Լ. Ս. ԱՍԼԱՆՅԱՆ

Ուսումնական ձեռնարկ

ՈՉ ԳԾԱՅԻՆ ՕՊՏԻԿԱՅԻՀԻՄՈՒՆՔՆԵՐԸ

ՈՉ

ԳԾ

ԱՅ

ԻՆ

ՕՊ

ՏԻ

ԿԱ

ՅԻ

ՀԻ

ՄՈ

ՒՆ

ՔՆ

ԵՐ

ԸԼ.

Ս.

ԱՍ

ԼԱ

ՆՅ

ԱՆ

ԵՐԵՎԱՆԻ ՊԵՏԱԿԱՆ ՀԱՄԱԼՍԱՐԱՆ

Լ. Ս. ԱՍԼԱՆՅԱՆ

ՈՉ ԳԾԱՅԻՆ ՕՊՏԻԿԱՅԻ

ՀԻՄՈՒՆՔՆԵՐԸ

ԵՐԵՎԱՆ

ԵՊՀ ՀՐԱՏԱՐԱԿՉՈՒԹՅՈՒՆ

2019

2

ՀՏԴ 535.18(07) ԳՄԴ 22.343ց7 Ա 742

Հրատարակության է երաշխավորել

ԵՊՀ ֆիզիկայի ֆակուլտետի

գիտական խորհուրդը

Գրախոսներ`

Ֆիզ. մաթ. գիտ. դոկտոր, պրոֆ. Խ. Վ. Ներկարարյան

Ֆիզ. մաթ. գիտ. դոկտոր, պրոֆ. Ռ. Ս. Հակոբյան

Ասլանյան Լ. Ս.

Ա 742 Ոչ գծային օպտիկայի հիմունքները: Ուսումնական ձեռնարկ/

Լ. Ս. Ասլանյան: -Եր., ԵՊՀ հրատ., 2019, 218 էջ:

Լազերների հայտնագործումը հեղաշրջում առաջացրեց լույսի և

միջավայրի փոխազդեցության ուսումնասիրման բնագավառում:

Ստեղծվեց և բուռն զարգացում ապրեց նոր ուղղություն` ոչ գծային

օպտիկան: Այն միանգամայն նոր հնարավորություններ ընձեռեց

նյութերի վարքն արտաքին մեծ ինտենսիվությամբ լուսային դաշ-

տերում ուսումնասիրելու համար:

Սույն ուսումնական ձեռնարկը նվիրված է ոչ գծային օպտիկայի

հիմնարար սկզբունքների երևութաբանական նկարագրությանը:

Այն կարող է օգտակար լինել բակալավրիատի ու մագիստրատու-

րայի ուսանողների, ինչպես նաև ասպիրանտների ու բոլոր այն երի-

տասարդ մասնագետների համար, ովքեր հետաքրքրվում են ոչ

գծային օպտիկայի մեթոդներով:

ՀՏԴ 535.18(07) ԳՄԴ 22.343ց7

ISBN 978-5-8084-2353-4

© ԵՊՀ հրատ., 2019

© Ասլանյան Լ. Ս., 2019

3

ԲՈՎԱՆԴԱԿՈՒԹՅՈՒՆ

ՆԵՐԱԾՈՒԹՅՈՒՆ .................................................................................. 7

ՀԱՄԱՌՈՏ ՊԱՏՄԱԿԱՆ ԱԿՆԱՐԿ ................................................... 10

1. Մինչլազերային փուլ ......................................................................... 11

2. Լազերային փուլ ................................................................................ 12

ՄԱՍ I. ԸՆԴՀԱՆՈՒՐ ՆԿԱՐԱԳՐՈՒԹՅՈՒՆ

ԹԵՄԱ 1. ՈՉ ԿՈՀԵՐԵՆՏ ՈՉ ԳԾԱՅԻՆ ՕՊՏԻԿԱԿԱՆ

ԵՐԵՎՈՒՅԹՆԵՐ .................................................................................. 16

§1.1. Կլանման հագեցում ...................................................................... 16

§1.2. Ռամանյան (կոմբինացված) ցրում ............................................. 23

§1.3. Բազմաֆոտոն կլանում և ոչ գծային ֆոտոէֆեկտ ..................... 28

§1.4. Ամփոփում ..................................................................................... 31

ԹԵՄԱ 2. ՆԵՐԱՏՈՄԱԿԱՆ ԴԱՇՏԵՐԸ ԵՎ ՆՐԱՆՑ ԿԱՐԳԸ ...... 32

§2.1. Ներատոմական դաշտերի գնահատումը ................................... 32

§2.2. Ըստ դաշտի աստիճանների ֆենոմենոլոգիական

վերլուծություն: Գծային և ոչ գծային ընկալունակություններ ........... 34

§2.3. Լոկալ (տեղային) դաշտի գործոնը գծային և

ոչ գծային օպտիկայում ......................................................................... 36

§2.4. Ամփոփում ..................................................................................... 38

ԹԵՄԱ 3. ՆՅՈՒԹԱԿԱՆ ՀԱՎԱՍԱՐՈՒՄՆԵՐԸ ՈՉ ԳԾԱՅԻՆ

ՄԻՋԱՎԱՅՐՈՒՄ .................................................................................. 39

§3.1. Ֆունդամենտալ նյութական հավասարումների ստացումը ...... 39

§3.2. Ոչ գծային ընկալունակության թենզորի ընդհանուր

հատկությունները................................................................................... 43

§3.3. Ոչ գծային ընկալունակության թենզորի սիմետրիան ............... 45

§3.4. Կլեյնմանի կանոնը ....................................................................... 45

§3.5. Ոչ գծային օպտիկական երևույթների դասակարգումը ............ 49

§3.6. Ամփոփում ..................................................................................... 50

ԹԵՄԱ 4. ՈՉ ԳԾԱՅԻՆ ՄԻՋԱՎԱՅՐԵՐԻ

ԷԼԵԿՏՐԱԴԻՆԱՄԻԿԱ ........................................................................ 51

§4.1. Ներածություն ................................................................................ 51

4

§4.2. Ոչ գծային ալիքային հավասարում: Կապված ալիքների

համակարգ ............................................................................................. 52

§4.3. Ոչ գծային ալիքային հավասարման ուսումնասիրման

դանդաղ փոփոխվող լայնույթի մեթոդ ................................................. 53

§4.4. Ժամանակային կախվածությամբ լայնույթով

ալիքի տարածումը ................................................................................. 59

§4.5. Ամփոփում ..................................................................................... 61

ԹԵՄԱ 5. ՈՉ ԳԾԱՅՆՈՒԹՅԱՆ ՄԵԽԱՆԻԶՄՆԵՐ ....................... 62

§5.1. Անհարմոնիկ օսցիլյատորի մոդելը: Միլլերի կանոնը ................ 62

§5.2. Կողմնորոշումային (օրիենտացման) մեխանիզմ ...................... 68

§5.3. Ջերմային մեխանիզմ ................................................................... 77

§5.4. Ամփոփում ..................................................................................... 81

ՄԱՍ II. ԸՍՏ ԴԱՇՏԻ ՔԱՌԱԿՈՒՍԱՅԻՆ ԿԱՐԳԻ

ԵՐԵՎՈՒՅԹՆԵՐ

ԹԵՄԱ 6. ԵՐԿՐՈՐԴ ՀԱՐՄՈՆԻԿԻ ԳԵՆԵՐՈՒՄ (ԵՀԳ) ............. 82

§6.1. Երկրորդ հարմոնիկի գեներում (փորձարարական դիտում) ..... 82

§6.2. Փուլային սինքրոնության պայմանը և

իրականացման մեթոդները ................................................................... 84

§6.3. Երկրորդ հարմոնիկի գեներում:

Կարճեցված հավասարումների համակարգ ....................................... 92

§6.4. Մղման տրված դաշտի մոտավորություն .................................... 93

§6.5. Հետադարձ ազդեցության հաշվառումը ..................................... 96

§6.6. Տրված ինտենսիվության մոտավորություն ................................ 99

§6.7. Ամփոփում ................................................................................... 102

ԹԵՄԱ 7. ՔԱՌԱԿՈՒՍԱՅԻՆ ԱՅԼ ԵՐԵՎՈՒՅԹՆԵՐ ................... 103

§7.1. Գումարային և տարբերությունային հաճախությունների

գեներում ............................................................................................... 103

§7.2. Պարամետրական ուժեղացում և գեներում .............................. 105

§7.3. Փուլային սինքրոնություն և հաճախության վերալարում ....... 107

§7.4. Պարամետրական երևույթների էլեկտրադինամիկան ............ 109

§7.4. Օպտիկական ուղղում (կամ դետեկտում) ................................. 112

§7.5. Ամփոփում ................................................................................... 113

5

ՄԱՍ III. ԽՈՐԱՆԱՐԴԱՅԻՆ ՈՉ ԳԾԱՅԻՆ ՕՊՏԻԿԱԿԱՆ

ԵՐԵՎՈՒՅԹՆԵՐ

ԹԵՄԱ 8. ՀԱՐՄՈՆԻԿՆԵՐԻ ԳԵՆԵՐՈՒՄ ԵՎ

ԻՆՔՆԱԶԴԵՑՈՒԹՅՈՒՆ .................................................................. 114

§8.1. Երրորդ հարմոնիկի գեներում .................................................... 114

§8.2. Սինքրոնության պայմանի իրականացումը ............................. 116

§8.3. Կոմբինացված հաճախությունների գեներում ......................... 117

§8.4. Ուժեղ լազերային դաշտով մակածված երկբեկման երևույթ .. 118

§8.5. Ինքնամակածված օպտիկական անիզոտրոպություն ........... 121

§8.6. Օպտիկական բիստաբիլություն ................................................ 123

§8.7. Ամփոփում ................................................................................... 126

ԹԵՄԱ 9. ԻՆՔՆԱԶԴԵՑՈՒԹՅԱՆ ԵՐԵՎՈՒՅԹՆԵՐԸ

ՓՆՋԵՐՈՒՄ (ԵՐԿՐԱՉԱՓԱԿԱՆ ՕՊՏԻԿԱՅԻ

ՄՈՏԱՎՈՐՈՒԹՅՈՒՆ) ....................................................................... 127

§9.1. Լույսի ինքնակիզակետման երևույթը ....................................... 127

§9.2. Սահմանային հզորություն: Ոչ գծային կիզակետ ................... 133

§9.3. Լույսի ինքնաապակիզակետումը ուժեղ ոչ գծայնությամբ

միջավայրում ........................................................................................ 137

§9.4. Լույսի «բանանային» ինքնակիզակետումը ............................ 140

§9.5. Ամփոփում ................................................................................... 141

ԹԵՄԱ 10. ԻՆՔՆԱԶԴԵՑՈՒԹՅԱՆ ԵՐԵՎՈՒՅԹՆԵՐ ԵՎ ՈՉ

ԳԾԱՅԻՆ ՔՎԱԶԻՕՊՏԻԿԱ ............................................................. 142

§10.1. Ինքնազդեցության երևույթներ ................................................ 142

§10.2. Լույսի ոչ գծային դիսպերսիա ................................................. 144

§10.3. Լույսի ոչ գծային կլանում ........................................................ 145

§10.4. Ոչ գծային քվազիօպտիկա ...................................................... 147

§10.5. Ալիքային ճակատի շրջում ....................................................... 154

§10.6. Ամփոփում ................................................................................. 161

ԹԵՄԱ 11. ԼՈՒՅՍԻ ՍՏԻՊՈՂԱԿԱՆ ՑՐՄԱՆ ԵՐԵՎՈՒՅԹԸ ..... 162

§11.1. Ներածություն ............................................................................ 162

§11.2. Ստիպողական ռամանյան ցրում. մակրոսկոպական

տեսություն ............................................................................................ 165

6

§11.3 Անտիստոքսյան ցրում ............................................................... 174

§11.4 Ռամանյան ցրման ակտիվ սպեկտրոսկոպիա ....................... 176

§11.5 Ամփոփում .................................................................................. 192

ԹԵՄԱ 12. ԲԱՐՁՐ ԿԱՐԳԻ ՈՉ ԳԾԱՅԻՆ ՕՊՏԻԿԱԿԱՆ

ԵՐԵՎՈՒՅԹՆԵՐ ................................................................................ 194

§12.1 Բարձր կարգի ոչ գծային երևույթներ ...................................... 194

§12.2 Ուղիղ և կասկադային պրոցեսներ ........................................... 195

§12.3 Ամփոփում .................................................................................. 197

ԵԶՐԱԿԱՑՈՒԹՅՈՒՆ ........................................................................ 198

ԳՐԱԿԱՆՈՒԹՅՈՒՆ .......................................................................... 200

ՀԱՎԵԼՎԱԾ 1. ՖՈՒՐՅԵ ՁԵՎԱՓՈԽՈՒԹՅՈՒՆՆԵՐ .................. 202

ՀԱՎԵԼՎԱԾ 2. ԱՆԱԼԻՏԻԿ ԱԶԴԱՆՇԱՆ ..................................... 206

ՀԱՎԵԼՎԱԾ 3. ԼՈՒՅՍԻ ԲԵՎԵՌԱՑՄԱՆ

ՆԿԱՐԱԳՐՈՒԹՅՈՒՆԸ ..................................................................... 213

7

ՆԵՐԱԾՈՒԹՅՈՒՆ

Օպտիկայի զարգացման ողջ ընթացքում, սկսած անտիկ շրջա-

նից մինչև վերջին ժամանակները, բոլոր միջավայրերը համարվել են

գծային՝ այստեղից բխող բոլոր հետևանքներով.

1. Միջավայրերի օպտիկական բնութագրերը՝ բեկման ցուցիչը և

կլանման գործակիցը, կախված չեն լույսի ինտենսիվությու-

նից:

2. Կիրառելի է լուսային դաշտերի վերադրման սկզբունքը:

3. Միջավայրով լույսի տարածման ընթացքում հաճախությունը

երբեք չի փոխվում:

4. Միջավայրով տարածվող լուսային երկու փնջերը միմյանց

հետ չեն փոխազդում, այնպես որ անհնար է լույսի միջոցով

լույսի ղեկավարումը:

Իրավիճակն արմատապես փոխվեց XX դարի երկրորդ կեսում՝

պայմանավորված քվանտային գեներատորի (լազերի) ստեղծմամբ,

որի աշխատանքի հիմքում ընկած էր Այնշթայնի կողմից հայտնա-

գործված ստիպողական ճառագայթումը (1915թ.): 1939 թվականին

Ֆաբրիկանտը ապացուցեց լույսի ուժեղացման հնարավորությունը

ստիպողական ճառագայթման օգնությամբ: Միկրոալիքային տիրույ-

թում առաջին քվանտային գեներատորները ստեղծվեցին 1954 թվա-

կանին Խորհրդային Միության Գիտությունների ակադեմիայի ֆիզի-

կայի ինստիտուտի տատանումների լաբորատորիայում` Ն. Բասովի,

Ա. Պրոխորովի և միաժամանակ ԱՄՆ-ի Կոլումբիայի համալսարա-

նում՝ Չ. Տաունսի կողմից (այդ հայտնագործության համար 1964 թ.

Ն. Բասովը, Ա. Պրոխորովը և Չ. Տաունսը արժանացան Նոբելյան

մրցանակի), իսկ 1960 թվականին ստեղծվեց առաջին օպտիկական

քվանտային գեներատորը (լազերը) ռուբինի բյուրեղի վրա:

Այդ հայտնագործությունը հեղաշրջում առաջացրեց լույսի և մի-

ջավայրի փոխազդեցության ուսումնասիրման բնագավառում: Լա-

զերների հայտնագործմամբ ստեղծվեց և բուռն զարգացում ապրեց

ժամանակակից ֆոտոնիկայում լայնորեն կիրառվող ոչ գծային օպ-

8

տիկան: Դա երևույթների այն խումբն էր, որը պայմանավորված էր

միջավայրի ֆիզիկական հատկությունները նկարագրող պարամետ-

րերի` ընկնող լուսային դաշտի (կամ դաշտերի) լարվածությունից

(կամ ինտենսիվություններից) ունեցած կախվածությամբ:

Նման մեծ հետաքրքրությունն օպտիկայի այս նորաստեղծ ուղ-

ղության նկատմամբ ուներ մի շարք պատճառներ.

