1AT 2006

Conceitos de Sinais e SistemasMestrado em Ciências da Fala e da Audição

António Teixeira

2AT 2006

Aula

9a• Resposta em

Frequência– conceito base– filtros

• passa-baixo• passa-alto• passa e rejeita banda

• MATLAB– freqz()– butter()

3AT 2006

• Vamos agora dedicar algum tempo a descrever a resposta de sistemas a sinusóides

• Pode parecer uma perda de tempo, mas os sistemas LTI são completamente caracterizados pela sua resposta a sinusóides

• Esta caracterização é conhecida como função de transferência – porque descreve o que acontece a sinais sinusoidais ao serem

transferidos através do sistema• Como as sinusóides podem ver afectadas em duas das

suas características pelos sistemas LTI (fase e amplitude) é conveniente dividir em duas partes– resposta em amplitude e resposta de fase

4AT 2006

O conceito base• Efectuar medições à saída do sistema para sinusóides

de várias frequências – para simplificar pode usar-se uma amplitude fixa– considerando a resposta em amplitude só temos de medir a

amplitude na saída• Exemplo (Amplitude de entrada 2 V)

Frequência Amplitude da sáida125 Hz 2 V250 Hz 2 V500 Hz 1.98 V1000 Hz 1.42 V1500 Hz 0.50 V2000 Hz 0.18 V3000 Hz 0.02 V

5AT 2006

Problema• E se quisermos saber o que acontece a uma sinusóide

de 400 Hz ou 1733 Hz ?

• Para poder prever a resposta a uma sinusóide de qualquer frequência necessitaríamos de uma tabela com uma linha para todas as possíveis frequências – ou seja um número infinito de entradas !!!

• A solução passa pela utilização de um gráfico,– com frequência no eixo horizontal– e amplitude no eixo vertical

6AT 2006

400 Hz 2 V

1733 Hz 0.3 V

7AT 2006

Passa-baixo• Vantagem importante:

– o gráfico fornece uma melhor indicação do tipo/padrão da resposta

• No nosso sistema para sinusóides abaixo de um certo valor de frequência a amplitude de saída é igual à de entrada

• Acima dessa frequência a amplitude na saída é reduzida, ou atenuada

• Uma resposta deste tipo (decrescendo com o aumento da frequência) é conhecida por passa-baixo– devido a todas as frequências abaixo de um certo valor passarem pelo

sistema sem alteração

– enquanto as superiores a essa frequência são atenuadas

8AT 2006

Respostas como quocientes• No primeiro exemplo todas as medições

usaram a mesma amplitude (2V)• No entanto nem sempre é possível ou

desejável essa situação• Generaliza-se o conceito fazendo com que a

resposta seja o quociente (razão) entre o nível do sinal à saída pelo nível do sinal de entrada, ambos função da frequência

Resposta(f) = Saída(f) / Entrada(f)

9AT 2006

Aplicando ao exemplo anterior• Tabela:

Frequência Amplitude da sáida Amplitude de Entrada saida/entrada125 Hz 2 V 2 1250 Hz 2 V 2 1500 Hz 1.98 V 2 0.991000 Hz 1.42 V 2 0.701500 Hz 0.50 V 2 0.252000 Hz 0.18 V 2 0.093000 Hz 0.02 V 2 0.01

10AT 2006

Filtros• Sistemas que deixam passar uma gama de

frequências melhor que outras são conhecidos em geral por filtros

• Existem dois tipos principais de filtros– passa-baixo– passa-alto

11AT 2006

Comando MATLAB freqz• Tendo os vectores a e b (nossos conhecidos

das experiências com o comando filter() ) pode obter-se facilmente a resposta em frequência– freqz(b,a) % mais simples, eixo dos xx entre 0 e 1– freqz(b,a,N,freq_amostragem);

• N = número de pontos para calcular– [h,f]=freqz(b,a,N,freq_amostragem);

• h conterá a resposta, para facilitar cálculos posteriores• f conterá as frequências usadas na obtenção da resposta

12AT 2006

Passa-baixo• idealmente não afecta as sinusóides abaixo de

uma determinada frequência, designada por frequência de corte

fc

amplitude1

0

“pass band”banda de passagem

“stop band”banda de corte

13AT 2006

• Na vida real um passa baixo será por exemplo

em dB

transição não instantânea

frequência de corte definida pela frequência onde a amplitude decresce 3 dB relativamente ao máximo

14AT 2006

Passa-alto• Deixam passar sinusóides acima de um certa

frequência

• Idealmente

fc

amplitude1

0

“stop band”banda de corte

“pass band”banda de passagem

15AT 2006

Filtros em paralelo

1

0

fc1

1

0

fc2 +1

0

Rejeita banda

16AT 2006

Filtros em cascata

fc2

1

0

1

0

fc1

1

0

Passa banda

17AT 2006

Comando MATLAB butter• BUTTER Butterworth digital and analog filter

design.• [B,A] = BUTTER(N,Wn) designs an Nth order

lowpass digital Butterworth filter and returns the filter coefficients in length N+1 vectors B (numerator) and A (denominator). – The coefficients are listed in descending powers of

z. – The cutoff frequency Wn must be 0.0 < Wn < 1.0,

with 1.0 corresponding to half the sample rate.

