具有幂条件的矩阵类的研究与 Jordan标准形杨忠鹏 陈梅香

一、问题的来源 1. 教学 2. 学生毕业论文选题 3. 考研试题

二、问题的内容 近年来， J.koliha[1] 和 Y.Tian[2,3] 等一批学者对幂等矩阵的

性质进行了深刻的研究，他们探讨了两个幂等矩阵的和、差、乘积、换算子、线性组合的等一系列的秩等式关系，并得到了在约束条件

下幂等矩阵的线性组合的可逆性与组合系数 a,b 选择无关的结果。

= ｛(a, b): ab(a+b) 0｝

1. 若 A2=A ，则称 A 为幂等矩阵。

文献 [5] 研究了幂等矩阵与三幂等矩阵线性组合的幂等性 .

文献 [6] 利用秩的恒等式来判定矩阵的幂等、 3 幂等或 m 幂等性 .

文献 [7] 讨论了三个两两可交换的三幂等矩阵的线性组合的可 逆性 .

2. 若 A3=A ，称 A 为三幂等矩阵。

例 1 设 1 01 1

Pæ ö÷ç= ÷ç ÷÷ç -è ø，则

3P P= ，P是三幂等的。

但 3 2kP P+ = ，k NÎ ，那么 P是3 2k+ 幂等的？

[5]指出3幂等矩阵的重要且常用的性质: 3A=A BC=- , 2B B= , 2CC= , 0BCCB= =,(1) 在(1)中当 0C=或 0B=时,A分别是幂等和由1-确定的数量幂等的(见[2])。当,BC都非零时,[1]称A为本质3幂等的.

这样将从 2A A= “得的 3A A= ” 与 3A A= 而 2A A¹ 的情况区

别开来.由此知，例 1中, 1 0 0 01 0 0 1

Pæ ö æ ö÷ ÷ç ç= -÷ ÷ç ç÷ ÷÷ ÷ç çè ø è ø为本质 3幂等的.

3.若正整数m NÎ 使 mA A= ,称 n nA F ´Î 为m幂等的.

m 幂等矩阵的研究引起很多人的关注：文献 [8-10]讨论了 m 幂等矩阵的线性组合的幂等性 ,

［ 11， 12］研究了 m 幂等矩阵的一些代数性质 .

4. 若 2A E= ，则称A为对合矩阵。 若 ,n n mA C A E´Î = ,称A为m对合矩阵。

5. 2008年武汉大学硕士研究生入学试题： 设A是一个非零方阵， 23A A= ，问是否一定有 2A A= ？为什么？

　　由上可以看出，具有幂条件的矩阵形式多样，可否有一个统一的形式？

三 问题的解决定义 1 设 n nA F ´Î ，若有最小正整数m使 ( )m l N> Î

且 m lA A= 成立, 称A为本质( ),m l 幂等矩阵。

特别地，当 1l = 时,本质 ( ),1m 幂等矩阵就是周知的m幂等矩阵.

当 0l = 时,本质 ( ),0m 幂等矩阵就是m对合矩阵.

幂零矩阵也包含在其中，若 1 0, =0,l lA A- ¹ 则 1= ( 0)l lA A+ = ，幂零矩阵为本质( )1,l l+ 幂等矩阵

定义 1 与 [13]的 (m,l) 幂等矩阵的规定相同， [13] 还研究了 (m,l) 幂等矩阵性质与判定，如：

命题 1 设 n nA F ´Î ，则 A为本质 ( ),m l 幂等矩阵

Û 0 1 1 1, , , , , , ,l l l mA E A A A A A- + -= 是 互 不 相 同 的 且m lA A= , 这里l是由m唯一确定的.

注：虽然定义 1只强调了m的最小性,但本质( ),m l 幂等矩阵

的 ,m l都是唯一确定的.

命题 3(见[13，定理 7])设 n nA F ´Î ，则 A为本质( ),m l 幂等的Û ( ) m l

Am x x x- .

命题 2 (见[13，定理 6])设 n nA F ´Î 的最小多项式 ( )Am x 1 2

1 2 1u u u

u ux b x b x b x b- --= + + + + + , (2)

( )

1 2 3 1

0 1 0 0 00 0 1 0 00 0 0 1 0

Am x

u u u u

C

b b b b b- - -

é ùê úê úê úê ú=ê úê úê úê ú- - - - -ë û

, 1 1( , , , )u ub b ba -= - - - , (3)

( )Am xC 称为最小多项式 ( )Am x相伴矩阵； 设 le是第 l分量为 1其余分量都是零的行向量，

则A为本质( ),m l 幂等矩阵Û m u³ 且 ( )( )

1

,A

A

l um xm u

m xl

C l uC

e l u

aa

--

+

ìï ³ï=íï <ïî当 时， （4）

， 当 时， （5） .

