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17/03/2012
1
DIFERENCIABILIDADDIFERENCIABILIDADFUNCIÓN REAL DE VARIAS FUNCIÓN REAL DE VARIAS
VARIABLESVARIABLES
CAPÍTULO II INCREMENTO DE f (x,y) en (x0,y0)
Rosa Ñique Alvarez 2
( ) ( ) ( )000000 ,,, yxfyyxxfyxf −∆+∆+=∆
DEFINICION
Δx: incremento en la variable independiente x
Δy: incremento en la variable independiente y
Rosa Ñique Alvarez 3 Rosa Ñique Alvarez 4
EJEMPLO 1
yxyxf 3),( 2 +=
Rosa Ñique Alvarez 5
Calcule el incremento de f (x, y) en (x,y)
Solución
Rosa Ñique Alvarez 6
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) yxxxyxf
yxyyxxyxf
yxfyyxxfyxf
∆+∆+∆=∆
+−∆++∆+=∆
−∆+∆+=∆
32,
3)(3,
,,,
2
22
yxyxf 3),( 2 +=
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17/03/2012
2
DIFERENCIAL TOTAL PARA z = f (x, y)
Rosa Ñique Alvarez 7
yyxfDxyxfDyxyxdf ∆+∆=∆∆ ),(),(),,,( 21
yyxfxyxfzd yx ∆+∆= ),(),(
Rosa Ñique Alvarez 8
EJEMPLO 2
Rosa Ñique Alvarez 9
Calcule el diferencial total de la siguiente función
2232),( yxsenyxyxf −=
Solución
Rosa Ñique Alvarez 10
yyxfDxyxfDfd ∆+∆= ),(),( 21
( ) yyxyxxxysenyfd ∆−+∆−= 22 6cos2)62(
2232),( yxsenyxyxf −=
Definición: una función z = f (x,y) es diferenciable en (x0,y0) si ∆f puede expresarse en la forma
Se dice que la función f diferenciable en (x0, y0)
Rosa Ñique Alvarez 11
( ) ( ) ( )
0lim0lim
,,,
2)0,0(),(1)0,0(),(
2100200100
=∈=∈
∆∈+∆∈+∆+∆=∆
→∆∆→∆∆ yxyx
yxyyxfDxyxfDyxf
y
DIFERENCIABILIDAD DE f en (x0, y0) Incremento y diferenciabilidad
Rosa Ñique Alvarez 12
( ) ( ) ( )000000 ,,, yxfyyxxfyxf −∆+∆+=∆
( ) ( ) ( ) yxyyxfDxyxfDyxf ∆∈+∆∈+∆+∆=∆ 2100200100 ,,,
yyxfDxyxfDyxyxdf ∆+∆=∆∆ ),(),(),,,( 21
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17/03/2012
3
Incremento y Diferenciabilidad
Rosa Ñique Alvarez 13
( ) ( ) ( ) yxyyxfDxyxfDyxf ∆∈+∆∈+∆+∆=∆ 2100200100 ,,,
( ) yxyxyxfdyxf ∆∈+∆∈+∆∆=∆ 2100 ),,,(,
Incremento y Diferenciabilidad
Rosa Ñique Alvarez 14
( ) yxyxyxfdyxf ∆∈+∆∈+∆∆=∆ 2100 ),,,(,
Si f (x, y) es diferenciable en (x0, y0)
( ) )0,0(,cuando0,0 21
→∆∆→∈→∈
yx
Incremento y Diferenciabilidad
Rosa Ñique Alvarez 15
( ) ),,,(, 0000 yxyxfdyxf ∆∆≈∆
Si f (x, y) es diferenciable en (x0, y0)
EJEMPLO 3
yxyxf 3),( 2 +=
Rosa Ñique Alvarez 16
Demuestre que la función es diferenciable para todo (x, y)
Solución
Rosa Ñique Alvarez 17
yxyxf 3),( 2 +=
( ) ( ) ( ) ( )yxxyxxyxf ∆+∆∆+∆+∆=∆ 032,
( ) yxxxyxf ∆+∆+∆=∆ 32, 2
Solución
Rosa Ñique Alvarez 18
yxyxf 3),( 2 +=
( ) ( ) ( ) ( )yxxyxxyxf ∆+∆∆+∆+∆=∆ 032,
( ) ( ) ( ) yxyyxfDxyxfDyxf ∆∈+∆∈+∆+∆=∆ 2121 ,,,
0, 21 =∈∆=∈ x
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4
