Лекция 1. Ocновные понятия 13 декабря 2017 г.

1. Определения и примеры.

Определение 1.1. Кольцом (в нашем курсе) называется множество (R,+, ·) с двумя бинарными операциями, удо-влетворяющими следующим аксиомам:1) (R,+) — абелева группа с нейтральным элементом 0 (аддитивная группа кольца);2) (R, ·) — моноид, т.е. полугруппа (операция · ассоциативна) с единицей, которую мы будем обозначать цифрой 1либо иногда символом e — мультипликативная полугруппа кольца;3) выполнены тождества дистрибутивности:

∀a, b, c ∈ R, a(b+ c) = ab+ ac, (a+ b)c = ac+ bc.

Примеры колец: Z,Q,R,C, ...

Определение 1.2. Пусть R,S — кольца. Отображение f : R→ S называется гомоморфизмом кольца R в кольцо S,если оно сохраняет операции:

∀a, b ∈ R, f(a+ b) = f(a) + f(b), f(ab) = f(a)f(b).

Гомоморфизм назовем унитарным, если он отображает единицу кольца R в единицу кольца S. Гомоморфизм назы-вается изоморфизмом, если он является биективным отбражением. Кольца, между которыми имеется изоморфизм,называются изоморфными (обозначение R ∼= N). С каждым гомоморфизмом колец f : R → S связаны его образIm(f) = f(R) и ядро ker(f) = x ∈ R : f(x) = 0.

Конструкции колец: если R — кольцо, то1) Кольцо R[x] многочленов от одной переменной над R.2) Кольцо формальных степенных рядов R[[x]] от одной переменной.3) Кольцо Mn(R) квадратных матриц размера n× n с элементами из R.4) Подкольцо произвольного кольца R, т.е. подмножество, содержащее 0, 1 и замкнутое относительно операций сло-жения, взятия противоположного элемента и умножения.5) Образ f(R) кольца R при гомоморфизме колец f : R→ S.6) Прямое произведение

∏α∈ARα произвольного непустого семейства колец Rαα∈A (множество строк (rα), где

∀α ∈ A, rα ∈ Rα, с покомпонентными сложением и умножением.Этот список будет продолжен ниже.

Определение 1.3. Правым модулем над кольцом R, или правым R-модулем, называется абелева группа (M,+) сопределёнными на ней операциями умножения справа на элементы кольца R, которые удовлетворяют тождествам

∀a, b ∈M, r, s ∈ R, a(rs) = (ar)s, (a+ b)r = ar + br, a(r + s) = ar + as, a · 1 = a.

Определение 1.4. Отображение f : M → N правых модулей над кольцом R называется гомоморфизмом, если

∀a, b ∈M, r ∈ R, f(a+ b) = f(a) + f(b), f(ar) = f(a)r.

Гомоморфизм модулей называется изоморфизмом, если он является биективным отбражением. Модули, между ко-торыми имеется изоморфизм, называются изоморфными (обозначение M ∼= N). С каждым гомоморфизмом модулейf : M → N связаны его образ Im(f) = f(M) и ядро ker(f) = x ∈M : f(x) = 0.

Примеры и конструкции модулей:

1) Абелева группа = модуль над кольцом Z.

2) Векторное пространство над полем F = F -модуль.

3) Кольцо R является правым R модулем (обозначается RR).

4) Подмодуль произвольного модуля M (т.е. его подмножество, содержащее 0 и замкнутое относительно операцийсложения, взятия противоположного элемента и умножения на элементы кольца) и образ f(M) при произвольномгомоморфизме f : M → N .

5) Прямое произведение∏α∈AMα произвольного непустого семейства R-модулей Mαα∈A (множество строк (mα),

где ∀α ∈ A,mα ∈Mα, с покомпонентными сложением и умножением на элементы кольца R.

6) Прямая сумма⊕

α∈AMα произвольного непустого семейства R-модулей Mαα∈A (множество строк (mα), где∀α ∈ A,mα ∈ Mα и mα = 0 для всех α ∈ A, кроме, может быть, конечного множества, с покомпонентнымисложением и умножением на элементы кольца R.

2. Подмодули, идеалы, фактормодули и факторкольца. Пусть M — правый R-модуль. На множестве L(M)всех его подмодулей определены две основные операции: пересечение и сумма произвольного семейства подмодулей(сумма

∑α∈ANα семейства подмодулей Nαα∈A модуля M определяется как множество всевозможных конечных

сумм вида xα1 + . . .+ xαn , где xαi ∈ Nαi и αi ∈ A при всех i = 1, . . . , n).1

Теорема 1.5. Множество L(M) является модулярной решёткой, т.е. если A,B,C ∈ L(M) и A ⊆ B, то B∩(A+C) =A+ (B ∩ C).

Определение 1.6. Подмножество I кольца R называется правым (левым) идеалом этого кольца, если I — подмодульправого модуля RR (левого модуля RR). Подмножество кольца R, которое является и правым и левым идеалом кольцаR, называется идеалом (иногда уточняется: двусторонним идеалом) кольца R, что обозначается так: I R.

Предложение 1.7. Пусть Nαα∈A — семейство подмодулей модуля M . Тогда следующие условия эквивалентны:1) Если xα1

+ . . .+ xαn = 0, где xαi ∈ Nαi , i = 1, . . . , n и α1, . . . , αn попарно различны, то xα1= . . . = xαn = 0.

2) Для любого α ∈ A, Nα ∩ (∑β∈A\αNβ) = 0.

Определение 1.8. Если для семейства подмодулей Nαα∈A модуля M выполнены условия предложения 1.7, тоговорят, что это семейство образует прямую сумму подмодулей. В этом случае сумма данного семейства обозначаетсятак:

⊕α∈ANα. Подмодуль N модуля M называется прямым слагаемым, если существует подмодуль K модуля M ,

такой, что M = N ⊕K.

Предложение 1.9. Следующие условия эквивалентны:1) N — прямое слагаемое модуля M .2) Существует гомоморфизм π : M →M , такой, что π2 = π и π(M) = N .

Определение 1.10. Пусть N — подмодуль правого R-модуля M . Рассмотрим множество всех смежных классовx+N : x ∈M аддитивной группы модуля M по подгруппе N и зададим на этом множестве операции (x+N) + (y+N) = (x + y) + N , (x + N)r = xr + N для любых x, y ∈ M и r ∈ R. Множество смежных классов, снабжённое этимиоперациями, оказывается правым R-модулем. Этот модуль называется фактор-модулем модуля M по подмодулю N иобозначается M/N . Отображение π : M → M/N , заданное равенством π(x) = x + N для любого x ∈ M , называетсяканоническим гомоморфизмом модуля на на фактор-модуль.

Теорема 1.11 (О гомоморфизме модулей). Пусть f : M → N — гомоморфизм модулей, K = ker(f) и π : M →M/K— канонический гомоморфизм. Тогда:1) Существует единственный гомоморфизм f : M/K → N , для которого πf = f (см. диаграмму).2) M/K ∼= Im(f) (первая теорема об изоморфизме).3) Существует взаимно-однозначное соответствие, сохраняющее включения, между множеством всех подмодулейв Im(f) и множеством подмодулей в M , содержащих K.

Mf //

π

N

M/Kf

<<

Следствие 1.12 (Вторая теорема об изоморфизме). Пусть N,K — подмодули модуля M . Тогда (N + K)/K ∼=N/(N ∩K).

Следствие 1.13 (Третья теорема об изоморфизме). Пусть N,K — подмодули модуля M , причем K ⊆ N . Тогда(M/K)/(N/K) ∼= M/N .

Определение 1.14. Пусть I — идеал (двусторонний!) кольца R. Рассмотрим множество всех смежных классов x+I :x ∈ R аддитивной группы кольца R по подгруппе I и зададим на этом множестве операции (x+I)+(y+I) = (x+y)+I,(x + I)(y + I) = xy + I для любых x, y ∈ R. Полученное кольцо называется фактор-кольцом кольца M по идеалу Nи обозначается M/N . Отображение π : M → M/N , заданное равенством π(x) = x + I для любого x ∈ R, называетсяканоническим гомоморфизмом кольца на фактор-кольцо.

Теорема 1.15 (О гомоморфизме колец). Пусть f : R → S — гомоморфизм колец, K = ker(f) и π : R → R/K —канонический гомоморфизм. Тогда:1) Существует единственный гомоморфизм f : R/K → S, для которого πf = f (см. диаграмму).2) R/K ∼= Im(f) (изоморфизм колец).3) Существует взаимно-однозначное соответствие, сохраняющее включения, между множеством всех правых (ле-вых, двусторонних) идеалов в Im(f) и множеством правых (левых, двусторонних) идеалов в R, содержащих K.

Rf //

π

S

R/Kf

==

3. Системы образующих. Свободные модули.

Определение 1.16. Пусть S — произвольное множество элементов правого модуля M над кольцом R. Наименьший(по включению) подмодуль SR модуля M , содержащий множество S, называется подмодулем, порождённым множе-ством S. Аналогично определяется правый (левый, двусторонний) идеал TR (RT,RTR), порожденный подмножествомT кольца R. Если N = SR, говорят также, что S — система образующих подмодуля N . Аналогично, если I = TR(I = RT, I = RTR), то говорят, что T — система образующих правого (левого, двустороннего) идеала I.

2

Предложение 1.17. Пусть S — произвольное множество элементов правого модуля M над кольцом R. Тогда

SR = x1r1 + . . .+ xnrn : xi ∈ S, ri ∈ R, i = 1, . . . , n, n ≥ 0.

Если T — подмножество кольца R, то

TR = x1r1 + . . .+ xnrn : xi ∈ T, ri ∈ R, i = 1, . . . , n, n ≥ 0RT = r1x1 + . . .+ rnxn : xi ∈ T, ri ∈ R, i = 1, . . . , n, n ≥ 0

RTR = a1x1b1 + . . .+ anxnbn : xi ∈ T, ai, bi ∈ R, i = 1, . . . , n, n ≥ 0

Модуль, имеющий систему образующих из одного элемента, называется циклическим модулем. Правый (левый,двусторонний) идеал, имеющий систему образующих из одного элемента, называется главным правым (левым, двусто-ронним) идеалом. Модуль (правый идеал, левый идеал, идеал), имеющий конечную систему образующих, называетсяконечно порождённым.

Определение 1.18. Подмножество X правого модуля F над кольцом R называется базисом этого модуля, если1) X есть система образующих модуля F и2) X есть линейно независимая система, т.е. для любых различных элементов x1, . . . , xn ∈ X и произвольныхr1, . . . , rn ∈ R из равенства x1r1 + . . . + xnrn = 0 вытекает, что r1 = . . . = rn = 0. Если модуль обладает базисом,то он называется свободным модулем.

Теорема 1.19. Пусть X — произвольное множество, R — кольцо. Тогда существует свободный правый R-модульс базисом X и он изоморфен модулю R(X) =

⊕x∈X Rx, где Rx ∼= RR для любого x ∈ X.

Теорема 1.20. Следующие условия эквивалентны:1) F — свободный R-модуль с базисом X;2) для любого элемента x ∈ F существует единственный набор различных элементов x1, . . . , xn ∈ X и единственныйнабор ненулевых элементов r1, . . . , rn, такие, что x = x1r1 + . . .+ xnrn;3) для любого R-модуля M и любого отображения f : X →M существует единственный гомоморфизм f : F →M ,такой, что f |X = f .

Следствие 1.21. Любой модуль изоморфен некоторому фактор-модулю некоторого свободного модуля.

4. Лемма Цорна Под частично упорядоченным множеством (ч.у.м.) мы понимаем произвольное множество S сзаданным на нём отношением , удовлетворяющим аксиомам рефлексивности (a a), транзитивности (a b & b c⇒ a c) и антисимметричности (a b & b a⇒ a = b). Под цепью в ч.у.м. S называется подмножество, любые дваэлемента которых сравнинмы. Максимальным элементом ч.у.м. S называется такой элемент a ∈ S, что b b⇒ a = b.Верхней гранью подмножества T ч.у.м. S называется такой элемент s ∈ S, что s t для любого t ∈ T .

Лемма Цорна Если S — непустое частично упорядоченное множество, в котором каждая цепь имеет верхнююгрань, то в есть хотя бы один максимальный элемент.

Лемма Цорна эквивалентна аксиоме выбора, поэтому мы считаем её одной из аксиом теории мно-жеств.Задачи к лекции 1.

Задача 1.1. Опишите все прямые слагаемые Z-модуля Z⊕ Z2.

Задача 1.2. Приведите пример модуля, не имеющего базиса.

Задача 1.3. Приведите пример свободного модуля, имеющего два базиса, которые содержат разное число элементов.

Задача 1.4. Докажите, что если N1 ⊂ N2 ⊂ . . . — строго возрастающая цепочка подмодулей модуля M , то⋃∞i=1Ni —

подмодуль модуля M , который не является конечно порождённым.

Задача 1.5. Докажите, что если каждый циклический правый модуль над кольцом R является свободным, то каждыйправый идеал кольца R — главный.

Задача 1.6. Докажите, что следующие свойства ненулевого кольца R эквивалентны:1) Все правые R-модули свободны;2) Все конечно порождённые правые R-модули свободны;3) Все циклические правые R-модули свободны;4) Кольцо R — тело.

3

Лекция 2. Проективные и инъективные модулиВ этой лекцииR обозначает произвольное кольцо (ассоциативное, с единицей). Абелеву группу всех гомоморфизмов

модуля M в модуль N (относительно поточечного сложения) мы будем обозначать через Hom(M,N).1. Проективные модули.

Определение 2.1. Правый (левый) R-модуль P называется проективным, если любая точная последовательностьправых(левых) R-модулей 0→ K → L→ P → 0 расщепляется.

Предложение 2.2. Пусть P — правый R-модуль. Тогда следующие условия эквивалентны:(1) P — проективный модуль;(2) Существует такой свободный модуль F , что F = P ⊕ P ′ для некоторого модуля P ′;(3) существует такое семейство элементов xαα∈A ⊆ P и такое семейство гомоморфизмов fα ⊆ Hom(P,R),что x =

∑α∈A xαfα(x) (в последней сумме все слагаемые, кроме конечного числа, равны нулю).

(4) Для любой точной строки B → A→ 0 и любого гомоморфизма f : P → A существует гомоморфизм f , делающийкоммутативной диаграмму

P

f

f

B // A // 0

Доказательство. (1)⇒ (2) Если 0→ K → F → P → 0 расщепляется, то F ∼= P ⊕K.(2)⇒ (3) Пусть bαα∈A — базис модуля F . Для любого элемента x ∈ P можно записать x =

∑α∈A bαrα и положить

fα(x) = rα. Если теперь bα = xα + yα для всех α ∈ A, где xα ∈ P и yα ∈ P ′, то имеем 0 = x−∑bαrα = (x−

∑xαrα) +

(−∑yαrα). Поскольку слагаемое в первой паре скобок лежит в P , а во второй - в P ′, каждое из них равно нулю.

(3)⇒ (4) Пусть эпиморфизм в строке обозначен через π. Выберем произвольно zα ∈ B так, что π(zα) = f(xα). Тогдалегко проверить, что отображение f : P ⇒ B, заданное равенством f(x) =

∑zαfα(x), определено корректно и делает

данную диаграмму коммутативной.(4)⇒ (1) Встроим точную последовательность в диаграмму

P

i

0 // K // L // P // 0

Тогда гомоморфизм i, замыкающий диаграмму, расщепляет точную последовательность.

2. Инъективные модули.

Определение 2.3. Правый (левый) R-модуль Q называется инъективным, если любая точная последовательностьправых(левых) R-модулей 0→ Q→ L→M → 0 расщепляется.

Эквивалентное определение:

Определение 2.4. Правый (левый) R-модуль Q называется инъективным, если для любой точной строки 0→ A→ Bи любого гомоморфизма f : A→ Q существует гомоморфизм f : B → Q, делающий коммутативной диаграмму

0 // A //

f

B

fQ

Из определения 2.4 определение 2.3 следует легко, это доказывается в точности как импликация (4)⇒ (1) предло-жения 2.2.

Обратная импликация доказывается значительно сложнее и использует ряд промежуточных утверждений. В этихутверждениях мы используем второе определение инъективности — определение 2.4.

Теорема 2.5 (Критерий Бэра). Правый (левый) модуль Q инъективен тогда и только тогда, когда для любогоправого (левого) идеала I кольца R и любого гомоморфизма f : I → Q существует гомоморфизм f : R → Q,делающий коммутативной диаграмму

0 // I

f

R

fQ

Доказательство. Если Q инъективен в смысле 2.4, то условие критерия выполнено — достаточно положить A = I,B = R.

Обратно, пусть 0 → Aµ→ B — точная последовательность правых R-моджулей и f : A → Q — гомоморфизм.

Рассмотрим множество пар (K, g), где µ(A) ⊆ K ⊆ B и g : K → Q — такой гомоморфизм, что gµ = f . Это множество4

непусто, так как содержит пару (µ(A), fµ−1). Упорядочим зти пары так: (K1, g1) (K2, g2), если K2 ⊇ K1 и g2|K1= g1.

Легко видеть, что любая цепь C = (Kα, gα) имеет верхнюю грань (K, g), где K =⋃Kα и гомоморфизм g корректно

определен условием g(x) = gα(x) при x ∈ Kα. По лемме Цорна найдётся максимальная пара (Kmax, gmax). Допустим,что Kmax 6= B и b ∈ B \ Kmax. Положим I = r ∈ R : br ∈ Kmax и рассмотрим гомоморфизм ϕ : I → Q такой,что ϕ(r) = gmax(br). Рассмотрим соответствующий гомоморфизм ϕ : R → Q, продолжающий гомоморфизм ϕ. Тогдана модуле Kmax + bR корректно определён гомоморфизм g : x + br 7→ gmax(x) + ϕ(r). Непосредственно проверяется,что (Kmax + br, g) (Kmax, gmax), откуда Kmax + bR = Kmax, противоречие. Итак, gmax : B → Q — требуемыйгомоморфизм.

Следствие 2.6. Абелева группа является инъективным Z-модулем тогда и только тогда, когда A — делимая группа(т.е. для любых a ∈ A, n ∈ N существует такой элемент x ∈ A, что nx = a).

Доказательство. Известно, что любой ненулевой идеал I кольца Z имеет вид nZ для некоторого n ∈ N. Любойгомоморфизм f : I → A определён значением f(n), которое можно выбрать произвольно, он имеет продолжениеf : Z→ A тогда и только тогда, когда f(1)n = f(n).

