1407-KET-SERISI-9-MATEMATIK-DEFTER-KITAP...8 1. ATA 1. DERS 1. DERS N 0-”MSD. N ÖĞRENME ALANI 9.1.1.1 Önermeler • Doğru ya da yanlış kesin bir hüküm bildiren ifadelere

8

1.H A F TA

1. DERS 1. DERS

MU

BA

Yay

ınla

rı

1. Ü

NİT

E /

Man

tık

9.1.1.1ÖĞRENME ALANI

Önermeler• Doğru ya da yanlış kesin bir hüküm bildiren ifadelere

önermedenir. “Biryıl13aydır.”ifadesibirönermedir.Ancak, “İyisabahlar!”ifadesibirönermedeğildir.• Önermelerip,q,r,s,t,…gibideğişkenlerlegöstereceğiz.• Bir önermenin doğruluğuna ya da yanlışlığına o öner-

menindoğrulukdeğeridenir.Doğruönermenindoğrulukdeğeri “1”, yanlış önermenin doğruluk değeri ise “0” ilegösterilir.

• Önermelerin,sayılarınagöreolasıbütündoğrulukdeğer-leridoğruluktablosuileifadeedilir.

p10

p q1 11 00 10 0

p q r1 1 11 1 01 0 11 0 00 1 10 1 00 0 10 0 0

• ntanebağımsızönermenin2ntaneolasıdoğrulukdeğerivardır.

UYGULAMA ALANI

1. Aşağıdaki ifadelerden hangilerinin bir önerme oldu-ğunu bulunuz.

a)21asalsayıdır.b)19Aralık1988tarihiPazartesigününerastlamıştı.c)İyigünler!d)Tümasalsayılarteksayıdır.

a, b ve d önerme, c önerme değildir.

(a,b,d)

2. Aşağıdaki ifadelerden hangilerinin bir önerme olma-dığını bulunuz.

a)Kayaş,Ankara’dabirsemttir.b)2+3=5tir.c)Yağmuryağıyormu?d)Biryıldaüçmevsimvardır.

a, b ve d önerme, c önerme değildir.

(c)

3. 128 farklı doğruluk değeri için kaç tane farklı önerme gerekmektedir?

2n = 128 ⇒ 2n = 27

n = 7

7 farklı önerme gerekmektedir.

(7)

4. (n – 1) tane farklı önermenin 1024 farklı doğruluk de-ğeri olduğuna göre, (n – 3) tane önermenin kaç farklı doğruluk değeri vardır?

2n–1 = 1024 ⇒ 2n–1 = 210

n – 1 = 10

n = 11

2n–3 = 211–3 = 28 = 256 farklı doğruluk değeri vardır.

(256)

Birönermeninikifarklıdoğrulukdeğeriolduğugibi,birmadenîparahavayaatıldığındayazıveturaolmaküze-reikifarklıdurumuvardır.

5. 5 tane madeni para havaya atıldığında kaç farklı du-rum oluşur?

1 tane madeni para atıldığında 2 farklı durum olabilir.

5 kez atılırsa 25 = 32 farklı durum oluşur. (32)

ÖRNEKTİR • M

UBA YAYINLARI

9

1. DERS

MU

BA

Yay

ınla

rı

1. ÜN

İTE / M

antık

2. DERS

DERSİN TESTİ

1. p, bir önermedir.

p pl [[(pl)]l]l1 a c0 b d

Yukarıdakitablodaverilena,b,cvedninsayısaldeğerle-riiçin

3a–2b–c+4·d

işlemininsonucukaçtır?

A)–2 B)–1 C)0 D)1 E)2

2. p: “13 asal sayıdır.”

q:“İkibasamaklıenküçüksayı11dir.”

r:“Enküçükdoğalsayı1dir.”

önermelerinin doğruluk değerleri için aşağıdakiler-denhangisidoğrudur?

A)pq

r

1

0

1

/

/

/

B)pq

r

1

0

0

/

/

/

C)pq

r

1

1

1

/

/

/

D)pq

r

1

1

0

/

/

/

E)pq

r

0

1

0

/

/

/

3. 3 farklı önermenin kaç farklı doğruluk değeri vardır?

A)3 B)4 C)6 D)8 E)9

4. :"p a2 3 >+ önermesinin doğruluk değerinin 1 olma-

sı için a yerine yazılabilecek doğal sayıların toplamı kaçtır?

A)8 B)9 C)10 D)11 E)15

1. E 2. B 3. D 4. C


DenkÖnermelerveBirÖnermeninDeğili

• Doğrulukdeğerleriaynıolanönermeleredenkönermelerdenir.

• Bir önermenin hükmünü olumsuz yapmakla elde edilenyeniönermeyeoönermenindeğiliveyaolumsuzudenir.

• pönermesininolumsuzupıveya~psembollerindenbirisiilegösterilir.

p pı (pı)ı

10

01

10

p≡(pı)ı

Tablodandaanlaşıldığıgibibirönermeninolumsuzununolumsuzukendisinedenktir.

UYGULAMA ALANI

1. Aşağıdaki önermelerin olumsuzlarının doğruluk de-ğerini bulunuz.

a)Kedidörtayaklıbirhayvandır. b)32+52=82

c)Birhaftabeşgündür.

a) Kedidörtayaklıbirhayvandeğildir.

b) 32 + 52≠82

c) Birhaftabeşgündeğildir.

Doğrulukdeğerlerisırasıyla0,1,1dir.

(0,1,1)

2. “Camşişedesatılansu,petşişedesatılansuyagöredahapahalıdır.”önermesininolumsuzunuyazınız.

“Cam şişede satılan su, pet şişede satılan suya göre daha pahalı değildir.”

ÖRNEKTİR • M

UBA YAYINLARI

10

MU

BA

Yay

ınla

rı

1. Ü

NİT

E /

Man

tık

2. DERS2. DERS

Karşılaştırma sorularında niceliklerin eşit olma hâlleridedikkatealınmalıdır.

“pahalıdır”ınolumsuzu“pahalıdeğildir”yerine “aynıfi-yattırveyaucuzdur”şeklindedeifadeedilebilir.

“küçüktür”ünolumsuzu“küçükdeğildir”yerine“büyüktüryadaeşittir”şeklindedeifadeedilebilir.

3. p: 2 + 7 > 5 önermesinin değilini bulunuz.

pı : 2 + 7 ≤ 5

(2+7≤5)

4. Aşağıdaki tabloda eksik bırakılan yerleri tamamlayınız.

ÖnermelerDoğrulukDeğeri

p Balinamemelibirhayvandır 1pı Balinamemelibirhayvandeğildir. 0q 3+5≠7 1qı 3+5=7 0r (–2)2–(–2)<–2 0rı (–2)2–(–2)≥–2 1s 4+1≥5 1sı 4+1<5 0

5. p:x=2içinx+7=10dur.

q: 6 3= tür.

r: ,0 251= tir.

s: ,0 331= tür.

önermeleriveriliyor.

Birbirinedenkolanönermeleribulunuz.

p ile q ve r ile s denk önermelerdir.

6. p:5<5

q: · ·23 2 10 3 1$ +

önermelerinindeğilinibulunuz.

pı: 5 5$ tir.

qı: 23 < 2 · 10 + 3 · 1

(5>5,23<2.10+3.1)

DERSİN TESTİ

1. Beş farklı önermenin doğruluk değerlerini bulmaları için sorulan soruya beş farklı öğrencinin verdikleri cevaplar aşağıdaki tabloda gösterilmiştir.

p q r s tAyşe 1 1 0 1 0Oya 0 0 1 0 0

Ceyhun 1 1 0 0 1Sedat 0 1 0 1 0Vedat 0 1 1 1 0

• pönermesinindoğru

• tönermesininyanlış

olduğubilindiğinegöre,hangiöğrencitümönermele-rindoğrulukdeğerlerinidoğrubulmuştur?

A)Ayşe B)Oya C)Ceyhun

D)Sedat E)Vedat

2. p:“ 5 2#-

q:“4>0” r:“Enküçükçiftsayı4tür.” s:“Ardışıkikitamsayınıntoplamıçiftsayıdır.” t:“ x y x xy y22 2 2- = - +^ h dir.”

önemelerininkaçtanesinindoğrulukdeğeriyanlıştır?

A)1 B)2 C)3 D)4 E)5

3. “x+2<y–5”

önermesinindeğiliaşağıdakilerdenhangisidir?

A)x–2<y+5 B)x+2>y–5

C)x+2≥y–5 D)x–2≥y+5

E)x+2≠y–5

4. n tane farklı önermenin birbirine göre 32 farklı doğru-luk değeri olduğuna göre, n 12 - değeri kaçtır?

A) 3 B)4 C)8 D)15 E)24

1. A 2. C 3. C 4. E

ÖRNEKTİR • M

UBA YAYINLARI

11

MU

BA

Yay

ınla

rı

1. ÜN

İTE / M

antık

3. DERS3. DERS


BileşikÖnermelerİkiveyadahafazlaönermeninveya,ve,yada,ise,ancakveancak gibi matematiksel bağlaçlarla bağlanmasıyla oluşanyeniönermelerebileşikönermelerdenir.

