Upload
tri-satya
View
22
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
Matriks Pengertian Tentang Matriks
Operasi-Operasi Matriks Putaran Matriks
Pengertian Dasar Matriks
Matrik adalah susunan teratur bilangan-bilangan dalam baris dan kolom yang membentuk suatu susunan persegi panjang yang kita perlakukan sebagai suatu kesatuan.
Contoh:
123421302
baris
kolom
Nama matriks: huruf besar cetak tebal,
=
123421302
A
=
203142
B
Contoh:
Notasi:
Bilangan ini bisa berupa bilangan nyata atau kompleks.
Kita akan melihat matriks berisi bilangan nyata.
Pengertian Dasar Matriks
Elemen Matriks Isi suatu matriks disebut elemen matriks
Contoh:
=
203142
B2, 4, 1 dan 3, 0, 2 adalah elemen-emenen matriks yang membentuk baris
2, 3 dan 4, 0, dan 1, 2 adalah elemen-elemen matriks yang membentuk kolom
Ukuran Matriks Secara umum suatu matrik terdiri dari b baris dan k kolom, sehingga suatu matrik akan terdiri dari b×k elemen-elemen
Ukuran matriks dinyatakan sebagai b×k
Contoh:
=
203142
B adalah matriks berukuran 2×3
=
123421302
Ab = k = 3 matriks bujur sangkar 3×3
Nama Khusus
Pengertian Dasar Matriks
Matriks dengan b = k disebut matriks bujur sangkar.
Matriks dengan k = 1 disebut matriks kolom atau vektor kolom.
Matriks dengan b = 1 disebut matriks baris atau vektor baris.
Matriks dengan b ≠ k disebut matrik segi panjang
Contoh:
=
203142
Bb = 2, k = 3 matriks segi panjang 2×3
=
42
p k = 1 vektor kolom [ ]423=q b = 1
vektor baris
Notasi nama vektor: huruf kecil cetak tebal
Secara umum, matriks A dapat kita tuliskan sebagai
[ ]bk
mnmm
n
n
a
aaa
aaaaaa
=
=
21
22221
11211
A
elemen-elemen a11 …amn disebut diagonal utama
Diagonal Utama
Pengertian Dasar Matriks
Matriks Segitiga
Contoh:
Pengertian Dasar Matriks
Matriks segitiga bawah :
−=
343011002
1T
Matriks segitiga atas :
−=
300310122
2T
Ada dua macam matriks segitiga yaitu
matriks segitiga bawah dan matriks segitiga atas
Matriks segitiga bawah adalah matriks yang elemen-elemen di atas diagonal utamanya bernilai nol.
Matriks segitiga atas adalah matriks yang elemen-elemen di bawah diagonal utamanya bernilai nol.
Matriks Diagonal
Pengertian Dasar Matriks
Matriks diagonal adalah matriks yang elemen-elemen di atas maupun di bawah diagonal utamanya bernilai nol.
Contoh:
=
000010002
D
Matriks Satuan
Pengertian Dasar Matriks
Jika semua elemen pada diagonal utama adalah 1, sedang elemen yang lain adalah 0, matriks itu disebut matriks satuan.
Contoh:
IA =
=
100010001
Matriks Nol Matriks nol, 0, yang berukuran m×n adalah matriks yang berukuran m×n dengan semua elemennya bernilai nol.