Ձևակերպվեցին էլեկտրամագնիսական (լուսային) ալիքների

տարածման օրենքները ոչ գծային միջավայրերում, որոնցում

խախտվում էր վերադրման սկզբունքը:

Ոչ գծային օպտիկան միանգամայն նոր հնարավորություն-

ներ ստեղծեց նյութերի վարքն արտաքին մեծ լարվածու-

թյամբ ալիքային դաշտերում ուսումնասիրելու համար: Այդ-

պիսի դաշտերում հնարավոր էր դառնում հաճախության փո-

փոխությունը, ինչպես նաև միջավայրերի օպտիկական հաս-

տատունների՝ լույսի ինտենսիվությունից կախվածության

հնարավորությունը ճառագայթման տարածման ընթացքում:

Դեռ ավելին, նման ոչ գծային միջավայրերում հատվող լու-

սային փնջերը կարող են փոխազդել, ինչը հնարավոր էր

դարձնում լույսի ղեկավարումը լույսի միջոցով:

Ոչ գծային օպտիկական երևույթներն առանձին ատոմների,

մոլեկուլների, ինչպես նաև կոնդենսացված միջավայրերում

նրանց փոխազդեցությունների մասին բացարձակապես նոր

և այլ մեթոդների համար անմատչելի տեղեկության աղբյուր

էին:

Արդարացի լինելու համար, սակայն, անպայմանորեն անհրա-

ժեշտ է նշել, որ առաջին ոչ գծային օպտիկական երևույթը դիտվել էր

դեռևս 1926 թվականին (Ս. Վավիլով, Վ. Լևշին): Դեռ ավելին, «ոչ

գծային օպտիկա» տերմինը XX դարի քսանական թվականներին

ներմուծվել է հենց Ս. Վավիլովի կողմից: Սա վկայությունն է առ այն,

որ ոչ գծային օպտիկայի օրենքների մոտավոր բնույթի մասին պատ-

կերացումներն առկա են եղել լազերների հայտնագործումից շատ

ավելի վաղ: Հարկ է ընդգծել սակայն, որ անցումը եզակի երևույթնե-

9

րից առանձին, նոր գիտական ուղղության մեծավ մասամբ պայմա-

նավորված էր հենց լազերների հայտնագործմամբ:

Ներկայումս ոչ գծային օպտիկան, բացի զուտ հիմնարար հե-

տաքրքրությունից, ձեռք է բերել նաև լայն կիրառական նշանակու-

թյուն: Նրա հիման վրա ստեղծված են հաճախության արդյունավետ

փոխարկիչներ, լազերային ճառագայթման տարածական ու ժամա-

նակային բնութագրերի կարգավորիչներ (ադապտիվ օպտիկական

համակարգեր) և բազմաթիվ այլ կիրառական սարքավորումներ:

Հատկապես անհրաժեշտ է կարևորել ոչ գծային օպտիկական

համակարգերի կիրառությունները տեղեկատվական տեխնոլոգիա-

ների բնագավառներում:

Այս ձեռնարկի նպատակը ուսանողներին և երիտասարդ մաս-

նագետներին օպտիկայի այդ համեմատաբար նոր ուղղության հետ

ծանոթացնելն է:

Ձեռնարկի համար հիմք են ծառայել ԵՊՀ ֆիզիկայի ֆակուլտե-

տի ուսանողներին՝ հեղինակի կողմից քսան տարուց ավելի կարդաց-

վող դասախոսությունները:

Հեղինակն իր երախտագիտությունն է հայտնում ԵՊՀ ռադիո-

ֆիզիկայի ֆակուլտետի դեկան, պրոֆ. Խ. Ներկարարյանին, ԵՊՀ

ֆիզիկայի ֆակուլտետի դեկան, պրոֆ. Ռ. Հակոբյանին և օպտիկայի

ամբիոնի ասիստենտ տ.գ.թ. Ա. Կիրակոսյանին ձեռնարկն ընթերցե-

լու և արժեքավոր դիտողություններ անելու համար:

10

Ֆիզիկան կլիներ ձանձրալի, իսկ կյան-

քը` միանգամայն անհնար, եթե շրջապատող

բոլոր ֆիզիկական երևույթները լինեին գծա-

յին: Բարեբախտաբար մենք ապրում ենք ոչ

գծային աշխարհում և, եթե գծայնացումը

զարդարում է ֆիզիկան, ապա ոչ գծայնու-

թյունն այն դարձնում է գրավիչ:

ՅԵՆ. Ռ. ՇԵՆ

ՀԱՄԱՌՈՏ ՊԱՏՄԱԿԱՆ ԱԿՆԱՐԿ

Սեղմ ուսումնական ձեռնարկի սահմաններում անդրադառնալ

բուռն զարգացում ապրող գիտական ուղղության պատմությանը

գործնականում անհնար է: Սակայն պատմական տեսանկյունից

հարցերի շարադրման անտեսումը նույնպես սխալ կլինի: Ուստի,

չհավակնելով ամբողջական շարադրանքի, այստեղ կներկայացվի

դասընթացում ներառված ոչ գծային օպտիկական երևույթների հա-

մառոտ պատմությունը:

Ընդգրկուն իմաստով` ոչ գծային օպտիկական երևույթների

թվին են պատկանում բոլոր այն երևույթները, որոնք ներառում են լու-

սային ալիքների և ստատիկ էլեկտրական ու մագնիսական, ակուս-

տիկական ալիքների փոխազդեությունը: Այսպիսի սահմանման դեպ-

քում ոչ գծային օպտիկայի մաս պետք է կազմեն էլեկտրաօպտիկան,

մագնիսաօպտիկան, ակուստաօպտիկան, լույսի ցրումները և այլն:

Այդ հարցերի մի մասի շարադրումը, սակայն, դուրս է սույն ուսում-

նական ձեռնարկի նպատակային սահմաններից, ուստի կմնանք այն

ձևակերպման սահմաններում, որն արտահայտված է ներածությու-

նում:

Ոչ գծային օպտիկան ֆիզիկայի այն բաժինն է, որում ուսումնա-

սիրվում է ուժեղ լուսային դաշտերում միջավայրի հատկությունների

փոփոխությամբ պայմանավորված երևույթների բազմազանությունը:

11

Ոչ գծային օպտիկայի զարգացումը պայմանականորեն կարելի է

բաժանել երկու փուլի՝ մինչլազերային և լազերային:

1. Մինչլազերային փուլ

Ոչ գծային օպտիկայի զարգացման մինչլազերային փուլը, հաս-

կանալի պատճառներով, ներառում է խիստ սահմանափակ թվով

երևույթներ:

Դրանցից առաջինը հայտնաբերվել է Ս. Վավիլովի և Վ. Լյովշի-

նի կոմից (1926թ.): Չնայած ոչ լազերային աղբյուրների միջոցով ոչ

գծային երևույթների իրականացման դժվարությանը` նրանց հաջող-

վել էր գրանցել ուրանային ապակու կլանման գործակցի ոչ մեծ փո-

փոխություն (1,5%) լույսի ինտենսիվության մեծացմանը զուգընթաց:

Այս ոչ գծային հագեցման երևույթի առաջացումը պայմանավորված

էր ստորին և վերին էներգիական մակարդակների (որոնց միջև տեղի

են ունենում կլանմամբ և ճառագայթմամբ ուղեկցվող քվանտային

անցումները) բնակեցվածության թվի հավասարեցմամբ և չէր պա-

հանջվում լուսային աղբյուրի կոհերենտություն (հետագայում այս

հարցին կանդրադառնանք քիչ ավելի մանրամասն):

Որպես ոչ գծային օպտիկական երևույթի մեկ այլ օրինակ ան-

հրաժեշտ է անպայման ներառել նաև կոմբինացված (գրականությու-

նում հիմնականում հայտնի է որպես ռամանյան) ցրումը, որը հայտ-

նաբերվել էր 1928 թ. Գ. Լանդսբերգի ու Չ. Ռամանի կողմից:

1931 թվականին Մ. Գեպպերտ-Մայերի կողմից կանխատեսվել

էր նաև երկֆոտոն կլանման երևույթը: Այն դիտվել է լազերների

հայտնագործումից անմիջապես հետո՝ որպես ոչ գծային ֆլուորես-

ցենցիայի երևույթ:

Այս շարքում կարելի է նշել նաև օպտիկական խառնման էքսպե-

րիմենտները (Գ. Գորելիկ, 1950թ.) և ֆոտոկաթոդի վրա սնդիկի զեե-

մանյան դուբլետների խառնման փորձը (Ա. Ֆորրեստր, 1956թ.): Ըստ

էության`վերջինը ոչ գծային միջավայրում տարբերությունային հա-

12

ճախության գեներացիայի նորագույն փորձ էր: Նույն` 1956 թվակա-

նին, Բուկինգհեմը տեսականորեն նկարագրել էր Քերրի օպտիկա-

կան երևույթը (կամ ոչ գծային բեկման ցուցիչը), սակայն համապա-

տասխան ինտենսիվությամբ լուսային աղբյուրների բացակայությու-

նը այն ստուգելու հնարավորություն չէր ընձեռել:

Նշենք նաև, որ նման ոչ գծային օպտիկական երևույթների թվին

կարող են դասվել նաև բազմաֆոտոն ֆոտոէֆեկտները (ներքին և

արտաքին):

2. Լազերային փուլ

Լազերների հայտնագործմամբ արմատապես փոխվեց իրավի-

ճակը դասական «գծային» օպտիկայում` պայմանավորված լու-

սային դաշտերի մեծ 65 1010~ E Վ/սմ

լարվածությամբ: Նման դաշտերն արդեն արհամարհելի փոքր չեն

ներատոմական դաշտերի 910~aE Վ/սմ մեծության նկատմամբ:

Սակայն անգամ նման դաշտերի դեպքում aEE / հարաբերությունը

դեռևս չափազանց փոքր է՝

43 1010~ aE

E

և ոչ գծային էֆեկտների կուտակման համար անհրաժեշտ են ոչ մի-

այն միջավայրի մեծ երկարություններ, այլև փոխազդող ալիքների

փուլային արագությունների հավասարություն (այլ կերպ` փուլային

սինքրոնության պայմանի բավարարում): Այս հարցին առավել ման-

րամասն կանդրադառնանք §6.2-ում:

Երկրորդ հարմոնիկի գեներացիա (ԵՀԳ): 1960 թվականին,

Մեյմանի (ԱՄՆ) կողմից առաջին ռուբինային լազերի ստեղծումից

անմիջապես հետո, Միչիգանի համալսարանի պրոֆեսոր Պ. Ֆրան-

կենին հաջողվեց գրանցել ռուբինային լազերի երկրորդ հարմոնիկի

13

գեներացիան քվարցի անիզոտրոպ բյուրեղում (347 նմ): Սակայն,

քանի որ ԵՀԳ դիտվել էր փուլային սինքրոնության բացակայության

պայմաններում, փոխարկման գործակիցը բավականաչափ փոքր էր:

1962 թվականին Ջ. Ջորդմեյնն ապացուցեց երկրորդ հարմոնիկի գե-

ներացիայի հնարավորությունը փուլային սինքրոնության պայման-

ներում` անիզոտրոպ բյուրեղների կիրառմամբ: Եթե առաջին փորձե-

րում փոխարկման գործակիցը փոքր էր (10-8 կարգի), ապա 1963-

1964թթ. այն հասնում էր ընկնող լազերային փնջի ինտենսիվության

10-20%-ին (Ռ. Տերհյուն (ԱՄՆ), Ս. Ախմանով (ԽՍՀՄ) և համահեղի-

նակներ):

Այդ փորձերում ցույց տրվեց նաև լազերային փնջերի և հարթ ա-

լիքային մոտավորության որակական տարբերությունը: Նշենք, որ

հարթ ալիքային մոտավորությունը կանխատեսում էր 100%-անոց

փոխակերպման հնարավորություն:

Երրորդ հարմոնիկի գեներացիա: Խորանարդային բյուրեղում

երրորդ հարմոնիկի ուղիղ գեներացիան իրականացվել է Ռ. Տերհյու-

նի և համահեղինակների կողմից 1963 թվականին: Երկու տարի անց

1965 թվականին Ս. Ախմանովի և Ռ. Խոխլովի կողմից իրականացվել

է երրորդ հարմոնիկի կասկադային գեներացիան` քառակուսային ոչ

գծայնությամբ բյուրեղներում: Ցեռնիկեն և համահեղինակները 1966

թվականին ուսումնասիրել են տարբերությունային հաճախության

գեներացիան նեոդիումային լազերի ճառագայթման երկու գծերի

միջև (հաճախային ինտերվալը 100~ սմ-1):

Ոչ գծային ինքնազդեցություն: Ինքնազդեցությունը դրսևոր-

վում է ոչ գծային միջավայրերի հիմնարար (ֆունդամենտալ) հաս-

տատունների, ինչպիսիք են օրինակ դիէլեկտրիկական թափանցելի-

ությունը, բեկման ցուցիչը և այլն, փոփոխությամբ արտաքին էլեկտ-

րամագնիսական, ակուստիկական, ջերմային դաշտերի ազդեցու-

թյամբ: Խոսքն այստեղ վերաբերում է այնպիսի միջինացված (տա-

տանման մեկ պարբերության ընթացքում) հավելումների (օրինակ`

բեկման ցուցչին) առաջացմանը, որոնք համեմատական են ընկնող

լույսի ինտենսիվությանը: Դա նշանակում է, որ այդ հավելումներն

առաջանում են ոչ գծայնության խորանարդային կարգերում:

14

Ինքնազդեցության առաջին երևույթներից մեկը կանխատեսել է

Գ. Ասկարյանը 1962 թվականին: Երևույթի էությունը լուսային (կամ

ակուստիկական) ալիքի կողմից այնպիսի ուղու (կանալի) ստեղծումն

է, որում բեկման ցուցիչը տարբերվում է հարևան տիրույթներից: Ար-

դյունքում միջավայրն իրեն պահում է որպես մակածված ոսպնյակ, և

փունջն ինքնաֆոկուսանում է: Դա ինքնահամաձայնեցված խնդիր

էր, որն արմատապես տարբերվում էր և չուներ համարժեքը դասա-

կան օպտիկայում:

Ինքնազդեցության մեկ այլ դրսևորում էր Քերրի դասական

երևույթի օպտիկական համարժեքը: Այն առաջին անգամ դիտվել է

Ռ. Տերհյունի և մի քանի այլ աշխատանքներում 1964 թվականին:

Ոչ գծային սպեկտրոսկոպիա: Խորանարդային ոչ գծային օպ-

տիկական երևույթների հայտնագործումը հզոր խթան էր նաև

սպեկտրոսկոպիական նոր մեթոդների զարգացման համար: Սպեկտ-

րոսկոպիայի զինանոցը հարստացավ այնպիսի նոր մեթոդներով,

ինչպիսիք են ռամանյան և մանդելշտամ-բրիլյուենյան ցրումների

ստիպողական տարբերակները, ռամանյան ցրման ակտիվ սպեկտ-

րոսկոպիայի լայնութային և բևեռացումային տարբերակները, ֆոտո-

ակուստիկական ռամանյան սպեկտրոսկոպիան և այլն: Այդ բոլոր

մեթոդները լրացուցիչ, այլ մեթոդների համար անմատչելի, ինֆորմա-

ցիա ստանալու հնարավորություն էին ընձեռում:

Կառավարման համակարգեր: Ոչ գծային օպտիկայի երևույթ-

ների զգալի մասը, բացի զուտ գիտական հիմնարար հետաքրքրու-

թյունից, ձեռք են բերել նաև լայն կիրառական նշանակություն ֆո-

տոնիկայի բնագավառում: Թվարկենք այն ոչ գծային օպտիկական

երևույթներից մի քանիսը, որոնք ներկայումս լայնորեն կիրառվում են

ինֆորմացիայի գրանցման, կառավարման և հաղորդման ժամանա-

կակից սարքերում.

