Vektori Seminarski Rad Matematika 3 Tehnologija PDF

8/17/2019 Vektori Seminarski Rad Matematika 3 Tehnologija PDF

http://slidepdf.com/reader/full/vektori-seminarski-rad-matematika-3-tehnologija-pdf 1/25

Univerzitet u Novom Sadu

Tehnički fakultet “Mihajlo Pupin”

Zrenjanin

20011/ 2012

SEMINARSKI RAD IZ PREDMETA:

MATEMATIKA 3

TEMA !ektori



Sadržaj

1"#$o%&&&&&&" &&"&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&"3

2"Poja' $ektora&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&""(

3")*no$ne 'eto%e inte+rala&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&"",

• Meto% nepo*re%ne inte+ra-ije&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&",

• Meto% *up*titu-ije&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&",

• Meto% par-ijalne inte+ra-ije&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&"".

2"ITEAI AI)AI4 5#KI6A&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&""7

3"ITEAI IAI)AI4 5#KI6A&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&11

("ZA8AI&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&1

,"ITEAT#A&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&



1. UVOD

Vektor je poja' i9 'ate'atike: o;la*ti linearna al+e;ra: koji je u$e%en pr$en*t$eno %a ;i

*e ra9liko$ale $eličine koje *e poja$ljuju u priro%i: a i'aju pra$a- i *'er: te *e kao tak$e

ra9likuju o% $eličina koje i'aju *a'o $eličinu i 9o$u *e *kalari"

Vektorske veličine *u $eličine o%re<ene *a %$a ili $i=e para'etara" ajpo9natiji *u

pri'eri $e9ani 9a +eo'etriju u pro*toru +%e *e $ektor o%re<uje pra$-e': *'ero' i

inte9iteto' a pre%*ta$lja *treli-o' orijenti*ano' %u> pra$-a: %u>ine propor-ionalne

inten9itetu: a čiji $rh poka9uje *'er na 9a%ato' pra$-u" enerali9o$ani $ektor ne

'ora ;iti o+raničen na tri %i'en9ije" !ektor u n?%i'en9ionalno' pro*toru opi*uje *e

*a n para'etara"

5i9ičko tu'ačenje $ektora o;ično *e *$o%i na tro%i'en9ionalni pro*tor" Tako *u

$ektor*ke $eličine ;r9ina: *ila: u;r9anje: 'o'ent količine kretanja""" a

*kalarne 'a*a: te'peratura: 9apre'ina"



3



2. Po!" vektor!

#De$ini%i!:

Veličine odredjene svojom brojnom vrednošću,pravcem i smerom zovu se

vektorske velične ili vektori.

#Neke v!&nie oso'ine vektor!:

1" Po'eranje: *ila: ;r9ina: u;r9anje: 'o'ent *ile: jačina 'a+netno+ polja: i %r"

?pri'eri *u $eličina koje *u o%re%jene *$ojo' ;rojno' $re%no=@u: pra$-e' i *'ero'"

2"8$a $ektora s( e)n!k! ako *u i*to+ pra$-a i i*to+ *'era i i'aju je%nake ;rojne $re%no*ti u o%no*u na i*tu je%ini-u"

3"8u9ina ili inten9itet $ektora 9o$e *e jo* i apsolutna vrednost ili modul : na

pri'er 9a $ektor AB :o9nača$a'o AB

("!ektor je tako%je okarakteri*an ure%jeni' paro' tačaka: pa *e 9ato i tako

o9nača-a$a: npr" A:BC : M:C : it%"

,"D$e $ektore koje le>e na i*toj pra$oj na9i$a'o kolinearnim vektorima.

