INDICE 113.1-.Potencial Eléctrico, debido a una carga “Q ... fileSuperficies equipotenciales. 14 Problemas 14 Problemas de potencial Eléctrico 15 1.13-. Potencial eléctrico Así

1 Apuntes física II (potencial eléctrico) Unexpo-VEBI. Docente: Ing: Freddy Caballero. 2017

Universidad Nacional Experimental Politécnica Antonio José de Sucre

Vice-Rectorado de Barquisimeto Sección de Física

INDICE

CONTENIDO PAGINA

UNIDAD I. Segunda parte 10%

Potencial Eléctrico 13

Potencial debido a cargas puntuales

13

Superficies equipotenciales. 14

Problemas 14

Problemas de potencial Eléctrico 15

1.13-. Potencial eléctrico

Así como el campo eléctrico describe la fuerza por unidad de

carga que se ejerce sobre dicha carga ubicada en ese campo, la energía potencial puede interpretarse “por unidad de carga”. Este concepto es el de potencial eléctrico.

El potencial eléctrico es entonces,

energía potencial eléctrica por unidad de carga: Vp = U/q

El potencial se mide en voltios en

el SI y equivale a 1 joule por coulomb. El potencial también es llamado por

otros autores voltaje, caída de tensión, diferencia de potencial. El potencial Vab, esto es, el potencial en el punto a con

respecto al potencial en el punto b, es igual al trabajo realizado por la fuerza eléctrica cuando una unidad de carga se mueve de a a b.

113.1-.Potencial Eléctrico, debido a una carga “Q”.

Una carga “Q” es la fuente de un potencial eléctrico “V” en un punto ubicado a una distancia “r” de esta carga.

V = K Q/ r (Ec: 1)

Donde Q= carga que produce el potencial eléctrico. r= distancia entre la carga y el punto donde se desea

determinar el potencial eléctrico. Antes de continuar con un ejemplo, es importante señalar lo

siguientes aspectos:

• Si “r” tiende al infinito el potencial es cero, por tal motivo se dice que el potencial en el infinito es cero

• Cuando se tiene una distribución de cargas puntuales q1, q2, q3…fijas en el espacio y se quiere determinar el potencial resultante en un punto debido a esta distribución de cargas, se procede en la forma siguiente:

a-. Se calcula separadamente los potenciales V1,V2, V3…

que cada una de las cargas fuentes origina en el

punto.

b-.Se efectúa la suma algebraica de los potenciales

obtenidos considerando como positivos los

potenciales creados por cargas positivas y como

negativos los creados por las cargas negativas.

Designando por V el potencial resultante se obtiene:

V = V1+ V2 + V3...




Ejemplo Nº31: Determinar el valor del

potencial eléctrico creado por una carga puntual q1=12 C en un punto (p) ubicado a 10 cm.

Solución:

• Paso Nº1: V = K Q/ = 12K/0,1 mts

V= 120 voltios

Ejemplo Nº32: Dos cargas eléctricas q1=+3x 10-6 C y q2= -9x10-9 C, están en el vacío separadas por una distancia de 4 m. Calcular en que punto de la recta que las une el potencial eléctrico es nulo.

• Paso Nº1:

ubicamos el punto màs cerca de la carga de menos

magnitud, porque debemos “compensar” con la distancia, es

decir, en la medida que uno se aleje de una carga, el

potencial tiende a disminuir.

V1 =kq1/x y V2 =kq2 / (4-x)

Como V1 = V2 , tenemos : kq1/x =kq2 / (4-x), eliminamos las

“k”, y sustituimos los valores de las cargas:

4-x=3x entonces x=1 mts

1.12.2-.Potencial Eléctrico debido a una distribución continúa

de cargas.

