Upload
ririh-arinta-bautistaa
View
248
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
7/23/2019 1.PENDAHULUAN MATRIKS
1/26
PENDAHULUAN MATRIKS
7/23/2019 1.PENDAHULUAN MATRIKS
2/26
Pengertian dan Notasi Matriks
Matriks adalah susunan persegi panjang dariunsurunsur pada !e!erapa siste" alja!ar#Dengan de"ikian unsurunsur ini !isa !erupa!ilangan atau juga suatu peru!ah# Untuk
"en$atakan na"a "atriks !iasan$a digunakanhuru% !esar seperti A& '& (& dan se!again$a)sedangkan !ila unsur atau angg*ta +ele"en,dari "atriks !erupa huru% dituliskan dengan
huru% ke-il# Tanda + , ) . /) atau !iasan$a digunakan untuk "engurung ele"enele"en dari suatu "atriks# Tetapi $ang palingsering digunakan adalah tanda + ,
7/23/2019 1.PENDAHULUAN MATRIKS
3/26
(*nt*h 0
(*nt*h "atriks1
= 543121
A
=ihgfed
cba
B5334
12
=C
7/23/2019 1.PENDAHULUAN MATRIKS
4/26
Ele"enele"en "atriks pada garis h*ri2*ntal
dise!ut denganbaris& dan ele"enele"en pada
garis 3ertikal dise!ut dengan kolom# 'arisdin*"*ri dari atas ke !a4ah& sedangkan k*l*"
din*"*ri dari kiri ke kanan
Perhatikan ke"!ali "atriks A pd -*nt*h 01
terse!ut# +0 5 0, adalah !aris perta"a& dan+6 7 8, adalah !aris ke dua dari "atriks A#
Sedangkan dise!ut k*l*" perta"a&
k*l*" ke dua& dan adalah k*l*" ke tiga
dari "atriks A
=
543
121A
3
1
4
2
5
1
7/23/2019 1.PENDAHULUAN MATRIKS
5/26
Dengan de"ikian "atriks A ini "e"pun$ai 5
!aris dan 6 k*l*"# 9adi ele"en 0 dise!ut
ele"en !aris perta"a k*l*" perta"a dari
"atriks A) ele"en 7 adalah ele"en !aris ke
dua k*l*" kedua dari "atriks A& ele"en 8
adalah ele"en !aris ke dua k*l*" ketiga dari
"atriks A& dan se!again$a# Dimensiatau *rd*+ukuran, dari "atriks ditentukan *leh !an$akn$a
!aris diikuti dengan !an$akn$a k*l*"#
Dikatakan !ah4a dimensiatau ordodari
"atriks A adalah 5:6 +!a-a 1 dua kali tiga,# 9adidari -*nt*h 0 terse!ut& "atriks ' "e"pun$ai
di"ensi 6:6& dan "atriks ( "e"pun$ai di"ensi
6:5#
7/23/2019 1.PENDAHULUAN MATRIKS
6/26
Matriks juga dapat "un-ul se!agai k*e%isien dari suatusiste" persa"aan linear# Se!agai -*nt*h& untuk siste"persa"aan linear 1
5: 6$ ; 76: < $ ; 8&
"aka matriks koefisien$ang !erhu!ungan dengansiste" terse!ut adalah&
sedangkan matrik augmented+"atriks ta"!ahan,adalah#
Nantin$a akan di!ahas pen$elesaian dari siste" lineardapat di-ari dengan !antuan "atriks#
13
32
513
432
7/23/2019 1.PENDAHULUAN MATRIKS
7/26
Notasi A = (aij)
Untuk "en$atakan suatu "atriks u"u"&
ele"enele"enn$a din$atakan denganhuru% ke-il dan di!eri indeks !aris diikuti
dengan indeks k*l*" sesuai dengan
kedudukan ele"en terse!ut pada "atriks#Ini !erarti !ah4a pen$e!utan di"ensi
"atriks juga selalu di"ulai !aris terle!ih
dahulu !aru diikuti k*l*"#
7/23/2019 1.PENDAHULUAN MATRIKS
8/26
(*nt*h 51
(*nt*h dua !uah "atriks A dan ' !erikut1
