12.04.23 Predavanja iz menadžmenta – 16 – Transportna metoda 1 od 38

Menadžment i tehnologija

građevinskih radova

Transportna metoda

12.04.23 Predavanja iz menadžmenta – 16 – Transportna metoda 2 od 38

Sadržaj

• Postavka problema i matematička formulacija

• Izbor početnog rešenja

• Proračun karakteristika polja– metoda lanaca– metoda potencijala

• Preraspodela angažovanja

• Određivanje optimalnog rešenja

• Otvoren transportni problem

• Problem ograničene propusne moći

12.04.23 Predavanja iz menadžmenta – 16 – Transportna metoda 3 od 38

Transportni problem

• Problem linearnog programiranja

• Realan problem vezan za organizaciju transporta

• Može biti rešavan SIMPLEX metodom, ali je to neefikasno, pogotovo bez računara

12.04.23 Predavanja iz menadžmenta – 16 – Transportna metoda 4 od 38

Postavka problema

• Postoji m izvorišta

• Svako izvorište ima svoj kapacitet, odnosno obim koji može da isporuči

• Postoji n potrošača

• Svaki potrošač ima svoje potrebe, odnosno obim koji može da potroši

• Poznati su troškovi transporta između svakog para izvorište-potrošač

• Naći šemu transporta koja će zahtevati najmanje troškove

12.04.23 Predavanja iz menadžmenta – 16 – Transportna metoda 5 od 38

Matematička formulacija

• Naći minimum funkcije cilja:

• Pod sledećim ograničenjima:

m

i

n

jijijxcz

1 1

min

0,,,

,11

11

ijijii

j

m

iiji

n

jij

n

jj

m

ii

xcba

bxax

Aba

12.04.23 Predavanja iz menadžmenta – 16 – Transportna metoda 6 od 38

Pretpostavke• Iz formulacije problema se vidi

da su uvedene sledeće pretpostavke – ukupni kapacitet svih izvorišta

identičan ukupnim potrebama svih potrošača

– kapacitet i potrebe su uvek pozitivne, odnosno izvorište je samo izvorište, a potrošač je samo potrošač

– cene transporta su pozitivne, odnosno transport je uvek trošak

– nepoznate su uvek pozitivne, odnosno transport se uvek odvija od izvorišta do potrošača

• Osim prve, sve pretpostavke odgovaraju realnim uslovima transporta

12.04.23 Predavanja iz menadžmenta – 16 – Transportna metoda 7 od 38

Matematički okvir

• Matematičkim metodama se može pokazati:– svaki transportni problem ima

optimalno rešenje– rešenje ne sadrži više od m+n-1

prevoza koji su linearno nezavisni

– ako su količine ai i bj celi brojevi i rešenje će sadržati samo cele brojeve

12.04.23 Predavanja iz menadžmenta – 16 – Transportna metoda 8 od 38

Rešavanje problema

• Formira se tabela u koju se upisuju kapaciteti izvorišta, potrebe potrošača i cene transporta

• U svakoj koloni i vrsti, zbir xij-ova mora da bude ai, odnosno bj

c11 c12 c13 c14 c15

x11 x12 x13 x14 x15

c21 c22 c23 c24 c25

x21 x22 x23 x24 x25

c31 c32 c33 c34 c35

x31 x32 x33 x34 x35

c41 c42 c43 c44 c45

x41 x42 x43 x44 x45

b5

a4

b2 b3 b4

a3

a2

a1

b1

12.04.23 Predavanja iz menadžmenta – 16 – Transportna metoda 9 od 38

Primer

• Naša razmatranja ćemo obrazlagati na konkretnom primeru

• Kako je m+n-1=8 potrebno je da bude angažovano 8 polja

15 20 18 16 18

30 20 19 18 15

25 15 20 30 14

22 25 28 25 20

70

100

50 90 90

100

80

80

60

12.04.23 Predavanja iz menadžmenta – 16 – Transportna metoda 10 od 38

Početno rešenje

• Slično SIMPLEX-u, moramo da počemo od nekog prihvatljivog rešenja

• U principu, možemo da pođemo od bilo kog prihvatljivog rešenja, ali od izbora početnog rešenja zavisi broj koraka potrebnih za dostizanje optimalnog rešenja

• Nadalje, polja u tabeli gde je xij0 nazivaćemo “angažovana”, a ostala polja biće “neangažovana”

