B GIAO THNG VN TI TRNG I HC HNG HI B MN: KHOA HO C MA Y TI NH
KHOA: CNG NGH THNG TIN BI GING PHNG PHP TNH TN HC PHN : Phng php
tnh M HC PHN :17201 TRNH O TO : I HC CHNH QUY DNG CHO SV NGNH : CNG
NGH THNG TIN HI PHNG - 2009 Bi ging mn hc Phng php tnh CNG CHI TIT
Tn hc phn: Phng php tnh Loi hc phn: 2 B mn ph trch ging dy: Khoa hc
my tnhKhoaphtrch: CNTT M hc phn: 17201Tng s TC:3 TS titL thuytThc
hnh/XeminaT hcBi tp ln n mn hc 604515000 iu kin tin quyt: Sinh vin
phi hc xong cc hc phn sau mi c ng k hc phn ny: i s; Gii tch 1; Gii
tch 2 Mc tiu ca hc phn:
Trangbchosinhvincckinthccnthittrongvicgiisccbitonngdng thng gp
trong k thut v tng cng kh nng lp trnh ca sinh vin cho cc bi ton .
Ni dung ch yu Trnhbycckhinimsais;cchtnhgnngnghimcaphngtrnh;cchtnh
gn ng o hm v tch phn; php ni suy hm v gii gn ng phng trnh vi phn
thng. Ni dung chi tit ca hc phn: TN CHNG MC PHN PHI S TIT
TSLTTH/XeminaBTKT Chng 1. Sai s10820 1.1. Khi nim s gn ng v sai s1
1.2. Cch vit s xp x2 1.3. S quy trn s v sai s quy trn21 1.4. Cc quy
tc tnh sai s21 1.5. Sai s phng php v sai s tnh ton11 Chng 2. Gii gn
ng phng trnh151041 2.1. t vn 1 2.2. Nghim v khong phn ly nghim1
2.3. Phng php chia i21 2.4. Phng php lp21 2.5. Phng php dy cung21
2.6. Phng php tip tuyn (Newton)21 Chng 3. Xp x hm12930 3.1. a thc
ni suy. Lc Hocne2 3.2. a thc ni suy Lagrange21 3.3. a thc ni suy
Newton21 3.4. Phng php bnh phng b nht31 Chng 4. o hm s. Tch phn
s12831 4.1. Tnh gn ng o hm41 4.2. Tnh gn ng tch phn xc nh42 Chng 5.
Gii gn ng phng trnh vi11731 Bi ging mn hc Phng php tnh TN CHNG MC
PHN PHI S TIT TSLTTH/XeminaBTKT phn 5.1. t vn 1 5.2. Phng php
Euler, Euler ci tin32 5.3. Phng php Runger-Kutta31 Tng s
tit:6042153 Nhim v ca sinh vin : Tham d cc bui thuyt trnh ca gio
vin, t hc, t lm bi tp do gio vin giao, tham d cc bui thc hnh, cc bi
kim tra nh k v cui k. Ti liu hc tp : -Phm K Anh, Gii tch s, NXB HQG
H Ni, 1996. -T Vn nh, Phng php tnh, NXB Gio dc H Ni, 2006. -Dng Thy
V, Gio trnh Phng php tnh, NXB KH&KT H Ni, 2006. Hnh thc v tiu
chun nh gi sinh vin:-Hnh thc thi cui k : Thi vit. -Sinh vin phi m
bo cc iu kin theo Quy ch ca Nh trng v ca B Thang im: Thang im ch A,
B, C, D, F im nh gi hc phn: Z = 0,3X + 0,7Y. Bi ging ny l ti liu
chnh thc v thng nht ca B mn Khoa hc my tnh, Khoa Cng ngh thng tin v
c dng ging dy cho sinh vin. Ngy ph duyt://2010 Trng B mn: Thc s
Nguyn Hu Tun Bi ging mn hc Phng php tnh 1 MC LC Ni dungTrang Mc lc1
Chng 1: SAI S2 1. 1. Khi nim s gn ng v sai s2 1. 2. Cch vit s xp x3
1. 3. S quy trn s v sai s quy trn4 1. 4. Cc quy tc tnh sai s 5 1.
5. Sai s tnh ton v sai s phng php7 Ph lc 1: S n nh ca mt qu trnh
tnh10 Bi tp12 Chng 2: GII GN NG PHNG TRNH14 2. 1. t vn 14 2. 2.
Nghim v khong phn ly nghim14 2. 3. Phng php chia i 17 2. 4. Phng
php lp20 2. 5. Phng php dy cung26 2. 6. Phng php tip tuyn
(Newton)28 Bi tp33 Chng 3: XP X HM34 3. 1. a thc ni suy. Lc Hocne34
3. 2. a thc ni suy Lagrange34 3. 3. a thc ni suy Newton35 3. 4.
Phng php bnh phng b nht36 Bi tp37 Chng 4: O HM S. TCH PHN S38 4. 1.
Tnh gn ng o hm38 4. 2. Tnh gn ng tch phn xc nh38 Bi tp40 Chng 5:
GII GN NG PHNG TRNH VI PHN41 5. 1. t vn 41 5. 2. Phng php Euler,
phng php Euler ci tin41 5. 3. Phng php Runge-Kutta42 Bi tp43 c thm:
Chng 6: TNH GN NG NGHIM CA MT H I S TUYN TNH 44 6. 1. M u44 6. 2.
Phng php Gauss46 6. 3. Phng php lp n54 Ph lc 2: H i s tuyn tnh khng
n nh60 Bi tp60 Mt s thi mu62 Tm tt p n v thang im64 Ti liu tham
kho65 Bi ging mn hc Phng php tnh 2 CHNG 1 SAI S 1.1. Khi nim s gn
ng v sai s1. Sai stuy t i Trong tinh g n ung ta lam vi c vi cac gia
tri g n ung cua cac a i l ng . Cho nn v n u tin c n nghin cu , l vn
sai s. Xt i lng ng A c gi tr gn ng l a. Lc ta ni a xp xi A va vi t
a~ A . Tr tuyt iA a gi lsai s tuy t ica a (Xem la gia tri g n ung
cua A ). V ni chung ta khng cn bit s ng A , nn khng tnh c sai s
tuyt i ca a. Do o ta tim cach c lng sai so b ng sdng a no o ln hn
ho c b ngA a :A a s a (1.1) Sdng a ny gi l sai s tuy t i gii ha nca
a. Ro rng nu a l sai s tuyt i gii ha n cua a thi mo i s> ac th
xem l sai s tuyt i gii hn ca a . V vy trong nhng i u ki n cuthngi
ta cho n as dng be nht co rh c tho man nhng (1.1) N u sx p xi a cua
A co sai stuy t igii ha n la a th ta quy c vi tA = a a (1.2) vi
ngha ca( 1.1) tc la: a - a s As a + a(1.3) 2. Sai stng i: T s aA a
~AA a gi l sai s s tng i ca a(so vi A). Ni chung t s o khng tinh c
vi Anoi chung khng bi t . Ta go i ti s : oa = aa A( 1.4) Gi l sai s
tng i gi hn ca a. Ta suy ra: a =a oa ( 1.5) Cc cng
thc(1.4)v(1.5)cho lin h gia sai stng i va sai stuy t i. Bi t a th (
1.4) cho phep oa , bi t oa th ( 1.5) cho phep tinh a . Do ( 1.5) nn
( 1.2) cung c th vit : A= a ( 1 oa )(1.6) Trong th c tngi ta xem a
l sai s tuyt i v lc oa cung gi l sai s tng i. Bi ging mn hc Phng
php tnh 3 3.Ch thch Sai stuy t i khng noi ln y u Cht l ng cua m t
sx p xi, th c t Cht l ng c phan anh qua sai stng i .L y thid: o hai
chi u dai A va B c a= 10 m vi a = 0,05 m va b= 2m Vi b = 0,05m. Ro
rng php o A thc hin Cht lng hn phep o B. i u o khng phan anh qua
sai stuy t i vi chung b ng nhau , m qua sai stng i: oa 1005 , 0=
0,5% < ob = 205 , 0= 2,5% 1.2. Cch vit s xp x 1. Ch co nghia M t
svi t da ng th p phn co thg m nhi u ch s , nhng ta chi kcac ch st
ch skhackhng u tin tnh t tri sang phi l ch c ngha . Ch ng ha n
co2,74 c 3 ch sco nghia, s0,0207 c ba ch s c ngha. 2. Ch sang tin
Mi s thp phn u c dng: A = 10ss a (1.7) Trong o: as l nhng s nguyn t
0 n 9, ch ng ha n s65,807 vi t: 65,807 = 6.101 + 5.100 + 8.10-1 +
0.10-2 + 7.10 -3
Tc ta co da ng ( 1.7) vi: o1 = 6,oo = 5,o-1 = 8, o-2 = 0, o-3 =
7 Gi s a l gi tr xp x ca A vi sai s tuyt i gii hn a . Ta chu y chos
l ch sng hang th s cua a. N u a s 0,5 .10s th ni os l ch s ang tin,
n u N u a > 0,5 .10s th ni os l ch s ang nghi. Nh v y ta a g n
khai ni m sai stuy t i vi khai ni m ch sang tin . Th du: Cho a=
65,827 vi a th cc ch s6, 5, 8, 2 l ng tin, cncc ch s7, 4 l ng nghi.
N u a = 0,0067 th cc ch s6, 5, 8, l ng tin cn cc ch s2, 7, 4 l ng
nghi. Rorngnuos l ng tin th tt c nhng ch s c ngha ng bn tri n cung
l ng tin v nu os l ng nghi th tt c nhng ch s c ngha bn phi n cung
ng nghi. 3. Cch vit s xp x Cho sa la gia tri x p xi cua A vi sai
stuy t i gii ha n la a. C hai cch vit s x p xi a. Cch th nht lavit
kem theo sai snh cng thc (1.2) ho c ( 1.6) .Cch th Bi ging mn hc
Phng php tnh 4 hai lavit theo quy c : Moi ch s co nghia la ng tin .
