VECTORES

Un vector es una herramienta geomtrica utilizada para representar una magnitud fsica definida por su mdulo (o longitud), su direccin (u orientacin) y su sentido (que distingue el origen del extremo).Los vectores se pueden representar geomtricamente como segmentos de recta dirigidos (flechas) en el plano o en el espacio.Son ejemplos de magnitudes vectoriales: la velocidad con que se desplaza un mvil, ya que no queda definida tan slo por su mdulo (lo que marca el velocmetro, en el caso de un automvil), sino que se requiere indicar la direccin hacia la que se dirige. La fuerza que acta sobre un objeto, ya que su efecto depende, adems de su intensidad o mdulo, de la direccin en la que opera. El desplazamiento de un objeto. Notacion:

BIDIMENSIONAL

TRIDIMENSIONAL

ELEMENTOS DE UN VECTOR:

La direccin del vector.- Es la direccin de la recta que contiene al vector o de cualquier recta paralela a ella.Sentido de un vector.- El sentido del vector es el que va desde el origen A al extremo B.Punto de aplicacin: Es el punto sobre el cual se supone acta el vector.Mdulo de un vector.- El mdulo del vector es la longitud del segmento AB, se representa por . El mdulo de un vector es un nmero siempre positivo o cero

Mdulo de un vector a partir de sus componentes

Mdulo a partir de las coordenadas de los puntos

CLASIFICACIONLIBRES.- El conjunto de todos los vectores equipolentes entre s se llama vector libre. Es decir los vectores libres tienen el mismo mdulo, direccin y sentido.

COPLANARES.- Cuando las rectas que lo contienen estn en un mismo plano.

PARALELOS.- Vectores paralelos: Dos vectores son paralelos si las rectas que las contienen son paralelas.

CONCURRENTES.- Los vectores concurrentes tienen el mismo origen.

UNITARIOS.- Los vectores unitarios tienen de mdulo, la unidad. Para obtener un vector unitario, de la misma direccin y sentido que el vectordado se divide ste por su mdulo.

EjemploSi es un vector de componentes (3, 4), hallar un vector unitario de su misma direccin y sentido.

OPERACIONES VECTORIALES

Suma y resta de vectoresLa suma de dos vectores libres es otro vector libre que se determina de la siguiente forma:Se sita el punto de aplicacin de uno de ellos sobre el extremo del otro; el vector suma es el vector que tiene su origen en el origen del primero y su extremo en el extremo del segundo.Por tanto, el vector suma de dos vectores coincide con una de las diagonales, la "saliente", del paralelogramo que puede formarse con los vectores que se suman; la otra diagonal representa la resta de dichos vectores.

Al vector que se obtiene al sumar o restar varios vectores se le denomina resultante.A. SUMA DE VECTORESLa suma de los vectores podemos realizarla de dos maneras diferentes, analtica y grficamente.METODO GRAFICO:a) Mtodo del paralelogramo.- Este mtodo permite solamente sumar vectores de a pares. Consiste en disponer grficamente los dos vectores de manera que los orgenes de ambos coincidan en un punto, trazando rectas paralelas a cada uno de los vectores, en el extremo del otro y de igual longitud, formando as un paralelogramo (ver grfico a la derecha). El resultado de la suma es la diagonal de dicho paralelogramo que parte del origen comn de ambos vectores.

b) Mtodo del polgono.- Consiste en disponer grficamente un vector a continuacin de otro; es decir, el origen de cada uno de los vectores se lleva sobre el extremo del otro. El vector resultante es aqul que nace en el origen del primer vector y termina en el extremo del ltimo.

METODO ANALITICO:1. Para calcular la resultante entre dos vectores F1 y F2 debemos encontrar uno de los tres lados de un tringulo oblicuo, cuyos lados conocidos son F1 y F2. .

2. Aplicamos la ley de los cosenos, tomando en cuenta que en el triangulo oblicuo el ngulo formado por los dos vectores es .

3. Para calcular el ngulo que forma la resultante con respecto a la horizontal, aplicamos la ley de los senos:

B. PRODUCTO DE VECTORES

A) Producto escalar.- El producto interior o producto escalar de dos vectores a y b en el espacio tridimensional se escribe a b y se define comoa b = |a| |b| cos cuando a 0, b 0

a b = 0cuando a = 0 o b = 0

Aqu g (0 g P ) es el ngulo entre a y b (calculado cuando los vectores tienen sus puntos iniciales coincidentes).