12.04.23 Predavanja iz menadžmenta – 16 – Transportna metoda 11 od 38

Izbor početnog rešenja

• Metoda najmanje cene

• Metoda najmanje cene u redu ili koloni

• Fogelova aproksimacija

12.04.23 Predavanja iz menadžmenta – 16 – Transportna metoda 12 od 38

Metoda najmanje cene

• Biramo polje u tabeli u kome se nalazi najmanja cena

• To polje opterećujemo sa najvećom mogućom vrednošću, odnosno

• Sada isključujemo to polje, i ponovo tražimo najmanju cenu

• Korake ponavljamo dok ne dobijemo

m

iijj

n

jijiij xbxax

11

,min

j

m

iiji

n

jij bxax

11

,

12.04.23 Predavanja iz menadžmenta – 16 – Transportna metoda 13 od 38

Primer najmanje cene

• Redosled opterećivanja polja je označen zaokruženim brojevima

• Funkcija cilja je z=6840

• Angažovano je 8 polja, što odgovara konkretnom problemu

15 20 18 16 182 60 4 20

30 20 19 18 156 10 5 70

25 15 20 30 143 30 1 70

22 25 28 25 207 20 8 80

70

100

50 90 90

100

80

80

60

12.04.23 Predavanja iz menadžmenta – 16 – Transportna metoda 14 od 38

Metoda najmanje cene u redu ili koloni

• Biramo polje u tabeli u kome se nalazi najmanja cena

• To polje opterećujemo sa najvećom mogućom vrednošću, odnosno

• Sada isključujemo to polje, i ponovo tražimo najmanju cenu u istoj vrsti, odnosno koloni

• Biramo vrstu ili kolonu, na kojoj još možemo da opterećujemo polja

• Korake ponavljamo dok ne dobijemo

m

iijj

n

jijiij xbxax

11

,min

j

m

iiji

n

jij bxax

11

,

12.04.23 Predavanja iz menadžmenta – 16 – Transportna metoda 15 od 38

Primer najmanje cene u redu ili koloni

• Redosled opterećivanja polja je označen zaokruženim brojevima

• Funkcija cilja je z=6940• Angažovano je 7 polja, što

manje od potrebnog. Zato dodajemo 8. polje koje je opterećeno sa , odnosno dovoljno malom vrednošću

15 20 18 16 184 60 3 20

30 20 19 18 15

8 5 80

25 15 20 30 142 30 1 70

22 25 28 25 207 90 6 10

70

100

50 90 90

100

80

80

60

12.04.23 Predavanja iz menadžmenta – 16 – Transportna metoda 16 od 38

Fogelova aproksimacija

• Redosled opterećivanja polja biramo prema “kaznenim poenima”

• Kazneni poeni za vrstu ili kolonu se dobijaju kao razlika dve najmanje cene u toj vrsti ili koloni

• Izaberemo kolonu ili vrstu koja ima najviše poena i u njoj opteretimo polje sa najmanjom cenom

m

iijj

n

jijiij xbxax

11

,min

12.04.23 Predavanja iz menadžmenta – 16 – Transportna metoda 17 od 38

Fogelova aproksimacija

• Vrstu ili kolonu i polje koje smo opteretili isključujemo i ponovo sračunavamo kaznene poene

• Korake ponavljamo dok ne dobijemo

• Obično se Fogelovom aproksimacijom dobija najbolje početno rešenje

j

m

iiji

n

jij bxax

11

,

12.04.23 Predavanja iz menadžmenta – 16 – Transportna metoda 18 od 38

Primer Fogelove aproksimacije

• Redosled opterećivanja polja je označen zaokruženim brojevima

• Funkcija cilja je z=6820

• Angažovano je 8 polja, što odgovara konkretnom problemu

I II III IV V VI VII

15 20 18 16 181 60 5 20

30 20 19 18 156 60 4 20

25 15 20 30 142 50 3 50

22 25 28 25 208 90 7 10

IIIIIIIVVVIVII

70

100

50 90 90

100

80

80

60

1- 5 1 2 17 5 1 2

--3

- - 1 2

- - 1 7

11

-- -

-

1

3

1

2

221

2

1

3

2 2

3

6

2 2

-

3

2 2

1

-

2 2

-

1

- -

-

-

2

-- - 1 5

12.04.23 Predavanja iz menadžmenta – 16 – Transportna metoda 19 od 38

Optimalno rešenje

• Optimalnost rešenja utvrđujemo kroz određivanje “karakteristika” neangažovanih polja