M t svi t theo cach th hai co ngha l n c sai s tuyt i gii hnkhng ln
hn m t na n vi hang cui cung. Cc bng s cho sn nh bng lgart,v...v..
thng in cac sx p xi theo quy c nay. 1.3. S quy trn v sai s quy tron
1. Hi n t ng quy tron sva sai squy tron. Trong tinh toan khi g p m
t sco qua nhi u ch sang nghi ngi ta bo i m t vai ch s cu i cho go n
, vi c lam o go i laquy tron s . M i khi quy tron m t sngi ta ta o
ra m t sai smi go i la sai s quy tron n bng hiu gia s a quy trn v s
cha quy trn. Tr tuyt i ca hiu gi l sai s quy trn tuyt icang be cang
tt. Ta cho n quy t c sau y :quy tron sao cho sai s quy tron tuy t i
khng ln hn m t na n vi hang cgi la icui cung, tc la 5 n vi hang bo
i u tin , cu th la, nu ch s bo i u tin> 5 th thm vao ch s gi lai
cui cung mt n vi , con nu ch s bo i u tin < 5 th nguyn ch s gi
lai cui cung. Th du: S62,8274 quy tron n ch sle th p phn th ba(tc
la gi la i cac ch st u n ch sle th p phn th b a) se thnh s 62,827;
cung s quy trn n ch s le th p phn th hai se than h 62,83; v cung s
quy trn n ba ch s c ngha(tc la chi gi la i ba ch sco nghia) se thnh
62,8. 2. Sai scua sa quy tron. Gi s a l s xp x ca s ng A vi sai s
tuyt i gii hn l a . Gi s ta quy trn a thnh atha a ' l sai s quy
tron tuy t i. Sl ng a tho man: a a 's a( 1.8) Gi l sai s quy trn
tuyt i gii hn, cung gi l sai s quy trn tuyt i cho gn. Hay tnh sai s
tuyt i gii hnaca a. Ta co: a - A = a - a + a - ADoo:A a 'sa a '+A a
sa + a V y ta co thl y a = a + ua(1.9) Ro rng a > a tc la vi c
quy tron slam tng sai stuy t i gii ha n. 3. nh hng cua sai squy
tronTh d: Xt i lng A= ( 2- 1 )10 . p dng cng thc nh thc
niutn(Newton) ta co cng thc ung:( 2 - 1)10 = 3363 - 2378 2 ( 1.10)
Bi ging mn hc Phng php tnh 5 Vi:2= 1,41421356.... By gi ta tinh hai
vcua (1.10) b ng cach thay 2bi cac squy tron (xem bang 1.1): Bang
1.1 2VtraiVphai 1,4 0,0001048576 33,8 1,41 0,00013422659 10,02
1,414 0,000147912000,508 1,41421 0,000148663990,00862 1,414213563
0,000148676780,0001472 Skhac bi t gia cac gia tri tinh ra cua hai
vchng to r ng sai squy tron co thco nhng tacdng rt ang nga i trong
cac qua trinhtinh toan . Ta noi qua trinh tinh Ab ng vtri ca (1.10)
l qu trnh tnh n nh , qu trnh tnh A bng v phi ca(1.10) l qu trnh tnh
khng n nh. 1.4. Cc quy tc tnh sai s 1. M u. Xt hm s u ca hai bin s
x v y : u =f( x,y) (1.11) Cho bi t sai svx va y, hay lp cngthc tnh
sai s v u. trnh nhm ln trc ht ta nhc li ngha ca cc k hiu:x, y, u
chicac sgia cua x, y, u Dx, dy, du chi cac vi phn cua x, y, ux, y,
u li l cc sai s tuyt i ca x, y, u. Theo i nh nghia (1.1) ta lun
co:x A s x ; y As y (1.12) Ta phi tm: u c Au s u 2. Sai scua t ng u
= x + y Ta co: u = x + y Ta suy ra:u Asx A+y ADo o theo ( 1.12) ta
co:u As x + y Ta cho n: x+y = x + y (1.13) c:u A s u.Bi ging mn hc
Phng php tnh 6 V y co quy t c: Sai s tuy t i (Gii ha n) cua mt tng
bng tng cc sai s tuyt i(Gii ha n) cua cc s hang. Chu thch. Xt
trnghpu = x - y vi x va y cung d u .Lc : ou =uu A= y xy x A + A Cho
nn n uy x r t be thi sai stng i gii ha n r t ln. Do o trong tinh
toan ngi ta tim cach trnh phi tr cc s gn nhau. 3. Sai scua tich u =
xyTa co: u ~ du = ydx + xdy ~ yx + xy u A s yx A +x y A s y x + x
y
Ta suy ra: u = y x +x y Do o: ou = uu A = xyx yy x A A +=+Axxyy
A Tc la co: oxy = ox + oy( 1.14) V y co quy t c :Sai s tng i(Gii ha
n)cua mt tch bng tng cc sai s tng i (Gii han) cua cc s hangcua tch.
c bit ta co: o (xn) = nox; n nguyn dng (1.15) 4. Sai scua thng
x/y(y o) Tng tnh trng h p tich ta co quy t c: Sai s tng i cua m t
thng b ng tng cac sai s tng i cua cac ha ng s ha ng : ox/y = ox +oy
( 1.16) 5. Cng thc t ng quat: Cho : u = f( x1, x2, ...,xn) Ta co
sai stuy t i : u = xinnfoo=1xi ( 1.17) V t ta suy ra sai s tng i ou
theo i nh nghia (1.4)Th du: Tnh sai s tuyt i (gii ha n) v sai s tng
i (gii ha n) ca th tch cu: V= 61d3 N u ng kinh d = 3,7 0,05 cm va =
3,14. Bi ging mn hc Phng php tnh 7 Gii . Xem va d la i scua ham V,
theo (1.14) v (1.15) ta co: ov =o + 3od o = 0,0016/314 = 0,0005 od
= 0,05/3,7 =0,0135 Suy ra: oV = 0,0005+ 3.0,0135 = 0,04 M t khac:
V= 61d3 = 26,5 cm3 V y co: V = 26,5 .0,04= 1,06~ 1,1cm3 V= 26,5 1,1
cm3 1.5. Sai stnh ton v sai s phng phap 1. M uKhi giai g n ung m t
bai toan phc ta p ta phai thay bai toan a cho b ng m t bai ton n
gin hn c th gii c thng qua vic t h c hi n cac phep tinh thng thng b
ng tay ho c may tinh i n t. Phng phap thay bai toan phc ta p b ng
bai toan n gian nh th go i la phng phapg n ung. Sai sdo phng phap g
n ung ta o ra go i la sai sphng php. giai bai toan n gian ta phai
th c hi n cac phep tinh thng thng, ta lun lun phai quy tron cac k t
qua trung gian . Sai sta o ra bi t t ca cac l n quy tron nh v y gi
l sai s tnh ton . Sai scu i cungl tng hp ca hai loi sai s phng php
v tnh ton ni trn. 2. Th d a) Tnh tng: A = 311-321+331-341+351-361
Gii. A la t ng cua 6 phn s . Ta co thtinh tr c ti p A ma khng phai
thay no b ng m t t ng n gian hn. V vy y khng c sai s phng php .
tinh A ta hay th c hi n cc php chia dn ba ch s le thp phn v nh gi
cc sai s quy trn tng ng: 311 = 11= 1,000 vi 1u = 0 321=81= 0,125
vi2u= 0 331=271= 0,037 vi3u =4.410 341=641= 0,016 vi 4u = 4.410= Bi
ging mn hc Phng php tnh 8 351=1251 = 0,008 vi 5u= 0
361 = 2161 = 0,005 vi 6u= 4.410
V y A~ a =1,000 - 0,125 + 0,037 - 0,016 + 0,008 - 0,005 = 0,899
a A = |.|
\|1113 - |.|
\| 125 , 0213 + |.|
\| 037 , 0313
- |.|
\| 016 , 0413 + |.|
\| 008 , 0513 -|.|
\| 005 , 0613 a A s1113 + 125 , 0213 +037 , 0313 +016 , 0413 +
008 , 0513 +005 , 0613 s 1u+2u + 3u+ 4u + 5u+6u= 9.410= Do o a =
0,899 l gi tr gn ng ca A vi sai s tnh ton 9.410: Ta vi t A = 0,899
9.410 ( 1.18 ) b)Tnh gi tri cua a i l ng: B = 311 - 321 +331 - +(
)11n31n + Vi sai stuy t i khng v t qua 5.310 Gii . Vphai cua B la h
p ly. Nhng vphai la m t t ng v ha n sha ng , ta khng thc ng h t
snay n skhac mai c .Doo tinh B ta phai s du ng m t phng phap g n
ung, c th l thay B bng tng ca n sha ng u:
nB= 311 - 321 + +( )11n31n Bi ton tnh nB n gian hn bai toan tinh
B .Lc nB B l sai s phng php, v s n phi c chn sao cho sai s phng php
y cng vi sai s tnh to n v n cn nho hn 5.10-3. Ta co : nB B = ( ) (
) ( )3 3 311...2111+< +++ n n n (theo li thuy t vchu i san d u),
vi n = 6 ta th y :
33610 . 3334171< = < B BBi ging mn hc Phng php tnh 9 Ta
chu y r ng 6B= A a tinh trn (xem 1.18):
6B= A = 0,899 410 . 9V y co thl y B. 899 , 0 ~xet sai sta co :B
- 0,889 = B - 6B + A - 0,899 899 , 0 899 , 06 + s A B B B3 4 310 .