Solución
Rosa Ñique Alvarez 19
0, 21 =∈∆=∈ x
( ) )0,0(,cuando0,0 21
→∆∆→∈→∈yx
Solución: usando la definición dediferenciabilidad
Rosa Ñique Alvarez 20
yxyxf 3),( 2 +=
Es diferenciable para todo (x, y)
Superficie Superficie noDiferenciable Diferenciable
Rosa Ñique Alvarez 21
EJEMPLO 4
Rosa Ñique Alvarez 22
=
≠+=
)0,0(),(0
)0,0(),(),( 22
22
yx
yxyx
yxyxf
Demuestre que la función f es diferenciable en (0,0)
GRAFICA DE f (x, y)
Rosa Ñique Alvarez 23superficie
Solución: usando la definición
Rosa Ñique Alvarez 24
( ) ( ) ( )
0limy0lim
0,00,00,0
2)0,0(),(1)0,0(),(
2121
=∈=∈
∆∈+∆∈+∆+∆=∆
→∆∆→∆∆ yxyx
yxyfDxfDf
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Solución: usando la definición
Rosa Ñique Alvarez 25
( ) ( ) ( )
( ) 22
22
0,0
0,00,00,0
yxyxf
fyxff
∆+∆∆∆
=∆
−∆+∆+=∆
=
≠+=
)0,0(),(,0
)0,0(),(,),( 22
22
yx
yxyx
yxyxf
Solución:
Rosa Ñique Alvarez 26
( )
=
≠+=
)0,0(),(0
)0,0(),(2
),( 222
4
1
yx
yxyxyx
yxfD
( )
=
≠+=
)0,0(),(0
)0,0(),(2),( 222
4
2
yx
yxyxyx
yxfD
Solución: usando la definición
Rosa Ñique Alvarez 27
( ) ( ) ( ) yxyfDxfDf ∆∈+∆∈+∆+∆=∆ 2121 0,00,00,0
yxyxyx
yx∆∈+∆∈+∆+∆=
∆+∆∆∆
2122
22
00
Solución: usando la definición
Rosa Ñique Alvarez 28
yxyxyx
yx∆∈+∆∈+∆+∆=
∆+∆∆∆
2122
22
00
yxyyxyxx ∆∈+∆=∈∆
∆+∆∆∆
+∆ 2122
2
0
Solución: usando la definición
Rosa Ñique Alvarez 29
yxyyxyxx ∆∈+∆=∈∆
∆+∆∆∆
+∆ 2122
2
0
222
2
1 ,0 =∈∆+∆∆∆
=∈yxyx
Solución: usando la definición
Rosa Ñique Alvarez 30
222
2
1 ,0 =∈∆+∆
∆∆=∈
yxyx
( ) ( )0lim,0lim 2)0,0(,1)0,0(,
=∈=∈→∆∆→∆∆ yxyx
Ahora se demuestra que:
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6
Solución: usando la definición
Rosa Ñique Alvarez 31
( )0lim 1)0,0(,
=∈→∆∆ yx
Solución: usando la definición
Rosa Ñique Alvarez 32
( ) ( )0limlim 22
2
)0,0(,2)0,0(,=
∆+∆∆∆
=∈→∆∆→∆∆ yx
yxyxyx
talque0existe0todopara >∈> δ
δ<∆+∆<<∈−∆+∆∆∆ 22
22
2
0quesiempre0 yxyx
yx
Solución: usando la definición
Rosa Ñique Alvarez 33
talque0existe0todopara >∈> δ
δ<∆+∆<<∈−∆+∆∆∆ 22
22
2
0quesiempre0 yxyx
yx
( )22
2222
22
2
22
2
yxyxyx
yxyx
yxyx
∆+∆∆+∆∆+∆
≤∆+∆∆∆
=∆+∆∆∆
Solución: usando la definición
Rosa Ñique Alvarez 34
( )22
2222
22
2
22
2
0yx
yxyxyxyx
yxyx
∆+∆∆+∆∆+∆
≤∆+∆∆∆
≤−∆+∆∆∆
=∈<∆+∆≤−∆+∆∆∆
δ2222
2
0 yxyx
yx
EXISTE =∈δ
Solución
Rosa Ñique Alvarez 35
( ) ( )0limlim 22
2
)0,0(,2)0,0(,=
∆+∆∆∆
=∈→∆∆→∆∆ yx
yxyxyx
Por lo tanto queda demostrado que
Solución
Rosa Ñique Alvarez 36
=
≠+=
)0,0(),(,0
)0,0(),(,),( 22
22
yx
yxyx
yxyxf
La función f (x, y) es diferenciable en (0,0)
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TEOREMA 1
Si f es diferenciable en un punto P0 entonces f escontinua en P0.