Введём обозначение Ω = Q/Z. Заметим, что Ω — делимая группа.

Определение 2.7. Пусть M — правый R-модуль. Модулем характеров модуля M назовём абелеву группу M× =HomZ(M,Ω) с умножением (rχ)(x) = χ(xr) для любых r ∈ R, χ ∈ M× и x ∈ M . Таким образом, M× есть левыйR-модуль.

Предложение 2.8. Левый модуль R× = (RR)× инъективен.

Доказательство. Воспользуемся критерием Бэра. Пусть I — левый идеал в R и f : I → R× — гомоморфизм левыхмодулей. Рассмотрим Z-гомоморфизм χ : I → Ω, заданный правилом χ(x) = (f(x))(1). В силу инъективности Z-модуля Ω, существует его продолжение χ : R → Ω, χ ∈ R×. Рассмотрим гомоморфизм левых R-модулей g : R → R×,заданный правилом g(r) = rχ. Покажем, что g — продолжение гомоморфизма f . Действительно, если x ∈ I, то длялюбого r ∈ R имеем

g(x)(r) = (xχ)(r) = χ(rx)rx∈I= χ(rx) = (f(rx))(1) = (rf(x))(1) = f(x)(r)

Предложение 2.9. Прямое произведение инъективных модулей является инъективным модулем. Прямое слагаемоеинъективного модуля — инъективый модуль.

Доказательство. Проверяется непосредственно, что если µ : A→ B — мономорфизм, f : A→∏αQα — гомоморфизм,

и fα : B → Qα удовлетворяет условию fαµ = παf для всех α, то f = (∏α fα) : B →

∏αQα удовлетворяет условию

fµ = f .Второе утверждение получается, если положить Q = Q1 ⊕Q2 и рассмотреть следующую диаграмму:

0 // A //

f

B

Q1

// Qoo

Следствие 2.10. Модуль характеров любого свободного модуля инъективен.

Доказательство. Заметим, что свободный модуль имеет вид ⊕αRα, где Rα ∼= R, и что (⊕αRα)× ∼=∏α(Rα)× и

применим предложения 2.8 и 2.9.

Предложение 2.11. Для любого модуля M существует естественный мономорфизм M →M××.

Доказательство. Для любого m ∈ M рассмотрим гомоморфизм абелевых групп m : M× → Ω, заданный правиломm(χ) = χ(m). Заметим, что отображение ϕ : m 7→ m — гомоморфизм модулей. Пусть, например, M — правый Rмодуль. Тогда M× — левый R-модуль, и для любых r ∈ R и χ ∈M× имеем

ϕ(mr)(χ) = χ(mr) = (rχ)(m) = ϕ(m)(rχ) = (ϕ(m)r)(χ).

Осталось проверить, что ϕ — мономорфизм. Если 0 6= m ∈ M , то существует ненулевой гомоморфизм ψ : Zm → Ω(если |Zm| = ∞, то можно положить ψ(m) равным любому ненулевому элементу из Ω, а если |Zm| = n < ∞, тото можно положить ψ(m) равным 1

n + Z). В силу делимости (=инъективности) группы Ω получаем, что существуетпродолжение ψ до характера χ ∈M×, для которого χ(m) 6= 0⇔ ϕ(m)(χ) 6= 0.

Теорема 2.12. Произвольный модуль вкладывается в инъективный модуль.

5

Доказательство. Заметим, что для любого гомоморфизма правых (левых) модулей f : M → N существует гомо-морфизм левых (правых) модулей f× : N× → M×, заданный правилом (f×(χ))(x) = χ(f(x)) для любого x ∈ M .Опуская рутинную проверку того, что f× есть гомоморфизм модулей, заметим, что если f есть эпиморфизм, то f×есть мономорфизм. Действительно, пусть 0 6= χ ∈ N×. Тогда χ(y) 6= 0 для некоторого элемента y ∈ N , а y = f(x) длянекоторого элемента x ∈M , откуда (f×(χ))(x) = χ(y) 6= 0, т.е. f×(χ) =6= 0.

Теперь пусть M — правый модуль. Существует эпиморфизм π : F →M× свободного левого R-модуля F на модульM×. Тогда π× : M×× → F× — мономорфизм правых модулей. Композиция естественного гомоморфизма M → M××

и π×, даёт вложение M в F×, а последний модуль инъективен в силу следствия 2.10.

Теперь можно закончить доказательство эквивалентности определений 2.3 и 2.4.

Теорема 2.13. Если любая точная последовательность правых(левых) R-модулей 0 → Q → L → M → 0 расщеп-ляется, то для любой точной строки 0 → A → B и любого гомоморфизма f : A → Q существует гомоморфизмf : B → Q, делающий коммутативной диаграмму

0 // A //

f

B

fQ

Доказательство. Пусть модуль Q удовлетворяет условию определения 2.3. Согласно теореме 2.12, он вкладываетсяв модуль Q, удовлетворяющий условию определения 2.4. Иначе говоря, имеется точная последовательность

0→ Q→ Q→ N → 0,

которая по условию расщепляется. Следовательно, Q — прямое слагаемое модуля Q и Q удовлетворяет условиюопределения 2.4 по предложению 2.9.

Задачи к лекции 2.

Задача 2.1. Докажите эквивалентность следующих условий:(1) каждый правый идеал кольца R — проективный R-модуль;(2) каждый подмодуль любого проективного правого R-модуля — проективный R-модуль (такие кольца называютсянаследственными справва).

Задача 2.2. Выясните, при каких n кольцо многоччленов R = k[x1, . . . , xn] над полем k является наследственным.

Задача 2.3. Пусть R = Zn. Покажите, что RR — инъективный модуль.

Задача 2.4. Докажите, что для конечного модуля M выполнено равенство |M×| = |M |.

Задача 2.5. Приведите пример коммутативного конечного кольца R, для которого модули RR и (RR)× неизоморфны(заметьте, что если кольцо коммутативно, то любой левый модуль можно рассматривать как правый модуль).

6

Лекция 3. Простые (неприводимые) и вполне приводимые модули1. Вполне приводимые модули.

Определение 3.1. Модуль M над кольцом R называется вполне приводимым, если любой подмодуль M являетсяпрямым слагаемым в M .

Лемма 3.2. Любой подмодуль вполне приводимого модуля вполне приводим.

Доказательство. Если M вполне приводим и N ⊆ M , то для любого подмодуля K в N имеем M = K ⊕K ′, откудаN = K ⊕ (N ∩K ′).

Определение 3.3. Модуль V называется простым, или неприводимым, если он содержит ровно два подмодуля (0 иV ).

Теорема 3.4. Пусть M — правый модуль над кольцом R. Тогда следующие условия эквивалентны:(1) модуль M вполне приводим;(2) M — прямая сумма простых модулей;(3) M — сумма всех своих простых подмодулей.

Доказательство. (1) ⇒ (2). Если M = 0, доказывать нечего. Сначала покажем, что ненулевой вполне приводимыймодуль содержит хотя бы один простой подмодуль. Действительно, предположим противное и выберем элемент m 6= 0.Если mR неприводим, то утверждение доказано. В противном случае mR = K1 ⊕K ′1, где K1 6= 0 и K ′1 6= 0. Если K ′1простой, то утверждение доказано. В противном случае K ′1 = K2 ⊕ K ′2 и т.д. Если этот процесс не оборвётся, тополучится, что прямая сумма ⊕iKi бесконечного числа ненулевых модулей — прямое слагаемое циклического модуляmR, а это невозможно, так как тогда для проекции π получаем ⊕iKi = π(mR) = π(m)R, а π(m) лежит в конечнойпрямой сумме модулей Ki.

Теперь множество прямых сумм простых подмодулей во вполне приводимом ненулевом модулеM упорядочим так:⊕αVα ⊕βWβ , если каждый из модулей Wβ совпадает с одним из Vα. По доказанному выше это множество непусто.Легко видеть, что если прямые суммы образуют цепь относительно данного порядка, то объединение множествапрямых слагаемых по всем этим прямым суммам также образует прямую сумму простых модулей — верхнюю граньцепи. Значит, по лемме Цорна существует максиьальная прямая сумма ⊕µVµ. Если ⊕µVµ 6= M , то M = (⊕µVµ) ⊕K,где K 6= 0. По лемме 3.2, K — вполне приводимый модуль, значит, в K есть простой подмодуль, скажем, U , и(⊕µVµ)⊕ U (⊕µVµ). Противоречие.

(2)⇒ (3). Тривиально.(3)⇒ (1). Пусть M — сумма простых модулей и K — подмодуль в M . Рассмотрим множество всех подмодулей

S = K ′ ⊆M |K ∩K ′ = 0,

упорядоченное по включению. Ясно, что объединение модулей из A, образующих цепь, принадлежит S и являетсяверхней гранью этой цепи. Значит, по лемме Цорна существует максимальный в S элемент K ′max. Ясно, что K и K ′max

образуют прямую сумму. Предположим, что K ⊕K ′max 6= M . Тогда найдётся простой подмодуль V модуля M такой,что V 6⊆ K ⊕K ′max. Но тогда V ∩ (K ⊕K ′max) 6= V , откуда V ∩ (K ⊕K ′max) = 0 и K ∩ (K ′max⊕V ) = 0, что противоречитмаксимальности K ′max в S.

Теорема 3.5. Пусть R — кольцо. Следующие условия эквивалентны:(1) каждый правый R-модуль вполне приводим;(2) модуль RR вполне приводим;

Доказательство. (1)⇒ (2). Тривиально.(2) ⇒ (1). Пусть выполнено условие (2) и M — правый R-модуль. Для любого m ∈ M рассмотрим гомоморфизм

f : R→mR, f : r 7→ mr, и его ядро K. Тогда R = K ⊕ K ′, mR ∼= R/K ∼= K ′. Поскольку модуль K ′ вполне приво-дим, он является суммой своих простых подмодулей, значит, m принадлежит сумме простых подмодулей модуля M .Следовательно, для M выполнено условие (3) теоремы 3.4.

Лемма 3.6 (Лемма Шура). Кольцо эндоморфизмов простого модуля является телом.

Доказательство. Пусть V — простой модуль и f : V → V — его эндоморфизм. Если f 6= 0, то ker f 6= V ⇒ kerf =0⇒ V ∼= f(V ) 6= 0⇒ f(V ) = V , т.е. f — изоморфизм, стало быть, он обратим в кольце End(V ).

Лемма 3.7. Если V1 и V2 — неизоморфные простые модули, то Hom(V1, V2) = 0.

Доказательство. Повторение доказательства леммы Шура.

Теорема 3.8. Пусть R — кольцо. Следующие условия эквивалентны:(1) каждый правый R-модуль вполне приводим;(2) каждый левый R-модуль вполне приводим;(3) кольцо R изоморфно прямой сумме конечного числа колец матриц над телами.

7

Доказательство. (3)⇒ (1) и (3)⇒ (2). Легко видеть, что если D — тело, то кольцо матриц R = Mn(D) разлагаетсяв прямую сумму правых идеалов вида Vi =

∑nj=1Deij , где eij — матричные единицы (Vi — множество матриц с

произвольной i-й строкой и нулями вне её). Проверим, что Vi — простые модули. Действительно, достаточно показать,что если 0 6= x ∈ Vi, то xR = Vi. Пусть x =

∑ni=1 ajeij ∈ Vi и aj 6= 0. Тогда x(aj)

−1ejk = eik ∈ Vi, т.е. xR = Vi, как иутверждается. Таким образом, если кольцо есть прямая сумма колец матриц над телами, то оно есть прямая суммаминимальных (т.е. являющихся простыми правыми модулями) правых идеалов, а также минимальных левых идеалов(аналогичное доказательство, только вместо строк надо рассматривать столбцы).

(1) ⇒ (3) и (2) ⇒ (3). При выполнении условия (1) модуль RR — прямая сумма простых правых модулей (мини-мальных правых идеалов кольца R). Поскольку R — кольцо с 1, эта сумма состоит из конечного числа слагаемых.Разобьём их на классы мзоморфных модулей: RR ∼= ⊕si=1V

kii , так что Vi 6∼= Vj при i 6= j. Легко видеть, что кольца R и

End(RR) изоморфны: элементу r ∈ R соответствует гомоморфизм fr : x 7→ rx (левое умножение на r). С другой сторо-ны, в силу леммы 3.7 нетривиальных гомоморфизмов между V kii и V kjj при i 6= j нет, поэтому End(RR) = ⊕si=1 End(V kii .Наконец, для любого правого модуля M кольцо End(Mn) изоморфно кольцу матриц порядка n над End(M) (как влинейной алгебре): эндоморфизму f : Mn → Mn соответствет матрица с элементами fij = πifµj , где πi и µj обо-значают, соответственно, проекцию на i-е слагаемое и вложение M как j-го слагаемого в прямую сумму. Получаемизоморфизм R ∼= ⊕si=1Mki(End(Vi)) и применяем лемму Шура.

Доказательство для левых модулей аналогично.

Кольца, удовлетворяющие условиям теоремы 3.8, называются вполне приводимыми кольцами (или классическиполупростыми кольцами).Задачи к лекции 3.

Задача 3.1. Выясните, при каких значениях n кольцо вычетов Zn классически полупросто.

Задача 3.2. Известно, что групповое кольцо kG конечной группы G над полем k классически полупросто тогда итолько тогда, когда характеристика поля k не делит порядок группы G, в том числе, когда char k = 0 (теорема Маш-ке). Определите, какие кольца матриц и над какими телами входят в разложение группового кольца kG в каждом изследующих случаев:(а) k = GF(2), G = Z3;(б) k = R, G = Z3;(в) k = C, G = Z2017;(г) k = GF(5), G = S3;(д) k = R, G = S3;(е) k = C, G = S3.

8

Лекция 4. Характеризация классически полупростых колец в терминах проективных иинъективных модулей. Радикал Джекобсона модуля и радикал Джекобсона кольца.1. Ещё несколько критериев классической полупростоты кольца.

Теорема 4.1. Пусть R — кольцо. Следующие условия эквивалентны:(1) кольцо R классически полупросто;(2) каждый циклический правый (левый) R —модуль проективен;(3) каждый правый (левый) идеал кольца R инъективен;(4) каждый правый (левый) R —модуль проективен;(5) каждый правый (левый) R —модуль инъективен.

Доказательство. Схема доказательства: (1)⇒ (4)⇒ (2)⇒ (1) и (1)⇒ (5)⇒ (3)⇒ (1).Пусть R — классически полупростое кольцо, M — правый R-модуль. Поскольку M — гомоморфный образ некото-

рого проективного (и даже свободного) модуля P , имеем эпиморфизм f : P →M . Пусть K = ker(f). Тогда P = K⊕K ′,так как модуль P вполне приводим, и M = f(P ) ∼= P/K ∼= K ′, а модуль K ′ проективен как прямое слагаемое про-ективного модуля. Далее, мы знаем, что существует вложение M в некоторый инъективный модуль Q. Но тогдаQ = M ⊕M ′, так как модуль Q вполне приводим, и M инъективен как прямое слагаемое инъективного модуля.

Импликации (4)⇒ (2) и (5)⇒ (3) тривиальны.Пусть теперь I — правый идеал кольца R. Из проективности циклического модуля R/I, равно как из инъективности

модуля I следует, что точная последовательность 0 → I → R → R/I → 0 расщепляется, т.е. в обоих случаях Iвыделяется прямым слагаемым. Значит, (2)⇒ (1) и (3)⇒ (1).

2. Радикал Джекобсона модуля и кольца.

Определение 4.2. Подмодуль N модуля M называется минимальным, если N — простой модуль (иначе говоря, этоминимальный элемент в множестве всех ненулевых подмодулей в M).

Подмодуль N модуляM называется максимальным, еслиM/N — простой модуль (иначе говоря, это максимальныйэлемент в множестве всех собственных подмодулей в M).

Лемма 4.3. Любой собственный подмодуль любого конечно порождённого модуля содержится в некоторои макси-мальном подмодуле.

Доказательство. Пусть N ⊂M =∑ni=1 xiR и N 6= M . Рассмотрим множество S всех собственных подмодулей модуля

M , содержащих N , упорядоченное по включению (N ∈ S). Для любой цепи C в S положим U = ∪T∈CT . Допустим,что U = M . Тогда для любого i = 1, . . . , n найдётся Ti ∈ C такой, что xi ∈ Ti. Но все элементы цепи сравнимы междусобой, следовательно, среди них есть наибольший, скажем, Tm. Но тогда x1, . . . , xn ⊆ Tm, значит, Tm = M 6∈ S.Противоречие показывает, что U ∈ S, и утверждение леммы вытекает из леммы Цорна.

Определение 4.4. Радикалом Джекобсона правого модуля M называется пересечение всех его максимальных под-модулей. Обозначение: J(M). Если максимальных подмодулей в M нет, то по определению J(M) = M .

Замечание 4.5. Эквивалентное определение: J(M) — пересечение ядер всех гомоморфизмов M в простые правыемодули.

В дальнейшем, пока мы не рассматриваем другие радикалы, будем часто называть радикал Джекобсона просторадикалом.

Следующие свойства радикала модуля проверяются по определению:

Предложение 4.6.(1) Если f : M → N — гомоморфизм модулей, то f(J(M)) ⊆ J(N).(2) Если N — подмодуль модуля M , причём J(N) = N и J(M/N) = M/N , то J(M) = M .(3) Для любого модуля M , J(M/J(M)) = 0.

Определение 4.7. Подмодуль N модуля M называется малым, если не существует подмодуля K 6= M , такого, чтоK +N = M .

Подмодуль N модуля M называется большим, или существенным, если не существует подмодуля K 6= 0, такого,что K ∩N = 0.

Предложение 4.8. Любой малый подмодуль модуля M содержится в J(M). Если модуль M конечно порождён,то J(M) — малый подмодуль в M .

Доказательство. Пусть N — малый подмодуль в M и 0 6= f : M → V — гомоморфизм M на простой модуль V . Еслиf(N) 6= 0, то f(N) = V = f(M), откуда M = N + ker(f), что невозможно. Следовательно, N ⊆ J(M).

Докажем, что J(M) — малый подмодуль конечно порождённого модуляM . Предположим противное:M = J(M)+N , гдеN 6= M , и рассмотрим максимальный подмодуль T модуляM , содержащийN . Тогда, разумеется, T+J(M) = M ,но J(M) ⊆ T , откуда T = M . Противоречие.

