ALGEBRAAXIOMA DE LOS NMEROS REALESAXIOMAS DE LA ADICINAXIOMAS DE LAMULTIPLICACINAXIOMAS DE LEYDISTRIBUTIVA RESPECTOA LA ADICINAXIOMAS DE ORDENAXIOMAS DE NUMEROS REALESTEORIA DE EXPONENTESECUACIONES DE PRIMER GRADO ECUACIONESEXPONENCIALES

El sistema de los nmeros reales es unconjunto no vaco denotado porcondos operaciones internas llamadas:1) Adicin (+) : (a,b) = a+b2) Multiplicacin (.) : (a,b) = a.by una relacin de orden 0 b > 03 2 =2n2n) 3 2 ( ) 3 2 ( = +n3 4 =n1 = = 1Rpta.

03. Calcular: R = ( 1 2 )5

olucin:Expresando convenientemente, setendra:R = [( 2 1)2]2( 2 1)Operando por partes:[( 2 1)2]2= (2 2 2 +1)2= (32 2 )2= 9 12 2 + 8= 17 12 2ConR =R =R =

lo cual, se tendra:(17 12 2 ) ( 2 1)17 2 17 24 + 12 229 2 41 Rpta.

04. i: x x1= 6Calcular x3+ x3

olucinElevando la condicin al cubo, seobtiene:(x + x1)3= ( 6 )3x3+ x3+ 3x . x1(x + x1) = 6 6Dado que: x + x1= 6x

3+ x3+ 3 6 = 6 6 x3+ x3= 3 6Rpta.EJERCICIO(a +b) (a b) = a2 b2abn=n nb a3.3www.Matematica1.com

.

V. Multiplicacin de binomios conun trmino en comn.*) (x +a ) (x + b) = x2+ (a +b) x + ab**) (x + a) (x + b) (x + c) = x3+ (a + b+ c) x2+ (ab + ac + bc) x + abc

VI. Cuadrado del trinomio(a + b + c)2= a2+ b2+ c2+ 2ab ++ 2ac + 2bcVII. Cubo del trinomioForma 1:(a + b + c)3= a3+ b3+ c3++ 3 (a + b) (a + c) (b + c)Forma 2:(a + b + c)3= a3+ b3+ c3++ 3a2b + 3a2c + 3b2a + 3 b2c ++ 3c2a + 3c2b + 6 abc

01. implificar = (a + b + c)2+ (a + b c)2++ (a b + c)2

+ ( a + b + c)2

olucinDesarrollando cada trmino, se tendra: = a2+ b2+ c2+ 2ab + 2ac + 2bca2+ b2+ c2+ 2ab 2ac 2bca2+ b2+ c2 2ab + 2ac 2bca2+ b2+ c2 2ab 2ac + 2bc = 4a2+ 4b2+ 4c2Factorizando 4: S = 4(a2+ b2+c2) Rta02. Simlificar:S = (a + b + c)3- (a + b - c)3- (a-b+ c)3- (-a + b + c)

3Solucin:Haciendo el cambio a + b = xde variables:a - b = yse tendra en S.S = (x + c)3 (x c)3(c + y)3 (c-y)3Desarrollando cada trminoS = x3+ 3x2c + 3xc2+ c3-x3+ 3x2c 3xc2+ c3-c3- 3c2y 3cy2- y3-c3+ 3c2y2 3cy2+ y3---------------------------------S =6x2c - 6c2

y2S = 6 c [ x2 y2]Volviendo a las variables originales:S = 6c [ (a + b)2 (a b)2]S = 6c [ a2+2ab + b2a2+ 2ab b2]S = 6c [4ab] S = 24 abcRta.03. Sabiendo que:F = 196 2) (x 1) - (x 6) (x 5) - (xHallar : G = 25 16, F +Solucin:Observemos que:F = 196 2) (x 1) - (x 6) (x 5) - (xSe transforma en:F = 196 2) - x (x 30) - x (x2 2+ + +Haciendo : x2+ x = aF = 196 ) 2 a ( ) 30 a ( + F = 256 a 32 a2+Como la cantidad subradical es uncuadrado perfecto.F =2) 16 a ( F = a 16 :F = x2+ x 16Reemplazando en G:G = 25 16, 16 x x2+ +G =41

+ + +

+ + +

x + +2xGRUPO: IIEJERCICIO3.43.5www.Matematica1.com

iendo la cantidad subradical, uncuadrado perfectoG =2)21(x + G = x +21 lo que es lo mismoG =21 x 2 +Rpta.

IDENTIDADEon expresiones algebraicas que nospermite efectuar operaciones porsimple inspeccin, entre las de mayorimportancia, tenemos:VIII. Identidades de Legendre1) (a+b)2+ (a b)

2= 2 (a2+ b2)2) (a+b)2 (a b)2= 4 abIX. Identidades de Lagrange1) (ax + by)2+ (ay bx)2= (a2+ b2)(x2+ y2)2) (ax + by + cz)2+ (ay bx)2++ (az cx)2+ (bz cy)2=(a2+b2+ c2)(x2+ y2+z2)X. Identidades de Gauss:1) (a + b + c) (a2+ b2+ c2abacbc) == a

3+ b3+ c3 3abc2)21(a + b + c) [(ab)2+ (ac)2++ (bc)2] = a3+ b3+ c3 3abcXI. Identidades de Argand1) (x2+ xy +y2) (x2 xy + y2) == x4+ x2y2+ y42) (x2+ x + 1 ) (x2 x + 1)= x4+ x2+ 1

A)

i : a + b + c = 0; se verifica que:

1.) a2+ b2+ c2= 2 (ab + ac + bc)2.) a2b2+ a2c2+ b2c2= (ab+ ac + bc)23.) a3+ b3+ c3= 3abc4.)|||

|+ +22 2 2c b a|||

|+ +33c=55c

3 3b a5 5b a

+ +

5.)|||

|+ +22 2 2c b a|||

|+ +55c=77c

5 5b a7 7b a

+ +

B) i: a2+ b2+ c2= ab + ac + b a = b = cC) Si :y x4y1x1+= + x = y

01.axxa99

Sabiendo que; 7 = +

Calcular:4949axxa+SolucinSea E :4949axxa+Elevando el cuadrado, se obtiene:E2= 2xa9+4949axxa +ax9E2-2 =axxa99+Nuevamente elevando el cuadradoobtenemos:(E22 )2

=axxa99+ + 2GRUPO: IIIIGUALDADES CONDICIONALESEJERCICIOS3.63.73.8www.Matematica1.com

Reemplazando el valor de la condicin:E2 2 = 3 2 7 = +De donde:E2= 502.- Si:y x4y1x1+= +Calcular:R =y

E = 5

Rpta.

x+y x 2y x2 2

olucinOperando en la condicin:y x y xy x+=+ 4Por proporciones:(x + y)2= 4xyDesarrollando y simplificando, vemosque:x2+ 2 x y + y2= 4x yx2 2xy + y2= 0(x y)2= 0 x = yReemplazando x or y en R; seobtiene:R = 1 - 1y 2y y22 2= +yy

R

= 0

Rpta.

on aquellas ecuaciones que puedenreducirse a la forma:(a 0)

donde:ax2= Trmino cuadrticobx = Trmino Linealc = Trmino indeendientea, b y c son los coeficientes resectivosde sus trminos.

I. Por factorizacin.- Si el discriminantede la ecuacin:( = b2 4 ac) es un cuadradoerfecto, es decir: {0, 1, 4, 9, 16, 25, ........}Para su solucin aplicamos aspa simpleEjemplo: Resolver10 x2+ 11 x 6 = 0SolucinPara esta ecuacin: a = 10, b=11 y c = -6;el discriminante es: = (11)2 4 (10) (-6) = 361como, 361 es un cuadrado erfecto laecuacin se uede factorizar.10 x2+ 11 x 6 = 02 x5x

3-2

15 x

x 11x 4 Con lo cual:(2x + 3) (5 x 2) = 0Recordemos que:

i: a. b = 0 a = 0en nuestro caso : x =23 x =52

b = 0

II. Por frmula. e aplica la frmulacuando la factorizacin no esinmediataDeduccin:ea la ecuacin:ax2+ bx + c 0ECUACIN DE SEGUNDO GRADOEN UNA VARIABLEa x2+ b x + c = 0RESOLUCIN DE LA ECUACINDE SEGUNDO GRADO3.93.10www.Matematica1.com

dividiendo entre ax2+ 0acxab= +adicionando :22||

\| x de e Coeficienta los dos miembros de la igualdad:22222224abac4abx4abx = + + +dadoque los tres rimeros trminosforman un trinomio cuadrado erfecto,se tendra:ac4ab22 = ||

|+2a 2bxextrayendo raz cuadradaa 2c 4a b2abx2 = +x =a 2ac 4 b b 2Las dos soluciones o races son:

x1=a 2ac 4 b b 2x2=a 2ac 4 b b 2+De otro lado, siendo: = b2 4 acx1=a 2- b -

x2=a 2b

+

Ejemplo: Resolver : x2 x 1 = 0Solucina = 1; b = -1: c = -1En este caso: = (1)2 4(1) (-1) = 5Con lo cual:25 1x1= ;25 1x2+=

En la ecuacin de segundo grado:ax2+ bx + c = 0(a 0); se cumpleque:x1=a 2 b

x

2=a 2b

+

Las races de la ecuacin de segundogrado, depende de la cantidadsubradical. = b2 4 a c ( Discriminante)De acuerdo a esto:1.- Si: = b2 4 a c > 0; las dosraces son reales y diferentes.2.- Si: = b2 4 a c = 0; las dosraces son reales e iguales.3.- Si: = b2 4 a c < 0; las dosraces son nmeros comlejos yconjugados.Ejemlo: Hallar los valores de ken la ecuacin:(k + 1) x2 (5 k 3) x + 9 = 0Sabiendo que sus races son igualesSolucinDesde que las racesson igualesentonces: = b2 4ac = 0, es decir:[-(5 k 3)]2 4 (k + 1) (9) = 0desarrollando, obtenemos la ecuacin:25 k2

66 k 27 = 025 k9 9kk

-3

k 66k 75NATURALEZA DE LA RACE DELA ECUACIN DE EGUNDOGRADO3.11www.Matematica1.com

de donde:k = 3(25 k + 9) (k3) = 0 k =259

iendo la ecuacin del egundo grado:ax2+ b x + c = 0 ;a 0Sus races son:x1=a 2ac 4 b b x;

22+ += a 2ac 4 b b2de donde se cumple:1) uma de las races:x1+ x2=ab2) Producto de las races:x1+ x2=ac3) Diferencia de las races:x1+ x2=;a(x, > x2)Ejemplo: Qu relacin guardan loscoeficientes de la ecuacin:ax2+ bx + c = 0; a 0Si una de sus races es el triple dela otra?.SolucinDe acuerdo a los datos, se tiene:x1+ x2a

=

b........ (1)x1x2=ac........ (2)x1=2

3x........ (3)

reemplazando, (3) en (1):3x2+ x2= ab x2= a 4bAsimismo:1= a 4b 3

x

Reemplazando en (2), tendramos:c a 16 3bac2

|

= = |

\| ||

| a 4

ba 4b 3

I. Conociendo : x1 y x2, races dela ecuacin de segundo grado, secumle que:(x x1) (x x2) = 0llevando a la forma cannica, setendra la frmula:

II. Conociendo la suma de las races :S = x1+ x2y el roducto de ellasmismas P = x1. x2, la frmula autilizar es:Ejemlo: Formar una ecuacin desegundo grado de coeficientesreales, si una de sus races es:2 + 6 .SolucinComo las races irracionales seresentan or ares conjugados,entonces:x1= 2 + 6 x2= 2 - 6con lo cual:i) x1

+ x2= 2 + 6 + 2 - 6 = 4ii) x1+ x2= (2+ 6 ) (2- 6 ) = 4-6=-2PROPIEDADES DE LASRACES DE LA ECUACINDE SEGUNDO GRADOFORMACIN DE UNA ECUACINDE SEGUNDO GRADOCONOCIENDO SUS RACESx2 (x1+ x2) x + x1x2= 0x2 Sx + P = 03.123.13www.Matematica1.com

Reemlazando en la frmula,obtenemos la ecuacin:x2 4x 2 = 0 (Rta.)

Ejemlo: Formar una ecuacin desegundo grado de coeficientes reales, siuna de sus races es:3 + 2i; i = 1 tal que: i2=1i es la unidad imaginaria.SolucinSiendo: x1= 3 + 2i x2= 3 2isea que las races complejaspresentan por pares conjugados setiene que:i) x1+ x2= 3 + 2i + 3 2i = 6ii) x1x2= (3+2i) (3 2i) = 9 4i2= 13reemplazando en la frmula, seobtiene:x2 6x + 13 = 0 Rpta.

Las ecuaciones:ax2+ bx + c = 0; (a 0) . (1)dx2+ ex + f = 0; (d 0) . (2)Tienen las mismas races, si:fcda= =ebEjm: Calcular a y b en las

ecuaciones:(a - 3)x2 (a - 4) x + 3 = 0; . (1)(b +1)x2 (2b-4) x + 6 = 0; . (2)Sabiendo que tienen las mismas races:Solucina que las races son las mismas, secumple que:21634 2b4 a1 b3 a= ==+de donde obtenemos, el sistema:2a b = 7 ........ () b = 2 ........ ()resolviendo () y (), obtenemos:

= 5

b = 3

Ls ecuciones:x2+ bx + c = 0 .. (1)dx2+ ex + f = 0 ....... (2)tienen un rz comn; se elimin x2y se obtiene la raz comn; es decir:adx2+ bdx + cd = 0 ()

dx

2

+ ex + f = 0 ()

restndo () (); se obtiene:x (bd e) + (cd f) = 0x =e d bd c f

01. En l ecucin de segundo grdo:x2+ bx + c = 0 ; 0Las races son numricamenteiguales y de signo contrario.Si :b = 002. En la ecuacin de segundo grado:ax2+ bx + c = 0; a 0Las races, son recrocas.Si :

a=c

ECUACIONES DE SEGUNDOGRADO QUE TIENEN LASMISMAS RACESECUACIONES DE SEGUNDO GRADOQUE TIENEN UNA RAZ COMNOBSERVACIONES3.143.15www.Matematica1.com

Es la oeracin inversa a lamultilicacin que tiene or objetohallar una exresin algebraica llamadocociente; obtenida de otras dosexresiones algebraicas llamadasdividendo y divisor, de tal forma que elvalor numrico del cociente sea igual alcociente de los valores numricos deldividendo y divisor, ara cualquiersistema de valores atribuidos a susletras.

