1

Γνωστική Ψυχολογία και ∆ιδακτική Μαθηµατικών:

Η Περίπτωση του Εµπειρικού-Βιωµατικού ∆οµισµού .

Οικονόµου Ανδρέας , Μαθηµατικός-Ψυχολόγος

Γαµβέττα 93α , 54644 Θεσσαλονίκη , Τηλ . (031) 843785.

1. Γνωστική Ψυχολογία και ∆ιδακτική Μαθηµατικών

Στις περισσότερες από τις βασικές εισηγήσεις της συνάντησης για τα

είκοσι χρόνια ∆ιδακτικής Μαθηµατικών στη Γαλλία , που έγινε στο

Παρίσι τον Ιούνιο του 1993, γίνεται αναφορά και τονίζεται η στενή

σχέση της Γνωστικής Ψυχολογίας µε τη ∆ιδακτική Μαθηµατικών . Πηγή

πολλών αναφορών που ακολουθούν αποτελούν τα πρακτικά του

Συνεδρίου αυτού .

Η ∆ιδακτική Μαθηµατικών υιοθετεί ως βασική της προβληµατική την

κατασκευαστική και αλληλεπιδραστική θέση , τα θεµέλια της οποίας

έθεσε η γενετική επιστηµολογία του Jean Piaget. Ο Vergnaud (J.Brun,

1994, σ .53) αναφέρει ότι :

“Η δραστηριότητα στην κατάσταση είναι , για µια αυξανόµενη πλειοψηφία ψυχολόγων , ταυτόχρονα η πηγή και το κριτήριο της εννοιολογικής σκέψης . Η γλώσσα παίζει , πολύ φυσικά , ένα θεµελιακό ρόλο , αφού είναι η µόνη που επιτρέπει τη θεωρητική συζήτηση και που , χωρίς αυτή τη συζήτηση , δεν υπάρχει καθόλου έννοια , αλλά δε συνιστά , για τους ψυχολόγους , το πιο αποφασιστικό κριτήριο . Η δράση στην κατάσταση παραµένει το πιο αποφασιστικό κριτήριο .”

Ο Brousseeau (1994) τοποθετεί τη ∆ιδακτική των Μαθηµατικών στο

πλαίσιο των γνωστικών επιστηµών (ως την επιστήµη των ειδικών

συνθηκών της διάδοσης των µαθηµατικών γνώσεων που είναι χρήσιµες

για τη λειτουργία των ανθρώπινων θεσµών). ∆ιευκρινίζει µάλιστα

2

(Brousseeau 1994, σ .52) ότι “Η αυθόρµητη απόκτηση γνώσεων δεν είναι

το αποτέλεσµα µ ιας διδακτικής παρέµβασης , αλλά η επανάληψη των

συνθηκών της είναι ένα µέσο να τις διδάξουµε . Η µελέτη τους είναι

λοιπόν στην καρδιά της ∆ιδακτικής .” Η µελέτη όµως των διαδικασιών

αυθόρµητης απόκτησης γνώσεων είναι έργο και της γνωστικής

ψυχολογίας .

Ο J. Brun (1994, σ .81) εντοπίζει τρία επίπεδα στα οποία το γνωστικό

στοιχείο συµµετέχει στη διδακτική ανάλυση των φαινοµένων της

διδασκαλίας και της µάθησης :

η συγγένεια και οι ρήξεις των γνώσεων στους κόλπους των

εννοιολογικών πεδίων ,

η αµοιβαία µετατροπή µεταξύ θεσµοθετηµένων γνώσεων και

αυθόρµητων γνώσεων διαµέσου καταστάσεων που παρουσιάζουν

διαφορετικές πρακτικές και διαφορετικές λειτουργίες των

γνώσεων ,

η οργάνωση και οι προσωπικές αναδιοργανώσεις των γνώσεων

στη διάρκεια του χρόνου .

Οι αναφορές δεν εξαντλούνται µόνο στη γαλλόφωνη βιβλιογραφία .

Αµερικανικές (ενδεικτικά : Davis, 1989, Ginsburg, 1983, Schoenfeld

1987), αλλά και αγγλικές (ενδεικτικά : Sloboda & Rogers, 1987) εκδόσεις

έχουν αναφερθεί στη σχέση των γνωστικών διαδικασιών και της

ανάπτυξής τους µε την ανάπτυξη της µαθηµατικής σκέψης και τη

µαθηµατική εκπαίδευση , µάλιστα µέσα από το ευρύτερο πλαίσιο της

Γνωστικής Επιστήµης .

Τα στοιχεία αυτά νοµ ιµοποιούν και υπαγορεύουν τη µελέτη των

γνωστικών θεωριών από τους διδακτικούς , µε σκοπό την κατανόηση του

τρόπου µε τον οποίο εργάζεται το ανθρώπινο µυαλό . ∆ηλαδή είναι

χρήσιµο , αν όχι απαραίτητο , να γνωρίζουν οι διδακτικοί τις γνωστικές

3

δοµές και τις λειτουργίες τους , τις διάφορες νοητικές ικανότητες και την

εξέλιξή τους , καθώς και τις ατοµ ικές διαφορές , αποτελούν δε την

ελάχιστη γνώση ψυχολογίας που είναι απαραίτητη στη δουλειά τους .