Предложение 4.9. Пусть R — кольцо и M — правый R-модуль. Тогда MJ(RR) ⊆ J(M). В частности, J(RR) —двусторонний идеал кольца R.

9

Доказательство. Из 4.6(1), применённого к произвольному гомоморфизму левого умножения R → M : r 7→ xr,получаем xJ(RR) ⊆ J(M) для любого x ∈M .

Определение 4.10. Элемент a кольца R называется квазирегулярным, если 1− a — обратимый элемент кольца R.Правый (левый, двусторонний) идеал кольца R называется квазирегулярным, если любой его элемент квазирегу-

лярен.

Предложение 4.11. Пусть I — правый идеал кольца R. Тогда следующие условия эквивалентны.(1) I — квазирегулярен;(2) I — малый подмодуль модуля RR;(3) I ⊆ J(RR).

Доказательство. Эквивалентность условий (2) и (3) уже доказана в 4.8. Пусть I — квазирегулярный правый идеал иI+N = R для некоторого правого идеала N кольца R. Тогда 1 = a+x для некоторых a ∈ I, x ∈ N , откуда x = 1−a —обратимый элемент кольца и, следовательно, (1)⇒ (2).

Покажем теперь, что J(RR) — квазирегулярный идеал. Пусть a ∈ J(RR) и (1− a)R 6= R. По лемме 4.3, существуетмаксимальный правый идеал T кольца R такой, что 1−a ∈ T . Но a ∈ T , поскольку J(RR) ⊆ T , значит, 1 = a+(1−a) ∈ Tи T = R, что противоречит выбору T . Итак, (1− a)R = R, т.е. (1− a)r = 1 для некоторого r ∈ R. Но тогда r = 1 + ar,−ar ∈ J(RR), и, заменяя a на (−ar) в предыдущем рассуждении, получаем, что rs = (1 + ar)s = 1 для некоторогоs ∈ R. В силу ассоциативности имеем s = 1s = (1−a)rs = 1−a, т.е. (1−a)r = r(1−a) = 1. Таким образом, (3)⇒ (1).

Ясно, что все доказанные утверждения остаются верными, если заменить правые модули и идеалы на левые.

Предложение 4.12. Для любого кольца R, J(RR) = J(RR).

Доказательство. J(RR) есть левый квазирегулярный идеал, следовательно, J(RR) ⊆ J(RR). Симметрично проверя-ется обратное включение.

Начиная с этого момента мы вводим обозначение J(R) = J(RR) = J(RR) и называем этом идеал радикаломДжекобсона кольца R.

Следствие 4.13 (лемма Накаямы). Если M — конечно порождённый правый R-модуль, то MJ(R) — малый под-модуль в M .

Доказательство. Сразу вытекает из 4.9 и 4.8

Часто лемму Накаямы формулируют и используют в следующем виде: если M — конечно порождённый правыйR-модуль и MJ(R) = M , то M = 0.

Применения больших подмодулей основаны на следующем замечании.

Предложение 4.14. Пусть N — подмодуль правого модуля M . Тогда существует подмодуль N ′ модуля M такой,что N ∩N ′ = 0 и N ⊕N ′ — большой подмодуль модуля M .

Доказательство. Достаточно заметить, что можно применить лемму Цорна к множеству таких подмодулей K модуляM , что N ∩K = 0, упорядоченному по включению, и в качестве N ′ взять максимальный элемент этого множества.Действительно, если (N ⊕N ′) ∩ L = 0, то получим N ∩ (N ′ ⊕ L) = 0 и L = 0 из максимальности N ′.

Предложение 4.15. Пусть R — кольцо. Тогда следующие условия эквивалентны:(1) R — классически полупростое кольцо;(2) любой правый (левый) R-модуль не содержит собственных больших подмодулей.

Доказательство. Из предложения 4.14 сразу видно, что условие (2) для модуляM равносильно тому, чтоM — вполнеприводимый модуль.

Задачи к лекции 4.

Задача 4.1. Найдите радикал следующих абелевых групп (т.е. Z-модулей): (а) Z; (б) Q; (в) Z/4Z.

Задача 4.2. Сколько квазирегулярных элементов и сколько квазирегулярных правых идеалов содержат кольца: (а) Z;(б) Mn(GF(q))?

Задача 4.3. Покажите, что любой вполне приводимый модуль не содержит ненулевых малых подмодулей. Выясните,верно ли обратное утверждение.

Задача 4.4. Верно ли такое утверждение: если ни один правый R-модуль не содержит ненулевых малых подмодулей,то R — классически полупростое кольцо?

10

Лекция 5. Условия конечности

Определение 5.1. Говорят, что ч.у.м. (M,) удовлетворяет условию минимальности (условию максимальности),если любое непустое подмножество множества M имеет минимальный (максимальный) элемент.

Например, любое конечное множество удовлетворяет обоим условиям.

Предложение 5.2. Ч.у.м. (M,) удовлетворяет условию минимальности тогда и только тогда, когда оно удо-влетворяет условию обрыва убывающих цепей:

x1 x2 x3 . . .⇒ ∃n ∈ N : xn = xn+1 = . . . (5.1)

Ч.у.м. (M,) удовлетворяет условию максимальности тогда и только тогда, когда оно удовлетворяет условиюобрыва возрастающих цепей:

x1 ≺ x2 ≺ x3 . . .⇒ ∃n ∈ N : xn = xn+1 = . . . (5.2)

При выполнении (5.1) или (5.2) мы говорим, что соответствующая цепь стабилизируется на шаге n.

Доказательство. Из условия минимальности условие обрыва убывающих цепей следует мгновенно: xn из (5.1) — этоминимальный элемент множества x1, x2, . . ..

Обратно, пусть M удовлетворяет условию обрыва убывающих цепей и ∅ 6= S ⊆M . Выберем произвольно элементx1 ∈ S. Если x1 не минимальный в S, выберем x2 ∈ такой, что x2 ≺ x1 и x2 6= x1. Продолжая таким образом, мынайдём минимальный элемент в S, так как в противном случая получилась бы бесконечная убывающая цепь.

Второе утверждение следует из первого, если рассмотреть множество с обращённым порядком.

Определение 5.3. Модуль M называется артиновым (нётеровым), если множество его подмодулей, упорядоченноепо включению, удовлетворяет условию минимальности (максимальности).

Кольцо R называется артиновым (нётеровым) справа, если модуль RR артинов (нётеров).Аналогично определяется артиново (нётерово) слева кольцо.

Предложение 5.4. Пусть M — модуль, N — его подмодуль. Тогда следующие условия эквивалентны:(1) модуль M артинов (нётеров);(2) N и M/N — артиновы (нётеровы) модули.

Доказательство. Импликация (1) ⇒ (2) сразу следует из того, что подмодули модуля N суть подмодули в M , аподмодули в M/N однозначно соответствуют подмодулям модуля M , содержащим N , с сохранением порядка.

Обратно, пусть K1 ⊇ K2 ⊇ . . . — убывающая цепь подмодулей модуля M . Тогда цепь K1 ∩ N ⊇ K2 ∩ N ⊇ . . .стабилизируется на некотором шаге n, а цепь (K1 + N)/N ⊇ (K2 + N)/N ⊇ . . . — на некотором шаге m. При t ≥maxm,n получаем, что для любого элемента x ∈ Kt найдётся элемент y ∈ Kt+1 такой, что x+N = y +N (так какk ≥ m), но тогда x = y+a, где a ∈ N . Следовательно, a = x− y ∈ Kt ∩N = Kt+1 ∩N , значит, x ∈ Kt+1, т.е. Kt = Kt+1.Итак, цепь Ki стабилизируется на шаге maxn,m.

Доказательство для возрастающих цепей аналогично.

Следствие 5.5.(1) Прямая сумма конечного числа модулей является артиновым (нётеровым) модулем тогда и только тогда, когдавсе слагаемые — артиновы (нётеровы) модули.(2) Кольцо R артиново (нётерово) справа тогда и только тогда, когда каждый конечно порождённый правый R-модуль артинов (нетеров).

Доказательство. Утверждение (1) доказывается очевидной индукцией по числу слагаемых, поскольку

(M1 ⊕ . . .Mn)/Mn∼= M1 ⊕ . . .Mn−1

при n > 1.Достаточность условия в утверждении (2) тривиальна, так как RR = 1 ·R, Обратно, если R-модуль M порождён n

элементами, то существует свободный правый модуль F = RnR, гомоморфным образом которого является модуль M .По первому утверждению F артинов (нётеров) тогда и только тогда, когда модуль RR артинов (нётеров).

Теорема 5.6. Модуль M нётеров тогда и только тогда, когда каждый его подмодуль конечно порождён.

Доказательство. Пусть M — правый R-модуль, каждый подмодуль которого конечно порождён, и K1 ⊆ K2 ⊆ . . . —возрастающая цепь подмодулей. Расмотрим K = ∪∞i=1Ki. Это — подмодуль вM , следовательно, он конечно порождён,следовательно, его образующие содержатся в каком-нибудь модуле Kn, то тогда на шаге n цепь стабилизируется.

Обратно, достаточно показать, что правый нётеров модуль конечно порождён. Для этого в множестве всех конеч-но порождённых подмодулей выберем максимальный элемент, скажем, K. Если x ∈ M \ K, то K + xR — конечнопорождённый подмодуль, больший чем K, что невозможно. Следовательно, K = M .

Определение 5.7. Правый (левый, двусторонний) идеал I называется правым (левым, двусторонним) ниль-идеалом,если все его элементы нильпотентны: для любого x ∈ I существует число n = n(x) ∈ N такое, что xn = 0.

Правый (левый, двусторонний) идеал I называется правым (левым, двусторонним) нильпотентным, если суще-ствует число n ∈ N такое, что In = 0 (равносильно: x1x2 . . . xn = 0 для любых x1, . . . , xn ∈ I).

11

Предложение 5.8. Любой правый (левый) ниль-идеал кольца содержится в его радикале Джекобсона.

Доказательство. Если xn = 0, то (1− x)(1 + x+ x2 + . . .+ xn−1) = 1.

Теорема 5.9. Радикал артинова справа (слева) кольца нильпотентен.

Доказательство. Пусть кольцо R артиново справа и J = J(R). Рассмотрим убывающую цепь идеалов

J ⊇ J2 ⊇ J3 ⊇ . . .

Пусть она стабилизируется на шаге n, т.е. Jn = Jn+1. Положим U = Jn и допустим, что U 6= 0. Заметим, что тогдаU2 = J2n = Jn = U 6= 0. Стало быть, множество KR ⊆ RR|KU 6= 0 непусто, и в нём есть минимальный элемент,скажем, K0. Тогда найдётся элемент a ∈ K0, для которого aU 6= 0. Но тогда aU · U = aU2 = aU 6= 0. В силуминимальности K0 получаем K0 = aU , откуда a = au для некоторого u ∈ U , т.е. a(1 − u) = 0, что невозможно, таккак U ⊆ J и, следовательно, элемент (1− u) обратим.

Определение 5.10. Модуль M (кольцо R) называется полупростым, если J(M) = 0 (соответственно, J(R) = 0).

Лемма 5.11. Если V — минимальный правый идеал кольца R, то либо V 2 = 0, либо V = eR, где e2 = e (такойэлемент называется идемпотентом).

Доказательство. Пусть V 2 6= 0, т.е. существует элемент v ∈ V такой, что vV 6= 0. Тогда vV = V . Рассмотрим теперьподмодуль X = x ∈ V |vx = 0. Поскольку X 6= V , имеем X = 0. Далее, из V = vV следует, что V = v2V и v = v2uдля некоторого u ∈ V . Умножая справа на v, получаем, что v2 = v2uv, или v(v − vuv) = 0, или v − vuv ∈ X = 0. Нотогда (vu)2 = vuvu = vu. Осталось заметить, что vu 6= 0, поэтому V = (vu)R.

Лемма 5.12. Если e — идемпотент кольца R, то R = eR⊕ (1− e)R.

Доказательство. Для любого r ∈ R имеем r = er ⊕ (1− e)r, а если x ∈ eR ∩ (1− e)R, то x = ex = e(1− e)x = 0.

Теорема 5.13. Пусть R — кольцо. Тогда следующие условия эквивалентны:(1) кольцо полупросто и артиново справа;(2) кольцо полупросто и артиново слева;(3) кольцо R вполне приводимо.

Доказательство. Пусть кольцо R вполне приводимо. Тогда RR = ⊕ni=1Vi, где модули Vi простые, а значит, артиновы.Следовательно, RR — артинов модуль в силу 5.5(1). Пусть πi : R→ Vi — проекции R на прямые слагаемые, i = 1, . . . , n.Тогда ∩ni=1 ker(πi) = 0, откуда J(R) = 0.

Пусть теперь кольцо R 6= 0 артиново справа и полупросто. Построим по индукции две последовательности правыхидеалов V1, V2, . . . и R = K0,K1,K2, . . ., что при всех i ≥ 1:Vi — минимальные правые идеалы,Ki−1 = Ki ⊕ Vi.Выберем произвольный минимальный правый идеал V1. Поскольку V 2

1 6= 0, имеем V1 = e1R для некоторого идемпо-тента e1 ∈ R и K0 = R = e1R ⊕ (1 − e1)R в силу 5.12. Положим K1 = (1 − e1)R. Допустим теперь, что V1, . . . , Vn иK1, . . . ,Kn уже построены. Если Kn = 0, построение завершено. Иначе выберем произвольно минимальный правыйидеал Vn+1 ⊆ Kn, он имеет вид Vn+1 = en+1R для некоторого идемпотента en+1, и R = en+1R ⊕ (1 − en+1)R, откудаKn = en+1R⊕ ((1− en+1)R ∩Kn. Осталось положить Kn+1 = (1− en+1) ∩Kn = (1− en+1)Kn.

Поскольку по построению Kn+1 $ Kn и R — артиново справа кольцо, на каком-то шаге получим Kn = 0, т.е.Kn−1 = Vn, Kn−2 = Vn−1 ⊕ Vn и т.д. В результате R = V1 ⊕ . . . ⊕ Vn, откуда, как известно (теорема 3.4), следует, чтомодуль RR вполне приводим.

Теорема 5.14. Любое артиново справа кольцо (напомним: с единицей!) нётерово справа.

Доказательство. Пусть R — артиново справа кольцо и J = J(R). Согласно 5.8, Jn = 0 для некоторого n ∈ N.Каждый из модулей J i−1/J i, i = 1, 2, . . . n (считая, что J0 = R) можно рассматривать как модуль над кольцомR = R/J , которое вполне приводимо, следовательно, каждый из этих модулей вполне приводим, т.е. является прямойсуммой некоторого множества простых модулей. Но любое бесконечное множество содержит счётное подмножество,а счётная прямая сумма ⊕∞i=1 содержит подмодули Ki = ⊕∞j=iVi, образующие бесконечную строго убывающую цепь.Следовательно, каждый из модулей J i−1/J i есть конечная прямая сумма простых (а значит, нётеровых) модулей иявляется, по 5.5(1), нётеровым модулем. Остаётся применить 5.4.

Задачи к лекции 5.Задача 5.1. Приведите пример артинова ненётерова модуля.

Задача 5.2. Приведите пример кольца, артинова справа, но не слева.

Задача 5.3. Докажите, что любой артинов правый модуль над артиновым справа кольцом является конечно порож-дённым.

Задача 5.4. Пусть p — простое число, Z(p) = m/n ∈ Q|p - n, R — кольцо матриц вида(a b0 c

), где a ∈ Z(p), b, c ∈ Q.

Докажите, что кольцо R нётерово справа, но⋂∞n=1 J(R)n 6= 0 (открытый вопрос: может ли нётерово справа и слева

кольцо обладать таким свойством?).

12

Лекция 6. Инъективая оболочка модуля. Гомологическая характеризация нётеровыхколец (теорема Чейза)

Определение 6.1. ПустьM — правый (левый) модуль модуль над кольцом R. Инъективный R-модуль Q называетсяинъективной оболочкой модуля M , если M — большой подмодуль модуля Q.

Лемма 6.2. Пусть Mα|α ∈ A — произвольное множество правых модулей над кольцом R и Kα — большойподмодуль модуля Mα, для любого α ∈ A. Тогда

⊕α∈AKα — большой подмодуль модуля

⊕α∈AMα.

Доказательство. Сначала рассмотрим случай двух слагаемых: A = 1, 2. Пусть 0 6= x = x1+x2, где x1 ∈M1, x2 ∈M2.Если x1 = 0, то x ∈ M2 и xR ∩K2 6= 0 по условию, тем более xR ∩ (K1 ⊕K2) 6= 0. Остался случай x1 6= 0. ПоложимI = r ∈ R|x1r ∈ K1. Ясно, что тогда x1I = x1R ∩K1 6= 0. Если x2I = 0, то 0 6= x1I = xI ⊆ K1. В противном случаеx2I ∩K2 6= 0, т.е. найдётся такой элемент r ∈ I, что x2r 6= 0. Но тогда xr = x1r + x2r ∈ K1 ⊕K2 и xr 6= 0, так как M1

и M2 образуют прямую сумму.Далее, очевидная индукция доказывает утверждение леммы для любого конечного множества индексов.Наконец, в общем случае пусть 0 6= U ⊆

⊕α∈AMα. Выберем элемент u ∈ U \ 0. По определению прямой суммы

найдётся такое конечное подмножество F ⊆ A, что u ∈⊕

α∈F Mα. По доказанному uR ∩⊕

α∈F Kα 6= 0, и тем болееU ∩

⊕α∈AKα 6= 0.

Теорема 6.3. Инъективная оболочка произвольного модуля M существует и определена однозначно, с точностьюдо изоморфизма, тождественного на M .