Dividendo.............. : DDivisor.............. : dCociente............. : QResto o residuo ............. : RA) Cociente exacto (R 0).- El restode la divisin es un polinomioidnticamente nulo.D = d Q

dD= QB) Cociente inexacto (R 0).Elresto de la divisin es un polinomio nonulo.D = d Q + RdD= Q +dR

1. En toda divisin algeraica elgrado del cociente es igual algrado del dividendo menos elgrado del divisor.

Q = D - d2. En toda divisin algeraica elgrado del residuo mximo es unaunidad menos que el grado deldivisor.Rmax= d - 13. En toda divisin algeraica eltrmino independiente deldividendo es igual al producto delos trminos independientes deldivisor por el cociente ms eltermino independiente delresiduo.T.ID= T.Idx T.IQ+ T.IR4. Cuando se dividen polinomioshomogneos, el cociente yresiduo, tamin son homogneos,pero el grado asoluto delresiduo es igual al grado asolutodel dividendo.G.A. (R) = G.A. (D)

I.- Para el caso de dos monomiosi) Se dividen los signos de acuerdo ala regla de los signos++= ++= = ++= ii) e dividen los coeficientesiii) e dividen las letras aplicando las

leyes de exponentesDIVIIN ALGEBRAICAELEMENTO DE UNA DIVIINPROPIEDADE GENERALE DELA DIVIIN ALGEBRAICACAO DE LA DIVIIN4.1 4.24.3DIVIION ALGEBRAICATEOREMA DEL RETOwww.Matematica1.com

a)n mnmaaa= b)mmmbaba|||

|=II. Para el caso de dos polinomiosPodemos utilizar cualquiera de los

siguientes mtodos:a) Mtodo general o normalb) Mtodo de los coeficientesindeterminados.c) Mtodo de Hornerd) Regla de Ruffini. En la divisin de dospolinomiosestos deben ser completosy ordenados en forma descendente, conrespecto a una letra llamadaordenatriz; si faltase alguna variable,ya sea en el dividendo o en el divisor,se completarn con ceros.

Este mtodo es aplicable parapolinomios completos y ordenados enforma descendente, con respecto a unade sus letras, llamada ordenatriz.tenemos:EQUEMA DE HORNER

As

d D I V I D E N D OivisoRCOCIENTE RETOEjemplo. Efectuar por Horner:2722+

x 3 x 4x 8 x 20 x 17 x 123 4 +

olucinObservemos que:Q= D d = 4 2 = 2Rmax= d 1 = 2 1 = 1Como los polinomios son completos yordenados; de acuerdo al esquema deHorner se disponen los trminos de lasiguiente forma:432

12

17

+ 20

8 + 7

A continuacin aplicamos los siguientespasos:

1. e divide el primer trmino deldividendo entre el primer trmino deldivisor, obteniendo el primer trminodel cociente.2. El primer trmino del cocientemultiplica a los trminos con signocambiado del divisor y el producto seescribe en la segunda fila debajo delos trminos de dividendo corriendoun lugar a la derecha.3. e reduce la siguiente columna y elresultado se divide entre el primertrmino del divisor obteniendo elsegundo trmino del cociente el cualmultiplica a los trminos cambiadosdel divisor. El producto resultante seescribe en la tercera fila, debajo delos trminos del dividendo corriendoun lugar a la derecha.4. e continua este procedimiento hastaobtener un trmino debajo del ltimotrmino del dividendo.5. Los coeficientes del resto o residuo,se obtienen directamente de cadauna de las columnas que lepertenecen.Respecto al ejemplo dado, tendramos:12208 43

129

17+

+6

15 + 1023

2x

+

8 +

20

5

63

4

+ 17

2xT.I.ObservacinDIVIIN POR HORNER#t = dCon signocambiado(#t)El 1 con propiosigno4.4www.Matemati

x

7

T.I.

ca1.com

de donde:Q (x) = 3x2 2x + 5 (cociente)R (x) = 3 x + 17(Resto)Ejemplo: Efectuar por Horner2 24 3 2 2 3 4b 7 ab 5 a 4b 20 ab 30 b a 51 b a 23 a 12+ + +

olucinDe acuerdo a las propiedadesobservamos (respecto a la letra a)Q = D Rmax= d - 1 =Adems:G.A.Por Horner,12 45

d = 4 2 = 22 1 = 1(D) = G.A. (R) = 4se tendra:

-8

20

12 - 23 +15- 21

51

25 -73- 2+Por consiguiente:Q (a , b) = 3a2 2ab + 5b2R (a , b) = 9ab3 15 b4

- 30 + 20- 10

+ 14

9

- 15

355

En la solucin de estos roblemasdebemos tener en cuenta las siguientesreglas:Regla N 1.- Dos olinomios sondivisibles, o uno de ellos es mltilo deotro, o nos dicen que la divisin entreellos es exacta; cuando el resto oresiduo de la divisin es un olinomionulo.Regla N 2.Si en una divisin nosdan como dato el resto, entonces elresto obtenido or Horner yel restoque es dato son olinomios idnticos.Regla N 3.- En toda divisin exactalos coeficientes del dividendo y deldivisor se ueden escribir en sentidocontrario y al efectuar la divisin estasigue siendo exacta.Ejemlo 1.- Calcular a y b en ladivisin exacta:2 x xb ax x x 223 4 +

olucin:Por Horner tendramos:215 1

212

1

+2

0+

+4

a

1+ 25 + 10

2+ 1+ 50 + 0Aqu vemos que:i) a + 2 + 5 = 0 a = -7Rpta.ii) b + 10 = 0b = 10Rpta.Ejemplo 2.- Calcular a y b en ladivisin:1 x xb ax x 2 x x 322 3 4+ +

abiendo que su resto es 4 x 3olucin:Aplicando el mtodo de Horner:321

b

11

3

13

+

23

2

1

1

3+ 2+ 1De las columnas del restoCLCULO DE COEFICIENTEEN EL DIVIDENDO O EN ELDIVIOR4.5www.Matematica1.com

1

4

a

b2

3

Vemos que:Rpta.i) a 2 + 1 = 4 a = -5ii) b 1 = -3b = 2

Rpta.

Ejemplo 3.- Calcular a y b en ladivisin exacta (Horner inverso)1222

x xx x bx ax3 4

olucin:Escribiendo los coeficientes en sentidocontrario, se tendra el siguienteesquema de Horner:2 111

4

1

2

12

124

1

b ++ 1 4

a

2

1

+

4

De donde:i) b + 1 + 4 = 0 b = 5ii) a 4 = 0

0

+ 0

Rpta.a = 4

Rpta.

Este mtodo es aplicableparadivisores, binomios o transformables abinomios; es un caso particular de ladivisin por Horner. Se presentan doscasos:I.- Primer caso : P(x) x bDividendo : P(x)Divisor : x bEsquema de Ruffini:

El primer elemento del dividendo sebaja y corresponde al primer elementodel cociente, se procede como en ladivisin por Horner y el resultado dereducir la ltima columna es el resto dela divisin.Ejemplo # 1 : Efectuar:2 x2 x 3 x x 22 4+ +

olucinDel esquema de Ruffini, tendramos:2 + 0 1 + 3

4 + 8 14 + 222 4

+ 7 11

Con lo cual:Q(x) = 2x3 4x2+ 7x 11 (cociente)

2

Rpta.R(x) = 20 (Resto)Ejm. # 2 : Hallar k en la divisin:2 x ++ + + k x kx 2x - x2 3 4Sabiendo que es exacta.SolucinComo la divisin es exacta, el resto es unolinomio nulo, es decir:DIVISIN POR RUFFINICOCIENTE RESTOP (x)x = bDivisor = 0x b = 0+20x = -2x + 2 = 0x3x2xT.I.4.6www.Matematica1.com

X +2 = 0X = -2

1 2

+ k

- 2 + 8 - 2k-161 - 4 +(k+8) +(-2k-15)

+1

+k4k +300

Observemos que:K + 4 k + 30 = 0

II.- Segundo caso :

Rta.

k = -6

P(x) ax b

Dividendo : P (x)Divisor : a x bEsquema de RuffiniP(x)

En este caso :Q (x) = COCIENTEaR (x) = RestoEjemlo # 1: Efectuar:2 x6 x 11 4x - x 152 3++ +5Solucin:Por Ruffini, se tendra:5X +2 = 0 15X =-2/515

- 4- 6-10

+ 11

+

++

415

6- 60

5Q (x) = 3x2 2x + 3R (x) = 0Ejemlo 2: Determinar k en ladivisin:1 2x2k 5x - 4x x 10x2 3 4++ + +sabiendo que el resto es: 3k 2SolucinAlicando Ruffini, tendramos:2X +1 = 0 10

+ 1

+ 4 5 + 2k

X =-1/210- 4De la condicin:2k + 4 = 3 k 2

-5+ 2 - 3 + 4+ 6 - 8 3 k - 2k = 6

01. Efectuar:3 x7 x 5 x 2 x 344 12 16+ +

olucin:Haciendo la transformacin: x4= yTendramos:3 y ++ 7 y 5 y 2 y 33 4Por Ruffini:3 2 + 0 + 5

9 + 33 99 + 2823 11 + 33 94Obtenemos:Q (y)3 112+ 33R (y)

= 3yyy 94= 275

Como : y = x4; en funcin de xQ (x) = 3x12 11 x8+ 33 x4 94R (x) = 275Restox = a

7

Rta.

bax b = 0C O C I E N T Ea+275Y = -3Y + 3 = 0y3y2yT.I.CASOS ESPECIALES 4.7www.Matematica1.com

Este teorema es imortante or quenos ermite encontrar el resto de ladivisin, sin efectuarla.Enunciado.El resto de dividir unolinomio racional P(x) entre un divisorbinomio de la forma (a x b) ocualquier otro divisor transformable abinomio; se obtiene al calcular el valornumrico de P ( ab)DEMOSTRACIN DE TEOREMA:En concordancia con los elementos dela divisin, tenemos:Dividendo : P(x)Divisor : a x bCociente : Q (x)Resto : R (x) (incgnita)

De la identidad fundamental:D d Q + RSe tiene:P (x) = (a x ) Q (x) + R (x)Evaluando P(x) para X = aSe otiene:P ( a) = [a ( a) ] Q ( a) + R(x)P ( a) = [ aa] Q ( a) + R (x)Como vemos aa= 0; con lo cual:Resto = R (x) = P ( a) L.q.q.d.

Primer Caso: ax) x ( PReglas para determinar el Resto:1 .- Divisor igual a cero : a x = 02 .- Hallamos el valor de x: x = a3 .-

Reemplazamos el valor de x en

el olinomio dividendo y el valorobtenido es el resto de la divisinEjemlo # 1:Hallar el resto de la divisin:164++

xx 7 x 5 x 3 x 25 9 +

olucinAplicando las reglas tendramos:1. Divisor = 0 x + 1 = 02. Clculo de x x = 13. Reemplazando en el dividendo;x = 1, obtenemos:Resto = 2(1)9 3(1)5+ 5(1)4 7(1) + 6teniendo en cuenta que :()Par= +()Impar= Resto = 2 + 3 + 5 + 7 + 6Resto = 19

Rpta.

Ejemplo # 2. Determine el valor dek en la divisin exacta.2 x ++ k 6 x - x 2) - k (3 - x 22 3SolucinComo la divisin es exacta, el resto, esigual a cero y de acuerdo a las reglasdel teorema del resto tendramos:1.- Divisor = 0 x + 2 = 02.- Clculo de x x = -23.- Resto = 02 (-2)3 (3k 2) (-2)2 (-2) + 6k = 0-16 12 k + 8 + 2 + 6k = 0-6 k = 6 k = 1egundo caso:

Rpta.

b ax) x ( Pn; (n 2)Reglas para determinar el resto:1. Divisor = 0 axn b = 02. Clculo de xn xn=ab3. Reemplazamos el valor de xnen elpolinomio dividendo y el valor obtenidoes el resto de la divisin:TEOREMA DEL RETOCAO QUE E PREENTAN4.84.9www.Matematica1.com

Ejemplo # 1:Hallar el resto de la divisin:2222+

xx 3 x 5 x 2 x3 5+ +

olucin:

Expresando el dividendo en funcin dex2 se tendra:2 x2 x 3 ) x ( 5 x ) x ( 2 x ) x (22 2 2 2+ + +Aplicando las reglas:1. x2+ 2 = 0 x2= 22. Por consiguiente:R(x) = (2)2x + 2 (2) x 5 (2) + 3 x 2R (x) = 4 x 4 x + 10 + 3 x 2

R (x) = 3 x + 8

Rpta.

Ejemplo # 2:i el resto de la divisin:1 x5 bx x 3 ax22 5 7+ + +es:

x 6.

Hallar (a + b)

olucinExpresando el dividendo en funcin dex2, se tendra:1 x5 ) x ( b x ) x ( 3 x ) x ( a22 2 2 2+ + +Del teorema del resto:1. x2+ 1 = 0x2= 12. R(x) = a (1)3x + 3 (1)2x + b (1) 5R (x) = (a + 3) x b 5

Como: R(x) x - 6Se cumple que:(-a + 3) x 5 x 6Comparando los coeficientes:i) -a + 3 = 1 a = 2ii) 5 = - 6 = 1 a + = 3 Rpta.Ejemplo # 3:Hallar el resto de la divisin:1 x x3 x x 225 23+ ++

oluciniendo el divisor un trinomio hay quetransformarlo a binomio, mediante laidentidad(x2+ x + 1) ( x 1) = x3 1Con la cual, se tendra :))25

1 x ( ) 1 x x (1 x ( ) 3 x x 2 (

1335

xx 3 x x x 2 x 2

23+ ++

6 23 24+ +

Expresando el dividendo en funcin de x3:1 x3 x 3 x ) x ( ) x ( x ) x ( 2 ) x ( 232 3 2 3 2 7 3 8 3 + + Recordemos que: si al dividendo y aldivisor se multiplican por una mismacantidad, el cociente no se altera pero elresto queda afectado por la cantidad

que se est multiplicando; enconsecuencia:Por el Teorema del resto:1. x3 1 = 0 x3= 12. Con lo cual:(x 1) R(x) = 2(1)8 2(1)7x2 (1)2++ (1) x2+ 3x 3(x 1) R (x) = x2+ 3 x 2x2+ 3 x 2R (x) = x 1Por la regla de Ruffini:

1

x = 11

+ 3

1+ 2

+ 20

2

Obtenemos:Resto:

www.Matematica1.

R(x) = x + 2

Rpta

com

on cocientes cuya forma general es:b ab an n; n z+El desarrollo de estos cocientes sepueden efectuar directamente sin aplicarlos criterios generales de la divisinalgebraicaTodo cociente notable debe satisfacer lossiguientes principios:1 El resto de la divisin debe serigual a cero.2 Las bases deben ser iguales3 Los exponentes deben ser iguales.Nota. CoNo= Cociente Notable

b ab an nn : Puede ser par o impar; siempre serConoya que su resto es cero. Eldesarrollo obtenido por la regla deRuffini es:1 n 2 n 1 nn nb . .......... b a ab ab a+ + + =Ejemplo:

bb a4 4= a3+ a2b + ab2+ b3

a

egundo caso:bab an n++n : En este caso debe ser imparnecesariamente; para que el resto seacero y el cociente sea notable.