2. Ο Εµπειρικός Βιωµατικός ∆οµισµός .

Ο Εµπειρικός Βιωµατικός ∆οµ ισµός (Ε .Β .∆ .) είναι γνωστική θεωρία που

οικοδοµείται από έλληνες ψυχολόγους από τη δεκαετία του ‘80, τα

περισσότερα εµπειρικά δεδοµένα έχουν σχέση µε την ελληνική

πραγµατικότητα , δηλαδή βασίζονται σε πληροφορίες που αντλούνται από

µαθητές των ελληνικών σχολείων . Εποµένως η γνώση των βασικών

αρχών της και η σύνδεσή της µε τη ∆ιδακτική των Μαθηµατικών είναι

χρήσιµη για τους έλληνες διδακτικούς . Σύµφωνα µε τη θεωρία αυτή οι

διάφορες ικανότητες του γνωστικού συστήµατος είναι οργανωµένες σε

τυπικά συστήµατα τα οποία αναπαριστούν και επεξεργάζονται τα

διάφορα πεδία της πραγµατικότητας µε διαφορετικό τρόπο .

Υποστηρίζεται η ύπαρξη στη νοηµοσύνη πολλαπλών δοµών , ή σφαιρών

ικανοτήτων , η καθεµ ιά από τις οποίες έχει δικό της πρότυπο ανάπτυξης

και πορεία ανάπτυξης ανεξάρτητη από αυτή των άλλων δοµών .

Τα αποτελέσµατα των εµπειρικών ερευνών που πραγµατοποίησαν

(Demetriou, 1992) υποστηρίζουν την ύπαρξη πέντε συστηµάτων

ικανοτήτων (πίνακας 1), τα οποία ονοµάζουν σφαίρες ικανοτήτων ή

εξειδικευµένα δοµ ικά συστήµατα (Ε∆ΟΣ). Ο πρώτος συνδετικός όρος

ενός Ε∆ΟΣ , (π .χ . ποσοτικό), αναφέρεται σε ένα εξειδικευµένο πεδίο της

πραγµατικότητας µε το οποίο συνδέεται , και ο δεύτερος , (π .χ . -

συσχετικό), στο αντίστοιχο γνωστικό πεδίο , δηλαδή στους βασικούς

µηχανισµούς επεξεργασίας των δεδοµένων του εξειδικευµένου πεδίου

της πραγµατικότητας , οι οποίοι µηχανισµοί χαρακτηρίζουν το Ε∆ΟΣ .

Παράλληλα µε τα πέντε Ε∆ΟΣ , υποστηρίζεται και η ύπαρξη ενός

υπεργνωστικού-αναλογιστικού συστήµατος εννοιών , δεξιοτήτων και

αρχών , το οποίο προκύπτει από τις αλληλεπιδράσεις του εξελισσόµενου

ατόµου µε πρόσωπα και πράγµατα και λειτουργεί ως οδηγός για την

4

µελλοντική αλληλεπίδρασή του µε το περιβάλλον του ή για την

αλληλεπίδραση µεταξύ των διαφόρων Ε∆ΟΣ (∆ηµητρίου , 1993). Το

σύστηµα αυτό είναι υπεύθυνο :

για την αυτο-κατανόηση και τη δηµ ιουργία της αναπαράστασης

του εαυτού σε σχέση µε τον κόσµο , ο οποίος θεωρείται ως

σύστηµα που θέτει προβλήµατα , και

για τη διαχείριση του γνωστικού συστήµατος , είναι δηλαδή

υπεύθυνο για το συντονισµό των γνωστικών δραστηριοτήτων του

ατόµου και ρυθµ ίζει τις αλληλεπιδράσεις του µε το περιβάλλον

του (Demetriou et al. 1992).

Τέλος , η θεωρία του εµπειρικού δοµ ισµού υποστηρίζει την ύπαρξη ενός

σύνθετου , διακεκριµένου και πρωταρχικού συστήµατος επεξεργασίας

πληροφοριών , το οποίο είναι υπεύθυνο για την αντιγραφή , καταγραφή ,

µετασχηµατισµό και συνδυασµό των πληροφοριών που συλλέγει το

υποκείµενο τόσο από το εξωτερικό όσο και από το εσωτερικό του

οργανισµού .

Στη συνέχεια θα αναφερθούµε αναλυτικότερα µόνο στο ποσοτικό-

συσχετικό Ε∆ΟΣ που σχετίζεται περισσότερο µε την Άλγεβρα και στο

εικονικό-χωροταξικό Ε∆ΟΣ που σχετίζεται περισσότερο µε τη

Γεωµετρία .