• Ako je karakteristika: – veća od nule to je polje čije bi

angažovanje povećalo funkciju cilja

– manja od nule to je polje čije bi angažovanje smanjilo funkciju cilja

– jednaka nuli to je polje čije angažovanje ne bi promenilo funkciju cilja

12.04.23 Predavanja iz menadžmenta – 16 – Transportna metoda 20 od 38

Proračun karakteristika

• Metoda lanaca– očiglednija– neefikasna kada treba da se utvrde

karakteristike svih neangažovanih polja

– obično se koristi za preraspodelu angažovanih polja

• Metoda potencijala– manje očigledna– efikasna za utvrđivanje

karakteristika većeg broja polja– obično se koristi za određivanje

sledeće iteracije

12.04.23 Predavanja iz menadžmenta – 16 – Transportna metoda 21 od 38

Metoda lanaca

• Lanac se formira na sledeći način:– polazimo od polja koje je

neangažovano– krećemo se po vrsti ili koloni do

prvog angažovanog polja– ako smo se kretali po vrsti, sada

se krećemo po koloni, ili obrnuto– ponovo nalazimo angažovano

polje– ponavljamo korake dok ne

stignemo do početnog polja, čime zatvaramo lanac.

12.04.23 Predavanja iz menadžmenta – 16 – Transportna metoda 22 od 38

Karakteristika

• Sračunavanje– posmatraju se cene Cij duž lanca

– cena u početnom, neangažovanom polju dobija + (pozitivan) znak

– sledeća cena u lancu dobija – (negativan) znak

– ostale cene naizmenično dobijaju + i – znak

– saberu se cene sa pridruženim znacima

– takav zbir predstavlja karakteristiku prvog, neopterećenog, polja

12.04.23 Predavanja iz menadžmenta – 16 – Transportna metoda 23 od 38

Primer metode lanaca

• Lanac za polje K31

• Karakteristika polja

• K31=25-14+15-18+16-15=+9

• Zaključak je da ovo polje ne treba angažovati

15 20 18 16 18 60 20

30 20 19 18 15 60 20

25 15 20 30 14+ 50 5022 25 28 25 20

90 10

70

100

50 90 90

100

80

80

60

12.04.23 Predavanja iz menadžmenta – 16 – Transportna metoda 24 od 38

Primer metode lanaca

• Lanac za polje K23

• Karakteristika polja

• K23=19-18+25-28=-2

• Zaključak je da ovo polje treba angažovati

15 20 18 16 1860 20

30 20 19 18 15+ 60 20

25 15 20 30 1450 50

22 25 28 25 20 90 10

100

50 90 90

100

80

80

60 70

12.04.23 Predavanja iz menadžmenta – 16 – Transportna metoda 25 od 38

Metoda potencijala

• Može se pokazati da za angažovana polja važi:

• Za neangažovan polja važi:

• Veličine Ui i Vj zvaćemo “potencijali”

jiij VUc

jiijij VUcK

12.04.23 Predavanja iz menadžmenta – 16 – Transportna metoda 26 od 38

Praktična realizacija

• Za neku vrstu ili kolonu usvojimo da je ona na “nultom” potencijalu

• Koristeći poznata angažovana polja sračunamo potencijale ostalih vrsta i kolona

• Koristeći sračunate potencijale sračunamo karakteristike neangažovanih polja

12.04.23 Predavanja iz menadžmenta – 16 – Transportna metoda 27 od 38

Primer proračuna potencijala

• Ovako se dobijaju potencijali svih vrsta i kolona

Ui15 20 18 16 18

60 2030 20 19 18 15

60 2025 15 20 30 14

50 5022 25 28 25 20

90 10

Vj

(6) iz V4

(5) iz V5

(3) iz V4

(1) Početna vrednost0

2

1

9

(2)

iz U

1

(4)

iz U

2

15 19 16

70

13

(7)

iz U

1

(8)

iz U

3

(9)

iz U

4

100

50 90 90

100

80

80

60

14

12.04.23 Predavanja iz menadžmenta – 16 – Transportna metoda 28 od 38

Primer proračuna karakteristika

• Na osnovu potencija ovako se dobijaju karakteristike

Ui15 20 6 18 -1 16 18 5

60 2030 13 20 4 19 -2 18 15

60 2025 9 15 20 0 30 14 14

50 5022 -2 25 2 28 25 20 -2

90 10

Vj

100

50 90 90

100

80

80

60

16

70

131415 19

0

2

1

9

12.04.23 Predavanja iz menadžmenta – 16 – Transportna metoda 29 od 38

Preraspodela

• Ako postoji polje sa negativnom karakteristikom, treba izvršiti preraspodelu tako da to polje postane angažovano

