MECÂNICA 1 1ª Época 99.06.29 NOTAS: Duração : 2:30 horas RESPONDA A CADA PROBLEMA NUMA FOLHA SEPARADA. APRESENTE OS DIAGRAMAS DE CORPO LIVRE 1º PROBLEMA Na figura está representada uma porta que se encontra suspensa nas suas dobradiças A e B e num cabo CE que a mantém na posição em que se representa. Note que a dobradiça B não absorve esforços axiais. A porta é homogénea e tem uma massa de 50 kg. Sendo o peso próprio da porta o único carregamento, determine: i) No ponto A, o torsor das forças aplicadas

(2.0 val). ii) As reacções de apoio (4.0 val).

2ºPROBLEMA Os blocos A e B representados na figura são de materiais diferentes e têm massas de, respectivamente, 5 kg e 10 kg. O coeficiente de atrito entre as superfícies em contacto é de 0,15. Determine o valor da força P na situação de movimento iminente (6.0 val).

3º PROBLEMA O sólido homogéneo representado na figura e constituido pela associação de um cilindro com um tronco de cone. Para este sólido determine: i) A posição do centroide (3.0 val). ii) As direcções principais de inércia nos pontos A e B (recorrendo apenas a considerações de simetria).

Justifique convenientemente a sua resposta (2.0 val). iii) A matriz de inércia no centro de massa (3.0 val).

B

A

B

19,05 mm

25,4 mm

45º

31,75 mm

A

B

40 mm

440 mm

x

x

z

z

h a

( )

Coneha

mIImaI

CilindroLamIImaI

zyx

zyx

+===

+===

22

2

222

453

,103

3121

,21

MECÂNICA 1 2ª Chamada 99.07.13 NOTAS: Duração : 2:30 horas RESPONDA A CADA PROBLEMA NUMA FOLHA SEPARADA. SÓ NOS 15 minutos INICIAS PODE TIRAR DÚVIDAS SOBRE A INTERPRETAÇÃO DO TESTE 1º PROBLEMA O barril representado na figura tem uma massa de 100 kg e é içado por um par de tenazes como se mostra. Sabendo que a distância a é igual a 200 mm, determine: i) O diagrama de corpo livre de cada um dos

corpos, identificando claramente as forças de ligação. ( 3.0 val.)

ii) As forças em C e D. (2.0 val.) iii) Represente o torsor das forças aplicadas no

ponto B. (1.0 val.)

2ºPROBLEMA Os veios B e C estão ligados através de uma correia plana como se representa na figura. O coeficiente de atrito entre a correia e a polia B é de 0,4 enquanto para a polia C é de 0,3. i) Sabendo que o veio C roda livremente

calcule o valor mínimo da força F por forma a que não exista escorregamento em B. (3.0 val.)

ii) Resolva a alínea anterior admitindo que o veio C está bloqueado. (3.0 val.)

Note que para as polias

mm

C

B

15,02,0

==

φφ

3º PROBLEMA Para a área representada na figura calcule. i) A posição do centróide. (3.0 val.) ii) A matriz de inércia no ponto A. (3.0 val.) iii) A matriz principal de inércia e

respectivas direcções principais de inércia no ponto A. (2.0 val.)

Circulo de raio r : 4

4rII yx

π==

Rectangulo de altura h e largura b : 12

3bhI

x=

yx

xy

xyyxyx

II

Ptg

ePIIII

I

−−=

+

−±

+=

22

222

2

2,1

θ

Para o semi-círculo

π3

4ry =

F

βµeeTT

=1

2

1 N . m

A x

y

B

C

r y

MECÂNICA 1 Época de Recurso 2000/07/25 NOTAS: Duração: 2:30 horas • RESPONDA A CADA PROBLEMA NUMA FOLHA SEPARADA. • APRESENTE OS DIAGRAMAS DE CORPO LIVRE. 1º PROBLEMA Na figura está representada uma estrutura articulada ligada ao solo por duas articulações planas. i) Calcule as reacções nos apoios. (2.0 val) ii) Calcule o esforço na barra CD, referindo

se esta se encontra à tracção ou à compressão. (3.0 val)

iii) Discuta a estabilidade da estrutura justificando convenientemente a sua resposta. (1.0 val)

2º PROBLEMA A tampa ABCD de uma arca tem dimensões 0.61×1.00 m e possui duas dobradiças em A e B (esta última não absorve esforços axiais). A corda CEF passa sem atrito por um gancho localizado em E e está amarrada em F, suspendendo a tampa em C e mantendo-a aberta. Sabendo que a massa da tampa homogénea é 2 Kg, determine o valor da força aplicada ao gancho E. (7.0 val) 3º PROBLEMA A área sombreada representada na figura é um semicírculo ao qual foi retirado um quarto de círculo. Para essa área, determine: i) A posição do centroide. (2.0 val) ii) Os momentos de inércia Ixx, Iyy e Izz .