例 2设 1

2

00J

AJ

æ ö÷ç= ÷ç ÷÷çè ø, 1 2

0 0 1 0,

1 0 0 1J J

æ ö æ ö-÷ ÷ç ç= =÷ ÷ç ç÷ ÷÷ ÷ç ç -è ø è ø，则

4 22(0, )A diag EA = = , A为本质(4,2)幂等的； 2( ) ( 1)Am x x x= + ，

如果应用命题 3的充分性和 7 5( ) |Am x x x- ，则应得到A为本质(7,5)幂等的结论， 这个矛盾说明命题 3一般不成立；

由A为本质(4,2)幂等的和 ( )Am x 次数 3u= ,知, 2( ) ( 1)Am x x x= + 的相伴矩阵

( )

0 1 00 0 10 0 1

Am xCæ ö÷ç ÷ç ÷ç= ÷ç ÷ç ÷ç ÷÷ç -è ø

且 2( )

0 0 10 0 10 0 1

Am xC Qæ ö÷ç ÷ç ÷ç= - =÷ç ÷ç ÷ç ÷÷çè ø

， (0,0, 1)a = -

3( )Am xC Q=- , 进而可用归纳法证明 ( ) ( 1)

A

d dm xC Q= - ， ( 2)d N³ Î

这样当 3( 3)d m= - ³ 为奇数时，即 3( 6)m d= + ³ 为偶数时， 3( ) ( ) 2 1 3(0,0,1)

A A

m dm x m xC C Q e ea a a-

+= =- = = = . 若命题 2正确，则应得到A为本质( ,2)m 幂等的(偶数 6m ³ ) .

这说明作为本质 (m,l)幂等矩阵判定的充分必要条件的命题 2和 3 都不成立 .[15]应用最小多项式来刻划本质 (m,l)幂等矩阵的两个充要条件都是不成立的 . 出现问题主要原因，可能在于没有从内部结构上把握这类矩阵特点 .

从 [16，命题 5]和 [15,定理 7]可得应用矩阵秩的恒等判定(m,l)幂等矩阵的充要条件 . 事实上，要得到为本质 (m,l)幂等矩阵的结果，与 [14-16]相比不仅要求 Am=Al ，还要证明 m 是这个等式成立的最小正整数 .

由 [14, 引理 2.1]知 A∈Fn×n 的幂等性与数域的扩大无关 ,因此问题可归结为 A 在复数域上的 Jordan 标准形的幂等性 . 这样总设 A Cn×n∈ ，满足

1P AP J- = 1 2 1( , , , , , , )t t sdiag J J J J J+= ， 其中 n nP C ´Î 可逆 （6）

1

0 00

i i

i

n ni

n

J CE

´

-

æ ö÷ç ÷= Îç ÷ç ÷çè ø ( )1,2, , 0i t= ³ ； 1 2 tn n n³ ³ NÎ (7)

j jn njJ C ´Î 是 由 特 征 值 0jl ¹ 确 定 的 J ordan 块 ，

1, 2, ,j t t s= + + ； （8）

当 ni=1时，约定 J ordan块是 1阶矩阵. [17]称(7)中 n1为A的

秩指数（记为 l (A)= n1）.

引理 1设 n nA C 满足（6）,（7）和（8），如果k N ， 则 0 0

1 10 1,2, ,

0i

ikn ki

i

k nEJ i t

k n

（ 9 ）

且 kj j jr J r J n , 1, 2, ,j t t s .

引理 2(见[23,定理 3. 3. 6])设 n nA C 所有不同的特征值为

1 2, , , k ，则A的最小多项式1

( ) ( ) i

kr

A ii

m x x

，其中 ir为

特征值 i确定的 J ordan块的最高阶数.同时

矩阵 A可对角化1

( ) ( )k

A ii

m x x

A的每个 J ordan块都是 1阶的.

我们在 [18] 中应用矩阵 A∈C n×n的 Jordan 标准形得到了本质 (m,l) 幂等矩阵的特征刻画 . 作为应用，可给出本质 m 对合、本质 m 幂等矩阵的充要条件 .

定理 1（[18]定理 1）设 ( 0) n nA C ´¹ Î 所有特征值都是零,则A

为本质( ),m l 幂等矩阵Û 1l n= 且m= 1l+ .此时 1l n= ( )l A= 为A的

幂零指数.

由定理 1 知,以下可总设 n nA C ´Î 不是幂零矩阵 , 即t s< , A总有非零特征值.

定理 2（[18]定理 2）设 n nA C ´Î 不是幂零的,则A为本质

( ),m l 幂等的Û 1l n= ,由非零特征值 jl 确定的 J ordan块都是 1

阶的且 1m l

jl - = 1, 2, ,j t t s= + + ;

1 2| |,| |, ,| |t t s pl l l+ +é ù=ë û m l= - .

证 明 '' '' 由 1 2 tl n n n 和（7)得， miJ 0l

iJ ，

1,2, ,i t 。又 1p m lj j , 1 2| |,| |, ,| |t t sm l p 且

1jn ，由（8） m m m l l lj j j j jJ l

jJ , 1, 2, ,j t t s .