18AT 2006

• If Wn is a two-element vector, Wn = [W1 W2], BUTTER returns an order 2N bandpass filter with passband W1 < W < W2.

• [B,A] = BUTTER(N,Wn,'high') designs a highpass filter.

• [B,A] = BUTTER(N,Wn,'stop') is a bandstop filter if Wn = [W1 W2].

19AT 2006

Resposta de fase• Geralmente muito menos relevante que a

resposta em amplitude– motivações perceptuais

• Define-se como a diferença entre as fases das sinusóides de entrada e saída

Fase(f) = Fase da saída(f) - Fase da entrada (f)

• Uma resposta de fase linear atrasa de um mesmo valor temporal todas as sinusóides

20AT 2006

TPC • Leitura do Capítulo 6 de Rosen & Howell

21AT 2006

Aula

9b• Análise em frequência de

sinais– Síntese– Análise– Conceito de espectro

• Análise espectral de sinais digitais

– a DFT e FFT• Análise em frequência de

sinais reais– analógicos– digitais

• MATLAB– fft

22AT 2006

Análise de Fourier

Para sinais analógicos periódicos

23AT 2006

Fourier • Joseph Fourier foi um matemático Francês

– do sec XIX• Descoberta importante:

– Qualquer sinal (periódico) pode ser decomposto num conjunto de sinusóides com frequências múltiplas da frequência do sinal

24AT 2006

Exemplo• Frequência fundamental

= 2.5 Hz– Cada período dura 0.4

segundos

0 0.5 1 1.5-2

0

2soma de 3 sinusóides de 2.5, 5 e 7.5 Hz de amplitutes 1,0.5 e 0.3

0 0.5 1 1.5-1

0

1

0 0.5 1 1.5-0.5

0

0.5

0 0.5 1 1.5-0.5

0

0.5

T

25AT 2006

Espectro• Representando as

amplitudes das várias sinusóides

• obtém-se o espectro de riscas (line spectrum)

2 4 6 8 10 12 14 160

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

1/T

26AT 2006

Harmónicos• Sons periódicos apenas podem ter sinusóides

que sejam múltiplas da sua frequência fundamental– Ex:

• frequência fundamental: 100 Hz• Contem sinusóides de 100, 200, 300, etc Hz

• As componentes de sons periódicos chamam-se harmónicos

27AT 2006

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200-2

0

2

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200-2

0

2

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200-2

0

2

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200-2

0

2

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200-2

0

2

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200-2

0

2

Exemplo: síntese onda dente de serran F (Hz) Amplitude (V)

1 100 1.002 200 ½=0.53 300 1/3=0.334 400 ¼=0.255 500 1/5=0.26 600 1/6=0.17

28AT 2006

Espectro

0 100 200 300 400 500 600 7000

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Frequência (Hz)

Am

plitu

de (V

)

•Representação das amplitudes (fases) dos harmónicos

29AT 2006

Que acontece se reduzir a freq. Fundamental ?

0 100 200 300 400 500 600 7000

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Frequência (Hz)

Amplitu

de (V

)

Pitch=100 Hz

0 100 200 300 400 500 600 7000

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Frequência (Hz)

Amplitu

de (V

)

Pitch=100 Hz

• Os harmónicos ficam mais próximos– No primeiro estão

espaçados de 100 Hz– No segundo caso

espaçados de 50 Hz

– ...

30AT 2006

E se os sinais não forem periódicos ?• O período de repetição será infinito• As riscas do espectro ficam separadas de 1/T

que neste caso será zero– Tem-se assim neste caso um número infinito de

riscas – O sinal pode conter todas as frequências desde 0

até infinito– Trata-se da chamada Transformada de Fourier

31AT 2006

Análise de Fourier• Normalmente não sabemos quais as sinusóides

e amplitudes que devemos somar• Temos de obter com base no sinal

– o Teorema de Fourier diz como se faz • um sinal periódico apenas contem frequências que são

múltiplos inteiros de uma frequência base ou “fundamental”

– conhecidas por harmónicos (ou componentes espectrais)

• Esta sequência de termos relacionados é conhecida por série

– Sendo o processo conhecido por Série de Fourier

32AT 2006

fseriesdemo

33AT 2006

Análise de Fourier de sinais digitais

DFT, FFT

34AT 2006

DTF e FFT• Vimos que a série de Fourier converte uma

onda num conjunto de sinusóides, tal que quando somadas, se obtém o sinal original