El desarrollo obtenido por la regla deRuffini es:1nbbb

n 2 n 1 nn, . .......... b aaa+ + =

++,Ejemplo:b ab a5 5++= a4 a3b + a2b2 ab3

a

+ b4Tercer caso:bab an n+n : Para este caso debe ser un nmeropar necesariamente, lo cual nos da unresto cero y por consiguiente el cocientees notable.El desarrollo obtenido por la regla deRuffini es:1nbbb

na+

n 2 n 1 n, ......... b a

a

a + =

+,Ejemplo:bb a4 4+= a3 a2b + ab2 b3

a

Cuarto caso:b ab an n+n : Ya sea par o impar, el resto no sercero, por consiguiente este tipo decociente nunca ser cociente notable.

Respecto al CoNocuya forma general es:b

a

b an n

COCIENTE NOTABLECAO QUE E PREENTANPROPIEDADE GENERALE DELO COCIENTE NOTABLEPrimer caso:COCIENTE NOTABLEFACTORIZACIONwww.Matematica1.com

e satisfacen las siguientes propiedades:1 El resto de la divisin debe serigual a cero.2 El nmero de trminos que tieneen su desarrollo es igual alexponente del dividendo delcociente notable.3 El desarrollo de un CoNoes unpolinomio homogneo cuyo gradoes igual al exponente deldividendo del CoNomenos uno.4 En el desarrollo de un CoN

olosexponentes de la primera ysegunda base varan consecutivamente en forma descendente yascendente desde el mayorexponente, hasta el exponentecero.5 Respecto a los signos de lostrminos del desarrollo de unCoNo, debemos considerar losiguiente:i)= +, +, + ..... + (n: Par Impar)ii)++= +, , +, ...., + (n: Impar)iii)+= +, , +, ,+, (n: par)

En la expansin del CoNo:b ab an n= an1 an2b + an3b2 . bn1T1T2

T3TKTnVemos que el trmino de lugar kadota la forma matemtica:TK

= (a)n k(b)k 1; 1 k nDebemos tener en cuenta que:a : Primera base del CoNob : Segunda base del CoNon : Nmero de trminos de CoNok : Lugar que ocua el trminoque queremos determinarAdems:i) TK, es (+) k, es imarii) TK, es (-) k, es ar, ero solo araCoNode la forma :+++iii) TKsiempre es positivo para una Co

Node la formaEjemplo#1:Dado el CoNo:b ab a31 31++hallar el T27

olucin:Dado que 27 es un nmero impar:TK= + (a)n k(b)k 1Donde :a = ab = bn = 31k = 27Remlazando:T27= (a)31-27(b)27-1T27= a4b26

Rta.

# 2: Dado el CoNo:b ab a

43 43hallar el G.A: del T32

olucin:Como el CoNoes de la forma,todos los trminos son positivos, porconsiguiente:TK= + (a)n k(b)k 1FORMULA PARA CALCULAR ELTRMINO DE LUGAR K EN ELDESARROLLO DE UN CONOwww.Matematica1.com

Donde:a =b =n =k =

ab4332

Remlazando:T32= + (a)43 32(b)32 1T32= a11b31 G.A: = 11 + 31 = 42

Rpta.

Este tipo de divisin ser transformablea cociente notable, cuando satisfaga lassiguientes condiciones1. El resto de la divisin debe serigual a cero.2. Las bases deben ser iguales3. Los exponentes del dividendo conrespecto al divisor deben serproporcionales y pertenecer alcampo de los nmeros enterospositivos, es decir:qnpm=; z+4. Respecto a los casos que sepresentan en los CoNo, debentenerse en cuenta lo siguiente:a) Forma :qnpm=

= # par o imparb) Forma :

++qnpm=

= # imparc) Forma :

+qnpm

= = # pard) Forma :+(no es CoNo)5. Un trmino cualquiera deldesarrollo del CoNoqnbb

pmaa

est formulado por:TK

= (a)m k p(b)(k1) q; 1 k pm

Ejemplo # 1:Calcular n en el cociente:y xy - x1 - n 2 - n2 - 8n 4 - 7n+Sabiendo que es notable.Solucin:Por ser cociente notable, se cumle que:1 - n2 - n 82 - n4 - n 7=Por roorciones:(7 n 4) (n 1) = (n 2) (8n 2)7n2 11 n + 4 = 8 n2 18 n + 4- n2+ 7n = 0Factorizando:n = 0n (n 7) = 0 n = 7 Rta.Ejemlo # 2:Calcular (m+n) en el cocientenotables:n 370 my xy - x

i su desarrollo tiene 14 trminos:olucin:Por ser cociente notable, se cumple que:DIVIIN DE LA FORMAq pn mb ab awww.M

atematica1.com

5 nn7042 m3m

14

14

14n703m= == = = =) ii) i

m + n = 47

Rpta.

Ejemplo 3:Dado el CoNo:4 3124 93b ab a++hallar el grado absoluto del T22.olucin:Como 22 es un nmero par, aplicamosla frmula:TK

= (a)n k(b)k 1Donde:a : Primera base = a3b : Segunda base = b4n : Nmero de trminos =314124393= =k : lugar que ocua el trmino = 22Reemlazando:T22= -(a3)31 22(b4)22 1T22= -a27b84G.A. 111

Rta.

Dado el CoNo:b ab an nPodemos notar que:1.- n reresenta el nmero de

trminos2.- Si n es un nmero imar existeun trmino central al cualdenotaremos or tcy ocua ellugar.21 nt+ =t

c

3.- Si n es un nmero ar existendos trminos centrales y ocuanlos lugares.12n c12n c1t t+= =

t t

4.- Si k es el lugar que ocua eltrmino del desarrollo de un CoNoy k su trmino equidistante(trmino contado a artir delextremo final); se cumle.a) k + k = n + 1b) TK= (a)n k(b)k - 1c) TK= tn+1 - k= (a)k 1(b)n - kd) TKy TKson de igual signos en losCo

Node la forma :++y

e) TKy TKtienen signos diferentespara CoNode la forma:+

Para reconstruir un cociente notable apartir de los trminos de sudesarrollo, debemos tener en cuentalas siguientes reglas:1 Ley de signosa) +, +, +, .............. +

b) +, , + ................,+ ++c) +, , +, .............+, +

2 Leyde variables. En eldividendo y en el divisor seescriben como bases del CoNolas bases de los trminosextremos del desarrollo.OBERVACIONE IMPORTANTERECONTRUCCIN DE UN COCIENTENOTABLE A PARTIR DE LOTRMINO DE U DEARROLLO

www.Matematica1.com

3 Variacin de exponentes.Nos determina los exponentesque deben colocarse en lasbases del divisor; la variacindescendente es para la primerabase y la variacin ascendentees para la segunda base.4 formacin del CocienteNotable. Obtenidos losexponentes del divisor,estosse sumancon los exponentesde los trminos extremos deldesarrollo del cociente notable yobtenemos los exponentes deldividendo, formndose elcociente notable.Ejemplo:Dado el desarrollox145+ x140y8+ .......+ y232formar el CoNo

olucinDe acuerdo a las reglas, tenemos:

1. Ley de ignos :2. Ley de variables:y xy x3. Variacin de exponentes:8 5y xy x4. Formacin del CoNo:8 5y x 240 150y x

Ejercicio N 1. Dado el cocientenotable3 2n 1 n6 3n 4 21 3n 2y x) (y ) (x+++ +determine el nmero de trminos quetiene su desarrollo.

olucinPor ser un cociente notable losexponentes deben ser proporcionales, esdecir:#t =3 n 26) n (3 41 n21) n (3 2=++

+

operando, se tiene:(6n + 42) (2n 3) = (12n + 24) (n + 1)12 n2 18 n + 84 n 126 = 12 n2

+ 12 n+ 24 n + 24implificando:66 n 126 = 36 n + 2430 n = 150n = 5remplazando:#t =[ ]1 521 (5) 3 2++#t= 12Ejercicio N 2. Al efectuar el desarrollodel CoNo:2 3x x30 45x xHallar el nmero de trminosfraccionarios.olucin:Un trmino genrico del desarrollo deeste CoNoes:TK= (a)n k(b)k 1kk15nx bxa2 3====Remplazando:TK= (x

3)15 k( x2)k 1TK= x45 3 kx 2k + 2TK= x47 5 k; 1 K = 15Los trminos sern fraccionarios;Cuando: 47 5 k < 0 5 k < 47k >547k > 9,4Dado que:

k 15 ;

entonces:

K = 10, 11, 12, 13, 14, 15 el nmero de trmino fraccionarios es6.EJERCICIOwww.Matematica1.com

La factorizacines un procesocontrario a la multiplicacin, el cual noest sujeta a reglas especficas; suoperacin depende de la prcticaadquirida.En esencia es latransformacin de un polinomio en unproducto indicado de factores primos,dentro de un determinado camponumrico.Un polinomio est definido sobre uncampo numrico, cuando loscoeficientes de dichos polinomiospertenecen al conjunto numricoasociado a dicho campo.Hay trescampos de importancia:Racional : Q ; Real : R; Complejo : CEjemplo:i) P (x) = 2 x2 7x + 3 ,estdefinido en Q , R y Cii) Q (x) = 2 x5+ 3 x 3 , estdefinido en R y C, pero no en Q.iii) R (x) = x3 i x + 2 i 3; estadefinicin solo en C .... (i = 1 )Factor Divisor. Es unpolinomio degrado distinto de cero que divideexactamente a otro.Factor Primo.Es un polinomio sobreun campo numrico el cual no se puedetransformar en el producto de dospolinomios sobre el mismo camponumrico.Ejemplo #1 .P (x) = x2 25No es primo en Q, ni en R; ni en C, yaque se puede expresar comoP (x) = (x + 5) (x 5).Ejemplo # 2. Z(x) = x2 7Es primo en Q, pero no en R ni en C,dado que Z (x) = (x + 7 ) (x 7 )Ejemplo # 3 . R(x) = x2+ 16Es primo en Q y en R pero no es primoen C, ya que

R(x) = (x + 4i) (x 4 i)Nmero de factores primos.Es lacantidad de factores no repetidos quetiene el polinomio, dependiendo sobreque campo numrico se factorice.Ejemploa) P(x) = x4 36 (x2+ 6) (x26) P (x) tiene 2 factores primos en Qb) P(x)=x4 36 (x2+ 6) (x + 6 )(x - 6 ) P (x) tiene 3 factores primos en Rc) P(x)=x4 36 (x + i 6 ) ((x - i 6 )(x+ 6 ) (x - 6 ) P (x) tiene 4 factores primos en C

I. Mtodo del Factor Comn.Elfactor comn est contenido entodos los trminos de la expresinalgebraica a factorizar, con el menorexponente; puede ser monmico opolinmico.Ejemplo # 1: Factorizar:f = 2x4y3+ 2x4z2+ 2x4Solucin:El factor comn es: 2x4; de dondef = 2x4(y3+ z2+ 1) Rpta.Ejemplo # 2: Factorizar:

f = (a2+ b) x + (a2+ b) y + (a2+ b) zSolucin:El factor comn en este caso es: (a2+ b);de dondef = (a2+ b) (x + y + z)

Rpta.

II. Factorizacin por agrupacinde trminosConsiste en agrupar convenientementede forma que se tenga factor comunespolinmicos.Ejemplo # 1: Factorizarf = (a x + by)2+ (ay bx)2Solucin:Desarrollando por productos notables.f = a2x2+ 2ab x y + b2y2+ a2y2FACTORIZACINFACTORIZACIN EN Qwww.Matematica1

.com

- 2 ab xy + b2x2Simplificando:f = a2x2+ b2y2+ a2y2+ b2x2agrupando el primero con el tercero yel segundo con el cuarto, se tiene:f = (a2x2+ a2y2) + (b2y2+ b2x2)f = a2(x2+ y2) + b2(x2+ y2

) f = (a2+ b2) (x2+ y2) Rpta.III. Mtodo de las IdentidadesA. DIFERENCIA DE CUADRADOPara factorizar se extrae la razcuadrada de los cuadradosperfectos y se forman un productode la suma de las races,multiplicadas por la diferencia delas mismas. En general.f = a2m b2n= (am+ bn) (am bn)ambnB. TRINOMIO CUADRADOPERFECTO. u forma general es:f = a2m 2 ambn+ b2nambnmbn

a

ambn ambn2ambn f = ( am bn)2C. UMA O DIFERENCIA DE CUBO.En este caso recordamos los productosnotables.a3m+ b3n= (am+ bn) (a2m ambn+ b2n)a3m b3n= (am bn) (a2m+ ambn+ b

2n)Ejemplo # 1: Factorizarf = x8 81 y8

olucinExtrayendoobtiene:

a los trminos, sef = x

8 81 y8x49y4X23y2De donde:f = (x4+ 9y4) (x2+ 3 y2) (x2 3y2)Ejemplo # 2. Factorizarf = (a + b)7+ c3(a + b)4 c4(a + b)3 c7

olucin:

Haciendo: (a + b) = x; se tendra:f = x7+ c3x4 c4x3 c7factorizando de 2 en 2f = x4(x3+ c3) c4(x3+ c3)siendo el factor comn : x3+ c3f = (x3+ c3) (x4 c4)factorizando la suma de cubos y ladiferencia de cuadrados, obtenemosfinalmente:f = (x + c) (x2 xc + c2) (x2+ c2)(x + c) (x c)Ejemplo # 3. Factorizar:

f = 3 ab (a + b) + 3(a + b)2c + 3(a + b) c2

olucinFactorizando : 3 (a + b); se tienef = 3 (a + b) [ ab + c (a + b) + c2]f = 3 (a + b) [ab + ac + bc + c2]factorizando en el corchete 2 a 2f = 3 (a + b) [a (b + c) + c (b + c)]siendo:(b + c) el factor comn, setendra como factores:f = 3 (a + b) (a + c) (b + c)Rta.

