "

1 1 2 1

2 2 1 0det " 0 1 0

" 0 1 0

1 0 " 11 2 1 1 1 1

" 1 2 1 0 1 1 2 2 0 " 1 " 1 1 2 H 2 11.

0 " 1 1 0 1

A A A A A

+ +

= = + + + =

= + = + = + =

1www.fpm.ba/.../Poslovna%2Ma!ema!ika%2P"edavanja%2#%2dio.docp"is!$pljeno &.&2.2'

17
http://www.fpm.ba/.../Poslovna%20Matematika%20Predavanja%20I%20dio.dochttp://www.fpm.ba/.../Poslovna%20Matematika%20Predavanja%20I%20dio.doc


18/19

ZAKLJU2AK

Kao 9to mo(ete da vidite kro ova' )eminar)ki rad, 3 ko'em )mo vam 'ednim di'e*om

red)tavi*i ona9an'e matrica i n'i>ove oeraci'e, da 'e matematika 'edna )*o(ena na3ka ko'a

)e baira na matematikim akonito)tima i ko'a 'e ri)3tna )v3:d'e a i 3 ekonomi'i.

$edna 'e od n'eni> :*avni> di'e*ova i be n'e )e ne bi mo:*o d'e*ovati na tr(i9t3 ni 3

'ednom ob*ik3. Nadamo )e da =e vam ova' rad kori)titi i o*ak9ati vam da )>vatite neke

o)novne )tvari o matricama, ko'e =e te 3 b3d3=no)ti rim'en'ivati 3 rak)i.

18


19/19

LITERATURA

1. Marko Stevi= 9P$&($0na !a"!a"i'a:L Matrice )tr 1&1 L 21". eo:rad, 2001

2. Antoni'e Mari= 9In0r4n !a"ri# i 4a'$ni"$&"i:;S*it, 200&

". >tt>r.ikiedia.or:ikiMatricaO

&. >tt.mat>o).3nio).>r

5. >tt.)*ide)>are.net

+. >tt.*inkCe*earnin:.comk3r)CMatematikaC1O1&O
http://hr.wikipedia.org/wiki/Matrica_(matematika)http://www.mathos.unios.hr/http://www.slideshare.net/http://hr.wikipedia.org/wiki/Matrica_(matematika)http://www.mathos.unios.hr/http://www.slideshare.net/

Documents

139042970 Seminarski Rad Matematika