(2.0 val) iii) O produto de inércia Pxy . (2.0 val) iv) Indique as direcções principais de inércia

conhecidas no ponto O, recorrendo apenas a considerações de simetria. Justifique convenientemente a sua resposta. (1.0 val)

R 60mm R 30mm

O x

y

DEMEGI DISCIPLINA DE MECÂNICA I 1ª CHAMADA – 2001/06/20 Duração : 2 30 h

RESOLVA OS EXERCICIOS EM FOLHAS SEPARADAS NÃO SE ESQUEÇA DE APRESENTAR OS DIAGRAMAS DE CORPO LIVRE PROBLEMA 1 A pá escavadora representada na figura é controlada por três cilindros hidráulicos. Na configuração representada realiza uma força horizontal de 20 kN. Desprezando os pesos dos vários componentes que integram a pá, i) calcule as reacções de apoio nas ligações A e D;

(2 val.) ii) obtenha a força de ligação no pino E; (3 val.) iii) defina e esboce, justificando convenientemente, a

distribuição espacial do campo de momentos gerado pelo sistema de forças referido em i). (2 val.)

PROBLEMA 2 O mecanismo representado na figura é utilizado para elevar pequenas cargas. A elevação é conseguida por rotação de um parafuso de rosca quadrada roscado no colar B. A ligação em A é realizada por um rolamento que permite rotação sem atrito. O diâmetro médio do parafuso é de 10 mm, tem um passo de 2 mm e um coeficiente de atrito entre o parafuso e o colar µ=0,2. Determine a força F que é necessário aplicar em D para: i) elevar uma massa de 500 kg (cujo centro de gravidade se

encontra na vertical que passa pelo espigão E); (3 val.) ii) descer essa massa a partir da posição representada.

Explique a diferença entre os valores obtidos nesta alínea e na anterior. (2 val.)

( )θ±φ⋅⋅= tgrWM

PROBLEMA 3 A área representada na figura foi obtida por associação de dois semi-círculos iguais de raio a. Para esta figura determine: i) a posição do centróide de cada um dos semi-círculos;

(2 val.) Nota: Volume da esfera Vesf=4πR3/3

ii) a matriz de inércia no referencial representado; (2 val.) iii) o momento de inércia em relação ao eixo ∆. (3 val.) iv) Diga se alguma das direcções x, y, ∆ é direcção principal de

inércia justificando a sua resposta. (1 val.)

24

RA;4R

I π=π

=Ω

x

y

∆

45º

a

αβ−αγ−βγ−γ+β+α=∆ xyxzyz2

zz2

yy2

xx P2P2P2IIII

E

Ω R

=BD 2.2 m

1 m

MECÂNICA I 1ª CHAMADA – 2002/06/19 DEMEGI Duração 2:15 h

ATENÇÃO: 1. RESOLVA OS EXERCICIOS EM FOLHAS SEPARADAS 2. É OBRIGATÓRIA A APRESENTAÇÃO DOS DIAGRAMAS DE CORPO LIVRE 3. PODE RESOLVER O TESTE A LÁPIS

1- Duas barras uniformes e homogéneas de peso P e comprimento L são mantidas na posição mostrada na figura por um binário M0 aplicado na barra CD.

a) Sabendo que o coeficiente de atrito estático entre as barras é de 0.40, determine o menor valor de M0 que permite elevar a barra AB.

b) Obtenha em C o Torsor equivalente aos pesos das duas barras.

c) Determine o vector único (componentes e localização) que seja equivalente ao Torsor obtido na alínea anterior.

2- A barra em “L” OAB suporta um cilindro de massa 400 Kg e encontra-se ligada a uma parede (plano xy) através de uma articulação em O e três cabos (AC, BD e BE). Determine as reacções em O e as tensões nos cabos. Classifique todas as forças exteriores.