3. Το ποσοτικό-συσχετικό Ε∆ΟΣ

Το ποσοτικό-συσχετικό Ε∆ΟΣ αναφέρεται στο πεδίο της

πραγµατικότητας στο οποίο εµπλέκονται αντικείµενα µε

ποσοτικοποιήσιµα χαρακτηριστικά (µεγέθη). Εφαρµόζεται για να

κατανοηθεί πώς τα µεγέθη αυτά συνδέονται µεταξύ τους µε ποσοτικές

σχέσεις , ποιες είναι οι σχέσεις αυτές και πώς τυποποιούνται . Έννοιες

όπως ο αριθµός , οι διαστάσεις , οι σχέσεις ευθείας και αντίστροφης

5

αναλογίας αποτελούν το εννοιολογικό πλαίσιο , αλλά και τα εργαλεία

της νοητικής επεξεργασίας .

Το Ε∆ΟΣ αυτό συντίθεται από τρεις οµάδες επιµέρους ικανοτήτων :

ικανότητες ποσοτικού καθορισµού και αναπαράστασης . Οι

υποϊκανότητες αυτές επιτρέπουν στο γνωστικό υποκείµενο τον

προσδιορισµό του ποσοτικού χαρακτήρα των ιδιοτήτων ή των

στοιχείων τα οποία επεξεργάζεται και να κωδικοποιήσει αυτόν

τον προσδιορισµό µε όρους ενός αριθµητικού ή µετρικού

συστήµατος .

ικανότητες δηµ ιουργίας διαστάσεων και κατευθύνσεων . Αυτές οι

υποϊκανότητες δίνουν τη δυνατότητα στο άτοµο να τοποθετήσει

ένα σύνολο στοιχείων επάνω σε µ ια διάσταση και να συλλάβει

την κατεύθυνση και τη µορφή αυτής της διάστασης .

ικανότητες συντονισµού διαστάσεων και κατευθύνσεων . Αυτές οι

υποϊκανότητες επιτρέπουν τον αλληλοσυσχετισµό διαστάσεων ,

ώστε να κατανοηθεί και να υπολογιστεί το είδος και το µέγεθος

της συµµεταβολής .

Η ανάπτυξη της ποσοτικής-συσχετικής ικανότητας , από την ηλικία των

τριών χρόνων έως και την ηλικία των 18 χρόνων , διατρέχει επτά επίπεδα

(πίνακας 2, ∆ηµητρίου 1993).

4. Το εικονικό-χωροταξικό Ε∆ΟΣ

Το εικονικό-χωροταξικό Ε∆ΟΣ αναφέρεται στην ικανότητα

αναπαράστασης και επεξεργασίας των µορφικών δοµών της

πραγµατικότητας και των αµοιβαίων σχέσεων των αντικειµένων στο

χώρο . “Οι νοερές χωρικές εικόνες είναι το συµβολικό µέσο που

προσιδιάζει σ’αυτή την ικανότητα” (∆ηµητρίου & Ευκλείδη , 1988).

Αποτελείται από πέντε υποϊκανότητες (∆ηµητρίου & Ευκλείδη , 1988,

Λοϊζου , 1992):

6

Την ικανότητα πρόσθεσης και αφαίρεσης λεπτοµερειών-στοιχείων

από µ ια νοερή εικόνα .

Την ικανότητα σύνθεσης-ολοκλήρωσης µ ιας νοερής εικόνας από

επιµέρους στοιχεία .

Την ικανότητα ανασχηµατισµού ή /και µετασχηµατισµού µ ιας

δεδοµένης νοερής εικόνας , ώστε να αντιστοιχεί προς µ ια νέα

κατάσταση της πραγµατικότητας .

Την ικανότητα περιστροφής µ ιας εικόνας και σύγκρισης δύο ή

περισσοτέρων εικόνων .

Την ικανότητα συντονισµού σηµείων αναφοράς στο χώρο .

Η ανάπτυξη της εικονικής-χωροταξικής ικανότητας διατρέχει επτά

επίπεδα (πίνακας 3, Λοϊζου 1992 και ∆ηµητρίου 1993).

5. Εµπειρικός-Βιωµατικός ∆οµισµός και ∆ιδακτική των

Μαθηµατικών .

Οι παραπάνω περιγραφές των δύο Ε∆ΟΣ είναι γενικές και περιληπτικές ,

µπορούν όµως να δώσουν µ ια άλλη διάσταση στη διδασκαλία των

Μαθηµατικών . Πράγµατι , τα στοιχεία που αναφέρθηκαν , αλλά και όσα

περιλαµβάνουν οι σχετικές µε τη θεωρία του Ε .Β .∆ . εργασίες και

αφορούν άµεσα ή έµµεσα τα Μαθηµατικά , αποτελούν ένα

εξωµαθηµατικό καθαρό κριτικό µάτι που µπορεί , σε συνεργασία µε τους

διδακτικούς και δασκάλους των Μαθηµατικών , να αξιολογήσει και να

προτείνει βελτιώσεις σε θέµατα που άπτονται της αντιστοίχησης της

γνωστικής ανάπτυξης του µαθητή µε τις γνωστικές απαιτήσεις του

προγράµµατος .