Önermelermantığındabasitönermelerdenbileşikönermelerelde edilerek bunların doğruluk değerlerinin olası durumlarıincelenir.

Ve,Veya,YadaBağlaçları

p veq iki basit önermeolsun.Buönermeler “veya” bağlacıile birleştirilirse p0 q şeklinde gösterilip p veya q biçimin-de okunur. p ve q önermeleri “ve” bağlacı ile birleştirilirse p/qşeklindegösterilippveqbiçimindeokunur.

pveqönermeleri“yada”bağlacıilebirleştirilirsepvqşeklin-degösterilippyadaqbiçimindeokunur.

Elde edilen bileşik önermelerin doğruluk değeri aşağıdakitabloyagörebulunur.

p q p0q p/q p0q1 1 1 1 01 0 1 0 10 1 1 0 10 0 0 0 0

UYGULAMA ALANI

1. p:3–1≤7

q:Elmabirsebzedir.

olduğunagörep0 qönermesinioluşturupdoğrulukdeğe-

rinibulunuz.

p 0 q: ≤3 1 7-1

> veya elma bir sebzedir

01 2 344444 44444

1 0 0 / 1(1)

2. p/1veq/0olduğunagöre(pı 0q)0(q0p)ıönerme-sinindoğrulukdeğerinibulunuz.

(0 0 0) 0 (0 0 1)ı / 0 0 1ı / 0

(0)

3. p:“3birasalsayıdır.”

q:“5birtamkaresayıdır.”

olduğunagöre,p q/ bileşikönermesinioluşturupdoğru-lukdeğerinibulunuz.

:p q/ “3 bir asal sayıdır ve 5 bir tam kare sayıdır.”

:p q 1 0 0/ / / dır. (0)

4. p:“Üçgengeometrikbirterimdir.”

q: 2 42- =^ h tür.

olduğunagöre,p qlQ önermesinindoğrulukdeğerinibulu-nuz.

p q 1 0 1l / /QQ dir.

(1)

5. p:Enküçükasalsayı1dir.

q:Enküçükpozitifsayı0dır.

önermelerinegöreaşağıdakibileşikönermelerindoğrulukdeğerlerinibulunuz.

a) (p0p)/(q0q) b) pı 0(0/q) c) (p0qı)/(10q) d) (pı 0q)/(p0qı)

a) (0 0 0) / (0 0 0) / 0 / 0 / 0

b) 1 0 (0 / 0) / 1 0 0 / 1

c) (0 0 1) / (1 0 0) / 1 / 1 / 1

d) (1 Q 0) / (0 Q 1) / 1 / 1 / 1 dir.

(0,1,1,1)

ÖRNEKTİR • M

UBA YAYINLARI

12

MU

BA

Yay

ınla

rı

1. Ü

NİT

E /

Man

tık

4. DERS3. DERS

DERSİN TESTİ

1. p:“Türkiye’ninbaşkentiAnkara’dır.

q:“3 4< <r tür.”

önermelerikullanılarakaşağıdakidenklikleroluşturulmuş-tur.

I. p q 0l/ /

II. p q 1l 0 /

III. p q 1Q /

IV. p q p 0l l l/ 0 /^ h

denkliklerindenhangileriyanlıştır?

A)IveII B)IIveIII C)IIveIV

D)IveIV E)IIIveIV

2. p p0 1l0 Q /^ ^h h

önermesinin en sade şekli aşağıdakilerden hangisi-dir?

A)p B)pı C)1 D)0 E)p pl/

3. I. 1 1

II. 1 0

III. 0 0

ifadelerindekiboşkırmızıkutularıniçine/ (ve) 0 (ve-ya),Q (yada)sembollerihangisıradayerleştirilirse,her üç bileşik önermenin de doğruluk değeri aynıolur?

I II III

A) Q / 0

B) 0 Q /

C) / 0 Q

D) 0 / Q

E) Q 0 /

4. p q 1l/ / olduğuna göre,

p q p ql l0 0 /^ ^h h

bileşikönermesinineşitiaşağıdakilerdenhangisidir?

A)1 B)0 C)p0q

D)pQ q E)pı Q qı

1. E 2. C 3. A 4. B


Ve,Veya,YadaBağlaçlarınınÖzellikleri1. TekkuvvetÖzelliği

• p p p/ / • p p p0 /

2. DeğişmeÖzelliği

• p q q p/ // • p q q p0 0/

• p q q pQ Q/

3. BirleşmeÖzelliği

• p q r p q r/ / / //^ ^h h

• p q r p q r0 0 0 0/^ ^h h

• p q r p q rQ Q Q Q/^ ^h h

4. SadeleştirmeÖzelliği

• p p1/ / • p 1 10 /

• p 0 0/ / • p p00 /

• p p 0l/ / • p p 1l0 /

• p p1 lQ / • p p 1lQ /

• p p0Q / • p p 0Q /

5. DağılmaÖzelliği

• p q r p q p r/ 0 / 0 //^ ^ ^h h h

• p q r p q p r0 / 0 / 0/^ ^ ^h h h

6. DeMorganKuralları

• p q p ql l l0 //^ h

• p q p ql l l/ 0/^ h

UYGULAMA ALANI

1. Veya işleminin değişme özelliğini doğruluk tablosu ilegösteriniz.

p q p 0 q q 0 p1 1 1 11 0 1 10 1 1 10 0 0 0

p q q p0 0/

ÖRNEKTİR • M

UBA YAYINLARI

13

MU

BA

Yay

ınla

rı

1. ÜN

İTE / M

antık

4. DERS4. DERS

2. “ya da” bağlacının değişme özelliğini doğruluk tablosu ile gösteriniz.

p q p Q q q Q p1 1 0 01 0 1 10 1 1 10 0 0 0

p q q pQ Q/

3. “Ve” bağlacının birleşme özelliğini doğruluk tablosu ile gösteriniz.

p q r p q/ p q r/ /^ h q r/ p q r/ /^ h

1 1 1 1 1 1 11 1 0 1 0 0 01 0 1 0 0 0 01 0 0 0 0 0 00 1 1 0 0 1 00 1 0 0 0 0 00 0 1 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0

p q r p q r/ / / //^ ^h h

4. p/(p0q)/pdenkliğiniözelliklerikullanarakgösteriniz.

p p q p

p p q p

p q p

p p

p p

0

0

0

/ 0

0 / 0

0 /

0

/

/

/

/

/

^

^

^

^

h

h

h

h

5. p/(qı 0r)

önermesininolumsuzunubulunuz.

[p / (qı 0 r)]ı / pı 0 (qı 0 r)ı

/ pı 0 (q / rı)

(pı 0(q/rı))

6. p q ql l l0 0^ h

önermesininensadehâlinibulunuz.

p q q q q q p

q p

q p

1

l l l l l

l l

l l

/ 0 0 / 0

/ 0

0

/

/

/

^ ^

^

^h h

h

h

(qı 0pı)

DERSİN TESTİ

1. pveqbirerönermeolmaküzere,

“nepnedeq”

p0qilegösterilir.

p0qbileşikönermesinindoğruluktablosu

p q p0q1 1 01 0 00 1 00 0 1

şeklindedir. Bunagöre,

I. (p0q)l ≡p0q

II. p0p≡pl

III. p0pl ≡0

denkliklerindenhangileridoğrudur?

A)YalnızI B)IveII C)IveIII

D)IIveIII E)I,IIveIII

2. p q p r 0l l l/ 0 Q /^ ^h h

olduğunagöre,p q rl0 Q^ hbileşikönermesininensade

hâliaşağıdakilerdenhangisidir?

A)p B)q C)r D)1 E)0

3. p q p ql l l/ 0 /^ ^h h

önermesininensadehâliaşağıdakilerdenhangisidir?

A)p B)pı C)q D)qı E)1

4. p q 0l 0 /

p r 1Q /

olduğunagöre,p q rlQ 0^ hönermesinineşitiaşağıda-kilerdenhangisidir?

A)0 B)1 C)p0q

D)pQ r E)qı Q q

1. E 2. D 3. B 4. A

ÖRNEKTİR • M

UBA YAYINLARI

14

MU

BA

Yay

ınla

rı

1. Ü

NİT

E /

Man

tık

5. DERS5. DERS


LeibnizveBooleAlman filozofGottfriendWilhelm Leibniz (1646 - 1716) tümsayıların0ve1 ile ifadeedilebileceğinikeşfetmişancakbu-luşlarınıyayımlamadığıiçinmatematikmantığınıngelişimi19.yüzyılınsonlarınakalmıştır.Leibniz1692ve1694yıllarıarasındaeğridentüretilenapsis,ordinat, teğet, kiriş ve diklik kavramlarıı ilk ortaya koyan birbiliminsanıdır.İngiliz matematikçi George Boole (1815 - 1864) tarafından1847’de “MantığınMatematikAnalizi”adlıeseryayınlanmış,1854yılındada“BooleanMatematiği”sayesindedigitalçağıntemelleriatılmıştır.BunedenleBoole“bilgisayarbilimininba-bası”ünvanınıhaketmiştir.Booleanmatematiğininsayısaldevrelerintasarımındaveana-lizindekullanılması1938yılındaAmerikalımatematikçi,elekt-rikmühendisivekriptograficisiClaudeShanon(1916-2001)tarafındangerçekleştirilmiştir.BooleKanunlarıyadaBoole(an)Matematiğinde“veya”⇒“toplama”işlemine“ve”⇒“çarpma”işleminekarşılıkgelir.