Rosa Ñique Alvarez 37
EJEMPLO 5
Rosa Ñique Alvarez 38
=
≠+=
)0,0(),(,0
)0,0(),(,),( 22
22
yx
yxyx
yxyxf
La función f (x, y) es diferenciable en (0,0)
La función f (x, y) es continua en (0,0)
Observación 1:
Si f no es continua en el punto P0 entonces f no es diferenciable en P0.
Rosa Ñique Alvarez 39
EJEMPLO 6
≠≠
==−+
=
1y1si,2
1ó1si,2),(
yx
yxyxyxf
Rosa Ñique Alvarez 40
Demuestre que f (x, y) no es diferenciable en (1,1).
Solución
Rosa Ñique Alvarez 41
≠≠
==−+=
1y1si,2
1ó1si,2),(
yxyxyx
yxf
x=1
y=1
Solución
≠≠
==−+=
1y1si,2
1ó1si,2),(
yxyxyx
yxf
Rosa Ñique Alvarez 42
)1,1(02),(lim.3
22lim),(lim.2
0)1,1(.1
)1,1(),(
)1,1(),()1,1(),(
fyxf
yxf
f
yx
yxyx
=≠=
==
=
→
→→
Veamos que pasa con la continuidad de f (x, y)
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8
Solución
≠≠
==−+=
1y1si21ó1si2
),(yxyxyx
yxf
Rosa Ñique Alvarez 43
f no es continua en (1,1) entonces f no es diferenciable en (1,1).
EJEMPLO 7
Rosa Ñique Alvarez 44
=
≠+=
)0,0(),(0
)0,0(),(),( 22
yx
yxyx
yxyxf
¿La función f (x, y) es diferenciable en (0,0)?
Solución
Rosa Ñique Alvarez 45
=
≠+=
)0,0(),(0
)0,0(),(),( 22
yx
yxyx
yxyxf
f no es continua en (0,0) → f no esdiferenciable en (0,0).
continuidad Observación 2:
Rosa Ñique Alvarez 46
La existencia de las derivadas parcialesD1f (x0 , y0) y D2f (x0 , y0) de una función dedos variables no garantiza que la función seadiferenciable en (x0 , y0) .
EJEMPLO 8
Rosa Ñique Alvarez 47
=
≠+=
)0,0(),(0
)0,0(),(),( 22
yx
yxyx
yxyxf
continuidad
a) Calcule: D1 f (0,0) , D2 f (0,0)
b)¿La función f (x, y) es diferenciable en (0,0)?
a) Derivadas parciales de f (x, y) en (0,0)
0)0,0()0,0(
lim)0,0(01 =
∆−∆+
=→∆ x
fxffD
x
Rosa Ñique Alvarez 48
0)0,0()0,0(
lim)0,0(02 =
∆−∆+
=→∆ y
fyffD
y
=
≠+=
)0,0(),(0
)0,0(),(),( 22
yx
yxyx
yxyxf
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9
Solución b)
=
≠+=
)0,0(),(0
)0,0(),(),( 22
yx
yxyx
yxyxf
Rosa Ñique Alvarez 49
La función f no es diferenciable en (0,0)(ver Ejemplo 7)
Conclusiones
=
≠+=
)0,0(),(0
)0,0(),(),( 22
yx
yxyx
yxyxf
Rosa Ñique Alvarez 50
La función f no es diferenciable en (0,0) pero susderivadas parciales D1 f (0, 0) = 0 y D2 f (0, 0) = 0existen.
f no es diferenciable en (0,0)
Rosa Ñique Alvarez 51
TEOREMA 2
Si las funciones D1 f y D2 f son continuas en P0, entonces f es diferenciable en P0.