օպտիկական բիստաբիլություն,

օպտիկական փուլային համալուծություն,

ոչ գծային ֆոտոէլեկտրական երևույթներ,

բազմաֆոտոն տեխնիկա:

Հետաքրքրությունն այս երևույթների նկատմամբ պայմանավոր-

ված է առաջին հերթին զուտ օպտիկական տրամաբանական տար-

15

րերի ստեղծման հնարավորությամբ: Մասնավորապես, օպտիկական

բիստաբիլությունը պասիվ, չգրգռված համակարգերում (նատրիումի

գոլորշիներ) առաջին անգամ դիտվել է 1974 թվականին և հետագա-

յում կրկնվել բազմաթիվ այլ համակարգերում՝ ներառյալ մանրա-

կերտ կիսահաղորդչային նմուշներում: Ներկայումս աշխատանքներ

են տարվում այդ տարրերի օպտիմալացման՝ չափերի փոքրացման,

փոխանջատումների ժամանակների փոքրացման, լուսային հոսքերի

հզորացման ուղղությամբ: Ուսումնասիրություններն իրականացվում

են թե՛ ոչ գծային նյութերի կատարելագործման, թե՛ կիրառվող

երևույթների սպեկտրի ընդարձակման ուղղություններով:

Արժանահիշատակ է նաև ալիքային ճակատի շրջման երևույթը,

որը դրսևորվում է ստիպողական ցրումների ժամանակ: Այդ երևույթն

առաջին անգամ դիտվել է Մանդելշտամ-Բրիլյուենյան ստիպողա-

կան ցրման ժամանակ (Վ. Դմիտրիև, Ֆ. Ֆայզուլով և այլք): Երևույ-

թի էությունը հետևյալն էր՝ Մանդելշտամ-Բրիլյուենյան ստիպողա-

կան ցրման ժամանակ գեներվում էր անդրադարձված ալիք՝ շրջված

(կամ կոմպլեքս համալուծ, 1977 թ.) ալիքային ճակատով: Ակնհայտ

էր այս երևույթի կիրառական լայն հնարավորությունները աղավա-

ղող միջավայրով (այդ թվում նաև ֆլուկտուացվող մթնոլորտով)

անցնող պատկերների և ազդանշանների վերականգնման ասպարե-

զում:

Ամփոփենք այս համառոտ ակնարկը: Վստահորեն կարելի է

պնդել, որ ներկայումս ոչ գծային օպտիկան ոչ միայն դասական ֆի-

զիկական օպտիկայի բաղադրիչներից մեկն է, այլ այն վեր է ածվել

առանձին մի ուղղության, որը միավորում է մեկ ամբողջության մեջ

ճառագայթման կոհերենտ հատկությունները և միջավայրի ոչ գծայ-

նությունը: Ոչ գծային օպտիկայի տեսական հետազոտություններում

օգտագործվում են այնպիսի մաթեմատիկական մեթոդներ, որոնք

լայնորեն օգտագործվում են ոչ գծային ալիքային պրոցեսների ու-

սումնասիրման ժամանակ:

Մյուս կողմից, ոչ գծային խնդիրների ուսումնասիրման նպատա-

կով ստեղծվել են այնպիսի մեթոդներ, որոնք հետագայում լայնորեն

կիրառվել են հենց ոչ գծային ալիքային խնդիրներում:

16

ՄԱՍ I

ԸՆԴՀԱՆՈՒՐ ՆԿԱՐԱԳՐՈՒԹՅՈՒՆ

ԹԵՄԱ 1. ՈՉ ԿՈՀԵՐԵՆՏ ՈՉ ԳԾԱՅԻՆ ՕՊՏԻԿԱԿԱՆ

ԵՐԵՎՈՒՅԹՆԵՐ

§1.1. Կլանման հագեցում

Մի շարք դեպքերում ոչ կոհերենտ ոչ գծային օպտիկական

երևույթները նպատակահարմար է քննարկել ճառագայթման

Այնշթայնյան տեսության սահմաններում:

Ենթադրենք հաճախությամբ լույսը ( 2 1h Е Е ) տարած-

վում է 1Е և 2Е էներգիաներ ունեցող երկմակարդակ և միմյանց հետ

չփոխազդող ատոմներից բաղկացած միջավայրով: Ատոմների կոն-

ցենտրացիան (միավոր ծավալում ատոմների թիվը) նշանակենք

n -ով, իսկ 2,1n -ով` միավոր ծավալում ատոմների թիվը 1,2Е էներգի-

ական մակարդակներում համապատասխանաբար: Ընդունված է

նաև 2,1n -ին անվանել բնակեցվածություն: Լույսի հետ փոխազդեցու-

թյամբ պայմանավորված՝ 2,1n բնակեցվածության թվերի փոփոխու-

թյունն իրականանում է հետևյալ ֆիզիկական պրոցեսների արդյուն-

քում (Նկ. 1.1)՝

Նկ. 1.1. Երկմակարդակ ատոմի և ճառագայթման դաշտի

փոխազդեցության սխեմատիկ պատկերը:

17

1. Ինքնակամ անցումը մեծ էներգիայով մակարդակից փոքրին

( 2 1E E ) կոչվում է սպոնտան (Նկ. 1ա): Ակնհայտ է, որ dt ժամա-

նակամիջոցում 2 1 անցումների թիվը համեմատական կլինի 2E

վիճակում գտնվող ատոմների 2n թվի և dt ժամակահատվածի ար-

տադրյալին: Հետևաբար, dt ժամանակամիջոցում 2 1 անցումնե-

րի թիվը կլինի

1 21 2dZ dn A n dt : (1.1)

21A համեմատականության գործակիցը նկարագրում է առան-

ձին վերցրած ատոմում 2 1 սպոնտան անցման հավանականու-

թյունը միավոր ժամանակում: Քանի որ առանձին ատոմները ճառա-

գայթում են մեկը մյուսից անկախ, սպոնտան ճառագայթումը կոհե-

րենտ չէ: Որոշենք գրգռված մակարդակում գտնվող ատոմի կյանքի

միջին տևողությունը:

Դրա համար նկատենք, որ ,t t dt ժամանակահատվածում 2

մակարդակը լքող ատոմների քանակը՝ 21 2A n dt -ն, այն ատոմների

թիվն է, որոնք t ժամանակահատվածի ընթացքում գտնվել են վերին

էներգիական մակարդակում: Ուստիև, գրգռված էներգիական մա-

կարդակում գտնվող ատոմի կյանքի միջին տևողությունը հավասար

կլինի

21 220 0

1tA n dt

n

: (1.1ա)

Հաշվի առնելով, որ 2 1dn dn և ինտեգրելով (1.1) հավասա-

րումը, կարող ենք գրել՝

212 20(t) A tn n e : (1.1բ)

Այստեղ 20n -ն ատոմների կոնցենտրացիան է 2 մակարդակում

ժամանակի սկզբնական պահին: (1.1ա) արտահայտությունը (1.1բ)-ի

մեջ տեղադրելուց և ինտեգրելուց հետո ստանում ենք

18

2121

210

1A tA te dtA

:

Ընդգծենք, այս քննարկման ընթացքում հաշվի չի առնվում ա-

տոմի կրկնակի գրգռումը սպոնտան ճառագայթված ֆոտոնների հետ

փոխազդեցության արդյունքում, քանի որ ատոմների խտությունը են-

թադրվում է բավականաչափ փոքր:

2. Արտաքին դաշտի ազդեցությամբ իրականացվող 2 1 ան-

ցումներն ընդունված է անվանել մակածված կամ ստիպողական

(Նկ. 1բ): Նման պրոցեսի արդյունքում առաջացած ճառագայթումն

ունի նույն հաճախությունը, տարածման ուղղությունը և բևեռացումը,

ինչ-որ ստիպող արտաքին ճառագայթումը: Ստիպող ճառագայթման

և արձակված ֆոտոնների փուլերի կոշտ կապվածությամբ պայմա-

նավորված՝ ստիպողական ճառագայթումը կոհերենտ է:

Հետևելով Այնշթայնին՝ ներմուծենք ստիպողական անցման հա-

վանականությունը՝

21 21W B :

Այստեղ -ն ճառագայթման էներգիայի սպեկտրալ խտու-

թյունն է (էներգիայի խտությունը , d հաճախականային ին-

տերվալում սահմանվում է հետևյալ արտահայտությամբ՝ d ):

Համապատասխանաբար, անցումների թիվը dt ժամանակում կլինի

1 21 2dZ dn B n dt : (1.1գ)

3. Համանման կարելի է սահմանել նաև ատոմի կողմից ֆոտոնի

կլանման հավանականությունը (Նկ. 1գ)՝

12 12W B

և 1 2 անցումների թիվը dt ժամանակում՝

1 12 1dZ dn B n dt : (1.1դ)

Այս երեք պրոցեսների արդյունքում է հենց փոփոխվում միջա-

վայրով տարածվող լուսային փնջի էներգիան: Նկատենք, ջերմային

19

ճառագայթման հավասարակշիռ լինելու պայմանից կարելի է ապա-

ցուցել, որ այլասերման բացակայության դեպքում 12 21B B :

Նկ. 1.2. oI

ինտենսիվությամբ հարթ զուգահեռ փնջի տարածումը կլանող մի-

ջավայրով (երկմակարդակ, չփոխազդող ատոմներից բաղկացած համակարգ):

Այժմ դիտարկենք oI ինտենսիվությամբ հարթ զուգահեռ լուսա-

յին փնջի տարածումը երկմակարդակ, չփոխազդող ատոմներից

բաղկացած համակարգի միջով և գտնենք էներգիայի փոփոխությու-

նը (Նկ. 1.2): Նշանակենք նմուշի լայնական հատույթի մակերեսը

S -ով: x հաստությամբ շերտն անցնելուց հետո լուսային փնջի

էներգիայի փոփոխությունը կլինի

( ) ( )E I x x I x Sdt :

Մյուս կողմից, էներգիայի այս փոփոխությունը կարելի է ներկա-

յացնել որպես վերը ներկայացված սպոնտան և ստիպողական ան-

ցումների արդյունք՝

2 21 21 2 12 1A B N B N dtE h N :

Այստեղ 1,2N -ը S x ծավալում ատոմների թիվն է, համապա-

տասխանաբար, 1 և 2 մակարդակներում: Հաշվի առնելով, որ

1,2 1,2SN x n ատոմների խտությունն է տվյալ միջավայրում, կա-

րող ենք գրել

2 21 21 2 12 1( ) ( )

( )I x x I x

h n A B n B nx

:

Վերջապես, անցնելով սահմանի, երբ 0x , ստանում ենք

20

2 21 21 2 12 1

( ) ( ) ( )dI x I x I xh n A B n B n

dx c c

: (1.2)

Այստեղ հաշվի է առնված նաև I c կապը: Փոքր ինտենսի-

վությունների դեպքում սպոնտան ճառագայթված ֆոտոնները ((1.2)

հավասարման 2 21n A գումարելին) կարելի է հաշվի չառնել, քանի որ

դրանց շատ չնչին մասն է ուղղված լույսի տարածման ուղղությամբ,

ինչպես նաև երկրորդ մակարդակի բնակեցվածության թվի փոքր լի-

նելու պատճառով (Բոլցմանի բաշխմամբ պայմանավորված): Այդ

դեպքում (1.2)-ից ստանում ենք

1 2( )IB

dI n n dxc

: (1.3)

(1.3) հավասարման լուծումը կլինի

)exp()( 0 xIxI : (1.4)

Այստեղ համառոտության համար ներմուծված է

1 2(n )c

Bn

(1.5)

նշանակումը: Այդ մեծությանն ընդունված է անվանել կլանման գոր-

ծակից, իսկ (1.4) օրենքը՝ Բուգեր-Լամբերտ-Բերի օրենք: Այն նկա-

րագրում է ինտենսիվության փոփոխման արագությունը միջավայրով

տարածման ընթացքում:

Մեծ ինտենսիվությունների դեպքում նույնպես (1.2) հավասա-

րումը և 1 2n n n պայմանը հնարավորություն են ընձեռում որոշել

1,2n բնակեցվածությունները` արտահայտված միավոր ծավալում ա-

տոմների n թվով: Լուծենք այդ համակարգը ստացիոնար վիճակի

համար (1 2( ) ( ) 0dn dt dn dt ): Համապատասխան լուծումներն ու-

նեն հետևյալ տեսքը՝

1

/

2 /

A IB cn n

A IB c

, (1.6ա)

2

/

2 /

IB cn n

A IB c

: (1.6բ)

21

Այդ դեպքում միավոր ծավալում կլանված ինտենսիվությունը և

կլանման գործակիցն արտահայտված բնակեցվածությունների

1 2 / ( 2 / )n n nA A IB c տարբերությամբ ունեն հետևյալ տեսքը՝

( ) ( )I I I IÏÉ, (1.7ա)

sII

I/1

)( 0

: (1.7բ)

Այստեղ 0 /Bn c , իսկ BAcI s 2/ : Ինչպես երևում է (1.7բ)

արտահայտությունից, մեծ ինտենսիվությունների դեպքում կլանման

գործակիցը դադարում է միջավայրը նկարագրող հաստատուն մե-

ծություն լինել: sI -մեծությունը կոչվում է հագեցման ինտենսիվու-

թյուն, իսկ sII / մեծությունը՝ հագեցման պարամետր: Այդ դեպքում,

հագեցման sI ինտենսիվությունը կհամապատասխանի կլանման

գործակցի երկու անգամ նվազմանը:

Նկ. 1.3. Կլանման գործակցի կախվածությունը հագեցման

sII / պարամետրից:

Ինչպես հետևում է (1.6ա) և (1.6բ) արտահայտություններից, հա-

գեցման sII / պարամետրի փոքր արժեքների դեպքում ( 1/ sII )

համարյա բոլոր ատոմները գտնվում են ստորին 1E էներգիական

22

մակարդակում ( 1 2, 0n n n ), և կլանման գործակիցը կախված չէ

ինտենսիվությունից ու հավասար է cBN /0 : Ինտենսիվու-

թյան աճին զուգընթաց 1E և 2E մակարդակների բնակեցվածություն-

ները հավասարվում են և sII / դեպքում 1,2 / 2n n , իսկ կլան-

ման գործակիցը` 0 : Այս կախվածությունը ներկայացված է Նկ.

1.3-ում: Նկարագրված երևույթը կոչվում է կլանման հագեցման կամ

միջավայրի թափանցիկացման երևույթ: Այն հետևանք է երկու մա-

կարդակների բնակեցվածությունների հավասարեցման: Ընկնող լույ-

սի մեծ ինտենսիվությունների դեպքում ստիպողական անցումների

հավանականությունը կարող է մոտենալ սպոնտան անցումների հա-

վանականությանը, որոնց միջոցով ատոմներն ազատվում են իրենց

ավելցուկային էներգիայից: Սա նշանակում է հետևյալը՝ կլանված

ÏÉI ինտենսիվությունը 1/ sII դեպքում նախ գծայնորեն աճում է

ինտենսիվության աճին զուգընթաց, այնուհետև այդ աճը դանդաղում

է և, ի վերջո, հասնում վերջավոր

Նկ. 1.4. Կլանված ինտենսիվության կախվածությունը ընկնողից:

0

1

2 2s

nI I An

maxÏÉ

(1.8)

23

արժեքի (տես Նկ. 1.4): Այդ արժեքի մեծությունը որոշվում է ռելաք-

սացիայի ժամանակով (այսինքն՝ ատոմների կողմից ավելցու-

կային էներգիան շրջապատին հաղորդելու արագությամբ): Ընկնող

լույսից միջավայրը կլանում է այնքան էներգիա, որքան կարող են

սպոնտան ճառագայթել գրգռված ատոմները: Մեծ ինտենսիվություն-

ների դեպքում միջավայրի թափանցիկացման այս երևույթը լայնորեն

կիրառվում է լազերային տեխնիկայում: Այն օգտագործվում է օպտի-

կական ռեզոնատորների բարորակության մոդուլյացիայի համար՝

հզոր գերկարճ լազերային իմպուլսների գեներման նպատակով: Ոչ

գծային կլանմամբ բջիջը տեղակայվում է ռեզոնատորի հայելիների

միջև և գործում որպես ավտոմատ օպտիկական փական, որը բաց-

վում է հզոր լուսային իմպուլսի ազդեցությամբ: Նման փականների

գլխավոր բնութագիրը փոքր իներցիոնությունն է, որի հետևանքով

այն շատ արագ նորից դառնում է անթափանց թույլ լույսի համար:

§1.2. Ռամանյան (կոմբինացված) ցրում

1928 թվականին Չ. Ռամանը և Ռ. Կրիշնանը գազերում ու հե-

ղուկներում լույսի ցրման ուսումնասիրման ժամանակ հայտնաբերե-

ցին, որ ընկնող լույսի ինտենսիվության շատ փոքր մասը (10-6-10-8)

միջավայրից դուրս է գալիս զգալիորեն շեղված հաճախությամբ (մի

քանի հարյուր անգստրեմի կարգի): Միաժամանակ Գ. Լանդսբերգը

և Լ. Մանդելշտամը նման երևույթ դիտել էին բյուրեղներում: Նշված

երևույթն ամբողջականորեն հնարավոր է մեկնաբանել քվանտային

մեխանիկայի օգնությամբ, սակայն հիմնական առանձնահատկու-

թյունների քննարկումը կարելի է սահմանափակել դասական նկա-

րագրությամբ:

Ռամանյան ցրումը մոլեկուլը կազմող ատոմների միջուկների և

նրանց շրջապատող էլեկտրոնային ամպի միջև առկա փոխազդե-

ցության հետևանք է: Ասվածը նշանակում է հետևյալը՝ արտաքին լու-

սային դաշտի էլեկտրական բաղադրիչի ազդեցությամբ էլեկտրո-

24

նային ամպի դեֆորմացիան անմիջականորեն կախված է միջուկնե-

րի տվյալ պահի կոնֆիգուրացիայից: Միջուկների տատանման (կամ

այլ տիպի պարբերական շարժումների, օրինակ՝ պտույտի) դեպքում

էլեկտրոնային ամպի դեֆորմացման ունակությունը փոփոխվում է

միջուկների տատանման հաճախությամբ: Համանման ձևով, էլեկ-

տրոնային ամպի դեֆորմացման հետևանքով կարող են առաջանալ

նաև մոլեկուլի կմախքի տատանումներ (տես Նկ. 1.5):

ա) չտատանվող բ) տատանվող

Նկ. 1.5. Էլեկտրոնային ամպով շրջապատված միջուկներից

բաղկացած մոլեկուլների համակարգ:

Այսպիսի մեկնաբանության դեպքում ռամանյան ցրման երևույ-

թը կարելի է դիտարկել որպես մոլեկուլների կմախքի տատանման

հետևանքով միջավայրում լուսային դաշտի ազդեցությամբ մակած-

ված դիպոլային մոմենտի մոդուլում: Մանրամասնենք ասվածը: Են-

թադրենք մոլեկուլի վրա ընկնում է մոնոքրոմատիկ լուսային ալիք՝

0 cos LE E t

: (1.9)

Այս դաշտի կողմից մոլեկուլում մակածված դիպոլային մոմենտը

կլինի

P E

: (1.10)

մեծությունը կոչվում է մոլեկուլի բևեռացվելիություն: Համա-

ձայն վերևում բերված մեկնաբանության՝ մոլեկուլի բևեռացվելու ու-

նակությունը կախված է կմախք կազմող միջուկների միջև ժամանա-

կի տվյալ պահին եղած հեռավորությունից: Նշանակենք այդ հեռա-

25

վորությունը q -ով: Այդ դեպքում մոլեկուլի բևեռացվելիությունը

կարելի է գրել q տեսքով: Սահմանափակվենք փոքր տատա-

նումների դեպքով և վերածենք այն շարքի 0q հավասարակշռու-

թյան վիճակի շուրջ (Պլաչեկի մոտեցում)՝

0

0

...q qq

: (1.11)

