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1.8 Energía potencial eléctrica y definición de potencial eléctrico. Trayectoria de una carga en una curva. VB. VA. VA. Si queremos desplazar la carga q en contra de la fuerza ejercida por el campo eléctrico, desde A hasta B , el trabajo realizado por el agente externo es:. - PowerPoint PPT Presentation
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Universidad Nacional Autónoma de MéxicoUniversidad Nacional Autónoma de MéxicoFacultad de IngenieríaFacultad de Ingeniería
1.8 Energía potencial eléctrica y definición de 1.8 Energía potencial eléctrica y definición de potencial eléctrico.potencial eléctrico.
Trayectoria de una carga en una curvaTrayectoria de una carga en una curva
VAVA
VB
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Si queremos desplazar la carga q en contra de la fuerza ejercida por el campo eléctrico, desde A hasta B, el trabajo realizado por el agente externo es:
EqF
ldEqldFWB
A
B
ABA
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La integral de línea entre dos puntos A y B es independiente de la trayectoria, de acuerdo al teorema de Stokes
Rotacional del campo E
Para cualquier función escalar de variable vectorial V‘ se cumple que :
0),,( zyxE
0),,( zyxV
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Tomando en cuenta que el campo y el la Tomando en cuenta que el campo y el la función escalar, pueden quedar expresados función escalar, pueden quedar expresados como:como:
),,().,( zyxVzyxE
B
A
B
AldVldE
Igualando las integrales, la cual varía Igualando las integrales, la cual varía solamente respecto de los puntos A y Bsolamente respecto de los puntos A y B
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• Para demostrar que la integral de línea solo depende de las posiciones de los extremos. • Tomemos la siguiente figura, sea una trayectoria A B
A
B
1
2
3Δℓ1
Δℓ2
Δℓ3
dℓ1
V
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Demostración de que la variación de una función en la Demostración de que la variación de una función en la dirección dirección dldl desde desde AA hasta hasta BB es independiente de la es independiente de la trayectoria. (trayectoria. (Sea la trayectoria de A hasta B)
dzz
Vdy
y
Vdx
x
VVdV
Si Si ΔΔℓℓi i son muy pequeños son muy pequeños ΔνΔν‘ tiende a ser un ‘ tiende a ser un diferencial diferencial
AAAzyxVzyxVV
111
dzkdyjdxild
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igualandoigualando
Donde Donde 1V
De manera similar del punto 1 al 2 De manera similar del punto 1 al 2
11111lVzyxVzyxV
AAA
Es el gradiente de V‘ en el Es el gradiente de V‘ en el punto 1 de la curva.punto 1 de la curva.
22111222lVzyxVzyxV
dVV )(
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Para los puntos 2 a 3
Donde Donde 3V
Y de igual forma para todos los puntos de la curva.Y de igual forma para todos los puntos de la curva.
Es el gradiente de V‘ en el Es el gradiente de V‘ en el punto 3 de la curva.punto 3 de la curva.
33222333 lVzyxVzyxV
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Al sumar todas las contribuciones de los n elementos de Δℓi , se eliminan todos los componentes quedan solamente:
Cuando 0il
ii
n
iAAABBB
lVzyxVzyxV
1
B
AAAABBB ldVzyxVzyxV
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Por lo anterior, se concluye que la integral de línea solamente depende de las posiciones inicial y final de una trayectoria.
B
AAAABBB ldVzyxVzyxV
Para cuando una carga se mueve del punto A hacia el punto B, el trabajo que realiza es igual a la variación de la energía potencial eléctrica U
Por lo tanto se puede obtener una diferencia de energías potenciales.
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ENERGÍA POTENCIAL.
Para cuando una carga se mueve del punto A hacia el punto B, el trabajo que realiza es igual a la variación de la energía potencial eléctrica U
Por lo tanto se puede obtener una diferencia de energías potenciales.