Rosa Ñique Alvarez 52
EJEMPLO 9
Rosa Ñique Alvarez 53
=
≠+=
)0,0(),(0
)0,0(),(),( 22
22
yx
yxyx
yxyxf
Use el Teorema 2 y demuestre que la función f es diferenciable en (0,0)
GRAFICA DE f(x,y)
Rosa Ñique Alvarez 54
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10
Solución
Rosa Ñique Alvarez 55
=
≠+=
)0,0(),(,0
)0,0(),(,),( 22
22
yx
yxyx
yxyxf
( )
=
≠+=
)0,0(),(0
)0,0(),(2),( 222
4
1
yx
yxyx
yxyxfD
( )
=
≠+=
)0,0(),(0
)0,0(),(2),( 222
4
2
yx
yxyx
yxyxfD
Demostraremos que D1 f (x, y) y D2f (x, y) son continuas en (0,0).
Solución
( )
=
≠+=
)0,0(),(,0
)0,0(),(,2
),( 222
4
1
yx
yxyxyx
yxfD
Rosa Ñique Alvarez 56
Demostraremos que D1f (x, y) es continua en (0,0), es decir:
0)0,0(),(lim 1)0,0(),(
1 ==→
fDyxfDyx
Solución
Rosa Ñique Alvarez 57
talque0existe0todopara >∈> δ
0),(lim)0,0(),(
1 =→
yxfDyx
δ<+<∈<− 221 0quesiempre0),( yxyxfD
Solución
Rosa Ñique Alvarez 58
( ) ( )( )
( )222
22222
222
4
222
4 222yx
yxyxyx
yx
yxyx
+
++≤
+=
+
( )=∈<+≤
+δ222 22
222
4
yxyxyx
Solución
Rosa Ñique Alvarez 59
2∈
=∃ δ
0),(lim)0,0(),(
1 =→
yxfDyx
Por lo tanto D1 f (x, y) es continua en (0,0)
Solución
Rosa Ñique Alvarez 60
( )
=
≠+=
)0,0(),(0
)0,0(),(2),( 222
4
2
yx
yxyx
yxyxfD
Usando el procedimiento anterior se puededemostrar que D2 f ( x, y) es continua en (0,0).
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17/03/2012
11
Conclusiones
( )
=
≠+=
)0,0(),(,0
)0,0(),(,2
),( 222
4
1
yx
yxyxyx
yxfD
Rosa Ñique Alvarez 61
( )
=
≠+=
)0,0(),(,0
)0,0(),(,2
),( 222
4
2
yx
yxyxyx
yxfD
D1f (x, y) y D2f (x, y) son continuas en (0,0)
Conclusiones
=
≠+=
)0,0(),(0
)0,0(),(),( 22
22
yx
yxyx
yxyxf
Rosa Ñique Alvarez 62
Usando el Teorema 2
La función f es diferenciable en (0,0)
La función f es continua en (0,0)
Observación 3:
Es posible que un función f sea diferenciable enP0 aunque sus derivadas parciales D1 f y D2 f nosean continuas en P0.