Kısaca· .

p q p q

p q p q dur

0

/

= +

=

UYGULAMA ALANI

1. Aşağıda verilen ifadelerin sonuçlarını Boole(an) matema-tiğine göre bulunuz.

I. p+p II. p+pı III. p+0

I. p p p p p0+ = =

II. p p p p 1l l0+ = =

III. p p p0 00+ = = (p,1,p)

2. Aşağıda verilen ifadelerin sonuçlarını Boole Kanunlarına göre bulunuz.

I. p·p II. p·pı III. p·0

I. ·p p p p p/= =

II. ·p p p p 0l l/= =

III. ·p p0 0 0/= = (p,0,0)

3. p q r 0l+ + =

olduğunagöre, p q q rl l/ 0 0^ ^h hbileşikönermesinindoğ-

rulukdeğerinibulunuz.

p q r ise p q r0 0l l0 0+ + = = olup, p q r 0l/ / / dır.

p q q r 1 1 1 1 1l l/ 0 0 / 0 0/ /^ ^ ^ ^h h h h (1)

4. p·p+p·pl

ifadesiniBoole(an)Matematiğinegöresadeleştiriniz.

· · ·

·

p p p p p p p

p p1

l l+ = +

= =

^ h

(p)

5. p+p·q

ifadesinin sonucunuBoole(an)Matematiğine göre bulu-nuz.

· ·p p q p q p p1 1 /+ = + =^ h

(p)

6. · · ·p p q p p q l+ +^ ^h h7 A


· ·p q p p q p p p q p p1 1l l l0 / 0 0 / /+ =^ ^ ^h h h6 7 7@ A A

(p)

7. · · ·p p q p q p ql l+ + +^ ^h h


· · · · ·

· ·

·

·

p p p q q p p p q p q p q

p q p q

q p p

q q

0

1

l l l

l

l

+ + + = + + +

= +

= +

= =

^

^

h

h

(q)

ÖRNEKTİR • M

UBA YAYINLARI

15

MU

BA

Yay

ınla

rı

1. ÜN

İTE / M

antık

6. DERS5. DERS

DERSİN TESTİ

1. p pl p/p (p/p)0pl1 00 1

Yukarıdakitablodaverilenpveplönermeleriiçin

(p/p)0pl ≡ qve

p q p r/ 0 /l l^ h6 @ denklikleriveriyor.

Bunagöre,(p0 r) /qönermesiaşağıdakilerdenhan-gisinedenktir?

A) pl B)p C)q D)r E)ql

2. p q r 0l l+ + =

olduğunagöre, p q p rl l/ Q 0^ ^h hbileşikönermesininen

sadebiçimiaşağıdakilerdenhangisidir?

A)p B)qı C)r D)1 E)0

3. · ·p p q pl l+^ h7 A

ifadesininBooleMatematiğinegöre,ensadehâliaşa-ğıdakilerdenhangisidir?

A)0 B)1 C)p D)pı E)q

4. ·p p q r s t f+ + + + +^ h

ifadesinin Boole(an) Matematiğine göre, en sade hâlinibulunuz.

A) 0 B)1 C)p D)q E)r

1. B 2. E 3. A 4. C


KoşulluÖnerme• İkiönermearasına“ise”bağlacıyazılarakeldeedilenve

“ise” yerine⇒ sembolü kullanılarak ifade edilen bileşikönermelerekoşulluönermedenir.

p q p⇒q1 1 11 0 00 1 10 0 1

• p⇒qkoşulluönermesindepönermesinehipotezqöner-mesine hüküm denir. Ayrıca p önermesi, q için yeterkoşul,qönermesi,piçingerekkoşuldur.

• p⇒ qönermesinindoğrulukdeğeri1ise,bukoşulluöner-meyegerektirmedenir.

• p⇒ q/1ifadesi“pgerektirirq”şeklindeokunur.

UYGULAMA ALANI

1. p:“Alievindeboşaakanmusluğukapatır.”

q:“Alidoğadakisukaynaklarınıkorur.”

önermelerinegöre,p⇒ qbileşikönermesiniifadeediniz.

p ⇒ q: “Ali evinde boşa akan musluğu kapatır ise doğada-ki su kaynaklarını korur.

2. p:“Yağmuryağıyor.”

q:“Yerlerıslaktır.

önermelerinegörep⇒qıbileşikönermesiniifadeediniz.

p ⇒ qı: “Yağmur yağıyor ise yerler ıslak değildir.”

3. [(1⇒ 0)⇒ 1]⇒ [(0⇒ 0)⇒ 0](0)ÖRNEKTİR

• MUBA YAYIN

LARI

16

MU

BA

Yay

ınla

rı

1. Ü

NİT

E /

Man

tık

6. DERS6. DERS

4. (p⇒ qı)0(pı /q)

önermesinindoğrulukdeğerleritablosunuyapınız.

p q pı qı p ⇒ qı pı / q (p ⇒ qı) 0 (pı / q)1 1 0 0 0 0 01 0 0 1 1 0 10 1 1 0 1 1 10 0 1 1 1 0 1

5. p⇒ (q0r)/0

olduğunagöre/⇒/0

p / 1 , q / 0 ve r / 0 dır

(p / qı) ⇒ [rı / (pı 0 q)]

/ (1 / 0ı) ⇒ [0ı / (1ı 0 0)]

/ ( 1 / 1) ⇒ [1 / (0 0 0)]

/ 1 ⇒ [1 / 0]

/ 1 ⇒ 0 / 0

(0)

6. p p q 0l & 0 /^ h

olduğunagöre, p q ql l&/^ h önermesinindoğrulukdeğeri-

nibulunuz.

p q 0

1 0 1 0 1 1& &/

/ /

/ /^ h

(1)

7. q p r 0l &/ /^ h

olduğunagöre r q pl 0 /^ h önermesinindoğrulukdeğerini

bulunuz.,p q ve r1 0 0/ / /

1 0 1 10 / /^ h

(1)

DERSİN TESTİ

1. pveqbirerönermedir.

pl ⇒ (❒ 0q)≡0

olduğunagöre,boşbırakılankutuya

I. pl 0q

II. pl /q

III. pl Qq

bileşikönermelerindenhangileriyazılabilir?

A)YalnızI B)YalnızII C)YalnızIII

D)IveIII E)IIveIII

2. p q r 0l& 0 /^ h

olduğunagöre, p q q rl l& & &^ ^h hönermesiaşağıda-

kilerdenhangisinedenktir?

A)pı B)qı C)r D)1 E)0

3. p q r 1l l& / /^ h

bileşikönermesindep,qvernindoğrulukdeğerlerisırasıylaaşağıdakilerdenhangisidir?

A)1,0,0 B)1,0,1 C)0,1,1

D)0,0,1 E)1,1,0

1. B 2. D 3. AÖRNEKTİR • M

UBA YAYINLARI

17

HAFTANIN ÖDEVİ

MU

BA

Yay

ınla

rı

1. ÜN

İTE / M

antık

1. 2 kız, 2 erkek öğrenci ve 2 öğretmenin bulunduğu birgruplailgiliolarakp:“Bugrubunyarısıerkeköğrencidir.”önermesininolumsuzunuyazarakdoğrulukdeğerinibulu-nuz.

pı: “Bu grubun yarısı erkek öğrenci değildir.”

p / 0, pı / 1

(1)

2. (p/qı)0pı /0

olduğunagöre(p0qı)/(pı /q)önermesinindoğrulukdeğerinibulunuz.

p q 1/ /

Buna göre, 1 1 1 1 1 0 0l l0 / / // /^ ^h h

(0)

3. (p0q)/(qı 0p)önermesinindoğrulukdeğerleritablo-sunubulunuz.

p q qı p 0 q q› 0 p (p 0 q) / (qı 0 p)1 1 0 1 1 11 0 1 1 1 10 1 0 1 0 00 0 1 0 1 0

4. r0(pı 0q)/0

olduğunagöre[(r / p) / (pı 0 q)] / (pı / q)ı önerme-sinindoğrulukdeğerinibulunuz.