Доказательство. Пусть M — правый модуль модуль над кольцом R. Известно (теорема 2.12), что существует инъ-ективный модуль Q, содержащий M . Теперь пусть M ′ — максимальный элемент множества таких подмодулей Nмодуля Q, что N ∩M = 0 и M ′′ — максимальный элемент множества таких подмодулей K модуля Q, что K ⊇ M иK ∩M ′ = 0. Мы уже знаем, что M ′ ⊕M ′′ — большой подмодуль модуля Q (см. 4.14). Легко видеть также, что M ′′можно отождествить с подмодулем (M⊕M ′)/M ′ модуля Q/M ′, причём из максимальностиM ′ следует, чтоM — боль-шой подмодуль в Q/M ′ (действительно, пусть 0 6= U ⊆ Q/M ′ и U — полный прообраз U относительно каноническогоэпиморфизма; тогда U ∩M 6= 0, откуда M ∩ U 6= 0 в Q/M ′). Аналогично, можно считать M ′ большим подмодулем вQ/M ′′. Рассмотрим гомоморфизм f : Q → Q/M ′′ ⊕ Q/M ′, равный прямой сумме канонических гомоморфизмов (т.е.f(x) = (x + M ′′, x + M ′) ). Ясно, что ker f = M ′′ ∩M ′ = 0, поэтому f — мономорфизм и f(Q) ∼= Q — инъективныймодуль. Следовательно, точная последовательность

0→ Qf→ Q/M ′′ ⊕Q/M ′ → Q/IM(f)→ 0

расщепляется, т.е. Q/M ′′⊕Q/M ′ = f(Q)⊕K для некоторого подмодуля K модуля Q/M ′′⊕Q/M ′. Но f(Q) ⊇M ′⊕M ,а M ′ ⊕M — большой подмодуль в Q/M ′′ ⊕ Q/M ′, по лемме 6.2. Следовательно, K = 0, f(Q) = Q/M ′′ ⊕ Q/M ′ и обапрямых слагаемых — инъективные модули (предложение 2.9). Итак, M — большой подмодуль инъективного модуляQ/M ′.

Теперь докажем единственность инъективной оболочки модуля M . Действительно, пусть Q1 и Q2 — две инъектив-ных оболочки, и гомоморфизм f : Q1 → Q2 дополняет диаграмму

0 // M //

Q1

f~~Q2

до коммутативной (вертикальная и горизонтальная стрелки — тождественные вложения). Заметим, что ker(f)∩M = 0,следовательно, f — мономорфизм, f(Q1) — инъективный большой подмодуль модуля Q2, так как M — большойподмодуль в Q2 и M ⊆ f(Q1). Но так как инъективный подмодуль выделяется прямым слагаемым, Q2 = f(Q1),значит, f — изоморфизм, тождественный на M .

После этой теоремы мы можем обозначать инъективную оболочку модуля M через M .

Следствие 6.4. Следующие условия эквивалентны:(1) Q — инъективный модуль;(2) Если Q — большой подмодуль модуля T , то T = Q;(3) Q = Q.

Доказательство.Импликация (1)⇒ (2) очевидна, так как инъективный подмодуль выделяется прямым слагаемым.Импликация (2)⇒ (3) получается, если в (2) подставить T = Q.Импликация (3)⇒ (1) очевидна, по определению Q.

Лемма 6.5. Если M — ненулевой правый (левый) модуль, то Hom(M, V ) 6= 0 для некоторого простого правого(левого) модуля V .

13

Доказательство. Пусть M — ненулевой правый R-модуль и 0 6= x ∈M . Поскольку модуль xR конечно порождён, онсодержит максимальный подмодуль K. Положим V = xR/K и рассмотрим коммутативную диаграмму

0 // xR //

M

f~~V ,

где горизонтальная стрелка — тождественное вложение, а вертикальная стрелка — композиция канонического гомо-морфизма xR→ V и вложения V в V . Тогда 0 6= f ∈ Hom(M, V ).

Теорема 6.6 (Чейз). Пусть R — кольцо. Тогда следующие условия эквивалентны:(1) кольцо R — нётерово справа (слева);(2) прямая сумма любого множества инъективных правых (левых) R-модулей является инъективным R-модулем;(3) прямая сумма любого счётного множества инъективных правых (левых) R-модулей является инъективнымR-модулем;(4) прямая сумма любого счётного множества инъективных оболочек простых правых (левых) R-модулей являетсяинъективным R-модулем.

Доказательство.(1)⇒ (2). Пусть модуль Qα инъективен для любого α ∈ A, где A— произвольное множество индексов, и Q =

⊕α∈AQα.

Пусть I — правый идеал кольца R и f : I → Q — гомоморфизм. Тогда I конечно порождён: I = x1R + . . . + xiR.Поскольку любой элемент прямой суммы модулей имеет лишь конечное число ненулевых компонент, существует такоеконечное подмножество F ⊆ A, что f(x1), . . . , f(xn) ∈

⊕α∈F Qα. Но конечная прямая сумма модулей сопадает с

их произведением, и по предложению 2.9 модуль⊕

α∈F Qα, инъективен. Следовательно, существует гомоморфизмf : R→

⊕α∈F Qα ⊆

⊕α∈AQα = Q. Значит, модуль Q удовлетворяет критерию Бэра (теорема 2.5), следовательно, он

инъективен.(2)⇒ (3)⇒ (4). Тривиально.(4)⇒ (1). Допустим, что R содержит строго возрастающую цепь правых идеалов 0 = I0 $ I1 $ I2 $ . . . и положим

I =⋃∞k=1 Ik. Для любого k > 0 существует простой модуль Vk и ненулевой гомоморфизм fk : Ik/Ik−1 → Vk. Положим

Q =⊕∞

k=1 Vk и обозначим через µk естественное вложение Vk в Q. По условию модуль Q инъективен. Построим поиндукции последовательность гомоморфизмов gk : Ik → Q, удовлетворяющих следующим условиям:(a) gk|Ik−1

= gk−1 при всех k > 1;(b) gk(Ik) ⊆

⊕kj=1 Vj при всех k > 0;

(c) gk(Ik) 6⊆⊕k−1

j=1 Vj при всех k > 1.Положим g1 = µ1f1. Предположим, что k > 1 и гомоморфизм gk−1 уже построен. Поскольку модуль

⊕k−1j=1 Vj инъекти-

вен, существует гомоморфизм gk−1 : Ik →⊕k−1

j=1 Vj , такой, что gk−1|Ik−1= gk−1. Теперь положим gk = gk−1 + µkfkπk,

где πk : Ik → Ik/Ik−1 — канонический эпиморфизм. Поскольку πk(Ik−1 = 0, имеем gk|Ik−1= gk−1|Ik−1

= gk−1, т.е.условие (a) выполнено. Условие (b) вытекает из того, что gk(Ik) ⊆ gk−1(Ik) + µk(Vk) =

⊕kj=1 Vj . Наконец, если x —

такой элемент из Ik, что fkπk(x) 6= 0, то gk(x) имеет ненулевую k-ю компоненту, откуда следует (c). Определим теперьg : I → Q по правилу g(x) = gk(x) для любого k такого, что x ∈ Ik. Условие (a) гарантирует корректность такогоопределения. В силу инъективности Q существует продолжение гомоморфизма g до гомоморфизма g : R → Q. Нотогда найдётся число m такое, что g(1) ∈

⊕mj=1 Vj . Но тогда g(I) = g(I) = g(1)I ⊆

⊕mj=1 Vj , что невозможно, так как

g(Im+1) = g(Im+1) = gm+1(Im+1) 6⊆⊕m

j=1 Vj в силу (c). Противоречие доказывает утверждение.

Следствие 6.7. Если кольцо R нётерово справа, то для любого множества Mα|α ∈ A правых R-модулей выпол-нено равенство ⊕

α∈AMα =

⊕α∈A

Mα

.

Доказательство. В силу леммы 6.2⊕

α∈AMα — большой подмодуль модуля⊕

α∈A Mα, который инъективен по тео-реме 6.6.

Задачи к лекции 6.Задача 6.1. (a) Покажите, что если Q1, Q2 — инъективные модули и существуют мономорфизмы µ1 : Q1 → Q2,µ2 : Q2 → Q1, то Q1

∼= Q2. (b) Верно ли это для произвольных модулей Q1, Q2?

Задача 6.2. Найдите инъективную оболочку группы Z/pZ (p — простое число), если рассматривать её (a) какZ-модуль, (b) как Z/pnZ-модуль.Задача 6.3. Покажите, что для кольца R следующие условия эквивалентны: (1) R нётерово справа; (2) для каждогоинъективного правого R-модуля Q модуль Q(N) также инъективен (здесь Q(N) — прямая сумма счётного множествакопий модуля Q).

Задача 6.4. Пусть V — простой правый R-модуль и S = End(V ). Докажите, что (a) J(S) = f ∈ S| ker(f) ⊇ V ;(b) S/J(S) — тело.

14

Лекция 7. Неразложимые модули, теорема единственности разложения (теоремаКрулля–Ремака–Шмидта–Адзумаи).1. Локальные кольца.

Определение 7.1. Кольцо R называется локальным, если R/J(R) — тело.

Предложение 7.2. Пусть R — ненулевое кольцо. Следующие условия эквивалентны:(1) R — локальное кольцо;(2) J(R) — максимальный правый идеал;(3) J(R) — максимальный левый идеал;(4) для любого элемента x ∈ R либо x либо 1− x — обратимый элемент.

Доказательство.(1)⇒ (2) и (1)⇒ (3). Очевидно, так как в теле нет ни левых ни правых собственных ненулевых идеалов.(2) ⇒ (4) и (3) ⇒ (4). Пусть выполнено условие (2) и x ∈ R. Если x ∈ J(R), то 1 − x — обратимый элемент. Пустьx 6∈ J(R). Тогда xR+J(R) = R, т.е. xr+y = 1 для некоторых r ∈ R, y ∈ J(R). Значит, xr′ = 1, где r′ = r(1−y)−1. Еслиr′x ∈ J(R), то x = xr′x = x(r′x) ∈ J(R), так как J(R) R, что противоречит выбору x. Следовательно, r′x 6∈ J(R) ипо доказанному выше r′xr′′ = 1 для некоторого элемента r′′ ∈ R. Осталось заметить, что x = xr′xr′′ = xr′′, откудаr′x = 1, т.е. r′ = x−1. Аналогично доказывается вторая импликация.(4) ⇒ (1). Если x = x + J(R) 6= 0, то x 6∈ J(R), поэтому правый идеал xR не является квазирегулярным, значит,существует такой элемент r ∈ R, что элемент 1 − xr необратим. Тогда элемент xr обратим, значит, xa = 1, гдеa = r(xr)−1. Аналогично проверяется существование такого элемента b ∈ R, что bx = 1. Но тогда b = bxa = a и x —обратимый элемент R. Значит, x — обратимый элемент кольца R/J(R).

Примеры: кольцо формальных степенных рядов K[[x]] над полем K; локализация коммутативного кольца по про-стому идеалу (см. задачу 7.3).

2. Теорема Крулля–Ремака–Шмидта–Адзумаи.

Определение 7.3. МодульM называется разложимым, если его можно разложить в прямую сумму двух ненулевыхподмодулей. В противном случае он называется неразложимым.

Предложение 7.4. Правый модуль M неразложим тогда и только тогда, когда кольцо End(M) не содержитнетривиальных (т.е. отличных от 0 и 1) идемпотентов.

Доказательство. Пусть модуль M неразложим и e — идемпотент кольца End(M). Покажем, что тогда M = e(M)⊕(1 − e)(M). Действительно, для любого x ∈ M имеем x = e(x) + (1 − e)x, откуда M = e(M) + (1 − e)(M), и еслиx ∈ e(M) ∩ (1 − e)(M), то x = e(y) = (1 − e)z для некоторых y, z ∈ M , откуда e(x) = e2(y) = e(y) = x и e(x) =e(1− e)(z) = e(z)− e2(z) = 0, т.е. x = 0. Следовательно, либо e(M) = 0, т.е. e = 0, либо (1− e)(M) = 0, т.е. e = 1.

Обратно, если M = M1⊕M2, где M1,M2 — собственные подмодули, то проекция ei на Mi — идемпотент в End(M)при i = 1, 2, причём e1 + e2 = 1 и ei 6= 1 при i = 1, 2.

Следствие 7.5. Если кольцо эндоморфизмов модуля M локально, то модуль M неразложим и M 6= 0.

Доказательство. Пусть End(M) — локальное кольцо. Тогда M 6= 0, так как в локальном кольце 0 6= 1. Заметим,что в локальном кольце только два идемпотента: 0 и 1. Действительно, если 0 6= e = e2 6= 1, то e(1 − e) = 0, значит,элементы e и 1− e необратимы, что противоречит 7.2(4). Из предложения 7.4 следует неразложимость M .

Теорема 7.6. Если M =⊕

α∈AMα =⊕

β∈B Nβ, причем End(Mα) — локальное кольцо для каждого α ∈ A и Nβ —ненулевой неразложимый модуль для каждого β ∈ B, то указанные разложения эквивалентны в следующем смысле:существует биекция p : A→ B, такая, что Mα

∼= Np(α) для всех α ∈ A.

Доказательство основано на нескольких леммах.

Лемма 7.7. Пусть M = K⊕L, π : M → K — проекция M на K с ядром L, ϕ ∈ End(M). Если πϕ|K — автоморфизммодуля K, то M = ϕ(K)⊕ L.

Доказательство. Пусть m ∈M и m = x+ y, x ∈ K, y ∈ L. Тогда x = πϕ(x′) для некоторого элемента x′ ∈ K. Значит,π(m−ϕ(x′)) = π(m)−πϕ(x′) = x−x = 0, т.е. m−πϕ(x′) ∈ ker(π) = L иM = ϕ(K)+L. Если m ∈ ϕ(K)∩L, то m = ϕ(x)для некоторого элемента x ∈ K, причём 0 = π(m) = πϕ(x), откуда x = 0 и m = 0. Таким образом, ϕ(K) ∩ L = 0, иM = ϕ(K)⊕ L.

В следующих леммах предполагается, что разложение в прямую сумму M =⊕

α∈AMα удовлетворяет условиямтеоремы.

Лемма 7.8. Для любого ненулевого подмодуля K модуляM множество A0(K) =α ∈ A|K ∩

(⊕α′∈A\αMα′

)= 0

конечно.

Доказательство. Пусть 0 6= x ∈ K. Тогда существует такой конечный набор индексов F , что x ∈⊕

α∈F Mα Но тогда

A0(K) ⊆ F , так как если α 6∈ F , то F ⊆ A \ α и x ∈(⊕

α′∈A\αMα′

)∩K.

15

Лемма 7.9. Пусть σ, τ ∈ End(M), причём σ + τ = 1. Тогда для любого конечного множества индексов F =α1, . . . , αn ⊆ A существуют эндоморфизмы ϕ1, . . . , ϕn ∈ σ, τ и подмодули C1, . . . , Cn такие, что(a) Ci = ϕi(Mαi) и ϕi|Mαi

— мономорфизм для любого i = 1, . . . , n;

(b) M = (⊕ni=1Ci)⊕(⊕

α∈A\F Mα

).

Доказательство. Индукция по n. При n = 1 пусть K = Mα1 и L =⊕

α∈A\α1Mα. Тогда M = K ⊕ L. Пустьπ : M → K — проекцияM наK с ядром L. Тогда πσ|K , πτ |K ∈ End(K) и πσ|K+πτ |K = 1. Так как End(K) — локальноекольцо, то один из этих эндоморфизмов обратим, т.е. является автоморфизмом. Применяя лемму 7.7, получаем модульC1 и эндоморфизм ϕ1, удовлетворяющие условиям (a) и (b). Теперь пусть n > 1 и пусть для множества α1, . . . , αn−1модули C1, . . . , Cn−1 уже найдены. Тогда положим K = Mαn , L =

(⊕n−1i=1 Ci

)⊕(⊕

α∈A\F Mα

). Снова, как для случая

n = 1, применяем лемму 7.7 и получаем ϕn и Cn.

Лемма 7.10. Пусть M = K⊕L, где подмодуль K 6= 0 неразложим, и π : M → K — проекция на K с ядром L. Тогдасуществует такой индекс α ∈ A, что π|Mα

: Mα → K — изоморфизм и Mα ⊕ L = M .

Доказательство. Учитывая включение K ⊆M , можем считать, что π ∈ End(M). Выберем элемент x ∈ K \0. Тогдасуществует такой конечный набор индексов F = α1, . . . , αn и элементов xi ∈Mαi , i = 1, . . . , n, что x = x1 + . . .+ xn.Положим σ = π, τ = 1 − π и применим к F лемму 7.9. Покажем, что среди эндоморфизмов ϕ1, . . . , ϕn хотя бы одинравен π. Предположим противное: ϕ1 = 1− π для любого i = 1, . . . , n. Получим

0 = (1− π)(x) = (1− π)(x1) + . . .+ (1− π)(xn) = ϕ1(x1) + . . .+ ϕn(xn).Но поскольку ϕi(xi) ∈ Ci для любого i = 1, . . . , n, а модули C1, . . . , Cn ввиду 7.9(b) образуют прямую сумму, имеемϕ1(x1) = . . . = ϕn(xn) = 0, откуда ввиду 7.9(a) получаем x1 = . . . = xn = 0, т.е. x = 0, что противоречит выбору x.Теперь положим α = αi, для которого ϕi = π. Тогда ϕi(Mα) ⊆ π(M) = K. Поскольку Ci = ϕi(Mα) — прямое слагаемоев M , Ci также является прямым слагаемым в K (если Ci ⊕ C ′ = M , то K = C ⊕ (C ′ ∩ K)). Из неразложимостиK получаем, что Ci = K. Осталось проверить, что Mα ⊕ L = M . Но для любого m ∈ M запишем m = x + y, гдеx ∈ K, y ∈ L и выберем x′ ∈Mα так, что π(x′) = x. Тогда x− x′ = y′ ∈ L и m = x′ + (y + y′) ∈Mα + L. Наконец, еслиx′ ∈ L ∩Mα, то π(x′) = 0 и x′ = 0, так как π|Mα — мономорфизм.