4 10 . 9 10 . 3 899 , 0 < + s BV y ta a tinh c B, 0 ~ 899 vi sai
stuy t i khng v t qua 4.310 Chu y rng : trong sai st ng h p cu i
cung co ph n cua sai sphng phap va co ph n cua sai stinh toan , cho
nn ta phai kheo phn bsao cho sai scu i cung nho hn sai scho php. Bi
ging mn hc Phng php tnh 10 PH LC 1 SN NH CU A M T QUATRI NH TI NH
1. M u Xt mt qu trnh v hn (tc la g m v sbc) tnh ra mt i lng no . Ta
ni qu trnh tnh l n nh nu sai s tnh ton tc l cc sai s quy trn tnh lu
li khng tng v hn. Nu sai s o tng v ha n thi ta noi qua trinh tich
la khng n i nh. Ro rng nu qu trnh tnh khng n nh th kh c hi vng tnh
c i lng cn tnh vi sai s cho php. Cho nn trong tinh toan ki nh t la
cac qua trnh tnh khng n nh. ki m tra tinh n i nh cua m t qua trinh
tinh thng ngi ta gia s sai schi xay ra ta i m t bc ,sau o cho phep
tinh u lam ung khng co sai s ,n u cu i cung sai stnh ton khng tng v
ha n thi xem nh qua trinh tinh n i nh.2. Th d Xt qu trnh tnh y1 +
i=qyi, ( 1.19 ) y0 v q cho trc .Gi s ti bc i xc nh no khi tnh yita
pha m m t sai sio (y khng phai la ki hi u ca sai s tng i nh trc y),
ngha l thay cho yi ta chi thu c yi~. Gi s : y yi i ( 1. 20 ) Sau o
thay cho y i+1 ta coy~i + 1 vi : y~i + 1 = q y~i =o > 0 L y(
1.21) tr (1.19) vvi vta c: y~i + 1 - yi+1 =qy yi iq y~i + 1 - yi+1
=q ()~y yi iTi p theo ta co:yi~2 += qyi~1 +
; yi 2 += qyi 2 + B ng phep tr nh trn ta la i co:yi~2 + - yi 2 +
= q( yi~1 + - yi 1 +) = q2 ( yi~ - yi) --------------------------
Bi ging mn hc Phng php tnh 11 M t cach t ng quat ta co:
yn i~+ - yn i+ = qn ( yi~ - yi) y yn i n i + + ~ =qn y yi i~` Nh
v y, n u bc i ta m c m t sai syy1~= o v sau mi php tnh u lm ng th
bc i + n ta se m c sai s
y yn i n i + + ~ =qno Ta th y co hai trng h p c n phn bi t; 1.
Trng h pqs 1 lc qn
y yn i n i + + ~ s o vi mo i n ngha l sai s tnh ton b chn ( khng
tng v ha n). V y qua trinh tinh n i nh. 2. Trng h pqs 1 - Lc qn tng
khi n vaqn , nn sai s y yn i n i + + ~ khi n V y qua trinh tinh
khng n i nhTrong th c t , m c du qua trinh tinhla v ha n, ngi ta
cung chi lam m t shu hn bc,nhng v n phai oi hoi qua trinh tinh n i
nh mi hy vo ng m t shu ha n bc co tha t c mc chinh xac mong mu n.
Bi ging mn hc Phng php tnh 12 BI TP 1. Khi o m t goc ta c cac gia
tri sau : a = 21o373 ; b = 1o10. Tnh sai stng i ca cc s xp x bit
sai s tuyt i trong cc php o l 1 2.Hay xc nh sai s tuyt i ca cc s xp
x sau y cho bit sai s tng i ca chng: a = 13267 ; oa= 0,1% b = 2,32
; ob= 0,7% 3. Hay xc nhs cc ch s ng tin trong cc s ng tin trong cc
s a vi sai s tuyt i nh sau: a = 0,39410; Aa = 0,25 .10 -2 b =
38,2543 ; Ab= 0,25 .10 -2 4. hay xc nh s nhng ch s ng tin trong cc
s a vi sai s tng i nh sau:a = 1,8921 ; oa = 0,1.10-2 b = 22,351;
ob= 0,1. 5.Hay quy trn cc s di y(xem la ung )vi ba ch sang tin va
xac i nh sai stuy t iA v sai s tng io ca chng:a) 2,1514;b)0,16152;
c)0,01204; d) - 0,0015281. 6. Hay xc nh gi tr ca hm s di y cng vi
sai s tuyt i v sai s tng i ng vi nhng gia tri cua cac i scho vi mo
i ch sco nghia u ang tin : a) u = ln ( x + y2 ) ;x = 0,97 ; y =
1,132 b) u = (x + y2)/z ; x = 3,28;y= 0,932 ; z= 1,132. 7. Tnh tng
S sau y vi ba ch s le thp phn ng tin : S = 111 + 121 + 131 + 141+
151+ 161 +171 8. Tnh s e: e = 1 + ! 11 + ! 21 + .... + !1n + ... vi
sai stuy t i khng qua 10-4 TR LI 1.oa = 0,13.10-4 ; ob=0,28.10-3
2.Aa = 0,13.102;Ab =0,16.10-1 3.a) 2; b) 4. 4.a) 3; b)1. Bi ging mn
hc Phng php tnh 13 5.a)2,15; A = 0,14.10-2;o = 0,65.10-3 b) 0,162;
A = 0,48.10-3;o = 0,3.102 c) 0,0120; A = 0,4.10-4;o = 0,33.10-2 d)
-0,00153;A = 0,19.10-5;o = 125. 10-2 6.a) u = 0,81;Au = 0,27.
10-2;ou = 0,33. 10-2 b) u = 3,665;Au = 0,7. 10-2;ou = 0,20. 10-2
7.S = 0,511. 8.e = 2,71830,0001. Bi ging mn hc Phng php tnh 14 CHNG
2 GII GN U NG PHNG TRI NH 2.1. t vn
Chophngtrnhf(x)=0,trongf(x)lmthmsnocax.Chcrtt trng hp, khi f(x) l
mt hm s n gin, chng hn hm s bc nht, bc hai th ta mi
cthtmcnghimngcaphngtrnh.Vvynhucutmnghimgnngca phng trnh l mt vn tt
yu. 2.2. Nghi m va khoang phn ly nghi m 1. Nghim ca phng trnh Xt
phng trnh mt n : f(x) = 0(2.1) trong o : f la m t ham scho trc cua
i sx. Nghi m th c cua phng trinh(2.1) l s thco tho man (2.1) tc la
khi thayo vo x v tri ta c: f(o) = 0(2.2) 2. nghia hnh hc ca nghim
Ta ve thi cua ham s : y= f(x) (2.3) trong m t h toa vung goc
oxy(hnh2-1). Gis th ct trc honh ti mt im M thi i m M nay co tungy=
0 v honh x = o. thay chung vao (2.3) ta c: 0 = f(o) (2.4) Hnh 2-1 M
o x y Bi ging mn hc Phng php tnh 15 V y hoanh oca giao im M chnh l
m t nghi m cua (2.1) Trc khi ve thi ta cung co ththayphng trinh
(2.1) b ng phng trinhtng ng : g(x) = h(x) (2.5) r i ve thi cua 2 hm
s (hnh 2-2) y = g(x), y = h(x) (2.6) Gi s hai d th y ct nhau ti im
M c honh x = o th ta c: g(o) = h(o) (2.7) V y hoanh o ca giao im M
ca2 thi (2.6) chnh l mt nghim caphng trnh (2.5), tc la cua phng
trnh (2.1). 3. St n ta i nghi m th c cua phng trinh (2.1) Trc khi
tim cach tinh g n ung nghi m th c cua phng trinh(2.1) ta phai
thoixem nghi m th c y co t n ta i hay khng .tra li ta co thdung
phng phap thi mc 2 trn. Ta cung co thdung i nh ly sau: i nh li 2.1
- Nu co 2 s th c a va b (a 0 Ta chia i khoang [1, 2] i m chia la
3/2. f|.|
\|23= |.|
\|232 - 23 - 1 > 0 tri du f(1). V y o e [1, 3/2]. Ta chia i
khoang[1, 3/2], i m chia la5/4. Ta co f (5/4) < 0, cng du vi f
(1). V yo e [5/4, 3/2]. Ta chia i khoang[5/4, 3/2], i m chia i
la11/8. Ta co f(11/8) > 0, tri du f (5/4). V y o e [5/4, 11/8].