3- A figura representa uma placa de aço de espessura uniforme e desprezável face às outras dimensões. Determine:

a) A localização do centro de massa.

b) Os momentos de inércia relativamente aos três eixos coordenados.

c) O produto de inércia Pxz.

d) O raio de giração relativamente à origem do referencial.

b

h G

X

XG

b

h G

X

XG

y

3

12x

bhI =

3

12xG

bhI =

3

36xG

bhI =

3

3x

bhI =

3h

y =

MECÂNICA I 2ª CHAMADA – 2002/07/05 Duração 2:15 h

DEMEGI

ATENÇÃO: VER AVISOS NO VERSO

1- Uma cunha de 15º é forçada sob um tubo de 50Kg de massa e 20cm de raio, como se representa na figura. O coeficiente de atrito estático entre as diferentes superfícies em contacto é de 0,20. Determine a força Q necessária para que na elevação do tubo ocorra escorregamento entre todas as superfícies em contacto.

2- Um homem de massa igual a 100Kg está sentado num banco de jardim. Suponha que as únicas forças exteriores reactivas aplicadas ao homem são as forças de contacto entre o homem e o banco, N1 e N2, definidas respectivamente nos pontos B e A. O banco está ligado ao solo por um sistema articulado, sendo a barra CF uma barra de forma circular. Determine:

a) As forças de contacto N1 e N2 .

b) As forças de ligação ao exterior. Se não conseguiu calcular N1 e N2 suponha que são respectivamente 25% e 75% do peso do homem.

c) As forças de ligação do banco ao sistema articulado nos pontos E e F.

3- O corpo representado na figura é constituído por 2 chapas de forma triangular e uma outra com a forma de 3/4 de círculo. Desprezando a espessura das chapas, determine:

a) O centroide do corpo relativamente à origem do sistema de eixos representado.

b) O momento de inércia relativamente ao eixo dos yy.

c) O produto de inércia relativamente ao par de eixos xy.

b

h G

X

XG

y

R y x

G

y

π34R

y = 8

4RI x

π=

2

2RA

π=

3h

y =

3

12x

bhI =

3

36xG

bhI =

MECÂNICA I RECURSO – 2002/07/19 Duração 2:15 h

DEMEGI

ATENÇÃO:

1- Considere o sistema de suporte de cargas representado na figura, constituído por uma estrutura articulada e um cabo ancorado na parede no ponto H. O coeficiente de atrito entre a roldana fixa D, de 25cm de raio, e o cabo que suspende a carga de 500kg é de 0,30. Considerando a contribuição das forças de atrito entre o cabo e a roldana determine:

a) As forças de ligação ao exterior do sistema nos pontos A, G e H.

b) A força a que está sujeita a barra CF, indicando se esta se encontra em tracção ou compressão.

2- A porta quadrada (coincidente com o plano YOZ)

representada na figura está ligada ao exterior pelas dobradiças A e B e pelo cabo CD. A dobradiça B não restringe o movimento segundo a direcção Z1. Tendo em conta que o cabo CD é paralelo ao plano XOY, que o ponto D pertence ao plano XOZ e que a porta pesa 1000N:

a) Obtenha as forças de ligação ao exterior.

b) Defina o conceito de Resultante. Diga se o sistema de forças da alínea anterior admite resultante. Justifique.

c) Determine a recta suporte da Resultante. Esboce a distribuição do campo de momentos do sistema de forças das alíneas anteriores.

3- Considere a superfície plana representada a sombreado na

figura. Para o sistema de eixos XYZ representado, determine:

a) A posição do centroide da superfície.

b) O momento de inércia Iyy.

c) O produto de inércia Pxy.

d) O raio de giração relativamente ao plano XOZ.

H

10 cm10 cm

20 cm

15 cm10 5

X

Y

O

b

h G

X

XG 3

12xG

bhI =

3

3x

bhI =

b

h G

X

XG

y

3

12xbh

I =3

36xGbh

I =3h

y =

2

1

Te

Tµβ=

1. RESOLVA OS EXERCICIOS EM FOLHAS SEPARADAS 2. TODAS AS FOLHAS DE PROVA DEVEM SER ENTREGUES, MESMO QUE EM BRANCO 3. ESCREVA O NOME COMPLETO E LEGÍVEL EM TODAS AS FOLHAS E NUMERE DEVIDAMENTE AS ALÍNEAS 4. É OBRIGATÓRIA A APRESENTAÇÃO DOS DIAGRAMAS DE CORPO LIVRE 5. PODE RESOLVER A PROVA A LÁPIS

MECÂNICA I 2002/2003 EXAME NORMAL – 2003/06/23

Duração 2:15 h

DEMEGI

1. Na estrutura da figura, o apoio A não absorve esforços axiais nem restringe qualquer rotação e o apoio D é uma rótula esférica. Para esta estrutura calcule:

a) Os elementos de redução do peso no ponto A; (1 val.)

b) O momento axial do peso ao longo do eixo que passa pelos pontos A e D; (2 val.)

c) O esforço absorvido pelo cabo BC; (2 val.)

d) As reacções nos apoios A e D. (2 val.)