El valor del producto interior (escalar) es un escalar (un nmero real) y esto motiva el trmino producto escalar. El coseno del ngulo g puede ser positivo, cero o negativo, lo mismo se aplica al producto interior.

B) Producto vectorial.- Varias aplicaciones sugieren la introduccin de otro tipo de multiplicacin vectorial en la que el producto de dos vectores sea nuevamente un vector. Este producto vectorial de los dos vectores a y b se escribe.a x b

y es un vector definido como sigue.Si a y b tienen la misma direccin, son opuestos o uno de ellos es el vector cero, entonces su producto vectorial es cero (v=0). En cualquier otro caso, v es el vector cuya longitud es igual al rea del paralelogramo con a y b como lados adyacentes y cuya direccin es perpendicular tanto a a como a b y es tal que a, b, v, en ese orden, forman una terna derecha o triada derecha.

INTERPRETACIONES GRAFICAS rea de un tringulo

Ejemplo

Determinar el rea del tringulo cuyos vrtices son los puntos A(1, 1, 3), B(2, 1, 5) y C(3, 3, 1).

rea del paralelogramo

Geomtricamente, el mdulo del producto vectorial de dos vectores coincide con el rea del paralelogramo que tiene por lados a esos vectores.

EjemploDados los vectores y , hallar el rea del paralelogramo que tiene por lados los vectores y

VOLUMEN Volumen de un tetraedroEl volumen de un tetraedro es igual a 1/6 del producto mixto, en valor absoluto.

EjemploObtener el volumen del tetraedro cuyos vrtices son los puntos A(3, 2, 1), B(1, 2, 4), C(4, 0, 3) y D(1, 1, 7).

Volumen del paraleleppedoGeomtricamente, el valor absoluto del producto mixto representa el volumen del paraleleppedo cuyas aristas son tres vectores que concurren en un mismo vrtice.EjemploHallar el volumen del paraleleppedo formado por los vectores:

PROYECCION DE UN VECTOR SOBRE OTROProyectar un vector sobre otro es encontrar el vector que tiene la misma direccin que el vector que recibe la proyeccion, pero su longitud depende del vector que se proyecta:

Es como una sombra:

El vector A se esta proyectando sobre B y el resultado es el vector verde.

El vector proyeccion es resultado de multiplicar el vector B por un escalar, en el dibujo la proyeccion es mas pequea que el vector que recibe la proyeccion, pero puede darse el caso de que la proyeccion sea mas larga que el vector que la recibe, sin embargo, no deja de ser producto de un escalar por el vector, ya que tiene la misma direccion............................Proy AB= n B Y a qu es igual ese numero n? vamos a considerar el triangulo rectangulo que forman el vector proyeccion, el vector proyectado (A) y la linea punteada.El vector proyeccion (verde) es el cateto adyacente, el vector A es la hipotenusa y la linea punteada es el cateto opuesto del angulo (t) que forman A y la proyeccion. La magnitud del cateto adyacente es igual a la hipotenusa multiplicada por el coseno del angulo.

| Proy AB | = |A| cos t

Pero de la definicion de producto punto tenemos que

El producto punto de dos vectores A y B escrito como A.B es definido geomtricamente como el producto de sus magnitudes y el coseno del angulo entre ellos, el resultado es un escalar.A.B=|A||B| cos tO lo que es igual: A.B = |A| cos t|B|

Sustituyendo esto en la ecuacion que define la proyeccion nos queda:

| Proy AB | = A.B .......................|B|

EJERCICIOS DE APLICACIN

1. Si tienes los vectores AB y CD paralelos; las coordenadas de A= (-2; 2; 0) y C= (5; 0; 3);adems D= 2B; se pide hallar el Seno del ngulo que forman CB y AD.