Теперь можно дать

Доказательтво теоремы 7.6. Из леммы 7.10 вытекает, что каждый модуль Nβ изоморфен некоторому модулюMα, следовательно, все кольца End(Nβ) локальны. Для любого неразложимого подмодуля T модуля M положимA(T ) = α ∈ A|Mα

∼= T и B(T ) = β ∈ B|Nβ ∼= T. Ясно, что для неразложимых модулей T и T ′ либо A(T ) = A(T ′)либо A(T ) ∩ A(T ′) = ∅, поэтому множества A(T ) (соответственно, B(T )) образуют разбиение множества A (соответ-ственно, B). Для завершения доказательства теперь достаточно установить, что card(A(T )) ≥ card(B(T )), где card(S)обозначает мощность множества S (обратное неравенство получается, если рассмотреть модули Nβ вместо Mα в 7.9 и7.10). Рассмотрим два случая.1) Множество A(T ) конечно: |A(T )| = n. Допустим, что β1, . . . , βn+1 — различные элементы множества B(T ). Будемпоследовательно применять лемму 7.10. Сначала положим K = Nβ1 и L =

⊕β∈B\β1Nβ и найдём индекс α1 ∈ A,

для которого Nβ1∼= Mα1 и Mα1 ⊕

(⊕β∈B\β1Nβ

)= M , затем, полагая K = Nβ2 и L = Mα1 ⊕

(⊕β∈A\β1,β2Nβ

),

выберем α2 ∈ A, для которого Nβ2∼= Mα2 и Mα1 ⊕Mα2 ⊕

(⊕β∈B\β1,α2Nβ

)= M и т.д., пока не получим разложения

M = Mα1⊕ . . . ⊕Mαn+1

⊕(⊕

β∈B\β1,...,βn+1Nβ

). Очевидно, что α1, . . . , αn+1 различны и принадлежат A(T ), что

невозможно. Получаем card(B(T )) ≤ n.2) Множество A(T ) бесконечно. Для любого α ∈ A положим Fα =

γ ∈ B|M = Mα ⊕

(⊕β∈B\γNβ

). В силу леммы

7.8, Fα — конечное множество. Применяя лемму 7.10 к разложению M = Nγ ⊕(⊕

β∈B\γNβ

), где γ — произвольный

элемент из B(T ), имеем⋃α∈A(T ) Fα = B(T ). Таким образом, card(B(T )) ≤ card(

⋃n∈NA(T )n) = card(A(T ) × N) =

card(A(T )) в силу бесконечности множества A(T )1.

Задачи к лекции 7.Задача 7.1. Приведите пример неразложимого модуля, кольцо эндоморфизмов которого не является локальным.Задача 7.2. Опишите неразложимые конечно порождённые абелевы группы.Задача 7.3. Пусть R — коммутативное кольцо. Собственный идеал P кольца R называется простым, если из ab ∈ Pследует, что a ∈ P или b ∈ P . Пусть P — простой идеал кольца R и S = R \ P . На множестве пар (r, s)|r ∈ R, s ∈ Sвведём отношение (r1, s1) ∼ (r2, s2), если существует такой элемент s ∈ S, что s(s1r2 − s2r1) = 0. Это отношениеявляется отношением эквивалентности (докажите!), и класс эквивалентности пары (r, s) мы обозначим через rs−1.На множестве указанных классов эквивалентности определяются операции r1s

−11 + r2s

−12 = (r1s2 + r2s1)(s1s2)−1 и

r1s−11 · r2s

−12 = (r1r2)(s1s2)−1 (проверьте корректность определения операций!). Докажите, что относительно введён-

ных операций множество классов является кольцом, и это кольцо — локальное.Задача 7.4. Пусть R = Z[

√−5]. Покажите, что существует R-модуль, имеющий неэквивалентные (в смысле теоремы

7.6) разложения в прямую сумму неразложимых прямых слагаемых.

1см., например, §I.2 книги Л.А.Скорнякова “Элементы общей алгебры”, М:Наука, 1983 или любой курс теории множеств или функцио-нального анализа.

16

Лекция 8. Характеризация нётеровых и артиновых колец с помощью неразложимыхмодулей1. Однородные модули.

Определение 8.1. Модуль M называется однородным, если любые два ненулевых подмодуля в M имеют ненулевоепересечение.

Очевидно, что условие однородности модуля M равносильно тому, что любой ненулевой подмодуль в M являетсябольшим. Также очевидно, что однородный модуль неразложим.

Предложение 8.2. Пусть правый модуль Q 6= 0 над кольцом R инъективен. Тогда следующие условия эквивалент-ны:(1) Q неразложим;(2) Q является инъективной оболочкой любого своего ненулевого подмодуля;(3) Q является однородным;(4) Q является инъективной оболочкой некоторого своего однородного подмодуля;(5) кольцо End(Q) является локальным.

Доказательство.(1)⇒ (2). Пусть UR ⊆ Q и U 6= 0. Тогда из коммутативной диаграммы

0 // U //

U

fQ

видно, что ker(f) ∩ U = 0, значит, f — мономорфизм, и можно считать, что U ⊆ Q. Но в силу инъективности модуляU имеем Q = U ⊕K для некоторого подмодуля K модуля Q. Из неразложимости Q следует U = Q.(2)⇒ (3). Пусть U1 и U2 — такие подмодули в Q, что U1∩U2 = 0 и U1 6= 0. Тогда Q = U1, следовательно, U1 — большойподмодуль модуля Q, откуда U2 = 0.(3)⇒ (4). Тривиально, так как Q = Q.(4)⇒ (5). Пусть Q = U , где U — однородный подмодуль, f ∈ End(Q) и g = 1− f . Тогда ker(f)∩ ker(g) = 0 и тем более(ker(f) ∩U) ∩ (ker(g) ∩U) = 0. В силу однородности U , либо ker(f) ∩U = 0, либо ker(g) ∩U = 0. Пусть ker(f) ∩U = 0.Но тогда ker(f) = 0, так как U — большой подмодуль в Q, и f(Q) ∼= Q — инъективный подмодуль в Q. Следовательно,Q = f(Q) ⊕ L для некоторого подмодуля L ⊆ Q и 0 6= f(Q) ∩ U ⇒ L ∩ U = 0 ⇒ L = 0 ⇒ Q = f(Q), значит, f —изоморфизм, т.е. обратимый элемент кольца End(Q). Аналогично, если ker(g)∩U = 0, то g — изоморфизм. Получилиусловие 7.2(4) для кольца End(Q).(5)⇒ (1). Доказано в 7.5.

Следствие 8.3.(a) Инъективная оболочка любого простого модуля — неразложимый модуль.(b) Любой неразложимый инъективный модуль содержит не 6oлee одного простого подмодуля.(c) Если кольцо R артиново справа, то каждый неразложимый инъективный правый R-модуль есть инъективнаяоболочка некоторого простого R-модуля.

Доказательство. (a) Простой модуль V является однородным, следовательно, V удовлетворяет условию 8.2(4).(b) Если V1, V2 — простые подмодули инъективного модуля Q, то Q содержит инъективный модуль V1 ⊕ V2, которыйвыделяется в Q прямым слагаемым: Q = V1 ⊕ V2 ⊕K. Видно, что Q разложим.(c). Пусть Q — неразложимый инъективный правый модуль над артиновым справа кольцом R. Выберем q ∈ Q \ 0и заметим, что модуль qR (как гомоморфный образ модуля RR) артинов, следовательно, он содержит минимальныйподмодуль, скажем, V . Но тогда по 8.2(2) Q = V .

Лемма 8.4. Пусть кольцо R нётерово справа.(a) Любой ненулевой правый R-модуль M содержит ненулевой однородный подмодуль.(b) любой правый R-модуль M содержит прямую сумму однородных правых R-модулей, которая является большимподмодулем в M .

Доказательство.(a) Пусть 0 6= m ∈M . Тогда N = mR — нётеров модуль. Допустим, что модуль N не содержит ненулевых однородныхподмодулей. В частности, он сам не является однородным, следовательно в нём есть ненулевые подмодули N1 и N ′1такие, что N1∩N ′1 = 0. Поскольку N ′1 не однороден, он содержит ненулевые подмодули N2 и N ′2 такие, что N2∩N ′2 = 0.Продолжая таким образом, получаем бесконечную возрастающую цепь N1 ⊂ N1⊕N2 ⊂ . . . подмодулей модуля N , чтоневозможно.(b) Пусть M 6= 0, так как при M = 0 нечего доказывать. Пусть Uαα∈A — множество всех ненулевых однородныхподмодулей правого модуля M (оно непустое в силу (a)), S — множество таких подмножеств B ⊆ A, что модулиUαα∈B образуют прямую сумму. Введём в S частичный порядок с помощью отношения включения. Ясно, что этомножество удовлетворяет условиям леммы Цорна, поэтому в нём имеется максимальный элемент B0. Покажем, чтоN =

⊕α∈B0

Uα — большой подмодуль модуля M . Действительно, если N ∩ K = 0 и K 6= 0, то в силу (a) найдётсяиндекс α ∈ A такой, что Uα ⊆ K, следовательно, N ∩Uα = 0 и B0∪α ∈ S, что противоречит максимальности B0.

17

Лемма 8.5. Для любых модулей M1, . . . ,Mn имеет место равенство ⊕ni=1Mi = ⊕ni=1Mi.

Доказательство. Рассмотрим диаграмму

0 // ⊕ni=1Mi//

⊕ni=1Mi

fzz⊕ni=1Mi

.

Из леммы 6.2 следует, что ⊕ni=1Mi — большой подмодуль модуля ⊕ni=1Mi, поэтому ker(f) = 0 и f(⊕ni=1Mi) — инъек-тивный подмодуль модуля ⊕ni=1Mi, содержащий ⊕ni=1Mi. Из этого следует утверждение леммы.

Теорема 8.6. Следующие условия на кольцо R эквивалентны:(1) R нётерово справа;(2) любой инъективный правый R-модуль разлагается в прямую сумму неразложимых (инъективных) модулей.

Доказательство. (1) ⇒ (2) Пусть Q — инъективный правый модуль над нётеровым справа кольцом R, Q 6= 0 иN =

⊕α∈A Uα — большой подмодуль модуля Q, где все Uα однородны (см.8.4(b)). Тогда

⊕α∈A Uα — большой инъек-

тивный (в силу теоремы 6.6) подмодуль модуля Q, откуда следует, что Q =⊕

α∈A Uα, где все модули Uα неразложимыв силу 8.2.(2)⇒ (1) В силу теоремы 6.6(4) и следствия 8.3(а) достаточно показать, что если Q1, Q2, . . . — неразложимые инъек-тивные модули, то их прямая суммаM =

⊕∞i=1Qi является инъективным модулем. Положим Q = M и Li =

⊕∞j=i+1Qj

для всех i ∈ N. Из леммы 8.5 вытекает, что(⊕i

j=1Qi

)⊕ Li = Q для любого i ∈ N. По условию, найдутся такие нераз-

ложимые инъективные модули Mα, α ∈ A, что Q =⊕

α∈AMα. Из 8.2(5) следует, что это разложение удовлетворяетусловию теоремы 7.6. Аналогично одному из этапов её доказательства построим по индукции такую последователь-ность α1, α2, . . . индексов из A, что Mαi

∼= Qi и(⊕i

j=1Mαj

)⊕ Li = Q для всех i ∈ N. При i = 1 положим K = Q1

и L = L1 и по лемме 7.10 найдём индекс α1 ∈ A, для которого Q1∼= Mα1 и Mα1 ⊕ L1 = Q. Если i > 1 и α1, . . . , αi−1

уже найдены, то положим K = Qi и L =(⊕i−1

j=1Mαj

)⊕ Li. Заметим, что по лемме 8.5 имеем Li−1 = Qi ⊕ Li, поэтому

K ⊕ L = Q и по лемме 7.10 найдётся индекс αi из A, для которого Mαi∼= Qi и

Mαi ⊕

i−1⊕j=1

Mαj

⊕ Li =

i⊕j=1

Mαj

⊕ Li = Q.

Итак, M ∼=⊕∞

i=1Mαi . Но Q = (⊕∞

i=1Mαi)⊕(⊕

α∈A\αi:i∈NMα

), следовательно,

⊕∞i=1Mαi — инъективный модуль и

M также инъективен.

Теорема 8.7. Следующие условия на кольцо R эквивалентны:(1) R артиново справа;(2) любой инъективный правый R-модуль разлагается в прямую сумму инъективных оболочек простых модулей.

Доказательство. Напомним, что артиново справа кольцо нётерово справа (теорема 5.14). Поскольку при R = 0доказывать нечего, пусть R 6= 0.(1)⇒ (2) Сразу следует из теоремы 8.6 и следствия 8.3(с).(2) ⇒ (1) Покажем сначала, что при условии (2) любой ненулевй правый R-модуль M содержит простой подмодуль.Действительно, пусть M =

⊕α∈AQα, где Qα = Vα и Vα — простой модуль для любого α ∈ A 6= ∅. Тогда Vα —

ненулевой подмодуль, а M — большой подмодуль модуля в M . Следовательно, Vα ∩M 6= 0, откуда Vα ⊆M .Заметим также, что из условия (2), следствия 8.3(a) и теоремы 8.6 вытекает, что R — нётерово справа кольцо.

Теперь построим возрастающую цепь артиновых подмодулей модуля RR по индукции. Положим I1 = V , где V —простой подмодуль модуля RR. Если правый идеал In уже построен и In 6= R, выберем в R/In простой подмодуль V иположим In+1 = π−1(V ), где π : R → R/In — канонический гомоморфизм. Тогда In+1 % In и In+1/In = V — артиновмодуль, так как V и In — артиновы модули (см. 5.4). Поскольку модуль RR нётеров, для некоторого n получаетсяIn = R.

Задачи к лекции 8.Задача 8.1. Приведите пример неразложимого модуля, который не является однородным.Задача 8.2. Верно ли, что если модуль U однороден, то любой его фактор-модуль также однороден?Задача 8.3. Модуль M называется полуартиновым, если любой ненулевой фактор-модуль модуля M содержит про-стой подмодуль. Докажите, что нётеров модуль полуартинов тогда и только тогда, когда он артинов.Задача 8.4. Пусть N — подмодуль модуляM . Докажите, чтоM полуартинов тогда и только тогда, когда N иM/N —полуартиновы модули.Задача 8.5. Покажите, что сумма любого множества полуартиновых подмодулей некоторого модуля — полуартиновмодуль.Задача 8.6. Докажите эквивалентность следующих условий: (1) кольцо R полуартиново справа, т.е. модуль RR по-луартинов; (2) любой правый R-модуль полуартинов.

18

Лекция 9. Проективные накрытияУсловие “N является малым подмодулем модуля M ” будем далее записывать сокращённо так: N M .

Лемма 9.1.(a) Если K M и LM , то K + LM .(b) Пусть f : M → N — гомоморфизм модулей и K M . Тогда f(K) N .(c) Если K1 M1, . . . ,Kn Mn, то

⊕ni=1Ki

⊕ni=1Mi.

(d) Пусть P — проективный правый модуль и S = End(P ). Тогда J(S) = f ∈ S|f(P ) P.

Доказательство.(a) Для любого подмодуля N модуля M имеем K + L+N = M ⇒ K + (L+N) = M ⇒ L+N = M ⇒ L = M .(b) Пусть L — подмодуль в N и f(K) + L = N . Тогда f(K) + L ∩ f(M) = f(M) (закон модулярности 1.5).Положим L′ = f−1(L) и заметим, что K + L′ = M , откуда L′ = M и f(M) = f(L′) ⊆ L. Следовательно,N = f(K) + L ⊆ f(M) + L ⊆ L, или L = N .(c) Из утверждения (b), применённого к вложению Mi в M =

⊕ni=1Mi, вытекает, что Ki M при всех i = 1, . . . , n, а

тогда из (a) по индукции получаем (c).(d) Пусть f(P ) P . Достаточно проверить (в силу 4.11), что fS SS . Предположим, что fS+K = S для некоторогоподмодуля K модуля SS . Тогда имеем 1 = fs+ u для некоторых элементов s ∈ S, u ∈ K. Тогда P = f(s(P )) + u(P ) ⊆f(P ) + u(P ), откуда u(P ) = P . Теперь имеем точную последовательность 0 → ker(u) → P

u→ P → 0. Эта точнаяпоследовательность в силу проективности модуля P расщепляется, т.е. существует эндоморфизм g ∈ S такой, чтоug = 1. Но ug ∈ K, поэтому K 3 1 и K = S.Обратно, пусть f ∈ J(S), K — подмодуль модуля P , такой, что f(P ) +K = P , и π : P → P/K — канонический гомо-морфизм. Из равенства f(P ) +K = P вытекает, что πf : P → P/K — эпиморфизм. Имеем коммутативную диаграмму

R

π

π

P

πf // P/K // 0,

где π существует в силу проективности модуля P . Но это означает, что πfπ = π ⇒ π(1− fπ) = 0⇒ π = 0, посколькуfπ ∈ J(S) и, следовательно, 1− fπ — изоморфизм. Но из π = 0 следует K = P .

Определение 9.2. Проективный модуль P называется проективным накрытием модуля M , если M ∼= P/K, гдеK P . Эпиморфизм P →M с ядром K будем называть накрывающим эпиморфизмом.

Заметим, что в отличие от инъективной оболочки, проективное накрытие существует не всегда (см. задачу 1).

Предложение 9.3. Если проективное накрытие модуля M существует, то оно единственно в следующем смысле:пусть P1 и P2 — проективные накрытия модуля M , т.е. M ∼= P1/K1

∼= P2/K2, где K1 P1, K2 P2; π1, π2 —накрывающие эпиморфизмы для P1, P2. Тогда существует изоморфизм f : P1 → P2, для которого следующая диа-грамма коммутативна:

P1f //

π1

P2

π2~~M

Доказательство. Рассмотрим коммутативную диаграмму, в которой гомоморфизм f существует в силу проективно-сти модуля P1, а гомоморфизм g будет определён далее:

P1

π1

f

~~P2

π2 //

g ..

M // 0Достаточно проверить, что f — изоморфизм.

Прежде всего заметим, что π2f(P1) = π1(P1) = M = π2(P2), следовательно, f(P1) + ker(π2) = P2. Но ker(π2) =K2 P2, следовательно, f(P1) = P2, т.е. f — эпиморфизм. В силу проективности модуля P2 точная последовательностьP1

f→ P2 → 0 расщепляется: существует такой гомоморфизм g : P2 → P1, что fg = 1P2. При этом π1g = π2fg = π2,

значит, π1g(P2) = π2(P2) = M = π1(P1), откуда g(P2) + ker(π1) = P1. Но ker(π1) = K1 P1, поэтому g(P2) = P1.Теперь если x ∈ ker(f), то x = g(y) для некоторого y ∈ P2 и 0 = f(x) = fg(y) = y, стало быть x = g(0) = 0, и f —мономорфизм.

Поскольку прямая сумма проективных модулей есть проективный модуль, сразу получаем

Следствие 9.4. Если P1, . . . , Pk — проективные накрытия модулей M1, . . . ,Mn, то⊕n

i=1 Pi — проективное накры-тие модуля

⊕ni=1Mi. 2

Определение 9.5. Множество идемпотентов e1, . . . , en кольца R называется ортогональным, если eiej = 0 при1 ≤ i 6= j ≤ n, и полным, если e1 + . . .+ en = 1.