Το ενδιαφέρον των εισηγητών της θεωρίας για τα Μαθηµατικά και τη

διδασκαλία τους εκδηλώθηκε αρκετά νωρίς . Ήδη από το 1986

παρουσιάστηκαν , στο 2ο Πανελλήνιο Συνέδριο της Μαθηµατικής

7

Εταιρείας στη Θεσσαλονίκη , τα εξελικτικά βήµατα της ποσοτικής-

συσχετικής και αλγεβρικής ικανότητας (∆ηµητρίου , 1988). Έκτοτε

πλήθος δηµοσιευµάτων δίνουν µε λεπτοµέρειες πληροφορίες που

αφορούν το γνωστικό σύστηµα και κυρίως τις ικανότητες που είναι

απαραίτητες για την απόκτηση της µαθηµατικής γνώσης και σκέψης .

Έτσι , τα µέχρι τώρα δεδοµένα θα µπορούσαν να συνδράµουν στο έργο

της ∆ιδακτικής των Μαθηµατικών τουλάχιστον στους παρακάτω τοµείς :

Αναλυτικά προγράµµατα . Οι αλλαγές που γίνονται κατά καιρούς τόσο

στα αναλυτικά προγράµµατα όσο και στον κύριο εκφραστή τους στο

ελληνικό σχολείο , το ένα και µοναδικό βιβλίο κατά µάθηµα , δεν

υποστηρίζονται δηµόσια µε εισηγήσεις που να επιχειρηµατολογούν κατά

της παλαιάς αντίληψης και υπέρ της νέας και να στηρίζονται σε

έγκυρους πειραµατισµούς ή έστω σε θεωρητικά δεδοµένα που να

αφορούν την ελληνική πραγµατικότητα . Έτσι , για µ ια επιστηµονική

αντιµετώπιση αυτού του τόσο σηµαντικού θέµατος , η αξιολόγηση των

υπαρχόντων και η εκπόνηση των µελλοντικών αναλυτικών

προγραµµάτων διδασκαλίας των Μαθηµατικών , τόσο της προσχολικής

ηλικίας όσο και της πρωτοβάθµ ιας και δευτεροβάθµ ιας εκπαίδευσης ,

είναι απαραίτητο και πολλαπλά χρήσιµο να γίνει και υπό το φως της

γνώσης που µας παρέχει η θεωρία του Ε .Β .∆ . . Βέβαια η θεωρία αυτή

έχει λόγο και στην εκπόνηση όλων των αναλυτικών προγραµµάτων και

παρουσιάζει το πλεονέκτηµα να µπορεί να τα συνδέσει όλα σε ένα

δίκτυο που θα εξυπηρετεί και θα βασίζεται στην ανάπτυξη των

ικανοτήτων που αναµένονται να εµφανιστούν σε κάθε επίπεδο της

γνωστικής ανάπτυξης . Η εφαρµογή αυτής της δυνατότητας θα βοηθήσει

ώστε η σχολική διαδικασία να εξυπηρετεί τη γνωστική ανάπτυξη των

µαθητών και το αντίθετο .

Αξιολόγηση . Η αξιολόγηση του εκπαιδευτικού έργου µπορεί να λάβει

υπόψη της και τις πιο ειδικές γνωστικές δυνατότητες από τις οποίες

προκύπτει η ικανότητα του µαθητή να µάθει αυτό που διδάσκεται

(∆ηµητρίου , 1989). Έτσι είναι δυνατόν να γνωρίζουµε εξαρχής :

8

τι “µπορούν να αφοµοιώσουν οι µαθητές αποτελεσµατικά και

γόνιµα ,

αν και πόσο οι µαθητές µας είναι ευεπίφοροι σε γνωστικές

µεταβολές”, και

να εξηγήσουµε , στο τέλος µ ιας διδακτικής ενότητας , “γιατί

πέτυχε η διδασκαλία ως προς ένα µέρος της ύλης που διδάξαµε

και µε µερικούς µαθητές ενώ απέτυχε ως προς άλλο µέρος µε

µερικούς άλλους µαθητές”.

∆ιαχείριση του λάθους . Η διαχείριση του λάθους αποτελεί σηµαντικό

κεφάλαιο της ∆ιδακτικής των Μαθηµατικών . Το λάθος του µαθητή ,

ανάλογα µε την περίπτωση , µπορεί να µαρτυράει διδακτικά ή

επιστηµολογικά εµπόδια αλλά και “θεωρήµατα εν δράσει” (Vergnaud,

1991b). Όµως , µπορεί , όταν γίνει αντικείµενο µελέτης σε σχέση και µε

τις γνωστικές δυνατότητες του µαθητή , να µαρτυρήσει και γνωστικές

ελλείψεις που είναι δύσκολο ή αδύνατο να αντιµετωπιστούν στα πλαίσια

της εκπαιδευτικής πραγµατικότητας . Είναι δυνατόν έτσι να βρεθούν

ασφαλέστερες µέθοδοι πρόβλεψης , εντοπισµού και διαχείρισης των

λαθών .