Rosa Ñique Alvarez 63
EJEMPLO 10
Rosa Ñique Alvarez 64
( )
=
≠
++
=
)0,0(),(;0
)0,0(),(;1),( 22
22
yx
yxyx
senyxyxf
Demuestre que f (x, y) es diferenciable y continua en (0,0)
Grafica
Rosa Ñique Alvarez 65
MB148E19
INCREMENTO DE f EN (0,0)
Rosa Ñique Alvarez 66
( )
∆+∆∆+∆=∆
−∆+∆+=∆
2222 1)0,0(
)0,0()0,0()0,0(
yxsenyxf
fyxff
( )
=
≠
++
=
)0,0(),(;0
)0,0(),(;1),( 22
22
yx
yxyx
senyxyxf
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17/03/2012
12
=
≠
++−
+
=)0,0(),(;0
)0,0(),(;1cos12
),(
222222
1
yx
yxyxyx
xyx
xsen
yxfD
Rosa Ñique Alvarez 67
Solución: Definición de diferenciabilidad
( ) ( ) ( ) yxyfDxfDf ∆∈+∆∈+∆+∆=∆ 2121 0,00,00,0
=
≠
++−
+
=)0,0(),(;0
)0,0(),(;1cos12
),(
222222
2
yx
yxyxyx
yyx
seny
yxfD
Rosa Ñique Alvarez 68
Solución: Definición de Diferenciabilidad
( ) ( ) ( ) yxyfDxfDf ∆∈+∆∈+∆+∆=∆ 2121 0,00,00,0
Solución
Rosa Ñique Alvarez 69
( ) ( ) ( ) yxyfDxfDf ∆∈+∆∈+∆+∆=∆ 2121 0,00,00,0
( ) yxyxyx
senyx ∆∈+∆∈+∆+∆=
∆+∆∆+∆ 2122
22 001
Solución
Rosa Ñique Alvarez 70
yx
yyx
senyxyx
senx
∆∈+∆∈
=∆
∆+∆∆+∆
∆+∆∆
21
2222
11
( ) yxyxyx
senyx ∆∈+∆∈+∆+∆=
∆+∆∆+∆ 2122
22 001
Solución
Rosa Ñique Alvarez 71
∆+∆∆=∈
∆+∆∆=∈
222
221
1
1
yxseny
yxsenx
Solución: demostrar que
Rosa Ñique Alvarez 72
( ) ( )
( ) ( )01limlim
01limlim
22)0.0(,2)0.0(,
22)0.0(,1)0.0(,
=
∆+∆∆=∈
=
∆+∆∆=∈
→∆∆→∆∆
→∆∆→∆∆
yxseny
yxsenx
yxyx
yxyx
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17/03/2012
13
Solución: Demostrar que:
Rosa Ñique Alvarez 73
( ) ( )01limlim
22)0.0(,1)0.0(,=
∆+∆∆=∈
→∆∆→∆∆ yxsenx
yxyx
talque0existe0todopara >∈> δ
δ<∆+∆<<∈
∆+∆∆ 22
220quesiempre1 yx
yxsenx
Solución
Rosa Ñique Alvarez 74
=∈<∆+∆≤∆≤
∆+∆∆
∆+∆∆=
∆+∆∆
δ22
22
2222
1
11
yxxyx
senx
yxsenx
yxsenx
Solución
Rosa Ñique Alvarez 75
=∈∃ δ
( ) ( )01limlim
22)0.0(,1)0.0(,=
∆+∆∆=∈
→∆∆→∆∆ yxsenx
yxyx
Queda demostrado que
Solución
Rosa Ñique Alvarez 76
Usar el mismo criterio para demostrar que
( ) ( )01limlim
22)0.0(,2)0.0(,=
∆+∆∆=∈
→∆∆→∆∆ yxseny
yxyx
Conclusión
Rosa Ñique Alvarez 77
( )
=
≠
++
=
)0,0(),(;0
)0,0(),(;1),( 22
22
yx
yxyx
senyxyxf
f (x, y) es diferenciable en (0,0)
f (x, y) es continua en (0,0)
(Definición de diferenciabilidad)
EJEMPLO 11
Rosa Ñique Alvarez 78
( )
=
≠
++
=
)0,0(),(;0
)0,0(),(;1),( 22
22
yx
yxyx
senyxyxf
Demuestre que D1 f (x, y) y D2 f (x, y) no soncontinuas en (0,0).