• A operação que converte uma onda digital em sinusóides (digitais) é a Discrete Fourier Transform (DFT)– A FFT é um algoritmo rápido de cálculo da DFT

35AT 2006

Exemplo• Considere-se o sinal

– x = [ -8 –8 –4 5 –2 4 7 9]• Aplicando a DFT

– Obtém-se 8 sinusóides – tantas como o número de amostras do sinal – de 0, 1, 2 ... 7 ciclos

36AT 2006

1 2 3 4 5 6 7-20

0

20

1 2 3 4 5 6 7-20

0

20

1 2 3 4 5 6 7-20

0

20

1 2 3 4 5 6 7-20

0

20

1 2 3 4 5 6 7-20

0

20

1 2 3 4 5 6 7-20

0

20

1 2 3 4 5 6 7-20

0

20

1 2 3 4 5 6 7-20

0

20

1 2 3 4 5 6 7 8-10

0

10

37AT 2006

Exemplo

38AT 2006

Aplicação a uma vogal

0 100 200 300 400 500 600-0.1

0

0.1

0 100 200 300 400 500 6000

2

4

0 50 100 150 200 250 300-50

0

50

39AT 2006

Aplicação de análise de Fourier ao sinal de voz

cujas características variam no tempo

40AT 2006

Segmentos (Frames)• A análise pela DFT assume que o sinal

mantém as suas características a seguir ao bloco analisado– O que não se verifica no sinal de voz

• A análise é efectuada em pequenos segmentos em que o sinal tem características estáveis– Cerca de 10 a 20 ms

• Cada segmento é designado em Inglês por frame

41AT 2006

Janelas• Ao obter-se um segmento está implícito que se

colocam a zero todos os valores fora do segmento– Isto corresponde à aplicação do que se chama

janela rectangular• Problema: o que se vê na FFT não são apenas as

componentes devidas ao sinal mas também componentes devidas à janela

• Para evitar parcialmente este problema utilizam-se outras janelas, como as de Hamming e Hann

42AT 2006

Janelas • Hamming

• Aplicada ao sinal

0 50 100 150 200 250 3000

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

0 50 100 150 200 250 300-0.1

-0.05

0

0.05

0.1sinal aplicando janela rectangular de 256 pontos

0 50 100 150 200 250 300-0.1

-0.05

0

0.05

0.1sinal aplicando janela de hamming de 256 pontos

43AT 2006

Efeito na FFT

0 20 40 60 80 100 120 140-50

-40

-30

-20

-10

0

10

vermelho= rectangular preto=hamming

44AT 2006

Tamanho das janelas• Para se usar DFT deve ser potência de 2

– 32, 64, 128, 256, 512, 1024

• Resolução na frequência pretendida– N amostras resultam em N pontos na frequência

entre 0 e a freq. Amostragem• Intervalo entre frequências= fa/N

– N=fa/intervalo– Intervalo = 45 Hz => 10000/45=222 => 256 amostras– Intervalo = 300 Hz => 10000/300=34 => 32 amostras

45AT 2006

Análise em frequência de sinais reais

sinais analógicos

46AT 2006

O problema base• Até agora os espectros (análise espectral) referia-se a

sinais com uma representação matemática “simples”• Mas o que acontece quando pretendemos o espectro

de sinais do mundo real, não definidos por uma fórmula matemática?– a transformada/série de Fourier apenas funciona com sinais

abstractos “no papel”

47AT 2006

Uma solução• Até recentemente, apenas existia uma forma prática de

determinar o espectro nestes casos, utilizando filtros passa-banda– este tipo de filtro possui a propriedade de selectivamente atenuar as

frequências abaixo e acima da região a que são mais sensíveis

• para saber a energia que existe numa gama de frequência apenas temos de fazer passar o sinal por um filtro passa-banda ajustado para essa gama

• Para ter o espectro numa gama de frequências teremos de ter vários filtros com a frequência central cobrindo o intervalo– o conjunto de filtros chama-se BANCO DE FILTROS– Por vezes a utilização de vários filtros não é viável (por exemplo pelo

seu custo) utilizando-se um filtros com frequência central ajustável

48AT 2006

Exemplo: análise da onda triangular• O sinal

– período = 5 ms

49AT 2006

filtro para frequência central=200• filtro e saída

•Max=0.3748

50AT 2006

filtro para frequência central=300• filtro e saída

•Max aprox 0

51AT 2006

usando vários filtros...

52AT 2006

o caso digital• aplica-se a DFT/FFT

•tantos pontos como os do sinal

53AT 2006

em termos de frequências