."!ektor %u>ine 1 9o$e se e)ini%ni vektor ili ort

*. Vektori n! +r!vo i ( r!vni

#De$ini%i!:

? Al+e;ar*ka $re%no*t M $ektora MN na %atoj o*i je realan ;roj M ili ?M

Fa$i*no o% to+a %a li M i'a i*ti ili *uprotan *'jer o% o*e

1C MG MN ili MG? MN "

Al+e;ar*ka $re%no*t nula?$ektora:tj" $ektora -ija je %u9ina je%naka 0: je 0" Ako je

! %ati $ektor:ta%a je%ini-ni $ektorortC i*to+ pra$-a i *'era kao ! o9na-a$a'o ort !

pa je 'a 9a koji $ektor ! ra9li-it o% nula?$ektora

(



2C ! G a ort ! "

I9'e%ju *kupa realnih ;roje$a i *kupa *$ih ta-aka na koor%inatnoj o*i;roje$noj pra$ojC:

po*toji u9aja'no je%no9načna kore*pon%en-ija Svakoj tacki odgovara po jedan realan broj i svakom realnom brojuodgovara po jedna tacka na koordinatnoj pravoj.

Ako *u OA i OB 'a koja %$a $ektora na o*i o x ta%a u$ek 'o>e'o na@i taka$

;rojλ ≠ 0 %a je

λ OA + OB = 0 :)%no*no

OB=

λ

H

OA λ H = λ C"

Za $ektore OA i OB ta%a ka>e'o %a *u linearno zavisni.

8$a $ektora i*to+ pra$-a ;e9 o;9ira %a li *u na i*toj pra$oj ili na paralelni' pra$i'C na9i$a'o koline!rni" u *ire' *'i*lu Cako %$a $ektora ne'aju i*ti pra$a- :na9i$a'o ih nekoline!rni" $ektori'a o-i+le%no: ti$ektori ni*u linearno 9a$i*ni"

y y

1

A2

j j

0 i 1 x i

Sl.1.2 sl.1.3



,.VEKTOR U KOORDINATNO- RAVNI

Kao =to *'o poka9ali: polo>aj tačke u koor%inatnoj ra$ni je%no9načno je

o%re%jen njeni' koor%inata'a ili njeni' $ektoro' polo9aja u o%no*u na koor%inatni

po-etak "eka je : na *l" 2"1 +%e *u ii j i*taknutiC:A %ata tačka u koor%inatnoj ra$ni:a

OA "

y

A2 A a x : a y C

j OA

0 xi A2

Projekcija $ektora OA nao x je OA1 : a na o*u o y je OA2 pri to'

je

OA = OA1 + OA2 = a x i + a y j "

8akle:ko'ponente $ektora OA ra9lo9ene na {i : j} *u i*to$re'eno

projek-ije $ektora )A na o*u o x i na o*u o y

Ako je %at $ektor OA =

{a x : a y

}:ta%a je nje+o$a %u9ina

OA = a x2 + a y

2

7



1C

I'aju@i u $i%u jo* %a je

2C

α = OA: iC: tj" u+ao $ektora OA pre'a o*iC: 'o9e'o kon*tato$ati %a

:9naju-i koor%inate $ektora polo9aja ta-ke: 'o9e'o o%re%iti %u9inu:pra$a- i *'er to+$ektora"

8ola9i'o %o 9aklju-ka

Vektori kojima su odgovarajuce koordinate jednake jednaki su.

Za re=a$anje 9a%ataka i9 o$e o;la*ti potre;no je po9na$anje proi9$o%a $ektora: i

to sklarni prizvod vektora i $ektor*ki proi9$o% $ektora "Me%juti' poka9a@u *a'o *kalarni proi9$o% $ektora"

.SKA/ARNI PROIZVOD VEKTORA

5.1. IZ!"#$!V!$%& ALGEBARSKE VREDNISTIPROJEKCIJA

VEKTORA

Projek-ije $ektora OA i OB *l"3"1Cna $ektor O ili:*to je u o$o' *lu-aju

i*to:na o*u )Cje*u $ektori OA1 i OB1 :-ije *u al+e;ar*ke $re%no*tiA9a$i*no o%njiho$e orijenta-ije C