Solucin: (Analia Escudero)

1. Por definicion de producto vectorial se sabe:

Si AB // CD AB . CD = 0( B A ) . ( D C ) = 0

1. Por propiedad distributiva:

( B A ) . D ( B A ) . C = 0C . ( B A ) = D . ( B A ) C . B C . A = D . B D . A

1. Por dato:

D = 2BC . B C . A = 2B . B 2B . A

C . B ( 6; 6; 10) = 0 2( 2z; 2z; 2x + 2y( 3y; -5z; -3x; 5y) + (4z; 4z; 4x + 4y) = ( 6; 6; 10 )

3y + 4z = 6-3x z = 64x + 9y =10B = (-2; 2; 0)D = (-4; -4; 0)

x = -2 ; y = 2 ; z = 0

Ahora: | CB . AD | = | CB || AD | Sen x

Sen x = CB . AD = 172 CB . AD 62 . 22

Sen x = 0,50 = 35,45Rpta: El Seno del ngulo es 0,58 ^ 35,45

2. En la figura se muestra 2 fuerzas actuando sobre un punto de un gancho. Hallar los angulos directores; coordenada de F2 tal que la resultante actu a lo largo del eje positivo y y tenga una magnitud de 500N. (Analia Escudero) z

F2 = ?120

x

60

45F1 = 400N

y

Solucin: Datos: | R | = 800N en el eje positivo y Ry = F1 + F2 (1) 1. Hallando F1 :Cos = F1x F1x = | F1 |. Cos F1x = 200|F1| .Cos = F1y F1y = | F1 |. Cos F1y = 282,84|F1| .Cos = F1z F1z = | F1 |. Cos F1z = -200|F1| .F1 = (200; 282,84; -200)

1. Hallando R en forma vectorial : R = 800j

2. Ahora reemplazamos en (1) : 800j = 200i + 282,84j 200k + F2 F2 = -200i + 517,16j + 200k = (-200; 517,16; 200)|F2| = (-200)2 + (517,16)2 + (200)2 = 589,45

3. Hallando los ngulos directores :Cos = F2x = -200 = -0,33929 |F2| 589,45 = arccos (-0,33929) = 109,834Cos = F2y = 517,16 = 0,8774 |F2| 589,45 = arccos (0,8774) = 28,67Cos = F2z = 200 = 0,33929 |F2| 589,45 = arccos (0,33929) = 70,17

3. Referente a la figura escribir la expresin vectorial para A y B (Karen Tenorio)

4. La torre est sostenida por tres cables, si las fuerzas en cada cable son las mostradas. determino la magnitud y los ngulos coordenado de direccin de la fuerza resultante, considere x=20 m e y=15 m. (Karen Tenorio)

RESOLUCIN:1. ---------- ecuacin principal1. Hallando : 1. Hallando : 1. Hallando : 1. Hallando los ngulos directores de la resultante: . .... .

5. De los vectores A Y B. Si se conoce: A = 2i + 3j ; A B = -23K ; A.B =-2. Calcular la expresin vectorial de B. (Milagros Quispe)

ResolucinI) SEAN LAS EXPRESIONESA = 2i + 3jB = Xi + YjDE LOS DATOS:A . B = -2( 2i + 3j ) . ( Xi + Yj ) = -22X +3Y = -2. (1)

A B = -23 K( 2i + 3j ) ( Xi + Yj ) = -23K2YK +3XK = -23K( 2Y - 3X ) K = -23 K( 2Y - 3X ) = -233X 2Y = 23. (2)

RESOLVIENDO (1) Y (2)

2X +3Y = -2 (2) 4X + 6Y = -43X 2Y = 23. (3) 9X 6Y = 69 13X =65 X = 5

HALLANDO Y EN (1)2(5) + 3Y = -23Y = -12Y = -4

RESPUESTA:

B = 5i - 4j

6. El vector A = i + 2j -3k , multiplicado por B da P = -7i + j 3k; el producto escalar A.B da resultado 19. Hallar el vector B. (Milagros Quispe)

ResolucinSEA:A = i + 2j 3KB = Xi + Yj + ZkA . B = 19( i + 2j 3k ) . ( Xi + Yj + Zk ) =19X + 2Y 3Z = 19 ..(1)A X B = - 7i + j 3ki j k1 2 -3 = ( 2Z + 3Y )i - (Z + 3X) j + ( Y 2X)k X Y Z

( 2Z + 3Y )i ( Z + 3X ) j + ( Y 2X ) k = -7i + j 3k 2Z + 3Y = -7 Z + 3X = 1 Y 2X = -3 Z = -3x 1 Y = 2X 3