Anak matriks atau sub-matriks
=
203142
B
[ ]142 [ ]203- Dua anak matriks 1× 3 , yaitu:
32
04
21
- Tiga anak matriks 2× 1, yaitu:
- Enam anak matriks 1× 1 yaitu: [2] , [4] , [1] , [3] , [0] , [2];
- Enam anak matriks 1× 2 yaitu: [ ]42 [ ]12 [ ]14
[ ]03 [ ]23 [ ]20
0342
2312
2014- Tiga anak matriks 2×2 yaitu:
Pengertian Dasar Matriks
Contoh:
Matriks B memiliki:
Matriks dapat dipandang sebagai tersusun dari anak-anak matriks yang berupa vektor-vektor
=
123421302
A
=
3
2
1
aaa
A dapat kita pandang sebagai matriks
dengan anak-anak matriks berupa vektor baris
[ ]3021 =a [ ]4212 =a [ ]1233 =a
dapat kita pandang sebagai matriks [ ]321 aaaA =
=
312
1a
=
220
2a
=
143
3a
dengan anak-anak matriks yang berupa vektor kolom
Pengertian Dasar Matriks
Contoh:
Contoh yang lain:
=
123421302
A
Kesamaan Matriks
Dua matriks A dan B dikatakan sama jika dan hanya jika berukuran sama dan elemen-elemen pada posisi yang sama juga sama.
A = B
=
0342
AJika
=
0342
B maka haruslah .
Operasi Matriks, Kesamaan, Matriks Nol, Matriks negatif
Contoh:
Matriks Negatif
Negatif dari matriks berukuran m×n adalah matriks berukuran m×n yang diperoleh dengan mengalikan seluruh elemennya dengan faktor (−1). .
Operasi Matriks, Kesamaan, Matriks Nol, Matriks negatif
Contoh:
=
0342
A
−
−−=−
0342
A
Penjumlahan Penjumlahan dua matriks hanya didefinisikan
untuk matriks yang berukuran sama Jumlah dari dua matriks A dan B yang masing-masing berukuran
m×n adalah sebuah matriks C berukuran m×n yang elemen-elemennya merupakan jumlah dari elemen-elemen matriks A dan
B yang posisinya sama
ABBA +=+
( ) ( )CBACBA ++=++
=
0342
A
=
2231
B
Jika
=+
2573
BAmaka
Sifat-sifat penjumlahan matriks:
Operasi Matriks, Penjumlahan dan Pengurangan
Contoh:
Pengurangan Matriks
Pengurangan matriks dapat dipandang sebagai penjumlahan dengan matriks negatif
A0A =+
0AAAA =−+=− )(
=
0342
A
=
2231
B
−
=
−−−−
+
=−
2111
2231
0342
BA
Contoh:
Operasi Matriks, Penjumlahan dan Pengurangan
Perkalian Matriks
=
mnmm
n
n
aaa
aaaaaa
21
22221
11211
A
=
pqmp
q
q
aaa
aaaaaa
21
22221
11211
B
Jadi jika matriks A berukuran m×n dan B berukuran p×q
maka perkalian AB hanya dapat dilakukan jika n = p.
Operasi Matriks, Penjumlahan dan Pengurangan
BAAB ≠
Hasil kali matriks AB berupa matriks berukuran m×q dengan nilai elemen pada baris ke b kolom ke k merupakan hasil kali internal (dot product) vektor
baris ke b dari matriks A dan vektor kolom ke k dari matriks B
Perkalian antara dua matriks A dan B yaitu C = AB hanya terdefinisikan jika banyak kolom matriks A sama dengan banyak baris matriks B.
Dalam perkalian matriks, urutan hatus diperhatikan.
Perkalian matriks tidak komutatif.
Perkalian Matriks dengan Bilangan Skalar
Hasil kali suatu bilangan skalar a dengan matriks berukuran m×n adalah matriks berukuran m×n yang seluruh elemennya bernilai a kali.
aA = Aa
=×
=
×
646462244
2 323231122
323231122
2
Perkalian matriks dengan bilangan skalar ini mempunyai sifat-sifat sebagai berikut
( ) BABA aaa +=+
( ) AAA baba +=+
[ ] ( )AA abba =
Operasi Matriks, Perkalian Matriks
Contoh:
Perkalian Internal Vektor (dot product)
[ ]32=a
=
34
bvektor baris: vektor kolom:
.
