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1. Tasa de variación media
2. Derivada de una función en un punto
3. Derivabilidad y continuidad
4. La recta tangente y normal
5. Función derivada
6. Cálculo de derivadas
7. Reglas de derivación
8. Regla de la cadena
9. Derivación implícita
10. Derivadas de funciones logarítmicas
11. Derivadas de funciones exponenciales
12. Derivadas de funciones trigonométricas
13. Derivadas de funciones trigonométricas inversas
14. La derivada como razón de cambio
15. La integral indefinida: cálculo de primitivas
Derivadas.
Tasa de variación media.
Dada la función f en [a,b], se llama tasa de variación media de f en [a,b]
f b f a
b a
Ejemplo.- Un automóvil se mueve según
la función e(t) = 2.t 2; donde t es el tiempo
en segundos y e(t) el espacio que recorre
dicho móvil en línea recta en metros.
Calcular la velocidad media (tasa de
variación) durante los 10 primeros
segundos
10 0 200 020
10 0 10 0
e e ms
Hay que observar que la tasa media de f en
[a,b], es la pendiente de la recta secante a
f(x) en los puntos (a,f(a)) y (b,f(b))
Derivada de una función en un punto.
Dada una función f definida en [a,b], se llama derivada de f en el punto a, a:
Cuando existe, decimos que la función f es derivable en x = a.
0
lim limb a h
f b f a f a h f af a
b a h
2 2
0 0
0
5 5 2 5 2 5lim lim
lim 20 2 ) 20
h h
h
e h e h
h hmh s
Ejemplo.- Un automóvil se mueve según la
función e(t) = 2.t 2; t es el tiempo en segundos
y e(t) el espacio en metros. Calcular la
velocidad instantánea (t’(a)) en el segundo 5
Hay que observar que f’(a) (si existe) es la
pendiente de la recta tangente a f(x) en el el
punto (a,f(a))
Derivadas laterales
Denominamos derivadas laterales (izquierda y derecha) de f en x = a a los
límites: 0 0
lim limh h
f a h f a f a h f af a f a
h h
La función f es derivable en x = a si y solo si f ’(a-) = f ’(a+):
2
1
1
x si xf x
x si x
Ejemplo.- Existe la derivada de f en x = 1, siendo f la función
Teniendo en cuenta que
0
2 2
0
1 11 lim 1
1 11 lim 2
h
h
hf
h
hf
h
Se deduce que f no es derivable en x = 1
Derivabilidad y continuidad
Si f es derivable en x = a, entonces f es continua en x = a.
Hay que observar que:
Si f es continua en x = a, no tiene por que ser derivable en x = a.
Si f no es continua en x = a, f no es derivable en x = a
Ejemplo.- Estudiar la continuidad y derivabilidad de la función valor
absoluto. 0
0
x si xf x x
x si x
f es continua ya que
0 0
lim (0) lim 0h h
h f h
Sin embargo no es derivable en x = 0, ya que
0 0
0 lim 1 1 lim 0h h
h hf f
h h
Funciones derivables
Si f es derivable en todo número real, decimos que f es derivable.
Hay que observar que:
Las funciones polinómicas son derivables, al igual que la función sen o cos,
o también las funciones exponenciales.
Sin embargo no lo son por ejemplo la función tan que tiene discontinuidades
de salto infinito, y en esos puntos ni es continua ni derivable
La recta tangente y normal
Teniendo en cuenta que f ’(a) (si existe) es la PENDIENTE de la RECTA
TANGENTE rtg a la función f, en el punto (a,f(a)), dicha recta será
:tgr y f a f a x a
Y teniendo en cuenta que (-f ’(a))– 1 (si existe) es la PENDIENTE de la
RECTA NORMAL (recta perpendicular a la recta tangente a f) en el punto
(a,f(a)) ) rnor a la función f, en el punto (a,f(a)), dicha recta será
1:norr y f a x a
f a
La recta tangente y normal
Ejemplo.- Calcular la recta tangente r y normal s a f(x) = x2 en x = 1
: 1 1 1 1 2 1
2 1
1 1: 1 1 1 1
1 2
2 3
r y f f x y x
x y
s y f x y xf
x y
Función derivada
Dada una función f, llamamos función derivada de f a la que se obtiene