Se van a presentar tres tipos de distribuciones, (muy parecido a fuerza y campo eléctrico para cada una se posee una integral:

2.1-. Distribución Lineal: la densidad de carga lineal λ = Q/L V= K∫

dQ/r

2.2-. Distribución es Superficial, la densidad de carga superficial es

σ = Q/A. V= K∫∫ dQ/r

2.3-.Distribución Volumétrica, la densidad de carga volumétrica ρ

= Q/V V= K∫∫∫ dQ/r

Ejemplo Nº33

Se posee una barra

de longitud “L”, con

una densidad lineal

“λ” y una carga

total “Q”,

determinar:

a-. El potencial en

el punto “p”.

b-. La diferencia de potencial entre Vp-Vp1 (ver figura

f.1.54)

Solución:

• Paso Nº1:

Ecuaciones: λ = q/l pero dq = λ dl= λdx ,

E= K dQ/r2 = k ∫ λdx/r2

• Paso Nº2:

Asumiendo el origen donde se encuentra el punto “p”,

tenemos que los límites de integración van desde “-Xo”

hasta “-(Xo-L)”.

q1 p q2

x

4 cm

F:1.53

P 12c

10 cm

F:1.52

P1

b

b

F:1.54




• Paso Nº3: Por otro lado la distancia entre el “dx” y el punto es “r”,

pero también la distancia entre “dx” y el origen es “x”, en

tal sentido r=-X.

• Paso Nº4: Finalmente nos queda la integral de la siguiente forma:

Vp = k ∫ λdx / (x)

• Paso Nº5: Para encontrar la diferencia de potencial, nos falta buscar el

potencial que produce la distribución en el punto “P1”. Esto

lo hacemos igual, como en los pasos anteriores, pero

colocando el origen en “P1”. Entonces los límites son: “-

(Xo+L+b)” hasta “-( Xo+b )”. Y el potencial a pesar que tiene

la misma integral, al evaluar va a tener un menor potencial

en “P1”, debido a que se encuentra màs lejos de la

distribución lineal:

Vp = k ∫ λdx / (x)

• Paso Nº6: Por lo tanto la diferencia viene dada: Vp-Vp1

Ejemplo Nº34

Se posee la siguiente distribución

lineal de radio “a”, a una altura “h”

del centro de la distribución se

encuentra el punto “p”, encontrar el

potencial en “p”.

Solución:

• Paso Nº1:

Ecuaciones: λ = q/l pero dq = λ dl= λdx ,

El potencial Viene dado: V= K∫ dQ/r, donde: r2 = H2+a2. y los límites van de 0º hasta 2π, y dQ =λ adθ, sustituimos y obtenemos: V= K∫ λ adθ/( H2+a2)1/2 = λ a2π/( H2+a2)1/2 [v] 1.12.3-. Superficies Equipotenciales y el Trabajo:

Superficies equipotenciales

Una superficie equipotencial es aquélla en la cual todos sus puntos tienen el mismo potencial eléctrico, por lo que el trabajo realizado para transportar una carga eléctrica de un punto a otro sobre dicha superficie es nulo.

También se puede decir, que la dirección del campo eléctrico siempre va de las regiones de mayor a menor potencial eléctrico. En la figura 1.57, se comprueba lo antes descrito, la placa de la derecha tiene un mayor potencial (por ser positiva) y la de la izquierda es negativa, entonces, el campo va de la placa positiva a la negativa.

el trabajo, hecho por el agente

externo (fuerza) de mover una carga de prueba desde un punto a otro viene dado:

W = q (Vf-Vi)

Ejemplo Nº35 Del ejemplo anterior (#3), se desea encontrar el trabajo, en

trasladar una carga de prueba “qo” entre los siguientes

puntos.

a-. Desde el infinito hasta “P1”.

b-. Desde el infinito hasta “P”.

c-. Desde el punto “P1” hasta “P”.

Solución:

P H

a

F:1.55

E

-

-

-

-

-

-

-

+

+

+

+

+

+

+

+

- F:1.57




• Paso Nº1:

De ejemplo anterior se conocen Vp y Vp1, faltaría el potencial en

el infinito, y por lo ya dicho anteriormente V ∞= 0 voltios.

• Paso Nº2:

El “W” desde el infinito hasta “P1”., significa traer una carga

“ qo “de prueba desde el infinito hasta el punto”p1”, por lo

tanto esta diferencia de potencial se reduce:

W = qo ((Vf1-Vi∞)= qo ((Vf1)

• Paso Nº3: Desde el infinito hasta el punto “p”, nos queda:

w= qo (Vp-Vi∞) = qo (Vf).