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17/03/2012
14
Solución
Rosa Ñique Alvarez 79
=
≠
++−
+
=)0,0(),(;0
)0,0(),(;1cos12
),(
222222
1
yx
yxyxyx
xyx
xsen
yxfD
( )
=
≠
++
=
)0,0(),(;0
)0,0(),(;1),( 22
22
yx
yxyx
senyxyxf
Solución: si D1 f no es continua en (0,0)alguna de las siguientes condiciones nose cumple
Rosa Ñique Alvarez 80
0)0,0(),(lim.3
existe?¿),(lim.2
0)0,0(.1
1
¿?
1)0,0(),(
1)0,0(),(
1
==
=
→
→
fDyxfD
yxfD
fD
yx
yx
Solución
Rosa Ñique Alvarez 81
),(lim 1)0,0(),(yxfD
yx →
( )
++−
+→ 222222)0,0(,
1cos12limyxyx
xyx
xsenyx
{ }0,),(: ≥= xxyyxS
Solución
Rosa Ñique Alvarez 82
( )
++−
+→ 222222)0,0(,
1cos12limyxyx
xyx
xsenyx
−
+→ xx
xx
xsenx 2
1cos22
12lim0
{ }0,),(: ≥= xxyyxS
Solución
Rosa Ñique Alvarez 83
−
+→ xx
xx
xsenx 2
1cos22
12lim0
{ }0,),(: ≥= xxyyxS
−
++ →→ xx
xsenxx 2
1cos2
1lim212lim
00
Solución
Rosa Ñique Alvarez 84
{ }0,),(: ≥= xxyyxS
−
++ →→ xx
xsenxx 2
1cos2
1lim212lim
00
−
+→ xx 21cos
21lim0
0
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17/03/2012
15
Solución: supongamos que
Rosa Ñique Alvarez 85
021cos
21lim
0=
+→ xx
talque0existe0todopara >∈> δ
)1(0021cos
21 quesiempre δ<<∈<−
xx
Solución: debe cumplirse que
Rosa Ñique Alvarez 86
021cos
21lim
0=
+→ xx
7071,021
021
cos21
=≤−
x
Solución
Rosa Ñique Alvarez 87
+→ xx 2
1cos2
1lim0
Este límite no existe
GRAFICA
-0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1funcion coseno(1/(sqrtx))
=x
y 1cos
Rosa Ñique Alvarez 88
Solución
Rosa Ñique Alvarez 89
{ }0,),(: ≥= xxyyxS
−
++ →→ xx
xsenxx 2
1cos2
1lim212lim
00
)existeno(0 −
Solución
Rosa Ñique Alvarez 90
( )
++−
+→ 222222)0,0(,
1cos12limyxyx
xyx
xsenyx
Este límite no existe
),(lim 1)0,0(),(yxfD
yx →
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17/03/2012
16
Solución:
Rosa Ñique Alvarez 91
cumpleseno),0,0(),(lim.3
existeno),(lim.2
0)0,0(.1
11)0,0(),(
1)0,0(),(
1
fDyxfD
yxfD
fD
yx
yx
=
=
→
→
Solución
Rosa Ñique Alvarez 92
),(1 yxfD No es continua en (0,0)
=
≠
++−
+
=)0,0(),(;0
)0,0(),(;1cos12
),(
222222
1
yx
yxyxyx
xyx
xsen
yxfD
Solución: siguiendo el procedimientoanterior se puede demostrar que
Rosa Ñique Alvarez 93
),(2 yxfD No es continua en (0,0)
=
≠
++−
+
=)0,0(),(;0
)0,0(),(;1
cos1
2
),(
222222
2
yx
yxyxyx
yyx
seny
yxfD
Solución
Rosa Ñique Alvarez 94
( )
=
≠
++
=
)0,0(),(;0
)0,0(),(;1),( 22
22
yx
yxyx
senyxyxf
),(y),( 21 yxfDyxfD No son continuas en (0,0)
Conclusiones: ver Ejemplos 10 y 11
Rosa Ñique Alvarez 95
( )
=
≠
++
=
)0,0(),(;0
)0,0(),(;1),( 22
22
yx
yxyx
senyxyxf
f (x, y) es diferenciable en (0,0)
f (x, y) es continua en (0,0)
),(y),( 21 yxfDyxfD No son continuas en (0,0)
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