mediante el límite
0
limh
f x h f xf x
h
Dada una función f, llamamos función derivada segunda de f a la que se
obtiene mediante el límite
0
limh
f x h f xf x
h
La derivada de la segunda derivada se denomina derivada tercera (f’’’(x)), y
así sucesivamente
Función derivada
Ejemplo.- Si un objeto se según la ecuación de espacio e(t) = 2.t2 + 5.t + 1
metros (t en segundos), calcular su velocidad y su aceleración instantánea
0
2 2
0
0
' lim
2 5 1 2 5 1lim 4 5
4 5 4 5'' lim 4
h
h
h
e t h e tv t e t
h
t h t h t tt
ht h t
a t e th
Cálculo de derivadas
Derivada de la función constante f(x) = k
0 0 0
0lim lim lim 0h h h
f x h f x k kf x
h h h
Ejemplo.- La derivada de la función f(x) = , será f ’(x) =0
Derivada de la función identidad f(x) = x
0 0 0
lim lim lim 1h h h
f x h f x x h x hf x
h h h
Ejemplo.- La derivada de la función potencia f(x) = x, será f ‘(x) = 1
Cálculo de derivadas
Derivada de la función potencia f(x) = xn, con n un número natural
0 0
1 2 2
1
0
lim lim
1 2lim
n n
h h
n n n
n
h
f x h f x x h xf x
h hn n nx h x h h
nn x
h
En general, también se cumple para n un número racional
Ejemplo.- La derivada de la función f(x) = x-3, es f ’(x) = (-3) . x-4
Cálculo de derivadas
Derivada de la raíz cuadrada f(x) = x
0 0
0 0
0
lim lim
lim lim
1 1lim
2
h h
h h
h
f x h f x x h xf x
h h
x h x x h x h
h x h x h x h x
x h x x
Cálculo de derivadas
Derivada de la función de proporcionalidad inversa f(x) = 1/x
0 0
20 0 0
1 1
lim lim
1 1lim lim lim
h h
h h h
f x h f x x h xf xh h
x x h
x h x h
h h x h x x h x x
Reglas de derivación
Si y = k.f(x)
0 0
0
( ) ( )lim lim
( ) ( )lim
h h
h
y x h y x k f x h k f xy
h hf x h f x
k k f xh
— —
—
Ejemplo.- Si y = 3.x2, será y ‘ (x) = 3.(2.x) = 6.x
Reglas de derivación
Si y = f(x) g(x)
0 0
0 0
( ) ( ) ( ) ( )lim lim
( ) ( ) ( ) ( )lim lim
h h
h h
f x h g x h f x g xy x h y xy
h hf x h f x g x h g x
f x g xh h
——
— —
Ejemplo.- Si y = x2 + x, será y ‘ (x) = 2.x + 1
Reglas de derivación
Si y = f(x) . g(x)
0 0
0
0 0
0
( ) ( ) ( ) ( )lim lim
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )lim
( ) ( ) ( ) ( )lim ( ) lim ( )
( ) ( )lim ( )
h h
h
h h
h
f x h g x h f x g xy x h y xy
h hf x h g x h f x g x h f x g x h f x g x
hf x h f x g x h g x
g x h f xh h
f x h f xg x f
h
——
—
0
( ) ( )( ) lim
( ) ( )
h
g x h g xx
h
f x g x f x g x
Ejemplo.- Si y = (3x2).(x). Será
y ‘ (x) = (6x). (x) + (3x2).[1/(2x)] = (15x2) / (2x)
Reglas de derivación
Si y = f(x) / g(x)
2
( ) ( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
f xy f x y x g x f x y x g x y x g x
g x
f xf x g x
g xf x y x g xy x
g x g x
f x g x f x g x
g x
Ejemplo.- Si y = (x+1) / (x2). Será
y ‘ (x) = [1.(x2) – (x+1).(2x)] / x4 = - (x+2) / x3
La regla de la cadena
Si y = ( f º g ) (x) = f(g(x)), se cumple:
y f g x g x
Ejemplo.- Si y = (x2+1), denominando f(g) = g y g(x) = x2+1, será:
2 2
12
2 1 1
xy f g x g x x
x x
Derivación implícita
Si en vez de venir una curva mediante su función o expresión explícita, viene
expresada mediante su ecuación implícita (ecuación algebraica de variables x
e y, con y = y(x)). Entonces, se deriva dicha expresión, teniendo en cuenta
las reglas de aplicación a las derivadas, y despejando y ‘
Ejemplo.- Calcular la recta tangente a la circunferencia de centro el origen de
coordenadas y radio la unidad, que pasa por el punto (2/2, 2/2).
Derivando la ecuación implícita de la circunferencia
x2 + y2 = 1 Obtenemos 2.x + 2.y.y ‘ = 0. Es decir
y ’ = - x/y
Que en el punto (2/2, 2/2), y ‘ = -1, luego la ecuación de la recta será
y – 2/2 = -1. (x-2/2)
es decir
x + y = 2.