Ατοµικές διαφορές . Η γνωστική ανάπτυξη κάθε γνωστικού υποκειµένου ,

σε µ ια δεδοµένη χρονική στιγµή , θα µπορούσε να οριστεί από µ ια

διατεταγµένη ν-άδα τιµών , η καθεµ ιά από τις οποίες δίνει την κατάστασή

του ως προς µ ια γνωστική λειτουργία ή ικανότητα . Ο µοναδικός τρόπος

µε τον οποίο είναι προικισµένο γενετικά και οι µοναδικές εµπειρίες που

βιώνει το καθιστούν διαφορετικό από όλα τα άλλα . Κατά συνέπεια η

επιθυµητή οµοιογένεια στην τάξη που επιζητούν συνήθως οι δάσκαλοι

είναι µάλλον ουτοπία . Το ζητούµενο λοιπόν είναι µάλλον εκείνες οι

µέθοδοι διδασκαλίας , που αφενός θα σέβονται τις ατοµ ικές διαφορές των

µαθητών και αφετέρου θα τις χρησιµοποιούν ως κινητήρια δύναµη της

εκπαιδευτικής διαδικασίας . Η θέση αυτή µπορεί να ενισχυθεί από τη

θεωρία του .Ε .Β .∆ . , η οποία εξηγεί ικανοποιητικά την ύπαρξη των

9

ατοµ ικών διαφορών και µπορεί να τις εντοπίσει και περιγράψει µε

ακρίβεια .

Προγραµµατισµός της διδασκαλίας . Με βάση τα προηγούµενα , ο

δάσκαλος των µαθηµατικών µπορεί να ξεκινήσει τη δουλειά του σε µ ια

τάξη καταρτίζοντας πρόγραµµα διδασκαλίας προσαρµοσµένο στις

γνωστικές δυνατότητες των µαθητών της συγκεκριµένης τάξης . Οι

προηγούµενες γνώσεις αλλά , και κυρίως , οι γνωστικές ικανότητες

διαπιστώνονται µε διαγνωστικά εισαγωγικά τεστ πριν οποιαδήποτε

παρέµβασή του . Το πρόγραµµα στη συνέχεια πραγµατοποιείται και

αξιολογείται σε σχέση πάντοτε µε τα αρχικά δεδοµένα . Με τον τρόπο

αυτό µπορούν να προβλεφθούν , και εποµένως να αποφευχθούν ,

δυσκολίες και προβλήµατα . Η διδασκαλία έτσι καθίσταται

“οικονοµ ικότερη” και αποτελεσµατικότερη .

10

Πίνακας 1. Τα Εξειδικευµένα ∆οµ ικά Συστήµατα .

Ε∆ΟΣ

Σχέση µε την πραγµατικότητα .

Επιστήµες που σχετίζονται .

το ποσοτικό-

συσχετικό

Ποσοτικοποιήσιµες απόψεις της πραγµατικότητας .

Επιστήµες κανονιστικές των ποσοτικοποιηµένων

συµβολικών συστηµάτων (Μαθηµατικά).

το ποιοτικό-

αναλυτικό

Μη ποσοτικοποιήσιµες απόψεις της πραγµατικότητας .

Ταξινοµ ικές επιστήµες (Παλαιοντολογία).

το αιτιολογικό

- πειραµατικό

Αιτιώδεις σχέσεις που διέπουν τα ποικίλα φαινόµενα

της πραγµατικότητας . Πειραµατικές επιστήµες

(Φυσική).

το εικονικό-

χωροταξικό

Όψεις της πραγµατικότητας που µπορούν να “θεώνται”

νοερά ως ολοκληρωµένες συνθέσεις .

Καλές τέχνες (Ζωγραφική , Γλυπτική , Γεωµετρία)

το λεκτικό-

προτασιακό .

Αναπαράσταση και λογική επεξεργασία διά της

γλώσσας .

Επιστήµες κανονιστικές των συµβολικών συστηµάτων

(Γλωσσολογία , Λογική).

11

Πίνακας 2. Η ανάπτυξη του ποσοτικού-συσχετικού Ε∆ΟΣ

Επίπεδο Ηλικία

σε έτη

Χαρακτηριστικά του επιπέδου

I

3-4

Πρωτοποσοτικά σχήµατα . Προδιαστασιακό

επίπεδο κατά το οποίο προετοιµάζεται η αντίληψη

της ποσότητας (π .χ . κανένα , ένα κι άλλο ένα).

Κατανόηση του αποτελέσµατος που έχουν σε ένα

σύνολο οι βασικές ποσοτικές ενέργειες της

προσθήκης και της αποµάκρυνσης στοιχείων .

Κατανόηση βασικών αρχών της αρίθµησης , ότι

λ .χ . ο κάθε αριθµός αντιστοιχεί σε ένα µόνο

σύνολο .

∆οµ ική αλλαγή που επιτρέπει τη σκόπιµη διασύνδεση δύο τουλάχιστον

αναφορικών αναπαραστάσεων .