Contoh:
2 kolom
2 baris
Perkalian internal antara dua vektor a dan b yaitu c = ab hanya terdefinisikan jika banyak kolom vektor a sama dengan banyak baris
vektor b.
Dalam perkalian internal vektor, urutan perkalian harus diperhatikan.
[ ] [ ] [ ]17334234
32 =×+×=
=•= bac
Jika urutan dibalik, b : 1 kolom, a : 1 baris, perkalian juga dapat dilakukan tetapi memberikan hasil yang berbeda
[ ]
=
××××
=
=•=
96128
33233424
32 34
abd
perkalian internal dapat dilakukan
Perkalian matriks tidak komutatif.
Operasi Matriks, Perkalian Matriks
Perkalian Matriks Dengan Vektor
=
4312
A
=
32
bMisalkan dan
dapat dikalikan 2 kolom
2 baris
=
×+××+×
=
••
=
==
187
34233122
2
1
2
1baba
baa
AbC
Jika urutan perkalian dibalik, perkalian tidak dapat dilakukan karena b terdiri dari satu kolom sedangkan A terdiri dari dua baris.
Contoh:
Operasi Matriks, Perkalian Matriks
Perkalian Dua Matriks Bujur Sangkar
Operasi Matriks, Perkalian Matriks
=
4312
A
=
3524
B dan Contoh:
dapat dikalikan kolom = 2
baris = 2
Matriks A kita pandang sebagai
=
2
1aa
A
Matriks B kita pandang sebagai [ ]21 bbB =
[ ]
=
×+××+××+××+×
=
••••
=
==
1832713
3423544331225142
2212
211121
2
1babababa
bbaa
ABC
Perkalian dua matriks persegi panjang
Operasi Matriks, Perkalian Matriks
=
231342
A
=
323421
B dan
dapat dikalikan kolom = 3
baris = 3
=
×+×+××+×+××+×+××+×+×
=
==
17172525
323321224311333422234412
323421
231342
ABC
Contoh:
=
2
1aa
A [ ]21 bbB =
[ ]
••••
=
==
2212
211121
2
1 babababa
bbaa
ABC
Pernyataan matriks dengan anak matriks pada contoh di atas adalah
,
sehingga
.
Operasi Matriks, Perkalian Matriks
Dalam operasi perkalian matriks:
matriks yang pertama kita susun dari anak matriks yang berupa vektor baris
matriks yang kedua kita susun dari anak matriks yang berupa vektor kolom
Jadi perkalian matriks adalah perkalian dari baris ke kolom
( ) ( ) ( )BAABBA aaa ==
( ) ( )CABBCA =
( ) BCACCBA +=+
( ) CBCABAC +=+
Sifat-sifat perkalian matriks
b. Tidak komutatif. Jika perkalian AB maupun BA terdefinisikan, maka pada umumnya AB ≠ BA
a. Asosiatif dan distributif terhadap penjumlahan
Jika AB = 0 tidak selalu berakibat A = 0 atau B = 0.
c. Hukum pembatalan tidak selalu berlaku.
Operasi Matriks, Perkalian Matriks
Putaran Matriks
Putaran Matriks (Transposisi)
Putaran matriks atau transposisi dari matriks A berukuran m×n adalah suatu matriks AT yang berukuran n×m dengan kolom-
kolom matriks A sebagai baris-barisnya yang berarti pula bahwa baris-baris matriks A menjadi kolom-kolom matriks AT
[ ]bk
mnmm
n
n
a
aaa
aaaaaa
=
=
21
22221
11211
A
[ ]pq
mnnn
m
m
a
aaa
aaaaaa
=
=
21
22212
12111
TA
Jika
maka
Putaran Vektor Baris Dan Vektor Kolom
Putaran Matriks
Putaran vektor baris akan menjadi vektor kolom.
Sebaliknya putaran vektor kolom akan menjadi vektor baris.