Perhatikan !ah4a ele"en a05dari A !erartiadalah ele"en pada !aris perta"a k*l*" kedua)sedangkan ele"en a50!erarti adalah ele"en
pada !aris kedua k*l*" perta"a dari A#De"ikian haln$a untuk "atriks '& "aka !65!erarti adalah ele"en pada !aris ke tiga k*l*"ke dua& dan ele"en !76adalah ele"en pada !aris
ke e"pat k*l*" ketiga dari "atriks '
=
3231
2221
1211
aa
aa
aa
A
=
434241
333231
232221
131211
bbb
bbb
bbb
bbb
B
7/23/2019 1.PENDAHULUAN MATRIKS
9/26
Matriks A di atas "e"pun$ai 6 !aris dua
k*l*"& di"ensi dari A adalah 6:5 ditulis
dengan A6:5dan !an$akn$a ele"en dari"atriks A adalah =& sedangkan di"ensi
dari "atriks ' adalah 7:6 dan ditulis '7:6&
!an$akn$a ele"en dari "atriks ' adalah05#
7/23/2019 1.PENDAHULUAN MATRIKS
10/26
Pandanglah !entu "atriks u"u"1
Matriks A ini "e"pun$ai !an$akn$a !aris adalah "sedangkan !an$akn$a k*l*" adalah n# Dala" n*tasi $angle!ih singkat& A !iasan$a ditulis dengan 1
A ; +aij, di "ana i ; 0& 5& 6& ###& "
j ; 0& 5& 6& ###& n
'erarti n*tasi A ; +a ij, ini "engandung ":n !an$akn$aele"en dari "atriks A# Sehingga di"ensi dari A adalah":n) $ang !isa ditulis se!agai A":n#
Dala" n*tasi A ; +aij, ini& aij !isa !erupa !ilangan atau
%ungsi#
7/23/2019 1.PENDAHULUAN MATRIKS
11/26
'e!erapa "atriks khusus sering han$a
"e"iliki satu baris sajadise!ut matriks
baris / vektor barissedangkan "atrikskhusus $ang han$a "e"iliki satu kolom
saja dise!ut matriks kolom / vektor
kolom# (*nt*h 61
( ; +5 6 7 0, adalah "atriks !aris
!erdi"ensi 0:7 D adalah "atriks k*l*" !er*rd* 6:0
7/23/2019 1.PENDAHULUAN MATRIKS
12/26
Dengan k*nsep "atriks +3ekt*r, !arisatau "atriks +3ekt*r, k*l*" inise!enarn$a setiap "atriks !isa dipandang
se!agai susunan dari !e!erapa 3ekt*r!aris atau susunan dari !e!erapa 3ekt*rk*l*"#
9adi untuk "atriks A ;
"aka 3ekt*r !aris dari "atriks A adalah+0 5 0, dan +6 7 8,
sedangkan 3ekt*r k*l*" dari "atriks Aadalah
3
1
4
2
5
1
7/23/2019 1.PENDAHULUAN MATRIKS
13/26
Matriks Persegi (Square Matrices)
Suatu "atriks A ; +aij, dise!ut "atriks persegi
+"atriks !ujur sangkar, !ila i ; j ; 0& 5& 6& ###n# Di"ensi dari A adalah n:n& atau An:n#
Sedangkan unsur atau ele"enele"en dari Asede"ikian hingga "e"pun$ai indeks $angsa"a +aii,& seperti a00& a55& a66& a77& danseterusn$a& dise!ut dengan elemen diagonal#
9u"lah dari se"ua ele"enele"en diag*naldari suatu "atriks dise!ut dengan trace# 9adi
jika A "atriks persegi !erdi"ensi n& "aka 1trace A = (a11+ a22+ a33+ + ann) =
aii
i
n
=1
7/23/2019 1.PENDAHULUAN MATRIKS
14/26
(*nt*h 7 1
Matriks H;
adalah "atriks persegi !erdi"ensi 5:5+atau -ukup dise!ut "atriks persegi
!erdi"ensi 5,# Sedangkan unsurunsur
5 dan 7 adalah ele"enele"endiag*nal# 9adi tra-e H ; 5 < 7 ; =
7/23/2019 1.PENDAHULUAN MATRIKS
15/26
M ;
adalah "atriks persegi !erdi"ensi 7&
sedangkan unsurunsur 6& >& 7& dan ?