II 5-6 Συντονισµός πρωτοποσοτικών σχηµάτων , π .χ ,

συντονισµός του βασικού σχήµατος της αύξησης-

µείωσης των αντικειµένων µε τις βασικές αρχές

αρίθµησης . Αυτό οδηγεί στην πρώτη έννοια της

σταθερότητας του αριθµού . Εξάλλου , η σύνθεση

της αναπαράστασης “είναι το ίδιο νερό” µε την

αναπαράσταση “δεν πρόσθεσε ούτε αφαίρεσε

νερό” οδηγεί στη διατήρηση της ταυτότητας της

ύλης . Γίνεται δυνατή η σύλληψη βασικών

ποσοτικών ιδιοτήτων (π .χ . “πολλά-λίγα”, “ένα ,

δύο , τρία , . . .”). Τα παιδιά µπορούν να κάνουν

χοντρικές εκτιµήσεις του αριθµού και να

κατατάξουν-αντιστοιχίσουν στοιχεία κατά µήκος

µ ιας διάστασης (1 προς 1 αντιστοίχηση)

12

Πίνακας 2 (συνέχεια). Η ανάπτυξη του ποσοτικού-συσχετικού Ε∆ΟΣ

Επίπεδο Ηλικία

σε έτη

Χαρακτηριστικά του επιπέδου

III 7-8 Γίνεται δυνατή η αναπαράσταση µ ιας διάστασης η

οποία εκτείνεται προς δύο κατευθύνσεις .

Εµφανίζονται καθαρά µαθηµατικές έννοιες , όπως

ο απόλυτος και ο τακτικός αριθµός , ως προϊόν του

συντονισµού των διαφόρων πρωτοποσοτικών

σχηµάτων . Εξάλλου , οι ποσοτικές απόψεις της

πραγµατικότητας προσδιορίζονται µε βάση τις

διαστάσεις τους . Έτσι , οι ποσοτικές εκτιµήσεις

δεν παρασύρονται από το φαινοµενικό . Το

αποτέλεσµα είναι η διατήρηση των ποικίλων

ιδιοτήτων που συζήτησε ο Piaget.

IV 9-10 Η ικανότητα γίνεται σύνθετη διδιάστατη , τα

παιδιά δηλαδή µπορούν να χειριστούν δύο

ανεξάρτητες διαστάσεις ταυτόχρονα (π .χ . µήκος

και πλάτος). Υπάρχει ευκολία στη επεξεργασία

απλών µαθηµατικών σχέσεων ακόµη και όταν

αναπαρίσταται συµβολικά (π .χ . , τώρα

προσδιορίζονται τα σύµβολα στις ισότητες 8*3=5

ή α+5=8.

Μετάλλαξη της αναπαράστασης από το επίπεδο της αναφορικής ή

δηλωτικής στο επίπεδο της εικοτολογικής αναπαράστασης . Η σκέψη

µετακινείται από το πραγµατικό στο δυνατό .

13

Πίνακας 2 (συνέχεια). Η ανάπτυξη του ποσοτικού-συσχετικού Ε∆ΟΣ

Επίπεδο Ηλικία

σε έτη

Χαρακτηριστικά του επιπέδου

V 11-12 Η ποσοτικοποιήσιµη πραγµατικότητα αναπαρίσταται

ως ένα πλέγµα σχέσεων . Έτσι , για πρώτη φορά

κατανοούνται σχέσεις µεταξύ σχέσεων , στην

παρούσα φάση , απλές και “αυτο-αποκαλυπτικές”.

Επιπλέον και για τούτο , τώρα µπορούν να

συσχετιστούν συµβολικές αναπαραστάσεις για να

προσδιοριστεί µ ια γενική ποσότητα (π .χ . , λύνεται η

εξίσωση χ=ψ+3 όταν είναι γνωστή η τιµή του ψ .

Αναπτύσσεται η έννοια της συµµεταβολής , η οποία

σε πρώτη φάση είναι ποιοτική . Τα παιδιά σ’ αυτό το

επίπεδο µπορούν να συλλάβουν µε ενορατικό τρόπο

τις σχέσεις που υφίστανται µεταξύ ποσοτικά

µεταβαλλόµενων µεγεθών , δηλαδή σχέσεις µεταξύ

σχέσεων .

∆οµ ική αλλαγή που επιτρέπει τη συστηµατική διασύνδεση πολλών

εικοτολογικών αναπαραστάσεων .

VI 13-14 Μπορούν να προσδιοριστούν σύνθετες σχέσεις

σχέσεων , όπως είναι οι µη συµµετρικές αναλογίες .

Εξάλλου , συνδυάζονται σύνθετες συµβολικές

εκφράσεις για να προσδιοριστεί η τιµή µ ιας

µεταβλητής (π .χ . , προσδιορίζεται η τιµή του χ , αν

χ=ψ+ζ και χ+ψ+ζ=30). Γίνεται δυνατή η

ποσοτικοποίηση της συµµεταβολής . Γίνεται

κατανοητή η ευθεία αναλογία (µεταβολή προς την

ίδια κατεύθυνση).

Πίνακας 2 (συνέχεια). Η ανάπτυξη του ποσοτικού-συσχετικού Ε∆ΟΣ

14

Επίπεδο Ηλικία

σε έτη

Χαρακτηριστικά του επιπέδου

VII 14-16 Οι ποσοτικές διαστάσεις γενικεύονται πλήρως και ,

εποµένως , µπορούν να προσδιοριστούν οι καθαρές

τους σχέσεις . Π .χ . κατανοείται ότι η ισότητα

α+β+γ=α+χ+γ ισχύει αν β=χ . Τούτο σηµαίνει ότι µ ια

διάσταση µπορεί να συµβολίζεται µε εναλλακτικούς

τρόπους , οι οποίοι µπορούν να προσδιοριστούν µε

αναφορά σε άλλες αναπαραστάσεις . Γίνεται

κατανοητή η ποσοτικοποίηση της συµµεταβολής που

αφορά µεγέθη αντιστρόφως ανάλογα .

