1.Clase Intervalos de Confianza [Modo de Compatibilidad]

7/21/2019 1.Clase Intervalos de Confianza [Modo de Compatibilidad]

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Asignatura: EstadísticaTitulación: Terapia ocupacional

Estimación de parámetros.Concepto de intervalo de confianza.

Intervalo de confianza de una media e

Intervalo de confianza de una proporción

Javier Muñiz GarcíaFebrero



Guión de la clase• Preguntas en terapia ocupacional

• Muestra en lugar de población• Muchas muestras posibles• Variabilidad intermuestral y teorema central del límite• stimación de par!metros

" stimación puntual" #aracterísticas $ue ha de tener un estimador" stimación por intervalos

" Motivos de la variabilidad muestral• #!lculo del intervalo de con%ianza para una media• #!lculo del intervalo de con%ianza para una proporción

• &nterpretación de un intervalo de con%ianza



Preguntas en terapia ocupacional'a actividad clínica es una %uente inagotable de preguntas deinter(s desde el punto de vista sanitario

)lgunos posibles e*emplos+

• ,#u!l es la proporción de diab(ticos $ue tienen limitado su nivel de

autonomía-• n los pacientes diagnosticados de )lzheimer. la participación en

programas de terapia ocupacional ,enlentece la aparición demani%estaciones clínicas de progresión de la en%ermedad-

• 'a adición de un terapeuta ocupacional al e$uipo multidisciplinarencargado de la rehabilitación de los pacientes $ue han su%rido un)#V. ,me*ora la autonomía /disminuye la dependencia0 a los seis

meses tras el episodio de )#V-



,#ómo responder las preguntas-#on %recuencia. no tenemos acceso a toda la población pararesponderla1

2os apro3imamos a la respuesta estudiando un subgrupo de (sta+la muestra /en otros apartados ya se discutieron aspectosimportantes de cómo seleccionarla. etc0

)pro3imarnos a lo $ue sucede en la población a partir de lain%ormación procedente de una muestra de a$uella entra dentrodel campo de la estadística in%erencial1

)l proceso en si lo llamamos estimación

La estadística inferencial aporta las técnicas necesarias paraetraer conclusiones de una po!lación a partir de una muestra



P45')#&62 7 M89:;)

• "#$LACI%&: Con'unto finito o infinito de individuos so!relos (ue nos interesa estudiar una propiedad.

• )*E+T,A E+TA-+TICA: +u!con'unto finito de una

po!lación

• )*E+T,A ALEAT#,IA: grupo de individuos seleccionados

independientemente de la po!lación / con pro!a!ilidad conocida/ ma/or (ue cero



,#u!ntas muestras posibleshay en una población-

Muchas



8n e*emplo cotidiano para apro3imarnos al

elevado n<mero de muestras e3istente,Por $u( no nos toca la lotería primitiva-

• #onceptualmente es sencilla+ hay => n<merosdi%erentes /del ? al =>0 y se e3traen @1 Aa igual elorden en $ue salgan

• &ntuitivamente parece relativamente %!cil acertar1 Porlo menos m!s %!cil $ue el Gordo de 2avidad /hay m!s

de @B1BBB n<meros di%erentes solo toca uno0

• 'a realidad cotidiana $ue nos rodea se encargó de

convencernos de $ue es muy di%ícil acertar



,Por $u( no nos toca la lotería primitiva-

• 9e debe al n<mero de posibles resultados di%erentes$ue hay al e3traer @ bolas /muestra0 => /población0

• 9e calcula como combinaciones de => elementostomados de @ en @

• Ai%erentes maneras de e3traer @ bolas de => C

=>DC C ?E1>E1?@

/=>@0D @D



8n e*emplo posible en biomedicina

• Vamos a estimar la prevalencia de diabetes mellitus/proporción de personas $ue la padecen0 en la poblacióngallega /H1IBB1BBB personas0 a partir de una muestrade HBBB personas

• l n<mero de posibles muestras di%erentes entre si secalcula como combinaciones de H1IBB1BBB elementos

tomados de H1BBB en H1BBB



,#u!ntas muestras posibleshay en una población-

Muchas



#omo resumen de este apartado

ay muchas posibles muestras de

tamaño n di%erentes entre si $uepueden e3traerse de una poblaciónde tamaño 2



Variabilidad entre las muestras

• 'as muestras di%ieren todas entre si1• s %!cil imaginar muestras muy e3tremas /Ky posiblesD0

*emplo de la lotería primitiva9upongamos $ue no conocemos el valor de las => bolas ydeseamos estimar el valor medio de esa población de bolas/en realidad. sabemos $ue el promedio es HL0

)l e3traer @ bolas son posibles valores e3tremos como ?. H.