Пример: если e — идемпотент, то e, 1− e — полное ортогональное множество идемпотентов.19

Лемма 9.6.(a) Если e1, . . . , en — полное ортогональное множество идемпотентов кольца R, то R = e1R⊕ . . .⊕ enR.(b) Если RR = I1 ⊕ . . . ⊕ In, то существует единственное полное ортогональное множество идемпотентовe1, . . . , en кольца R, такое, что Ik = ekR при всех k = 1, . . . , n.

Доказательство. (a) Для любого x ∈ R имеем x = 1x = (e1 + . . .+ en)x = e1x+ . . .+ enx ∈ e1R + . . .+ enR. Если жеx ∈ eiR ∩

(∑j∈1,...,n\i ejR

), то x = eix ∈ ei

∑j∈1,...,n\i ejR = 0, значит, сумма R = e1R+ . . .+ enR — прямая.

(b) Пусть πk : R → Ik — проекция R на Ik с ядром∑j∈1,...,n\k Ij . Положим ek = πk(1), k = 1, . . . , n. Тогда

e1, . . . , en — искомое множество идемпотентов. Действительно, если 1 ≤ k ≤ n, то Ik = πk(R) = πk(1 · R) = ekR.Далее, поскольку πk — проекция, ek = πk(1 · ek) = πk(1)ek = e2k и 0 = πk(1 · ej) = πk(1)ej = ekej для любогоj ∈ 1, . . . , n \ k.Наконец, единственность указанного множества вытекает из того, что 1 = e1 + . . .+ en — единственное представлениеэлемента 1 в виде суммы элементов прямых слагаемых.

Лемма 9.7. Пусть e — идемпотент кольца R. Тогда(a) имеется естественный изоморфизм колец End(eR) ∼= eRe;(b) J(eR) = eJ(R), J(eRe) = eJ(R)e и eRe/J(eRe) ∼= e(R/J(R))e.

Доказательство.(a) Для любого элемента r ∈ eRe определим гомоморфизм fr : eR → eR правилом fr(x) = rx. Очевидно, чтоϕ : r 7→ fr — гомоморфизм колец. Покажем, что ϕ — изоморфизм. Заметим, что fr(e) = r, поэтому ker(ϕ) = 0. Теперьпусть f : eR → eR — произвольный эндоморфизм. Положим r = f(e). Тогда r ∈ eR и r = f(e2) = f(e)e = re. Значит,r = ere ∈ eRe. Наконец, для любого x ∈ eR имеем f(x) = f(ex) = f(e)x = rx, т.е. f = fr = ϕ(r).(b) Начнём с простого замечания: если e2 = e ∈ R и I R, то eI = eR ∩ I. Действительно, eR ⊆ eR ∩ I при любомe. Обратно, если x ∈ eR ∩ I, то x = ex ∈ eI. Аналогично проверяется, что Ie = Re ∩ I и eIe = eRe ∩ I. Далее,J(eR) ⊆ eR ∩ J(R) = eJ(R) и eJ(R) ⊆ J(eR) по лемме Накаямы 4.13. Проверим второе равенство. Из (a), 9.1(d) и4.8 для любого r ∈ eRe получаем r ∈ J(eRe) ⇔ fr ∈ J(End(eR)) ⇔ fr(eR) eR ⇔ reR ⊆ J(eR) ⇔ r ∈ J(R) ∩ eR ⇔r ∈ J(R) ⇔ r = ere ∈ eJ(R)e. Наконец, пусть R = R/J(R) и π : R → R — канонический гомоморфизм. Ясно, чтоπ(eRe) = eRe. При этом ker(π|eRe) = ker(π) ∩ eRe = J(R) ∩ eRe = eJ(R)e = J(eRe). Итак, eRe/J(eRe) ∼= eRe.

Теорема 9.8. Циклический правый модуль M над кольцом R имеет проективное накрытие тогда и только тогда,когда M ∼= eR/eI для некоторого идемпотента e ∈ R и некоторого правого идеала I кольца R, который содержитсяв J(R). При этом eR — проективное накрытие модуля M .

Доказательство. Если M = eR/eI, где e2 = e и I ⊆ J(R), то eR — проективное накрытие M . Действительно, всилу 9.6(a) eR — проективный R-модуль, а в силу 9.7(b) eJ(R) = J(eR). Поскольку eR —циклический модуль, J(eR)является, в силу 4.8, малым подмодулем в eR. Тем более верно, что eI eR.

Теперь пусть P — проективное накрытие модуля M и π : P → M — накрывающий эпиморфизм. Но цикличе-ский правый модуль — это гомоморфный образ модуля RR, поэтому можно рассмотреть коммутативную диаграмму

R

f

f

~~P

π // M // 0,

где f — эпиморфизм, а гомоморфизм f существует в силу проективности модуля RR. Из сюръективности f следует,

что f(R) + ker(π) = P , а ker(π) P , значит, f — эпиморфизм. Но точная последовательность R f→ P → 0 расщеп-ляется, т.е. модуль P изоморфен прямому слагаемому модуля RR, а оно имеет вид eR для некоторого идемпотентаe ∈ R. При этом изоморфизме ker(π) переходит в малый подмодуль I модуля eR. Осталось заметить, что I = eI и из4.8 следует, что I ⊆ J(eR), а J(eR) ⊆ J(R) в силу 4.6(1).

Задачи к лекции 9.

Задача 9.1. Покажите, что Z-модуль имеет проективное накрытие тогда и только тогда, когда он свободен.

Задача 9.2. Покажите, что существуют модуль M и (бесконечное) множество Mαα∈A малых подмодулей модуляM , для которых

∑α∈AMα не является малым подмодулем модуля M .

Задача 9.3. Верно ли утверждение 9.1(c) для бесконечных прямых сумм?

Задача 9.4. Докажите, что если e, f — идемпотенты кольца R, то абелева группа Hom(eR, fR) изоморфна подгруппеfRe аддитивной группы кольца R.

Задача 9.5. Докажите, что если e, f — идемпотенты кольца R, то eR ∼= fR⇔ Re ∼= Rf .

20

Лекция 10. Поднятие идемпотентов и полусовершенные кольца.В этой лекции предполагается, что все рассматриваемые кольца — ненулевые.

Определение 10.1. Пусть I — идеал кольца R и R = R/I. Говорят, что можно поднимать идемпотенты по модулюI, если для любого идемпотента e ∈ R существует идемпотент e ∈ R такой, что e+ I = e.Говорят, что можно поднимать (полные) ортогональные множества идемпотентов по модулю I, если для любого(полного) ортогонального множества идемпотентов e1, . . . , en ⊆ R существует такое (полное) ортогональное множе-ство идемпотентов e1, . . . , en ⊆ R, что ei + I = ei при всех i = 1, . . . , n.

Предложение 10.2. Идемпотенты можно поднимать по модулю любого ниль-идеала.

Доказательство. Пусть I — ниль-идеал кольца R и π : R→ R = R/I — канонический гомоморфизм. Если e = π(f) —идемпотент кольца R, то f2 − f ∈ I, и существует число n ∈ N такое, что (f2 − f)n = 0. Имеем

0 = (f − f2)n =∑ni=0

(ni

)fn−i(−1)if2i = fn − fn+1

n∑i=1

(−1)i−1(ni

)f i−1︸ ︷︷ ︸

=t

,

т.е. fn = fn+1t, где t ∈ R и ft = tf . Положим e = fntn. Получим e = fn+1ttn = fn+1tn+1 = eft, откуда e = e(ft)n = e2.Осталось заметить, что e = en = π(f)n = π(f)n+1π(t) = eπ(t), откуда π(e) = enπ(t)n = eπ(t)n = e.

Теорема 10.3. Пусть R — кольцо, I R и I ⊆ J(R). Тогда следующие условия эквивалентны:(1) можно можно поднимать идемпотенты по модулю I;(2) каждое прямое слагаемое правого модуля (R/I)R имеет проективное накрытие;(3) каждое прямое слагаемое левого модуля R(R/I) имеет проективное накрытие;(4) полные ортогональные множества идемпотентов можно поднимать по модулю I;(5) ортогональные множества идемпотентов можно поднимать по модулю I.

Доказательство. Положим R = R/I. Заметим сразу, что по условию I RR и I RR.(1) ⇒ (2) Ясно, что прямое слагаемое K модуля RR является одновременно прямым слагаемым модуля RR, поэтомуK = eR для некоторого идемпотента e кольца R. Из (1) следует, что e = e + I, где e2 = e ∈ R. Используя 9.7(b),получаем K = (eR+ I)/I ∼= eR/(I ∩ eR) = eR/eI, следовательно, K имеет проективное накрытие по теореме 9.7.(1)⇒ (3) Аналогично.(2) ⇒ (4) Пусть e1, . . . , en ⊆ R — полное ортогональное множество идемпотентов кольца R. Тогда RR =

⊕nk=1 ekR

и каждый циклический модуль ekR имеет проективное накрытие Pk, k = 1, . . . , n. Заметим, что R — проек-тивное накрытие модуля (R)R с каноническим эпиморфизмом π : R → R в качестве накрывающего (так какI RR). В силу следствия 9.4 и единственности проективного накрытия получаем коммутативную диаграмму

0 //⊕nk=1 Pk

f //

R

π

// 0

⊕nk=1 ekR R

,

где f — изоморфизм. Значит, в силу 9.6(b) имеем f(Pk) = ekR, k = 1, . . . , n, для некоторого полного ортогональногомножества идемпотентов e1, . . . , en. Равенства ek+I = ek вытекают из единственности представления элемента π(1)в виде суммы элементов, принадлежащих прямым слагаемым e1R, . . . , ekR.(3)⇒ (4) Аналогично.(4) ⇒ (5) Если e1, . . . , en — ортогональное множество идемпотентов кольца R, то e1, . . . , en, 1 − (e1 + . . . + en)) —полное ортогональное множество идемпотентов кольца R. Поднятие второго множества включает поднятие первого.(5)⇒ (1) Тривиально: множество из одного идемпотента e — ортогональное множество идемпотентов.

Определение 10.4. Кольцо R 6= 0 называется полусовершенным, если R/J(R) — классически полупростое кольцо(см. 3.5 и 3.8) и идемпотенты можно поднимать по модулю радикала J(R).

Определение 10.5. Идемпотент e кольца R называется локальным, если eRe — локальное кольцо.

Лемма 10.6. Идемпотент e кольца R является локальным тогда и только тогда, когда eR/eJ(R) — простойправый R-модуль.

Доказательство. Пусть R = R/J(R) и π : R→ R — канонический гомоморфизм. Положим e = π(e). Известно из 9.8,что eRe/J(eRe) ∼= eRe ∼= End(eR). Если eR/eJ(R) ∼= eR — простой правый R-модуль, то кольцо End(eR), по леммеШура, есть тело.

Обратно, пусть eRe — локальное кольцо. Выберем в eR максимальный подмодульK (он существует, так как ненуле-вой модуль eR конечно порождён). Предположим, что K не является малым подмодулем в eR. Тогда существует под-модуль L модуля eR такой, что K+L = eR, но L 6= eR. Имеем eR/K ∼= (L+K)/K ∼= L/(L∩K), т.е. существует эпимор-физм f : eR→ L/(L∩K). Вместе с каноническим гомоморфизмом L→ L/(L∩K) это даёт коммутативную диаграмму

eR

f

f

zzL // L/(L ∩K) // 0,

21

где гомоморфизм f существует в силу проективности модуля eR. Поскольку L ⊆ eR, можно рассматривать f какэлемент кольца S = End(eR) ∼= eRe. Поскольку f s(eR) ⊆ f(eR) ⊆ L 6= eR для любого эндоморфизма s ∈ S, эле-мент fs необратим, а элемент 1 − fs, следовательно, обратим в силу 7.2, поскольку S ∼= eRe — локальное коль-цо. Получаем, что f ∈ J(S), откуда в силу 9.1(d) имеем f(eR) eR. С другой стороны, f(eR) + (K ∩ L) = L, иf(eR) +K = f(eR) + (K ∩ L) +K = L + K = eR, значит, K = eR, противоречие. Итак, eJ(R) = J(eR) ⊆ K ⊆ J(eR),следовательно, eR = eR/J(eR) = eR/K — простой правый R-модуль.

Теорема 10.7. Для кольца R следующие условия эквивалентны:(1) кольцо R полусовершенно;(2) кольцо R содержит полное ортогональное множество локальных идемпотентов;(3) каждый простой правый R-модуль имеет проективное накрытие;(4) каждый простой левый R-модуль имеет проективное накрытие;(5) каждый конечно порождённый правый R-модуль имеет проективное накрытие;(6) каждый конечно порождённый левый R-модуль имеет проективное накрытие.

Доказательство. Положим для краткости J = J(R). Пусть R = R/J и π : R→ R — канонический гомоморфизм.(1) ⇒ (2) По определению, классически полупростое кольцо R есть прямая сумма простых подмодулей, а каждое

слагаемое по 9.6(b) имеет вид eiR, причём e1, . . . , en — полное ортогональное множество идемпотентов кольца R.Поднимем его до полного ортогонального множества e1, . . . , en идемпотентов кольца R. Выберем произвольно идем-потент e из этого множества. Тогда e = e + J ∈ e1, . . . , en. Следовательно, в силу 9.8 имеем eRe/J(eRe) ∼= eRe, акольцо eRe — тело, согласно лемме Шура.

(2)⇒ (3) Пусть e1, . . . , en — полное ортогональное множество локальных идемпотентов.Заметим, что из равенства R = e1R⊕. . .⊕enR следует, что R = π(e1)R+. . .+π(en)R, причём в силу ортогональности

идемпотентов π(e1), . . . , π(en) эта сумма — прямая, а в силу леммы 10.6 её слагаемые — простыеR-модули (иR-модули).Ясно, что каждый простой правый R-модуль есть фактор-модуль модуля RR, следовательно, изоморфен какому-тоиз модулей eiR, 1 ≤ i ≤ n, а модуль eiR имеет проективное накрытие eiR в силу 9.7.

(2)⇒ (4) Аналогично предыдущему.(3) ⇒ (5) Сначала заметим, что если P — проективное накрытие простого модуля V , то ядро N накрывающего

гомоморфизма ρ : P → V содержит любой собственный подмодуль L модуля P . Действительно, если L 6⊆ N , тоρ(L) 6= 0⇒ ρ(L) = V ⇒ L+N = P ⇒ L = P , поскольку N P . В частности, N = J(P ).

Пусть теперь Mαα∈A — множество всех максимальных правых идеалов кольца R, Pα — проективное накрытиепростого модуля R/Mα и πα : Pα → R/Mα — накрывающий эпиморфизм для всех α ∈ A. Положим P =

⊕α∈A Pα.

Введём для любого модуля K обозначение TrK(P ) =∑f∈Hom(P,K) f(P ). Очевидно, что TrK(P ) — подмодуль модуля

K. Покажем, что если модуль K конечно порождён, то TrK(P ) = K. Действительно, если TrK(P ) $ K, то суще-ствует максимальный подмодуль N модуля K, содержащий TrK(P ). Но тогда K/N ∼= Mα для некоторого α ∈ A,значит, существует эпиморфизм f : P → K/N . В силу проективности модуля P получаем коммутативную диаграмму

P

f

f

||K // K/N // 0,

из которой очевидно, что f(P ) * N , что невозможно, так как f(P ) ⊆ TrK(P ) ⊆ N . Итак, найдется такая конечнаяпрямая сумма P ′ = P1⊕ . . .⊕Pn, где каждый модуль Pi — проективное накрытие простого модуля Vi, что существуетэпиморфизм f : P ′ → K. Поскольку f(J(P ′)) ⊆ J(K), эпиморфизм f индуцирует эпиморфизм f : P ′/J(P ′)→ K/J(K).Тогда K/J(K) — сумма образов относительно f простых модулей Vi = Pi/J(Pi) , и можно выбрать минимальное под-множество B ⊆ 1, . . . , n такое, что

∑i∈B f(Vi) = K/J(K). Но тогда без ограничения общности можно считать, что

B = 1, . . . ,m для некоторогоm ≤ n, иK/J(K) =⊕m

i=1 f(Pi/J(Pi)). Положим P ′′ =⊕m

i=1 Pi, тогда f(P ′′)+J(K) = K,откуда f(P ′′) = K и ker(f |P ′′) ⊆ J(P ′′) P ′′. Следовательно, P ′′ — проективное накрытие модуля K.

(4)⇒ (6) Аналогично предыдущему.(5)⇒ (1) То, что (полные) ортогональные множества идемпотентов можно поднимать по модулю J , сразу вытекает

из 10.3. Рассмотрим произвольный подмодуль модуля RR. Ясно, что он имеет вид R/K, где K ⊇ J , причём в силу 9.7M ∼= eR/eI для некоторого правого идеала I кольца R такого, что I ⊆ J . Но тогда (eR/eI)J = (R/K)J = RJ/K = 0,значит, eJ = eRJ ⊆ eI, откуда eI = eJ . Но тогда R/K ∼= eR/eJ = π(e)R — проективный R-модуль, следовательно, онвыделяется в R прямым слагаемым, т.е. модуль RR вполне приводим.

(6)⇒ (1) Аналогично предыдущему.

Задачи к лекции 10.

Задача 10.1. Приведите пример такого кольца R, что R/J(R) — артиново кольцо, но идемпотенты не поднимаютсяпо модулю J(R).

Задача 10.2. (a) Докажите, что коммутативное кольцо полусовершенно тогда и только тогда, когда оно есть прямаясумма локальных колец; (b) покажите, что условие коммутативности в (a) нельзя отбросить.

Задача 10.3. Покажите, что любое артиново слева или справа кольцо полусовершенно.

Задача 10.4. Покажите, что любое фактор-кольцо полусовершенного кольца полусовершенно.

22

Лекция 11. Совершенные кольца1. T -нильпотентность.

Определение 11.1. Подмножество S кольца R называется T -нильпотентным справа (слева), если для любой по-следовательности xi, такой, что xi ∈ S при всех i = 1, 2, . . ., существует такое число n, что xnxn−1 . . . x1 = 0(соответственно, x1x2 . . . x3 = 0).

Предложение 11.2. Следующие свойства идеала I кольца R эквивалентны:(1) идеал I является T -нильпотентным справа;(2) MI 6= M для любого ненулевого правого R-модуля M ;(3) MI M для любого ненулевого правого R-модуля M .