VIII 17-18 Επιτυγχάνεται η σύνθεση ευθέων και αντίστροφων

σχέσεων .

Μετά τα 18, είναι δυνατή η τυποποίηση των προϊόντων και λειτουργιών

του συστήµατος και να αναζητηθούν οι ποικίλες σχέσεις στις οποίες θα

µπορούσαν να τεθούν . Εφόσον δηλαδή η ικανότητα καλλιεργηθεί

επιτυγχάνεται η διαµόρφωση µαθηµατικών µοντέλων .

15

Πίνακας 3. Η ανάπτυξη του εικονικού-χωροταξικού Ε∆ΟΣ

Επίπεδο

Τυπική

ηλικία σε

έτη

Χαρακτηριστικά του επιπέδου

Στην ηλικία των 1,5-2 ετών παρατηρείται µ ια “µετάλλαξη της

αναπαράστασης από τα σύµβολα που αποτελούν µέρος της

συµβολιζόµενης πραγµατικότητας σε αυθαίρετα σύµβολα που δεν έχουν

φυσική οµοιότητα ή συνάφεια µε τη συµβολιζόµενη πραγµατικότητα”

(∆ηµητρίου 1993, σελ . 326).

I 3-4 Οι εικονικές αναπαραστάσεις αποτελούν ένα

υποκειµενικό συµβολικό σύστηµα . Το νήπιο δεν

επιτυγχάνει πάντοτε να κατανοεί και να

συντονίζει τα ερεθίσµατα που δέχεται από το

περιβάλλον του . Η χωροταξική αναπαράστασή

του είναι αποσπασµατική . Τα νήπια

δηµ ιουργούν συνολικές αδιαφοροποίητες

εικόνες . Τα σχέδιά τους µόνο απόµακρη σχέση

έχουν ακόµη και για απλά αντικείµενα .

Μεταξύ πρώτου και δεύτερου επιπέδου πραγµατοποιείται “δοµ ική

αλλαγή που επιτρέπει τη σκόπιµη διασύνδεση δύο τουλάχιστον

αναφορικών αναπαραστάσεων” (∆ηµητρίου 1993, σελίδα 326).

16

Πίνακας 3 (συνέχεια). Η ανάπτυξη του εικονικού-χωροταξικού Ε∆ΟΣ

Επίπεδο

Τυπική

ηλικία σε

έτη

Χαρακτηριστικά του επιπέδου

II 5-6 Είναι δυνατός ο συντονισµός των εικόνων και η

µετακίνηση από το ένα συµβολικό σύστηµα στο

άλλο . Μπορεί , δηλαδή , το νήπιο να µετατρέπει

τις εικόνες σε λεκτικές αναφορές και

αντίστροφα . Στο επίπεδο αυτό η χωροταξική

αναπαράστασή του είναι στατική και

µονοδιάστατη . Οι εικόνες αρχίζουν να

αναλύονται σε µέρη . Σε ένα σχέδιο είναι

δυνατόν να υπάρχουν στοιχεία τα οποία

αντιστοιχούν σε στοιχεία της πραγµατικότητας

σύµφωνα µε την πρόθεση του νηπίου , έστω και

αν δε µοιάζουν .

III 7-8 Το παιδί µπορεί να συντονίζει µ ια διάσταση σε

σχέση µε σταθερά σηµεία αναφοράς . Οι εικόνες

είναι συνθέσεις µερών . Τα παιδιά διαθέτουν

ευελιξία κατά την µετακίνηση από το όλο στα

µέρη . Το παιδικό σχέδιο είναι δυνατόν να

αποτελεί πιστή αναπαράσταση της

πραγµατικότητας , όταν αυτή είναι οικεία .

17

Πίνακας 3 (συνέχεια). Η ανάπτυξη του εικονικού-χωροταξικού Ε∆ΟΣ

Επίπεδο

Τυπική

ηλικία σε

έτη

Χαρακτηριστικά του επιπέδου

IV 9-10 Η ικανότητα παίρνει δυναµ ική µορφή . Το παιδί

έχει την ικανότητα για “δηµ ιουργική”

διδιάστατη αναπαράσταση . Μπορεί να

αναπαριστάνει και σχέσεις απόψεων της

πραγµατικότητας οι οποίες δεν του είναι πολύ

οικείες . Μπορεί επίσης να αναπαριστάνει τους

µετασχηµατισµούς που εφαρµόζονται πάνω σε

µ ια διάσταση , όπως για παράδειγµα η

περιστροφή . ∆εν µπορεί όµως να δηµ ιουργήσει

εικόνες για το άγνωστο ή το φανταστικό .

