1

子空间子空间 运算运算

交与和交与和

直和直和

第十三讲

2

§4 子空间§4-1 子空间的定义及例子

.的一个子空间是也是线性空间，则称子集，如果

的非空是是线性空间，定义：设

V

WW

VWV

.算封闭中定义的加法和数乘运对的子空间的充要条件是是那么

的非空子集，是线性空间定理：设

VW

VW

VW

GA13

3

)().(

,0

,.

011

ANspacenull

AA

R

AXAn

nm

记为的零空间称为的作用下化为它在的子空间这个空间是一个线性空间的解全体构成，则：设例

一组基。的基础解系就构成它的

时当

0

,)(dim

,)(,}0{)(

AX

rnAN

rArAXRXAN n

1 2exp1: ( ) , , ,n mV F 给定 的一组向量

4

的子空间，是且对加法和数乘封闭

是非空

)(,

},,2,1,{1

FV

miFkkW

n

m

iiii

.

,16

的列空间称为的列向量生成的空间由：设例

A

AA nm

.,,,

,,,,),,,(

21

2121

的生成空间称为记为

m

mmL

.)(

,)()(dim

},{),,()(

),,,(

1

1

的一组基极大线性无关组就是的列向量组的

则记

AR

AArAR

RXAXAALAR

AAAn

n

n

5

0 1

1

0

N

2A N

( ),N A A ( )R A

设为 5阶方阵，

的化零空间 的列空间试求 A 和0 0 1

0 0 1

0 0 1

0 0

0

A

解： 1 0 0

0 1 0

( ) , ,0 0 1

0 0 0

0 0 0

R A

( ) 1 0 0 0 0 , 0 1 0 0 0T T

N A

Exp2:

6

§4-2 子空间的运算

.},{

.},{,)(,8

21

22112121

212121

21

的和与称为

的交与称为的两个子空间是：设定义

WWWWWW

WWWWWWFVWW n

).(},0{

.)(:1exp

32121

213

RVWWWW

oyzWxWRV

那么平面为轴，表中，在

.)(),,( 分解唯一任 kajaiaaaa zyxzyx

).(,

.)(:2exp

32121

213

RVWWyWW

oyzWoxyWRV

轴则平面表平面，表中，在

7

表示不唯一。

）（）（）（

任

][

)(),,(

kajajiakajaia

kajaiaaaa

zyxzyx

zyxzyx

.10 均为子空间：两个子空间的交与和定理

.

0000,0:

21

2121

非空由证WW

WWWW

222111222

1112121

21

,

,,

,,

WWW

W

WW

，，，其中则

又设

.

.

2121

212211

WWkkk

WW

）（）（

8

左右

有右任

212)2(1)1(

)2()1(11

,,

,

,:

WWWW

prooft

iii

s

iii

.

,,,,,

,,

1121

22

1121

右左右，左右，线性表出，可由

且有左而任

ts

WW

nnn FV 11 ,,)(

1 1 2 1

1 2 1 1

, , , , , ,

( , , , , , ).s t

s t

W W

W W L

2命题 ：设 则

9

)dim()dim(dimdim

12

212121 WWWWWW （维数公式）定理

;,,,,,,

.)(dim,dim,dim:

111

211

2121

rtt

t

WWW

tWWsWrWproof

，的基把它扩充为的基，是

设

.,,,,, 112 sttW 的基把它扩充为

2W1W )1(,0

,,,,,,

11

1111

21111

sstt

rrtttt

strtt WW

设

的基恰为，，要证

10

sstttt

tWW

1111

121 ,,, 使故存在

,,,1,0

,,,,,, 211

si

W

i

stt

得线性无关。的基为而

,)1(,01 式中代回特别 st

).dim()dim(dimdim

,,,,,,,,

,,1,0

,,,,,

212121

111

11

WWWWWW

ri

strtt

i

rtt

线性无关于是得

线性无关得：又由

11

.1000

0010

0101,},,{

;0100

0011,},0{19

2

1

基为

基为：例

RzyxzxyxW

RyxyxxW

241325421

5432121

).(),,,(),,,,(

eeeeRMeeeeLeeeeeLWW

1 2 3 4 1 2

1 1( ) ( ),

1 0k e e k e e W W k

215421

524412

))(()(

)(),(

deeabceae

decebeeeadcbaRMdc

ba

e1 e2

e3 e4 e5

12

§4- 3 子空间的直和

1 2

1 2 1 2 1

2 1 2

9 : , ( ) ,

0 ,

, .

nW W V F

W W W W W

W W W

定义 设 是 的子空间如果 则称 为子空间与 的直和 记为

:4

,,)(,: 2121

个命题等价则以下的子空间是设定理 WWWFVWW n

.000

0)4(

;

,,,)3(

);dim()dim()dim()2(

};0{)1(

21

221121

21

21

即中元素和的方法唯一，与表为

分解式唯一任

WW

WWW

WWW

WW

13

,0dim),2()1(: 21 WWproof 由维数公式立得，

则的基的基取

则设）（

m

r

W

WmrW

mWrW

,,

,,,,dim

,dim,dim),3(2

12

11

21

.0

,)4()3( 21

向量的分解式唯一方法唯一，中元素和的与表为

WWW

,,

.,,,,,,

,dim,,,,,,

11

11

在此基下坐标唯一任的基为线性无关

且

W

W

mrWW

mr

mr

唯一2

21

121

11

,WW

xxm

iiir

r

iii

14

,)(

,)(

},{)()(

000

0

014

21

21

于是

则若WW

WW

.},{

.

2121 0

0

WWWWW 即必的分解式不唯一，矛盾则

1 2

1 2 1 1 2 2

{0} ,

, , .

W W W

W W

至少有一个

分解式唯一

命题

.,)(

)(

212

1

WWVWFV

FVW

n

n

使的子空间的子空间，怎么样去找是若

15

中的补子空间在称为 )(12 FVWW n

（其不唯一）

1 1

1 1 2 1

( )

.m n

m m n m n

W V F

W

从 选基 ， ，扩充为空间 的基< >， ， ， ，则 ，

,若要求正交补则唯一。

0 1W

2W2W1W

1

2

16

1 2

3 4 5

1 1 0 0

0 0 1 0

1 0 0 1 0 0.

1 0 0 0 0 1

k k

k k k

1 1 2 2 3 3 4 4 5 5k e k e k e k e k e

1 3

1 4

2 3

50

k k

k k

k k

k

1 2 3 4 5, 0k k k k k k