Доказательство.(1)⇒ (2). ПустьM — правый R-модуль иM 6= 0, ноMI = I. Построим по индукции последовательность xn элемен-том I, для которых Mxnxn−1 . . . x1 6= 0. Поскольку 0 6= M = MI, существует такой элемент x1 ∈ I, что Mx1 6= 0. Еслиx1, . . . , xn уже найдены, из 0 6= Mxnxn−1 . . . x1 = MIxnxn−1 . . . x1 следует, что существует такой элемент xn+1 ∈ I, чтоMxn+1xnxn−1 . . . x1 6= 0. Противоречие.(2)⇒ (3). Пусть M — правый R-модуль и L — подмодуль модуля M . Из MI + L = M вытекает, что (M/L)I = M/L,поэтому M/L = 0 и M = L.(3) ⇒ (1). Пусть F — свободный правый F -модуль со счётным базисом e1, e2, . . . и xn — произвольная последова-тельность элементов идеала I. Рассмотрим подмодуль G модуля F , порождённый элементами e1−e2x1, e2−e3x2 и т.д.Заметим, что en = (en − en+1xn) + en+1xn ∈ G+ FI для любого n ∈ N. Значит, G = F и e1 ∈ G. Но если r1, . . . , rn ∈ Rиe1 = (e1 − e2x1)r1 + (e2 − e3x2)r2 + . . .+ (en−1 − enxn−1)rn−1 + (en − en+1xn)rn

= e1r1 + e2(−x1r1 + r2) + . . .+ en(−xn−1rn−1 + rn)− en+1xnrn,то r1 = 1, r2 = x1r1 = x1, r3 = x2r2 = x2x1 и т.д. до rn = xn−1 . . . x1 и xnrn = xnxn−1 . . . x1 = 0.

Очевидно, что свойство идеала быть T -нильпотентным “лежит между” свойствами быть нильпотентным идеаломи быть ниль-идеалом.

2. Определения совершенного кольца.

Лемма 11.3.(a) Если P — проективный правый модуль над кольцом R, то J(P ) = PJ(R).(b) Любой ненулевой проективный модуль содержит максимальный подмодуль.

Доказательство.Воспользуемся эквивалентным проективности модуля P условием 2.2(3): существует такое семейство элементовxαα∈A ⊆ P и такое семейство гомоморфизмов fα ⊆ Hom(P,R), что x =

∑α∈A xαfα(x) для любого элемента

x ∈ P . Положим J = J(R). Если теперь x ∈ J(P ), то fα(x) ∈ J для любого α ∈ A, поэтому x =∑α∈A xαfα(x) ∈ PJ ,

т.е. J(P ) ⊆ PJ . Обратное же включение в силу 4.9 справедливо для любого модуля P , что и доказывает (a).Для доказательства b заметим, что если P не содержит максимальных подмодулей, то J(P ) = P = PJ в силу (a).Для произвольного a ∈ P запишем a =

∑α∈A0

xαfα(a), где A0 — некоторое конечное подмножество множества A, иxα =

∑β∈Bα xβyαβ , где yαβ ∈ J и Bα — также некоторое конечное подмножество множества A для любого α ∈ A0.

Положим C = A0 ∪(⋃

α∈A0Bα). Рассмотрим подмодуль P0, порождённый конечным множеством xγ |γ ∈ C. По-

ложим S = End(P ) определим эндоморфизм ϕ ∈ S правилом ϕ(x) =∑γ∈C xγfγ(x) для любого x ∈ P . Имеем

ϕ(P ) = ϕ(PJ) = ϕ(P )J ⊆ P0J P0 по лемме Накаямы. Тем более ϕ(P ) P , значит, ϕ ∈ J(S) по лемме 9.1(d), иэндоморфизм 1− ϕ обратим в S. Но по определению ϕ имеем a− vfi(a) = 0, откуда a = 0. Тем самым доказано, чтоP = 0.

Теорема 11.4. Пусть R — кольцо и J = J(R). Следующие условия эквивалентны:(1) Каждый правый R-модуль имеет проективное накрытие;(2) R/J — классически полупростое кольцо и каждый ненулевой правый модуль содержит максимальный подмодуль;(3) R/J — классически полупростое кольцо и идеал J является T -нильпотентным справа;

Доказательство. (1) ⇒ (2) Очевидно, что в силу теоремы 10.7 кольцо R полусовершенно, в частности, кольцо R/Jклассически полупросто. Далее, если M — ненулевой правый R-модуль, P — его проективное накрытие и K — ядронакрывающего эпиморфизма ρ : P → M , то существует максимальный подмодуль L модуля P . Поскольку K P ,K ⊆ L и P/L ∼= (P/K)/(L/K) ∼= M/ρ(L) — простой модуль.(2) ⇒ (3) Если правый R-модуль M содержит максимальный подмодуль L, то MJ ⊆ J(M) ⊆ L 6= M , поэтому T -нильпотентность справа идеала J непосредственно следует из 11.2.(3) ⇒ (1) В силу предложения 10.2 кольцо R полусовершенно. Пусть M — правый R-модуль и M 6= 0. ТогдаM/MJ — модуль над классически полупростым кольцом R/J и разлагается в прямую сумму простых подмодулейVα, α ∈ A, каждый из которых имеет проективное накрытие Pα с накрывающим эпиморфизмом ρα : Pα → Vα. Всилу 9.7 имеем Pα ∼= eαR. Ясно, что ρα(J(Pα)) = 0, поэтому ker(ρα) ⊆ J(eR) = eJ . Обратное включение выполнено,поскольку ker(ρα) Pα. Итак, ker(ρα) = eαJ для любого α ∈ A. Положим P =

⊕α∈A Pα и определим эпимор-

физм f : P → M/MJ естественным образом как сумму эпиморфизмов ρα. Рассмотрим коммутативную диаграмму

23

P

f

f

M

π // M/MJ // 0,

где π — канонический эпиморфизм, а f существует в силу проективности модуля P . Ясно, что πf(P ) = f(P ) = M/MJ ,поэтому f(P ) + MJ = M . Но из 11.2(3) вытекает, что MJ M . Таким образом, f — эпиморфизм, причёмker(f) ⊆ ker(f) =

⊕α∈A eαJ = PJ P снова по 11.2(3). Это и означает, что P — проективное накрытие модуля

M .

Определение 11.5. Кольцо R, обладающее одним из свойств (1)-(3) теоремы 11.4, называется совершенным справа.Аналогично определяются совершенные слева кольца.

Ясно, что если кольцо R артиново справа или слева, то кольцо R/J(R) классически полупросто и J(R) являетсянильпотентным идеалом. Из этого вытекает

Следствие 11.6. Если кольцо артиново слева или справа, то оно совершенно и слева и справа.

Предложение 11.7. Если кольцо R совершенно справа, то любой ненулевой левый R-модуль содержит минималь-ный подмодуль.

Доказательство. Пусть M — ненулевой левый модуль над совершенным справа кольцом R c радикалом J = J(R).Покажем, что AnnM (J) 6= 0. Предположим противное. Выберем произвольный элементm0 ∈M\0. Поскольку Jm0 6=0, найдётся элемент x1 ∈ J , для которогоm1 = x1m0 6= 0. Продолжая по индукции, получим такую последовательностьx1, x2, . . . , xn элементов идеала J и такую последовательность m0,m1, . . . элементов модуля M , что xnmn−1 = mn 6= 0для любого n ∈ N. Но mn = xmmn−1 = xnxn−1mn−2 = . . . = xn . . . x1m0, что противоречит T -нильпотентности справаидеала J .

Теперь заметим, что AnnM (J) можно рассматривать как левый R/J-модуль, а тогда AnnM (J) — прямая суммапростых подмодулей, любой из которых минимален.

Следствие 11.8. Нётерово слева совершенное справа кольцо артиново слева.

Доказательство. Пусть R — нётерово слева совершенное справа кольцо. Построим по индукции возрастающую цепьартиновых левых идеалов кольца R: положим I0 = 0, а если левый идеал идеал In уже определён и In 6= R, то выберемминимальный подмодуль V модуля RR/In и положим In+1 = π−1(V ) (где π : R→ R/In — канонический эпиморфизм.По определению In+1/In ∼= V — артинов модуль, значит, артинов и модуль In+1. В силу условия обрыва возрастающихцепей, IN = R для некоторого N ∈ N.

Полусовершенные кольца можно определять одинаково с использованием левых или правых модуле. Напротив,совершенное справа кольцо может не быть совершенным слева.

Построим пример. Пусть V линейное пространство над полем F счётной размерности и e1, e2, . . . — его базис.Положим V0 = 0 и Vn = 〈e1, . . . , en〉 для любого n ∈ N и рассмотрим множество

S = f ∈ End(V )|dim(f(V )) <∞ и ∀n ∈ N, f(Vn) ⊆ Vn−1.

Заметим, что множество S является T -нильпотентным справа. Действительно, пусть fn ∈ S для всех n ∈ N и f1(S) ⊆VN для некоторого N ∈ N. Тогда f2f1(V ) ⊆ VN−1 и т.д., поэтому fN . . . f1(V ) ⊆ V0 = 0 и fn . . . f1 = 0. С другойстороны, если положить fi(ek) = eiδk,i+1 для всех i, k ∈ N, то fi ∈ S и f1f2 . . . fn(en+1) = f1f2 . . . fn−1(en) = . . . =f1(e2) = e1 6= 0. Значит, множество S не является T -нильпотентным слева. Осталось положить R = FE + S, где Eобозначает тождественный оператор на V . Ясно, что S — идеал кольца R и R/S ∼= F — полупростое артиново кольцо,поэтому S = J(R) и кольцо R совершенно справа, но не слева.

Задачи к лекции 11.

Задача 11.1. Приведите пример кольца, над которым каждый ненулевой правый модуль содержит максимальныйподмодуль, но которое не является совершенным справа.

Задача 11.2. Приведите пример кольца, над которым каждый ненулевой левый модуль содержит минимальный под-модуль, но которое не является совершенным справа.

24

Лекция 12. Тензорные произведение и плоские модули1. Тензорное произведение (би-)модулей.

Определение 12.1. Пусть M — правый, а N — левый модуль над кольцом R. Отображение f прямого произведенияаддитивных групп M ×N в абелеву группу A называется сбалансированным, если∀a, a1, a2 ∈M, b, b1, b2 ∈ N, r ∈ R : f(a1 + a2, b) = f(a1, b) + (a2, b), f(a, b1 + b2) = f(a, b1) + f(a, b2), f(ar, b) = f(a, rb).Тензорным произведением модулей MR и RN называется абелева группа T со сбалансированным отображениемt : M ×N → T , обладающим следующим свойством универсальности:для любого сбалансированного отображения f : M ×N → A существует единственный гомоморфизм f : T → A такой,что f t = f (см. диаграмму)

M ×Nt

∀f

##T

∃! f // A.Обозначания: T = M ⊗R N и t(a, b) = a⊗ b для любых a ∈M и b ∈ N .

Предложение 12.2. Тензорное произведение модулей MR и RN существует и единственно, с точностью до есте-ственного изоморфизма.

Доказательство.Существование. Пусть F — свободная абелева группа с базисом M × N и G — подгруппа группы F , порождённаямножеством

(a1 + a2, b)− (a1, b)− (a2, b), (a, b1 + b2)− (a, b1)− (a, b2), (ar, b)− (a, rb) | a, a1, a2 ∈M, b, b1, b2 ∈ N, r ∈ R.

Из накрывающего свойства свободной абелевой группы следует, что для любой абелевой группы A и любого отображе-ние f : M×N → A существует единственное продолжение f до гомоморфизма g : F → A, а условие сбалансированностиf равносильно тому, что G ⊆ ker(g), т.е. в этом случае имеется коммутативная диаграмма

M ×N

f

µ // F

π

g

zzA F/G,

f

oo

где µ — вложение M ×N в F как базиса, а π — канонический гомоморфизм. Итак, можно взять T = F/G и t = πµ.Единственность. Сразу вытекает из рассмотрения коммутативной диаграммы

M ×Nt1

t2

##T1

t2 // T2,t1

oo

где T1, T2 — два тензорных произведения, а смысл остальных обозначений очевиден.

Из свойства универсальности сразу вытекают следующие утверждения.

Предложение 12.3.(a) Для любых гомоморфизмов модулей f : MR → M ′R и g : RN → RN

′ однозначно определён такой гомоморфизмабелевых групп f ⊗ g : M ⊗R N →M ′ ⊗R N ′, что f ⊗ g(a⊗ b) = f(a)⊗ f(b) для любых a ∈M и b ∈ N .(b) Для любого семейства правых R-модулей Mαα∈A и любого левого модуля N имеется естественный изоморфизм(⊕

α∈AMα

)⊗R N ∼=

⊕α∈A(Mα ⊗R N).

(c) Для любого семейства левых R-модулей Nββ∈B и любого правого модуляM имеется естественный изоморфизмM ⊗R

(⊕β∈B Nβ

)∼=⊕

β∈B(M ⊗R Nβ).

В дальнейшем мы будем чаще рассматривать тензорные произведения бимодулей следующего вида.

Определение 12.4. Пусть R,S — кольца. Под (R,S)-бимодулем понимается абелева группа (M,+), которая являетсялевым R-модулем и правым S-модулем, причём r(ms) = (rm)s для любых r ∈ R, s ∈ S, m ∈M . Обозначение: RMS .

Примеры: любой правый (левый) R-модуль является (Z, R)-модулем (соответственно, R,Z)-модулем), любое кольцоR является (R,R)-бимодулем, любой правый R-модуль является (S,R)-бимодулем, если S End(m).

ЕслиM есть (S,R)-бимодуль и N есть (R, T )-бимодуль, то на тензорном произведенииM⊗RN естественно задаётсяструктура (S, T )-бимодуля (s(a ⊗ b)t = (sa) ⊗ (bt) для любых a ∈ M , b ∈ N , s ∈ S, t ∈ T ). При этом гомоморфизмыf ⊗ g из 12.3 являются гомоморфизмами бимодулей.

Аналогично, если M есть (S,R)-бимодуль и N есть (T,R)-бимодуль, то на группе HomR(M,N) естественно опре-деляется структура (T, S)-бимодуля ((tfs(x) = tf(sx) для любых s ∈ S, t ∈ T , f ∈ HomR(M,N), x ∈M).

ЕслиM,M ′ суть (S,R)-бимодули, N,N ′ суть (T,R)-бимодули, f ∈ HomR(M ′,M) и g ∈ HomR(N,N ′), то естественностроится гомоморфизм бимодулей Hom(f, g) : HomR(M,N)→ HomR(M ′, N ′), определённый правилом: ϕ 7→ gϕf .

25

Теорема 12.5. Пусть R,S, T — кольца, SMR,RNT — бимодули, KT — правый модуль. Тогда имеет место изомор-физм правых S-модулей

HomT (M ⊗R N,K) ∼= HomR(M,HomT (N,K)).

Доказательство. Укажем взаимно-обратные отображения, задающие указанный изоморфизм.Пусть f ∈ Hom(M ⊗N,K). Для любого m ∈M определим ϕ = Φ(f)(m) ∈ Hom(N,K) правилом: ϕ(n) = f(m⊗ n).Обратно, если g ∈ Hom(M,Hom(N,K)), то ψ = Ψ(g) определим на образующих абелевой группы M ⊗N правилом

ψ(m⊗ n) = g(m)(n).Проверки корректности данных определений и тождеств ΦΨ = 1 и ΨΦ = 1 являются рутинными.

Полагая T = Z и K = Ω (см. лекцию 2), получаем изоморфизм (M ⊗R N)× ∼= HomR(M,N×).

2. Эквивалентные определения плоских модулей

Определение 12.6. Левый модуль RM называется плоским, если для любого мономорфизма правых R-модулейα : A→ B гомоморфизм α⊗ 1M : A⊗M → B ⊗M является мономорфизмом.

Теорема 12.7. Для левого модуля RM следующие условия эквивалентны:(1) RM — плоский модуль;(2) для каждого правого идеала I кольца R гомоморфизм I⊗M →M , определённый правилом x⊗m 7→ xm, являетсямономорфизмом;(3) правый R-модуль M× инъективен.

Доказательство. Покажем сначала, что гомоморфизм абелевых групп f : C → D является мономорфизмом тогда итолько тогда, когда гомоморфизм Hom(f, 1Ω) : D× → C× является эпиморфизмом.

Если f — мономорфизм и χ ∈ C×, то диаграмма

0 // C

χ

f // D

χ~~Ω

дополняется в силу инъективности Z-модуля Ω некотороым характером χ ∈ D× до коммутативной диаграммы, сле-довательно, χ = Hom(f, 1Ω)(χ).

Обратно, пусть Hom(f, 1Ω) — эпиморфизм и 0 6= c ∈ ker(f). Согласно 2.11, канонический гомоморфизм C → C××

является мономорфизмом, т.е. существует такой характер χ ∈ C×, что χ(c) 6= 0. Но если χ = Hom(f, 1Ω)(χ) длянекоторого характера χ ∈ D×, то χ(c) = χf(c) = 0. Противоречие.

Теперь докажем эквивалентность следующих условий на гомоморфизм правых R-модулей α : A→ B:(a) α⊗ 1M : A⊗RM → B ⊗RM ——мономорфизм;(b) Hom(α⊗ 1M , 1Ω) : (B ⊗RM)× → (A⊗RM)× — эпиморфизм;(c) Hom(1M ,Hom(α, 1Ω)) : HomR(M,B×)→ Hom(M,A×) — эпиморфизм.

Действительно, эквивалентность (a) ⇔ (b) следует из доказанного выше при f = 1M ⊗ α, а эквивалентность(b)⇔ (c) — из коммутативности следующей диаграммы:

HomZ(B ⊗RM,Ω)Hom(α⊗1M ,1Ω) //

HomZ(A⊗RM,Ω)

HomR(B,HomZ(M,Ω))

Hom(α,Hom(1M ,1Ω))// HomR(A,HomZ(M,Ω)),

где вертикальные стрелки — изоморфизмы из теоремы 12.5Наконец, если потребовать выполнения условий (a)—(c) для каждого мономорфизма α, то (a) означает, что M —

плоский модуль, а (c) —— что модуль M× инъективен (снова рассмотрим соответствующую диаграмму). Таким обра-зом, (1)⇔ (3).

Далее, согласно критерию Бэра, инъектвность модуля M× достаточно проверить на мономорфизмах вложения Iв R для любого правого идеала I кольца R, т.е. (3)⇔ (2).