Ta chia i khoang[5/4,11/8],i m chia la21/16.Ta co f (21/16)0,tri du
f(21/16). V y o e[21/16, 42/32]. Ta dng qua trinh chia i ta i y va
l y21/16 = 1,3125 hay 43/32 = 1,34375 lm gi tr gn ng ca o th sai s
khng vt qu 1/25 = 1/32 = 0,03125. Bi ging mn hc Phng php tnh 19 V
taa chia i5 l n va dai khoang[1,2] l 2 - 1 = 1, ( xem cng thc(2.10)
v (2.11)). 3. S tom t t phng trinh chia i 1) Cho phng trinh f(x) =
0 2) n i nh sai scho phep c. 3) Xc nh khong phn ly nghim [a, b] 4)
S thut ton: Tnh c = (a+b)/2, tnh f(c) f(c)f(a)< 0 Thay b=cThay
a=c Tnh e = b - a e < c K t qua : o ~ a o ~ b o -a< c o
-b< c
S S Bi ging mn hc Phng php tnh 20 2.4. Phng phap l p 1. M ta
phng phapXt phng trnh (2.1) vi gia thi t no co nghi m th c o phn ly
trong khong [a,b]; Trc h t ta chuy n phng trinh(2.1) vda ng: X =
(x)(2.12) V tng ng vi (2.1) Sau o ta cho n m t sx0 no e [a,b] lm xp
x u ri tnh dn day s xn theo quy t c: xn = (xn-1),n = 1,2...(2.13)
x0 cho trc e [a,b](2.14) Qu trnh tnh ny c tnh lp i lp li nn phng
php y gi l phng php lp , hm gi l hm lp. 2. Sh i tu : i nh nghia2.2-
N u day xn o khi n th ta ni phng php lp(2.13) (2.14) h i tu . Khi
phng phap l p h i tuthi xn cng gno n u n cag ln. Cho nn ta co thxem
xn vi n xac i nh la gia tri g n ung c a o. N u phng phap l p khng h
i tuthi xn c th rt xao.V vy ch c phng php lp hi t mi c gi tr .ki m
tra xem m t phng php lp c hi t hay khng ta c nh l sau: i nh ly 2.4
- Xt phng php l p (2.13)(2.14) gi s 1) [a,b] l khong phn ly nghi m
o ca phng trnh (2.1) tc la cua (2.12): 2)Mi xn tnh theo (2.13)
(2.14) u e [a,b]: 3) Hm (x) c o hm tho man: |(x)| s q 3 ti mi x e
[1, 2] Vi ham chn nh vy phng php lp khng c hy vng hi t. By gi ta vi
t (2.9) dng: x3 = x + 1. x = (x + 1)1/3 V t:(x) = (x + 1)1/3(2.29)
Lc : ( )( )323 / 21131131) ( '+|.|
\|= +|.|
\|=xx x Nn: 0 < '(x) 31 ti mi x e [1, 2] Bi ging mn hc Phng
php tnh 24 Nh v y ham(x)cho bi(2.29)tho man gi thit ca nh l2.4v ch
thch cng thc(2.2.1).Do o b t u qua trinh tinh l p ta cho n x0l mt s
bt ke[1,2] ch ng ha n x0 = 1. Sau o tatnh xn theo cng thc l
p(2.13). Di y la m t sgia tri xn xem la gia tri g n ung cua o cng
vi sai s nh gi theo cng thc (2.23) trong o q = 31. x0 = 1 x1 =
1,25992106; 13 , 01 s x ox2 = 1,312293837;027 , 02 s x ox3 =
1,322353819;005 , 02 s x ox4 = 1,324268745;00096 , 02 s x ox5 =
1,324632625;000182 , 05 s x oK t qua nay co qua nhi u chsang nghi
.Ta quy tron no n b n ch sle th p phn b ng cach vi t: 00003265 , 0
000182 , 0 3246 , 13246 , 1 3246 , 13246 , 1 3246 , 15 55 5+ s + s
+ = oo oo ox xx x Do o:00025 , 0 3246 , 1 s oV y co:o = 1,3246
0,00025. So vi phng phap chia i thi phng phap l p y h i tunhanh hn
nhi u. 6. Ch y: Trong th c tngi ta dng qua trinh tinh khi: 1 n nx
x< sai scho phep c. 7. Tom tt phng php lp: 1) Cho phng trinh:
f(x) = 0. 2) n nh sai s cho php c. 3) Xc nh khong phn ly nghim [a,
b]. 4) Tm hm lp hi t . 5) Chn xp x u x0. 6) Tnh: Xn = (xn-1), n =
1,2,3,... cho ti khi |xn - xn-1| 0) (f' < 0, f" < 0) Hnh 2-7a
Hnh 2-7b (f' > 0, f" < 0) (f' < 0, f" > 0) Hnh 2-7cHnh
2-7d 3. Th d: 1.Hay tnh cn bc hai dng ca mt s dng a .Mu n thta xet
phng trinh : f(x) = x2 - a = 0(2.39) Ro rngc mt nghi m dng cua phng
trinh(2.39) phn li trongkhong[1, 3]. Trong khoang o f '(x) =2x >
0, f"(x) =2 > 0. V y ta co thap du ng i nh ly2.6. Cng thc tnh
(2.34) vi t: ||.|
\|+ =+nn nxax x211(2.40) x1 bx B A ao y x2 A y B a o x2 x1 b x
yy ax1 x2 o b B A x A ax1 x2 o b B x Bi ging mn hc Phng php tnh 31
Vi a= 2, ta co: f(2) = 22 - 2 > 0 cng du vi f " nn ta cho n x0 =
2. Vi x0 y cng thc tinh (2.40) cho: x1 = 1,5 x2 = 1,417 x3 =
1,41421 V414213562 , 1 2 = , nn ta th y ro phng phap Niutn h i tur
t nhanh. 2. Li xt phng trnh(2.9). Ta a chng minh c no co nghi m th
co phn ly trong khoang [1, 2]. Trong khoang o: f'(x) = 3x2 - 1 >
3 - 1 = 2 > 0 f"(x) = 6x > 6 > 0 V y co thap du ng i nh ly
2.6. cho n x0 ta tinh f(2) = 23 - 2 - 1 = 5 > 0 cng du vi f". Ta
chn x0 = 2. Do o co cng thc tinh: 21 310231= =+xxx xx xnn nn n Sau
y la m t sk t qua tinh xn kem theo sai s tnh theo (2.37): Bang 2.1
nxn sai s02 11,545454545 21,359614916 31,325801345
41,3247190490,0000024 51,3247179502.10-10 4. Ch y: Trong th c tthng
ngi ta dng qua trinh tinh khi: < 1 n nx x sai scho phep c. 5. S
tom t t phng phap ti p tuy n: Bi ging mn hc Phng php tnh 32 1) Cho
phng trinh f(x) = 0. 2) n i nh sai scho phep c. 3) Tm khong phn ly
nghim [a, b] trong o f' v f" khng i d u. 4) Chn x0. 5) S thut ton
Sai s : ( )mx fx11 s oTrong o: 0 < m s( ) b a x x f , , ) ( ' e
Tnh: ( )( )000 1' x fx fx x =Tnh e = 0 1x x Thay x0 = x1 K t qua: a
~ x1 e < c S Bi ging mn hc Phng php tnh 33 BI TP 1. Gii gn ng
phng trnh: x - sinx = 0,25. B ng phng phap l p vi k t qua co hai ch
sle th p phn ang tin. 2. Dng phng php Niutn tnh nghim dng ca phng
trnh: 1,8x2 - sin10x = 0 Vi sai stuy t i khng qua 10-5. 3. Dng phng
php Niutn tnh gn ng nghim ca ccphng trinh sau vi sai stuy t i khng
qua 10-5. a) x2 - sintx = 0b) x2 - costx = 0 c) 2lgx -0 12= +xd)
lgx -012 =x e) xlgx - 1,2 = 0 4. Dng phng php lp hay tnh gn ng
nghimdng ln nh t cua phng trinh: x3 - x - 1000 = 0 Vi sai stuy t i
khng qua 10-5. TR LI 1. 1,17 2. o = 0,29810 0,00001 3. a) 0,0;
0,78724b) -0,43843; 0,43840c) 0,39754 d) 1,89665e) 2,74065 4.
10,03333 Bi ging mn hc Phng php tnh 34 CHNG 3 XP X HM 3.1. a thc ni
suy. Lc Hoocne 1. Vn ni suy Cho hm s y = f(x) c cho bng bng gi tr:
yi = f(xi). Khi a thc ni suy ca f(x) l a thc c dng Pn(x) = a0 + a1x
+ a2x2 + ... + anxn Sao cho Pn(xi) = f(xi), i = 1, 2, ... , n. 2.
Lc Hoocne Lc Hocne tnh gi tr ca a thc Pn(x) l: b0 = a0 b1 = b0x +
a1 b2 = b1x + a2 ..... bn = bn-1x + an
3. S duy nht ca a thc ni suy inh ly: a thc ni suy Pn(x) cua ham
s f(x) nu tn tai th duy nht Nhn xet: T nh l ny ta thy rng c th xy
dng a thc ni suy theo nhng cch khc
nhau,tuynhinktquthuckhngthayi,tclkhngphthucvocchchn phng php ni
suy. 3.2. a thc ni suy Lagrange Ta xy dng a thc ni suy theo kiu
Lagrange nh sau: ( )( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )0 1 1 10 1 1
1... ...( )... ...i i nii i i i i i i nx x x x x x x x x xL xx x x
x x x x x x x + + = Khi a thc Lagrange c dng: 0( ) ( )nn i iiP x y
L x== 1. Ni suy bc nht Nu hm s f(x) c cho bng 2 cp im th c th tm c
a thc ni suy bc nht ca f(x).p dng cng thc trn cho trng hp n = 1 ta
c: 0 11 0 10 1 1 0( )x x x xP x y yx x x x = + Bi ging mn hc Phng
php tnh 35 2. Ni suy bc hai Nu hm s f(x) c cho bng 3 cp im th c th
tm c a thc ni suy bc hai ca f(x). p dng cng thc trn cho trng hp n =
2 ta c:0 2 0 1 1 22 0 1 20 1 0 2 1 0 1 2 2 0 2 1( )( ) ( )( ) ( )(
)( )( )( ) ( )( ) ( )( )x x x x x x x x x x x xP x y y yx x x x x x
x x x x x x = + + 3. Th d Lp a thc ni suy Lagrange ca hm c cho bng
bng sau: x1234 y1727,576210,5 4. Mt s vn v chn nt:C th chn nt cch u
hoc chn mt cch ngu nhin li cc im cho trc ca f(x). Tuy nhin ngi ta
thng chn cc nt cch u, khi vic tnh ton se thun li hn. 3.3. a thc ni