Ներկայացնենք միջուկների տատանումը 0 cosq q t տես-

քով և (1.9), (1.11) արտահայտությունները տեղադրենք (1.10) հավա-

սարման մեջ, կստանանք

0 0 0

0

0 0 0 0

0

0 0

0

( ) cos cos

1cos cos

2

1cos :

2

L

L L

L

P t q t E tq

E t E q tq

E q tq

(1.12)

Ինչպես երևում է (1.12)-ից, մակածված դիպոլային մոմենտի մո-

դուլման արդյունքում ցրված լույսի սպեկտրում հայտնվում են L

և L հաճախությամբ բաղադրիչներ, այսինքն՝ տեղի ունի հաճա-

խության շեղմամբ ցրման պրոցես: Ցածր` L , հաճախությամբ

բաղադրիչին անվանում են ստոքսյան, իսկ բարձր` L -ին՝ անտի-

ստոքսյան: Նշված երկու տիպի անցումները սխեմատիկորեն պատ-

կերված են Նկ. 1.6-ում: Ստոքսյան ցրման ժամանակ մոլեկուլը գտն-

վում է հիմնական 0v= տատանողական (պըտտական, էլեկտրո-

նային) վիճակում: L հաճախությամբ ընկնող ֆոտոնը կլանվում է

և, միաժամանակ, վերաճառագայթվում է ստոքսյան s L

26

հաճախությամբ ֆոտոն: Էներգիայի պահպանման օրենքի համա-

ձայն մոլեկուլն անցնում է գրգռված 1v= վիճակի (տես Նկ. 1.6ա):

Նկ. 1.6. Ստոքսյան և անտիստոքսյան ցրումները:

Ընդհակառակը, գրգռված վիճակում գտնվող մոլեկուլը, կլանե-

լով L հաճախությամբ ընկնող ֆոտոն, վերաճառագայթում է ան-

տիստոքսյան a L հաճախության ֆոտոն (տես Նկ. 1.6բ):

Քանի որ գրգռված վիճակում գտնվող մոլեկուլների քանակը, Բոլց-

մանի բաշխման համաձայն, զգալիորեն փոքր է, համապատասխա-

նաբար, անտիստոքսյան ազդանշանը թույլ է exp( / )KT գոր-

ծակցով: Այստեղ T -ն բացարձակ ջերմաստիճանն է, K -ն` Բոլցմա-

նի հաստատունը:

Իհարկե, բացի հիմնականից, սպեկտրում առկա են նաև ավելի

բարձր՝ L n , կարգի բաղադրիչներ, սակայն նրանց գոյությանը

չենք անդրադառնա բավականաչափ թույլ լինելու պատճառով:

Համաձայն (1.12)-ի` Ռամանի երևույթը համեմատական է

0q մեծությանը: Հետևաբար, եթե բևեռացվելիության կախվա-

ծությունը տատանողական կոորդինատից ունի Նկ. 1.7-ի I կորի

տեսքը, ապա նման միջավայրում հնարավոր է դիտել Ռամանի

երևույթը, հակառակ դեպքում (II կոր)`առաջին կարգի երևույթն ար-

գելված է և (1.12)-ում հարկ է հաշվի առնել վերլուծության հաջորդ

անդամները ևս:

27

Նկ. 1.7. Բևեռացվելիությունը որպես տատանողական կոորդինատի ֆունկցիա

(սխեմատիկ):

Ընդգծենք հետագայի համար չափազանց կարևոր մի հանգա-

մանք: Ինչպես նշվել է, 0q անդամը նկարագրում է միջավայ-

րում լույսի ազդեցությամբ մակածված բևեռացման մոդուլումը մոլե-

կուլային տատանումների (կամ այլ տիպի պարբերական շարժում-

ների) կողմից: Եթե q -ն պայմանավորված է ջերմային տատանում-

ներով, ապա (1.12)-ը նկարագրում է սպոնտան ռամանյան ցրումը:

Միաժամանակ q կախվածությունը պայմանավորում է լույսի հե-

տադարձ ազդեցությունը մոլեկուլային տատանումների վրա: Իսկա-

պես, լուսային դաշտի և մոլեկուլի փոխազդեցության էներգիան ներ-

կայացվում է

2U PE q E

(1.13)

տեսքով և, հետևաբար, 0q դեպքում դրսևորվում է մոլեկու-

լային տատանումների վրա ազդող

2

q q

UF E

(1.14)

ուժը: Համաձայն (1.14) արտահայտության՝ եթե դաշտը պարունակի

1 և 2 հաճախությամբ բաղադրիչներ, որոնց տարբերությունը մոտ

է մոլեկուլային տատանման հաճախությանը 1 2 : , ապա

հնարավոր է մոլեկուլային տատանման ռեզոնանսային ուժեղացման

28

երևույթը: Նման պայմաններում քաոսային ջերմային տատանումնե-

րին ավելանում է ստիպողական բաղադրիչը, որոնց փուլերը տարբեր

մոլեկուլներում պայմանավորված են արտաքին դաշտի փուլով, այ-

սինքն՝ իրականացվում է տարբեր մոլեկուլների տատանումների հա-

մափուլացում: Դա, այսպես կոչված, ստիպողական ռամանյան

ցրման երևույթն է, որին կանդրադառնանք հետագայում (Թեմա 11):

§1.3. Բազմաֆոտոն կլանում և ոչ գծային ֆոտոէֆեկտ

Փոքր ինտենսիվությամբ լազերային ճառագայթման և միջա-

վայրի փոխազդեցությունը հանգում է հետևյալ չորս պրոցեսներին

(տես Նկ. 1.8ա, բ, գ, դ).

ա) ատոմի միաֆոտոն կլանում (տես Նկ. 1.8ա)

բ) ատոմի միաֆոտոն իոնացում (տես Նկ. 1.8բ)

գ) ատոմում առաձգական (ռելեյան) ցրում (տես Նկ. 1.8գ)

դ) ատոմում ոչ առաձգական (կոմբինացված կամ ռամանյան)

ցրում (տես Նկ. 1.8դ):

Նկ. 1.8. Միաֆոտոն պրոցեսների սխեմաները:

eE -ն ազատ էլեկտրոնի կինե-

տիկ էներգիան է, iE -ն՝ իոնացման: Ընդհատ գծերը համապատասխանում են

ատոմում էլեկտրոնի վիրտուալ մակարդակներին:

29

Բոլոր այս պրոցեսների ընդհանրությունն այն է, որ փոխազդե-

ցության արդյունքում ատոմական էլեկտրոնը կլանում է ճառագայթ-

ման մեկ ֆոտոն (նման պրոցեսները կոչվում են միաֆոտոն):

Այլ է իրավիճակը մեծ ինտենսիվությունների դեպքում: Եթե, ինչ-

պես նշվեց նախորդ պարագրաֆում, մեծ ինտենսիվությունների դեպ-

քում անթափանց (միաֆոտոն կլանմամբ) միջավայրը թափանցիկա-

նում էր (կլանման հագեցման երևույթ), ապա այլ է իրավիճակը օպ-

տիկապես թափանցիկ միջավայրերի դեպքում (տես Նկ. 1.9): Թույլ

ինտենսիվությունների համար թափանցիկ միջավայրը բավականա-

չափ ուժեղ լազերային դաշտերում կարող է կլանել բազմաֆոտոն

պրոցեսների արդյունքում, օրինակ, 1 2 m nE E , մասնավո-

րապես,

1 2 (E ) / (2 )m nE :

Նման պրոցեսը ընդունված է անվանել երկֆոտոն կլանում:

Նկ. 1.9. Բազմաֆոտոն պրոցեսների սխեմաները.

ա) ատոմի բազմաֆոտոն կլանում, բ) ատոմի բազմաֆոտոն իոնացում, գ) բազ-

մաֆոտոն ռելեյան ցրումն ատոմում, դ) բազմաֆոտոն ռամանյան ցրումն ատո-

մում: Ընդհատ գծերը համապատասխանում են ատոմում էլեկտրոնի վիրտուալ

մակարդակներին:

Հնարավոր է նաև երեք ու ավելի ֆոտոնների միաժամանակյա

կլանում: Բազմաֆոտոն կլանման այս երևույթը լայնորեն կիրառվում

է ոչ գծային լազերային սպեկտրոսկոպիայում և հնարավորություն է

ընձեռում ինֆորմացիա ստանալ քվանտային համակարգերի այն-

30

պիսի էներգիական մակարդակների մասին, որոնք անմատչելի են

դասական սպեկտրոսկոպիայի այլ մեթոդների համար՝ քվանտային

ջոկման կանոններով արգելված լինելու պատճառով:

Ոչ գծային կլանման երևույթների թվին է պատկանում նաև բազ-

մաֆոտոն ֆոտոէֆեկտը: Ֆոկուսացված լազերային փնջերում էներ-

գիայի խտության այնպիսի արժեքներ են հասանելի լինում, որ դիտ-

վում են 7-8 ֆոտոնների միաժամանակյա կլանմամբ երևույթներ: Ար-

դյունքում հնարավոր է լինում ատոմների ֆոտոիոնացումը փոքր հա-

ճախությամբ լազերային լույսով: Այսինքն՝ ինտենսիվ լազերային

փնջերում գործնականում վերանում է առանձին ատոմի ֆոտոէֆեկ-

տի (այդ թվում նաև սովորական ֆոտոէֆեկտի) կարմիր սահմանի

հասկացությունը: Այսպես օրինակ՝ համաձայն ֆոտոէֆեկտի համար

Այնշթայնի բանաձևի՝

A eU : (1.15)

Այստեղ -ն ընկնող լույսի հաճախությունն է, 0A -ն՝ տվյալ

մետաղի ելքի աշխատանքը, իսկ U -ն՝ էլեկտրոդների վրա լարումը:

Այստեղից ֆոտոէֆեկտի կարմիր սահմանի 0 համար կարելի է

գրել

0 : (1.16)

Բազմաֆոտոն ֆոտոէֆեկտի դեպքում (1.15) արտահայտությու-

նը կարելի է ձևափոխել հետևյալ կերպ՝

0n eU : (1.17)

Այստեղ n -ը պրոցեսին մասնակցող ֆոտոնների թիվն է: Ինչպես

երևում է (1.17) արտահայտությունից

0

n

,

այսինքն՝ համապատասխան անգամ փոքրանում է ֆոտոէֆեկտի

կարմիր սահմանը:

31

§1.4. Ամփոփում

Քննարկված ոչ գծային օպտիկական երևույթները պատկանում

են, այսպես կոչված ոչ կոհերենտ երևույթների թվին, քանի որ միջա-

վայրի տարբեր տեղամասերում նրանք ընթանում են միմյանցից ան-

կախ, այսինքն՝ պայմանավորված չեն ոչ գծային գրգիռի կետից կետ

կուտակմամբ: Այս դեպքում լազերային ճառագայթման տարածա-

կան կոհերենտությունը դեր չի խաղում և կարևոր է միայն նրա մեծ

հզորությունը:

Առավել ընդգծված, սակայն ոչ գծային օպտիկայի կարևորու-

թյունը, գեղեցկությունը և առանձնահատկությունները դրսևորվում են

կոհերենտ երևույթներում:

Հետագայում կանդրադառնանք միայն այն ոչ գծային օպտիկա-

կան երևույթներին, որոնց համար, բացի մեծ ինտենսիվությունից,

կարևոր է նաև լուսային ալիքի կոհերենտությունը:

32

ԹԵՄԱ 2. ՆԵՐԱՏՈՄԱԿԱՆ ԴԱՇՏԵՐԸ ԵՎ ՆՐԱՆՑ ԿԱՐԳԸ

§2.1. Ներատոմական դաշտերի գնահատումը

Լազերային ճառագայթման բարձր մոնոքրոմատիկությունը և

ուղղորդվածությունը սկզբունքային դեր են խաղում կոհերենտ ոչ

գծային օպտիկական երևույթներում, որոնց համար կարևոր են փո-

խազդող ալիքների միջև փուլային առնչությունները: Այս երևույթնե-

րի համար բնորոշ է տարածական կուտակումը` միջավայրում լու-

սային ալիքների տարածմանը զուգընթաց: Գծային միջավայրի օպ-

տիկական բնութագրերը`բեկման ցուցիչը և կլանման գործակիցները,

հաստատուն մեծություններ են և կախված չեն տարածվող լույսի ին-

տենսիվությունից: Սակայն այս պնդումն իրավացի էր, եթե արտա-

քին դաշտի նկատմամբ միջավայրի արձագանքը` միջավայրի բևե-

ռացվելիությունը, նկարագրվում էր EP

)1( նյութական գծային

հավասարմամբ, այսինքն, երբ միջավայրի բևեռացումը համեմատա-

կան էր դաշտի լարվածությանը, իսկ )1( ընկալունակությունը կախ-

ված էր միայն միջավայրի հատկություններից: Այս մոտեցումը, սա-

կայն, մոտավոր է և իրավացի է միայն ներատոմական դաշտերից

զգալիորեն փոքր էլեկտրական դաշտերի համար: Այսինքն՝ գծային

օպտիկան ուսումնասիրում է երևույթներն այնպիսի E

լուսային

դաշտերում, որոնց համար իրավացի է ³ïEE

պայմանը: Այդ-

պիսի լուսային դաշտերում միջավայրի P

բևեռացման և արտաքին

E

դաշտի միջև կապը գծային է՝ EP

)1( , իսկ օպտիկական

երևույթների բնույթը կախված չէ լույսի ինտենսիվությունից: Արդյուն-

քում պահպանվում է միջավայրով տարածվող ալիքի տեսքը: Տարբեր

հաճախության ալիքները միջավայրում տարածվում են միմյանցից

անկախ և տեղի ունի վերադրման սկզբունքը:

Ի տարբերություն նախորդի, ոչ գծային օպտիկան ուսումնասի-

րում է օպտիկական երևույթներն այնպիսի ինտենսիվությունների

33

դեպքում, երբ ներգործող լուսային ալիքի էլեկտրական դաշտի լար-

վածության մեծությունը համեմատելի է օպտիկական էլեկտրոնի

վրա ազդող ներատոմական կապի ուժերով որոշվող էլեկտրական

դաշտի լարվածության մեծությանը՝ ³ïEE

~ : Այդ դեպքում միջա-

վայրի P

բևեռացման ու ազդող E

դաշտի միջև կապը դառնում է ոչ

գծային:

Սովորական (ոչ լազերային) աղբյուրների (օրինակ մոմի, շի-

կացման լամպի) արձակած լույսը ոչ մոնոքրոմատիկ է, ոչ էլ կոհե-

րենտ: Այդպիսի լույսի ինտենսիվությունը՝

20

*

8),(),(

4E

cntrEtrE

cnI

t

, (2.1)

մեծ չէ և կազմում է 0,1-100Վտ/սմ2: Նկատենք, (2.1) արտահայտու-

թյունում անկյունային փակագծերը՝ ...t, միջինացումն է ըստ ժամա-

նակի մեկ պարբերության ընթացքում: Այսպիսի ճառագայթումը մի-

ջավայրի հետ փոխազդեցության ժամանակ (բեկման, անդրադարձ-

ման, ցրման, կլանման երևույթներ և այլն) չի փոխում նրա մակրոս-

կոպական հատկությունները և միկրոկառուցվածքը: Պարզ ձևափո-

խությունների արդյունքում (2.1)-ից կարելի է ստանալ գնահատա-

կաններ կատարելու ժամանակ լայնորեն կիրառվող հետևյալ արտա-

հայտությունը՝

0 27,5I

En

ì ì

ëÙëÙ

ï2

: (2.2)

Այս արտահայտության միջոցով հեշտությամբ կարելի է պար-

զել, որ դասական աղբյուրների լույսին համապատասխանող էլեկտ-

րական դաշտերի լարվածությունը կազմում է 10-103Վ/սմ: Համեմա-

տության համար գնահատենք ³E դաշտի մեծությունը ջրածնի ա-

տոմի օրինակով: Օգտվենք

2

eE k

a

³ï

34

բանաձևից, որտեղ ÎÉ19106,1 e -ն տարրական լիցքն է,

111029.5 a մ՝ Բորի շառավիղը, իսկ k -ն՝ միավորների համա-

կարգի ընտրությունից կախված համեմատականության գործակից

(SI համակարգում 99 10k Նմ2/Կլ2): Ջրածնի ատոմի համար մի-

ջուկի կողմից էլեկտրոնի վրա ազդող դաշտի լարվածությունը կլինի՝

95,15 10E

ì / ëÙ³ï : Բյուրեղներում այն ì/ëÙ810~ , կիսահաղոր-

դիչներում՝ 7~10 ì / ëÙ, իսկ մոլեկուլային հեղուկներում՝ ì/ëÙ65 1010~ -

կարգի մեծություններ են: Թույլ լուսային դաշտերում, օրինակ, արե-

գակնային ճառագայթման էլեկտրական դաշտի համար, լարվածու-

թյունը ì/ëÙ10~ է և / / / /E E

³ï

-9102~ կարգի մեծություն է, ինչի

հետևանքով ոչ գծային օպտիկական երևույթների դիտումը հնարա-

վոր չէ: Այլ է վիճակը լազերների դեպքում, որտեղ ներկայումս հասա-

նելի են 2110 ëÙìï 2/ կարգի ինտենսիվություններ և դաշտի լարվածու-

թյունը, համաձայն (2.2) բանաձևի՝ կազմում է 11 12~(10 10Eȳ½ /- ) ëÙì :

§2.2. Ըստ դաշտի աստիճանների ֆենոմենոլոգիական

վերլուծություն: Գծային և ոչ գծային ընկալունակություններ

Քննարկենք ոչ գծային, ոչ մագնիսական` 1 , համասեռ և օպ-

տիկապես թափանցիկ միջավայրերում լույսի տարածումը: Միջա-

վայրի ինդուկցիայի D

վեկտորը ընկնող լուսային դաշտի լարվածու-

թյան վեկտորի հետ կապող նյութական հավասարումն ունի հետևյալ

տեսքը՝

PED

4 : (2.3)

Այստեղ P

-ն միավոր ծավալի դիպոլային մոմենտն է կամ մի-

ջավայրի բևեռացումը (ընդունված է նաև անվանել միջավայրի բևե-

ռացվելիություն): Առավել պարզության համար սահմանափակվենք

սկալյար մոտեցմամբ: Արձագանքի թենզորական բնույթի և միջա-

35

վայրի սիմետրիայի միջև կապին կանդրադառնանք ավելի ուշ (Թե-

մա 3):

Որպես միջավայրի արձագանք արտաքին դաշտին P բևեռա-

ցումն ակնհայտորեն պետք է ֆունկցիա լինի լուսային դաշտի էլեկ-

տրական բաղադրիչի լարվածությունից` )(EPP : Այն դեպքում,

երբ միջավայրի վրա ընկնող դաշտերը շատ անգամ փոքր են ներա-

տոմական դաշտերից, )(EPP արտահայտությունը կարելի է վե-

րածել շարքի (այսպես կոչված երևութաբանական կամ ֆենոմենոլո-

գիական մոտեցում): Այս դեպքում կստանանք

2

20 2

0 0

(1) (2) 20

1...