Задачи к лекции 12.Задача 12.1. Пусть 0 // M ′

µ // Mπ // M ′′ // 0 — точная последовательность (S,R)-бимодулей и N есть

(T,R)-бимодуль. Тогда последовательность

0 // HomR(M ′′, N)Hom(π,1N ) // HomR(M,N)

Hom(µ,1N ) // HomR(M ′, N)является точной.Задача 12.2. Пусть 0 // N ′

µ // Nπ // N ′′ // 0 — точная последовательность (S,R)-бимодулей и M есть

(T,R)-бимодуль. Тогда последовательность

0 // HomR(M,N ′)Hom(1M ,µ) // HomR(M,N)

Hom(1M ,π) // HomR(M,N ′′)является точной.Задача 12.3. Пусть 0 // N ′

µ // Nπ // N ′′ // 0 — точная последовательность (S,R)-бимодулей и M есть

(R, T )-бимодуль. Тогда индуцированная последовательность N ′ ⊗RM // N ⊗RM // N ′′ ⊗RM // 0 являет-ся точной.

26

Лекция 13. Характеризация некоторых классов колец с помощью плоских модулей1. Регулярные кольца.

Определение 13.1. Кольцо R называется регулярным (в смысле фон Неймана, если для любого элемента a ∈ Rуравнение axa = a имеет решение в R.

Предложение 13.2. Следующие свойства кольца R эквивалентны:(1) кольцо R регулярно;(2) каждый главный левый идеал кольца R порождён идемпотентом;(3) каждый главный правый идеал кольца R порождён идемпотентом;(4) каждый конечно порождённый левый идеал кольца R порождён идемпотентом;(5) каждый конечно порождённый правый идеал кольца R порождён идемпотентом.

Доказательство.(1) ⇒ (2) Если a ∈ R и axa = a для некоторого x ∈ R, то положим e = xa. По определению, e2 = xaxa = xa = e иe ∈ Ra, причём a = axa = ae ∈ Re. Следовательно, Ra = Re.(1)⇒ (3) Аналогично.(2) ⇒ (4) Проведём индукцию по числу порождающих элементов левого идеала. Условие (2) — база индукции. Дляиндуктивного перехода достаточно показать, что если e2 = e ∈ R и a ∈ R, то левый идеал Ra + Re порождёнидемпотентом. В силу (2) существует идемпотент g ∈ R такой, что Ra(1 − e) = Rg. Поскольку Ra(1 − e) ⊆ Ra + Re,имеем Rg ⊆ Ra+Re, а из a−ae ∈ Rg вытекает, что Ra ⊆ Re+Rg. Итак, Re+Ra = Re+Rg, причём ge = 0. Положимf = e + (1 − e)g и покажем, что Rf = Re + Rg. Действительно, Rf ⊆ Re + Rg по определению. Обратно, ef = e иgf = ge+ g2 − geg = g, т.е. Re+Rg ⊆ Rf . Осталось заметить, что f2 = ef + (1− e)gf = f .(3)⇒ (5) Аналогично.(4)⇒ (2) и (5)⇒ (3) Тривиально.(2)⇒ (1) Пусть a ∈ R, Ra = Re, где e — идемпотент. Тогда существуют элементы x, y ∈ R такие, что e = xa, a = ye.Имеем axa = ae = ye2 = ye = a.(3)⇒ (1) Аналогично.

Лемма 13.3. Пусть M — плоский левый R-модуль, U — подмодуль модуля M и I — правый идеал кольца R. Тогдаследующие условия эквивалентны:(1) естественный гомоморфизм α : I ⊗R (M/U)→M/U является мономорфизмом;(2) U ∩ IM = IU .

Доказательство.(1)⇒ (2) Поскольку всегда IU ⊆ U ∩ IM , будем доказывать обратное включение. Пусть π : M → M = M/U — кано-нический гомоморфизм, и пусть u =

∑ni=1 aimi ∈ U ∩ IM , где ai ∈ I, mi ∈M , i = 1, . . . , n. Тогда α (

∑ni=1 ai ⊗ π(mi)) =∑n

i=1 aiπ(mi) = π(u) = 0. Следовательно,∑ni=1 ai ⊗ π(mi) = 0. Рассмотрим отображение f : I × M → IM/IU ,

определённое правилом f(x, π(y)) = xy + IU для любых x, y ∈ R. Легко проверить, что отображение f определенокорректно и является сбалансированным. Тогда получаем гомоморфизм f : I ⊗R M → IM/IU , продолжающий f .Значит, 0 = f(0) = f(

∑ni=1 ai ⊗ π(mi)) =

∑ni=1 aiπ(mi) + IU = u+ IU , т.е. u ∈ IU .

(2) ⇒ (1) Пусть β : I ⊗ M → M — естественный гомоморфизм. Поскольку M плоский, β — мономорфизм. Еслиt =

∑ni=1 ai ⊗ π(mi) ∈ ker(α), где ai ∈ I, mi ∈ M , i = 1, . . . , n, то 0 = α(t) =

∑ni=1 aiπ(mi) = π(

∑ni=1 aimi). Тогда∑n

i=1(aimi) =∑sj=1 a

′juj , где a′j ∈ I, uj ∈ U . Следовательно,

∑ni=1(ai ⊗ mi) −

∑sj=1 a

′j ⊗ uj ∈ ker(β) = 0, значит,

t = (1I ⊗ π)(∑sj=1 a

′j ⊗ uj) =

∑sj=1 a

′j ⊗ π(uj) = 0.

Следствие 13.4. Пусть M — плоский левый R-модуль, U — подмодуль модуля M . Тогда следующие условияэквивалентны:(1) M/U — плоский модуль;(2) U ∩ IM = IU для любого правого идеала I кольца R;(3) U ∩ IM = IU для любого конечно порождённого правого идеала I кольца R.

Доказательство.(1)⇔ (2) Следует из 12.7(2) и 13.3.(2)⇒ (3) Тривиально.(3) ⇒ (2) Для любого элемента u ∈ U ∩ IM имеем конечную сумму u =

∑ni=1 aimi, где ai ∈ I, mi ∈ M , i = 1, . . . , n.

Тогда u ∈ U ∩ I0M , где I0 =∑ni=1 aiR. Применяя (3) к правому идеалу I0, получаем: u ∈ I0U ⊆ IU .

Теорема 13.5. Следующие свойства кольца R эквивалентны:(1) кольцо R регулярно;(2) каждый левый R-модуль является плоским;(3) каждый правый R-модуль является плоским;

Доказательство.(1)⇒ (2) Достаточно, в силу теоремы 12.7, показать, что еслиM — левый R-модуль, и I — правый идеал кольца R, тоестественный гомоморфизм I ⊗RM →M является мономорфизмом. Пусть a =

∑ni=1 ai ⊗mi ∈ I ⊗RM и

∑aimi = 0.

Но правый идеал, порождённый элементами a1, . . . , an, в силу 13.2 порождён некоторым идемпотентом e ∈ I. Имеем

a =

n∑i=1

ai ⊗mi =

n∑i=1

eai ⊗mi =

n∑i=1

e⊗ aimi = e⊗

(n∑i=1

aimi

)= e⊗ 0 = 0.

27

(1)⇒ (3) Аналогично.(2)⇒ (1) Полагаем в лемме 13.3 M = RR, U = Ra, I = aR и получаем aR ∩Ra = aRa, откуда a ∈ aRa.(3)⇒ (1) Аналогично.

2. Совершенные кольца.

Теорема 13.6. Следующие условия на кольцо R эквивалентны:(1) кольцо R совершенно справа;(2) каждый плоский правый R-модуль проективен;(3) кольцо R удовлетворяет условию минимальности для главных левых идеалов;(4) кольцо R не содержит бесконечных множеств ненулевых ортогональных идемпотентов и каждый ненулевойлевый R-модуль содержит минимальный подмодуль.

Доказательство. Положим J = J(R).(1) ⇒ (2) Пусть DR — плоский правый R-модуль, P — его проективное накрытие с накрывающим гомоморфизмомρ : P → D и U = ker(ρ). Тогда из того, что P и P/U — плоские модули, в силу 13.4 имеем UJ = U ∩ PJ = U , таккак в силу 11.3(a) J(P ) = PJ . Но UJ должен содержаться в любом максимальном подмодуле модуля U , поэтому извторого определения совершенности (11.4(2)) вытекает, что U = 0 и D = P .(2) ⇒ (3) Предположим, что Ra1 % Ra2 % . . . — строго убывающая цепь левых идеалов. Положим x1 = a1, ai =xiai−1 = . . . = xixi−1 . . . x1 для всех i > 0. Как при доказательстве предложения 11.1, рассмотрим свободный правыйR-модуль F со счётным базисом e1, e2, . . . и его подмодуль G, порождённый элементами g1 = e1−e2x1, g2 = e2−e3x2, . . ..Покажем, что модуль F/G — плоский. Действительно, в силу 13.4 достаточно проверить, что GI = G∩FI для любоголевого идеала I кольца R. Пусть g ∈ G ∩ FI, т.е. для некоторых y1, . . . , yn ∈ I и r1, . . . , rs ∈ R выполняется равенство

g = (e1 − e2x1)r1 + . . .+ (en − en+1xn)rn = e1y1 + . . .+ esys.

Без ограничения общности можно считать, что s ≥ n+1. Приравнивая коэффициенты при элементах базиса, начинаяс e1 и заканчивая en+1, последовательно получим r1 = y1 ∈ I, −x1r1 + r2 = y2 ⇒ r2 ∈ I и т.д. до коэффициентов приen, которые дают равенство −xn−1rn−1 + rn = yn ⇒ rn ∈ I. Отсюда следует, что g ∈ GI. Применяя это рассуждение кидеалу I = 0, получаем, что g1, g2, . . . — базис свободного модуля G, в частности, существует изоморфизм f : G → Fтакой, что f(gi) = ei при всех i ∈ N.

В силу (2) модуль F/G проективен, значит, точная последовательность 0 → G → F → G/F → 0 расщепляется, иимеется проекция π : F → G. Рассмотрим композицию s = fπ. Для любого i ∈ N можно записать s(ei) =

∑j ejri,j ,

ri,j ∈ R, причём каждая такая сумма конечна. Теперь заметим, чтоei = f(gi) = s(gi) = s(ei)− s(ei+1)xi =

∑j ejri,j −

∑j ejri,jxi =

∑j ej(ri,j − ri+1,jxi),

откуда ri,j − ri+1,jxi = δi,j . Выберем такое t ∈ N, что t > 1 и r1,t = 0. Тогда имеем0 = r1,t = r2,tx1 = r3,tx2x1 = . . . = rt,txt−1 . . . x1 = −(rt+1,txt + 1)xt−1 . . . x1.

Следовательно, at−1 = xt−1 . . . x1 = −rt+1,txtxt−1 . . . x1 = rt+1,tat ∈ Rat. Но тогда Rat = Rat−1, что противоречитпредположению.(3)⇒ (4) Пусть e1, e2, . . . — бесконечная ортогональная система ненулевых идемпотентов. Положим fn = e1 + . . .+ enи In = R(1 − fn) для всех n ∈ N. Легко видеть, что en+1fn = fnen+1 = 0, поэтому fnfn+1 = fn+1fn = fn и (1 −fn+1)(1− fn) = 1− fn − fn+1 + fn = 1− fn+1, т.е. In+1 ⊆ In для всех n ∈ N. С другой стороны, en+1(1− fn) = en+1, ноen+1(1− fn+1) = 0, т.е. en+1 ∈ In \ In+1. Противоречие доказывает первое утверждение.

Для доказательства второго утверждения предположим, что RM 6= 0 и M не содержит минимальных подмодулей.Выберем произвольно m1 ∈ M \ 0. Далее будем строить последовательно элементы m2,m3 . . . ∈ M следующимспособом. Пусть элемент mn уже найден. Поскольку Rmn 6= 0 и Rmn не является простым модулем, можно выбратьmn+1 ∈ Rmn так, что 0 6= Rmn+1 6= Rmn. По построению mn+1 = rnmn для всех n ∈ N и некоторых r1, r2, . . . ∈ R.Положим теперь In = Rrn . . . r1. Тогда, конечно, In $ In−1 для всех n ∈ N, поскольку Rmn+1 = Inm1, а Rmn = In−1.Противоречие.(4) ⇒ (1) Сначала покажем, что идеал J является T -нильпотентным справа. Предположим противное: существуетпоследовательность x1, x2 . . . ∈ J такая, что множество S всех произведений вида xnxn−1 . . . x1, n ∈ N, не содержитнуля. Тогда множество левых идеалов I кольца R, для которых I ∩ S = ∅, непусто и удовлетворяет условиям леммыЦорна. Пусть I0 — максимальный элемент этого множества, V — простой подмодуль модуля R/I0 и U — такой левыйидеал кольца R, что U/I0 = V . Ввиду максимальности элемента I0 существует такое число n, что xn . . . x1 ∈ U . НоJV = 0, поэтому JU ⊆ I0 и, в частности, xn+1xn . . . x1 ∈ I0. Противоречие.

Далее нам понадобится некоторый общий факт.

Лемма 13.7. Если e, f — идемпотенты кольца R и ef, fe ∈ J(R), то существует такой идемпотент g ∈ R, чтоf − g ∈ J(R) и eg = ge = 0.

Доказательство леммы 13.7. Поскольку fe ∈ J(R), элемент (1 − fe) обратим. Положим h = (1 − fe)−1f(1 − fe).Прямое вычисление показывает, что h2 = h, he = 0 и

f − h = (1− fe)−1((1− fe)f − f(1− fe) = (1− fe)−1(fe− fef) ∈ J(R).Очевидно также, что eh = ef+e(h−f) ∈ J(R). Теперь пусть g = h−eh. Снова вычисляем g2 = h−heh−eh+eheh = g,f − g = f − h+ eh ∈ J(R), eg = eh− eh = 0 и ge = he− ehe = 0.

Завершение доказательства теоремы 13.6 Во-первых, вспомним лемму 5.11 (в левостороннем варианте): если V —минимальный левый идеал кольца R, то либо V 2 = 0, либо V = Re, где 0 6= e = e2 ∈ R. Для полупростого кольца

28

R = R/J первый вариант невозможен, поэтому каждый простой подмодуль в левом модуле R выделяется прямымслагаемым. Покажем, что модуль R разлагается в конечную прямую сумму простых подмодулей. Действительно,стартуем с произвольного простого подмодуля V1 = Re1, где e1 — идемпотент кольца R. Пусть теперь R = V1 ⊕ U1.Если U1 = 0 или U1 — простой модуль, разложение получено, иначе R = V1 ⊕ V2 ⊕ U2 и т.д. На каждом шаге мыполучили идемпотенты ei такие, что Vi = Rei, i = 1, . . . , n. Согласно лемме 9.6, e1, . . . , en — ортогональное множествоидемпотентов, причём их можно поднимать по модулю J (предложение 10.2). Из леммы 13.7 следует, что их можноподнимать последовательно: если e1, . . . , en— такое ортогональное множество идемпотентов кольца R, что ei+J = ei,i = 1, . . . , n, то можно поднять en+1 до такого идемпотента en+1, что een+1 = en+1e = 0, где e = e1+ . . .+en. Посколькуeie = eei = ei для всех i = 1, . . . , n, идемпотенты e1, . . . , en+1 образуют ортогональное множество. Поскольку в R поусловию нет бесконечных ортогональных множеств ненулевых идемпотентов, процесс оборвётся на некотором шаге,и окажется, что R/J — конечная прямая сумма простых модулей.

Задачи к лекции 13.

Задача 13.1. Пусть даны коммутативное кольцо R и R-модули и B. Докажите, что A⊗R B ∼= B ⊗R A (как абелевыгруппы).

Задача 13.2. Верно ли утверждение предыдущей задачи без предположения о коммутативности кольца R для бимо-дулей RAR и RBR?

Задача 13.3. Пусть даны произвольное кольцо R, модули AR и RB и подмдули U ⊆ A и V ⊆ B. Обозначим черезL(U, V ) подгруппу в ⊗R B, порожденную элементами вида a⊗ v и u⊗ b, где a ∈ A, b ∈ B, u ∈ U, v ∈ V , Докажите, что(A/U)⊗R (B/V ) ∼= (A⊗B)/L(U, V ).

Задача 13.4. a) Покажите, что абелева группа тогда и только тогда является плоской (как Z-модуль), когда онаявляется группой без кручения.b) Приведите пример плоской, но не проективной абелевой группы.

Задача 13.5. Докажитеь, что коммутативное кольцо R регулярно тогда и только тогда, когда каждый идеал I кольцаR идемпотентен (т. е. I2 = I)

Задача 13.6. Верно ли утверждение предыдущей задачи без предположения о коммутативности кольца R?

Задача 13.7. Показжитеь, что всякий двусторонний идеал A кольца R, T -ннльпотентный слева и справа и конечно-порожденный как левый или правый идеал, является нильпотентным.

29

Список литературы[1] Андрунакиевич В.А, Рябухин Ю.М. Радикалы алгебр и структурная теория. М.: Наука. 1979.

[2] Ван дер Варден Б.Л. Алгебра. М.: Мир, 1976.

[3] Кэртис Ч., Райнер И. Теория представлений конечных групп и ассоциативных алгебр, М.: Наука, 1969.

[4] Каш Ф. Модули и кольца, М.: Мир, 1У81.

[5] Ламбек И. Кольца и модули. М.: Мир, 1971.

[6] Фейс К. Алгебра: кольца, модули и категории (т.1,2). М: Мир, 1977.

[7] Херстейн И. Некоммутативные кольца. М.: Мир, 1972.

30

Содержание1. Ocновные понятия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12. Проективные и инъективные модули . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43. Простые (неприводимые) и вполне приводимые модули . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74. Характеризация классически полупростых колец в терминах проективных и инъективных модулей. Ради-

кал Джекобсона модуля и радикал Джекобсона кольца. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95. Условия конечности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116. Инъективая оболочка модуля. Гомологическая характеризация нётеровых колец (теорема Чейза) . . . . . 137. Неразложимые модули, теорема единственности разложения (теорема Крулля–Ремака–Шмидта–Адзумаи). 158. Характеризация нётеровых и артиновых колец с помощью неразложимых модулей . . . . . . . . . . . . . . 179. Проективные накрытия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1910. Поднятие идемпотентов и полусовершенные кольца. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2111. Совершенные кольца . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2312. Тензорные произведение и плоские модули . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2513. Характеризация некоторых классов колец с помощью плоских модулей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

31