BA

β

α

B1 0 A1

Dl"3"1

1C OA1 =OA1 :



J



2C OB1 = − OB1 "

I9 A1OA je

-o* (O:OA)=1C OA1 = O A

O A α :

a i9 B1OB je -o* (OB :OB1 ) =

OB1 =O

B2C

= − OB -o*π − β C = OB -o* β "

D o;9iro' na je%nako*ti 1C:2C i 1C:2C *a%a i'a'o je%nakosti

OA = OA • -o* α :

1

ALC

= • -o* β :OB1

O B

i9 koje 9aklju-uje'o !lgebarska vrednost projekcije vektora na drugi vektor jednaka je proizvoduintenziteta prvog vektora i kosinusa ugla za'vacenog tim vektorima.

Po=to *e pri pro'eni 9naka u+la $re%no*t nje+o$o+ ko*inu*a ne 'enja:ja*no je %a

je *$eje%no koji krak u+la u9i'a'o kao početni:a koji je kao 9a$r*ni"

?Al+e;ar*ke $re%no*ti projek-ija je%ini-no+ $ektora OM na je%inične $ektore i

i j koor%inatnih o*a *u -o*α i -o* β

α = OM : i C: β = OM : jCC 9ato *$aki je%ini-ni $ektor

OM 'o>e'o napi*ati u o;liku

OM = OM 1 + OM 2 = i -o* α + j -o* β

o%atle je OM -o* α : -o* β C :tj" je%ini-ni $ektor i'a koor%inatne -o*α i

-o* β "





(.).S*!+!$I -IZV- V! V&*/-!

8efini-ija"Proi9$o% al+e;ar*ke $rije%no*ti projek-ije je%no+ $ektora na %ru+i iinten9iteta o$o+ %ru+o+ $ektora na9i$a'o skalarnim proizvodom ta %$a $ektora"

Kao *to *a'o i'e o$o+ proi9$o%a ka9e:re0(lt!t t!kvo "no0en! )v! vektor!

e sk!l!r"Dkalarni proi9$o% %$a $ektora o;ele9a$a'o ta-ko' :kao i proi9$o% *kalara :na

pri'er AB• P! :ili po'o-u 'ale 9a+ra%e :na pri'er AB : P!C "

8akle: 9a %$a $ektora O i OA*l"3"1C *kalarni proi9$o% je:po %efini-iji:

O• OA =O OA1 :

a 9a $ektore O i OB *kalarni proi9$o% je

O• OB =O OB1 :

#9i'aju-i u o;9ir je%nako*ti LC:%o;ija'o nepo*re%no

O• OA =O OA -o*A O : OAC =

ALLC =O OA -o*α :

O• OB =O OB -o*A O: OBC ==O OB -o* β "

6e%nako*ti LLC *lu>e kao %efini-ione je%nako*ti *kalarno+ proi9$o%a %$a $ektora:

nai'e $a9i *le%e-a %efini-ija

Skalarni proizvod dva vektora je proizvod nji'ovi' intenziteta ikosinusa ugla izmedju ti' vektora.

Ako je O = 1:ta%a je :na pri'er:

O• OA =1OA -o*α = OA1 :

tj" al+e;ar*ka $re%no*t projek-ije $ektora OA na je%ini-ni $ektor je%naka je *kalarno' proi9$o%u o$a %$a $ektora"

10



?Za *kalarni proi9$o%: oči+le%no:$a>i zakon ko"#tacije: to je*t #• v = v• #"Da%a -e'o poka9ati %a 9a *kalarni proi9$o% $a>i i zakon distri$#cije"

eka je *l"3"2C OA + AB = OB "Tre;a %a %oka9e'o %a je

OA + AB C • O = OA• O + AB• O "

B

A

0 A1 B1 2

Zai*ta je :po %efini-iji:

OB• O =O OB1 = O OA1 + A1 B1 C:

OA•O = O OA1: AB•O = O A B "