E. =. L y @ o. en el otro e3tremo. ==. =L. =@. =I. = y =>

n ambos casos. la media de cada muestra /E.L y [email protected] est!

muy ale*ada de la media de la población /HL0



Variabilidad entre las muestras /H0

• sa misma variabilidad entre muestras elegidas al azar es imaginableen m<ltiples e*emplos biológicos

*emplo de variable biológicaAeseamos conocer la media de colesterol s(rico en la población adultade Ferrol2o podemos /ni $ueremos0 estudiar toda la población adulta de Ferrol.por lo $ue decidimos elegir una muestra aleatoria de ?BB personasAel n<mero casi in%inito de posibles muestras. la mayor parte est!ne$uitativamente distribuidas en lo $ue respecta a nivel de colesterol delas personas $ue las componenPodemos tener mala suerteN en el momento de elegir la muestra y $ue

incluyamos un n<mero e3cesivamente alto de personas con el colesterolmuy elevado o muy ba*o1

O&9: 82) V);&)5&'&A)A )94#&)A) )' P;4#94 M89:;)'



&MP4;:)2:

• 'a distribución $ue %orman las hipot(ticas muestras deigual tamaño /cuando (ste es su%iciente0 $ue se puedene3traer de la población sigue una distribuciónapro3imadamente normal

• 'a media de esa distribución es la media poblacional

• 'a desviación est!ndar de esa distribución se conocecomo error est!ndar

• sto es cierto Kincluso cuando la distribución de lavariable de inter(s en la población no es normalD

:4;M) #2:;)' A' 'M&:



+elección

"#$LACI%&)edia:µµµµ

)uestra ? )uestra 0 )uestra 1. . .

1 x

2 x K x

NORMAL

-istri!ución

muestral



:4;M) #2:;)' A' '&M&:

• Aada una población con media µ y desviación est!ndar σ. ladistribución muestral de la media basada en muestrasaleatorias repetidas de tamaño n tiene las propiedades

siguientes+• 'a media de una distribución muestral o media de medias.es igual a la media de la población µ obtenida de mediciones

individuales

• 'a desviación est!ndar en la distribución muestral demedias es igual a σ Q√n /error est!ndar de la media0

• 9i la distribución de la población es normal. la distribuciónde muestreo tambi(n lo es1 n muestras grandes. la

distribución de muestreo de las medias es casi normal. simimportar la %orma de la distribución de la población





Motivos de la variabilidad muestral

• 7a hemos visto $ue di%erentes muestras de igual tamañoelegidas al azar de una población van a mostrar di%erenciasentre si debidas al azar1 stas di%erencias pueden ser ligeras ograndes1 'as causas de la magnitud de estas di%erencias son de

dos tipos+

• 2aturaleza de lo $ue medimos+ Por e*emplo. una serie demuestras de temperatura corporal de personas sanas van amostrar pe$ueñas variaciones. mientras $ue las variaciones entremuestras de colesterol ser!n mayores

• :amaño muestral+ 8na muestra pe$ueña constituye una guíamenos cierta de la población de la $ue se e3tra*o $ue una grande/sentido com<n01 #uanto m!s grandes sea dos muestrasaleatorias e3traídas de una población. m!s probable es $ue separezcan1 &mplicaciones importantes en la investigación

biom(dica



JMP'4Estimación de la prevalencia del 2á!ito de fumar enuna po!lación

)*E+T,A A:34 su'etos

5 fumadoresp6547

)*E+T,A $:344 su'etos

54 fumadoresp6547

8-e cuál de las dos estimaciones nos fiamos más9



9#82#&) A #42#P:49 #')V

Para entender las razones $ue sustentan y hacen necesariala estimación por intervalos /y. en realidad. la estadística in%erencial0es importante tener muy claro+

?1 n una población de tamaño 2 hay un n<mero elevadísimode posibles muestras aleatorias de tamaño n

H1 Pese a $ue e3isten muchísimas muestras. cuando hacemosun estudio sólo disponemos de una muestra

E1 7 no sabemos cual es

En cual(uier estudio (ue 2agamos sólodisponemos de una muestra del casi; infiniton<mero posi!le de muestras.... =/ no sa!emos

cuál es>



• "A,?)ET,#+: Características relativas a la po!lación

• E+TI)A-#,: @unción de las o!servaciones de una muestrautilizada para aproimar el valor de un parámetro desconocido

E'. la es un estimador de la µµµµ

E'. µµµµ6 &ivel medio de colesterol en unapo!lación de seres 2umanos parámetro;

Al determinar el nivel de colesterol en una muestrade 34 su'etos se o!tiene:6 &ivel medio de colesterol en la muestra x

• E+TI)ACI%&: alor (ue toma el estimador para unamuestra particular

x



+elección

"#$LACI%&)edia:µµµµ

)uestra ? )uestra 0 )uestra 1. . .