• Paso Nº4: Desde el punto “P1” hasta “P”., W =

q((Vp-Vp1)

1.12.4-. Energía Potencial Eléctrica (U)

Si una carga de prueba “qo” se mueve a través de una diferencia de potencial, se puede decir que su energía potencial (U) cambia y

viene dada: ∆U = Uf - Ui = qoVfi

La fuerza eléctrica producida por cargas estáticas es conservativa,

por lo tanto el trabajo hecho por una fuerza de este tipo no depende de la trayectoria, que una carga describe desde su posición inicial hasta la final. Entonces, el trabajo realizado por la fuerza en una carga de prueba desde una posición inicial hasta la posición final viene dado:

W = -∆ U

Si se aplica la conservación de la energía se tiene : ∆U -∆K = 0 ,

esta ecuación es muy versátil , nos permite encontrar datos de velocidad de la carga en cualquier punto de su trayectoria si conocemos los potenciales en cada punto.

Caso especial energía de un sistema de cargas:

Si se posee un sistema de cargas, la energía potencial es la suma de todos los

términos, evitando que se repitan términos, en la ecuación.

Ejemplo Nº 35 .

Dada la siguiente configuración, encontrar la energía total

del sistema.

Solución:

• Paso Nº1: Para determinar la

energía potencial de toda la

configuración, es necesario asumir

que una de las cargas de la

configuración se “mueve” y está

pasando justamente por el punto

dónde estaba ubicada, por lo

tanto, se tienen que asumir por

separado que cada carga se

mueva.

• Paso Nº2: busquemos la energía potencial sobre cada

carga y los productos que se repiten no se toman en

cuenta.

U-2C = -2 ( V4C +V-3c) U4C = 4 ( V-2C +V-3c) U-3C = -3 ( V4C

+V-2c)

Nota:La unidad de energía es el Electrón-voltios (1eV = 1.6x10-19 Joule), que

representa la energía que adquiere o pierde un electrón al moverse a través de una diferencia de potencial de 1 voltio

-2c

4 mts 3 mts

4c -3c

F:1.51




La Energía Ut = --2 V4C -2V-3c+ 4 V-3c) Joule

Como el potencial eléctrico se mide en voltios, se le suele llamar

voltaje . Se puede hablar de los voltajes en distintas posiciones de un campo

eléctrico, haya o no haya cargas en dichas posiciones. Si te frotas un globo en

el cabello, el globo adquiere una carga negativa que produce un potencial de,

quizá, “varios miles de voltios”. Aunque el voltaje del globo cargado es

elevado, la energía potencial eléctrica es baja debido a que la cantidad de carga

es pequeña. Este ejemplo resalta la diferencia entre la energía potencial

eléctrica y el potencial eléctrico.

Recuerda también que la fuerza y el campo eléctrico son magnitudes

vectoriales, y deben sumarse vectorialmente, mientras que el potencial

eléctrico y la energía potencial eléctrica son escalares, y pueden sumarse de

forma normal.

Ejemplo Nº36

Se desea determinar la velocidad,

que tiene la carga “q” en el punto

“p”, si parte desde el infinito y se

dirige a la distribución lineal

positiva. Ver figura F:1.52

Solución:

• Paso Nº1: Usamos la ecuación W = -∆ U,

donde el trabajo viene dado:

W = Kf-Ki , sustituimos y

obtenemos:

Kf-Ki = - [qVi-qVf). Ahora vamos a ver que términos se

anulan debido a las condiciones del problema.

• Paso Nº2: Como la carga “q” parte del infinito el

potencial inicial (en el infinito) es igual a cero, y como

parte del reposo la energía cinética inicial es cero (en caso que se diga que posee una velocidad, ya no es cero).

• Paso Nº3: Por lo tanto la ecuación se reduce a: Kf = - [-

qVf). Vamos a calcular cada una: K = ½ mv2 y V = es el

potencial generado por la distribución en el punto “p”

viene dado: V = λ a2π/( H2+a2)1/2 [v].Vamos a dejar la

letra “V”, para toda la resolución pero sin confundirla con

la velocidad que es “ v”. Entonces sustituimos:

½ mv2 = qV → v = [2qV/m ] 1/2

Ejemplo Nº37.