, .p q ve r olur1 0 0/ / /

Buna göre,0 1 1 0 1 0

0 0 0 0

l l l

l

/ / 0 / /

/ /

/

/ /

^

^

^ ^h

h

h h6

6 @

@

(0)

5. [(p/r)ı 0(p0r)]ıönermesinisadeleştiriniz.

p r p r

p p r r 0

l l

l l

/ / /

/ / / /

^

^

^

^

h

h

h

h

(0)

6. p,qverönermeleriiçinpQ (qQ rı)önermesinindoğruluk

değerleritablosunuyapınız.

p q r rı q Q rı p Q (q Q rı)1 1 1 0 1 01 1 0 1 0 11 0 1 0 0 11 0 0 1 1 00 1 1 0 1 10 1 0 1 0 00 0 1 0 0 00 0 0 1 1 1

7. Önermelermantığında tanımlanan Q işleminin/ işlemi

üzerinedağılmaözelliğiolupolmadığınıdoğruluktablosuyardımıylagösteriniz.

p q r q / r p Q (q / r) p Q q p Q r (p Q q) / (pQ r)1 1 1 1 0 0 0 01 1 0 0 1 0 1 01 0 1 0 1 1 0 01 0 0 0 1 1 1 10 1 1 1 1 1 1 10 1 0 0 0 1 0 00 0 1 0 0 0 1 00 0 0 0 0 0 0 0

Doğruluk değerleri farklı çıktığından Q işleminin / işlemi

üzerine dağılma özelliği yoktur.

8. (q/r)/[qı /(r0p)]önermesinisadeleştiriniz.

q r q r p q r q r p

q q r r p

r r p0

0

l l

l

/ / / 0 / / / 0

/ / / 0

/ / 0

/

/

/

/

^ ^ ^

^

^ ^

^

^

h h h

h

h

h

h

h

6 @

(0)

9. p⇒q/0olduğunagöre,pveqönermelerinindoğrulukdeğerinibulunuz.

p ⇒ q = 0 ise p / 1 ve q / 0 olmalıdır.

(0)

ÖRNEKTİR • M

UBA YAYINLARI

18

1HAFTANIN TESTİ

MU

BA

Yay

ınla

rı

1. Ü

NİT

E /

Man

tık

1. Aşağıdakiifadelerdenhangisibirönermedir?

A) Keşkeburadaolsaydın.B)Yolunaçıkolsun.C) Çabucakburayagel.D)İzmir,Yunanistan’ındoğusundadır.E)Yavaşyavaşçalışmalısın.

Yargı belirttiği için D’deki ifade önermedir.

2. I. x3 1 2- =

II. En küçük doğal sayı 1 dir.

III. En güzel kızlar nerelidir?

ifadelerindenhangileribirönermedir?


D)IIveIII E)IveII

Yargı belirten I. ve II. ifadeler birer önermedir.

3. I. Enbüyüknegatifsayı–1dir. II. Enküçükasalsayı2dir. III. 9tanerakamvardır. IV. 257sayısında5insayıdeğeri5tir. V. Herdikdörtgenaynızamandakaredir. Yukarıdakiönermelerdenkaçtanesinindoğrulukde-

ğeri“1”dir?

A)1 B)2 C)3 D)4 E)5

II. ve IV. önermeler doğru, diğerleri yanlıştır.

4. n tane önermenin doğruluk değeri için 16 durum ol-duğuna göre, ( )n2 1- önermenin kaç farklı doğruluk değeri vardır?

A)256 B)128 C)64 D)32 E)24

& &n n2 16 4 2 1 7n = = - =

7 önermenin farklı doğruluk değerlerinin sayısı 2 1287 =

5. Aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?

A)0 1 0/ /y B)1 1 10 / C)1 0 0/ /y y

D)1 1 00 /y y E)0 1 1Q /y

0 1 0 0 0Q Q/ /y olduğu için E seçeneği yanlıştır.

6. ( ) ( )p p q q q0 / / 0y y6 @

önermesininensadeşekliaşağıdakilerdenhangisidir?

A)p B)q C)p q0

D)p q0y E)p q0 y

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

p p q q q

p p p q p q

p q

1 1

0 / / 0

0 / 0 / / 0

0

/

/

y y

y 1/6 @

6

6

@

@

7. p p q q r/ 0 0 0y y y^ ^h h6 @


A)0 B)p C)q D)rl E)1

r0 1 0 1 00 0 0/ /l l6 @

8. Aşağıdaki bileşik önermelerden hangisinin doğruluk değeri her zaman “1” dir?

A)p 00 B)p 0/ C)p p/ y

D)p p0 y E)p 00y

p p0 y önermesi p 1/ için 1 0 10 /

p 0/ için 0 1 10 /

ÖRNEKTİR • M

UBA YAYINLARI

19

1HAFTANIN TESTİ

MU

BA

Yay

ınla

rı

1. ÜN

İTE / M

antık

9. I. p:1derece60dakikadır. q:MarmarabölgesiTürkiye’nindoğusundadır. II. p:Çocuklaroyunoynamayısever. q:Denizsuyutuzludur. III. p:2birasalsayıdeğildir. q:Bütünasalsayılartektir. IV. p:rbirrasyonelsayıdır. q: 2 birgerçelsayıdır. V. p:Gülbirbitkidir. q:Yunusbalığımemelihayvandır. Yukarıdakiönermeçiftlerindenkaç tanesinindoğru-

lukdeğerleribirbirineeşittir?

A)1 B)2 C)3 D)4 E)5

II. önerme çiftinde her iki önerme de doğru, III. önerme çiftinde her iki önerme de yanlış, V. önerme çiftinde her iki önerme de doğrudur.

10. ( )p q 10 /y y

olduğunagöre,aşağıdakibileşikönermelerdenhan-gisinindoğrulukdeğeri0dır?A)p q/ B)p q/ y C)p q0

D)p q0 y E) ( )p p q0 /y

& &( )p q p q p1 1 10 // / /y y y ve q 0/ 11. p1 0 0 1 10 0 / 0 /y y

^ ^h h6 @

denkliğinisağlayanpönermesiiçinaşağıdakilerdenhangisidaimadoğrudur?

A)p q 10 /y B)p 1 0/ / C)p 1/y

D)p 0 00 / E)p q 10 /y

& &p p p1 0 1 0 1 10 0 0/ / /y y6 @ olup p q 10 /y

12. ( )p q 0/ /y y

olduğunagöre,aşağıdakibileşikönermelerdenhan-gisinindoğrulukdeğeri1dir?

A)p q/ B)p q0y C)( )p q q0 /y

D)p q/ y E)p q/y y

p q p0 1&0 / /y ve q 0/

Buna göre p q 1 1 1/ // /y

13. ( ) ( )p q p q/ 0 0y y y y y


A)p q/ B)p q0 C)p q0y

D)p q/ y E)p q0y y

( ) ( ) ( ) ( )p q p q p q p p q q0 0 / 0 0 / 0 0/y y

( )p q p q1 / 0 0/

14. p p q q0/ 0 / /y y y^ ^h h6 @

önermesinindoğrulukdeğeriaşağıdakilerdenhangisiileaynıdır?

A)p B)qy C)p p/ y

D)q q0 y E)p q/ y

p p0 0 00 0 / /y ^ h6 @ olup, seçeneklerden

C’dekinin doğruluk değeri de 0

15. n tane önermenin birbirlerine göre alabileceği doğrulukdeğerleriiçin2n n3 52- - farklıdurumvardır.

Bunagöre,nkaçtır?

A)3 B)4 C)5 D)6 E)7

2 2n n n3 52&=- - ( ) ( )

n nn n

n

4 5 05 1 0

5

2 - - =- + =

=

16. Doğruluğu ispatlanması gereken önermeler aşağıdaki-lerden hangisi ile tanımlanabilir?

A)Aksiyom B)Teorem C)Hüküm

D)Hipotez E)Problem

ÖRNEKTİR • M

UBA YAYINLARI

20

H A F TA1. DERS 1. DERS

MU

BA

Yay

ınla

rı

1. Ü

NİT

E /

Man

tık

2.9.1.1.3ÖĞRENME ALANI

KoşulluÖnermeninÖzellikleri• p⇒q/pı 0q• p⇒ q_ q⇒p

• p⇒ (q0r)/(p⇒ q) 0(p⇒ r)• p⇒ (q/r)/(p⇒ q) /(p⇒r)• p⇒p/1 p⇒ pı /pı

1⇒ p/p p⇒ 1/10⇒ p/1 p⇒ 0/pı

UYGULAMA ALANI

1. Koşullu önermede değişme özelliğinin olmadığını doğruluk tablosu yardımıyla gösteriniz.

p q p ⇒ q q ⇒ p1 1 1 11 0 0 10 1 1 00 0 1 1

p ⇒ q _ q ⇒ p

2. p&q/pı 0qolduğunudoğruluktablosuyardımıylagös-teriniz.

p q pı p ⇒ q pı 0 q1 1 0 1 11 0 0 0 00 1 1 1 10 0 1 1 1

p ⇒ q / pı 0 q

3. p &qönermesininolumsuzunubulunuz.

(p ⇒ q)ı / (pı 0 q)ı / p / qı

(p/ qı)

4. p q& önermesininkarşıtıq p&

p q& önermesinintersip ql l&

p q& önermesininkarşıttersiq pl l& dür.

p:Yiğitbilgisayarındaçokoyunoynar.

q:Yiğitbaşarılıbiröğrencideğildir.

önermelerinegörep q& önermesininkarşıtını,tersinive

karşıttersiniifadeediniz.

q p& : Yiğit başarılı bir öğrenci değilse, bilgisayarında

çok oyun oynar.

p ql l& : Yiğit bilgisayarında çok oyun oynamazsa, başa-

rılı bir öğrencidir.

q pl l& : Yiğit başarılı bir öğrenci ise bilgisayarında çok

oyun oynamaz.