dise!ut ele"en diag*nal dari "atriks M&
dan !erarti tra-e M ; 6 < +>, < +7, < ?; @#
7/23/2019 1.PENDAHULUAN MATRIKS
16/26
!esamaan Matriks
Dua "atriks A ; +aij, dan ' ; +!ij, dise!ut
sa"a jika dan han$a jika 1
"e"pun$ai di"ensi $ang sa"a
unsurunsur $ang sep*sisi "e"pun$ai
nilai$ang sa"a) aij; !ijuntuk setiap i dan
j#
7/23/2019 1.PENDAHULUAN MATRIKS
17/26
(*nt*h 81
Matriks 1
H; K;
"aka H ; K& se!a! dua "atriks ini
"e"pun$ai di"ensi $ang sa"a $aitu 5:6&dan se"ua ele"en $ang sep*sisi nilain$a
sa"a#
63
241
4
4
2
8
7/23/2019 1.PENDAHULUAN MATRIKS
18/26
(*nt*h =
Diketahui "atriks ' ;
dan "atriks ( ;
9ika "atriks ' ; (& !erapakah nilai : dan $ S*lusi 1
Dengan "elihat ele"snele"en $angsep*sisi dari "atriks ' dan (& "aka 1 : ; 8dan $ ; 0
432
124
31 x
432
24
351
y
7/23/2019 1.PENDAHULUAN MATRIKS
19/26
Matriks Nol (Zero Matrices)
Suatu "atriks $ang se"ua ele"enn$a adalah
n*l +@, dise!ut dengan "atriks n*l# Matriks n*l
!iasan$a dila"!angkan dengan B# Se!agai
-*nt*h B5:6; dan B5:5;#
00
00
000
000
7/23/2019 1.PENDAHULUAN MATRIKS
20/26
"ati#an 1
0# Tulislah "atriks !erikut ini dengan ele"enele"en
tertentu atau u"u"& jika 1A !erdi"ensi 6:7
' !erdi"ensi 0:8
( !erdi"ensi 6:6
D !erdi"ensi 7:6
E !erdi"ensi 7:0
5# 'erapakah !an$akn$a angg*ta +ele"en, dari suatu"atriks $ang 1
+a, !erdi"ensi 6:5+!, !erdi"ensi 5:>
+-, !erdi"ensi 7:7
+d, !erdi"ensi 0:n
+e, !erdi"ensi n:6
+%, !erdi"ensi n:n
7/23/2019 1.PENDAHULUAN MATRIKS
21/26
Diketahui "atriks"atriks C ; +0 6 0
5,&
; H; K ;
L ; I ;
4
3
2
375
214
203
2101
2544
1313
2112
1233
2111
3112
1000
0100
0010
0001
7/23/2019 1.PENDAHULUAN MATRIKS
22/26
!erturutturut se!agai "atriks C ; %+ij,& ; +gij,& H ; +hij,& K; +kij,& L ; +lij,& dan I ; +iij,#
+a, Tentukan ele"en %06& g50& h65& k76& l67& dan i57#
+!, Untuk pasangan indeks i dan j $ang "ana unsur iij; @&iij@
+-, 'erapa !an$akn$a ele"en dari "atriks C& & H& I& K&dan L
+d, Tentukan di"ensi dari "atriks C& & H& I& K& dan Lterse!ut &
"ana $ang "erupakan "atriks persegi +!ujur sangkar ,
+e, Mana saja 3ekt*r !aris dari "atriks C& H& dan K
+%, Mana saja 3ekt*r k*l*" dari "atriks H& I& K& dan L
7/23/2019 1.PENDAHULUAN MATRIKS
23/26
7# Tentukan di"ensi $ang "ungkin dari"atriks $ang !an$akn$a ele"en adalah 1
+a, ena"+!, tujuh
+-, sepuluh
+d, delapan !elas8# Dari "atriks s*al n*# 6 terse!ut di atas&
!erapakah 1
+a, tra-e H+!, tra-e K
+-, tra-e I
7/23/2019 1.PENDAHULUAN MATRIKS
24/26
=# (arilah nilai p& F& dan r jika "atriks
;
># 'erapakah :& $& dan 2 jika "atriks
;
?# (arilah nilai : dan $ jika "atriks
;
p
q
21
03
rp
02
+
yxyx
2
2
4
3
7/23/2019 1.PENDAHULUAN MATRIKS
25/26
G# 'erapakah nilai a dan ! jika
;
0@# Tentukan nilai a& !& dan - jika
;
00# (arilah nilai a& !& dan -& jika
;
+142
48a
b
a
22
43
+ 130001
102
c
a
100
001
11 ba
7/23/2019 1.PENDAHULUAN MATRIKS
26/26
05# (arilah nilai :& $& 2& dan s jika "atriks
;
06# ; B& tentukan nilai :& $&
2& dan s