V 11-12 Το παιδί διαθέτει πλέον ένα πολύπλοκο

γνωστικό σύστηµα . Μπορεί να συντονίζει

περιορισµένο αριθµό διαφορετικών σηµείων

αναφοράς . Το παιδί µπορεί να αναπαραστήσει

µε εικόνες σύνθετες σχέσεις και σύνθετους

µετασχηµατισµούς όπως είναι η νοερή

περιστροφή .

18

Πίνακας 3 (συνέχεια). Η ανάπτυξη του εικονικού-χωροταξικού Ε∆ΟΣ

Μεταξύ πέµπτου έκτου επιπέδου συντελείται “δοµ ική αλλαγή που

επιτρέπει τη συστηµατική διασύνδεση πολλών εικοτολογικών

αναπαραστάσεων” (∆ηµητρίου 1993, σελίδα 328).

VI 13-14 Το παιδί έχει τη δυνατότητα να συντονίζει µεγάλο

αριθµό σηµείων αναφοράς . Μπορεί να κάνει νοερή

περιστροφή σχηµάτων γύρω από διαφορετικούς άξονες .

Μπορεί να αναπαραστήσει το µη πραγµατικό έστω και

απλοϊκά .

VIΙ 14-16 Ο έφηβος µπορεί να αναπαραστήσει το µη πραγµατικό

µε πρωτότυπους και σύνθετους τρόπους .

Μετά τα 18 είναι δυνατόν να “τυποποιηθούν τα προϊόντα και οι

λειτουργίες στο καθένα από τα παραπάνω συστήµατα και να

αναζητηθούν οι ποικίλες σχέσεις στις οποίες θα µπορούσαν να τεθούν”

(∆ηµητρίου 1993, σελίδα 329).

19

ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ

∆ηµητρίου Α . & Ευκλείδη Α . (1988). Εµπειρικός-Βιωµατικός ∆οµ ισµός :

∆εδοµένα , Αρχές και Υποθέσεις µ ιας Νεοπιαζετιανής Θεωρίας . Νέα

Παιδεία , 13, τεύχος 51, σ . 36-47, και τεύχος 52, σ . 30-39.

∆ηµητρίου Α . (1989). Επίπεδα αξιολόγησης µαθηµατικών επιδόσεων .

Πρακτικά 2ου Πανελλήνιου Συνεδρίου Μαθηµατικής Εταιρίας µε θέµα

“Αξιολόγηση Εκπαιδευτικού Έργου , Εκπαίδευση και Επιµόρφωση

Μαθηµατικού”. Θεσσαλονίκη : Ζήτη .

∆ηµητρίου Α . , (1993). Γνωστική Ανάπτυξη : Μοντέλα – Μέθοδοι -

Εφαρµογές . Θεσσαλονίκη : Art of Text.

∆ηµητρίου , Α . & Πλατσίδου , Μ . (1992). Εµπειρικός ∆οµ ισµός : µ ια

θεωρία για την αρχιτεκτονική και την ανάπτυξη του νου . In Ψυχολογικές

έρευνες στην Ελλάδα . Τόµος 1: Ανάπτυξη , Μάθηση και Εκπαίδευση .

Θεσσαλονίκη : ΑΠΘ .

Ευκλείδη , Α . , ∆ηµητρίου , Α . , Μωυσιάδης , Π . & Μαρκέτος , Α . (1992).

Γνωστικές ικανότητες και µαθηµατικές επιδόσεις σε µαθητές Πρώτης και

∆ευτέρας Γυµνασίου . Ψυχολογία , Τόµος 1, Τεύχος 1. Θεσσαλονίκη :

ΕΛΨΕ .

Λοϊζου Λ . (1992). ∆οµή και ανάπτυξη των εικονικών και µετα-εικονικών

ικανοτήτων από τα δέκα µέχρι τα δεκαοχτώ χρόνια . Ψυχολογία , Tόµος 1,

Tεύχος 2. Θεσσαλονίκη : ΕΛΨΕ .

Brousseau G. (1994). Perspectives pour la Didactique des

Mathematiques. In: M. Artigue, R. Gras, C. Laborde, P. Tavignot (Eds):

Vingt ans de Didactique des Mathematiques en France. Paris: La Pensee

Sauvage.

Brun J. (1994). Evolution des Rapports entre la Psychologie du

Developpment Cognitif et la Didactique des Mathematiques. In: M.

20

Artigue, R. Gras, C. Laborde, P. Tavignot (Eds): Vingt ans de

Didactique des Mathematiques en France. Paris: La Pensee Sauvage.

Davis R. (1989). Learning mathematics: The Cognitive Science

Approach to Mathematics Education. New York: Routledge.

Ginsburg H. (Ed.)(1987). The development of Mathematical Thinking.

New York: Academic Press, Inc..

Schoenfeld A. (Ed) (1987). Cognitive Science and Mathematics

Education. Hillsdale, New Jersey: LEA.

Sloboda J. & Gogers D. (Eds) (1987). Cognitive Processes in

Mathematics. Oxford: Clarendon Press.

Vergnaud G. (1991a). L’enfant, la mathematique et la realite. Berne:

Peter Lang.

Vergnaud G. (1991b). La Theorie des Champs Conceptuels. Recherches

en Didactique des Mathematiques, Vol. 10/2.3. 133-170.