Asa Simle.Se alica enexresiones trinomias de la forma.f = ax2m+ bxmyn+ c y2nSe descomonen en factores losextremos y la suma de los roductos enasa debe ser igual al trmino central.(Iguales)MTODO DE LAS ASPASsumasuma x Difwww.Matematica1.

com

Es decir, dado :f = ax2m+ bxmyn+ c y2na1xmc1yn a2c1a2xmc2ynbc a2 1Los factores se toman horizontalmente f = (a1xm+ c1yn) (a2xm+ c2

yn)Ejemplo # 1: factorizarf = 64 a12b3 68 a8b7+ 4 a4b11

olucin:iendo el factor comn : 4 a4b3e obtiene:f = 4 a4b3[16 a8 17 a4b4+ b8]Aplicando aspa simple al corchete16 a4b4a4b4a4

b

4

16 a4b417 a

4b4f = 4a4b3( 16 a4 b4) (a4 b4)factorizando las diferencias decuadrados; obtenemos:f = 4 a4b3(4 a2+ b2) (2 a + b) (2 a b)(a2+ b2) (a + b) (a b)

Factorizar:1) f = x4+ y4+ 2x y (x2+ y2) + 3x y2Rpta. f = (x2+ xy + y2)22) g = x6+ 2x5

3x4+ 4x2 1Rpta. g = (x3+ 3x2 1) (x3 x2+ 1)3) f = (a2+ b2 c2 d2)2 4 (ab + cd)2Rpta. f = (a +b + c d) (a + b c + d)(a b + c + d) (a b c d)g = (x + y)3+ 3xy (1 x y) 1Rpta. g = (x2+ y2+ 1 xy + x + y)4) f = (z2 y2)2(x2 a2) + 4 x2y2z2Rpta. f = (z2x + xy2+ az2

ay2)(z2x + xy2 az2+ ay2)5) Un factor de: a (a 1) + a3 1 es:Rpta. (a 1) ( a + 1)26) Descomponer en factores: x5+ x + 1Rpta. (x2+ x + 1) ( x3 x2+ 1)7) Cuando se factoriza x9 x hasta dondesea posible en polinomios y monomioscon coeficientes enteros, el nmero defactores primos es:Rpta. 58) La expresinx2 y2 z2+ 2yz + x + y zRpta. (x + y z) (x y + z + 1)9) Hallar la suma de los factores primosde: a (a2+ ab 1) b (b2+ ab 1)Rpta. 3 a + b10) Factorizar la expresin:x4+ 2x3 2x 1, indicar la suma de losfactores primos:Rpta. 2x

EJERCICIOwww.Matematica1.comLGEBRA

Este mtodo es aplicable parapolinomios de la forma:f = a x2m+ bxmyn

+ c y2m+ dxm++ e yn+ fEl polinomio debe presentar ciertoorden para poder factorizarlo.1. Debe tener 6 trminos, si faltaalguno de ellos, se reemplazapor ceros.2. Con respecto al primer trinomiolos exponentes centrales debenser la mitad de los extremos, yen el cuarto y quinto trmino serepiten los exponentescentrales.

1. Estando ordenado los trminosdel polinomio, se trazan dosaspas de la siguiente forma:f = (ax2m+ bxmyn+ cy2n+ dxm+ eyn+ f

2. Descomponemos en factores loscoeficientes de los trminosextremos. Multiplicados en aspa ysumados deben verificar alcuarto trmino.f = ax2m+ bxmyn+ cy2n+ dxm+ ey

n+ fa1f1a2f2

Deben cumlirse que:1f2

a

a2f1d3. A continuacin descomonemos enfactores el coeficiente del tercertrmino.La rimera asa debeverificar al coeficiente del segundotrmino y la segunda asa debeverificar el coeficiente del quintotrmino.4. Los factores se obtienen tomandolos trminos de las asas en formahorizontal.En conclusin:f = ax2m+ bxmyn+ cy2n+ dxm+ eyn+fa1xm

c1ynf1 a2f1a2xmc2ynf2 a1f2d f = (a1xm+ c1yn+ f1) (a2xm+ c2yn+ f2)Ejemplo # 1: Factorizarf = 20 x4 21 y6+ 13 x2y3 2x

2++ 23 y3 6

olucinOrdenando el polinomio de acuerdo alas reglas dadas, se tiene:f = 20x4+ 13x2y3 21y6 2x2+ 23y3 64x22 105x2

3 122Dado que est verificado el cuartotrmino, descomponemos en factoresel tercer trminof = 20x4+ 13x2y3 21y6 2x2+ 23y3 6FACTORIZACIN PORDOBLE ASPAFORMA DE FACTORIZARa1c2a2c1

bc1f2c2f1eFACTORIZACION MCM / MCDFRACCIONES ALGEBRAICASwww.Matematica1.comLGEBRA

4x2-3 y32

10

5x27 y3- 3

-12- 2Como se han verificado todos lostrminos, los factores son:f = (4x2 3y2+ 2) (5x2+ 7y3 3)

Ejemlo # 2.- Factorizarf =12a24b212c2 2ab + 7ac + 14 bcSolucin:Ordenando convenientemente, setendra:f = 12a2- 2ab 4 b2+ 7ac + 14 bc 12 c33a

4c 16

4a

-3c -97Dado que el cuarto trmino estverificado, descomonemos enfactores el tercer trmino.f = 12a2 2ab 4b2+ 7ac + 14 bc 12 c23a

-2b

4c 16 ac

4a

2b

-3c -9 ac

Como todos los trminos estnverificados, entonces:f = (3a - 2b +4c) (4a + 2b 3c)

El olinomio a factorizar debe tenercinco trminos o en su defecto debecomletarse con ceros, su formacannica es:f = ax4+ bx3+ cx2+ dx + e

El roblema central consiste endescomoner cx2en dos trminos,disuestos en la siguiente forma:c1x2c2x2tal que : c1+ c2= c

1. Se decomoneen factores loscoeficientes de los trminosextremos del olinomio de cuartogrado, de forma que :a = a1. a2ye = e1. e2multilicando en asa y sumandolos roductos resectivos,obtenemos c1, es decir:f = ax4+ bx3+ cx2+ dx + ec2c1a1e1= a

2e1a2e2= a1e2c1Nota: c2 se obtiene or diferenciac2= c c12. c2 se descomone en factoresc2= c2. c2, donde la rimeraasa verifica a b y la segundaasa verifica a df = ax4+ bx3+ cx2+ dx + ec2c1a1x2c2x1

e a

2e1a2x2c2x2

e a

1e2c1

3. Los factores, se tomanhorizontalmentef = (a1x2+ c2x + e1) (a2x2+ c2x + e2)Ejemlo # 1: Factorizarf (x)= 20x4+ 2x3 11x2+ 19 x 1528-1513914

236- 8- 268147acDOBLE ASPA: CASO ESPECIALPOLINOMIO DE CUARTO GRADOFORMA DE FACTORIZARa1c2a2c2bc2e2c2e1dwww.Matematica1.comLGEBRA

Solucin:Descomoniendo en factores lostrminos extremos, ara determinarc

1 se tendra:f (x) = 20 x4+ 2x3- 11x2+ 19x -15-6x2-5x24x23 = 15x2

5x2-5 =- 20x25x2Descomoniendo en factores:c2= - 6x2se tendra:f = 20x4+ 2x3- 11x2+ 19x -15-6x2-5x24x2-2x2

3 = 15x

5x23x

-5= - 20x

2- 5x2 f(x) = (4x2 2x + 3) (5x2+3x 5)1. No todos los polinomios de 4to.Grado se pueden factorizar pordoble aspa.2. i el polinomio de 4to. Grado esfactorizable por doble aspa, debeobservarse si cada factorcuadrtico es factorizable.3. El trinomio : ax2+ bx + c = 0 sepuede factorizar, si sudiscriminante ( = b24ac) esun cuadrado erfecto.Factorizar:1. f = 30a2 6b2 14c2 28ab - 23ac + 25 bcRta. f = (5a - 3b + 2c) (6a + 2b 7c)2.22+4+

g = 21x37 xy12y48x- 26 y

2+ 12Rta. g = (3x 4y2+ 6) (7x- 3y2

+2)3. f = 20x2+ 12y2 31xy + 2y 2x- 4Rta. f = (5x 4y + 2) (4x 3y 2)4. g = 28a2+ 6b2 12c2 29ab-10ac + 14bcRta. g = (4a - 3b + 2c) (7a - 2b 6c)5. f = 12x2- 29xy + 15y2+ 24 x 40yRta. f = (4x 3y + 8) (3x 5y)6. g = 20x4+ 9x3- 20x2+ 21 x - 6Rta. g = (4x2 3x + 2) (5x2+ 6x 3)7. f = 20x4+ 7x3 29x2+ 23 x 21Rta. f = (5x2 2x + 3) (4x2+ 3x 7)8. g = 6x4- 35x3+ 62x

2- 35 x + 6Rta. g = (3x 1) (x 3) (2x 1) (x- 2)9.4n+3n2n+n

f = 20 x7x19 x19x

15Rta. f = (5x2n 2xn+ 3) (4x2n+ 3xn5)10. g = 120x4n 242x3n+ 27x2n++ 135 xn 54Rta. g = (3xn 2) (4xn+ 3) (5xn3)(2xn 3)OBSERVACIONESEJERCICIOSwww.Matemati

ca1.comLGEBRA

Este mtodo se basa en el criteriodel teorema del resto:i) Si: P (x) es divisible entre (x a) entonces P(a) = 0ii) Si: P(x) es divisible entre (x +b) entonces P (-b)= 0Observandoi) Si:factor esii) Si:factor es

en forma inversa (a)= 0; entonces un(x a)(-b) = 0; entonces un(x + b)

El olinomio mnico se caracterizaorque el coeficiente de su mximaotencia es igual a la unidad.1. Se hallan todos los divisores deltrmino indeendiente delolinomio P(x) a factorizar; losdivisores se consideran con elsigno ms y menos.2. Cada divisor con signo (+) osigno (-) se evala en P(x), sialguna de las evaluaciones valecero, hemos encontrado un factorlineal.3. Se recomienda encontrar unacantidad de ceros igual al gradodel olinomio P(x) menos dos.4. Los dems factores seencuentran alicando la regla deRuffini.Ejemlo # 1Factorizar :f(x) = x4 2x3 16 x2

+ 2x + 15Solucin:Ntese que el olinomio es de cuartogrado, entonces:1. La cantidad de ceros aencontrar or evaluacin es: 4 - 2= 22. Los divisores del trminoindeendiente 15 son (1, 3, 5,15)3. Evaluando:a) f(1) = 1 2 16 + 2 + 15 = 0entonces, un factor es : (x 1)b) f (-1) = (-1)42(-1)3 16 (1)2+ 2 (-1) + 15f (-1) = 0; entonces, otro factorlineal es: (x + 1)4. Por la regla de Ruffini:1 2 16 + 21 1 - 171 1 17 - 15

+ 15- 150

- 1 + 2 + 151 2 150 P (x) = (x 1) (x + 1) (x2 2x 15)El factor cuadrticoes ms fcil defactorizar, obtenindose:P (x) = (x 1) (x + 1) (x 5) (x +3)

ea, P(x) el polinomio a factorizar:e hallan los divisores1correspondientes al trminoindependiente de P (x) y losFACTORIZACIN POR DIVIOREBINOMIOCAO DE POLINOMIO MNICOx + 1 = 0X = 1x 1 = 0X = 1CAO DE POLINOMIO NO MONICOww

w.Matematica1.comLGEBRA

divisores correspondientes alcoeficiente de la mxima potencia.2 Los divisores a evaluar son losdivisores del trmino independientems las fracciones que se obtienenal dividir los divisores del trminoindependiente entre los divisores delcoeficiente de la mxima potencia.Ejemplo: Factorizar:f (x) = 6x5+ 13x429 x343 x2 x+ 6

olucinComo el polinomio es de grado 5 alo ms debemos encontrar 3ceros.Los divisores del rimer coeficiente ydel trmino indeendiente son:f (x) = 6x5+ 13x4 29x3 43x2x+6 (1, 2, 3, 6)

(1, 2, 3,

6) los divisores a evaluar son: (1, 2, 3, 6,21,31,61,23,32)Evaluando:1) f (1) = 6 (1)5+ 13(1)429 (1)3 43 (1)

2

(1) + 6f (1) = 0 Un factor es:

2) f21 ) =21 )5+ 1321 )4 29(21 )3 4321 )2 (21

(6 (

(

(

(x + 1)

) + 6f (21 ) = 0 otro factor es:21(x +3) f (31) = 6 (31)5+ 13 (31)4 29 (31)3

)

43 (31)2 (31) + 6f (31) = 0 otro factor es (x 31)Aplicando Ruffini, se tendra:6 + 13 29 43x = 1

6

x =21

3

6

+6 f (x) = (x + 1) (x +21

6

2+++

1 + 6

7 + 36 + 7 67 36 7 + 6

+ 19 64 38 + 122 + 2 126 360

0

0

) (x 31)(6x2+ 6 x 36)implificando y factorizando eltrmino cuadrtico, se obtiene:f (x) = (x + 1) (2x + 1) (3x 1)(x + 3) (x 2)

Factorizar:01.F (x) = x3 6x2+ 11 x 602.G (x) = x410x3+ 35x2 50 x + 2403.F (x)=72 x490 x35 x2+40 x 1204.G (x)=x5x413 x3+13x2+36x 3605.F (x)= 6 x5+ 7x4 15 x3 5x

2+ 9 x 2EJERCICIO31x =21x =www.Matematica1.comLGEBRA

Las expresiones recprocas secaracterizan por que los trminos delos trminos equidistantes de losextremos son iguales.Debemostener en cuenta lo siguiente:1. i la expresin es recproca degrado impar, uno de sus factores es(x + 1) y este factor estarmultiplicadopor una expresinrecproca de grado par.2.i la expresin es recproca degrado par los coeficientesequidistantes de los extremos soniguales y el ltimo trmino espositivo.Ejm: P(x)= ax4 bx3 cx2

bx + a

1. e factoriza la variable que seencuentra elevado a un exponenteigual a la mitad del grado de laexpresin dada.2. e agrupan los trminosequidistantes de los extremosquedando en cada grupo un trminoen x y su recroco.3. Se reemlaza el gruo demenor otencia or una letradiferente de x y las otras otenciasse encuentran en funcin de estaletra.Ejemlo: factorizarF (x) = 6 x4+ 35 x3+ 62 x2+ 35 x+ 6SolucinDado que el grado de F(x) es 4,factorizamos: x2; obteniendo:F (x) = x2[6 x2+35 x + 62 +x35+2x6]Agruando los trminosequidistantes de los extremos:F(x)= x2[ 6 (x2+2x1) + 35 (x +x1) + 62 ]Haciendo : x +

x1= a x2+2x1= a2 2Con lo cual:F (x) = x2[ 6 (a2 2) + 35 (a) + 62]F (x) = x2[ 6 a2+ 35 a + 50 ]Por aspa:3a10 20 a2a5 15 a35 aF (x) = x2[3 a + 10 ] [ 2 a + 5 ]Como: x +x1= a; se tendra:F(x) = x2[3 (x +x1) + 10] [2 (x+x1) + 5 ]F (x) = (3x2+ 10 x + 3) (2 x2+ 5 x + 2)Nuevamente por aspa simple:F (x) = (3x + 1) (x + 3) (2x + 1) ( x + 2)

Factorizar:01. F (x) = 4x4 12 x3

+ 17 x2 12 x + 402. G(x) =x6 3x5+ 6x4 7x3+ 6x2 3x + 103. F(x) = 8x6 36 x5+ 78 x4 99 x3+ 78 x2 36 x + 804. G (x) = 6x4+ 5x3+ 8 x2+ 5 x + 605. F(x) = 27 x6 54 x5+ 117 x4- 116 x3+ 117x2 54 x + 2706. G (x) = 3 x4+ 5 x3 4x2 5x + 307. F(x) = 12x

58 x4 45 x3+ 45 x2+ 8 x 12FACTORIZACIN DEEXPRESIONES RECPROCASFORMA DE FACTORIZAREJERCICIOSwww.Matematica1.comLGEBRA