Un electrón entra en una región

con un campo eléctrico uniforme

creado por dos placas paralelas,

uniformemente cargadas con

potenciales de 100 voltios y -150

voltios, tal como se muestra en la

figura Nº1.52 , la velocidad inicial

del electrón es 5x106 m/s,

determine la velocidad del electrón

cuando sale del campo

.

Solución:

• Paso Nº1: El campo “E”, va de la placa positiva a la negativa (es contrario a la velocidad del electrón), por lo tanto la fuerza sobre el electrón viene dada: F = qE (1), como q=-e

q

P

H

a

F:1.52

F:1.52

-150V 100V E e

F:1.53




• Paso Nº2: F = -eE, en vista que la carga va de un potencial

menor (-150v) a uno mayor (100 v), saldrá con una rapidez mayor, en este sentido aplicamos el teorema

de trabajo y energía

(W=q∆U). Kf-Ki = - [qVi-qVf). Sustituimos y nos

queda: 1/2mevf2= 1/2mevi2+ e (Vf-Vi) = 10x107

m/s

1.12.5-.Diferencia de Potencial Eléctrico y Ley de Gauss.

Se define como la variación de la energía potencial por unidad de carga. Se puede determinar por medio de:.

Vf-Vi = - ∫ E dl Cos θ

Vf-Vi = diferencia de potencial. E = Campo determinado por Gauss. dl = diferencial de longitud Esta ecuación generalmente se emplea cuando se conoce el campo eléctrico y nos piden la diferencia de potencial y si uno de los puntos esta en el infinito podemos encontrar el potencial en un punto llamado también potencial absoluto. El campo se determina por la Ley de Gauss generalmente, de lo contrario aplicamos la Ley de Coulomb. Ejemplo Nº38.

Se posee un cascarón esférico de radios

“a y b” , con una densidad “ ρ ” ,

determinar:

I-. El potencial en un punto “p” ubicado

sobre el radio “b”.

II-. El potencial en un punto “P1” ubicado sobre el radio “a”.

III-. La diferencia de potencial Vp1-Vp.

Solución:

• Paso Nº1: • La ecuación a utilizar es:

Vf-Vi = - ∫ E dl Cos θ , y asumimos en este tipo de ejercicios

que una carga de prueba parte del infinito (si el problema no

nos dice nada), entonces el Vi = 0 ( recuerde que el potencial

en el infinito es cero y de ahì parte la carga de prueba), la

ecuación se reduce: Vp = - ∫ E1 dl1 Cos θ1 ,

• Paso Nº2: Ahora buscamos un campo que “encierre” al punto

de llegada y que siempre tenga la misma carga

encerrada desde que se

“parte” del infinito y se

llega al punto “p”, en este

caso se asume una

“gaussiana r>b, y la carga

encerrada en : Qenc1 = Qv,

donde Qv = 4 ρ π(b3- a3)/3

• Paso Nº3: Vamos a

encontrar el “dl1” y “θ1”.

Se observa que :

Cos θ1 = -1 y dl=-dr

• Paso Nº4: Finalmente la ecuación nos queda:

Vp = - ∫ E1 dr , y los límites desde: (∞ → b)

• Paso Nº5: Para encontrar el potencial en “P1”, tenemos que

volver a plantear el ejercicio, pero asumiendo ahora que la

carga de prueba se traslada desde el infinito hasta “P1”, pero no

se puede hacer una sola integral, como en el caso anterior,

a

b

F:1.57

r

E1 dl1

qo F:1.57




porque durante el recorrido desde el infinito hasta “P1”, la

carga encerrada “cambia” y es necesario plantear dos integrales

para el potencial, una: que va desde el infinito hasta el punto

“P” ( ya calculado en los pasos anteriores) y otra desde “P”

hasta “P1”, que es la que vamos a buscar ahora.

Vp1 -Vp = - ∫ E2 dl2 Cos θ2 note, que es otro campo, otro “dl” y

un nuevo ángulo, se procede a buscar cada uno, como se hizo

anteriormente.