2

...

P PP E P E E

E E

P E E

: (2.4)

0P -ն միջավայրը կազմող մասնիկների սեփական դիպոլային

մոմենտն է (հետագայում այն բաց կթողնենք` համարելով, որ մոլե-

կուլները ոչ բևեռային են, քանի որ միջավայրերի զգալի մասի մոտ

այն բացակայում է): 0)1( )/( EP -ն, ինչպես արդեն նշվել էր, կոչ-

վում է միջավայրի գծային ընկալունակություն: Ընդհանրացնելով`

կարելի է

0

)(

!

1

n

nn

E

P

n

մեծությանն )2( n անվանել միջավայրի ոչ գծային ընկալունակու-

թյուն: Դժվար չէ, համաձայն (2.4) արտահայտության, գնահատել )(n ոչ գծային ընկալունակությունների կարգը: Նկատելով, որ բեկ-

ման ցուցիչը (1) գծային ընկալունակության հետ կապված է

)1(2 41 n

առնչությամբ և, ընդունելով 1,5n (սովորական ապակու դեպքում),

ստանում ենք (1) ~ 0,1 : Բարձր կարգի ընկալունակությունների

36

գնահատման համար ընդունելով, որ (1) ~E ³ï (2) (3)~E E 2 3

³ï ³ï ,

ստանում ենք (1)

(2) 11~ ~ 1.94 10E

³ï

ëÙ

ì;

(1) 2(3) 21

2~ ~ 3.78 10E

2³ï

ëÙ

ì

Նկատենք, բերված գնահատականները բավականաչափ լավ

համընկնում են փորձարարական չափումներից ստացվածների հետ:

Ընդգծենք, որ սրանք ընդամենը մոդելային գնահատականներ են ոչ

գծային ընկալունակությունների մեծությունների մասին պատկերա-

ցում կազմելու համար: Ներկայումս հայտնի ոչ գծայնության բազ-

մաթիվ այլ մեխանիզմների մեծությունները բաշխված են արժեքների

չափազանց լայն տիրույթում:

§2.3. Լոկալ (տեղային) դաշտի գործոնը գծային և

ոչ գծային օպտիկայում

Ոչ գծային օպտիկական երևույթների դիտման համար անհրա-

ժեշտ դաշտերի մեծության իրատեսական գնահատականներ ստա-

նալու համար անհրաժեշտ է անդրադարձ կատարել նաև միջավայ-

րում գտնվող էլեկտրոնի վրա ազդող դաշտի և ընկնող լուսային ալի-

քի դաշտի կապին: Ասվածը նշանակում է հետևյալը՝ միջավայրի

գծային և ոչ գծային արձագանքները գնահատելիս անհրաժեշտ է

միջավայրի ներսում վերցնել դաշտերի այն արժեքները, որոնք մա-

կածված են արտաքին դաշտի ազդեցության հետևանքով:

Իզոտրոպ միջավայրերի դեպքում locE

դաշտը կարելի է արտա-

հայտել միջավայրի բևեռացմամբ հետևյալ արտահայտության օգ-

նությամբ՝

:3

4PEE extloc

(2.5)

Հաշվի առնելով extEP

14 կապը` կարող ենք գրել, որ

37

:3

2 extloc EE

(2.6)

Սահմանենք լոկալ դաշտի գործակիցը հետևյալ արտահայտու-

թյան օգնությամբ՝

:3

2)()(

L (2.7)

Այդ դեպքում արտաքին և լոկալ դաշտերի կապը կընդունի

( )loc extE L E

տեսքը: (2.7) հավասարմամբ ներմուծված ( )L գոր-

ծակիցը անվանում են Լորենցի գործոն: Այս գործոնի հաշվառումը

հատկապես կարևոր է փորձարարական և տեսական արդյունքների

համեմատման ժամանակ:

Համաձայն (2.4) արտահայտության՝ միջավայրի արձագանքը

ուժեղ լազերային դաշտերում կարելի է ներկայացնել շարքի տեսքով՝

2 3(1) (2) (3)...

loc loc locP E E E , (2.8)

որտեղ

1

, ,loc locN

E r t E r t

: (2.9)

N -ով նշանակված է միջավայրում փոխազդող ալիքների թիվը,

-ով՝ այդ ալիքի համարը: (2.8) արտահայտությունում ներկայաց-

վածները լոկալ դաշտերն են և պետք է փոխարինվեն համապատաս-

խան մակրոսկոպականով՝ համաձայն

( ) ( )loc extE L E

արտահայտության: Հասկանալի լինելու համար ներկայացնենք մի-

ջավայրի երկրորդ կարգի բևեռացման արտահայտությունը, ասենք

օրինակ, 1 2s պարամետրական փոխազդեցության դեպքում

(2) (2)1 2 1 2

ext extP L L E E : (2.10)

Համառոտության համար կարելի է օգտագործել նաև հետևյալ

նշանակումը՝

(2) 1 2( ) 2 ( ) 2:

3 3L

38

Այդ դեպքում (2.10) արտահայտությունը կարելի ներկայացնել

հետևյալ տեսքով՝

(2) (2) (2)1 2

ext exti ijk j kP L E E :

Այստեղ 1L և 2L Լորենցի գործոններն են համապա-

տասխանաբար 1 և 2 հաճախությունների համար:

§2.4. Ամփոփում

Հասկանալու համար, թե ինչու են ոչ գծային օպտիկական

երևույթների դիտման համար անհրաժեշտ մեծ ինտենսիվության լու-

սային դաշտեր, այս թեմայում համառոտ անդրադարձ է կատարված

լույսի և միջավայրի փոխազդեցության ֆիզիկային: Պարզագույն մո-

դելի՝ ջրածնի ատոմի, օրինակով գնահատված է միջավայրում ներ-

քին դաշտերի մեծությունը, որով և պայմանավորված է միջավայրի

կողմից էլեկտրոնի վրա ազդող վերադարձնող ուժի մեծությունը: Բեր-

ված են գնահատականներ փոքրության պարամետրի՝ E E³ï , հա-

մար և գնահատված է լուսային դաշտերի ինտենսիվության այն ար-

ժեքները, որոնց դեպքում կիրառելի է միջավայրի մակածված բևե-

ռացման Թեյլորի շարքի վերլուծումը: Նման վերլուծման արդյուն-

քում հայտնվում են միջավայրի օպտիկական հատկությունները

նկարագրող նոր ֆիզիկական մեծություններ՝ ոչ գծային ընկալունա-

կություններ: Այդ գործակիցները նյութերը, ըստ իրենց օպտիկական

հատկությունների, դասակարգելու ավելի լայն հնարավորություն են

ընձեռում:

Ոչ գծային օպտիկական երևույթների դրսևորման համար ան-

հրաժեշտ դաշտերի մեծության իրատեսական գնահատականներ

ստանալու նպատակով անդրադարձ է կատարված նաև միջավայ-

րում գտնվող էլեկտրոնի վրա ազդող դաշտի և ընկնող լուսային ալի-

քի դաշտի կապին: Սահմանված է դրանց միջև կապ հաստատող լո-

կալ դաշտի գործակիցը (Լորենցի գործոնը):

39

ԹԵՄԱ 3. ՆՅՈՒԹԱԿԱՆ ՀԱՎԱՍ ԱՐՈՒՄՆԵՐԸ ՈՉ ԳԾԱՅԻՆ

ՄԻՋԱՎԱՅՐՈՒՄ

§3.1. Ֆունդամենտալ նյութական հավասարումների ստացումը

Ընդհանուր դեպքում միջավայրերի օպտիկական հատկություն-

ները կախված են ինչպես նրանցում լույսի տարածման ուղղությու-

նից, այնպես էլ լույսի բևեռացման վիճակից: Նյութի որևէ ֆիզիկա-

կան հատկության ուղղությունից ունեցած կախվածությունը կոչվում

է անիզոտրոպություն: Միջավայրի անիզոտրոպությունը պայմանա-

վորված է նրա կառուցվածքային առանձնահատկություններով: Որ-

պես հետևանք, միջավայրի փոքր ծավալում լուսային ալիքի կողմից

մակածված դիպոլային մոմենտի ուղղությունը չի համընկնում լու-

սային ալիքի էլեկտրական վեկտորի հետ: Այս պատճառով էլ ինդուկ-

ցիայի D

վեկտորի և E

դաշտի կապն ավելի բարդ տեսք է ընդունում:

Ոչ գծայնության հաշվառմամբ զգալիորեն ընդլայնվում է նաև լույսի

բևեռացմամբ պայմանավորված երևույթների սպեկտրը բնական

կամ մակածված անիզոտրոպությամբ միջավայրերում:

Ընդհանուր դեպքում P

,E

և D

, E

վեկտորների կապը թենզորա-

կան է: Հաշվի առնելով հարցի կարևորությունը՝ անդրադառնանք այս

հարցին մանրամասն:

Գծային միջավայրի լոկալ արձագանքի (այսինքն՝ տարածա-

կան և ժամանակային դիսպերսիայի բացակայության) դեպքում

էլեկտրական ինդուկցիայի վեկտորի և դաշտի լարվածության կապը

ներկայացվում է հետևյալ տեսքով՝

( , ) ( , ) 4 ( , )i i iD r t E r t P r t

, (3.1)

որտեղ 1( , ) ( , ) ( , )i ij jP r t r t E r t

: (3.1ա)

Միջավայրի )(tPi բևեռացումը՝ միավոր ծավալի դիպոլային մո-

մենտը, ընդհանուր դեպքում ունի հետևյալ տեսքը՝

40

1( , ) ( , , ) ( , )t

i ij jP r t r t t E r t dt

: (3.2)

Նկատենք, որ այն հնարավորություն է ընձեռում հաշվառել ժա-

մանակի նախորդ պահերին դաշտի ունեցած արժեքների ազդեցու-

թյունը ժամանակի տվյալ t պահին միջավայրի բևեռացման վրա

(այլ կերպ ասած, հաշվի առնել հնարավոր ռելաքսացիոն պրոցեսնե-

րի առկայությունը): Ամբողջական լինելու նպատակով ներկայաց-

նենք նաև համապատասխան արտահայտությունը տարածական ոչ

լոկալ արձագանքի հաշվառմամբ՝

(1)( , ) ( , , , ) ( , )t

i ij jP r t dt r t r t E r t dr

: (3.3)

Այս արտահայտության ֆիզիկական իմաստը հետևյալն է. տա-

րածության տվյալ r

կետում և ժամանակի տվյալ t պահին միջա-

վայրի արձագանքը (բևեռացումը տվյալ դեպքում) պայմանավորված

է ամբողջ տարածությունում և մինչև ժամանակի տվյալ t պահը ներ-

առյալ դաշտի ունեցած արժեքներով: Ինտեգրման սահմանները նե-

րառում են նաև պատճառականության սկզբունքը՝ միջավայրի ար-

ձագանքը չի կարող կախված լինել դաշտի ապագայում ունենալիք

արժեքներից: Միջավայրի մակածված բևեռացման՝ հարևան կետե-

րում դաշտի ունեցած արժեքներից կախվածությունը կարելի է բա-

ցատրել, օրինակ, դիֆուզիոն պրոցեսներով: Այսինքն՝ ժամանակի

տվյալ t պահին տարածության r

կետում կարող են ջերմային

շարժման հետևանքով հայտնվել հարևան r

կետերում դաշտի այլ

արժեքի ազդեցությանը ենթարկված մասնիկներ: Հետևաբար, կարող

է խախտվել միջավայրի արձագանքի լոկալությունը: Միջավայրի ոչ

լոկալությունը զգալի է միայն դաշտի մեծ փոփոխությունների առկա-

յության պայմաններում: Սովորաբար, rr

-ի աճին զուգընթաց

(1)ij ֆունկցիան արագ նվազում է: Հետագայում արձագանքի տա-

րածական ոչ լոկալությամբ պայմանավորված երևույթներին հիմնա-

կանում չենք անդրադառնա: Ստացիոնար միջավայրերի դեպքում

41

(1) ( , )ij t t ֆունկցիան կախված է միայն ժամանակների tt

տարբերությունից: Ուստիև (1) (1) (1)( , ) ( ) ( )ij ij ijt t t t : (3.4)

Տարրական մաթեմատիկական ձևափոխություններից հետո (3.2)

արտահայտությունը կարելի է ներկայացնել հետևյալ տեսքով՝

(1)

0

( ) ( ) ( )i ij jP t E t d

: (3.5)

(3.5) հավասարման աջ և ձախ մասերը բազմպատկենք tie -ով

և ինտեգրենք ըստ ժամանակի, կստանանք

(1)

0

(1)

0

(1) ( )

0

(1)

0

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

i t i ti jij

i tjij

i i tjij

ij ij

P t e dt E t d e dt

E t e dt d

e E t e d t d

E e d

: (3.5ա)

Նշանակելով

(1) (1)

0

( ; ) ( ) iij ij

e d

և հաշվի առնելով, որ (տես Հավելված 1)

dtetPP tiii

)()( ,

վերջնականորեն կարող ենք գրել՝ (1)( ) ( ; ) ( )i ij jP E : (3.6)

Ոչ գծային միջավայրերում այս արտահայտություններն ընդ-

հանրացման կարիք ունեն: Մասնավորապես, արդեն նշել ենք, որ

42

մեծ դաշտերի դեպքում միջավայրի արձագանքում անհրաժեշտ է

հաշվի առնել նաև ոչ գծային գումարելիները՝

( ) ( ) ( )l nlP t P t P t

: (3.7)

nlP

ոչ գծային բևեռացման համար (3.2)-ին համանման կարելի է

գրել

''

(2)

(3)

( ) ( , ', ) ( ') ( )

( , ', '', ) ( ') ( ) ( ) ...

t tnli ijk j k

t t t

ijkl j k l

P t dt t t t E t E t dt

dt dt t t t t E t E t E t dt

: (3.8)

Այստեղ )2(ijk գործակիցը քառակուսային ոչ գծային ընկալու-

թյունն է, )3(ijkl -ը՝ խորանարդային և այլն: Ընդհանրացնելով (3.5) ար-

տահայտությունը՝ կարող ենք գրել՝

( )1 2 .... 1 1

1 0 0 0

( ) ( ,.... ) ( ) ( )ni n ij n j n n

n

P t d d d E t E t

: (3.9)

(3.5ա) ձևափոխություններին համանման գործողություններից

հետո կարելի է ոչ գծային բևեռացումները նույնպես ներկայացնել

հաճախականային տիրույթում: Այսպես, օրինակ, 1 2s պրո-

ցեսը նկարագրող քառակուսային ոչ գծային ընկալունակության հա-

մար կարելի է գրել՝

1 1 2 2

1 2

( )(2) (2)1 2 1 2

0 0

( ; , ) ( , ) iijk s ijk

d d e

, (3.9ա)

իսկ 1 2 3s պրոցեսը նկարագրող խորանարդային ոչ

գծային ընկալունակության համար՝

1 1 2 2 3 3

1 2 3

( )(3) (3)1 2 3 1 2 3

0 0 0

( ; , , ) ( , , ) iijkl s ijkl

d d d e

: (3.9բ)

Այս արտահայտությունները կազմում են ոչ գծային օպտիկա-

կան երևույթների ֆենոմենոլոգիական նկարագրության հիմքը: Առա-

վել մանրամասն այս հարցի շարադրանքը ներկայացված է Հավել-

ված 2-ում:

43

§3.2. Ոչ գծային ընկալունակության թենզորի ընդհանուր

հատկությունները

Անդրադառնանք գծային և ոչ գծային ընկալունակությունների

որոշ ընդհանուր հատկություններին: Նախ քննարկենք

0

)1()1( )()()( dtEtP jiji (3.10)

գումարելին: Ինտեգրման փոխարեն անցնենք գումարման` ըստ

փոքր ll 1 ժամանակային ինտերվալի

l

ljliji tEtP )()()( )1()1( : (3.10ա)

Այդ դեպքում ակնհայտ է դառնում, որ դաշտի լարվածության

դերը կարելի է մեկնաբանել որպես նյութական միջավայրի վրա ազ-

դող տարբեր բարձրություններ ունեցող ուղղանկյունաձև իմպուլսնե-

րի խիտ հաջորդականություն (սահմանային դեպքում՝ -ֆունկցիա-

ների): )()1( tPi -ֆունկցիան, ինչպես երևում է (3.10ա) արտահայտու-

թյունից, ադիտիվ գումարվող մեծություն է: Ընդ որում, գումարելինե-

րից յուրաքանչյուրը համեմատական է դաշտի լարվածության այն

արժեքին, որը գոյություն է ունեցել մինչև ժամանակի l պահը (Նկ.