suy Newton 1. T hiu Trchttaavokhinimthiu.Chnghnthiucp1caytixi,xjl:
,i ji ji jy yy x xx x ( = T hiu cp 2 ca y ti xi, xj, xk l: [ , ] [
, ], ,i j j ki j ki ky x x y x xy x x xx x ( = Tng t ta c th xy dng
c t hiu cp 3, cp 4,..., cp n ca y ti n im chia khc nhau. 2. a thc
ni suy Newton Theo cch nh ngha t hiu trn ta xy dng c a thc ni suy
Newton tin xut pht t nt x0 ca hm f(x) l: Pn(x) =| | | | | |0 0 0 1
0 1 0 1 2 0 1 1 0( ) , ( )( ) , , ... ( )( )...( ) ,...n ny x x y x
x x x x x y x x x x x x x x x y x x+ + + + Nhn xet: Theo cch ca
Newton, khi thm mt nt xn+1 vo li ni suy th ta ch cn thm vo Pn(x) ng
mt s hng m khng phi xy dng li tt c cc a thc c s nh trong cch lm ca
Lagrange. Bi ging mn hc Phng php tnh 36 Tng t nh trn, ngi ta cung
xydng c a thc ni suyNewton li ca f(x) xut pht t xn. 3.4. Phng php
bnh phng b nht 1. M u Gi s hai i lng x v y c lin h vi nhau theo mt
hm s no . Tuy nhin dng hm c th th ta cha xc nh c. Ngi ta c th tm mt
hm s xp x ca f(x) sao cho s sai khc xy ra l nho nht (theo mt quan
im no ) Phngphptmhmxpxcaf(x)nhvygilphngphpbnhphngb nht. Trong phng
php ny ta s dng iu kin hm s t cc tr ti mt im, l o hm ti im trit
tiu. Dng hm xp x cn tm c th l bc nht, bc hai, bc ba, hm lng gic hay
hm mu. 2. Trng hp y = a + bx (a thc bc nht) Ta tm hm xp x ca f(x)
di dng bc nht, tc l: f(x) = a + bx. S dng iu kin: Hm s t cc tr ti
cc im ti hn ca n, ta suy ra h phng trnh tm cc h s a v b. H phng
trnh chnh tc c dng: 1 121 1 1.n ni ii in n ni i i ii i ina b x ya x
b x x y= == = =+ =+ = 3. Trng hp y = a + bx + cx2 Ta tm hm xp x ca
f(x) di dng bc hai, tc l: f(x) = a + bx + cx2. H phng trnh chnh tc
( tm cc h s a, b v c): 21 1 12 31 1 1 12 3 4 21 1 1 1.n n ni i ii i
in n n ni i i i ii i i in n n ni i i i ii i i ina b x c x ya x b x
c x x ya x b x c x x y= = == = = == = = =+ + =+ + =+ + = Gii cc h
phng trnh trn vi n s l a, b, c ta tm c a thc xp x. 4. Cc dng khc
Ngoi cc dng a thc a nu trn, cn c cc dng khc l:Bi ging mn hc Phng
php tnh 37 y = a + b.cosx + c.sinx y = a.ebx y = a.xb 5. Th d Tm hm
xp x bc nht v bc hai bng phng php bnh phng b nht ca hm c cho bng
bng sau: x-1,12,13,24,35,4 y0,787,39,211,913,5 BI TP Bi 1. Hm f(x)
c cho bng bng: x-2023 y-4-112 1. Tm a thc ni suy Lagrange ca f(x)
2. Tm a thc ni suy Newton ca f(x) Bi 2. Hm f(x) c cho bng bng:
x-2023 y4-112 Dng phng php bnh phng b nht tm a thc xp x bc 2 ca
f(x). Bi 3. Tm hm xp x bc nht v bc hai bng phng php bnh phng b nht
ca hm c cho bng bng sau: x-2,10,32,14,25,6 y-1,82,515,28,212,5 Bi
ging mn hc Phng php tnh 38 CHNG 4 O HM S. TCH PHN S 4.1. Tnh gn ng
o hm 1. p dng a thc ni suy
tnhohmcahmsy=f(x)tixtacththayf(x)bngathcnisuy Pn(x) ca n. Sao dng
cng thc o hm ca a thc ti mt im. 2. p dng cng thc Taylo ( ) ( )'( )f
x h f xf xh+ ~vi |h| kh b. 4.2. Tnh gn ng tch phn 1. M u Ta a bit
nu F(x) l mt nguyn hm ca f(x) trong| |; a bth: ( ) ( ) ( )baf x dx
F b F a = } (cng thc Newton Leibnitz) Tuy nhin trong thc t v nhng l
do khc nhau khng phi lc no ta cung s dng cng thc trn. Vic tnh gi tr
gn ng ca tch phn xc nh l mt nhu cu ph bin. 2. Cng thc hnh thang Ta
chia| |; a bthnh n phn bng nhau bng cc im chia ix a ih = + , b
ahn=Khi gi tr gn ng ca tch phn theo cng thc hnh thang l: 01 2
1...2nT ny yI h y y y +(= + + + + ( 3. Cng thc Simpson Ta chia| |;
a bthnh 2n phn bng nhau bng cc im chia ix a ih = + , 2b ahn=Khi gi
tr gn ng ca tch phn theo cng thc hnh thang l: | |0 2 1 3 2 1 2 4 2
24( ... ) 2( ... )3S n n nhI y y y y y y y y = + + + + + + + + +4.
nh gi sai s Vic nh gi sai s ca cc cng thc trn l kh phc tp. Tuy nhin
ngi ta chng minh c rng:Bi ging mn hc Phng php tnh 39 2TI I ( )12hM
b a s , vi (2)max ( )a x bM f xs s=4SI I ( )180hM b a s , vi (4)max
( )a x bM f xs s=5. Th d Tnh gn ng gi tr ca tch phn sau bng cng thc
hnh thang v cng thc Simpson: 1201dxIx=+} 6. S tom tt cng thc hnh
thang v cng thc Simpson a. Cng thc hnh thang: Phng n 1: Cho trc s
khong chia n 1) n nh s khong chia n 2) Chia [a, b] thnh n phn bng
nhau, tnh: b ahn=xi = a + ih, i = 0, 1, 2, ..., n yi = f(xi), i =
0, 1, 2, ... , n 3) Tnh:01 2 1...2nT ny yI h y y y +(= + + + + ( 4)
I ~ IT Phng n 2: Cho trc sai s: 1) Da vo sai s cho trc n nh s khong
chia n 2) Chia [a, b] thnh n phn bng nhau, tnh: b ahn=xi = a + ih,
i = 0, 1, 2, ..., n yi = f(xi), i = 0, 1, 2, ... , n 3) Tnh:01 2
1...2nT ny yI h y y y +(= + + + + ( 4) I ~ IT b. Cng thcSimpson:
Phng n 1: Cho trc s khong chia 2n Bi ging mn hc Phng php tnh 40 1)
n nh s khong chia 2n 2) Chia [a, b] thnh 2n phn bng nhau, tnh: 2b
ahn=xi = a + ih, i = 0, 1, 2, ..., 2n yi = f(xi), i = 0, 1, 2, ...
, 2n 3) Tnh:| |0 2 1 3 2 1 2 4 2 24( ... ) 2( ... )3S n n nhI y y y
y y y y y = + + + + + + + + +4) I ~ IS Phng n 2: Cho trc sai s: 1)
Da vo sai s cho trc n nh s khong chia 2n 2) Chia [a, b] thnh 2n phn
bng nhau, tnh: 2b ahn=xi = a + ih, i = 0, 1, 2, ..., 2n yi = f(xi),
i = 0, 1, 2, ... , 2n 3) Tnh:| |0 2 1 3 2 1 2 4 2 24( ... ) 2( ...
)3S n n nhI y y y y y y y y = + + + + + + + + +4) I ~ IS BI TP 1.
Tnhgn nggi trca tch phn: 101dxIx=+} bngcng thc hnh thang v cng thc
Simpson vi s im chia l n = 10 (2n = 20) 2. Tnh gn ng gi tr ca tch
phn: 10sinxI dxx=} bng cng thc hnh thang v cng thc Simpson vi sai s
cho trc l c = 3.10-8 TR LI 1. I = 0,69315 0,00002 2. Theo cng thc
hnh thang: I ~ 0,9458 Theo cng thc Simpson th: I ~ 0,946082 Bi ging
mn hc Phng php tnh 41 CHNG 5 GII GN NG PHNG TRNH VI PHN 5.1. t vn
1. Nhn xt m u Khigiiphngtrnhviphnthngtathucnghimlmthcchm.Tuy nhin
trong thc t vic tm nghim ng ca mt phng trnh vi phn l rt kh, thm ch
khngth.Vvytaphiaraccphngphpgiignngphngtrnhviphnni chung v bi ton C
si ni ring. 2. Bi ton C si i vi phng trnh vi phn cp mt Bi ton: Tm
nghim cua phng trnh vi phn y' = f(x, y) vi x0 s x s X tha mn iu kin
y(x0) = o iu kin y(x0) = o c goi la iu kin C si hay iu kin u. V d:
Gii bi ton C si 2'(0) 1xy yyy= = y hm cn tm l y, iu kin u l y(0) =
1. Nu bng cch no ta tm c y di dng h cc nguyn hm th nghim ca bi ton
C si l n gin. Nhng trong thc t ta thng tm nghim ca bi ton ny di dng
mt bng, tc l mt li cc im. 3. Vn gn ng nghim
VictmnghimcabitonCsithngrtphctp,chonnngitaphi nghin cu cc phng php
tnh gn ng. Ta lun gi thit: Bai ton t ra co nghim duy nht va nghim o
u trn, nghia la no co ao ham n cp u cao. 5.2. Phng php Euler, Euler
ci tin 1. M u CthgiibitonCsibngphngphpchuiTaylo,tcltmnghimdi
dngchui.Phngphpnygilphngphpgiitch.PhngphpEulerthucloi phng php s,
tc l ta tm nghim di dng s (bng gi tr). Bi ging mn hc Phng php tnh
42 Mc ch ca phng php ny l tm cch tnh gn ng gi tr ca y(x) ch ti cc
nt xi ch khng phi ti mi x e [x0; X] 2. Xy dng cng thc tnh nghim gn
ng bng phng php Euler Ta chia on [x0; X] thnh n phn bng nhau bng cc
im chia xi = x0 + ih, trong h = 0X xn. Khi nghim gn ng ca bi ton C
si c xc nh qua cc gi tr ui nh sau: 0 0 01( ). ( ; )i i i iu y y xu
u h f x uo+= = = = + 3. S hi t v sai s Ta gi ei = ui - y(xi) l sai