• Paso Nº6: Se coloca una “gaussiana” en:.

a<r<b, encierra una parte del volumen

de carga por lo tanto : ρ = Q/V y V = 4

πR3 /3 sustituimos y despejamos la carga:

Q = (ρ 4 πR3 )/3 luego derivamos la carga

y el radio (son los que varían)

dQ = ρ ( 4 πR2 )dR donde, se procede a

integrar el volumen que contiene la carga

encerrada.

∫dQ = ∫ ρ ( 4 πR2 )dR (integrando

a→r)

Q´ = ρ 4 π/3 R3 | = ρ 4 π(r3- a3)/3

E = Q´/ε =Q´/(4 πr2ε) [N/C]

• Paso Nº7: Vamos a buscar

ahora el “dl2” y “θ2”. Se

observa que : Cos θ2 = -1 y

dl=-dr

• Paso Nº8: Finalmente la

ecuación nos queda:

Vp1 - Vp = - ∫ E2 dr , y los

límites desde: (b→ a) ,

despejamos Vp1, Vp1 = - ∫ E2

dr + Vp

• Paso Nº9: Para la diferencia de potencial solamente se busca

el campo que hay entre los dos puntos, Vp1 - Vp = - ∫ E2 dr ,

1.13-.Problemas

1-. El campo eléctrico en un punto especial es cero, explique si debe ser cero el potencial en ese punto. 2-.El Campo eléctrico estático es cero dentro de un conductor.¿ De esto se deduce que necesariamente el potencial dentro del conductor sea cero?. (Resp: No) 3-.Dos cargas positivas están separadas una distancia “a”, ¿Existe un punto sobre las líneas que las une donde el campo es cero?, es posible lograr que el potencial sea cero en esa misma trayectoria?. 4-.Se poseen dos esferas una de radio R y otra de radio 2R, con cargas q y Q respectivamente, se conectan por medio de un alambre conductor, encontrar: a-.Los potenciales eléctricos. b-. Qué esfera tiene más carga al final. (Resp: q=Q/2) c-. Dónde la magnitud del campo eléctrico es mayor. (Resp: en la esfera de menor radio) 5-.Dada la siguiente distribución superficial (positiva) con un radio interno “a” y externo “b”. Encontrar el potencial en el punto “p”. Resp: Vp = k ∫∫ σdRdΘ/ (R2+H2)1/2 , integrando: radio desde “a”→”b” y el àngulo oº a 2π

P.4 Q q

P.5 P σ

b

r

a

E2

dl2 qo




6-. Se posee la siguiente distribución lineal de longitud “L”, se dobla en un arco circular de radio “R” y abarca un ángulo “α” (ver figura P.6). a-. Encuentre el potencial en el centro del arco circular. b-. La varilla se estira de manera que forma un círculo del mismo radio, la carga total permanece sin cambios, cuál es el potencial en el centro de círculo. Resp:Vp = ∫krdΘ/r integrando desde 3π/2+ Θ→3π/2 7-. Dadas las siguientes cargas puntuales, encontrar energía del sistema. Si cada lado tiene una longitud “a”.

8 Encontrar el potencial en el punto “p” debido a la

distribución lineal.

9 Tenemos tres cargas de 4,5 y 6 culombios situadas en los vértices del triángulo (2,0), (6,0) y (4,3), respectivamente. Calcular el potencial eléctrico en el punto (4,0), así como la energía potencial que tendría allí una carga de -3 culombios. .

:

P.7 - 5c 4c

-4c 6c

λ

a

α

Resp(ProbNº7): quitamos a : “-5c”→Up-5c=(4k/a+6K/21/2 a -4k/a) J

“4c”→Up4c=(6k/a-4K/21/2 a) J “6c”→Up6c=(-4k/a) J Ut =Up-5c+ Up4c (4k/a+ Up6c J

F:1.2

E

P

Ө h

r

x

dq=λdx

++++++++++++++++

p-13

Vp= K∫ λdx / h2+x2)1/2

(4,3)

6c

4c 5c

Documents

INDICE 113.1-.Potencial Eléctrico, debido a una carga “Q ... fileSuperficies equipotenciales. 14 Problemas 14 Problemas de potencial Eléctrico 15 1.13-. Potencial eléctrico Así