MCD.- El mximo comn divisor dedos o ms expresionesalgebraicases otra expresin algebraica enterade mayor coeficiente numrico ymayor grado que divideexactamente a cada una de ellas.Ejemplo: Hallar el MCD de 36 y 24SolucinDivisores de 36 Divisores de 241 2 3 4 6 12 18 36 1 2 3 4 6 8 12 24MCD = 12 MCD (36, 24) = 12De dos o ms expresionesMCM.Algebraicas es otra expresinalgebraica entera de menor

coeficiente numrico y de menorgrado que es divisible exactamenteentre cada una de las expresionesdada.EjemploMltiplos de 5:5 10 15 20 25 30 60 120Mltiplos de 6:6 12 18 24 30 60 120 MCM (5, 6) = 301. i dos o ms expresiones sonprimos entre s, es MCD es launidad y su MCM el producto deellas.2. Dada dos expresiones algebraicasA y B, su M.C.D. por su M.C.M. esigual al producto de A por B.3.M.C.D. (A, B) x M.C.M. (A, B) = A x B

Para determinar el M.C.D. M.C.M.de dos o ms expresionesalgebraicas se aplican lassiguientes reglas:1. e descomponen en susfactores primos cada una de lasexpresiones dadas.2. El M.C.D est determinado porel producto de los factorescomunes con sus menoresexponentes.3. El M.C.M. est determinado porel producto de los factorescomunes y no comunes con susmayores exponentes.Ejemplo: Hallar el M.C.D. y M.C.M.para las siguientes expresionesalgebraicas:A = (x2 y2)2; B = x4 y4; C= (x2+y2

)2

olucinFactorizando cada una de lasexpresiones algebraicasA = (x + y)2(x y)2B = (x2+ y2) (x + y) (x y)C = (x2+ y2)2M.C.D.= 1M.C.M = (x2+ y2)2(x + y)2(x y)2

01. Hallar el M.C.D. de lospolinomiosA = x4 3x3 10 x2+ 7 x 1B = x4 8x3+ 17 x2 8x + 1C = x3 6x2+ 6 x 1

Rpta. M.C.D. = x2 5X + 102. Hallar el M.C.M. de:A = x3+ 5x2+ 8 x + 4B = x3+ 3x2 4C = x3+ 6x2+ 12 x + 8MXIMO COMN DIVIOR (MCD)MNIMO COMN MLTIPLO (MCM)PROPIEDADEM.C.D. y M.C.M. PORFACTORIZACIN EJERCICIOwww.Matematica1.comLGEBRA

Rpta. M.C.M. = (x + 2)3(x + 1) (x 1)

Las fracciones algebraicas, son todasaquellas donde por lo menos hayuna letra en el denominador.

Ejemplo: a)x1b)y x1+c)2 2y xy x++

ignos de una fraccin. son tres,el signo del numerador, el signo deldenominador, el signo de la fraccinpropiamente dicha. As tenemos:i)bababa+ =+ =+ =+++ =babab+++bababa

ii)+===a.

A . Fracciones propias. e llamaas cuando el grado del numeradores menor que el grado deldenominador (N < D). Ejemplos:a)1 x x2 x3+ +b)3 x x2 x x72+ ++ B. Fracciones impropias.Eneste caso el grado del numerador esmayor que el grado del denominador(N > D). Ejemplos:a)1 x x2 x x35+ + b)3 x2 x x2+C. Fracciones homogneas.on aquellas fracciones que tieneniguales denominadores.Ejemplos:a)1 x22+;1 xx2+;1 x

3 x 22+

1. Cuando se trata de una solafraccin, se factorizan los miembrosde la fraccin y se cancelan losfactores comunes.Ejm: implificarF =b ab a2 2+ F =) b a () b a )( b a (+ + F = a b2.Cuando es una suma o resta defracciones; primero se simplifican lasfracciones y luego hallamos elM.C.M. e efectan las operacionesindicadas y se simplifica la fraccinobtenida.En multiplicacin de fracciones sefactorizan los miembros de lasfracciones y luego se multiplicanentre s.Para el caso de divisin defracciones, se invierte la fraccinque acta como divisor y se procedecomo en el caso de la multiplicacin.Ejemplo # 1:implificar la fraccin:22 x++ 2 x22 x+ 2 x

olucin:Observamos que el M.C.M. es (x 2) con lo cual la expresin quedarade la siguiente forma:E =4 x 2 2 x4 x 2 2 x+ + + +implificando:E =6 x2 x 3+ Rpta.

FRACCIONE ALGEBRAICACLAE DE FRACCIONEIMPLIFICACIN DEFRACCIONEE =www.Matematica1.comLGEBRA

01. i :czbyax= = ; calcularE =

cz by axz y xc b a2 2 22 2 2+ ++ ++ ++ + cz by x aRpta. E = 002. implificar:48 ) 6 x )( 16 x )( 2 x (27 ) 5 x )( 9 x )( 1 x (E22+ ++ +=Rpta. E =20 x 2 x6 x 2 x22 03. implificar:E =2 2 2 32 2 2 3ab x ) ab 2 b ( x ) b 2 a ( xb a x ) ab 2 a ( x ) b a 2 ( x+ + + + ++ + + + +Rpta.

E =

b xa x++04. i:a + b + c = 0; calcular:c b a 9c b 3a c b aE3 3 3 9 9 9+ +=Rpta. (b2+ bc + c

2)305. i el numerador y eldenominador de la fraccinreductible:b622+

1)x2)x33 +

(a 5x 3x(a 2x 3x

Admite un divisor comn de la forma:(x2+ mx 6).Indicar su equivalenteirreductible.Rpta.2 x 31 x 3+

EJERCICIOwww.M

atematica1.comLGEBRA

Las cantidades imaginarias se originan alextraer races indicadas de ndice par anmeros negativos.Ejm: 16 ;425 ;2nN on cantidades imaginarias.Unidad Imaginaria.Estrepresentada por la letra i, el cualmatemticamente nos representa a1 ; es decir:i = 1 ; tal que i2= 1Nota. i queremos efectuar:E = 3 12 , debemos hacerlo conbastante cuidado. Es decir::E = 31 12 1 E = 3 i 12 iE = 36 i2Como: 36 = 6 i

2

= 1, se tendra E = 6 Rpta.

Dado que: i = 1 i2= 1i3= i2. i = ii4= i2. i2= 1i5= ii6= 1i7= ii8= 1

Vemos que las potencies de la unidadimaginaria, se repiten en perodo de 4 en4 y cuyos valores son {i ; 1; i; 1 }

iendo; 4K: mltiplo de cuatro vemos que:a) i4k= 1b) i4k + 1= i4ki

= i

c) i4k + 2= i4ki2

= 1d) i4k + 3= i4ki3

= i

Regla. La unidad imaginaria elevado aun exponente mltiplo de cuatro; suresultado es igual a la unidad.

iendo; 4k: mltiplo de cuatro se observaque:a) i4k= 1b) i (4 k 1)= i 4 ki = ic) i (4 k 2)= i 4 ki2

= 1d) i (4 k 3)= i 4 k

i3

= i

Regla.Cuando i est elevada a unaotencia negativa, si el exonente es mltilode cuatro, el resultado es igual a la unidad.

Es imortante recordar lo siguiente:Desde que: 4k = mltilo de 41. (4k)n= 4k2. (4k + 1)n= 4k + 1 ; (n = ar oimar)CANTIDADES IMAGINARIASPOTENCIAS DE LA UNIDADIMAGINARIAPOTENCIAS POSITIVAS DELA UNIDAD IMAGINARIAPOTENCIAS NEGATIVAS DELA UNIDAD IMAGINARIA7.37.17.27.4CANTIDADES IMAGINARIASNUMEROS COMPLEJOSwww.Matematica1.comLGEBRA

3.n=4.n=

(4k + 2)4k; (ara n 2)(4k + 3)4k + 1 ; (ara n 2)

01. Hallar:26

i

Solucin:Recordemos que un nmero es mltilode cuatro, cuando sus dos ltimascifras son ceros o forman un mltilode cuatro, es decir:

De donde:i26= i24+2= i2= -1 (Rta.)02. Determinar : i264239Solucin:Considerando las dos ltimas cifra,vemos que:i264239= i39= i36+ 3= i3= - i03. Calcular: E = i793Solucin:Observando solo las dos ltimascifras:i-793= i-93= i-96+ 3= i3= - i04. Hallar : E = i-2937722649Solucin:Considerando solo las dos ltimas cifrasE = i-49

=i-52 + 3= i3= - i05. Simlificar93 - 72 49 63 75 93i ii i i iR++ + +=Solucin:Efectuando las otencies indicadas33 3ii i i iE++ + +=1De donde:0 =+=i - 1i i - i E

i

06. Hallar el valor simlificado de:29252321i E =Solucin:En este tio de roblemassetrabaja con las dos rimerasotencias.2321i E = ;donde:Imar # 23k 421=+ = 1Con lo cual:E =1 k 4Imar1) k (4ii+ +

=

E = i

Rpta.

07. Calcular : =61453898iolucinTrabajando con los dos primerosexponentes:3898i E = ;donde:par # 38k 4 98=+ = 2De donde: =k 4Par2) k (4ii+

=

= 1

Rpta.

08. Determinar el valor de lasumatoria = i2+ 2i4+ 3i6+ 4i8+ .. ++ (2 n 1) i4n 2+ 2 n i4n

olucin:e observa que hay 2n trminos,la cual est sealada or loscoeficientes. Determinando lasotencias de i:S= (-1)+ 2(1)+ 3(-1) + 4(1) + ..... ++ (2 n 1)(-1) + (2n) (1)Agruando de 2 en 2, dondecadagruo vale 1; se tiene:EJERCICIOS RESUELTOS00, 04, 08, 12, 16, 20, 24, 2832, 36, 40, 44, 48, 52, 56, 60

64, 68, 72, 76, 80, 84, 88, 9296.7.5www.Matematica1.comLGEBRA

S = 1 + 1 + 1 ................... + 1n vecesS = nRta.

01. Calcular el valor de:21932iE ((((((

(((

((=Rta. 102.444777i iiS+ ++ +=

Hallar el valor de:555 666888 999ii i

Rta. i

03. El valor de:i2+ 3i4+ 5i6+ 7i8+. + (2 n 1) i2nes :

n Rta.

04. El valor de:E = i-6349+ i-2715 i-1693es :Rta.

i

05. Calcular el valor de:393 - 261 - 522 -964 -217 -932i - i - i i - i - iR =es :Rta. 0,506. Calcular el valor de:5 , 02723

222 2i .. .......... i i i R((+ + + + =es :

Rta. 5

07. Hallar el valor de:63423126 i E =es :Rta. 1

Los nmeros comlejos son exresionesmatemticas formadas or una arte realy una arte imaginaria.El comlejo sereresenta or:Z = a + b iDonde i; es la unidad de los nmerosimaginarios y se tiene que:Partee{ ZPartem{ Z

real

: R

} = aimaginaria

: I

} = b

Esto nos indica que el comlejo Z estformado or a unidades reales y bunidades imaginarias.Con resecto al nmero comlejo.Z = a + b ia) Si;b) Si;c) Si;

a = 0 Z = bi (# imaginario uro)b = 0 Z = a (# real )a = 0 b = 0 Z = 0 (Comlejo nulo)

A. Comlejos conjugados.Dosnmeros comlejos son conjugadoscuando tienen igual arte real y en laarte imaginaria solo se diferencian enel signo.As tenemos;a) Z

El comlejo de:

1=

7 2 i

es:

Z

es:

Z

2=b)1=2=c)1=2=

7 + 2 iZ- 5 3 i-5 + 3 iZ8 i 38 +

es:

Z

3 i

En general, el comlejo de:Z1= a + b ies :Z2= a b ia. Comlejo Iguales.Dos nmeroscomlejos son iguales, si tienen igualEJERCICIOS PROPUESTOSNMEROS COMPLEJOSCLASES DE COMPLEJOS7.67.87.7www.Matematica1.comLGEBRA

arte real e igual arte imaginaria.decir:Z1= a + b i2

es igual a

Z

Es

= c + d i

a = c

b

= d

B. Comlejos Nulos.Son aquellosnmeros comlejos que tienen artereal nula y arte imaginaria nula, esdecir:Z = a + bi = 0 a = 0 b = 0C. Comlejos ouestos.- Sonaquellos nmeros comlejos que sediferencian solo en los signos, tantoara la arte real, como ara la arteimaginaria, es decir:Z1

= a + b i es ouesto a

2

= c + d i

a = - c

Z

b

= - d

01. Si los comlejos:Z1= a + 2i y Z2= (2a 1) + (3 b + 2) iSon conjugados. Hallar el valor de(a2+ b2)SolucinDado que son comlejos conjugados; susartes reales son iguales, es decir:a = 2 a 1a = 1De otro lado, sus artes imaginarias, solose diferencian en el signo:2 = - (3 b + 2) 4 = - 3b b =34reemplazando en :E = a2+ b2 E = (1)2+ (34

)2 E =925Rpta. D02. Cul es el valor de : bc+ c bsilos complejos:Z1= ( b 3) (c + 2) iyZ2= 6 ( b 1) ion opuestos

olucin:Como los nmeros complejos son opuestos,estos se diferencian en el signo, tanto para laparte real, como para la parte imaginaria, esdecir:a) b 3 = 6 b = 3b) (c + 2) = b 1 c 2 = 3 1c = 2 bc+ c b= (3)2+ (2)3= 17bc+ c b= 17Rpta.03. Calcular (a + b), sia bi = (2 3 i)2olucinDesarrollando el segundo miembro de laigualdad por productos notables.a b i = 4 12 i + 9 i2dado que: i2= 1 ; entonces:a bi = 5 12 i

12 b5 - a== (a + b) = 5 + 12 = 7

Rpta.

Forma Geomtrica o Cartesiana. Todonmero complejo de la forma :Z = a + bi se puede representan en el planocartesiano. Debe tenerse en cuenta que:Z = a + bi b (z) Ima (z) Re==EJERCICIOS RESUELTOSREPRESENTACIN GRFICA DELOS NMEROS COMPLEJOS7.97.10www.Matematica1.comLGEBRA

Esto quiere decir que en el eje de lasabscisas, tenemos: a unidades reales yen el eje de las ordenadas, tenemos bunidades imaginarias.En efecto; la grfica de:Z = a + bi

; es:

CoanaAfijoplanopor una = Reb = Im

de un complejo.Es un punto delcomplejo, el cual est determinadopar ordenado (a, b)(z) : nos representa la parte real(z) : nos representa la parteimaginariaEjemplos:# Complejo Afijo del # complejoZ1= 3 + 5 i (3; 5)Z2= -2 2 i (-2; -2)Z3= - 6 + 8 i (-6; 8)Z4= 7 - 2 i (7; - 2 )Forma Polar.Este sistema determina elafijo de un nmero complejo mediante doscoordenadaspolares, una de lascoordenadas es el radio vector r que es ladistancia del afijo (r, ) al polo y la otracoordenada es el argumento , llamadotambin ngulo polar, ue est determinadopor el eje polar y el radio vector, comomuestra la grfica adjunta.