s ca phng php Euler ti im xi. Khi inh nghia: Nu ti xi xc nh, ei 0
khi h 0 th ta ni rng phng php Euler hi t. Ta gi ui l gi tr gn ng ca
y(xi). nh l: Gi s fLycsc;" y K s , trong L v K l cc hng s th phng
php Euler hi t v ( )0( )i i ie u y x M e ah = s + , trong 0( )iL x
xM e=v 2Ka =4. Th d:Gii bi ton C si sau y bng phng php Euler 2'(0)
1xy yyy= = Vi 0 s x s 1 5. Phng php Euler ci tin: Phng php Euler c
chnh xc cp mt, tc l tuyn tnh so vi bc chia h. tng chnh xc ca phng
php Euler, ta dng cng thc sau: (0)1. ( , )i i i iu u h f x u+= +( )
( 1)1 1 1[ ( , ) ( , )]2m mi i i i i ihu u f x u f x u+ + += + + ,
vi, 1 i o n = , m = 1, 2, ... Cng thc ny c chnh xc cp 2, tc l tt hn
cng thc Euler. 5.3. Phng php Runger-Kutta 1. M u Bi ging mn hc Phng
php tnh 43 PhngphpRunge-Kuttalphngphpcchnhxccaovcunglphng
phphinnhphngphpEuler.NuphngphpEWulerchc chnhxccpmt th phng php
Ruge-Kutta c chnh xc cp bn. 2. Cng thc tnh nghim gn ng ca bi ton C
si bng phng php Ruge-Kutta u0 = y(x0) = o k1 = h.f(xi; ui) k2 =
h.f(xi+0,5h; ui+0,5k1) k3 = h.f (xi+0,5h; ui+0,5k2) k4 = h.f(xi+h;
ui+k3) ui+1 = ui + 16(k1 + 2k2 + 2k3 + k4) NX: So vi phng php
Euler, phng php Ruge-Kutta c khi lng tnh ton tng gp 5 ln. BI TP Bi
1. Cho bi ton Csi: y' = 2xy, 0 s x s 2, y(0) = 1. Gii gn ng bi ton
bng phng php chui Taylo n o hm cp 3. Bi 2. Cho bi ton Csi: y' = x2
+ y2 + 4, 0 s x s 1, y(0) = 2. Gii gn ng bi ton bng phng php -le vi
n = 10. TR LI 1. p dng cng thc: 2 30'(0) "(0) '''(0)1 2 6y y yy y x
x x = + + +2. Chia on [0, 1] thnh 10 phn bng cc im chia: xi = x0 +
ih = ih, trong h = 01 0 10,110 10X xn = = = . Sau p dng cng thc:
ui+1 = ui + h.f(xi; ui) Bi ging mn hc Phng php tnh 44 C THM CHNG 6
TNH GN NG NGHIM CA MT H I S TUYN TNH 6.1. M u 1. Dng tng qut ca mt
h i s tuyn tnhM t h a i stuy n tinh co thco m phng trinh n n . y ta
ch xt nhng h c n phng trinh n:a11x1 + a12x2+ ... + a1nxn = f1 a21x2
+ a22x2+ ... + a2nxn = f2 ... ...an1x1 + an2x2+ ... + annxn = fn
Trong o: aij l h s ca n xj ca phng trnh i , fi l v phi ca phng trnh
th i . Gi sa a bit aij v fi ta phai tim cac n xj.Ma tr n (3.2) Gi l
ma trn h s ca h (3.1). Cc vect:(3.3)c gi l vect v phi v vect n ca
h. Sau nay ti t ki m gi y, thay cho cach vi t trn ta co thvi t.f =
(f1, f2, ... fn)T, x = (x1, x2, ..., xn)t.Bi t r ng tich cua ma tr
n A vi vect x, vi t la Ax, l mt vect c ta th i l: o chinh la vtrai
cua phng trinh th i cua h (3.1) V y h (3.1), c th vit dng vect hay
dng ma trn nh sau:Ax - f (3.4).(3.1) Bi ging mn hc Phng php tnh 45
2. St n ta i va duy nh t nghi m cua h Gi nh thc ca ma trn A l nh
thc ca h , vi t laA : A = det (A). N u A = 0 ta ni ma trn A suy bin
v h (3.1), tc la (3.4) l h suy bin.Gi Ai l nh thc suy t A b ng cach
thay c t th i bi c t vphai. Ta co i nh ly sau:i nh ly3.1. (Crame):
N uA = 0 tc la n u h khng suy bi n thi h (3.1) c nghim duy nh t cho
bi cng thc: 3. Ch thch:K t qua nay r t go n va r t e p vm t ly thuy
t nhng tinh nghi m b ng cng thc (3.5) r t t nghia la m t r t nhi u
cng , scac phep tinh s c p (+, -, x, : ) c n thi t la vo c (n + 1)!
n. K hiu s l Nc(n) ta co:NC(n) ~ (n + 1)!nVi n=15ta co
NC(15)~3.1014.y la m t sr t ln .Sau y ta trinh bay m t phng phap
khac ti t ki m c cng tinh r t nhi u. o la phng phap Gaox.Bi ging mn
hc Phng php tnh 46 6.2. Phng phap Gaox (Gauss) 1. Phng phap Gaox
Phng phap gaox dung cach kh d n cac n a h a cho vm t h co da ng tam
gic trn ri gii h tam gic ny t di ln trn, khng phai tinh m t i nh
thc nao.L y m t thi dn gian: xt h2x1 + x2 = 14x1 + 6x2 = 3Kh x1
khoi phng trnh th hai ta c2x1 + x2 = 14x2 = 1H nay co da ng tam
giac. Gii n t di ln ta cx2 = 0,25x1 = (1 - x2)/2 = 0,375 Ta th y r
ng cach giai bai toan cung kha n gian .Nhng n u h co nhi u phng
trnh nhiu n th vn tr nn phc tp hn nhiu.trinh bay phng phap gaox cho
dhi u ta chi xet h g m3 phng trinh 3 n suy ra cac thc tinh, cc cng
thc ny suy rng c cho trng hp n phng trnh n n Xt h:a11x1 + a12x2 +
a13x3 = a14 (3.6a) a21x1 + a22x2 + a23x3 = a24(3.6b) a31x1 + a32x2
+ a33x3 = a34(3.6c) H tam giac ma ta mong mu n co da ngx1 + b12x2 +
b13x3 = b14 x2 + b23x3 = b24 x3 = b34 Cc s hng v phi ta vit l ai4 v
bi4 l ct vit cc cng thc sau ny tin li.Qu trnh kh a h(3.6)vda
ng(3.7)gi l qu trnh xui;qu trnh gii h (3.7) gi l qu trnh ngc.2. Qu
trnh xui.Bc 1: Kh x1. Gi s a11 (3.6a) = 0 ta go i no la truth nh t
va chia phng trinh (3.6a) cho a11, ta c (3.9) (3.7) Bi ging mn hc
Phng php tnh 47 Ta dung (3.8) kh x1 khoi cc phng trnh(3.6b) v
(3.6c). kh x1 khoi (3.6b), ta nhn (3.8) vi a21 (h scua x1 3.6b):
a21x1 + a21 R i l y phng trinh (3.6b) tr phng trinh nay ta c: kh x1
khoi (3.6c) ta cung lam tng t :Nhn (3.8) vi a31 (h scua x1 3.6c)).
R i l y (3.6c) tr phng trinh nay: n y hai phng trinh (3.10) v
(3.12) khng cha x1 na. Chng to thnh mt h gm hai phng trnh hai n x2
v x3, tc la co sit i m t so vi s n cua h ban u. Ta l p la i vi c
lam trn kh x2 khoi (3.12).Bc 2: Kh x2. Gi s (3.10) = 0, ta go i no
la truth hai va chia(3.10) cho . Nhn (3.14) vi (3.12) (h scua x2
(3.12)). L y (3.12) tr phng trinh nay: (3.16) (3.17) Phng trinh
(3.16) khng co x2 n
Bc 3: (bc cu i cung i vi h 3 n)Bi ging mn hc Phng php tnh 48 Gi
s (3.16) = 0. Ta chia (3.16) cho (3.18) (3.19) By gi ta ghep
cacphng trinh(3.8) (3.14) v (3.18 li ta se c h tam gic dng (3.7)
(3.20a) (3.20b) (3.20c) 3. Qu trnh ngc.Gii h tam gic.T (3.20c) ta
co x3, thay x3 y vo(3.20b) ta co x2, r i thay x3, x2 y vo(3.20a) ta
co x1: V y la h (3.6) a giai xong ma khng phai tinh m t i nh thc
nao.4. Th d:Xt h : 2x1 + 4x2 + 3x3 = 4(3.22a)3x1 + x2 - 2x3 = - 2
(3.22b).4x1 + 11X2 + 7x3 = 7(3.22c)a) Qu trnh xui :Bc 1: Kh x1.
Chia (3.22a) cho a11 = 2 (h s= 0 ca x1 (3.22a)):x1 + 2x2 + 1,53 = 2
(3.23)Nhn (3.23) vi 3 (h scua x1 (3.22b)) r i tr khoi (3.22b).- 5x2
- 6,5x3 = - 8(3.24) Nhn (3.23) vi 4 (h scua x1 (3.22c)) r i tr khoi
(3.22c)3x2 + x3 = 1(3.25) Ta c h 2 phng trinh 2 n x2, x3 :
(3.24)(3.25).Bc 2: Kh x2 khoi (3.25). chia (3.24 cho -5 (h s= 0) ca
x2 3.24):x2 + 1,3x3 = 1,6 (3.26).Nhn (3.26) vi 3 h scua x2 (3.25))
r i tr khoi (3.25):Bi ging mn hc Phng php tnh 49 - 2,9x3 = -
5,8(3.27).Bc 3: (bc cu i cung cua qua trinh xui):Chia (3.27) cho
(-2,9) (h s= ca x3 ):x3 = 2 (3.28).Ghp cc phng trnh
(3.23)(3.26)(3.28) li:x1 + 2x2 + 1,5x3 = 2 x2 + 1,3x3 = 1,6 x3 = 2
V y xong qua trinh xui.b) Qu trnh ngc : Gii h tam gic (3.23) (3.26)
(3.28) t di:x3 = 2x2 = 1,6 - 1,3x3 = - 1 x1 = 2 - 2x2 + 1,5x3 = 1 V
y nghi m cua h la
x1 = 1 ; x2 = -1 ; x3 = 2.Qu trnh tnh ton trn c th ghi tm tt vo
bng 3.1.H scua x1H scua x2H scua x3VphaiPhng trinh 2 3 4 4 1 11 3
-2 7 4 -2 7 (3.22a) (3.22b) (3.22c) 12 -5 3 1,5 -6,5 1 2 -8 1
(3.23) (3.24) (3.25) 1,3 -2,9 1,6 -5,8 (2.26) (3.27) 122 -1 1
(3.28) 5. Chn tr ti a Trong qua trinh xui cua phng phap gaox ta a
phai gia thi t a11 =0,=0, = 0. N u m t trong cac h sb ng khng thi
qua trinh tinh khng ti p tu c c . Lc o ta phai thay i cach tinh .