[ ]
=⇒=
342
342 Taa
[ ]345 345
T =⇒
= bb
Contoh:
Putaran Jumlah Dua Vektor Baris
Putaran Matriks
Putaran jumlah dua vektor baris sama dengan jumlah putaran masing-masing vektor
[ ] [ ]231dan 342 == ba
[ ]573=+ ba
( ) TTT
231
342
573
baba +=
+
=
=+
( ) TTT baba +=+
Jika
maka
Secara umum :
Contoh:
Putaran Hasil Kali Vektor Baris Dan Vektor Kolom
Putaran Matriks
Putaran hasil kali vektor baris dengan vektor kolom atau vektor kolom dengan vektor baris, sama dengan hasil kali putaran
masing-masing dengan urutan dibalik
[ ]
==
231
dan 342 ba
[ ]233412 ×+×+×=ab
Jika
maka
Contoh:
[ ] [ ] TTT
342
231233412 abab =
=×+×+×=
Putaran Matriks
Contoh:
Jika [ ]231dan 342
=
= ba
maka
×××××××××
=233313243414223212
ab
( ) [ ] TTT 342 231
232422333432131412
abab =
=
×××××××××
=
Secara umum :
( ) TTT abab =
Putaran Matriks
Contoh:
Putaran Matriks Persegi Panjang
=
231342
A
=
233412
TAJika maka
=
ma
aA
1
[ ]TT1
TmaaA =
Jika matriks A dinyatakan sebagai susunan dari vektor baris
maka
[ ]maaaA 21=Jika matriks A dinyatakan dengan vektor kolom
=
ma
aA
1T maka
Putaran Matriks
Putaran Jumlah Matriks
Putaran jumlah dua matriks sama dengan jumlah putaran masing-masing matriks.
Hal ini telah kita lihat pada putaran jumlah vektor baris.
( ) TTT BABA +=+
[ ]maaA 1= [ ]mbbB 1=
[ ]mm babaBA ++=+ 11
Jika
Dengan demikian
dan
maka
( )( )
( )TT
T
T1
T
T1
TT
T1
T1
T
T11
T BAb
b
a
a
ba
ba
ba
baBA +=
+
=
+
+=
+
+=+
mmmmmm
Putaran Hasil Kali Matriks Putaran hasilkali dua matriks sama dengan hasil kali putaran
masing-masing dengan urutan yang dibalik. Hal ini telah kita lihat pada putaran hasil kali vektor baris dan vektor kolom.
( ) TTT ABAB =
=
ma
aA
1
[ ]nbbB 1=
••
••=
nmnm
n
baba
babaAB
111
Jika dan
maka
[ ] TT1
1111T ABaa
b
b
baba
babaAB =
=
••
••= m
nnmnm
n
Dengan demikian maka
Putaran Matriks
Putaran Matriks
Matriks Simetris
Jika dikatakan bahwa matriks B adalah simetris miring.
BB −=T
Matriks simetris adalah matriks yang putarannya sama dengan matriksnya sendiri. Jadi matriks A dikatakan simetris apabila
AA =T
Karena dalam setiap putaran matriks nilai elemen-elemen diagonal utama tidak berubah, maka matriks simetris miring dapat terjadi jika
elemen diagonal utamanya bernilai nol.
Berkaitan dengan putaran matriks, kita mengenal kesimetrisan pada matriks nyata.
Determinan Matriks
Determinan Matriks
Jika A adalah suatu matriks bujur sangkar, maka kita mengaitkan A dengan suatu bilangan yang dinyatakan oleh
△=𝑎11 𝑎12 𝑎13 ⋯ 𝑎1𝑛𝑎21⋮
𝑎22⋮
𝑎23⋮ ⋯ 𝑎2𝑛
⋮𝑎𝑛1 𝑎𝑛2 𝑎𝑛3 ⋯ 𝑎𝑛𝑛
Yang dinamakan determinan dari A dengan ukuran n, ditulis det(A). Untuk mendefinisikan nilai suatu determinan, kita harus mengenal
beberapa konsep berikut:
1. Minor. Diberikan suatu unsur 𝑎𝑗𝑗 dari △. Suatu determinan berukuran (𝑛 − 1) yang diperoleh dengan menghilangkan semua unsure di baris ke j dan kolom ke k dinamakan minor dari 𝑎𝑗𝑗 .