Haciendo coincidir el polo del eje polar con elorigen de coordenadas, obtenemos la grficadel complejo.Z = a + bi(En la forma cartesiana)Z = r(En la forma polar)

Para hacer las transformaciones entrecoordenadas, consideramos:I.- Transformacin de la forma cartesiana a laforma polar.Dato : Z = a + b iIncog: Z = r = r (cos + i sen )En el plano Gaussiano por Pitgoras:Y en el R OAB, observamos que:r2= a2+ b2 r =2 2b a +r = zes el mdulo del # complejoasimismo:Tg =ab = arc tgab; -180 180 : es el argumento del # complejo.II. Transformacin de la forma polar a laforma cartesianaDato : Z = r = r cos + i sen Incog: Z = a + b iRadio vector(r, ) afijopolorEje polarRELACIN ENTRE LASCOORDENADAS CARTESIANAS YLAS COORDENADAS POLARESx (Re)1a 0bia(a, b) afijo delcomplejoy (Im)COORDENADAS CARTESIANASoCOORDENADAS POLARESBY (Im)

brb0 aX (Re)

A

PLANO GAUSSIANO7.11www.Matematica1.comLGEBRA

Con referencia al plano Gaussianoa es la proyeccin de r sobre el eje de lasabscisas:a = r cos b es la proyeccin de r sobre el eje de lasordenadasb = r sen Ejemplo # 1: Representar el complejoZ = -1 + i en la forma polarSolucin:Representandoz = -1 + i en el planocomplejo:

Vemos ue:r = 2 (1) (-1)2 2= + = 180 - ; donde tg =11= 1 = 45

= 180 - 45 = 135Con lo cual :z =- 1 + i = 2

135

Rpta.

Ejemplo. # 2.Represente el nmerocomplejoZ =21i 23 en la forma polar.olucin:Graficando Z =21i 23 en el planocomplejo, con la finalidad de ubicar laposicin del argumento.

Vemos que:r = 121 23 2= ||

|+||||2Asimismo: = 270 - ; donde = rctg

2 / 12 / 3 = 60 = 270 - 60 = 210 z =121i - =23210Rpta.Ejemplo # 3. Exprese en la forma cartesianael nmero complejoZ = 2 120Solucin:Teniendo en cuenta ue:Z = r = r cos + i r sen Se tendra:Z = 2 cos 120 + i 2 sen 120Reduciendo al primer cuadranteZ = - 2 cos 60 + i 2 sen 60Z = -2 ||

|21+ i 2||||23Z = -1 + i 3 z = 2 120

= - 1 + i 3

Rpta.

A) Representar en la forma polar lossiguientes nmeros complejos:a) z =21- i23Rpta: z = 1300b) z = 1 iRpta: z = 2 - 45

c) z = -1 + i 3Rpta: z = 2 120d) z = -5 3 - i 5 Rpta: z = 10 210e) z = 3 2 - i 3 2 Rpta: z = 6 315y (Im)EJERCICIOS1X (Re)-1(-1,1)y (Im)x (Re)2123 o7.12www.Mtemtic1.comLGEBRA

B) Representr en l form crtesinlos siguientes nmeros complejos:

)b)c)d)e)

z = 10 60z = 6 135z = 2120z= 50 315z =12 120

Rpt. z = 5 i 5 3Rpt. z = 3 2 i 3 2Rpt. z = 1 + i 3Rpt. z = 25 2 i 25 2Rpt. z = 6 i 6 3

El nmero complejo z = + bi se puederepresentr en ls siguientes forms:1. Form CrtesinZ = + b i2. Form trigonomtricZ = r cos + i r sen 3. Forma polarZ = r = r (cos + i sen )4. Forma exponencialZ = r ei = r (cos + i sen )5. Forma sintticaZ = r Cis () = r (cos + i sen )Considerar ue para todas las formas:r= Z b a2 2= + :mdulo del complejo = arc tgab: Argumento del complejo.-180 180

1. SUMA ALGEBRAICA.- Para sumar orestar complejos, se suman o restan laspartes reales y las partes imaginariasentre s. En efecto:Si; Z1= a + b i yZ2= c + d iEntonces:a) Z1+ Z2= a + bi + c + d iZ1+ Z2= (a + c) + (b + d) ib) Z1- Z2= a + b i ( c + d i )Z1- Z2= (a c) + ( b d ) i

2. MULTIPLICACIN DE COMPLEJOS.a) En la forma cartesiana se procedecomo si fuera el producto de dosbinomios; es decir:Si; Z1= a + biy Z2= c + d i Z1Z2= (a + b i ) (c + d i )Z1Z2= ( ac bd ) + ( ad + bc) ib) En la forma polar; primero se hacela transformacin de la forma cartesianaa polar; es decir, dados:i) Z1= a + b i = r11, donder1= b a2 2+ 1= arc tgabii) Z2= c + d i = r22, donder2= c2 2d + 2= arc tgcdvemos ue :Z

1Z2= (r11) (r22) = r1r21+ 2

Observaciones:1. El mdulo del productoproducto de los mdulos defactores:2. El argumento del productola suma de los argumentosfactores.

es igual alloses igual ade los

3. DIVISIN DE COMPLEJOS.a) En la forma cartesiana; para dividirdos complejos, se multiplica ydivide por la conjugada del divisor.Es decir:Dados; Z1= a + bi2= c + d iSe tiene:2 2d c ++ += ||

||||++=

y Z

i ad) - (bc bd) (acdi - ci d - ci d ci b aZZ21OTRAS FORMAS DE REPRESENTACINDE UN NMERO COMPLETOOPERACIONES CON NMEROSCOMPLEJOS7.147.13www.Matematica1.comLGEBRA

En una divisin de complejos, se debe teneren cuenta lo siguiente:i) Z =i d ci b a++; es un nmero real, si:dbca=ii) Z =i d ci b a++

; es imaginario puro, si:cbda =b) En la forma polar. Primero se hacela transformacin de cartesiano apolar; es decir:Z1= a + b i = r11Z2= c + d i

= r

22Entonces:2 1212 21 121rrrrzz = =OBSERVACIONES1. Elmodulo del cociente, es igual alcociente de los mdulos del dividendo ydivisor.2. El argumento del cociente, es igual a ladiferencia del argumento del dividendoy divisor.4. POTENCIACIN DE UN COMPLEJO.Para el caso de la potencia de uncomplejo se puede utilizar el binomiode Newton o la frmula de DE MOIVRE,

la cual veremos a continuacin:Dado; z = a + b i ;polar se obtiene:z = r

al transformar a

Donde r = z =2 2b a + Mdulo = arc tgab; -180 180 (arg.)zn= ( r

)

n= rnn zn=

r

n[ cos n + i sen n ]OBSERVACIONES1. El mdulo de la potencia es igual almdulo de la base a la potencia deseada.2. El argumento de la potencia es igual alargumento de la base por el exponentede la potencia.5. RADICACIN DE UN COMPLEJO.Para extraer la raz de un complejo seutiliza la frmula de DE MOIVRE.Dado : Z = a + bi = r , se tiene parala raz n-sima/n

r

r

z

n n n= =cuya expresin genrica es:zn=rn(

(||

| ++ |||

+

k 360Sen ik 360Cosn n donde: k = 0, 1, 2, 3 .........., ( n 1)

Tener en cuenta:

1 = Cos 0+ i sen 0i = Cos 90 + i sen 90-1 = Cos 180 + i sen 180- i = Cos 270 + i sen 270-1 10360180i- i27090www.Matem

atica1.comLGEBRA

Resolver:3: 1

x

SolucinComo; 1 = Cos 0 + i Sen , entoncesX =13

= ( Cos 0 + i Sen 0 )1/3Por De Moivre; se tiene:X =13

=Cosk 360 0sen ik 360 0||

| ++ ||| +3 3Donde : k = 0, 1, 2Para k = 0X

1

= Cos 0 + i sen 0

1

x

= 1Para k = 1 x2= cos 120 + i sen 120X2= - cos 60 + i sen 60X2=23i + 21Para k = 2 x3= cos 240 + i sen 240X3= cos 60 + i sen 60X3 =23i21

1. Una de las races complejas de la razcbica de la unidad es el cuadrado de laotra.2. La suma de las tres races cbicas de launidad es igual a cero3. El producto de las races compleja de laraz cbica de la unidad es igual a 1En conclusin:ww112=3

RACE CBICA DE LA UNIDADPROPIEDADE DE LA RACE CBICADE LA UNIDADProp.a) 1 + w + w2= 0b) w . w2= w3= 1c) w3k= 17.15www.Matematica1.

comLGEBRA

Igualdad. Es la relacin que nos indicaque dos expresiones tienen el mismovalor en un cierto orden de ideas.Ejm.:i A y B tienen el mismo valor,entonces decimos que:A = B

A: Primer miembrodonde:de la igualdadB: egundo Miembrode la igualdad

CLAE DE IGUALDADEA. Igualdad Absoluta:Formalmente son identidades que severifican para cualquier valor numricode sus letras, en la cual estn definidos.Ejemplo:a) (x + 2)3= x3+ 6x2+ 12 x + 8b) (x + a) (x a) = x2 a2c)2+2=2+2)

(x + y)(x y)2 (xy

B. Igualdad relativa o ecuacine llaman tambin igualdadescondicionales y se verifican paraalgunos valores de sus variables.Ejemplos:a) 3x 2 = x+2; se verifica para x = 2b) x

36x2+ 11 x 6 = 0; se verifica para:x = 1 x = 2 x = 3c) x2 1 = 0; se verifica para x = 1d) x4 16 = 0; se verifica para x = 2e) x5+ 1 = 0; se verifica para x = 1f) x7+ x62 = 0; se verifica para x = 1g) 3 x 2 x + + = 5; se verifica parax = 6.

Existen varias formas de clasificar a unaecuacin:A) Atendiendo al grado.Lasecuaciones pueden ser, de primergrado, de segundo grado, de tercergrado, etc. Ejemplos:a) 5 x + 3 = 0 ................... (1)b) 3x2 11 x 5 = 0 ........... (2)c) 9x3 x 2 = 0 . (3)B) Por el nmero de incgnitas, lasecuaciones pueden ser, de unaincgnita, de dos incgnitas, de tresincgnitas, etc. Ejemplos:a) De una incgnita:5x4 x2+ 3 = 0b) De dos incgnitas3x 5 y = 2 ............. (1)4x 3 y = 7 ............. (2)C) Atendiendo a sus coeficientes,las ecuaciones pueden sernumricas o literales. Ejemplos:

a)2b)43+

Numrica:

2x

6x 7 = 0Literal :

ax

bxc = 0

D) Atendiendo a su solucin,lasecuaciones pueden ser compatibleso incompatiblesa) Ecuaciones compatibles, sonaquellas que admiten solucionesy a su vez pueden ser:a.1) Compatibles determinadas.Estas ecuaciones presentan unnmero finito de soluciones.DEFINICIONE BICACLAIFICACIN DE LAECUACIONE8.18.2TEORIA DE ECUACIONEwww.Matematica1.comLGEBRA

a.2) Compatibles IndeterminadasEstas ecuaciones admiten infinitassoluciones.b) Incompatibles o absurdas.

Llamadas tambin incosistentes, secaracterizan por que no tienensolucin.E) Atendiendo a su estructuraalgebraica, las ecuaciones puedenser:a) Ecuaciones polinomiales2x4 x3+ 3x2 x 3 = 0b) Ecuaciones fraccionarias03 x51 x2x4 2=+c) Ecuaciones irracionales0 3 x 2 1 x3= d) Ecuaciones trascendentesi) 2x3+ 2x 4= 12ii) Logx(x 2) 5 x + 3 = 0ECUACIONE EQUIVALENTE.on todas aquellas ecuaciones quepresentan las mismas soluciones.Ejemplo:La ecuacin: 5x 3 = 2 x + 6Es equivalente a:La ecuacin: x + 2 = 5Ya que la solucin comn es:X = 3ECUACIONE PARCIALMENTEEQUIVALENTEon aquellas ecuaciones que por lomenos presentan una solucin comn.Ejemplo:La ecuacin : x2 5x + 6 = 0

Es parcialmente equivalente con laecuacin 0 2 x = ; ya que se verifica parax = 2 .

I. i a los dos miembros de una ecuacin,se suma o resta una misma expresinentera, o en forma particular un nmero,la ecuacin resultante es equivalente a laecuacin propuesta. Es decir:

i: A = B A m = B mII. Si a los dos miembros de una ecuacinse multiplica o divide por una expresinalgebraica independiente de cualquiervariable (diferente de cero y/o diferentede infinito) Se obtiene una nuevaecuacin equivalente a la ecuacinpropuesta. Es decir:Si : A = B mBmAm .

B

m .

A

==m 0 m III. Si a los dos miembros de unaecuacin se potencian o se extraenradicales de un mismo grado, la ecuacinresultante es parcialmente equivalente ala ecuacin propuesta.

Dada la ecuacin P(x) = 0, la solucin dela ecuacin es el valor que toma laincgnita, de forma que al remplazar estevalor en la ecuacin, esta se transformaen una igualdad numrica verdadera.Ejemplo: La ecuacin:2x2 5x = 7 x 10es verdadera para x = 5, ya que:PRINCIPIOS FUNDAMENTALESEN TRANSFORMACIN DEECUACIONESSOLUCIN DE UNA ECUACIN

8.48.5www.Matematica1.comLGEBRA

2 (5)2 5 (5) = 7 (5) 10 x = 5es solucin de la ecuacin.i + 1El conjunto solucin (C.S.) de unaecuacin es el conjunto ue estformado por la reunin de todas lassoluciones.Ejemplo # 1.Las soluciones de laecuacin:(x 3) (x + 4) (x 1) = 0, son:x = 3; x = - 4 ; x = 1Por consiguiente el conjunto solucin esC.S. = { - 4, 1, 3}Ejemplo # 2.- El conjunto solucin deecuacin : (x 2)3(x + 1)2= 0es: C.S. = { 2, -1,}, el cualcuando cada factor se iguala a cero.olvidar ue la ecuacin propuestapor races: 2, 2, 2, -1, -1.

la

se obtieneNotiene

Observacin :A. B = 0 A = 0 B = 0

Es aquella ecuacin cuya forma cannicao general adota la forma:P(x) = a0xn+ a1xn - 1+ a2xn-2.... + an-1x + an= 0Esta ecuacin es de grado nsi y solosi: ao 0 de otro lado ao, a1, a2....., anson coeficientes de la ecuacin de gradon.Raz de un Polinomio P(x).Es elvalor que al ser reemlazado en P(x),este toma el valor cero.Ejemlo:Dado el olinomio: P(x)= x3+ 1 una desus races es x = -1Ya que : P (-1) = (-1)3+1 = 0

TEOREMA DEL FACTOR.- Siolinomio P(x) se anulaentonces (x a) es unor consiguiente a es unaolinomio.Dicho de otra forma:Dado P(x) = 0, tal que P(a)

unara x = a,factor de P(x) yraz de dicho= 0 entonces

(x a) es un factor de P(x).Se cumle que P (x) (x a) Q (x)

1. Cuntas races tienen las siguientesecuaciones:a) P (x) = x5 x + 2 = 0Rpta. 5 races.) P(x) = (x + 3) (x 2) (x 4) + x6Rpta. 6 racesc) P(x) = (x 4)3(x + 6)2(x 7)3+ 1 = 0Rpta. 8 races2. Hallarsiguientesa) P(x) =Rpta. C.S.) P(x) =3(x 2)2(x + 6)3= 0Rpta. C.S.c) P(x) =Rpta. C.S.