NORMAL

-istri!ución

muestral

P;4P&A)A9 A '49 9:&M)A4;98n estimador

se diceinsesgado si lamedia de sudistribución

coincide con elvalor delpar!metrodesconocido$ue se est!estimando

8n estimador es e%iciente si su es pe$ueño



9:&M)#&62 P82:8)' A ') MA&)u La media µµµµ de una po!lación se estima por la media muestral

u Este estimador tiene las siguientes propiedades:è Al aumentar el tamaBo de la muestra su distri!ución se

aproima a una normal Teorema Central del Límite;

è Es insesgado: la media de su distri!ución es µµµµè +u error estándar es EE6 siendo σσσσ0 la varianza

po!lacional n

σ

u El error estándar de la media muestral se estima porsiendo s 0 la cuasiDvarianza de la muestra n

s



9:&M)#&62 P82:8)' A ') P;4P4;#&62u La proporción ππππ de una po!lación se estima por la proporciónmuestral p

u El error estándar de la proporción muestral se estima porsiendo s 0 6p 3D p ; la varianza de la muestra n

s

•Este estimador tiene las siguientes propiedades:è Al aumentar el tamaBo de la muestra su distri!ución se

aproima a una normal

è Es insesgado: la media de su distri!ución es ππππè +u error estándar es EE6 siendo σσσσ06 ππππ3D ππππ; la

varianza po!lacional n

σ



JMP'4+i se 2an encontrado 04 su'etos con factor ,2 negativoen una muestra de 344 casos la estimación de la

proporción de su'etos con factor ,2 negativo es: p 6043446404

La estimación de la varia!ilidad de las o!servaciones vienedada por:s6√√√√ p 3D p ;6 √√√√ 40××××4F64G

La estimación de la varia!ilidad de las proporciones p

alrededor del parámetro ππππ viene dada por el EE:

EE6s√√√√n64G344644G



9:&M)#&62 P4; &2:;V)'4

n la estimación por intervalo. la estimación puntual de un

par!metroθ

se completa con un intervalo de valores $ueser!n compatibles con los resultados de la muestra

&ivel de confianza 3Dαααα: pro!a!ilidad asociada a la

estimación por intervalo

IC de 3Dαααα;7 para θθθθ : LI L+; tal (ue: "rHLIθθθθL+J63Dαααα



9:&M)#&62 P4; &2:;V)'4

n la estimación por intervalo subyace un argumento del

siguiente tipo /%!cil de recordar0+stimamos $ue la media poblacional es O /media muestral01

9eguramente no sea (sta e3actamente pero malo ser! $uesea mayor $ue ) /límite superior del intervalo decon%ianza0 o menor $ue 5 /límite in%erior del intervalo decon%ianza0

,#ómo de malo- Viene dado por el nivel de con%ianza $uese eli*a



9:&M)#&62 P4; &2:;V)'4

9:;8#:8;) G2;)'

)provechamos el teorema central del límite y laspropiedades de la curva normal

'a estructura general del intervalo de con%ianza delpar!metro θ es+



&# P);) ') MA&)• Estimación puntual: media muestral• -istri!ución de la media muestral: K∼∼∼∼ &µµµµσσσσ0n;

n

X

σ

µ −&43;

NORMAL

2α

2α α

σ µ

α α −=

≤−

≤− 1Pr22

z

n

X z



n

X

σ

µ −&43;• σσσσ C#&#CI-A:

• σσσσ -E+C#&#CI-A: n

s

X µ − tnD3

n z X σ α

2

± n

z X σ α

2

±IC3Dαααα;7 ;

n s t X

n2

,1 α −±

n s t X

n2

,1 α −±IC3Dαααα;7 ;

IC "A,A LA )E-IA



IC "A,A LA ",#"#,CI%&

n

p

σ

π −&43;• σσσσ C#&#CI-A:

• σσσσ -E+C#&#CI-A s6√√√√ p 3D p ;: n

p p

p

)1( −

−π

tnD3

n z p σ α

2

± n

z p σ α

2

±IC3Dαααα;7 ;

n

p p t p n

)1(

2,1

−±

− α n

p p t p n

)1(

2,1

−±

− α IC3Dαααα;7 ;



I&TE,",ETACI%& -EL &IEL -E C#&@IA&A

Aproimadamente el

MN7 de losintervalos calculadosde esta formaincluirán el

verdadero valor dela media po!lacionalµµµµ / cerca del N7no la incluirán

• Para n %i*o. al aumentar el nivel de con%ianza. aumenta laamplitud del intervalo



Vamos a considerar una ar$uera $ue dispara a una diana19upongamos $ue da en un radio de ?B cm desde el centrode la diana un >LR de las veces $ue dispara1 s decir.sólo una %lecha de cada HB se ale*a m!s



Aetr!s de la diana hay un detective $ue no ve el blanco1'a ar$uera sólo dispara una diana %lecha1



#onociendo el nivel de aciertos de la ar$uera. el detectiveAibu*a una circun%erencia de ?B cm de radio alrededor de'a %lecha1 )hora tiene un >LR de con%ianza de $ue su

círculo contiene el centro de la diana



;azonó $ue si se dibu*asen circun%erencias de ?B cm de radio)lrededor de muchas %lechas. los círculos correspondientes&ncluirían el centro de la diana el >LR de las veces



9imulaciones paramuestras de tamaño?BBB. proporción en la

población C B.L1 n laparte superior.distribución muestral delas estimaciones1n la parte in%erior.intervalos de con%ianzadel >LR de HB de estasmuestras1



u )edia: µµµµu -esviación típica: σσσσ

"#$LACI%&)*E+T,A: 3 0 O n

"A,?)ET,#+ u E+TI)ACI%&u "*&T*ALu

"#, I&TE,AL#+u C#&T,A+TE -E PI"%TE+I+

-escripción

Inferencia

La estadística inferencial aporta las técnicas

necesarias para etraer conclusiones de unapo!lación a partir de una muestra



9:&M)#&62 P82:8)'

u -I+T,I$*CI%& )*E+T,AL -E *& E+TI)A-#,:

-istri!ución de frecuencias de los valores o!tenidos al aplicarel estimador a todas las muestras posi!les de tamaBo netraídas de la po!lación

u E,,#, E+TA&-A, EE;:-esviación estándar de la distri!ución muestral del estimador

El EE mide la QcalidadR del estimador



'a tabla presenta la distribución de la hemoglobina en sangrede un grupo de pacientes con leucemia mielomonocíticacrónica:

Paciente Valor fa

1 3,1 1

2 6,6 1

3 7,4 1

4 7,7 1

5 8,9 16 9,5 3

7 9,6 1

8 10 1

9 10,9 2

10 11,3 111 11,7 4

12 12,1 1

13 12,5 1

14 13,4 1

Calcular un I.C. del MN7para la mediade la 2emoglo!ina ensangre

ESE)"L#



+e ignora la proporción de familiasnumerosas / con el fin de determinarla setoma una muestra de F44 familias siendo la

proporción o!servada 4.3F. #!tener unintervalo de confianza MM7; para este valoro!servado.

ESE)"L#



n

p p t p n

)1(

2,1

−

± − α n

p p t p n

)1(

2,1

−

± − α

IC3Dαααα;7 ;

"643F

n6F44αααα6443

zαααα0 6 z444N60NF

I.C MN7;643F±±±±

0NF 43F4F0F44;4N

;643GN U 403N;

n grande

ESE)"L#

n

p p z p

0?/

H

−

± α n

p p z p

0?/

H

−

± α



#onsideremos una muestra de tamaño ?B del peso de unapoblación de reci(n nacidosS>I ??I ?=B I >> ?= ?B ?EL

?H@ ?H?#onstruir el &# para el peso medio+? 9uponiendo conocida la varianza poblacional /=BB0

H Aesconociendo el valor de la varianza poblacional

ESE,CICI# 3



I.C MN7;6MMF ±±±± 035 04MV √√√√04;

IC3Dαααα;7 ;

n s t X n2

,1 α −± n s t X n2

,1 α −±

ESE)"L#

K6MMF

s60G3 n604

αααα644N

-AT#+

tnD3αααα06t3M 440N604MV

6FMW U 34MM;

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