Determinan Matriks
Contoh: Minor yang bersesuaian dengan unsur 5 dalam baris ke-2 kolom ke-3 dari determinan berukuran 4.
2 −1 𝟏 3−𝟑 𝟐 𝟓 𝟎14
0−2
−𝟐𝟑
21
adalah 2 −1 31 0 24 −2 1
Yang diperoleh dengan menghilangkan unsur-unsur yang berwarna gelap.
Determinan Matriks
2. Kofaktor. Jika minor dari 𝑎𝑗𝑗 dikalikan dengan (−1)𝑗+𝑗 , maka hasilnya dinamakan kofaktor dari 𝑎𝑗𝑗 dan dinyatakan dengan 𝐴𝑗𝑗 .
Contoh: Kofaktor yang bersesuaian dengan unsure 5 dalam determinan pada contoh di atas adalah (−1)2+3 dikalikan minornya, atau
−12 −1 31 0 24 −2 1
Nilai determinan didefinisikan sebagai jumlah dari hasil kali unsur-unsur pada suatu baris atau kolom dengan kofaktor-kofaktor yang bersesuaian, dan ini dinamakan uraian Laplace. Dalam lambang ditulis:
det𝐴 = �𝑎𝑗𝑗𝐴𝑗𝑗
𝑛
𝑗=1
Determinan Matriks
Menghitung determinan berukuran 2 menggunakan uraian Laplace: 𝑎11 𝑎12𝑎21 𝑎22 menggunakan unsur di baris pertama. Kofaktor yang
berkaitan adalah
𝐴11 = (−1)1+1𝑎22 = 𝑎22, 𝐴12 = (−1)1+2𝑎21 = −𝑎21 Menurut uraian Laplace, determinannya bernilai
𝑎11𝐴11 + 𝑎12𝐴12 = 𝑎11𝑎22 − 𝑎12𝑎21
Determinan Matriks
Contoh:
Hitunglah uraian Laplace dari determinan 3 −2 21 2 −34 1 2
dengan
menggunakan unsur baris pertama. Dengan menggunakan unsur baris pertama, uraiannya adalah
3 2 −31 2 — 2 1 −3
4 2 + 2 1 24 1 = 3 7 − −2 14 + 2 −7 = 35
Nilai determinan orde 3 juga dapat dihitung menggunakan cara di bawah ini:
𝑎1 𝑏1 𝑐1𝑎2 𝑏2 𝑐2𝑎3 𝑏3 𝑐3
= 𝑎1𝑏2𝑐3 + 𝑏1𝑐2𝑎3 + 𝑐1𝑎2𝑏3 − 𝑏1𝑎2𝑐3 + 𝑎1𝑐2𝑏3 + 𝑐1𝑏2𝑎3
Kemudian dengan mengambil jumlah hasil kali suku-suku yang ditunjukkan dengan anak panah bertanda + dan −.