el conjunto solucin en lasecuaciones:(x-3) (x + 2) (x 3) (x + 2) = 0= { {{ { -2, 3 } }} }(x + 1)

= { {{ { -1: 2; -6 } }} }(x +1) (x + 2) (x + 3) (x + n)= { {{ { -1; -2; -3; ...... ; -n } }} }

3. Determinar las races de lassiguientes ecuaciones: P(x) = 0a) P (x) = (x 1) (x + 2) (x 3) (x 5)Rpta. x1= 1; x2= -2; x3= 3; x4=5) P (x) = (x 1)3(x + 6)2(x 3)Rpta. x1= 1; x2

= 1; x3= 1; x4=-6x5= -6; x6= 3c) P (x)= x3 1Rpta. x1= 1; x2=2i 3 1+x3=2i 3 1 CONJUNTO OLUCIN DE UNAECUACINECUACIN POLINOMIAL CONUNA INCGNITAObservacin: Toda ecuacinpolinomial de grado n tiene nracesEJERCICIOS PROPUESTOS8.68.78.8www.Matematica1.comLGEBRA

TEOREMA FUNDAMENTAL DEL LGEBRA.La ecuacin polinomial.P(x) = aoxn+ a1xn-1+ . + an-1x+ an=0Con coeficiente ao 0, y grado n 1 concualquier tio de coeficientes numricostiene or lo menos una raz ya sea real ocomleja.Ejemlo # 1.- La ecuacin: P(x)= 0P(x) = x4 1; tiene una raz igual a:i = 1 , ya que:P(i) = i4 1 = 1 1 = 0Ejemplo # 2. La ecuacin: P(x)=0P(x) = x2 2; tiene una raz igual a :2 , ya que :P ( 2 ) = ( 2 )2 2 = 2 2 = 0

Dada la ecuacin polinomial de gradon y coeficiente principal diferente decero (ao 0)aoxn+ a1x

n- 1+ a2xn 2+ ... + an= 0que tambin uede ser reresentadaor:ao[xn+01aaxn 1+02aaxn 2+ ..+0naa]= 0cuyas races son {x1, x2, x3,xn}el cual nos reresenta la ecuacinao(x x1) (x x2) (x x3) .... (x xn) = 0cuyo desarrolloen roductos notableses:ao[x

n (x1+ x2+ x3+ . xn) xn 1++ (x1x2+ x1x3+ xn 1xn) xn 2- (x1x2x3+ x1x2x4+ xn 2xn 1xn) xn 3+ ...... + (-1)n(x1x2x3+ xn ) ] = 0

Al identificar los coeficientes, vemos lasrelaciones corresondientes entrecoeficientes y races, as tenemos:A1.- Suma de racesx1+ x2+ x3+ . + xn= oaa1A2.- Suma de los roductos de lasraces tomadas de dos en dos o sumade roductos binarios.x1x2+ x1x3+ x1x4+.+xn-1xn= +oaa2A3.- Suma de los roductos de lasraces tomadas de tres en tres o sumade roductos ternarios.x1x2x

3+ x1x2x4+.+xn-1xn= o3aaAs sucesivamente:An.- Producto de todas las races.x1x2x3... xn-1xn= (-1)nonaa

Ejercicio #1.- Dada la ecuacin5 x4 3 x3 + 2 x 3 = 0Hallar la suma de sus races y su roductocorresondiente.Solucin:Teniendo en cuenta que la suma delas races de una ecuacin de gradon es igual al coeficiente de xn-1entreel coeficiente de xn, con signocambiado; se tendra:Coef. de x4= 5

5x4 3x3+ 2x 3 = 0Coef. de x3= -3suma de races:x1+ x2+ x3+ x4=5353=RELACIONE ENTRE LA RACE YCOEFICIENTE DE UNAECUACIN POLINOMIAL(TEOREMA DE CARDANO VIETA)EJERCICIO REUELTO8.98.10www.Matematica1.comLGEBRA

De otro lado el producto de todas lasraces de una ecuacin de grado nes igual a su trmino independientedividido entre el coeficiente de xnymultiplicado por (-1)n.Es decirpara:Coef. de x4= 55x4 3x3+ 2x 3 = 0TerminoIndepediente. = -3De donde:Producto de races:x1. x2. x3. x4= (-1)4(53) = 53Ejercicio # 2.- Resolver:x3 x2 x 2 = 0Sabiendo ue dos de sus racessuman menos uno.Solucin:Sean las races: {x1, x2, x3}Por condicin: x

1+ x2= -1 ..... (1)Del Teorema de Cardano Vietax1+ x2+ x3= 11 = 1 ....... (2)Reemplazando (1) en (2):1 + x3= 1 x3= 2

iendo x3= 2, una de las races dela ecuacin, esta contiene al factor(x 2), obtenindose el otro factor,por la regla de Ruffini: 2

1 1 121 +De donde,(x 2) (x2+ x + 1)Igualandoa) x 2b) x2+ x + 1 =

1

21

+ 20

tendramos:= 0cada factor a cero:= 0x = 20

x =) 1 ( 2) 1 )( 1 ( 4 1 1

x =2i 3 1 Las races de la ecuacin dada son:2 x;2i 3 1 x;2i 3 1

x3 2 1=+= =

1) En las siguientes ecuacionesdeterminar la suma de las races y elproducto correspondiente.a) 2x7+ 3x5 5x2 7 = 0Rpta: uma = 027

;

b) 3x9 2x8+ 7x6 5x = 0Rpta: uma =32; Producto = 0c) 4x8 5x3 2x = 0Rpta: uma = 0;d) 7x6 2x5+ 5x4 3x3 6x2 8x + 3 = 0Rpta: uma =72; Producto =73

Producto =

Producto = 0

2) Resolver:2x3 x2 7x 3 = 0,sabiendo que dos de sus races sumanla unidad.Rpta:213 11+= x ;213 12= x ;213 = x3) Resolver:36x3 12x2 5x + 1 = 0,sabiendo que una de las races esigual a la suma de las otras dos:Rpta:611= x ;212= x ;313= x4) Resolver: x4 12x 5 = 0, sabiendoque admiten dos races que suman 2.Rpta: 2 11+ = x ; 2 12 = x ; i x 2 13+ =i x 2 14 =

x 2 = 0X = 2EJERCICIO PROPUETOwww.Matematica1.comLGEBRA

8.11

Con respecto a las ecuaciones degrado superior a 2; se efecta enforma general:(a) Factorizando la ecuacinpropuesta e igualando a cero cadafactor.(b) Por artificios, damos forma deecuaciones conocidas, porejemplo las cuadrticas y otrasque se estudiaran.Debe tenerse en cuenta los siguientesprincipios: P(x)=01. Toda ecuacin polinomial de gradon, tiene n races.2. En toda ecuacin con coeficientesracionales, las races complejas sepresentan por pares conjugados.3. En toda ecuacin con coeficientesracionales, las races irracionales, sepresentan por pares conjugados.Ejemplo # 1.Una raz de laecuacin. P(x) = 0, donde:P(x) = x4 7x3+ 14x-2x-12

Es : 1- 3 , hallar las otras racesSolucin:Dado ue : x1= 1- 3 , otra de susraces ser la conjugada :x2= 1 + 3 ; del teorema del factor.P(x) = [x-(1- 3 )][x-(1+ 3 )]Q(x)P(x) = [(x-1)-( 3 )] Q(x)P(x) = (x-2x-2) Q(x)Por divisin : Q(x) = x -5x + 6 : Q(x) = (x-2) (x-3)Con lo cual:P(x) = (x-2x-2) (x-2)(x-3)=0Se divide las races por:x1=1- 3 ; x2= 1+ 3 ; x3=2;x4=3

Plantean una ecuacin es la traduccin deun problema del lenguaje materno allenguaje matemtico.Problema 1.- Qu da y hora del mesde abril se verifica ue la fraccintranscurrida del mes es igual a la fraccintranscurrida del ao? (El ao es bisiesto).Solucin:Debe entenderse ue:Das Transcurridas1. Fraccin del Mes :-------------------------De Abril30 dasDas transcurridas2. Fraccin del ao: --------------------------366 dasAnalizando:i. Para el mes de AbrilSupongamos ue hace transcurridox das, entonces su fraccin ser:

30xii. Para el ao bisiesto (366 das). Seobserva ue han transcurrido.E

+

F +

M +

X

= 91 + x

31 das 29 das 31 dasdasCon lo cual su fraccin ser :36691 x +Dado ue las fracciones son iguales,se cumple:das xx x8653669130= > +=: x = 881dasREOLUCION DE ECUACIONE DEGRADO UPERIORPLANTEO DE ECUACIONE8.128.13www.Matematica1.comLGEBRA

como el da tiene 24 horas

x= 8

das y 3 horas. Han transcurrido 8das, ms 3 horas.

Problema 2. Un padre tiene 32 aos ysu hijo 5 Al cabo de cuntos aos, laedad del padre ser diez veces mayorque la de su hijo?

olucin:ea x la cantidad de aos ue senecesitan para ue se cumpla lacondicin:Luego el padre tendr : 32 +xy el hijo: 5 + x Se cumple :32 + x = 10 (5+x)Resolviendo :32 + x = 50+10x-18 = 9x x =-2El signo menos indicacumpli:Hace dos aos :

ue la condicin se

Rpta.

Problema 3.Dispongo de 800 soles ygasto los53de lo ue no gasto Cuntono gasto?.Solucin:De acuerdo al enunciadoNo gasto : xGasto: 800 xDe donde la ecuacin resultante es:800 x =53x4000 5x = 3x x = 500 No gasto 500 soles

Rpta.

Problema 4.- Qu da del ao marcarla hoja de un almanaue creando elnmero de horas arrancadas excede en 8a los474del nmero de hojas ueuedan?Solucin:Sea x el nmero de hojas arrancadas.Entonces:(365 x) es el nmero de hojas ue

faltan por arrancar.Luego la ecuacin resultante es:x 474(365 x) = 8de donde :x = 36Como enero tiene 31 das, uieredecir ue se han arrancado 5 hojasdel mes de febrero por consiguiente,el da del ao ue marca elalmanaue es el 6 de febrero. Rpta.

01. Determinar k en la ecuacin desegundo grado:(k 2) x2 2k x + 9 = 0sabiendo ue sus races son iguales.SolucinDado ue las races son iguales,el discriminante vale cero, esdecir: = 0 b2 4 ac = 0Remplazando:(-2 k)2 4(k 2) 9 = 04 k2 4 (9k 18) = 0Simplificando:k2 9 k + 18 = 0Factorizando:k = 6(k 6) (k 3) = 0 k = 3

02. La suma de tres nmeros paresconsecutivos es 66.Hallar elmenor de los nmeros .El da pedido ser el 9 deAbril a las 3 a.m.Rpta.PROBLEMAS DE REPASO8.14www.

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Solucin:De acuerdo a los datos:El # menor: xEl # del medio : x + 2El # mayor : x + 4Por consiguiente la ecuacinresultante es:x + x + 2 + x + 4 = 663 x = 60x = 20Rpta.03. Un padre tiene 30 aos y su hijo3.Dentro de cuantos aos la edaddel padre es el cudruple de lade su hijo.Solucin:Actualmente :Edad del padre : 30Edad del hijo: 3Dentro de x aosEdad del padre : 30 + xEdad del hijo: 3 + xEcuacin resultante:30 + x = 4 (3 + x)Resolviendo:30 + x = 12 + 4 x18 = 3 xde donde:x = 6 aos Dentro de 6 aos la edad delpadre ser el cudruple de la de suhijo.Rpta.

1. Un individuo va en un tren ue llevauna velocidad de 30 km/hr. y vepasar en 3 segundos otro tren uemarcha en sentido contrario;sabiendo ue el segundo tren tieneuna longitud de 60 mts, su velocidades:a) 35 km/hrb) 38 km/hrc) 40 km/hrd) 42 km/hr.e) 44 km/hr2. La cantidad ue debe restarse a losdos trminos de la fraccinbaparaue llegue a ser igual a su cuadradoes:a)aba b +b)b aab+c)b aabd)abb a e)22bb+

22aa

04. Calcular en que instante delviernes, la fraccin de datranscurridoes igual a lafraccin transcurrida de lasemana.a) 2 p.m.b) 3 p.m. c) 4 p.m.d) 8 p.m.e) 9 p.m.05. Guillermo tiene hoy cuatroveces los aos que tena Waltercuando el tena 13 aos; Waltertiene hoy 22 aos.Hallar laedad de Guillermo.a) 25 b) 26 c) 27 d) 28 e) 2906. Un nio rob flores en un jardn,y despus de andar 80 pasosempez a perseguirle eljardinero.El nio da cuatropasos mientras que el jardinero

da tres; pero cinco pasos deste equivalen a siete de aquel.El nmero de pasos que dio eljardinero para alcanzar al nio yel nmero de estos que dio elnio mientras dur lapersecucin, fueronrespectivamente:a) 600 y 800 pasosb) 900 y 1200 pasosc) 1200 y 1600 pasosd) 1500 y 2000 pasose) 1800 y 2400 pasosEJERCICIO8.15www.Matematica1.comLGEBRA

on aquellas ecuaciones que al hacer uncambio de variable en su estructuracinalgebraica se transforma en una ecuacinde la forma:ax2+ b x + c= 0

;

a 0

A continuacin mostraremos diversosejemlos sobre transformacinde ecuaciones a ecuaciones

cuadrticas.Ejem. 1: Resolver43=+2 x 35 x 25 x 22 x 3

olucin:Haciendo la transformacin:z1= =2 35 25 22 3xxzxxdonde z > 0; la ecuacin dada setransforma en:Z +43=Z z2 4z + 3 = 0Factorizando; (z 3) (z 1) = 0Vemos que: z = 3 z = 1Para: z = 3 5 22 3Xx= 35 22 3

xx= 9resolviendo:1543= xPara : z = 1 5 22 3xx= 1Resolviendo:x = 3el conjunto solucin es: C..)`3 ;1543Ejem. # 2: Resolver la ecuacin:2x2+ 4x 7 10 x 2 x2+ + = 5

olucinExpresando la ecuacin en la siguienteforma:2(x2+ 2x + 10 10) 7 10 x 2 x2+ + = 5De otro lado; haciendo : 10 x 2 x2+ + = atal que (a > 0); se tiene:2 (a2 10) 7 a = 52 a2 7a 15 = 0Factorizando por aspa simple:2a33 aa510 a 7 aa = 5 : i

(2a + 3) (a 5) = 0 va = 23: Novolviendo a la variable original:10 x 2 x2+ + = 5x2+ 2x 15 = 0Factorizando:x2+ 2x 15 = 0x

5

5 x

x3 3 xECUACIONE REDUCIBLEA CUADRTICAITEMA DE ECUACIONE DE ORDEN UPERIORINTERPRETACION GRAFICAECUACIONE REDUCIBLE A CUADRATICAECUACION BICUADRADAwww.Matematica1.comLGEBRA2 x(x +5) (x 3) = 0 C.. = { 5, 3 }Ejm. # 3. Resolver(x 3) (x 4) (x 2) (x 1) 120 = 0

olucin:Multiplicando los factores 2 a 2 deforma ue la suma de los trminosindependientes sean iguales.(x 3) (x 4) (x 2) (x 1) 120 = 0

obtenemos:(x25x+ 6) (x2 5 x + 4) 120 = 0Haciendo la transformacin; x2 5x = ase tendra, la ecuacin:(a + 6) (a + 4) 120 = 0a2+ 10 a 96 = 0Factorizando:a = 6(a + 16) (a 6) = 0a = -16volviendo a la variable originalPara: a = 6x = 6x2 5 x 6 = 0 (x 6) (x+1 ) = 0x = -1Para : a = -16x2 5 x + 16 = 0 x =264 25 5 x =2i 39 5 C.. = {1;6;2i 39 5;2i 39 5 +}Ejm. # 4: Resolver:8

x 5

x

2 x 3 xn2n22 x 3 x 8 x 5 x2 2+

++ ++= 2

olucin:Haciendo la transformacin: x 5 xa2 x 3 xn2n22 x 3 x 8 x 5 x2 2+ += ++=a18

:

la ecuacin dada, se transforma en:a +a1= 2 a2 2 a + 1 = 0(a 1)2= 0 a = 1volviendo a la variable original:18 x 5 x2= ++n22 x 3 x x2 3x + 2 = x2+ 5x 8 8 x = 10 x =45Rpta.