5. p⇒ (qı 0r)/0

olduğunagöre(p0rı)&qönermesininkarşıtınındoğru-lukdeğerinibulunuz.

p / 1, q / 1 ve r / 0 bulunur.

(p 0 rı) ⇒ q önermesinin karşıtı;

[q ⇒ (p 0 rı)] / [1 ⇒ (1 0 1)] / [1 ⇒ 1] / 1

(1)

6. p q r sl l l& &/^ ^h h

önermesininkarşıttersinindoğrulukdeğeri“0”olduğuna

göre, s q p rl l& & 0^ ^h hönermesinindoğrulukdeğerinibu-

lunuz.

, ,p q r ve s0 0 1 1/ / / /

Buna göre s q p r 1l l& & 0 /^ ^h h

(1)

ÖRNEKTİR • M

UBA YAYINLARI

21

MU

BA

Yay

ınla

rı

1. ÜN

İTE / M

antık

1. DERS 2. DERS

DERSİN TESTİ

1. p⇒qbileşikönermesinin

• karşıtı:q⇒p

• tersi:pl ⇒ql

• karşıttersi:ql ⇒plşeklindetanımlanır.

Bunagöre,p⇒qönermesiiçin

I. Karşıtıdoğruikentersidoğrudur. II. Kendisiyanlışikenkarşıttersidoğrudur. III. Karşıttersidoğruikenkarşıtıyanlıştır. ifadelerindenhangileriherzamandoğrudur?


D)IveIII E)IIveIII

2. p q p ql& 0 0^ ^h h


A)p q0 B)p q/ C)p q&

D)p ql & E)p ql&

3. p q pl &/^ h

önermesininkarşıttersininensadehâliaşağıdakiler-denhangisidir?

A)p B)1 C)pı D)q E)qı

4. p q r s 0› ›& & / /^ ^h h

olduğunagöre,aşağıdakibileşikönermelerdenhan-gisinindoğrulukdeğeridaima“1”dir?

A)p s› Q B)q s/ C)p r/

D)q r› ›Q E)r s0

1. A 2. C 3. B 4. A


İkiYönlüKoşulluÖnermep⇒ q koşullu önermesi ile karşıtı olan q⇒ p önermesindenoluşan(p⇒ q)/(q⇒ p)bileşikönermesineikiyönlükoşulluönermedenirvep⇔qbiçimindeyazılıp“pancakveancakq”diyeokunur.

p q p ⇔ q1 1 11 0 00 1 00 0 1

p⇔q,ikiyönlükoşulluönermesinindoğrulukdeğeri1isebuönermeyeçiftgerektirmedenir.ÖZELLİKLERİ

• p⇔q/(p⇒ q)/(q⇒ p)• p⇔q/q⇔p• (p⇔q)⇔r/p⇔(q⇔r)• (p⇔q)ı /(pı ⇔q)/(p⇔qı)• p⇔p/1 p⇔1/p p⇔pı /0 p⇔0/pı

UYGULAMA ALANI

1. p⇔q/(p⇒ q)/(q⇒ p)

denkliğinitabloilegösteriniz.

p q p ⇔ q p ⇒ q q ⇒ p (p ⇒ q) / (q ⇒ p)1 1 1 1 1 11 0 0 0 1 00 1 0 1 0 00 0 1 1 1 1

p ⇔ q / (p ⇒ q) / (q ⇒ p)

2. p⇔q/pı ⇔qı

denkliğinitabloilegösteriniz.

p q pı qı p ⇔ q pı ⇔ qı

1 1 0 0 1 11 0 0 1 0 00 1 1 0 0 00 0 1 1 1 1

p ⇔ q / (pı ⇔ qı)

ÖRNEKTİR • M

UBA YAYINLARI

22

MU

BA

Yay

ınla

rı

1. Ü

NİT

E /

Man

tık

2. DERS2. DERS

3. (p0q)⇔qişleminisadeleştiriniz.

(p 0 q) ⇔ q / [(p 0 q) ⇒ q] / [q ⇒ (p 0 q)]

/ [(p 0 q)ı 0 q] / [qı 0 (p 0 q)]

/ [(pı / qı) 0 q] / [p 0 (q 0qı)]

/ [(pı 0 q) / (qı 0 q)] / [ p 0 1]

/ [(pı 0 q) / 1] / 1 / (pı 0 q)

/ (p ⇒ q)

(p⇒q)

4. (p⇔q)/(qı ⇔p)

işleminisadeleştiriniz.

(p ⇔ q) / (qı ⇔ p) / (p ⇔ q) / (p ⇔ q)ı

/ 0

(0)

5. (p⇒ qı)⇔(q0pı)

önermesinisadeleştiriniz.

(p ⇒ qı) ⇔ (pı 0 q) / (pı 0 qı) ⇔ (pı 0 q)

/ pı 0 (qı ⇔ q)

/ pı 0 (0)

/ pı

(pı)

6. p⇒ (q0r)/0

olduğunagöre(pı 0q)⇔[r/(qı &p)]bileşikönermesi-nindoğrulukdeğerinibulunuz.

p ⇒ (q 0 r) / 0 ise p / 1 ve q 0 r / 0 dır. q / 0 r / 0(pı 0 q) ⇔ [r / (qı ⇒ p)] / (1ı 0 0) ⇔ [0 / (0ı ⇒ 1)] / (0 0 0) ⇔ [0 / (1 ⇒ 1)] / 0 ⇔ [0 / 1] / 0 ⇔ 0 / 1

(1)

DERSİN TESTİ

1. Harfler Semboller

A

B

C

Yukarıdaverilenharflerkarşılarındabulunansembollerleeşleştirilmiştir.

Harfileşekileşleştirmesidoğruiken ,yanlış

iken işaretikullanılacaktır.

Örneğin A yanlış

C doğruönermedir.

Bunagöre;

I. (A )⇔ (B )

II. (C )⇒(A )

III. (B )⇔(C )

bileşik önermelerinden hangilerinin doğruluk değeri 1 dir?

A)YalnızI B)YalnızII C)IveII

D)IveIII E)I,IIveIII

2. p p pl+ +^ h


A)1 B)0 C)p D)pl E)p pl/

3. p q p ql+ / /^ h7 A


A)1 B)0 C)p D)q E)pı

4. p:“2+3=5”

q:“4birtamkaresayıdır.”

önermelerinegöre,

I. p q+

II. p ql +

III. p ql l+

önermelerindenhangileriçiftgerektirmedir?


D)IveIII E)I,IIveIII

1. C 2. D 3. B 4. D

ÖRNEKTİR • M

UBA YAYINLARI

23

MU

BA

Yay

ınla

rı

1. ÜN

İTE / M

antık

3. DERS3. DERS


AçıkÖnerme• İçerisindeenazbirdeğişkenbulunanvebudeğişkenlere

verilendeğerleregöredoğruyadayanlışdoğrulukdeğerialabilenifadelereaçıkönermedenir.

• BirxdeğişkeniileverilenPönermesiP(x)ile;x,ygibiikideğişkenleverilenPönermesiP(x,y)ilegösterilir.

• HerhangibirEevrenselkümesindetanımlananbirPaçıkönermesini doğrulayan kümeye, açık önermenin çözümkümesi, çözüm kümesinin her bir elemanına da çözümdenir.

UYGULAMA ALANI

1. P(x):x–2≤3vex∈ N

önermesininçözümkümesinibulunuz.

P(x): x – 2 ≤ 3 ve x ∈ N

x ≤ 3 + 2

x ≤ 5 ⇒ Ç = {0, 1, 2, 3, 4, 5}

({0,1,2,3,4,5})

2. :P x x ve x Z1 4$ !-^ h

önermesininolumsuzununçözümkümesinibulunuz.

:

Ç. : ,

P x x x

K x x x Z

1 4 5

5

< <

<

l &

!

-

=

^ h

" ,

: ,x x x Z5< !^ h" ,

3. P(x):x2+3≤1vex∈ R


P(x): x2 + 3 ≤ 1 ve x ∈ R

x2 ≤ –2 ⇒ Ç = Ø

(∅)

4. P(x,y):x+y=5vex,y∈ Z+


P(x, y): x + y = 5 ve x,y ∈ Z+x y

1

2

3

4

4

3

2

1

5+ =

Ç= {(1,4), (2,3), (3,2), (4,1)}

({(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)})

5. E={1,2,3,5,7}kümesindeP(x):2x+1<7

açıkönermesininçözümkümesinibulunuz.

P(x): 2x + 1 < 7 ve x ∈ E

2x < 7 – 1

2x < 6

x < 3 ⇒ Ç = {1, 2}

({1,2})

6. P(x):(x+2)(x–1)(x+3)(x–4)=0

denklemininx∈R–deçözümkümesinibulunuz.

P(x): (x + 2)·(x – 1)·(x + 3)·(x – 4) = 0 ve x ∈ R–

x + 2 = 0, x + 3 = 0

x = –2 x = –3 ⇒ Ç= {–2, –3}

({–2,–3})

7. P(x):( ) ( )( ) ( )x xx x

3 42 3

0- -- -

=

açıkönermesininçözümkümesinibulunuz.