3.1): (1) ( )ij l -ֆունկցիան նկարագրում է միջավայրի արձագանքը

(այսինքն՝ միջավայրի բևեռացումը) l ժամանակի ավարտին: Փաս-

տացի այս ֆունկցիան միջավայրի «հիշողության» քանակական

բնութագիրն է:

Համանման կարելի է բնութագրել նաև քառակուսային և հա-

ջորդ` բարձր, կարգի գումարելիները: Այսպես, օրինակ, քառակու-

սայինի դեպքում

0

22121)2(

0

1)2( )()(),()( dtEtEdtP kjijki : (3.10բ)

44

Դաշտի իմպուլսները, որոնք տրված են ժամանակի )( 1t և

)( 2t պահերին 0),( 21 , t պահին առաջացնում են արձա-

գանք, որը համեմատական է այդ լարվածությունների արտադրյա-

լին: Այդ արձագանքի մեծությունը ),( 21)2( ijk ֆունկցիայի միջոցով

կախված է լինում 1 և 2 պահերից: )()2( tPi մեծության լրիվ արժեքը

ստացվում է մինչև ժամանակի t պահը (ներառյալ) ազդող դաշտի

լարվածության իմպուլսների զույգերի ազդեցությունների գումար-

մամբ: Յուրաքանչյուր զույգի ազդեցությամբ պայմանավորված ար-

ձագանքը կախված է ինչպես դաշտի լարվածությունների արտադ-

րյալից, այնպես էլ ժամանակի t պահի նկատմամբ այդ իմպուլսների

ունեցած ժամանակային հեռավորությունից: Ընդ որում, հարկ է նկա-

տել, որ վերջնական ազդեցության համար էական չէ, թե որ իմպուլ-

սին է վերագրվում )( 1t կամ )( 2t պահը, քանի որ դա պայմա-

նավորված է նշանակումների ընտրությամբ: Ուստիև կարելի է գրել՝

),(),( 12)2(

21)2( ikjijk : (3.11)

Ասվածը նշանակում է, որ միջավայրի արձագանքը նկարագրող

),( 21)2( ijk ֆունկցիայի մասին ողջ ինֆորմացիան պարունակվում է

),( 21 հարթության առաջին քառորդի կեսում` անկյունագծով սահ-

մանափակված տիրույթում: Նկատենք, համանման պնդում կարելի է

անել նաև ավելի բարձր կարգի ոչ գծային ընկալունակությունների

համար:

Նկ. 3.1. Դաշտի լարվածության իմպուլսի վերլուծությունը:

45

§3.3. Ոչ գծային ընկալունակության թենզորի սիմետրիան

(3.11) առնչության, ինչպես նաև միջավայրի տարածական սի-

մետրիայի հետևանքով ոչ գծային ընկալունակության թենզորները

ենթարկվում են որոշակի օրինաչափությունների: Անդրադառնանք

այս հարցին ),,( 2)2(

1 ijk քառակուսային ոչ գծայնության օրինա-

կով: Նախ և առաջ ),,( 2)2(

1 ijk ընկալունակությունն օժտված է

հետևյալ տիպի տեղափոխական սիմետրիայով՝

),,(),,( 11 2)2(

2)2( ikjijk : (3.12)

Դժվար չէ համոզվել, որ այս առնչությունը (3.11)-ի անմիջական

հետևանք է: Ասվածը նշանակում է, որ բացի առաջին ինդեքսից,

մնացած բոլորը կարելի է տեղափոխել՝ միաժամանակ փոխելով նաև

արգումենտում հաճախությունների տեղերը:

§3.4. Կլեյնմանի կանոնը

Ավելին, տեղափոխել կարելի է բոլոր ինդեքսները՝ 1 2, ,s հա-

ճախությունների վրա կլանման բացակայության դեպքում (Կլեյնմա-

նի կանոն): Ապացուցենք այս պնդումը: Ընդունենք, որ միջավայրը

թափանցիկ է 1 2, , ինչպես նաև 1 2s հաճախությունների

վրա: Այդ դեպքում, էլեկտրամագնիսական դաշտի էներգիայի խտու-

թյան միջինի ժամանակային փոփոխության համար կարող ենք գրել՝

0dt

dU

dt

dU

dt

dU

dt

dU 21ÉñÇí: (3.13)

Հաշվենք (3.13) արտահայտության առանձին գումարելիները:

46

( ) 1( ) . . ( ) . .

4

Im ( )2

s

nli t nl i ts

s i s i s

nlsi i s

dPdUE E e c c i P e c c

dt dt

E P

1 1(1) (1)1 11 1 1

1. . ( ) . . Im ( )

4 2i t i tnl nl

i i i i

dUE e c c i P e c c E P

dt

)(Im2 2

)2(22 nlii PE

dt

dU :

Այստեղ . .c c -ով նշանակված է կոմպլեքս համալուծը: Այս ար-

տահայտությունները գրենք բացված տեսքով`վերագրելով i ինդեք-

սը s հաճախությամբ դաշտին, j ինդեքսը` 1 -ին և k -ն` 2 -ին:

(1) (2) (1) (2)1 1 2

(2) (1) (2)1 2

( ) ( ; , )

( ; , )

nli i ijk s i j k

jik s i j k

E P D E E E

D E E E

:

Համանման ճանապարհով կարող ենք գրել՝ (2) (2) (1) (2)

2 21 1( ) ( ; , )nli i kij s i j kE P D E E E :

Ստացված արտահայտությունների օգնությամբ կարելի է ձևա-

փոխել (3.13) բանաձևը՝

(2) (2)1 2 1 2 1 1 2

(2) (1) (2)2 2 1

[( ) ( ; , ) ( ; , )2

( ; , )]Im( ) 0 :

ijk s ijk s

ijk s i j k

dU

dtD

E E E

ÉñÇí

Քանի որ )2()1( ,, kji EEE դաշտերի փուլերը կարող են ընտրվել կա-

մայական, ապա բնականաբար՝ 0)Im( )2()1( kji EEE : Հետևաբար՝

(2) (2) (2)1 2 1 2 1 1 2 2 2 1( ) ( ; , ) ( ; , ) ( ; , ) 0ijk s jik s kij s :

Հաշվի առնելով նաև 1 և 2 հաճախությունների կամայական

ընտրությունը` կստանանք

(2) (2) (2)1 2 1 2 2 1( ; , ) ( ; , ) ( ; , )ijk s jik s kij s : (3.14)

47

Այսպիսով՝ միջավայրի թափանցիկության տիրույթում կարելի է

տեղափոխել ոչ գծային ընկալունակության թենզորի բոլոր ինդեքս-

ները` միաժամանակ տեղափոխելով հաճախությունները համապա-

տասխան նշանով: Եթե բացակայում է նաև հաճախային դիսպերսի-

ան, ապա տեղափոխական (3.14) սիմետրիան անկախ է դառնում

նաև հաճախությունից: Բարձր կարգի ոչ գծայնությունների համար

Կլեյնմանի կանոնն իրավացի է, եթե բացի փոխազդողներից, բացա-

կայում են կլանումները կոմբինացված բոլոր հաճախությունների

վրա:

Որպես միջավայրի օպտիկական բնութագրեր ոչ գծային ընկա-

լունակությունների վրա պետք է ազդեն նաև միջավայրի սիմետրայի

հատկությունները: Ասվածը ցուցադրելու համար օգտվենք Ֆոն Նեյ-

մանի սկզբունքից:

Ֆոն Նեյմանի սկզբունք: Միջավայրի մակրոհատկության սի-

մետրիան չպետք է ցածր լինի միջավայրի սիմետրիայից (այսինքն՝

պետք է ներառի միջավայրի սիմետրիայի բոլոր տարրերը):

Ոչ գծային ընկալունակության թենզորի վրա միջավայրի տա-

րածական սիմետրիայի ազդեցությունը պարզելու համար հիշենք, թե

ինչպես են ձևափոխվում թենզորների տարրերը կոորդինատական

համակարգի ձևափոխությունների ժամանակ:

Հայտնի է, որ նման դեպքերում թենզորի տարրերը ձևափոխվում

են որպես համապատասխան կոորդինատների արտադրյալ: Այ-

սինքն՝ )2('''

)2(kjiijk ձևափոխությունը համարժեք է ''' kjikji xxxxxx

ձևափոխությանը: Ձևափոխություն ասելով կհասկանանք սիմետրի-

այի օպերացիան և այն նկարագրող անցման մատրիցան:

x y z

x 11a 12a 13a

y 21a 22a 23a

z 31a 32a 33a

48

Ասվածից հետևում է, որ համապատասխան սիմետրիայի ձևա-

փոխությունը կարելի է ներկայացնել հետևյալ կերպ՝ (2) (2)' ' ' ' ' '

, ,i j k ii jj kk ijk

i j k

a a a : (3.15)

Որպես օրինակ քննարկենք ինվերսիայի կենտրոնի առկայու-

թյունը քառակուսային ոչ գծայնության վրա: Ենթադրենք միջավայրն

ինվարիանտ է ինվերսիայի` ijija ձևափոխության նկատմամբ:

Հաշվի առնենք, որ

ii EE ' ; )2(

,,

)2('''

)2(''' ijk

kjiijkkkjjiikji aaa :

Այստեղից էլ 0)2( ijk : Այսպիսով՝ բոլոր իզոտրոպ միջավայրերի մոտ

քառակուսային ոչ գծային ընկալունակությունները բացակայում են:

Այս սահմանափակումը չի տարածվում մակերևույթին ընթացող քա-

ռակուսային երևույթների վրա: Իսկապես, կենտրոնահամաչափ

բյուրեղի, ինչպես նաև իզոտրոպ միջավայրերի մակերևութային շեր-

տերում խախտվում է կենտրոնական սիմետրիան (նյութը զբաղեց-

նում է միայն մի կիսահարթությունը): Որպես հետևանք, այդ մակեր-

ևութային շերտերում առաջանում է դիպոլային քառակուսային բևե-

ռացում, ինչը հնարավորություն է ընձեռում ոչ գծային օպտիկայի մե-

թոդներն օգտագործել այդ շերտերի դիագնոստիկայի համար: Նկա-

տենք, որ այդ սահմանափակումը չի գործում նաև այն դեպքերում,

երբ հաշվի են առնվում քվադրուպոլային կամ մագնիսադիպոլային

մոմենտները:

Ընդհանուր դեպքում, երբ միաջավայրն ունի սիմետրայի n էլե-

մենտներ, ապա կարելի է գրել (3.15)-ին համանման հավասարումնե-

րի համակարգ, որից կհետևի որոշակի օրինաչափություններ ոչ

գծային ընկալունակության թենզորի բաղադրիչների միջև:

49

§3.5. Ոչ գծային օպտիկական երևույթների դասակարգումը

Հաշվի առնելով, որ ընդհանուր դեպքում գծային և ոչ գծային ըն-

կալունակություններն ունեն թենզորական բնույթ, (2.4)-ի փոխարեն

կարող ենք գրել

...)3()2()1(

lkjkjjEEEEEEP ijklijkiji : (3.16)

(3.16) արտահայտության մեջ )2(ijk -ը երկրորդ ռանգի թենզոր է,

որն ընդհանուր դեպքում ունի 27 բաղադրիչ, իսկ )3(ijkl -ը` երրորդ, որն

ունի 81 բաղադրիչ: Հասկանալի է, որ ոչ գծային )(n ընկալունակու-

թյուններն ավելի հարուստ են, քան միայն գծային ընկալունակու-

թյունները և նոր ինֆորմացիա են պարունակում նյութի մասին: Այս-

տեղ կսահմանափակվենք միայն երկրորդ (քառակուսային` պայմա-

նավորված )2(ijk -ով) և երրորդ (խորանարդային` պայմանավորված

)3(ijkl -ով) կարգի երևույթներով: Ստորև թվարկված են դրանցից մի

քանիսը.

Քառակուսային երևույթներ

Օպտիկական ուղղում

Երկրորդ հարմոնիկի գեներացիա

Գումարային հաճախության գեներացիա

Տարբերությունային հաճախության գեներացիա

Խորանարդային երևույթներ

Երրորդ հարմոնիկի գեներացիա

Ինքնաֆոկուսացում և ինքնաապաֆոկուսացում

Փուլային ինքնամոդուլյացիա

Ստիպողական ցրումներ

Բարձր կարգի երևույթներ

Ուղիղ պրոցեսներ

Կասկադային պրոցեսներ

50

Հետագայում ավելի մանրամասն կանդրադառնանք այս և մի

շարք այլ երևույթներին ու դրանց առանձնահատկություններին:

§3.6. Ամփոփում

Նյութերի ուսումնասիրման ոչ գծային օպտիկական մեթոդների

ամբողջականության համար կարևոր է նաև միջավայրի սիմետրիայի

և ոչ գծային ընկալունակությունների միջև կապի բացահայտումը:

Ուստիև այս թեմայում անդրադարձ է կատարված հենց այդ հարցե-

րին: Բացահայտված է դաշտերի (կամ համապատասխան Ֆուրյե

բաղադրիչների) և ոչ գծային ընկալունակության թենզորի ինդեքսնե-

րի փոխատեղման օրինաչափությունները:

Բերված է նաև ֆենոմենոլոգիական նկարագրման սահմաննե-

րում ոչ գծային օպտիկական երևույթների դասակարգումը և դիտվող

երևույթներն այդ դասակարգման սահմաններում:

51

ԹԵՄԱ 4. ՈՉ ԳԾԱՅԻՆ ՄԻՋԱՎԱՅՐԵՐԻ ԷԼԵԿՏՐԱԴԻՆԱՄԻԿԱ

§4.1. Ներածություն

Նախորդ քննարկումները լիովին սահմանափակվում էին երևու-

թաբանական մակարդակով, երբ կարևորվում էր դիտվող նոր և բազ-

մազան երևույթների բովանդակային էությունը: Սակայն նյութերի

հատկությունների ուսումնասիրման զինանոցում ներառվելու, ինչ-

պես նաև կիրառական խնդիրների լուծման համար կարևորվում են

նաև քանակական նկարագրությունները: Ուստիև անհրաժեշտու-

թյուն է առաջանում ուսումնասիրել նման միջավայրերում լուսային

ալիքների տարածման առանձնահատկությունները:

Ոչ գծային փոխազդեցությամբ միջավայրերում ալիքների տա-

րածման ուսումնասիրությունը հանգում է կապված ալիքային հավա-

սարումների համակարգի վերլուծությանը: Բնականաբար, ոչ գծայ-

նության կարգի աճմանը զուգընթաց ավելանում են նաև կապված

համակարգում ներառվող հավասարումների քանակը, ինչը զգալիո-

րեն բարդացնում է տեսական վերլուծությունը: Ոչ գծային ընկալու-

նակությունների և, որպես հետևանք, նրանցով պայմանավորված

ներդրումների փոքրությունը, սակայն, թույլ են տալիս լայնորեն կի-

րառել լավ զարգացած մոտավոր մեթոդների ապարատը և մի շարք

դեպքերում ստանալ անալիտիկ լուծումները ու բացահայտել քանա-

կական օրինաչափությունները:

Այս թեմայում կանդրադառնանք կապված ալիքային հավասա-

րումների համակարգի ստացմանը և լայնորեն կիրառվող մոտավոր

մեթոդներից մեկին՝ դանդաղ փոփոխվող լայնույթի մեթոդին: Մեթոդի

առանձնահատկությունները և առավելությունները, ակնառության

նպատակով, քննարկված են քառակուսային կարգի ոչ գծային

երևույթների օրինակով, սակայն ընդհանրացումը որևէ դժվարություն

չի ներկայացնում:

52

§4.2. Ոչ գծային ալիքային հավասարում:

Կապված ալիքների համակարգ

Ալիքային հավասարման ընդհանուր տեսքը ցանկացած միջա-

վայրում հետևյալն է՝ 2 2

2 2 2 2

1 4( , ) ( , )( , )

E r t P r trotrotE r t

c t c t

: (4.1)

Այստեղ Е

-ն լուսային ալիքի էլեկտրական դաշտի լարվածու-

թյան վեկտորն է, P

-ն` միջավայրի բևեռացման վեկտորը: Ինչպես

նշվել է §3.1-ում, միջավայրի բևեռացումը կարելի է ներկայացնել

գծային և ոչ գծային գումարելիների տեսքով՝

( , ) ( , ) ( , )l nlP r t P r t P r t

: (4.2)

Ենթադրենք ոչ գծային միջավայրով տարածվում են մի քանի

մոնոքրոմատիկ ալիքներ: Ստացիոնար (այսինքն՝ լայնույթի ժամա-

նակային կախվածության բացակայության դեպքում) ներկայաց-

նենք այդ դաշտերը հետևյալ տեսքով՝

i t

1

1( , ) e c.c.