Derivadas de las funciones logarítmicas
Si y = ln x
0 0
0 0 0
0 0
ln lnlim lim
ln1 1 1 1
lim lim ln 1 lim ln 1
1 1 1 1lim ln 1 lim ln
h h
h h h
x
h
h h
y x h y x x h xy
h hx h
xxx xh h x hh h
exx x xh
— —
Ejemplo.- Si y = ln (5x+9). Será
5
5 9y
x
Derivadas de las funciones logarítmicas
Si y = loga x, como loga x = ln x / ln a, teniendo en cuenta las reglas de
derivación será
1 1 1ln
ln lny x
a a x
Ejemplo.- Si y = log3 (5x+9). Será
1 5
ln3 5 9y
x
Derivadas de las funciones exponenciales
Si y = ex , tomando logaritmos neperianos será
ln ln 1x xyy e x y y e
y
Si y = ax , como y = ex.ln a será
ln ln ln ln ln lnx xyy a x a a y y a a a
y
Derivadas de las funciones exponenciales
Ejemplo.- Si y = 72x. Será
27 2 ln 7xy
Si y = f(x)g(x) , como y = eg(x).ln f(x) será
lnln ln ln ln
ln
ln
ln
g x f x g x
g x
y f x e f x g x
f xyf x g x g x
y g x
f x g x g x f x g xy y
g x
f x g x g x f x g xy f x
g x
Derivadas de las funciones trigonométricas
Si y = sen x, aplicando la definición de derivada será
0 0
0
0 0
sen senlim lim
sen cos sen cos senlim
cos 1 senlimsen limcos
sen 0 cos 1 cos
h h
h
h h
y x h y x x h xy
h hx h h x x
hh h
x xh h
x x x
Si y = cos x, utilizando el teorema fundamental de trigonometría será
2 2sen cos 1 2 sen cos 2 0
2 sen cos sen cossen
2 cos
x x x x y y
x x x xy x
y x
Derivadas de las funciones trigonométricas
Si y = tg x = sen x / cos x, utilizando las reglas de derivación será
2 2
2 2
22
2 22
2 2
sen cos sen cos sen cos
cos cos1
seccos
sen cos1
cos cos
x x x x x xy
x x
xx
x xtg x
x x
Ejemplo.- Si y = cos(ln x), será
sen ln1sen ln
xy x
x x
Derivadas de las funciones trigonométricas inversas
Hay que tener en cuenta que como las funciones trigonométricas son
periódicas, las funciones inversas, existirán solamente en un intervalo en el
cual dicha función sea biyectiva
2 2
1 1 1cos 1
cos 1 sen 1y y y
y y x
Si y = Arc cos x, razonando de forma análoga al resultado anterior será
2
1
1y
x
Si y = Arco sen x, teniendo en cuenta que será sen y = x, será
Si y = Arc tg x, será
2
1
1y
x
Derivadas de las funciones trigonométricas inversas
Ejemplo.- Si y = Arc sen x, será
2 2
1 1 1
2 21y
x x xx
——
Derivada como razón de cambio
Dada una función f(x), si para cada x denominamos:
df(x) = f ‘ (x) . dx (ó df = f ‘ (x) . dx)
será: f ‘ (x) = df / dx
Ejemplo.- Se está hinchando un globo esférico. Si su radio crece a razón de 1
centímetro por segundo, ¿Con que rapidez estará creciendo el volumen cuando
el radio sea de 5 centímetros? 34
3V r Como el volumen viene dado por
243
3
dV drr t
dt dt
Tanto r como V son cantidades que varian con el tiempo, es decir, funciones
de t, luego la variación del volumen, será
2 343 5 100 314,16 /
3
dVcm s
dt
Que para r = 5 cm y dr/dt = 1 cm/s., será
Lo que indica que cuando el radio alcanza la longitud de 5 cm. El volumen
aumenta a razón de 314 cm cúbicos por segundo, aproximadamente
La integral indefinida: cálculo de primitivas
Si F ‘ (x) = f(x), decimos que F(x) es una primitiva de la función f(x) y, para
indicar la operación mediante la que se calcula esta primitiva, se escribe:
f(x).dx = F(x) + K; (siendo K una constante)
Además, para cualquier función f y g, y cualquier número real, se cumplen
estas dos reglas
( f(x) + g(x)).dx = f(x).dx + g(x).dx
(c.f(x)).dx = c . f(x).dx
Ejemplo.- Calcular ( 5 x4 + 1 )
4 4 55 1 5 1x dx x dx dx x x K
Mas ayuda del tema de la página
Matemática de DESCARTES del
Ministerio de Educación y ciencia
(http://recursostic.educacion.es/descartes/web/)
En la siguiente diapósitiva
Mas ayuda del tema de la página
Matemática de GAUSS del
Ministerio de Educación y ciencia
(http://recursostic.educacion.es/gauss/web)
En la siguiente diapósitiva
Mas ayuda del tema de la página
lasmatemáticas.es
Videos del profesor
Dr. Juan Medina Molina
(http://www.dmae.upct.es/~juan/m
atematicas.htm)
En la siguiente diapósitiva
Mas ayuda del tema de la página
Manuel Sada
(figuras de GeoGebra)
(http://docentes.educacion.navarra.es/
msadaall/geogebra/)
En la siguiente diapósitiva