P(x): ( )·( )( )·( )x xx x

3 42 3

0- -- -

=

x – 2 = 0, x – 3 ≠ 0 ve x – 4 ≠ 0

x = 2 ⇒ Ç = {2}

({2})

ÖRNEKTİR • M

UBA YAYINLARI

24

MU

BA

Yay

ınla

rı

1. Ü

NİT

E /

Man

tık

4. DERS3. DERS

DERSİN TESTİ

1. P(x):xbirtamsayı,3<x≤7

önermesininçözümkümesiaşağıdakilerdenhangisi-dir?

A){3,7} B){3,4,5,6,7}

C){4,5,6,7} D){4,5,6}

E){4,5,6,7,8}

2. P(x,y):2x+y=5,xveytamsayı”

açıkönermesinindoğrulukkümesindeaşağıdakisıra-lıikililerdenhangisibulunmaz?

A) ,2 9-^ h B) ,1 7-^ h C) ,1 3^ h

D) ,2 5^ h E) ,3 1-^ h

3. : ,P xx

x x x R3

4 1 02 2

!-

- - =^^ ^

hh h

önermesinin doğruluk kümesinde aşağıdakilerdenhangisibulunmaz?

A)–2 B)–1 C)1 D)2 E)3

4. P(x):xbirgerçeksayı, x x3 2 5 17- - =^ h önermesiveri-

liyor.

Q(y):ybirdoğalsayı,y<xönermesinindoğrulukkü-mesiaşağıdakilerdenhangisidir?

A){0,1,2,3,4,5,6} B){1,2,3,4,5,6}

C){7} D){6}

E){2,3,4,5,6}

1. C 2. D 3. E 4. A


Niceleyiciler• Önünegeldiğielemanlarınçokluğunu(niceliğini)belirten

hervebazısözcüklerineniceleyicidenir.• P(x)önermesiAkümesindetanımlanmışolsun,Adakiher

elemaniçinP(x)doğrubirönermeoluyorsa(∀x∈ A)P(x)veya∀x,P(x)yazılır.Herbiri,hepsi,bütünüanlamlarınagelen∀sembolüevrenselniceleyicidir.

• ∀x,P(x)önermesinindoğruolmasıiçinkümedekibütünxdeğerlerininP(x)önermesinidoğrulamasıgerekir.

• P(x) önermesi A kümesinde tanımlanmış olsun. A kü-mesinde P(x) i doğrulayan en az bir x elemanı varsa (∃x∈A)P(x)veya∃x,P(x)yazılır.Bazı,enazbirianlam-larınagelen∃sembolüvarlıksalniceleyicidir.

• ∃x,P(x)önermesinindoğruolmasıiçinçözümkümesiboşkümeolmamalıdır.

NiceleyicilerinOlumsuzu

• [∀x,P(x)]ı / ∃x,Pı(x) •[∃x,P(x)]ı / ∀x,Pı(x)tir.

UYGULAMA ALANI

1. Aşağıdaki önermelerin doğruluk değerlerini bulunuz.

a)∀x∈ N+,x2>0b)∀x∈Z,x2≤xc)∃x∈R,x2≤4d)∃x∈ R,x2≤0

a) Her sayma sayısının karesi pozitif olduğundan,doğrulukdeğeri:1dir.

b) Negatiftamsayılarınkaresikendisindenküçükola-maz,başkabirörneğegerekkalmaksızındoğrulukdeğeri:0dır.

c) x=1içinx2≤4olduğundandoğrulukdeğeri:1dir.d) x=0için02=0olduğundandoğrulukdeğeri:1dir.

(1,0,1,1)

2. “∃x∈R,x2=x”

önermesinikurallıcümleşeklindeifadeederek,doğrulukdeğerinibulunuz.

“Bazı reel sayıların karesi kendisine eşittir.”

12 = 1 olduğundan doğru önermedir.

(1)

ÖRNEKTİR • M

UBA YAYINLARI

25

MU

BA

Yay

ınla

rı

1. ÜN

İTE / M

antık

4. DERS4. DERS

3. ∀x∈R,x3=–3x

önermesinikurallıcümleşeklindeifadeederek,doğrulukdeğerinibulunuz.

“Her reel sayının küpü kendisinin –3 katına eşittir.”

13 ≠ –3·1 olduğundan yanlış önermedir.

(0)

4. “P: Her n doğal sayısı için n2 sayısı pozitiftir.” önermesinin doğruluk değerini bulup, niceleme sembolü ve n değişke-ni kullanarak yeniden yazınız.

n = 0 için n2 = 0 pozitif değildir.

Dolayısıyla önerme yanlıştır.

P: “∀n ∈ N, n2 > 0”

(∀n∈N,n2>0”)

5. f(x,y):2x+y=10x,y∈ N+


Ç = {(1,8), (2,6), (3,4), (4,2)}

({(1,8),(2,6),(3,4),(4,2)})

6. Aşağıdaki önermelerin değilini bulunuz.

I. Herasalsayı,teksayıdır.II. Bazıinsanlarölümsüzdür.

I. Bazıasalsayılar,teksayıdeğildir.

II. Herinsanölümlüdür.

7. (∃x∈R,x2≤x)/ (∀x∈R,x2>0)

önermesininolumsuzunubulunuz.

[(∃x ∈ R, x2 ≤ x) / (∀x ∈ R, x2 > 0)]ı

/ (∃x ∈ R, x2 ≤ x)ı 0 (∀x ∈ R, x2 > 0)ı

/ (∀x ∈ R, x2 > x) 0 (∃x ∈ R, x2 ≤ 0)

((∀x∈R,x2>x)0 (∃x∈R,x2≤0))

DERSİN TESTİ

1. ∃x∈R,2x+5x=7x

önermesininengenişdoğrulukkümesiaşağıdakiler-denhangisidir?

A){0,1,2} B){3,4,5} C)x<5

D)x>–2 E)R

2. (∀x ∈R,x2≥0)⇒ (∀x∈R,x2<x)

önermesininkarşıtıaşağıdakilerdenhangisidir?

A) , ,x R x x x R x 0<2 2&6 6! ! $^ ^h h

B) , ,x R x x x R x 0<2 2&7 6! ! $^ ^h h

C) , ,x R x x x R x 0<2 2&6 7! ! $^ ^h h

D) , ,x R x x x R x 0>2 2&6 7! # !^ ^h h

E) , ,x R x x R x0 0<2 2&7 6! ! $^ ^h h

3. , ,x R x x R x1 02 &7 6! # ! $^ ^h h

önermesinintersininolumsuzuaşağıdakilerdenhan-gisidir?

A) , ,x R x x R x1 0>2 &7 6! ! $^ ^h h

B) , ,x R x x R x1 0> <2 &6 6! !^ ^h h

C) , ,x R x x R x1 02 /7 6! # ! $^ ^h h

D) , ,x R x x R x1 0>2 /6 6! ! $^ ^h h

E) , ,x R x x R x1 02 /6 7! $ ! $^ ^h h

1. E 2. A 3. D

ÖRNEKTİR • M

UBA YAYINLARI

26

MU

BA

Yay

ınla

rı

1. Ü

NİT

E /

Man

tık

5. DERS5. DERS


Terim,TanımlıveTanımsızTerim

• Birbilimdalındaözelbiranlamasahipkelimelerinherbi-rineobilimdalınınbirterimidenir.

Ova,coğrafibirterim, İvme,fizikterimi Üçgenbirgeometrikterimdir.• Bir terimin anlamını belirlemeye terimi tanımlamak de-

nir.Herterimkendisindenöncetanımlanmışterimlerdenyararlanılarakifadeedilirsebunatanımlıterimdenir.An-cak her terimin kendisinden öncekilerle tanımlanmasıimkânsızdır.Bunedenlebaşlangıçtakibazıterimlerinta-nımsızolmasıgerekir.Sezgilerimizlekabullendiğimizbutipgerçekleretanımsızterimlerdenir.Matematiktenokta,doğru,kümetanımsızterimlere;açı,üçgen,asalsayı,ar-dışıksayıtanımlıterimlerebazıörneklerdir.

AksiyonveTeorem

• Doğruluğu ispatlanmadan verilen ve doğruluğu kabul edilen öner-

melere aksiyom (postulât) denir.

“Her doğru kendisine eşittir.”

“Düzlemde farklı iki noktadan bir doğru geçer.” önermeleri birer ak-

siyomdur.

• Doğruluğu ispatlanması gereken önermelere teorem denir.

• p hipotezi doğru olan p ⇒ q gerektirmesine teorem, q önermesine

de hüküm denir.

• Kısaca, bir teoremde verilenler kısmına hipotez, ispatlanacak kıs-

ma hüküm, hipotezden yola çıkarak hükme ulaşmaya da teoremi

ispatlamak denir.

İspatYöntemleri

İSPATYÖNTEMLERİ

Tümdengelim

Tümevarım

Doğrudanİspat Dolaylıİspat

OlmayanaErgiYöntemi

ÇelişkiYöntemi

DenemeYöntemi

AksineÖrnekVermeYöntemi

• DoğrudanİspatYöntemi p ⇒ q teoremi için p nin doğru olduğu kabul edilerek q nun doğru

olduğu matematiksel mantık ile yapılan işlemler zinciri sayesinde

adım adım gösteriliyorsa buna doğrudan ispat yöntemi denir.

