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Áreas de figuras1
Matemáticas1º ESO
Área de una superficie
El área de una figura es la cantidad de superficie que ocupa.
Estos dos figuras, aunquediferentes, están formadas por el mismo número de cuadrados: 10 cada una.
La unidad de superficie que hemos empleado ha sido el cuadrado.
Medir una superficie es hallar su área. Para ello se compara conotra superficie elegida como unidad, y se averigua el número
de unidades que contiene.
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Áreas de figuras2
Matemáticas1º ESO
Unidades de superficie
La unidad fundamental se superficie es el metro cuadrado (m2).
La niña esta sentada dentro de un metro cuadrado.
Un decímetro cuadrado es la superficie de uncuadrado de 1 dm de lado. Se escribe dm2
Un centímetro cuadrado es la superficie de uncuadrado de 1 cm de lado. Se escribe cm2
Un metro cuadrado es la superficie de un cuadrado de un metro de lado.
También pueden definirse el decámetro cuadrado (dam2), el hectómetro cuadrado (hm2) y el kilómetro cuadrado (km2).
Un milímetro cuadrado es la superficie de uncuadrado de 1 mm de lado. Se escribe mm2
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Áreas de figuras3
Matemáticas1º ESO
Relaciones entre las unidades de superficie
Observa:
En general, una unidad de superficie es 100 veces mayor que la de orden inmediato inferior, y 100 veces menorque la del orden inmediato superior.
Para pasar de una unidad a otra se sigue el esquema:
m2 dm2 cm2hm2km2 mm2dam2
De mayor a menor: Se multiplica por 100
: 100
x 100 x 100 x 100 x 100 x 100 x 100
De menor a mayor: Se divide entre 100
: 100 : 100 : 100 : 100 : 100
1 m2 = (10 · 10 ) dm2 = 100 dm2
1 m = 10 dm
1 m
= 1
0 dm
10 · 10 = 100
1 m2
100 dm2
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Áreas de figuras4
Matemáticas1º ESO
Unidades agrarias
Son las unidades que utilizan agrónomos, agrimensores y agricultores.
El área (a) es la superficie de un cuadrado de 10 m de lado.
Un piso mediano tiene, aproximadamente, una superficie de un área.
El hectárea (ha) equivale a 100 áreas.
La superficie de un campo de fútbol es, aproximadamente, una hectárea.
El centiárea (ca) es la unidad más pequeña: 1 área es igual a 100 ca
La relación entre las unidades agrarias y las del SMD es:
1 a = 100 m2 = 1 dam21 ha = 10.000 m2 = 1 hm2 1 ca = 1 m2
Ejemplo: 8 ha = 800 a = 80.000 ca = 800 dam2 = 80.000 m2
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Áreas de figuras5
Matemáticas1º ESO
Área del rectángulo y del cuadrado
El largo del rectángulo de la figura es 8 cm, y el ancho es 4 cm. ¿Cuántos cm2 tiene este rectángulo?
El área de un rectángulo es igual al producto de su base por su altura: A = b · h
El área de un cuadrado es igual al productodel lado por sí mismo.Es decir, es igual al lado cuadrado: A = l2
8 cm
Como cada cuadrado es 1 cm2, en total habrá 8 · 4 = 32 cm2.
El número de centímetros cuadrados es el área del rectángulo.
A = b · h
b
h
4 cm
Como un cuadrado es un rectángulo con la altura igual que la base:
l
l A = l2
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Áreas de figuras6
Matemáticas1º ESO
Área del paralelogramo
Al trazar la altura en el paralelogramo ABCD se obtienen dos partes.
b
h
La base y la altura del rectángulo son las mismas que las del paralelogramo. Además, el área de ambas figuras es la misma, luego:
A
C
D
B
b
h
RA
C
D
B
P
Aparalelogramo = Arectángulo = b · h
El área del paralelogramo de la figura, cuyas medidas vienen dadas en cm, es:
7
2
A = 7 · 2 = 14 cm2
Ejemplo:
Unidas de otra manera podemos formar el rectángulo PBCR. Observa:
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Áreas de figuras7
Matemáticas1º ESO
Área del triángulo
A partir del triángulo ABC podemos dibujar el paralelogramo ABDC.
b
La base y la altura del triángulo son las mismas que las del paralelogramo. Pero en el paralelogramo hay dos triángulos, luego el área del triángulo será la mitad que la del paralelogramo:
D
A C
B
b
El área del triángulo de la figura, cuyas medidas vienen dadas en cm, es:
7
2Ejemplo:
h
D
A
B
h
C
2
h · b
2
AA amoparalelogr
triángulo
A = = 7 cm27 · 22
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Áreas de figuras8
Matemáticas1º ESO
Área del trapecio
Partiendo del trapecio EHGF, dibujamos el paralelogramo EPRF.