1 1

Da;iranje' po*le%njih %$eju je%nako*ti %o;ija'o

OA•O + AB•O = O OA + A B C =O OB :1 1 1 1

%akle

OA• O + AB• O = OB• O:

a o%atle je : * o;9iro' na OB = OA + AB:

OA + AB C • O = OA• O + AB• O:=to je i tre;alo %oka9ati"

Dkalarni proi9$o% %$a u9aja'no orto+onalna $ektora je 0tako je :

11



na pri'er : i • j = 0"

rimer0.Poka9ati %a ko*inu*na teore'a $a9i 9a 'a kaka$ trou+aoto je*t i 9a tupou+li trou+aoC"

A*l"3"3

B

%e&enje"eka trou+ao AB o;ra9uju $ektori 'A: AB i 'B ")-i+le%no je *l"3"3C

'B = 'A + AB:'B = ! : AB = % :'A = '"

ornju je%nako*t po'no>i@e'o njo' *a'o' *to *'e'o učiniti:jer je 'B ≠ 0 C

'B('B = AB + 'AC AB + 'AC

i na tako na*tali *kalarni proi9$o% pri'eni-e'o 9akon %i*tri;u-ije $o%e@i računa o to'e%a je

'B('B = !! %os = !2 :

'A('A = $($ %os = $2 :

AB(AB = c(c %os = c2 %akle:%o;i@e'o

!2 = c 2 + 2 AB 'A + $2 "

12



Preost!e os sk!l!rni +roi0vo)

AB•'A = AB• 'A -o* AB : 'AC = '%•%os AB : 'AC:

u+ao AB : 'AC=

1J0

o

−

α :te

je

-o* AB : 'AC = -o*1J0 o − α C = − -o* α na o*no$u to+a je

i

AB•'A = −'%•%osα

! 2 = c 2 − 2'%•%osα + $2 ")$a je%nako*t :kao *to je po9nato:i9ra>a$a ko*inu*nu teore'u"

)či+le%no:pretho%na je%nako*t $a9i 9a ;ilo koji trou+ao"Ako je trou+ao

pra$ou+li:ta%a je -o* α = -o* 0

o = 0:te *e %o;ija

!2 = $ 2 + c2 :to je*t itagorina teorema kao po*e;an *lučaj ko*inu*ne teore'e"

Dkalarni proi9$o% $ektora je je%no o% o*no$nih poj'o$a $ektor*ke al+e;re"je+o$o*$oj*t$o *e *iroko pri'enjuje pri %oka9i$anju teore'a i rea$anju 9a%ataka"

#Kosin(s (l! i0"e3( vektor! i (slov nor"!lnosti



(.1.V&*/-S*I -IZV- V! V&*/-!

8efini-ija!ektor*ki proi9$o% %$a $ektora a i ; je %efini*an kao a ; i o$aj proi9$o%:9ara9liku o% *kalarno+ %aje vektor.)n je %at *lje%e@o' for'ulo' i i'a 3 o*o;ine

1.Inten0itet-koji je ;rojno je%nak po$r=ini paralelo+ra'a kon*trui*ano+ na% ti'

*trani-a'a

2.Pr!v!%# nor'alan na ra$an o%re<eno' ti' $ektori'a"

*.S"er? taka$ %a $ektori čine %e*ni trie%ar"

!ektor*ki proi9$o% je je%nak nuli: ako je je%an o% $ektora nula: ili ako *u $ektori

kolinearni

!a>i i o;rnuto

Za $ektor*ki proi9$o% ne $a>i 9akon ko'uta-ije: ali $a>i:

https://profesorka.files.wordpress.com/2015/02/formula2134.gif





https://profesorka.files.wordpress.com/2015/02/slika463.gif





Ako je %at *kalar ) $a>i

Zakon %i*tri;u-ije $a>i: po% u*lo$o' %a ne 'enja'o re%o*le% činila-a

eka *u %$a $ektora 9a%ata *$oji' koor%inata'a

)n%a je $ektor*ki proiF$o% je%nak

ili u o;liku %eter'inante









2ešoviti proizvod vektora

eka *u tri nekoplanarana $ektora o9načena *a

Dkalarni proi9$o% $ektor*ko+ proi9$o%a %$a $ektora i tre@e+ $ektora je *kalar je%nak po

