1

15.082 和 6.855J

圈消除算法

2

最小代价流问题

1

2 4

3 5

10, $4

20, $120, $2

25, $2

25, $5

20, $6

30, $7

25

0 0

0 -25

3

初始容量和可行流

1

2 4

3 5

10,10

20,20

20,10

25,5

25,15

20,0

30,25

25

0 0

0 -25

通过解决最大流，可以找到可行流 .

4

在剩余网络上的容量

1

2 4

3 5

10

20

20

5

25 101015

5

20

10

5

在剩余网络上的代价

1

2 4

3 5

2

26

7

-7

-5 -2

-2

-1

-4

5

寻找负代价圈 , 如果存在一个的话 .

6

环绕圈发送流

沿着负代价圈发送流 . 1

2 4

3 5

20

2515

这个圈的容量是 15.

形成下一个剩余网络 .

7

在剩余网络上的容量

1

2 4

3 5

10

20

5

20

10 1025

5

20

1015

8

在剩余网络上的代价

1

2 4

3 5

2

26

7

-7

-2

-2

-1

-4

-6

寻找负代价圈 ,如果存在一个的话 .

5

9

环绕圈发送流

1

2 4

3 5

沿着负代价圈发送流 .

圈的容量是 10.

形成下一个剩余网络 .

20

2010

10

在剩余网络上的容量

1

2 4

3 5

10

10

5

20

10 2025

15

10

1510

11

在剩余网络中的代价

1

2 4

3 5

12

2

5

6

7

-7

-6

-2

-1

-4

寻找负代价圈 , 如果存在一个的话 .

12

环绕圈发送流

1

2 4

3 5

沿着负代价圈发送流 .

这个圈的容量是 5.

形成下一个剩余网络 .

10

5

10 20

13

在剩余网络上的容量

1

2 4

3 5

5

10

25

5 1525

15

10

2010

5

5

14

在剩余网络中的代价

1

2 4

3 5

12

2

7

-7

-6

-2

-1

-4

4

-25

寻找负代价圈 , 如果存在一个的话 .

15

环绕圈发送流

沿着负代价圈发送流 .

这个圈的容量是 5.

形成下一个剩余网络 .

1

2 4

3 510

105

16

在剩余网络上的容量

1

2 4

3 5

5

15

25

5 2025

20

5

205

5

17

在剩余网络中的代价

1

2 4

3 5

12

2

7

-7

-6

-2

-1

-4

4

5

寻找负代价圈 , 如果存在一个的话 .

没有负代价圈 . 但是证明是什么 ?

18

在剩余网络中计算最短距离

1

2 4

3 5

12

2

7

-7

-6

-2

-1

-4

4

5

令 d(j) 是从结点 1到结点 j 的最短路径距离 .

下一步 令 (j) = -d(j)

0

7 11

1210

计算 c

19

在剩余网络中的即约代价

1

2 4

3 5

0

7 11

1210

0

0

2

0 -0

40 0

0

0

1

在 G(x*) 中对最优流的即约代价都是非负的 .