2. A estrutura mostrada na figura, constituída por 4 barras articuladas entre si, está ligada ao exterior por duas articulações planas A e F. As solicitações aplicadas à estrutura são o binário M e a força T. Determine:

a) As forças de ligação no ponto E; (4 val.)

b) O torsor no ponto C, das forças de ligação ao exterior nos apoios A e F; (1.5 val.)

c) Verifique se o sistema de cargas aplicadas, M e T, é ou não particularmente redutível. Calcule, se for caso disso, os elementos de redução particulares. (1.5 val.)

3. Considere a área sombreada representada na figura.

a) Localize o centroide da figura (ponto G); (2 val.)

b) Calcule o volume do sólido gerado por revolução desta área em torno do eixo x; (1 val.)

c) Calcule o raio de giração relativamente ao ponto O; (2 val.)

d) Escreva a matriz de inércia (3×3) no ponto O referida ao sistema de eixos xyz. Como classifica esta matriz? Justifique a resposta. (1 val.)

• RESOLVA OS PROBLEMAS EM FOLHAS SEPARADAS • ESCREVA O NOME COMPLETO E LEGÍVEL EM TODAS AS FOLHAS DE PROVA • É OBRIGATÓRIA A APRESENTAÇÃO DOS DIAGRAMAS DE CORPO LIVRE • ASSINALE ADEQUADAMENTE O INÍCIO DE CADA ALÍNEA

B

b

C

T

A

M

T = 500 N

M = 2 kN m

D

a

b = 2 a

a = 0.5 m

a

E

a

F

b

h G

X

XG

b

h G

X

XG

y

3

12x

bhI =

3

12xG

bhI =

3

36xG

bhI =

3

3x

bhI =

3h

y =

MECÂNICA I 2002/2003 EXAME DE RECURSO – 2003/07/18

Duração 2:15 h

DEMEGI

1. Uma tabuleta rectangular tem 100 kg de massa e o centro de gravidade localizado no seu centro geométrico. O apoio de ligação à parede em A é uma rótula esférica. No canto O, a tabuleta recebe apoio da parede somente na direcção y. CE e BD são cabos fixos à parede. Determine:

a) as forças de ligação da tabuleta ao exterior; (4 val.)

b) o torsor em O do sistema formado pelas duas tensões nos cabos; (1.5 val.)

c) a distribuição de momentos gerada pelo sistema de vectores da alínea anterior. Justifique a resposta e localize os pontos para os quais o momento é constante e paralelo ao vector principal. (1.5 val.)

2. Uma viga encontra-se apoiada em A e F como indicado na figura. Um cabo ligado à viga em B, passando por duas roldanas sem atrito em D e C, suspende uma massa de 60 kg. Calcule:

a) as reacções nos apoios; (3.5 val.)

b) as forças de ligação internas a meio da viga; (1.5 val.)

c) as tensões no cabo para a situação em que as roldanas D e C estão fixas, considerando um coeficiente de atrito entre o cabo e as roldanas de 0.2. (2 val.)

3. A área representada na figura foi obtida por associação de um triângulo e um semicírculo. Para esta figura determine:

a) a posição do centroide; (2.5 val.)

b) a matriz de inércia (3×3) na origem do referencial representado. (3.5 val.)

µβ= eTT

1

2

x

y

a

a

• RESOLVA OS PROBLEMAS EM FOLHAS SEPARADAS E ENTREGUE TODAS AS FOLHAS DE PROVA • ESCREVA O NOME COMPLETO E LEGÍVEL EM TODAS AS FOLHAS DE PROVA • É OBRIGATÓRIA A APRESENTAÇÃO DOS DIAGRAMAS DE CORPO LIVRE • ASSINALE ADEQUADAMENTE O INÍCIO DE CADA ALÍNEA

b

h G

X

XG

y3

12xbh

I =3

36xGbh

I =3h

y =

a= 0.5 m b= 1 m

π34 R

y = 8

4RI xx

π=

2

2RA

π=

R

y x G

y