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§1.4 可逆矩阵. 定义 设 A 是 n 阶方阵。若存在 n 阶方阵 B ,使 AB = BA = I 则称 A 是 可逆矩阵 ,称 B 是 A 的 逆矩阵 。. 例 讨论 n 阶零方阵 0 与 n 阶单位矩阵 I 的可逆性。. 例 初等矩阵都是可逆矩阵,且它们的逆矩阵也 是初等矩阵。. 例 设方阵 A 满足 ,证明 都可逆。. 证明 由已知得. 且. 于是有. - PowerPoint PPT Presentation
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定义 设 A 是 n 阶方阵。若存在 n 阶方阵 B ,使 AB = BA = I
则称 A 是可逆矩阵,称 B 是 A 的逆矩阵。
例 讨论 n 阶零方阵 0 与 n 阶单位矩阵 I 的可逆性。
例 初等矩阵都是可逆矩阵,且它们的逆矩阵也 是初等矩阵。
例 设方阵 A 满足 ,证明 都可逆。
01032 IAA
IAA 3,
证明 由已知得
IIAA 10)3( 且 IAIA 10)3(
于是有
)2( )]3(10
1[ )]3(
10
1[
)1( )10
1)(3( )3)(
10
1(
IAIAIIAA
IAIAIIAA
且
且
由 (1) 得 可逆,且 ;
由 (2) 得 可逆,且 。 ▌
IA 3
A
AIA10
1)3( 1
)3(10
11 IAA
定理 设 A 是方阵,则 A 是可逆矩阵的充分必要条件是 A 满秩。
例 设
dc
baA
则当 时, A 可逆,并且bcad
ac
bd
bcadA
11
设矩阵 A 可逆,则存在若干个初等矩阵使
IAPPPs 12 …………①
① 式两边同时右乘 ,又得1A
112
AIPPPs …………②
① 、②式表明:把 A 化为 I 的初等行变换同时把 I 化为 A–1 。由此得求逆矩阵的又一种方法:
1 AI IA 初等行变换
sPPP ,,, 21
例 求矩阵 A 的逆矩阵
1087
654
321
A
解
1001087
010654
001321
IA
1071160
014630
00132112
13
4)(
7)(
RR
RR
121100
014630
00132123 2)( RR
121100
6112030
36202132
31
6
3)(
RR
RR
121100
6112030
134
32
00121 3
2RR
121100
23
1132
010
134
32
001
2)3
1( R
所以,
121
23
11
3
2
13
4
3
2
1A
▌
推论 设 A 是 n 阶方阵,若存在 n 阶方阵 B 使 AB=I
或 BA=I ,则 A 可逆且 。BA 1
性质 ( 1 )若 A 可逆,则 也可逆,且 ( 2 )若 A 可逆,则 也可逆,且 ( 3 )若 A 与 B 是同阶可逆矩阵,则 AB 也可逆,且
1ATA
AA 11)(TT AA )()( 11
111)( ABAB
例 设 B 是 n 阶可逆矩阵,且 Tn
Tn bbbAaaaA 212211 ,
令TAABA 21
证明:当 时, A 可逆,且01 11
2 ABAc T
))((1 1
21111 BAAB
cBA T
证明 因
)])((1
)[(
)])((1
[
121
1121
121
11
BAABc
BAAB
BAABc
BA
TT
T
)])((1
[
)])((1
[
121
121
121
121
11
BAABc
AA
BAABAABc
BBB
TT
TT
I
BAAc
cBAA
cc
I
BAABAAc
BAABAAc
I
TT
TTTT
121
121
121
121
121
121
11
)(11
故 A 可逆,且 ))((1 1
21111 BAAB
cBA T
▌
例 设 A 与 B 是同阶方阵,且 A 、 B 、 A+B 都可逆,证明: 也可逆。11 BA
证明 因为 A 与 B 都可逆,故存在 与 使1A 1B
IAA 1 , IBB 1
于是,
)(
11
111
1111
ABIA
ABAA
IBABA
,)(
)(11
111
BABA
ABBBA
又 均可逆,故11 BABA 、、
1111 BABABA )(也可逆,且
111111 ][ BABABA )()(
ABAB 1 )(
定理 设 A 是 n 阶方阵,则齐次线性方程组 AX=0 有非零解的充分必要条件是 A 不可逆。
11111 )()()( AABB
▌
矩阵方程:
AX = C , XB = D , AXB = F
其中 A 、 B 、 C 、 D 、 F 均为已知矩阵,而 X 为未知矩阵。
当系数矩阵 A 、 B 都是可逆矩阵时,
AX = C
XB = D
AXB = F
CAX 1 1 CBX
11 FBAX
例 解矩阵方程
12
61
31
52X
例 解矩阵方程
312
011
201
210
111
X
例 已知矩阵 A 、 B 、 X 满足下述关系11 )()( TT BXABI
其中
5000
1400
0130
0012
,
1000
1100
0110
0011
BA
求 X 。
解 由 可得11 )()( TT BXABI
111 )(])[( TT BABIX
11 ])([ TT ABIB
11 }]){[( TBABI
41
000
031
00
0021
0
0001
4000
0300
0020
0001 1
▌
1])[( TAB
例 设矩阵 X 满足 , 其中XAAX 2
321
011
324
A
(1) 证明: 可逆; (2) 求 X 。IA 2
解 ( 1 )
∵
100
110
011
121
011
322
2 行IA
∴ 满秩IA 2
IA 2由此得 可逆。
( 2 )由 可得 ,故 XAAX 2 AXIA )2(
9122
692
683
)2( 1 AIAX
(另法)
( 1 )由 得 XAAX 2
IIXXIXA 2)(22)(
整理后可得
IIXIA )](21
)[2(
于是 可逆。IA 2
( 2 )由上式得
9122
692
683
1)2(2 IAIX
▌
461
351
341
2
100
010
001