Gi s khi kh x1 cc phng trnh di , ta nhin cac h sBi ging mn hc Phng
php tnh 50 a21, a31, ca x1 cc phng trnh di, n u co cai nao khac
khng ta co thl y no thay cho vai tro cua a11b ng cach hoan vi hai
phng trinh . N u ca ba h sa11, a21, a31 bng khng thi h a cho suy bi
n .Ta chu y thm r ng khi chia cho m t sthi s ai stinh toan cng b
khi s chia c tr tuyt i cng ln . V vy hn ch bt sai si tnh ton ta chn
trong cac sa11, a21, a31 sco tri tuy t i ln nh t lam truth nh t go
i la trut i a i th nh t kh x1. Khi kh x2 v x3 ta cung lam tng t .
Sau y ta tinh theo cach lam o trn thi d a xt trn (xem bang 3.2)Bang
3.2H scua x1H scua x2H scua x3Vphai 2 3 4 4 1 11 3 -2 7 4 -2 7 4 3
2 11 1 4 7 -2 3 7 -2 4 12,75 -7,25 - 1,5 1,75 -7,25 -0,5 1,75 -7,25
0,5 111 1 1 12 -1 1 Ch l khi kh x1 v 4 = max {|2|, | 3|, | 4|} nn
ta a hoan vi dong th nh t vi dong th ba bang trn trc khi lam cac ng
tac kh x1.6. Ch y:Cch nh cc cng thc tnh. Xt cc cng thc(3.11) v
(3.9). Chng cho php tnh theo aij. a t aij =cc cng thc cho: M t cach
tng t , cc cng thc (3.13) v (3.9) cho: Bi ging mn hc Phng php tnh
51 Hai cng thc nay co thvi t chung thanh m t : V tr ca cc phn t v
tri sp xp thnh mt hnh ch nht Hnh ch nht ny c nh trn bn tri l (tr th
nht )inh di bn phai la (o la ph n t c n bi n i thanh Sau khi a xac
i nh c hinh ch nh t trn thi cng thc tinh a vi t trn phat bi u thanh
li nh sau:aij (mi) b ng aij (cu), tr tich cua ai1(cu) nhn vi a1j
(cu) chia cho a11(cu); hay la ph n t(mi)n m goc di bn phai b ng ph
n t(cu)n m goc di bn phai tr tich cua ph n t (cu) n m goc di bn
trai nhn vi ph n t(cu) n m goc trn bn phai chia cho phn t (cu) n m
gc trn bn tri (tc la ph n t trucu).Quy t c nay go i la quy t c hinh
ch nh t . N gip ta d nh cch tnh.Cch tnh d a vao(3.17) v (3.15) thng
quacung c th nh theo quy tc tng t Quy t c hinh ch nh t co thgiup ta
dnh cach tinh theonh sau:
Bi ging mn hc Phng php tnh 52 7. Kh i l ng tinh va cng thc tinh
i vi m t h n n.Phng phap Gaox co thap du ng cho m t h a i stuy n
tinh g m n phng trinh n n.Scac phep tinh + , - , x, : phi lm gii mt
h n phng trinh n n la : Vi n = 15 th NG(15) = 2570. Snay it hn r t
nhi u so vi NC(15) (xem mu c 3 (3.1)).Cc cng thc tnh cho mt h n
phng trnh n n phc tp ,ta chi nh c r ng chung v n da ng(3.8) (3.10)
(3.12) v.v... nhng gia tri cu i cung cua j (3.9) (3.11) (3.13)
v.v... phi l n + 1.8. S tom t t phng phap Gaox.Xt h n phng trnh n
n.a11x1 + a12x2 + ... +a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn = b2
..............................................
.............................................. an1x1 + an2x2 + ...
+ annxn = bn Khi ap du ng thng ngi ta s du ng phng phap Gaox co cho
n trut i a i . Cho nn sau y se trinh b y s tom t t phng phap Gaox
co cho n trut i a i .Qu trnh xui:Vi k l n l t la 1, 2, ..., n -
1.Tm r :.Nu= 0 th dng qu trnh tnh v thng bo: h suy bi n n u th i
chvi, j = k, ..., n vi Tnh : i = k + 1 , k + 2, ..., nj = k + 1, k
+ 2, ..., nSau qua trinh xui ta c h tam giac phat tri n:Bi ging mn
hc Phng php tnh 53 ... m ta vit li gn hn bng cch bo cc ch s trn
thnhl11x1 + l12x2 + .... + l1nxn = c1 l22x2 + .... + l2nxn = c2
................................... lnnxn = cn vi Do o ta co Qu
trnh ngc:N u lnn = 0 th dng qu trnh tnh v thng bo: h suy bi n.N u
lnn = 0 th tnhxn = cn/lnn
xn-1 = (cn-1 n xn)/ln - 1 n-1 ... x1 = (c1 - l12x2 - ... -
l1n-1xn-1)/l11 9. Ch thch:Phng phap Gaox cung cho phep tinh i nh
thc , ch ng ha n, vi i nh thc c p3, ta c theo mc 2 (3.2). C th,
theo thi du 4 (3.2). Phng phap Gaox cung cho pohep tinh ma tr n
nghi ch oa, nhng chung ta khng trnh by y.Bi ging mn hc Phng php tnh
54 6.3. Phng phap l p n 1. M ta phng phapPhng phap Gaox thu c loa i
phng phap ung ,thc la n u cac phep tinh s c p lmung hoan toan thi
cu i cung ta c nghi m ung cua h .Ngi ta con noi no thu c loi phng
php trc tip. Ngoi ra cn mt loi phng php khc gi l phng php lp . y ta
ch ni s v phng php lp n.Xt h (3.1) a vi t da ng vect (xem cng thc
3.4):Ax = f(3.29)Ta chuy n h nay vm t h tng ng co da ng x = Bx + g
(3.30)Trong o ma tr n B va vect g suy t A va f cach nao o, gi s:
Sau o ta xy d ng cng thc tinh l px(m) = Bx(m-1) + g
(3.31)x(0) cho trc (3.32)_Ta chu y r ng Phng phap tinh x(m) theo
(3.31) (3.32) gi l phng php lp n . Ma tr n B go i la ma tr n l p.2.