Determinan Matriks : Teorema
TEOREMA-TEOREMA DETERMINAN
1. Nilai suatu determinan tetap sama jika baris dan kolomnya ditukar. Dalam lambang det 𝐴 = det (𝐴𝑇) .
2. Jika A dan B dua matriks bujursangkar yang berukuran sama, maka det 𝐴𝐴 = det 𝐴 det (𝐴).
3. Jumlah dari hasil kali unsur-unsur pada suatu baris atau kolom dengan kofaktor-kofaktor dari baris atau kolom lainnya adalah
nol. Dalam lambang ditulis:
�𝑎𝑞𝑗𝐴𝑝𝑗 = 0 atau 𝑛
𝑗=1
�𝑎𝑗𝑞𝐴𝑗𝑝 = 0 jika 𝑝 ≠ 𝑞𝑛
𝑗=1
Jika 𝑝 = 𝑞 , jumlahnya sama dengan
det𝐴 = �𝑎𝑗𝑗𝐴𝑗𝑗
𝑛
𝑗=1
Determinan Matriks : Teorema
4. Misalkan 𝑣1,𝑣2, … , 𝑣𝑛 menyatakan vector baris atau vector kolom dari suatu matriks bujursangkar A yang berukuran n. Maka det (A) = 0 jika dan hanya jika ada konstanta (scalar) 𝜆1, 𝜆2, … , 𝜆𝑛
yang tidak semua nol sehingga
𝜆1𝑣1 + 𝜆2𝑣2 + ⋯+ 𝜆𝑛𝑣𝑛 = 𝑂
Di mana O adalah matriks baris nol. Jika syarat di atas dapat dipenuhi maka kita menyatakan bahwa vektor-vektor 𝑣1, 𝑣2, … , 𝑣𝑛
bergantungan linear. Jika tidak demikian kita menyatakannya bebas linear. Suatu matriks A sehingga det (A) = 0 dinamakan
matriks singular. Jika det (A) ≠ 0, maka A dinamakan matriks tak-singular.
Invers Matriks
Jika untuk suatu matriks bujursangkar A terdapat suatu matrik B sehingga AB = I, maka dinamakan invers dari A dan dinyatakan
dengan 𝐴−1. Dasarnya adalah rumus berikut ini:
Jika A suatu matriks tak singular berukuran n (det (A) ≠ 0) maka terdapat tepat satu invers 𝐴−1 sehingga 𝐴𝐴−1 = 𝐴−1𝐴 = 𝐼 dan kita dapat menyatakan 𝐴−1 dalam bentuk
𝐴−1 =(𝐴𝑗𝑗)𝑇
det𝐴
Di mana (𝐴𝑗𝑗) adalah matriks dari kofaktor 𝐴𝑗𝑗 dan (𝐴𝑗𝑗)𝑇= (𝐴𝑗𝑗) adalah transposenya. Bentuk berikut ini menyatakan sifat invers matriks:
(𝐴𝐴)−1= 𝐴−1𝐴−1 , (𝐴−1)−1= 𝐴 Contoh:
Tentukanlah invers matriks 𝐴 =3 −2 21 2 −34 1 2
Invers Matriks
MATRIKS TEGAK LURUS (ORTHOGONAL)
Suatu matriks riil A dinamakan suatu matriks tegak lurus (orthogonal) jika trnsposenya sama dengan inversnya, yaitu jika 𝐴𝑇 = 𝐴−1 atau 𝐴𝑇𝐴 = 𝐼.
Nilai Eigen dan Vektor Eigen
Misalkan 𝐴 = 𝑎𝑗𝑗 adalah suatu matirks 𝑛 × 𝑛 dan X suatu vektor kolom. Persamaan
𝐴𝐴 = 𝜆𝐴 Di mana suatu bilangan dapat ditulis sebagai
𝑎11 𝑎12 𝑎13 ⋯ 𝑎1𝑛𝑎21⋮
𝑎22⋮
𝑎23⋮ ⋯ 𝑎2𝑛
⋮𝑎𝑛1 𝑎𝑛2 𝑎𝑛3 ⋯ 𝑎𝑛𝑛
𝑥1𝑥2⋮𝑥𝑛
= 𝜆
𝑥1𝑥2⋮𝑥𝑛
Atau
𝑎11 − 𝜆 𝑥1 + 𝑎12𝑥2 + ⋯+ 𝑎1𝑛𝑥𝑛 = 0 𝑎21𝑥1 + 𝑎22 − 𝜆 𝑥2 + ⋯+ 𝑎2𝑛𝑥𝑛 = 0 … … … … … … … … … … … … … … … … … 𝑎𝑛1𝑥1 + 𝑎𝑛2𝑥2 + ⋯+ 𝑎𝑛𝑛 − 𝜆 𝑥𝑛 = 0
Nilai Eigen dan Vektor Eigen
Akan memiliki penyelesaian tak-trivial jika dan hanya jika
𝑎11 − 𝜆 𝑎12 ⋯ 𝑎1𝑛𝑎21 𝑎22 − 𝜆 ⋯ 𝑎2𝑛⋮𝑎𝑛1
⋮𝑎𝑛2
⋯ ⋮𝑎𝑛𝑛 − 𝜆
= 0
Yang merupakan suatu persamaan suku banyak berderajat n dalam 𝜆. Akar dari persamaan suku banyak ini dinamakan nilai
eigen atau nilai karakteristik (nilai ciri) dari matriks A. Bersesuaian dengan setiap nilai eigen aka nada penyelesaian 𝐴 ≠ 0 yang
merupakan suatu penyelesaian tak-trivial, yang dinamakan suatu vektor eigen atau vektor karakteristik dari nilai eigennya.