1 11 1, , , , ,m m m m m m

t t sA PJ P Pdiag J J J J P 1l lPJ P A ；

再证明m是当m l 时使 m lA A 成立的最小自然数： 1） 对任意 1 2,l l N 且 1 2 10 l l l n ，由(7)得， 1 2

1 10 0l lJ J ，而 1 0lJ =，即 1 2l l lA A A， ， 互不相同，

2）对任意 1 2,m m N 且 1 2 1l m m m ，有 1 2m mA A ，否则

存在 1 2,m m N ,

1 2 1l m m m m 使得 1 2m mA A .由（6），（7），（8）知

1 2 0m mj j

, 即 2 1 1m m

j ， 1, 2, ,j t t s . 从由所有

2 1m m 次单位根构成的乘群元素阶的性质有， j 在 2 1m mU 中的阶

2 1|j m m , 注 意 到 此 时 2 1m m m l ， 这 样

m l p 2 1m m m l 矛盾.

1）和 2）说明A 是本质 ,m l 幂等的.

'' '' 从 m lA A （m l ）知 1l m lf x x x 是A的化零

多项式,而 1m lx 的根都是m l 次单位根且都是单根 ,由 Am x f x 知A的每个非零特征值 j 所对应的初等因子都是

一次的，即 1m lj

， 1jn ， 1, 2, ,j t t s

如果 1l m n ，由（5） 1 1

1 1

0 0 0 00 0

m l

n m n l

J JE E

；若

1m n l ，则 1 0mJ 且 1 0lJ ，这都与 m lA A 相矛盾， 这说明A为 ,m l 幂等矩阵时， 1l n

如果 1n l ，即 1 1 1n l m ，这样由（9）得 1 1 0, 1,2, ,m l

i iJ J i t 且 1 1 1 1 1 , 1, 2, ,m m m l l l l

j j j j j jJ J j t t s

进而由（6）得 1 1m lJ J ，这与A为 ,m l 幂等矩阵矛盾. 进而知 1l n .从引理 1知 1 2| |,| |, ,| |t t sm l p ，

如果m l p ，即l p l m ，那么 0, 1,2, ,l l p

i iJ J i t 且 , 1, 2, ,l p l p l p l l

j j j j j jJ J j t t s

这样 l p lJ J ，则 l l pA A ，这与A为本质 ,m l 幂等矩阵矛盾, 故 p m l .即必要性结论成立。

定理 3（[18]定理 3）设 n nA C ´Î 不是幂零矩阵,则 A是本质m对合的Û A的每个特征值 0jl ¹ 且每个 J ordan块都是 1

阶的,同时 1mjl = ， 1,2, ,j s= ,其中 1 2[ , , , ]sm l l l= ；

Û A可对角化且每个特征值 jl 满足

1mjl = , 1,2, ,j s= ; 1 2[ , , , ]sm l l l= .

A是本质m幂等的Û A的每个 J ordan块都是 1阶的且非零征值 jl 满足 1 1m

jl - = ， 1, 2, ,j t t s= + + ，

1 21 [ , , , ]t t sm l l l+ +- =

Û A可对角化且非零特征值 jl 满足 1 1mjl - = ，

1, 2, ,j t t s= + + ， 1 21 [ , , , ]t t sm l l l+ +- = .

四、进一步的讨论当 ( ), nA B M RÎ 时 ， 若 有 ( )nX Y M RÎ， ， 使 得

A XY B YX= =， ，称 A与 B代数等价，记作 ~aA B；若

0AB BA= = ，称A与B正交(或垂直)，记作A B^ (见[19]) 。

在 [19]、 [20]和 [11] 等关于含幺结合环上的 k次幂等矩阵正交与代数等价的讨论基础上，最近 [12] 研究了数域 F上的相关情况，使得讨论深入到了特征多项式和特征值等矩阵理论的核心问题。

记 ( ) ( ){ }k kn nP R A A A M R= = Î

命题 4（见[12，定理 1]）设 ( )knA B P FÎ， ，则A的特征

值为零，或是 1k - 次单位根；又如果A有属于特征值 1的特征向量a，A B^ ，则a是B的属于特征值 0的特征向量。

命题 5（见[12，定理 2]）设 ( )knA B P FÎ， 代数等价（即

~aA B），则A与B有相同的特征多项式，因而有相同的特征

值。

命题 6（见[12，定理 4]）设 ( )knA B P FÎ， ，且 ~i a iA B，

1 2i= ，。若 1 2A A^ ， 1 2B B^ ，则 1 2A A+ 与 1 2B B+ 有相同的特

征值。

我们在文献 [22] 中应用数域上 (m,l)幂等矩阵与m幂等矩阵的关系，得到了数域上 (m,l) 幂等矩阵的 l次方幂的代数等价、相似和特征多项式相等是互为确定的结论。

其中引理 9 沟通了一般数域上 1m l- + 幂等矩阵与( )m l， 幂等

矩阵的关系：

命题 8（见[22，引理 9]）设 ( , ) ( )m lnA P FÎ ，则 1( ) ( )m l m l

nA A P F- += Î 。

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Jordan标准形的内容与相应的空间分解是高等代数课程中研究线性空间结构理论的最高境界与最优美的结论。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　——————《高等代数思想与方法》

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