• Ako imamo više polja sa negativnom karakteristikom, biramo najmanju (najnegativniju) vrednost

• Za preraspodelu koristimo metodu lanaca

12.04.23 Predavanja iz menadžmenta – 16 – Transportna metoda 30 od 38

Nove vrednosti

• Preraspodela se vrši za najmanju vrednost angažovanja polja od onih čije cene u metodu lanaca imaju negativnu vrednost

• Vrednost koja se preraspodeljuje se oduzima od polja u kojima cena ima negativni predznak a dodaje poljima u kojima cena ima pozitivan predznak

12.04.23 Predavanja iz menadžmenta – 16 – Transportna metoda 31 od 38

Primer preraspodele

• Posmatrajmo angažovanje polja K23

• Polje K24 ima najmanju vrednost angažovanja od cena u lancu koje imaju negativni znak

• Po ovom lancu preraspodeljujemo 60

15 20 18 16 1860 20

30 20 19 18 15+ 60 20

25 15 20 30 1450 50

22 25 28 25 20 90 10

70

100

50 90 90

100

80

80

60

12.04.23 Predavanja iz menadžmenta – 16 – Transportna metoda 32 od 38

Nove vrednosti

• Posle preraspodele se dobija sledeća tabela

• Angažovali smo jedno novo polje, a jedno polje je prestalo da bude angažovan

15 20 18 16 1860 20

30 20 19 18 15+ 60 0 20

25 15 20 30 1450 50

22 25 28 25 20 30 70

70

100

50 90 90

100

80

80

60

12.04.23 Predavanja iz menadžmenta – 16 – Transportna metoda 33 od 38

Nova iteracija

• Može se desiti da prilikom preraspodele broj angažovanih polja postane manji od m+n-1

• U tom slučaju dodatno se angažuje se potreban broj polja, tako što njihova vrednost angažovanja postane , odnosno dovoljno mala vrednost

• Takva polja se smatraju angažovanim, ali je njihova vrednost angažovanja nula

12.04.23 Predavanja iz menadžmenta – 16 – Transportna metoda 34 od 38

Nova iteracija

• Za neangažovana polja u novoj tabeli ponovo se sračunavaju karakteristike

• Ukoliko se sve karakteristike veće od nule, našli smo optimalno rešenje

• Ukoliko postoje karakteristike jednake nuli a nema negativnih karakteristika, nađeno je optimalno rešenje, ali ono nije jedinstveno

• Ukoliko postoje negativne karakteristike, ponavljamo postupak

12.04.23 Predavanja iz menadžmenta – 16 – Transportna metoda 35 od 38

Otvoren transportni problem

• Ukoliko je ukupni kapacitet izvorišta veći od ukupnih potreba potrošača, imamo otvoren transportni problem

• On se rešava tako što formiramo fiktivnog potrošača čije su potrebe jednake višku kapaciteta

• Sve cene transporta za fiktivnog potrošača su jednake nuli

12.04.23 Predavanja iz menadžmenta – 16 – Transportna metoda 36 od 38

Ograničenje propusne moći

• Ukoliko između jednog izvorišta i jednog potrošača ne može da se preveze neograničena količina resursa, imamo problem ograničene propusne moći

• On se rešava tako što se takav stvarni potrošač zameni sa dva fiktvna.

• Prvi fiktivni potrošač ima potrebe koje su jednake mogućoj propusnoj moći

• Drugi fiktivni potrošač preuzima ostatak potreba

12.04.23 Predavanja iz menadžmenta – 16 – Transportna metoda 37 od 38

Ograničenje propusne moći

• Prvi fiktivni potrošač zadržava sve cene koje je imao stvarni potrošač

• Drugi fiktivni potrošač uzima sve cene koje je imao stvarni potrošač, osim cene prema izvorištu sa ograničenom propusnom moći

• Ta cena dobija neku veliku vrednost, tako da optimalno rešenje sigurno ne sadrži taj pravac transporta

12.04.23 Predavanja iz menadžmenta – 16 – Transportna metoda 38 od 38

Pregled

• Postavka problema i matematička formulacija

• Izbor početnog rešenja

• Proračun karakteristika polja– metoda lanaca– metoda potencijala

• Preraspodela angažovanja

• Određivanje optimalnog rešenja

• Otvoren transportni problem

• Problem ograničene propusne moći