REEMPLAZANDO: Y , Z EN (1)X + 2(2X 3) 3(-3X 1) = 19X + 4X 6 + 9X + 3 = 1914X = 22X = 11/7

Y = 2 (11/7) 3 = 22/7 3 = 1/7Z = -3(11/7) 1 = -33/7 1 = -40/7

RESPUESTA:B = 11/7 i + 1/7 j 40/7 k

7. Sabiendo que el modulo del vector AC es de 3500. Calcular vectorialmente los mdulos de los vectores AB y AD para que la resultante sea vertical.(Virginia Canales)

Resolucin Sean los vectores:A = xi + yj + zkB = ni + mj + wkI) A + B = 5i + j + 3k (x + n)i + (y + m)j + (z + w)k = 5i + j + 3k x + n = 5 y + m = 1 z + w = 3 n = 5 - xy= 1 m z = 3 - w

II) A x B = 10i - j + 17k

i j k x y z = (y.w z.m)i - (x.w z.n)j + (x.m y.n)k = -10i - j + 17k

n m wy.w z.m = -10 x.w z.n = -1 x.m - y.n = 17

III) A . B = - 4

(xi + yj + zk)( ni + mj + wk ) = - 4 x.n + y.m + z.w = - 4 (1)

En la ecuacin: En la ecuacin: En la ecuacin:y.w z.m = -10z + w = 3y + m = 1(1-m)w (3 w)m = -10z + (3m 10) = 3y = 1 - m

w-mw-3m+mw = -10 z = 13 3m

w = 3m - 10

En la ecuacin:En la ecuacin: x.w z.n = 1x + n = 5 x.(3m 10) (13 3m)(5 x) = 1n = 5 - x 3mx 10x (65 13x 15m + 3mx) = 1n = 5- (22 5m) 3mx 10x 65 + 13x +15m 3mx = 1n = 5m - 17

3x + 15m = 66 x + 5m = 22

x = 22 5m

Reemplazando en (1) : x.n + y.m + z.w = - 4 (22 5m)(5m 17) + (1 m)m + (13 3m)(3m 10) = - 4 110m 374 25m + 85m + m - m + 39m -130 9m + 30m = - 4 -35m + 265m 500 = 0 7m - 53m + 100 = 0 7m -25 m-4m = 25/7 m = 4Hallando x , y , z , n y w: X = 22 5(4) x = 2 y = 1 4 y = -3 z = 13 3(4) z = 1 n = 5(4) 17 n = 3 w = 3(4) 10 w = 2Entonces dichos vectores seran:A = 2 i - 3 j + kB = 3 i + 4 j + 2 k

8. Sabiendo que el modulo del vector AC es de 3500. Calcular vectorialmente los mdulos de los vectores AB y AD para que la resultante sea vertical. (Virginia Canales)

YA24m

D 8m C 12m o18m6mX Z 8m B

ResolucinDatos:A = (0, 24, 0)B = (8, 0, 6)C = (8, 0, -12)D = (-18, 0, 0)

AC = 3500F = AB + AC + ADI) Hallamos los componentes de cada vector:AB = AB x (UAB ) AB = AB 8i-24j-6k 26

AB = AB(4/13i -12/13j +3/13k)

AC = 3 5008i-24j-12k 28

AC = 1000i 3000j -1500k

AD = AD -18i-24j+0k 30

AD = AD(-3/5i-4/5j)

II) FR E al eje y Fx = 0 y Fz = 0

Eje x : 4/13AB + 1000 3/5AD = 0Eje z: 3/13AB 1500 + 0 = 0 (4/13)6500 + 1000 = 3/5AD3/13AB = 1500 2 000 + 1000 = 3/5AD AB = 6500 3 000x5 = AD 3AD = 5 000

Respuesta:AB = 6500 AD = 5000

9. El vector a es perpendicular al eje Y y al vector b= (-3; 8; 4), y forma un ngulo obtuso con el eje Z. Hallar los componentes del vector a sabiendo que su modulo es 15u. (Pablo Arteaga)

a1ZB (-3; 8; 4) j: VECTOR UNITARIO DEL EJE Y = 15 -Y j (0; 1; 0)

X SOLUCION: a2 a= (K.j) x b a=K.n ; n=j x b a=K. (4; 0; 3) n= (0; 1; 0) x (-3; 8; 4) =. n=i - j + k 15=. 5 n= (4.1-8.0)i (0-0)j + (8.0+ 3)k =3 n=4i+3k n= (4; 0; 3) K1=+3 K2=-3 Pero como el vector forma un ngulo obtuso: 90