Persamaan juga dapat ditulis
det 𝐴 − 𝜆𝐼 = 0
Dan persamaan dalam 𝜆 ini seringkali dinamakan persamaan karakteristik.
Nilai Eigen dan Vektor Eigen
TEOREMA PADA NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN Reduksi suatu matriks ke bentuk diagonal. Jika suatu matriks tak singular A mempunyai nilai eigen yang berbeda-beda 𝜆1, 𝜆2, 𝜆3, … … dengan vektor eigen yang berkaitan ditulis sebagai kolom dari matriks
𝐴 =𝑏11 𝑏12 𝑏13 ⋯𝑏21 𝑏22 𝑏23 ⋯⋯ ⋯ ⋯ ⋯
Maka 𝐴−1𝐴𝐴 =
𝜆1 0 0 ⋯0 𝜆2 0 ⋯0⋯
0⋯
𝜆3⋯
⋯⋯
Yaitu 𝐴−1𝐴𝐴 dinamakan transformasi dari A oleh B, yang merupakan matriks diagonal yang memuat nilai eigen dari A dalam diagonal utamanya dan unsur lainnya nol. Kita mengatakan bahwa A telah
ditransformasikan atau di direksikan ke bentuk diagonal.
Nilai Eigen dan Vektor Eigen
TEOREMA PADA NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN
Contoh:
Transformasikan matriks ke dalam bentuk diagonal 𝐴 =2 1 −11 1 13 2 1
Nilai Eigen dan Vektor Eigen
TEOREMA PADA NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN
Reduksi bentuk kuadrat ke bentuk kanonik. Misalkan A suatu matriks riil setangkup, sebagai contoh
𝐴 =𝑎11 𝑎12 𝑎13𝑎21 𝑎22 𝑎23𝑎31 𝑎32 𝑎33
𝑎12 = 𝑎21,𝑎13 = 𝑎31,𝑎23 = 𝑎32
Jika 𝐴 =𝑥1𝑥2𝑥3
, maka kita memperoleh bentuk kuadrat
𝐴𝑇𝐴𝐴 = 𝑎11𝑥12 + 𝑎22𝑥22 + 𝑎332 𝑥32 + 2𝑎12𝑥1𝑥2 + 2𝑎13𝑥1𝑥3 + 2𝑎23𝑥2𝑥3
Suku-suku hasil kali silang dari bentuk kuadrat ini dapat dihilangkan dengan memisalkan 𝐴 = 𝐴𝐵 di mana U suatu vector kolom dengan
unsure-unsur 𝑢1,𝑢2,𝑢3 dan B suatu matriks orthogonal yang membuat diagonal matriks A. bentuk kuadrat baru dalam 𝑢1,𝑢2,𝑢3 tanpa suku-
suku hasil kali silang dinamakan bentuk kanonik.
TUGAS