ap*olutnoj $re%no*tiC 9apre'ini paralelopipe%a kon*trui*ano+ na% ti' $ektori'a kao

i$i-a'a: a na9i$a *e mešoviti proizvod tri $ektora i o9nača$a *e *a

8a ;i*'o to poka9ali: o9nači'o

pa je po %efini-iji *kalarno+ proi9$o%a

Inten9itet $ektora

pre%*ta$lja po$r=inu paralelo+ra'a kon*trui*ano+ na% %ati' $ektori'a: a to je o*no$a

paralelopipe%a"








!i*ina paralelepipe%a: na o*no$u pra$ou+lo+ trou+la na *li-i: je

pa je

Pri %oka9i$anju *'o pretpo*ta$ili %a %ati $ektori čine %e*ni trie%ar" # *lučaju %a oni

for'iraju le$i trie%ar: 9apre'ina @e i'ati *uprotan 9nak" Pre'a to'e: 'e=o$iti proi9$o%

je po ap*olutnoj $re%no*ti je%nak 9apre'ini paralelepipe%a čije *u i$i-e %ati $ektori: a

nje+o$ 9nak %aje orijenta-iju trie%ra"

iklični' po'eranje' $ektora u 'e=o$ito' proi9$o%u ne 'enja *e ap*olutna $re%no*t

proi9$o%a" Zato je





https://profesorka.files.wordpress.com/2015/02/slika464.gif



#'ete li to %a %oka>eteN Znači: $a>an je *a'o re%o*le% $ektora: a ne +%e *e nala9i

9nak $ektor*ko+ ili *kalarno+ proi9$o%a" Zato *e 'e=o$iti proi9$o% pi=e i o$ako

Ako *u tri $ektora koplanarna: on%a je njiho$ 'e=o$iti proi9$o% je%nak nuli" To je

+eo'etrij*ki +le%ano oči+le%no: jer tri koplanarna $ektora o;ra9uju paralelopipe%

9apre'ine nula"

Ako *u $ektori i9ra>eni po'o@u pra$ou+lih koor%inata: to je*t ako je

on%a 'o>e'o i9$e*ti %a je

ili u o;liku %eter'inante

I o$%e: kao ko% vektorsko +roi0vo)!: poka>i'o %a je to i*to

https://profesorka.wordpress.com/2015/02/22/vektorski-proizvod-vektora/







https://profesorka.wordpress.com/2015/02/22/vektorski-proizvod-vektora/



Z!!"I

Pri"er 1: 8ati *u $ektori

a@i $ektor nor'alan na Oz o*u koji 9a%o$olja$a je%načine

Re4ene: eka ta>eni $ektor i'a koor%inate

Po=to je tra>eni $ektor nor'alan na Oz o*u: $a>i

8ru+a %$a u*lo$a %aju

8akle tra>eni $ektor i'a koor%inate

Pri"er 2: a@i koor%inate $ektora 9naju@i %a je on nor'alan na $ektori'a

ako je













Re4ene: Ako je $ektor nor'alan na %$a %ata $ektora: on%a je

I9 %ru+o+ u*lo$a %o;ija'o

pa je

Pri"er *: 8oka9ati %a tačke A1: 2: ?1C: B0: 1: ,C: ' ?1: 2: 1C i *2: 1: 3C le>e u je%noj

ra$ni"

Re4ene: Ako tačke le>e u i*toj ra$ni: on%a *u nji'a o%re<eni nekolinearni $ektori npr"

koplanarni: a to lako %oka9uje'o












Documents

Vektori Seminarski Rad Matematika 3 Tehnologija PDF