Sh i tu i nh nghia3.1.Gi so=(o1,o2,...,on)Tl nghim ca h(3.30) ( tc
la cua h (3.29)). N ui khi m , i = 1, 2 , ..., n thi ta noi phng
phap l p (3.31) (3.32) h i tu .i nh nghia 3.2 - Cho vectZ = (Z1,
Z2, ..., Zn)T th mi i lng sau:||Z||0 : = max {|Zi|} ||Z||1 : = |Z1|
+ |Z2| + ... + |Zn| ||Z||2 : = ( 1/2
Bi ging mn hc Phng php tnh 55 Gi l mt di m rng ca vect Z, ngi ta
con go i no la chu n cua Z.Chng c tnh cht ging nh di thng thng ca
mt vect, hay tri tuy t i cua m t sth c:Vi p = 0 hay 1 hay 2 ta u
co
1) ||z||p > 0, ||z||p = 0 z = vect khng2) ||z||p = || ||z||p
, l mt s thc.3) ||u + v||p s ||u||p + ||v||p
H qua - Phng phap l p (3.31) h i tukhi va chi khi:||x(m) - o||p
0 khi m (3.34).i vi ma trn vung B = (bij) ta i nh nghia chu n cua
ma tr n B: , p = 0,1, thoa man ba tnh cht ging ba tnh cht ca chun
ca vect. 1) ||B||p > 0, ||B||p = 0 B la ma tr n khng; 2) ||kB||p
= |k| ||B||p , k la m t sth c.3) ||B + C||p s ||B||p + ||C||p , C
la ma tr n cung c p vi B.Ngoi ra cn tnh cht th t:4) ||BZ||p s
||B||p||Z||p , Z la vect co schi u b ng c p cua B.i nh ly 3.2 - n
u||B||p < 1 (3.35)th phng php lp(3.31) (3.32) h i tuvi b t ky x
p xi u x(0) no, ng thi sai sc nh gi(3.36)(3.37)Trong o:p = 0 n u
< 1 p = 1 n u < 1Chng minh: V o l nghim ca h (3.29) tc la h
(3.30) nnBi ging mn hc Phng php tnh 56 o = Bo + gL y (3.31) tr ng
thc nay vvi vta c:x(m) - o = B(x(m-1) - o).Do o: V y co: (3.38) Tng
t : ..... ..... Nhn cac b t ng thc nay vvi vva gian c cac thanh ph
n gi ng nhau hai bn ta c : Cho m th 0 s < 1 theo gia thi t nn
0.Do o: o chinh la (3.34). V y phng phap l p (3.31) v (3.32) h i tu
.By gi xet cac anh gia sai s . Ta co: Ta suy ra: Do b t ng thc
(3.38) cho: V y co
V theo gi thit ca nh l nn 1 - > 0.Ta suy ra:Bi ging mn hc
Phng php tnh 57 o la anh gia (3.36)By gi t (3.31) ta co
Tr hai ng thc nay vvi vta c Do o: V y : Ta suy d n ra: Thay vao
vtrai cua (3.36) ta c (3.37). 3. Th dXt h: Gii:H nay co da
ng(3.29).Ta phai a no vda ng(3.30)sao cho i u ki n h i tu(3.35) c
thoa man. T ba phng trinh cua h , b ng cach giai phng trinh th nh t
i vi x1, phng trinh th hai i vi x2, phng trnh th ba i vi x3: V y co
x = Bx + gVi Bi ging mn hc Phng php tnh 58 ki m tra i u ki n (3.35)
ta tinh Do o ||B||o = max{0,08 ; 0,08 ; 0,0} = 0,08 < 1V y theo
i nh ly 3.2 phng phap l p n H i tuvi x(0) chn trc. Ta cho n x(0)=
(0,0,0)T. K t qua tinh ghi thanh b ng 3.3 Bang 3.3m01234
021,921,90941,90923 033,193,19443,19495 055,045,04465,04485 anh gia
sai sta tinh: = max {0,00017 ; 0,00055; 0,00025} = 0,00055p du ng
cng thc (3.36) vi p = 0 ta thu c V y co:o1 = 1,90923 0,00005 o2 =
3,19495 0,00005 o3 = 5,04485 0,00005. 4. S tom t t phng phap l p
n1) Cho h phng trinh tuy n tinh Ax = b.2) n nh sai s cho php c, c
> 0 Bi ging mn hc Phng php tnh 59 3) a h Ax = b vh tng ng.x = Bx
+ g.Sao cho i u ki n (3.35) thoa man.4) Chn x(0) (tu . 5. Tnh,m =
0, 1, 2, ... Cho ti khi Th dng qu trnh tnh.K t qua: x(m) ~ o. Vi
sai s c Bi ging mn hc Phng php tnh 60 PH LC 2 V M T HA I S TUYN TI
NH KHNG N I NH By gi ta nu m t hi n t ng c bi t ang chu y khi giai
g n ung m t h phng trnh i s tuyn tnh.Xt hai h c th:x + 2y = 2(3.39)
2x + 3,9y = 2 x + 2y = 2(3.40) 2x + 4,1y = 2 Nghi m cua h (3.39) l
x = -38, y = 20Nghi m cua h (3.40) l = 42, = - 20 Ta th y r ng hai
h (3.39) v (3.40) ch khc nhau mt h s 3,9 v 4,1 vi |4,1 - 3,9| =
0,2, nhng nghi m cua chung khac nhau kha xa.|- x| = |42 - (-38)| =
80 |- y| = |-20 - 20| = 40Hi n t ng sai m t li i m t d m nay la m t
hi n t ng khng n i nh trong tinh ton. Ngi lam tinh c n phi bi t
phong. BI TP 1. Dng phng php Gaox gii h tnh ti ba ch s le thp
phn.2. Dng phng php Gaox gii cc ha)
b) 1,5x1 - 0,2x2 + 0,1x3 = 0,4- 0,1x1 + 1,5x2 - 0,1x3 = 0,8 -
0,3x1 + 0,2x2 - 0,5x3 = 0,2 Bi ging mn hc Phng php tnh 61 Cc php
tnh ly n 5 ch sle th p phn.3. Gii h sau y bng phng php lp n , tnh
lp ba ln v cho bit sai s :1,02x1 - 0,05x2 - 0,10x3 = 0,795- 0,11x1
+ 1,03x2 - 0,05x3 = 0,849 - 0,11x1 - 0,12x2 + 1,04x3 = 1,398 4. Gii
h: B ng phng phap l p n cho ti khi V nh gi sai s. TR LI 1. x1 =
1,642 ; x2 = - 2,789; x3 = 12,672 2. a) x1 = 0,5 ; x2 = 1,3 ; x3 =
2,5 b) x1 = 0,980 ; x2 = 0,53053 ; x3 = - 0,40649 3. x1 = 0,980; x2
= 1,004; x3 =1,563 Vi sai stuy t i nho hn 1,1.10-3 n u cho n x p xi
u :x(0) = (0,80 ; 0,85; 1,40)4. x1 = 0,9444 ; x2 = 1,1743; x3 =
1,1775.Vi sai stheo chu n || . ||0 b hn 0,5 . 10-4 . Bi ging mn hc
Phng php tnh 62 MT S THI MU S 1 Cu 1: Khi nim s gn ng v sai s. Cch
vit s xp x. S quy trn s v sai s quy trn. Cc quy tc tnh sai s. Sai s
phng php v sai s tnh ton. Cho v d. Cu 2: Tnh tng sau y vi 6 ch s
thp phn: A = 1 1 1 1...2 4 6 20+ + + +nh gi sai s ca kt qu tm c. Cu
3: Giignngphngtrnhx2-sin2x=0,15bngphngphplpvisaistuyti khng qu
10-6. S 2 Cu 1: Trnhbybitongiignngphngtrnh.nhnghanghimvkhongphnly
nghim. Trnh by ni dung ca phng php lp v phng php dy cung. Cu 2: Hm
f(x) c cho bng bng: x-2023 y2-112 1. Tm a thc ni suy Lagrange ca
f(x) 2. Tm a thc ni suy Newton ca f(x) Cu 3: Cho bi ton Csi: y' =
2xy2, 0 s x s 2, y(0) = 1. Gii gn ng bi ton bng phng php chui Taylo
n o hm cp 3. S 3 Cu 1:
Trnhbykhinimathcnisuy.NucngthctnhathcnisuyLagrangeva thc ni suy
Newton. Cu 2: 1. Khi o chiu di ca mt ci cu ta c kt qu l 1254,32m vi
sai s tuyt i ca php o l 0,02m. Tnh sai s tng i ca php o y. 2. Khi o
din tch ca mt tha rung ta c kt qu l 452,58m2 vi sai s tng i ca php
o l 0,001m2. Tnh sai s tuyt i ca php o y. 3. Xc nh cc ch s ng tin
ca s a = 254,321872 bit sai s tuyt i ca n l Aa = 0,4.10-3. Cu 3:
Cho bi ton Csi: y' = x2 + y2 + 4, 0 s x s 1, y(0) = 2. Gii gn ng bi
ton bng phng php -le vi n = 10. Bi ging mn hc Phng php tnh 63 S 4
Cu 1: Trnh by cng thc tnh gn ng o hm v cng thc tnh gn ng tch phn xc
nh. Cu 2: Giignngphngtrnhx2-sin2x=0,15bngphngphplpvisaistuyti khng
qu 10-6. Cu 3: Hm f(x) c cho bng bng: x-2023 y3-112 1. Tm a thc ni
suy Lagrange ca f(x) 2. Tm a thc ni suy Newton ca f(x) S 5 Cu 1:
Trnh by phng php Euler v phng php Runger-Kutta gii gn ng bi ton
Csi. Cu 2: Dng cng thc hnh thang v cng thc Simpson vi n = 10 tnh gn
ng gi tr ca tch phn xc nh: I = 101 3dxx +}. nh gi sai s ca tng phng
php. Cu 3: Giignngphngtrnhx2-sin2x=0,15bngphngphplpvisaistuyti khng
qu 10-6. Bi ging mn hc Phng php tnh 64 TM TT P N V THANG IM 1 Cu 1.
(3 im) Nu c khi nim s gn ng v sai s. C 3 cch vit s xp x Nu c quy tc
lm trn s. Quy tc tnh sai s: quy tc cng v quy tc nhn. Phn bit c sai
s tnh ton v sai s phng php. Cu 2. (3 im) Tnh c gi tr gn ng ca A l:
1,464484 Cu 3. (4 im) Tm c nghim gn ng ca phng trnh. 2 Cu 1. (3 im)
Nu c bi ton gii gn ng phng trnh i s. nh ngha c nghim v khong phn ly
nghim ca phng trnh Nu c ni dung ca phng php dy cung v phng php lp.
Cu 2. (4 im) Tm c a thc ni suy Newton v a thc ni suy Lagrange ca
f(x) Cu 3. (3 im) Dng cng thc chui Taylo tmf c a thc ni suy cp 3 ca
f(x). 3 Cu 1. (3 im) Trnhbyckhinimathcnisuy.Nuccngthctnhathcnisuy
Lagrange v a thc ni suy Newton. Cu 2. (3 im) 1.Sai s tng i l:
0,001573 2.Sai s tuyt i ca php o l: 18,3714 3. Cc ch s ng tin l:
741,321 Cu 3. (4 im) Dng phng php le vi n = 10 gii c nghim gn ng ca
bi ton C si. 4 Cu 1. (3 im) Trnh by c cng thc tnh gn ng o hm v tch
phn ca hm s cho trc. Cu 2. (3 im) Dng phng php lp gii gn ng nghim
ca phng trnh a cho. Cu 3. (4 im) T bng a cho tm c a thc ni suy
Lagrange v Newton ca hm s cho bng bng. 5 Cu 1. (3 im) Trnh by c
phng php le v phng php Runge Kutta gii gn ng bi ton C si trong
khong cho trc. Cu 2. (4 im) Dng cng thc hnh thang v cng thc Simpson
vi n = 10 tnh c gi tr gn ng ca tch phn l I = ln4. Cu 3. (3 im) Dng
phng php lp vi sai s tuyt i khng qu 10-4 tnh c nghim gn ng ca phng
trnh. Bi ging mn hc Phng php tnh 65 TI LI U THAM KHA O [1] L nh Thi
nh, Phng phap tinh, NXB KH&KT H N i, 1995. [2] Phm Ky Anh, Gii
tch s, NXB HQG Ha N i, 1996. [3] Dng Thuy Vy, Gio trnh Phng phap
tinh, NXB KH&KT H N i, 2006. [4] Cao Quy t Th ng, Phng phap
tinh, Khoa Sau a i ho c, a i ho c Hang hai, 1994.