La base del paralelogramo es la suma de las base del trapecio (B + b), y la altura h es la misma. Pero en el paralelogramo hay dos trapecios, luego el área del trapecio será la mitad que la del paralelogramo:
G
E H
F
El área del trapecio de la figura, cuyas medidas vienen dadas en m, es:
Ejemplo:
R
h · 2
b B
2
h · b) (B
2
AA amoparalelogr
trapecio
A = · 4,5 = 12,8 m23,1 + 2,62
h
B P
b
h
E
F R
PB b
3,14,5 m
2,6
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Áreas de figuras9
Matemáticas1º ESO
Área de los polígonos no regulares
Para hallar el área de un polígono se descompone en triángulos, uniendo un vértice con los demás:
El área del pentágono de la figura es la suma de las áreas de los triángulos T1, T2 y T3.T1 T2
T3
T1
T2
El área del cuadrilátero es la suma de las áreas de los triángulos T1 y T2.
En cada caso, las áreas de los triángulos se hallarán aproximadamente, midiendo su base y altura.
Para T2, por ejemplo, midiendo b y h.
bh
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Áreas de figuras10
Matemáticas1º ESO
Área de los polígonos regulares
2
a · pa ·
2
ph · bAA amoparalelogrregular polígono
A partir de un polígono regular podemos obtener un paralelogramo de igual área, como indican las figuras:
l
aa
a
2
pb
La base b del paralelogramo es la mitad del perímetro del polígono y la altura coincide con la apotema del mismo, luego:
(el pentágono se descompone en 5 triángulos)
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Áreas de figuras11
Matemáticas1º ESO
Área de prismas
Para calcular el área total del prisma se suma el área lateral al área de las bases.
2b cm 36,3
2
7,04,82A
Las caras laterales de este prisma son rectángulos, y las bases son hexágonos.
Vamos a calcular su área lateral y su área total.
Área lateral:
C1C1 = 4,8 cm C1C´1 = 2,7 cm
Al = 4,8 × 2,7 = 12,96 cm2
Área de las base:
Lado = 0,8 cm Apotema = 0,7 cm
Área total: Al + Ab = 12,96 cm2 + 3,36 cm2 = 16,32 cm2
A´
A
Perímetro: 0,8 cm × 6 = 4,8 cm
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Áreas de figuras12
Matemáticas1º ESO
Área de pirámides
Para calcular el área total de la pirámide se suma al área lateral el área de la base.
Las caras laterales de una pirámide son triángulos, y la base un polígono.
Vamos a calcular el área lateral y total de la pirámide de la figura.
Área lateral:
Base = 1 cm Altura = 3,1 cm
Al = 1,55 cm2 × 5 = 7,75 cm2
Área de las base:
Apotema = 0,7 cm
Área total: Al + Ab = 7,75 cm2 + 1,75 cm2 = 9,5 cm2
Perímetro: 1 cm × 5 = 5 cm
Es la de cinco triángulos iguales.
55,12
3,11 A
2b cm 75,1
2
7,05A
base0,7 cm
apotema
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Áreas de figuras13
Matemáticas1º ESO
Área de un círculo
Se descompone el círculo en sectores circulares y se colocan como indica la figura:
r
r ·
Si se divide el círculo en un número muy grande de sectores circulares, la figura de la derecha se aproxima a un paralelogramo de base la mitad de la longitud de la circunferencia ( ) y de altura el radio r.r ·
Luego:2
amoparalelogrcírculo r · r ·r · h · b AA
El diámetro de un disco es 30 cm. Calcula su área.
A = 3,14 · 152 = 3,14 · 225 = 706,5 cm2
Ejercicio:
30
15
Si el diámetro vale 30, el radio será 15 cm.
Luego:
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Áreas de figuras14
Matemáticas1º ESO
Área de la corona circular
Si de un círculo con centro O y radio R recortamos otro círculo más pequeño de radio r y con el mismo centro, se obtiene una figura que se llama corona circular.
)r (R · r · R · A 2222
Rr
O
El área de la corona circular es igual a la diferencia del área del círculo mayor y del círculo menor:
Ejemplo: El área de la corona circular de la figura adjunta es:
O1,6 cm
1,2 cm
A = 3,14 ·(1,62 – 1,22) = 3,14 · 1,12 = 3,52 cm2
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Áreas de figuras15
Matemáticas1º ESO
Área del sector circular
El área del sector circular depende de su ángulo.
Sector circular dede n grados: nº
Sector circularcompleto: 360º
Su área se calcula haciendo una regla de tres:2r · Si a 360º le corresponde
a nº le corresponderá x 360º
nº · r · x 2
Ejemplo: El área del sector circular de la figura adjunta será:
22 cm 75,16360º
120º · 4 · A