UYGULAMA ALANI

1. Aşağıda verilen cümlelerde altı çizili sözcüklerin anlamla-rını ifade ediniz.

i) Mutfaktakiküptenbirbardaksuistiyorum. ii) Boyutlarıbirbirineeşitolanprizmayaküpdenir. iii) Yaşamkent’tenbirdairealdım. iv) Yarıçapı4cmolandaireninalanınıbulunuz.

i) Eskidenmutfaklardasu,yağ,turşuv.skoymakiçinkullanılantoprakkap.

ii) Geometrikbirterimiii) Çokkatlıyapılarda(apartmanlarda)bulunanbağım-

sızbölümlerinherbiri.iv) Geometrikbirterim

2. “Düzlemde üç noktayı birleştiren doğru parçalarının bir-leşim kümesine üçgen denir” tanımı yanlış yapılmıştır. Doğrusunu ifade ediniz.

Doğrusal olmayan üç noktayı birleştiren doğru parçaları-nın birleşimine üçgen denir.

3. “Bir üçgende iki kenarın uzunluklarının kareleri toplamı, üçüncü kenarın uzunluğunun karesine eşit ise üçgen dik üçgendir.” teoreminin hipotez ve hükmünü belirtiniz.

Hipotez: Bir üçgende iki kenarın uzunluklarının kareleri toplamı, üçüncü kenarın uzunluğunun karesine eşittir.Hüküm: Üçgen dik üçgendir.

4. x ve y tek sayılar ise x + y toplamının çift sayı olduğunu ispatlayınız.

Hipotez :xveyteksayıdır.Hüküm :x+yçiftsayıdır.İspat :Doğrudanispatyöntemik, m ∈Zolmaküzerex=2k+1vey=2m+1olsun.x+y=2k+1+2m+1x+y=2k+2m+2x+y=2(k+m+1)

( )p p Z!1 2 3444 444

x+y=2pbulunur.Bunagörex+ytoplamıçiftsayıdır.

ÖRNEKTİR • M

UBA YAYINLARI

27

MU

BA

Yay

ınla

rı

1. ÜN

İTE / M

antık

6. DERS5. DERS

DERSİN TESTİ

1. Doğruluğu ispatlanmadan verilen ve doğruluğu kabul edilen önermeler aşağıdakilerden hangisi ile tanımla-nabilir?

A)Teorem B)Aksiyom C)Hipotez

D)Hüküm E)Problem

2. Aşağıdaki önermelerden hangisi bir teoremdir?

A) ABCüçgenininiçaçılarıtoplamı360°dir.

B) Düzlemdebirnoktadansonsuzçokluktadoğrugeçer.

C) (x=–2)⇒(2x=7)

D) (2+2=4)⇒(2–2=0)

E) (x=3)⇒(x2=6)

3. “xveyteksayılarisex.yçarpımıtektir.”

teoremininhükmüaşağıdakilerdenhangisidir?

A) x.yteksayıdır.

B) xteksayıdır.

C) xveyteksayılardır.

D) x.yçiftsayıdır.

E) yteksayıdır.

1. B 2. D 3. A


İspatYöntemleriUYGULAMA ALANI

OlmayanaErgiYöntemiBir teoremindoğrudan ispatıyerinekarşıt tersinin ispat-lanmasıyöntemineolmayanaergiyöntemiileispatdenir.Buyöntemekarşıttersyöntemidedenilir.

1. “x = 3 ise 2x + 5 = 11 dir.” teoremini olmayana ergi yönte-mi ile ispatlayınız.

“x 3p

=;

ise¡

x2 5 11q

+ =1 2 3444 444

dir.”

p ⇒ q nun karşıt tersi qı ⇒ pı dür.qı ⇒ pı : 2x + 5 ≠ 11 ⇒ x ≠ 3 tür. 2x + 5 ≠ 11 ⇒ 2x ≠ 6 x ≠ 3 olupp ⇒ q önermesi doğru önermedir.

ÇelişkiYöntemi• Bir teoremde hükmün olumsuzundan hareketle ge-

nel bir çelişki elde etme yöntemine çelişki yöntemi ile ispat denir.

• Bu ispat yönteminde (p ⇒ q)ı ≡ (pı ∨ q)ı ≡ p ∧ qı denkliğinden yararlanılır.

2. 2 sayısının irrasyonel olduğunu ispatlayınız.

Teorem: a ile b aralarında asal birer tam sayı olmak üzere

2 ≠ ba dir. Sembollerle, “

ba ∈ Q ⇒ 2 ≠

ba dir.”

Hipotez : a ile b aralarında asal olmak üzere ba ∈ Q dur.

Hüküm : 2 ≠ ba dir.

İspat : 2 = ba olsun.

( )ba2 22

2= ⇒ 2b2 = a2

a2 çifttir, a çifttir, a = 2k (k ∈ Z) olsun 2b2 = (2k)2 ⇒ b2 = 2k2

b2 çifttir, b çifttir. Hem a hem de b çift sayıdır. a ve b aralarında asal sayılar olduğu için bu bir çelişkidir. Öyleyse 2 ≠

ba dir.

Yani 2 kesir olarak yazılamadığı için irrasyonel bir sayıdır.

ÖRNEKTİR • M

UBA YAYINLARI

28

MU

BA

Yay

ınla

rı

1. Ü

NİT

E /

Man

tık

6. DERS6. DERS

DenemeYöntemi• Değişkenler için farklı değerler alıp, bu değerleri ayrı ayrı

verilen önermede yerine yazarak (deneyerek) önerme-nin doğruluğunu ispatlamaya deneme yöntemi ile is-pat denir. Daha çok eleman sayısı sonlu olan kümeler üzerinde tanımlanan önermelerin ispatında kullanılır.

3. A = {–1, 3, 5} kümesi üzerinde “Tek bir tam sayının karesi de tek bir tam sayıdır.” önermesini deneme yöntemi ile ispat ediniz.

Hipotez: x tek sayıdır.Hüküm: x2 tek sayıdır.(–1)2 = 1 tek sayıdır. (3)2 = 9 tek sayıdır. (5)2 = 25 tek sayıdır.Buna göre, verilen teorem doğrudur.

AksineÖrnekVererekİspat• Verilen önermenin doğru olmadığını gösteren en az bir

değer bulunarak bu önermenin yanlış olduğunu ispat-lamaya aksine örnek vererek ispat yöntemi denir.

4. “Her tam sayının karesi kendisinden büyüktür.” önerme-sinin yanlış olduğunu aksine örnek verme yöntemi ile ispatlayınız.

Hipotez: x bir tam sayıdır.

Hüküm: x2 > x olur.

1 tam sayıdır ama 12 = 1 olduğundan karesi kendisine eşittir. Buna göre, verilen önerme yanlıştır.

5. “Herx∈Riçin2xbirçifttamsayıdır.”önermesininyanlış-lığınıaksineörnekvermeyöntemiileispatlayınız.

Hipotez: x reel sayıdır.

Hüküm: 2x çift sayıdır.

x = 31 reel sayıdır. Ancak 2x = 2·

31

32=

Çift sayı değildir. Dolayısıyla önerme yanlıştır.

DERSİN TESTİ

1. “(x≠–1)⇒(3x+1≠–2)”teoremininolmayanaergiyöntemiyleispatınaaşağıdakilerdenhangisiilebaşla-nır?

A) (3x+1)=–2⇒(x=–1)

B) (3x+1≠–2)⇒(x=–1)

C) (x=–1) ⇒(3x+1≠2)

D) (x≠–1) ⇒(3x+1=–2)

E) (3x+1) ⇒(x≠–1)

2. x, gerçek sayı olmak üzere;

“(x≠2)⇒(3x+1≠7)” teoremininçelişkiliyöntemiyleispatınaaşağıdakiler-

denhangisiilebaşlanır?

A) (3x+1≠7)⇒(x≠2)

B) (4x+1≠–6)⇒(x=–2)

C) (3x+1=7)⇒(x≠2)

D) (x≠2)/ (3x+1=7)

E) (3x+1=7)0 (x≠2)

3. “İki çift sayının çarpımı, çifttir” teoreminin ispatının deneme yöntemiyle ispatında aşağıdakilerden hangi-si teoremi sağlayan uygun bir örneklem olur?

A) (x=2/y=4)⇒ (x.y=6)

B) (x=30y=4)⇒ (x.y=12)

C) (x=4/ y=6)⇒ (x.y=24)

D) (x=30 y=5)⇒ (x.y=15)

E) (x=2/ y=7)⇒ (x.y=14)

1. A 2. D 3. C

ÖRNEKTİR • M

UBA YAYINLARI

29

HAFTANIN ÖDEVİ

MU

BA

Yay

ınla

rı

1. ÜN

İTE / M

antık

1. [p∨(p&q)]∧qı

önermesininensadebiçiminibulunuz.