Determine un valor de x, para lasiguientes ecuaciones:01).5 x 27 x 3+7 x 35 x 2= 2Rpta.x = 202). (x 3) (x 4) (x 5) (x 6) 24= 0Rpta.x = 703). 2x2 3x 2 7 x 3 x 22+ = 1Rpta. x = 304).63 x 2 x x6 xn3 4n3 4+ + ++ ++ +x x3 4=2

x x

++x 3 x 2 x x3 4Rpta:

x = 3

05). x (x + 1) (x + 2) ( x + 3) 120 = 0Rpta.x = 206). 6x2 4x 9 9 x 2 x 32+ = 17Rpta.x = 407). 640 24x=+

3 x 2 5 x 33 x 2Rpta. x = 1,708) ( x +x1 2) (x +x1+ 2) =964Rpta.

x = 3

PROBLEMA PROPUETOwww.Matematica1.comLGEBRA

Es la ecuacin polinomial de cuartogrado que contiene solamentepotencias pares de la incgnita, suforma cannica o general es:ax4+ bx2+ c = 0

;

( a 0)

a ; b y c son los coeficientes;

x es la incgnita.

La ecuacin bicuadrada:ax4+ bx2+ c = 0 ;a 0resenta cuatro races, que se obtienenhaciendo el cambio de variable:x2= y a y2+ b y + c = 0 ; (a 0)Las races corresondientes a esta ltimaecuacin estn dadas or:a 2c a 4 - bb y2=Dado que:x2= y x = y ; con lo cual:x = a 2c a 4 - b b2 en consecuencia, las racescorrespondientes de la ecuacinbicuadrada son:a 2c a 4 b b x21+= = ma 2c a 4 b b x22+= = ma 2c a 4 b b x23= = na 2c a 4 b b

24

x

= = n

La ecuacin bicuadrada:ax4+ bx2+ c = 0; se puede resolver porfactorizacin (Aspa simple).i: b2 4 a c; es un cuadrado perfecto.Ejem. # 1: Resolver9 x4 13 x2+ 4 = 0olucinDado que: a = 9 ; b = 13 ; c = 4b2 4 a c = (13)2 4(9) (4) = 25 ; es uncuadrado perfecto, la ecuacin esfactorizable; en efecto los factores de:9 x4 13 x2+ 4 = 09 x2 4 4 x2x2

1

2

9 x

13 x

2

on: (9x

2

4) (x2 1) = 0Asimismo, cada parntesis se puedefactorizar aplicando diferencia de

cuadrados, es decir:(3x + 2) (3x 2) (x + 1) (x 1) = 0Igualando cada factor a cero las racescorrespondientes son:x1=32 ; x2=32; x3= 1 ; x4= 1Ejm. # 2: Resolver:x4 15 x2 16 = 0

olucinComo: b2 4ac = (15)2 4(1)(16) = 289es un cuadrado perfecto, los factoresseran:(x2 16) (x2+ 1) = 0igualando cada factor a cero:x1= 41) x2 16 = 0 x2= 16x2= 4x3= i2) x2+ 1 = 0 x2

= 1

x

4

= iEjm. # 3 : Resolver:4 2 2 42 2 4a a x xa x x+ ++=9190ECUACIN BICUADRADARACE DE LA ECUACINBICUADRADAOBERVACIN:www.Matematica1.comLGEBRA

olucin:De la propiedad de proporciones, seobtiene:91x4+ 91x2a2= 90x4+ 90 x2a2+ 90a4

x4+ a2x2 90 a4= 0Factorizando; se tendra:(x2+ 10 a2) (x2 9 a2) = 0Igualando cada factor a cero; las races dela ecuacin son:x1= 10 a ii) x2= 10 a2vx2= 10 a ix3= 3 aii) x2= 9 a2vx4

= 3 a

Resolver:01) x4+ 5 x2+ 6 = 0x1= 2 i;2= 2 i;

x

x3= 3 i;4

=

3 i

02) x4 68 x2+ 256 = 0x1= 2; x2= 2 ; x3= 8 : x4= 803) x4 50 x2+ 49 = 0x1= 7; x2= 7 ; x3= 1 ; x4= 104) x2(x2+ 32) = 144x1= 6 i; x2= 6 i ; x3= 2 ; x4= 205) (1 + x)4+ (1 x)4= 34x1= 2 ;x2

x

= 2 ; x3= 2 2 ix4= 2 2 i.06)2x1=42 2aa x 12x1=33 a; x2= 33 ax3=2aix4= 2ai07) 4 (a2 b2)x2= (a2 b2+ x2)2x1=2 2b a ; x

2

= 2 2b ax3=2 2b a ; x4= 2 2b a

Respecto a la ecuacin:ax4+ b x2+ c = 0;(a 0)de races: x1, x2; x3; x4; se cumle:de acuerdo con el Teorema de Cardano Vieta.I. SUMA DE LAS RACESx1+ x2+ x3+ x4= 0II. SUMA DEL PRODUCTO DE LASRACES TOMADAS DE DOS EN DOS.x1. x2+ x3. x4=ab

III. PRODUCTO DE LAS RACESx1. x2. x3. x4=ac

Conociendolas 4 races de la ecuacinbicuadrada: x1; x2; x3y x4. La ecuacin aformar adota la forma:(x x1) (x x2) (x x3) ( x x4) = 0efectuando las oeraciones indicadas,tendramos:x4+ (x1x2+ x3x4) x2+ x1x2x3x4

= 0

01.) Una de las soluciones de unaecuacin bicuadrada es 5.Reconstruir la ecuacin; si:x1x2x3x4= 225Solucin:Si una de las races esx1= 5 ; la otraraz es: x2= -5EJERCICIOS PROPUESTOSPROPIEDADES DE LAS RACESDE LA ECUACIN BICUADRADARECONSTRUCCIN DE LAECUACIN BICUADRADAEJERCICIOSwww.Matematica1.comLGEBRAReemlazando en el dato:(5) (-5) x3x4= 225 x3x4

= -9como x3= - x4 (-x4) (x4) = - 9x24= 9Con lo cual : x4= 3y x3= -3Reemplazando en la frmula:X4+(x1x2+ x3x4) x2+ x1x2x3x4= 0Obtenemos:X4+ (-25 9) x2+ (5) (-5) (-3) (3) = 0 la ecuacin ser:x4- 34 x2+ 225 = 0Rpta.02.) Calcular m para ue las cuatroraces de la ecuacin bicuadrada:X4

(3m + 10) x2+ (m + 2)2= 0,formen una progresin aritmtica.Solucin:Sean las races de la ecuacinbicuadrada en progresin aritmtica. x1. x2. x3. x4 tambin: (a 3 r) . (a r) . (a + r) . (a + 3r)de razn 2 rde las propiedades de las races se tiene:1.1+ x2+ x3+ x4= 0

x

a 3 r + a r + a + r + a + 3r = 0vemos ue: a = 0, con lo cualx1= - 3 r ; x2= - r ; x3= r ; x4= 3r2.1. x4+ x2. x3=ab

x

(- 3 r) (3 r) + (-r) ( r )= 1) 10 m 3 ( +

10r2= 3 m + 103..1. x2. x3. x4=c

..

()

x

(3 r) ( r) ( r) (3 r) =1) 2 m (2+9 r4= (m + 2)2 3r2= m + 2

. ()

Dividendo () (), obtenemos:22r 3r 10=2 m10 m 3++ 10 m + 20 = 9 m + 30 m = 10Rpt.

1. Clculr m para ue las races delas ecuaciones bicuadradas estn enP.A.a) x4 (4 m + 10) x2+ (m + 7)2= 0Rpta.m = 20

b) x4 (4 m + 2) x2+ (2 m - 5)2= 0Rpta.c)42+2=

m = 7

x2 (m + 7) x(2m 21)0Rpta.

m = 18

2. Formar las ecuaciones bicuadradas,conociendo sus races:a) x1= - 3 ; x3= 6Rpta.x4 9x2+ 18 = 0b) x1= 2 3 ; x3= - 3 3Rpta.x4+ 39x2+ 324 =03. Una de las races de una ecuacinbicuadrada es 7.Reconstruir laecuacin; si:x1x2x3x4= -441Rpta.x4 58 x2441 =

0

Es un conjunto de ecuaciones ue severifican para los mismos valores de susincgnitas. Se presentan diversos casos:EJERCICIOSSISTEMA DE ECUACIONES DEORDEN SUPERIORwww.Matematica1.comLGEBRA01.- Calcular x en el sistema:x + y = 2 .................... ( )x y = 1 ................... ( )Solucin:De () : y = 2 xReemplzndo en ():X (2 - x) = - 1 x2 2x 1 = 0Resolviendo la ecuacin cuadrticax = 1 + 2x = 1 - 202.- .- Resolverx + y = 1 .................... (1)x2+ y2= 25 ................. (2)Solucin:De (1) : y = 1 x; remplazando en (2):

x2+ (1 x )2= 25x2+ 1 + x2 2x = 25Simplificando, otenemos:x2 x - 12 = 0Factorizando (x 4) (x + 3) = 0Igualando cada factor a cero:Para:x = 4y = - 3Para:x = -3y = 403.- Resolver:x2 2 x y + 3 y2= 19 ...... (1)2x2xy + 4 y2= 38 ...... (2)Solucin:Haciendo la transformacin: y = k x en(1) y (2); se tendra:x2 2 x . kx+ 3 k2x2= 19 ....... ()2x2 x . kx + 4 k2x2= 38 ....... ()Dividiendo () ()3819=++) k 4 k - (2 x) k 3 k 2 - (1 x2 22 2Por proporciones:

38 76 k + 114 k2= 38 19 k + 76 k2k = 0 (No)38 k2 57 k = 0k =23(Si)Dado que : y =23x ; en ............. ()x2 2x .23x + 3 .49x2= 19x2 3x2+4x 272= 19 x2= 4x = 2De donde:Pr:x = 2Pr:x = 24. Resolver:23 y x36 y x 21=+++............( )13 y x5

y = 3y = 3

6 y x 27=+ +............()Solucin:Aplicndo determinntes, tendrmos:)6 y x 21 +=5 3715 312=2613=21De donde:b)3 y x1 +=5 3711271=26

2 x + y = 8

......... (1)

13=21De donde:

x + y = 5

......... (2)

Resolviendo (1) y (2):2 x + y = 8 ................... (1)x + y = 5 .................. (2)por determinntes.31 25 811121158xx = 3www.Mtemtic1.comLGEBRA21 28 10

= = =

11125812y

= = =

y = 25. Resolver el sistem:(x2 y2) ( x y) = 5 ........ (1)(x2+ y2) (x + y) = 65 ..... (2)SolucinHciendo ; x = my ; se obtiene:(m2 1) y2(m 1) y = 5....()(m2+ 1) y2(m + 1) y = 65 ....()Dividiendo () ():1135651) (m1) m (2= = +

1) m (1) (m

1) (m

+ +Por proporciones:m2+ 1 = 13 m2 26 m + 13simplificndo:6 m2 13 m + 6 = 0Fctorizndo:2 m3 9 m3 m

2 4 m13 mm =

23(2 m 3) ( 3m 2) = 0m =32Pr :23

m =

En ... () : ||

||||

1

23

149y3= 55 (1) y3= 5 (8)y = 2Como x = my x =23(2)

X = 3Pr :32m =

x = 2

y = 3

L Rect. Su grfic est dd por lfuncin linel cuy regl decorrespondenci es:L : y = m x + bxy

0b

;

m , b, x R

b/m0

Al coeficiente m se le llamade la recta y es tal ue: m =La Parbola.Su grficapor la funcin cuadrtica cuyacorrespondencia es:

pendientetg est dadaregla de

y = a x2+ b x + c ; a, b, c, x R; a 0con relacin al discriminante = b24 ac, tendramos los siguientesgrficos de la parbola.(:) Si, a > 0 la parbola es cncavohacia arriba y dependiendo deldiscriminante, tendramos:a)

> 0

donde:V (h, k) = V ||\| a 4 a 2

b

;

GRFICAS DE INTERSL : y = m+ bxymb0byX0hcx2x1V (h; k)www.Matematica1.comLGEBRA

b)

= 0

c)

< 0

II) Si, a < 0, la parbola es cncavohacia abajo y dependiendo deldiscriminante tendramos:a)

> 0

||\| a 4 a 2b

;

b)

= 0

c)

< 0

La circunferencia.general es:(x h)

Su ecuacin

2+ (y k)2= r2Centro ; (h ; k)Radio : rAsimismo tenemos:La Elipse.- La ecuacin general es:1b) k y (a) h x (2 22=+La Hiprbola. u ecuacin generales:1b) k y (a) h x (2222=Las ecuaciones de grado superior quese pueden presentar es:(I) Recta y Circunferenciax + y = C1x2+ y2= r2

A los ms hay 2 solucionesreales.(II) Elipse y Hiprbole1b) k y (a) h x (2222=+1n) k y (m) h x (2222=+A lo ms hay 4 soluciones reales.Entre otras combinaciones.Xyc0V (h; o)a > 0Xyc0a > 0y0xycxcx1V (h, k)k

x2h0yxc0x1 =x2C(h,k)rxy0V (h, k) = V ||

| a 4 a 2b

;

2www.Matematica1.comLGEBRA

Son relaciones de comparacin entre dos oms cantidades reales de diferente valor.Ejemplo; si:La edad de Juan es: 20 aosLa edad de Pedro es :30 aosLa edad de Luis es: 50 aosSe tendr las siguientes relaciones1. La edad de Juan es menor que laedad de Pedro.