Lo anterior aplicado al campo eléctrico E
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La energía potencial eléctrica en el punto A, tomando una referencia de cero en el infinito es:
A
AA ldEqWU
Lo anterior representa el trabajo de traer la carga q desde infinito hasta ALa Energía potencial por unidad de carga se le conoce como el potencial eléctrico en el punto A y es VA, siendo este potencial un escalar
A
AA ldE
q
UV
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Las unidades son Las unidades son
VvoltC
J
Coulomb
Joule
Si el puntoSi el punto A A esta a un potencial esta a un potencial VVAA y el punto y el punto BB a un potencial a un potencial VVBB, , existe una diferencia de potencial entre existe una diferencia de potencial entre AA y y BB y se expresa y se expresa como:como:
BAABVVV
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Se cumple que Se cumple que
Si expresamos lo anterior como las trayectorias de A hasta B Si expresamos lo anterior como las trayectorias de A hasta B y recordando el potencial en Ay recordando el potencial en A
BA
BAAB ldEldEVVV
ABBAABVVVV
A
AA VldEq
U
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Como es conservativo el campo, las trayectorias Como es conservativo el campo, las trayectorias de -∞ a A sigue la trayectoria iniciar en el extremo de -∞ a A sigue la trayectoria iniciar en el extremo de B , por lo que de B , por lo que
Por lo tanto la diferencia de potencial de A a B es:Por lo tanto la diferencia de potencial de A a B es:
A
BAB ldEV
A
B
BAldEldEldE
A
B
BAldEldEldE
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La expresión anterior, permite obtener el potencial eléctrico a partir de la distribución de carga del campo de origen.
Es decir, es posible calcular el potencial o diferencia de potencial debido al campo eléctrico creado por una carga, una línea, una superficie, entre otras distribuciones.
A
BAB ldEV
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Y el trabajo para mover una carga de un punto A hacia un punto B es:
A
BAB ldEV
B
ABA ldEqW
BA
A
BBA qVldEqW
)(
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Potencial debido a una carga puntualPotencial debido a una carga puntual
El campo E de una El campo E de una carga puntual: carga puntual:
A
AldEV
rr
QE ˆ
4
12
0
El potencial en A El potencial en A es Ves VAA
A
A r
ldrQV
20
ˆ
4
1
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+
ř
dî
ra
dřA
Vector rVector r: :
Vector dl:
Carga puntual Carga puntual QQ , y trayectoria , y trayectoria dldl en en dirección hacia la carga.dirección hacia la carga.
E
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Además de dAdemás de dll= -dr = -dr
dlldrldr cosˆˆ
Ar
A r
drQV
204
1
El producto punto de dr y dl, donde dl esta en dirección a la carga.
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Resolviendo la Resolviendo la integral definidaintegral definida
El potencial en A es El potencial en A es VVAA debido a una debido a una carga puntual es:carga puntual es:
]01
[4
1
0
A
A rQV
Vr
QV
A
A
04
1
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Resolviendo la Resolviendo la integral definidaintegral definida
El potencial en A es El potencial en A es VVAA debido a una debido a una carga puntual es:carga puntual es:
]01
[4
1
0
A
A rQV
Vr
QV
A
A
04
1
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Potencial para una carga puntual.Potencial para una carga puntual.
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Para n cargas puntuales, se obtiene el potencial debido a cada carga y se suman por superposición.
Vr
QV
n
i
rn04
1
Vzyx
QzyxV
2
122204
1,,
Para el potencial en coordenas Para el potencial en coordenas cartesianas.cartesianas.
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Para el caso de distribuciones de carga Para el caso de distribuciones de carga
Vr
dqV
04
1
Para el caso de distribuciones de carga superficial.Para el caso de distribuciones de carga superficial.
Vr
dAV
04
1
Para el potencial en coordenas Para el potencial en coordenas cartesianas.cartesianas.
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Considere la carga Q en el siguiente esquema.Obtener la diferencia de potencial de i a f que realiza un agente externo para mover una carga Q de i a f.
f
iiffi ldEVVV
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El campo por una carga puntual es :
CJ
ldrrQ
VVVf
iiffi
ˆ
41
20
rrQ
E ˆ41
20
drdl
dldlldrldr
180cos1cosˆˆ
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La diferencia de potencial de f a i
f
i
f
iiffi rQ
drr
QVVV
14
14 0
20
Vrr
QV
if
fi )11
(4 0
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• Diferencia de potencial entre dos puntos producidos por una línea con λ
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Diferencia de potencial entre dos puntos f, i producida por una superficie infinita cargada uniformemente
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• El campo en una superficie con distribución δ
fifi
yf
yi
yf
yiiffi
yyV
ydyVVV
0
00
2
22
jE ˆ2 0
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Diferencia de potencial por dos superficies infinitas paralelas de signo contrario y de igual magnitud.
VdEyyV
ydyldEVVV
fifi
yf
yi
yf
yi
f
iiffi
0
002
22
jE ˆ2 0
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Próxima sesión:Próxima sesión:
Ejemplos de potencial y:Ejemplos de potencial y:
1.9 Cálculo de diferencias de potencial 1.9 Cálculo de diferencias de potencial (carga puntual, segmento de línea, superficie (carga puntual, segmento de línea, superficie infinita, placas planas y paralelas).infinita, placas planas y paralelas).
1.10 El gradiente de potencial eléctrico.1.10 El gradiente de potencial eléctrico.