[p 0 (p & q)] / qı / [p 0 (pı 0 q)] / qı

/ [(p pI1

0\ ) 0 q] / qı

/ [1 0 q] / qı

/ 1 / qI / qı

(qı)

2. [pı ∧(p∨q)]&q

önermesinindoğruluktablosunuyapınız.

p q pı p ∨ q [(pI/ (p 0 q)] [pI / (p 0 q)] & q1 1 0 1 0 11 0 0 1 0 10 1 1 1 1 10 0 1 0 0 1

3. (pı /q)&(m0nı)/0

olduğunagöre;p,q,mvenönermelerinindoğrulukde-ğerlerinisırasıylayazınız.

(pI / q) & (m 0 nI) / 0 ise

pI / q / 1 m 0 nI / 0

pI / 1 q / 1 m / 0 nI / 0

p / 0 n / 1

p / m / 0 q / n / 1

(0,1,0,1)

4. (pı /qı)&(r&s)/0

olduğunagöre,(p&r)⇔(qı 0s)önermesinindoğrulukdeğerinibulunuz.

(pI / qI) & (r & s) / 0 ise pI / qI / 1 ve r & s / 0 dır.

pI / 1 qI / 1 r / 1 s / 0

p / 0 q / 0 r / 1 s / 0

(p & r) ⇔ (qI 0 s) / (0 & 1) ⇔ (0I 0 0) / (1) ⇔ (1) / 1

(1)

5. pı ⇒(r/q)

önermesininkarşıtıyanlışolduğunagöre,

(p/r)Q (q⇒r)

önermesinindoğrulukdeğerinibulunuz.

Karşıtı: (r / q) & pı / 0 ise r / q / 1 ve pı / 0 dir.

r / 1 q / 1 p / 1

(p / r) Q (q & r) / (1 / 1) Q (1 & 1) / 1 Q 1 / 0

(0)

6. “Her asal sayı çift sayıdır.” önermesinin yanlışlığını aksine örnek vererek ispatlayınız.

Hipotez: x asal sayıdır.

Hüküm: x çift sayıdır.

x = 3 asal sayıdır. Ancak x = 3 ≠ 2k (k ∈ Z) çift sayı de-ğildir. Buna göre önerme yanlıştır.

7. “x ≠ 3 ise 7x + 1 ≠ 22 dir.” önermesini karşıt ters yöntemi ile ispatlayınız.

Karşıt Tersi: 7x + 1 = 22 ise x = 3 tür.

7x + 1 = 22 ⇒ 7x = 21

x = 3

Buna göre önerme doğrudur.

ÖRNEKTİR • M

UBA YAYINLARI

30

HAFTANIN TESTİ

MU

BA

Yay

ınla

rı

1. Ü

NİT

E /

Man

tık2

1. p q 00 / olmaküzere,

I. p qQl

II. p qQ y

III. p q0y

yukarıdaki bileşik önermelerden hangilerinin doğru-lukdeğeri“1”dir?

A)YalnızI B)YalnızII C)IveII

D)IIveIII E)I,IIveIII

p q 00 / ise p 0/ ve q 0/ olup, 3 önermenin de doğ-

ruluk değeri 1’dir.

2. I. 0 1 1 1 1 0&/ / 0 /y

^ ^ ^h h h6 @

II. 0 1 1 1 0 0/ 0 / / /y y

^ ^ ^h h h6 @

III. 0 1 1 1 1 0/ 0 0 / /y y

^ ^ ^h h h6 @

IV. 1 0 0 1&Q /y y

^ ^h h

V. 1 0 0 0 1 0&Q / / Qy y

^ ^ ^h h h6 @

Yukarıdakibileşikönermelerdenkaçtanesinindoğru-lukdeğeri“1”dir?

A)1 B)2 C)3 D)4 E)5

Sadece II. önermenin doğruluk değeri “0” diğerleri “1” dir.

3. ( )p q q& /y

önermesiaşağıdakilerdenhangisinedenktir?

A)1 B)0 C) q/p D)p E)q

p q q p q q p 0 00 / / / // / /y y y^ ^h h

4. p q& y y^ h önermesinin en sade şekli aşağıdakilerden hangisidir?

A)p q/ B)p qQ y C)p q0

D)p q&y E)p q/y y

p q p q p q& 0 // /y y y y y^ ^h h

5. p:Yağmuryağıyor.

q:Otomobilinsilecekleriçalışmıyor. r:Otomobilkullanıyorum. Yukarıda verilen p, q ve r önermelerine göre “Yağmur

yağıyor ve otomobilimin silecekleri çalışırsa otomobilimikullanabilirim.”

Şeklinde verilen bir önermenin sembolik mantık ilegösterimiaşağıdakilerdenhangisidir?

A) p q r&/^ h B) p q r&/ y^ h C) r&p q0^ h

D) p q r&/y^ h E) p q r&/ y y^ h

p q r&/ l^ h

6. I. p q q0 / y^ h /0 II. q q1 & Qy^ h /1 III. q0 0 &0 y

^ h /0 Yukarıdakiifadelerdenhangisidaimadoğrudur?


D)IveII E)IIveIII

II. ve III. bileşik önermeler daima doğrudur.

7. p q p q0 p qQ p q& p q+1 1 c1 0 a0 1 b0 0 d

Yukarıdaverilentablodaa,b,cvedharflerininyerinegelmesigerekendoğrulukdeğerlerisırasıylaaşağıda-kilerdenhangisidir?

A)1,1,1,1 B)1,0,1,1 C)0,1,1,1

D)0,1,1,0 E)1,1,1,0

a

b

c

d

1 0 1

0 1 1

1 1 1

0 0 1

&

+

0

Q

/

/

/

/

=

=

=

=

ÖRNEKTİR • M

UBA YAYINLARI

31

HAFTANIN TESTİ

MU

BA

Yay

ınla

rı

1. ÜN

İTE / M

antık2

8. p: ( )1 7 63- + =

q: ( ) ( )x x x4 2 22 $- = - +

önermeleriveriliyor. Aşağıdakibileşikönermelerdenhangisinindoğruluk

değeriyanlıştır?A)p q0 B)p q& C)p q/ y

D)p q+ E) p q p&/^ h

p q 1/ / olup p q 1 0 0/ // /y

9. “Zeynep sinemaya giderse ders çalışamaz.” bileşik önermesinin karşıt tersi aşağıdakilerden hangisidir?

A)Zeynepsinemayagitmezsedersçalışabilir.B)Zeynepdersçalışırsasinemayagidemez.C)Zeynepdersçalışamazsasinemayagider.D)Zeynepdersçalışırsasinemayagider.E)Zeynepsinemayagidersedersçalışır.

p q& nun karşıt tersi q p&y y

10. Aşağıdakilerden hangisi bir çift gerektirmedir?

A)p q/ B)p q& C)p q0

D)p q+ E)p q&y y

q q 1+ / olduğundan çift gerektirmedir.

11. p q p& &^ h önermesinin en sade hâli aşağıdakilerden

hangisidir?

A)0 B)p q1 0 C)p q10

D)p p q1 0 /^ h E)1

p q p p q p

q1 1

& & 0 0

0

/

/ /

l l

l

^ ^h h

12. , ,R x R x0 1 5< 2&d d7 6 H+x x^ ^h h

önermesininolumsuzuaşağıdakilerdenhangisidir?

A) , ,R x R x0 1 5<2d 0 d6 7H +x x^ ^h h

B) , ,R x R x0 1 5< <2d / d7 7 +x x^ ^h h

C) , ,R x R x0 1 5<2d 0 d7 6G +x x^ ^h h

D) , ,R x R x0 1 5<2d / d6 7= +x x^ ^h h

E) , ,R x R x0 1 52d 0 d7 6G H+x x^ ^h h

p q p q p q& 0 // /y y y y^ ^h h olduğundan

, ,x R x x R x0 1 5< 2&7 6! ! $+^ ^h h önermesinin

olumsuzu

, ,x R x x R x0 1 5< <2/7 7! ! +^ ^h h

13.p⇒ qteoreminindoğruluğunugöstermekiçinönermenindeğilininyanlışolduğunugöstermeyedayananispatyön-temine_________yöntemiyleispatdenir.

ifadesindeboşbırakılanyereaşağıdakilerdenhangisigelmelidir?

A) DoğrudanispatB) DenemeC) ÇelişkiD) OlmayanaergiE) Dolaylıispat

14. p: “Bazı tam sayılar pozitiftir.” önermesinin sembolik mantık diliyle gösterimi aşağıdakilerden hangisidir?

A) : " , "p N n 0d7 Gn

B) : " , "p Z n 0>d6n

C) : " , "p Z n 0d7 Hn

D) : " , "p R n 0>d7n

E) : " , "p Z n 0>d7n

n tam sayı olmak üzere ifade " , "n Z n 0>d7 ile göste-rilir.

ÖRNEKTİR • M

UBA YAYINLARI

Documents

1407-KET-SERISI-9-MATEMATIK-DEFTER-KITAP...8 1. ATA 1. DERS 1. DERS N 0-”MSD. N ÖĞRENME ALANI 9.1.1.1 Önermeler • Doğru ya da yanlış kesin bir hüküm bildiren ifadelere