2j

N

jj

Е r t E r

: (4.3)

Այս ալիքները մակածում են գծային և ոչ գծային բևեռացումներ

i t1( , ) ( ) e c.c.

2q

qq

P r t P r (4.4)

կոմբինացված

, 0, 1q j j jj

m m (4.5)

հաճախությունների վրա: Մակածված դիպոլների վերաճառագայթ-

մամբ ոչ գծային միջավայրում գրգռվում են էլեկտրամագնիսական

ալիքներ՝ կոմբինացված հաճախությունների վրա: Նոր՝ բևեռացմամբ

մակածված, ալիքները նույնպես կարող են փոխազդել այլ ալիքների

հետ: Որպես հետևանք մեկ ալիքային հավասարման փոխարեն

ստացվում է կապված հավասարումների համակարգ: Ուստիև (4.1)

հավասարումը վեր է ածվում կապված ալիքային հավասարումների

53

համակարգի, որի լուծումը ընդհանուր դեպքում պրակտիկորեն ան-

հնար է: Սակայն, բոլոր այն դեպքերում, երբ միջավայրի ոչ գծային

բևեռացումը կարելի է ներկայացնել (3.16) տեսքով, այսինքն՝ ոչ

գծայնությունները կարելի է համարել փոքր, կիրառելի է մոտավոր

մեթոդների զինանոցը: Ոչ գծային օպտիկայում այդ մեթոդներից ա-

ռավել տարածված է դանդաղ փոփոխվող լայնույթի մեթոդը, որով և

կսահմանափակվենք հետագա շարադրանքի ընթացքում:

Տեղադրելով (4.2)-(4.4) արտահայտությունները (4.1) ալիքային

հավասարման մեջ՝ կարող ենք ստանալ

2 2

02 2

4( ) ( )j j nlj j j jrotrotE r E r P r

c c

: (4.6)

Ընդգծենք, (4.6) հավասարման j ինդեքսն այստեղ ֆիքսում է

մակածված դաշտի հաճախության համարը: Այստեղ 0j jD E

, իսկ

10 1 4j j

(4.7)

միջավայրի դիէլեկտրական թափանցելիության թենզորն է թույլ լու-

սային դաշտերի դեպքում, իսկ ոչ գծային բևեռացումը՝ nlP r

,

տրվում է (3.16) առնչությամբ:

Հավասարումների (4.6) համակարգն ընդունված է անվանել

կապված ալիքային հավասարումների համակարգ: Ինչպես երևում է

կապված հավասարումների (4.6) համակարգից, ոչ գծային բևեռա-

ցումները հենց ալիքների միջև կապն իրականացնող փոխազդեցու-

թյուններն են:

§4.3. Ոչ գծային ալիքային հավասարման ուսումնասիրման

դանդաղ փոփոխվող լայնույթի մեթոդ

Հավասարումների (4.6) համակարգի լուծումը կապված է զգալի

դժվարությունների հետ: Նման դեպքերում խնդիրը պարզեցվում է

մոտավոր մեթոդների կիրառմամբ: Դասական ոչ գծային օպտիկա-

յում լայնորեն կիրառվում է դանդաղ փոփոխվող լայնույթի մեթոդը:

54

Այս մեթոդի հիմքում հետևյալ բնական ենթադրությունն է. լուսային

ալիքի կոմպլեքս լայնույթի փոփոխությունը բավականաչափ դան-

դաղ է ( )cT n ալիքի երկարության վրա և այն կարելի է արհա-

մարհել: Նշված մեթոդի առավելությունները ցուցադրենք երկրորդ

հարմոնիկի գեներացիայի օրինակով: Ենթադրենք քառակուսային ոչ

գծայնությամբ միջավայրում տարածվում է 1 հաճախությամբ

լուսային ալիք և միջավայրում գեներվում է 2 2 հաճախությամբ

հարմոնիկը: Դանդաղ փոփոխությամբ պայմանավորված՝ գումա-

րային դաշտը և մակածված ոչ գծային բևեռացումը միջավայրում

կարելի է ներկայացնել հետևյալ տեսքով՝

2 2

1 1

1( , ) , . .

2ji t

j j jj j

Е r t E r t e E r e c c

: (4.8ա)

i1( , ) ( , ) ( ) e c.c.

2jt

q q q qq q

P r t e P r t e P r

: (4.8բ)

Այս մոտավորությամբ ընդունված է jE r

դաշտը և ( )qP r

մա-

կածված բևեռացումը ներկայացնել հետևյալ կերպ՝

jik r

j j jE r e A r e

, (4.8գ)

i( ) ( ) e qk r

q q qP r e P r

: (4.8դ)

Այստեղ qe

-միջավայրի համապատասխան հաճախության բևե-

ռացման միավոր վեկտորն է, je

-ն՝ լուսային ալիքի: jA r

-ը՝ համա-

պատասխան լուսային ալիքի կոմպլեքս լայնույթը: Միջավայրի ոչ

գծայնության փոքրության հետևանքով jA r

գործակցի տարածա-

կան փոփոխությունը զգալիորեն դանդաղ է exp jik r արտադրիչի

համեմատ, այսինքն՝

1 jj

j

AA

rk

= : (4.9)

55

(4.9) պայմանը կարելի է մեկնաբանել հետևյալ կերպ՝ jA r

ֆունկցիայի փոփոխությունները 2j jk հեռավորությունների

վրա կարելի է արհամարհել և համարել հաստատուն: Հատուկ ան-

հրաժեշտ է մեկնաբանել կոմպլեքս համալուծի գոյությունը, որն ա-

պահովում է օգտագործվող դաշտերի իրական լինելը: Գծային տե-

սությունում, ի տարբերություն (4.8ա) արտահայտության,

, expj j j j jE r t e A r i t k r

գրառումը թույլատրելի է, քանի որ Re jE

և Im jEկարող են դիտարկ-

վել մեկը մյուսից անկախ: Ոչ գծային օպտիկայում նման մոտեցումը

կարող է հանգեցնել լուրջ սխալների, քանի որ քառակուսային ան-

դամների առկայությամբ պայմանավորված Re jE

և Im jE

մեծու-

թյուններրը դառնում են փոխկապակցված: (4.9) մոտավորության օգ-

նությամբ կարելի է պարզեցնել (4.6) համակարգը: Ձևափոխենք

(4.1) հավասարման ձախ մասի առաջին գումարելին՝ վեկտորական

հանրահաշվից հայտնի j j jrotrotE graddivE E

առնչության օգ-

նությամբ: Իզոտրոպ և ազատ լիցքեր ( 0 ) չպարունակող միջա-

վայրերում 0jdivE

: Անիզոտրոպ միջավայրերում այս առնչությունը

կարող է խախտվել՝ մակածվող երկայնական բաղադրիչի պատճա-

ռով, սակայն փոքրության պատճառով այն կարելի է արհամարհել,

ուստիև կարող ենք օգտվել

0jdivE

լրացուցիչ պայմանից: Իսկապես, համաձայն (3.1) և (3.7) արտահայ-

տությունների՝

0 4 ,nlD E P

որտեղից

0 4 0 :nldivD divE divP

Ուստիև

0 4 :nldivE divP

56

Սակայն nldivP

զրոյից տարբեր է դանդաղ փոփոխվող և փոքր

nlP

մեծության ածանցյալների հաշվին, ուստիև կարելի է անտեսել:

Հաշվի առնելով, որ հարթ ալիքային մոտավորությամբ բացակայում

են նաև լայնական կոորդինատից կախվածությունները, կարող ենք

(4.6) հավասարումը ներկայացնել հետևյալ տեսքով՝

2 2 2

02 2 2

4( )( )j j j nl

j j j

d E rE r P r

dz c c

: (4.10)

(4.10) հավասարման յուրաքանչյուր jE

դաշտի համար անհրա-

ժեշտ է աջ մասում վերցնել միջավայրի ոչ գծային բևեռացման հա-

մապատասխան գումարելին: (3.16)-ի օգնությամբ ներկայացնենք

քառակուսային ոչ գծային բևեռացումը միջավայրում հետևյալ տես-

քով՝

2

(2 2 )(2) (2) 21 1 1

[ ( ) ](2)1 2 1 2

1, { (2 )

4

2 ( ) . .}

i t k z

i t k k z

P z t e e A z e

e e A z A z e c c

: (4.11)

Հիմնական հաճախությամբ ալիքի համար կարող ենք գրել

2

2 2

0 1 12 2

2( )(2)

1 2 1 22

4

( ) ( )

( ) ( ) ( )

ik z

i k k z

dе А z e

dz c

е е A z А z ec

: (4.12ա)

Նմանատիպ ձևափոխություններով երկրորդ հարմոնիկի համար

կարող ենք գրել

2

2 2

0 2 22 2

22(2)

1 1 1 12

4

8

(2 ) ( )

(2 ) ( ) ( )

ik z

ik z

dе А z e

dz c

е е A z А z ec

: (4.12բ)

Երկու համանման հավասարում կարելի է գրել նաև 1 2,A A լայ-

նույթների համար: Հետագա ձևափոխությունները ներկայացնենք

միայն (4.12ա) հավասարման համար:

57

2 2

0 1 12 2

2 221 1

1 0 1 12 2

( ) ( )

( ) ( )2 ( ) ( ) ( )

ik z

ik z

dе А z e

dz c

d А z dА zik k А z А z е e

dz dz c

:

Լայնույթի դանդաղ փոփոխման (4.9) պայմանը համարժեք է

այս դեպքում 2

1 12

( ) ( )2

d А z dА zk

dz dz=

պայմանին, ուստիև 2 21( )d А z dz գումարելին կարելի է անտեսել: Կա-

րելի է ապացուցել, որ այս գումարելու արհամարհելը համարժեք է

հակառակ ուղղությամբ տարածվող թույլ երկրորդ հարմոնիկի ալիքի

անտեսելուն: Նկատենք նաև հետևյալը: Ընդհանուր դեպքում միջա-

վայրը կարող է լինել նաև կլանող: Համապատասխանաբար, դի-

էլեկտրական թափանցելիությունն անհրաժեշտ է փոխարինել կոմպ-

լեքս մեծությամբ՝

0 ( ) ( ) ( )i ,

որտեղ 0( ) Re ( )

, 0( ) Im ( )

: «-» նշանի ընտրությունը

պայմանավորված է դաշտի (4.8ա) տեսքով: Հաշվի առնենք նաև, որ 2

22

( )kc :

Վերջնականորեն (4.12ա) հավասարման համար ստանում ենք

2

21

1 12

2( 2 )(2)

1 2 1 22

4

( )2 ( ) ( )

( ) ( ) ( ) i k k z

dА zik i А z е

dz c

е е A z А z ec

:

Համանման ձևով կարող ենք (4.12բ) համար ստանալ

2

22

2 2 22

2( 2 )(2) 2

1 1 12

4

8

( )2 (2 ) ( )

(2 ) ( ) i k k z

dА zik i А z е

dz c

е е A z ec

:

58

Համառոտագրության համար ներմուծենք հետևյալ նշանակում-

ները՝

1 1 1 21 2 2

(2) (2)1 1 2 2 1 1

1 2 2

( ) (2 )1; ;

2 ( ) 2 2 (2 )

( ) (2 )2 ; :

( ) (2 )

e e e ek k

e e e e e ek k

(4.13)

i մեծությունները կոչվում են գծային կլանման, իսկ i -երը՝ ոչ

գծային կապի գործակիցներ: Այժմ կապված ալիքային հավասա-

րումների համակարգը կարող ենք գրել հետևյալ տեսքով՝

11 1 1 1 2

22 2 2 1 1

( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( )

i kz

i kz

dА zА z i A z А z e

dzdА z

А z i A z A z edz

: (4.14)

2 2k k k մեծությունը փուլային ապալարքն է հիմնական և

երկրորդ հարմոնիկի ալիքների միջև: Նշենք, որ 0k պայմանը

համապատասխանում է փուլային սինքրոնությանը: Հետագայում

մանրամասն կանդրադառնանք այս հարցին: (4.14) կոչվում է կար-

ճեցված հավասարումների համակարգ: Այն հիմնական է երկրորդ

հարմոնիկի գեներացիայի տեսական վերլուծության համար: Հետա-

գա քննարկումները չծանրաբեռնելու նպատակով ընդունենք, որ և

2 հաճախությունները ընկած են կլանման գծերից հեռու տիրույթ-

ներում, այսինքն՝ կլանման գործակիցները՝ 1,2 0 : Այդ դեպքում

կարճեցված հավասարումների համակարգը ընդունում է հետևյալ

տեսքը՝

11 1 2

22 1 1

( )( ) ( )

( )( ) ( )

i kz

i kz

dА zi A z А z e

dzdА z

i A z A z edz

: (4.15)

Ընգդծենք մեկ անգամ ևս, չնայած կարճեցված հավասարումնե-

րի համակարգը դուրս բերվեց մասնավոր, երկրորդ հարմոնիկի գենե-

59

րացիայի օրինակով, ընդհանրացումը այլ երևույթների համար կա-

րող է իրականացվել առանց էական դժվարությունների:

§4.4. Ժամանակային կախվածությամբ լայնույթով

ալիքի տարածումը

Չնայած հետագայում չենք անդրադառնալու ոչ գծային միջա-

վայրով լուսային իմպուլսների տարածմանը, սակայն ամբողջակա-

նության համար քննարկենք այս հարցը ևս: Նախորդ պարագրաֆ-

ներում, ներկայացնելով դաշտը

1

1( , ) , . .

2j ji t k r

j jj

Е r t e A r t e c c

(4.16)

տեսքով, ,jA r t

լայնույթի ժամանակային կախվածությունն անտե-

սում էինք: Սակայն այդպիսի մոտեցումը միշտ չէ, որ արդարացված

է, հատկապես ոչ գծային միջավայրերում տարածվող գերկարճ լա-

զերային իմպուլսների դեպքում: Նախ և առաջ նկատենք, որ ժամա-

նակային կախվածության նկատմամբ նույնպես կարելի է կիրառել

դանդաղ փոփոխվող լայնույթի մոտավորությունը: Քննարկենք այժմ

քվազիմոնոքրոմատիկ լույսի տարածումը ոչ գծային միջավայրով:

Նորից անդրադառնանք (4.10) հավասարմանը: Լուծումը փնտրենք

հետևյալ տեսքով՝

, , expj j j j jE r t e A r t i t k r

: (4.17)

Ի տարբերություն նախորդ թեմաների, այստեղ չի անտեսվում

,jA r t

լայնույթի ժամանակային կածվածությունը քվազիմոնոքրո-

մատիկ ալիքի դեպքում: Պարզության համար քննարկենք հարթ ալի-

քի դեպքը, այսինքն, ըստ x և y կոորդինատների, ածանցյալներն ան-

տեսվում են: Ներկայացնենք ,jE z t

դաշտը Ֆուրյեի ինտեգրալի

տեսքով՝

60

, j ji t k z

j j j jE z t e A e d

: (4.18)

Համեմատելով (4.17)-ի հետ՝ դժվար չէ նկատել, որ

, i tj j jA z t A e d : (4.18ա)

Ֆուրյեի ինտեգրալի վերածենք նաև ինդուկցիայի ( , )jD z t

վեկ-

տորը՝

( , ) j ji t k z

j j j j jD z t e A e d

: (4.18բ)

Ձևափոխենք (4.10) հավասարման ձախ մասի երկրորդ գումա-

րելին՝ ( )j և ( )j jA ՝ վերածելով շարքի և անտեսելով 2

համեմատական գումարելիները՝

22 ( )2

2 2

( )2 22

2(

2g

1 ( , )( ) ( )

1( ) 2 ( )

( , )1( ) ( , ) 2

v

j j

j j

j j

i t k zjj j j j j

i t k z

j j j j j j j jj

i t k zj jj j j

D z te c A e d

c t

e A e dc

A z te A z t ik e

c t

)

: (4.19)

Այստեղ gv k -ն խմբային արագությունն է: Հաշվի առ-

նելով նաև ըստ տարածական z կոորդինատի դանդաղ փոփոխվելու

հանգամանքը՝ կարող ենք գրել՝

2( )

2g

( , ) ( , ) 21( , )

vj jj j j j i t k zj nl

e A z t e A z ti P z t e

z t kc

: (4.20)

Ստացված հավասարումը կարող է կիրառվել ոչ գծային միջա-

վայրերում գերկարճ լազերային իմպուլսների տարածման խնդիրնե-

րում: Պետք է առանձնահատուկ ընդգծել, որ ներկայումս լազերների

ֆիզիկայում հասանելի է դարձել մեկ պարբերությանը հավասար տևո-

ղությամբ լազերային իմպուլսներ: Նման պարագայում, իհարկե, դան-

դաղ փոփոխվող լայնույթի մեթոդը բացարձակապես կիրառելի չէ:

61

§4.5. Ամփոփում

Միջավայրի ոչ գծայնության հաշվառումը արմատապես փոխեց

նաև դասական (գծային) էլեկտրադինամիկայի նկարագրական մե-

թոդները: Ալիքային հավասարումը և միջավայրի նյութական հավա-

սարումները դադարեցին լինել մեկը մյուսից անկախ և դա հանգեց-

րեց խնդիրների լուծման արմատական բարդացմանը: Մեկ հավա-

սարման փոխարեն հայտնվեց կապված ալիքների հավասարումնե-

րի համակարգը, իսկ նյութական հավասարումներն իրենք դարձան

կախված տարածվող լուսային ալիքների բնութագրերից: Նման ինք-

նահամաձայնեցված խնդրի ամբողջական լուծումը պրակտիկորեն

անհնար էր: Այդ պատճառով էլ մշակվեցին հավասարումների պար-

զեցման և նման պարզեցված համակարգի լուծման մոտավոր մեթոդ-

ներ:

Այս թեմայում ներկայացվեց գոյություն ունեցող մոտավոր մե-

թոդներից ամենատարածվածը՝ դանդաղ փոփոխվող լայնույթի մեթո-

դը և, որպես հետևանք ստացվող, կարճեցված հավասարումների հա-

մակարգը: Հետագայում այն կկիրառվի քննարկվող մի շարք երևույթ-

ների քանակական նկարագրության նպատակով:

62

ԹԵՄԱ 5. ՈՉ ԳԾԱՅՆՈՒԹՅԱՆ ՄԵԽԱՆԻԶՄՆԵՐ

§5.1. Անհարմոնիկ օսցիլյատորի մոդելը: Միլլերի կանոնը

Գծային և ոչ գծային ընկալունակությունները բնութագրում են

միջավայրի օպտիկական հատկությունները: Եթե միջավայրի հա-

մար հայտնի են )(n ընկալունակությունները, ապա սկզբունքորեն

հնարավոր է կանխատեսել և քանակապես նկարագրել ոչ գծային

օպտիկական n -րդ կարգի երևույթները:

Երևութաբանական մոտեցման սահմաններում այդ ընկալունա-

կությունները (3.16) վերլուծության գործակիցներն են և ենթակա են

փորձարարական որոշման: Մյուս կողմից, այդ ընկալունակություն-

ներն անմիջականորեն կապված են միջավայրի միկրոկառուցվածքի

հետ: Առավել ամբողջական այդ կապը կարելի է նկարագրել քվան-

տային մեխանիկայի սահմաններում: Մի շարք դեպքերում, սակայն,

արդարացված է ֆենոմենոլոգիական մոդելային մոտեցումը, քանի որ

այն հնարավորություն է ընձեռում բացահայտել ոչ գծային օպտիկա-

կան երևույթների ընդհանուր օրինաչափությունները:

Միջավայրի ոչ գծային արձագանքը նկարագրող պարզագույն

մոդելներից է անհարմոնիկ օսցիլյատորի մոդելը: Այս մոդելում են-

թադրվում է, որ միջավայրը բաղկացած է դասական, չփոխազդող օս-

ցիլյատորներից, որոնց կոնցենտրացիան միջավայրում N է:

Էլեկտրոնային ոչ գծայնությունը նկարագրելու համար նպա-

տակահարմար է օգտագործել ատոմի թոմսոնյան մոդելը: Համա-

ձայն այդ մոդելի՝ ատոմը կարելի է պատկերել որպես համասեռ դրա-

կան լիցքավորված գունդ, որի կենտրոնում գտնվում է էլեկտրոնը

(տես Նկ. 5.1):

Արտաքին լուսային դաշտի էլեկտրական բաղադրիչի ազդեցու-

թյամբ էլեկտրոնը տեղաշարժվում է x չափով և, դրական լիցքի հետ

փոխազդեցությամբ պայմանավորված, առաջանում է ետ վերա-

դարձնող ուժ (Նկ. 5.1): Համարելով x շեղումը ոչ շատ մեծ` էլեկտրո-

նի )(xU պոտենցիալ էներգիան ատոմում հավասարակշռության վի-

63

ճակի շուրջ կարելի է վերածել Թեյլորի շարքի՝ ըստ x -ի աստիճան-

ների՝

2 3 42 3 4

2 3 4

0 0 0

1 1 1( )

2! 3! 4!

U U UU x x x x

x x x

: (5.1)

Նկ. 5.1. Ջրածնանման ատոմի համար Թոմսոնի մոդելը:

Նկատենք, որ վերլուծության մեջ ներառված չեն (0)U և

0U x գումարելիները: Առաջինից կարելի է ազատվել պոտենցի-

ալ էներգիայի զրոյական մակարդակի ընտրությամբ, իսկ երկրորդը

զրո է նվազագույն արժեքի շուրջ շարքի վերլուծության պատճառով

(էքստրեմումի կետում ածանցյալը զրո է): Հարմոնիկ մոտավորու-

թյունը սահմանափակվում է քառակուսային անդամով (Նկ. 5.2.ա):

Հաջորդ մոտավորություններում անհրաժեշտ է հաշվի առնել վերլու-

ծության բարձր կարգի անդամները: Ոչ գծայնության հստակ տեսքը

պայմանավորված է օսցիլյատորի տեսակով: Այսպես, օրինակ,

կենտրոնահամաչափություն չունեցող բյուրեղներում դրսևորվում է

խորանարդային աստիճան պարունակող գումարելին (Նկ. 5.2.բ), ի-

սկ կենտրոնահամաչափության առկայությամբ` չորրորդ աստիճան

պարունակողը (Նկ. 5.2.գ):

64

Նկ. 5.2. Հարմոնիկ (ա) և անհարմոնիկ (բ, գ) օսցիլյատորների պոտենցիալ

էներգիան:

Քանի որ, սահմանման համաձայն, ազդող ուժը

( )U

f xx

,

ապա արտաքին փոքր դաշտերի դեպքում, երբ (5.1) արտահայտու-

թյունում հաշվի է առնվում միայն առաջին գումարելին, այն քվազիա-

ռաձգական է՝

kxxf )( , (5.2)

ինչը հանգեցնում է ներդաշնակ տատանումների: Հասկանալի է, մեծ

դաշտերի դեպքում ուժը կախված է լինում նաև x -ի բարձր աստի-

ճաններից՝

...)( 32 bxaxkxxf : (5.3)

Հաշվի առնելով (5.3)-ը` արտաքին լուսային դաշտի առկայու-

թյամբ էլեկտրոնի շարժման հավասարման համար այժմ կարելի է

գրել

Fbxaxkxdt

dx

dt

xdm ...32

2

2

: (5.4)

Այստեղ m -ը էլեկտրոնի զանգվածն է, -ն՝ մարումը (ճառա-

գայթային կորուստները) նկարագրող անդամը, ,...,, bak -ն ֆենոմե-

նոլոգիական գործակիցներ են, qEF -ն էլեկտրոնի վրա լուսային

դաշտի կողմից ազդող պոնդերոմոտորային ուժը:

65

Դիտարկենք այն դեպքը, երբ միջավայրի վրա ընկնում են երկու

մոնոքրոմատիկ ալիքներ` 1 և 2 հաճախություններով: Նշանա-

կենք

m

b

m

a

m

k

m,,, 2

0,

իսկ 2

1

1( ) e . .

2ii t

ii

E t E c c

:

Այդ դեպքում (5.4) հավասարումը կարելի է ներկայացնել հե-

տևյալ տեսքով՝

2 20 ( )

qx x x x E t

m : (5.5)

Նկատենք, որ այստեղ սահմանափակվել ենք միայն քառակու-

սային ոչ գծայնության հաշվառմամբ: Քանի որ անհարմոնիկ գումա-

րելին պետք է լինի շատ փոքր ( xx 20

2 ), այս հավասարումը

կարելի է լուծել խոտորումների մեթոդով՝

...)3()2()1( xxxx : (5.6)

Այդ դեպքում միջավայրում մակածված բևեռացման համար կա-

րելի է ուղղակի գրել

)3()2()1()3()2()1( PPPNqxNqxNqxNqxP : (5.6ա)

Բաց թողնելով հաշվարկի մանրամասները` հաջորդական մո-

տավորությունների համար կստանանք.

Առաջին մոտավորություն: Համապատասխանում է (5.5) հա-

վասարման լուծմանը, երբ արհամարհվում է 2x ոչ գծային գումարե-

լին (1) (1) (1)

1 2( ) ( ) .x x x c c . ,

որտեղ

]exp[)(

)(22

0

)1( tii

Emqx i

ii

ii

: (5.7)

66

Երկրորդ մոտավորություն: Լուծումն այս մոտավորությամբ

ստացվում է, եթե (5.5) հավասարման մեջ 2x -ն փոխարինվում է 2)1( ][x -ով: Այն ունի հետևյալ տեսքը՝

(2) (2) (2) (2)1 2 1 2 1

(2) (2)2

( ) ( ) (2 )

(2 ) (0) . .

x x x x

x x c c

, (5.8)

որտեղ 2

(2) 1 2 1 21 2 2 2 2 2 2 2

0 1 1 0 2 2 0 1 2 1 2

2 2(2)

2 2 2 2 20 0

2(2)

2 2 20 0 1 1 0

( ) exp[ ( ) ]( ) (5.8 )

( )( )[ ( ) ( ) ]

( ) exp[ 2 ](2 ) (5.8 )

2( ) ( 4 2 )

( ) 1 1(0)

i ii

i i i i

q m E E i tx

i i i

q m E i tx

i i

q mx

i

³

μ

2 22 2

: (5.8 )i

·

Նման ճանապարհով կարելի է գտնել նաև լուծումն ավելի

բարձր մոտավորությունների դեպքում: Ինչպես հետևում է (5.8) լու-

ծումից, երկրորդ մոտավորության գումարելիները նկարագրում են

գումարային և տարբերությունային հաճախության գեներացիան

(5.8ա), երկրորդ հարմոնիկի գեներացիան (5.8բ), օպտիկական դե-

տեկտումը կամ հաստատուն դաշտի մակածումը միջավայրի վրա

ընկնող լույսի ազդեցությամբ (5.8գ): 2x գումարելու փոքրության

մասին ենթադրությունը համարժեք է E դաշտի փոքրության մասին

ենթադրությանը, ինչը թույլ է տալիս )(EPP բևեռացումը շարքի

վերածել ըստ E դաշտի աստիճանների: Կարելի է գնահատել )(nP

բևեռացման փոքրացումը ոչ գծայնության կարգի մեծացմանը զու-

գընթաց: Երբ լուսային դաշտի ազդեցությամբ էլեկտրոնի շեղումը

դառնում է այնքան մեծ, որ հարմոնիկ ( x20 ) և անհարմոնիկ ( 2x )

փոխազդեցություները նկարագրող անդամները դառնում են նույն

կարգի՝

xx 20

2 ~ կամ /~ 20x ,

ապա այդ երկու գումարելին էլ դառնում են էլեկտրոնին ատոմում

պահող ուժի կարգի՝

67

qE³ï ~ xm 20 ~

40

202

0

mm (5.9)

Այստեղից դժվար չէ գտնել, որ 40~

mE

q

³ï : (5.10)

Oգտվելով )1(P և

)2(P -ի վերևում ստացված (5.6ա)-(5.8) և (5.10)

արտահայտություններից` ոչ ռեզոնանսային 2,10 դեպքում

կարող ենք գրել ՝ (2)

(1) 40

~P qaE E

P m E

³ï

: (5.11)

Նման ճանապարհով կարելի է ցույց տալ, որ ընդհանուր դեպ-

քում նույնպես ( 1)

( )~

n

n

P E

P E

³ï

: (5.12)

Այսպիսով՝ /E E³ï պարամետրը հենց խոտորումների մեթոդի

վերլուծության պարամետրն է: Վերևում բերված գնահատականների

համաձայն՝ 9~10E³ï ì / ëÙ է: Մյուս կողմից, I 2ìï /ëÙ~ 2.5 ինտեն-

սիվությամբ փնջի համար, համաձայն (2.2) բանաձևի՝ ì/ëÙ30~E :

Ուստի, 7/ 10E E ~³ï : Սա նշանակում է, որ ոչ գծային երևույթները

դիտելու համար անհրաժեշտ են մեծ ինտենսիվության լազերներ:

Հարկ է նկատել, որ (5.12) արտահայտությունը, ինչպես նշվեց

վերևում, ճիշտ է ռեզոնանսից հեռու տիրույթներում: Ռեզոնանսային

հայտարարների գոյությամբ պայմանավորված` 2,10 ~ դեպքում

/// )()1( nn PP հարաբերությունը կտրուկ աճում է՝

iii im

Nq

220

2)1( 1

)(

)()()(),( )1()1()1(32

)2(jijiji qN

m :

68

Հետևաբար, ռեզոնանսների մոտակայքում ոչ գծային էֆեկտնե-

րը կարելի է դիտել զգալիորեն փոքր ինտենսիվությունների դեպքում:

§5.2. Կողմնորոշումային (օրիենտացման) մեխանիզմ

Ոչ գծայնության կողմնորոշումային մեխանիզմի քննարկումը

սկսենք դասական համանմանից, այսինքն՝ անդրադառնանք կողմ-

նորոշումային բևեռացվելիությանը արտաքին ստատիկ էլեկտրական

դաշտում:

Սենյակային ջերմաստիճանում ջրի ստատիկ դիէլեկտրական

թափանցելիությունը 81-է, իսկ օպտիկական հաճախությունների տի-

րույթում՝ 1,77: Այս տարբերությունը հիմնականում պայմանավորված

է կողմնորոշումային բևեռացվելիությամբ, որը, լինելով արդյունավետ

ցածր հաճախականային տիրույթում, զգալիորեն փոքր ներդրում է

ունենում օպտիկական տիրույթում: Անդրադառնանք այս հարցին

քիչ ավելի մանրամասն:

Սեփական դիպոլային մոմենտների առկայությամբ արտաքին

էլեկտրաստատիկ դաշտի ուղղությամբ դիպոլների լիակատար կողմ-

նորոշմանը խոչնդոտում է ջերմային շարժումը: Դիպոլային p մո-

մենտով մոլեկուլի պոտենցիալ էներգիան E

լարվածությամբ էլեկտ-

րաստատիկ դաշտում հավասար է

cosU p E pE

, (5.13)

որտեղ -ով նշանակված է դաշտի լարվածության և մոլեկուլի դիպոլ

մոմենտի կազմած անկյունը: Համապատասխանաբար, միջավայրի

բևեռացումը կարելի է ներկայացնել

cosP Np (5.13ա)

տեսքով: ԱյստեղN -ով նշանակված է մոլեկուլների թիվը միավոր

ծավալում, իսկ անկյունային փակագծերով՝ միջինացումը, ըստ մոլե-

կուլների տարածական բաշխվածության, ջերմային հավասարա-

69

կշռության վիճակում: Համապատասխանաբար, cos -ն կարելի է

գտնել Բոլցմանի բաշխման օգնությամբ՝ ( )/

( )/

coscos

U kT

U kT

e d

e d

: (5.14)

Այստեղ ինտեգրումը կատարվում է ըստ լրիվ մարմնային ան-

կյան, իսկ k -ն Բոլցմանի հաստատունն է: Խնդրի սիմետրիայից

ակնհայտ է, որ dd sin2 : Համառոտության համար նշանա-

կելով cos ,s x pE kT ՝ կստանանք՝

11 1 1

1 1 1cos ln

1ln ln

sx sx sx

x x

dse ds e ds e ds

dxd d

e e x cthx L xdx dx x

: (5.14ա)

Այսպիսով՝ cos արտահայտվում է Լանժևենի ֆունկցիայով,

որը ներկայացված է Նկ. 5.3-ում: Ինչպես երևում է նկարից, pE kT?

դեպքում դիտվում է հագեցում:

Առավել հետաքրքրություն է ներկայացնում pE kT= դեպքը:

Այսպես, օրինակ, 3000E : Վ/սմ լարվածության, 2910p : Կլ*մ և սե-

նյակային ջերմաստիճանում 1 4000x pE kT , հետևաբար, 1x=

դեպքում կարելի է գրել 31

; ( )3 45 3 3

x x x pEcthx L x

x kT : (5.14բ)

Համապատասխանաբար, միջավայրի բևեռացումը կներկայաց-

վի հետևյալ տեսքով՝

2

cos3

Np EP Np

kT : (5.15)

Այսպիսով՝ կողմնորոշումային բևեռացվելիության համար (մեկ

մոլեկուլին բաժին ընկնող միջին բևեռացումը) կլինի

2

3d

p E

kT : (5.15ա)

70

Նկ. 5.3. Լանժևենի L x ֆունկցիայի գրաֆիկը: Կոորդինատների

սկզբնակետում կորի թեքությունը պատկերված է ընդհատ գծով:

Նկատենք, սենյակային ջերմաստիճանում կողմնորոշումային և

էլեկտրոնային բևեռացվելիությունների մեծությունները նույն կարգի

են:

Նկ. 5.4-ում, որպես օրինակ, բերված է մեթանային շարքի միա-

ցություններից գազային վիճակում գտնվող մեթիլքլորիդի 3CH Cl -ի

2

2

1

2 m d

nV

n

:

մոլյար բևեռացվելիության (mV -ը մոլային ծավալն է) կախվածությու-

նը հակադարձ բացարձակ ջերմաստիճանից: Շրջանակներով պատ-

կերված են փորձարարական կետերը: Ինչպես երևում է նկարից, այն

լիովին համապատասխանում է ստացված (5.15ա) օրինաչափու-

թյանը:

Անիզոտրոպ, այսինքն՝ թենզորական բևեռացվելիություն ունե-

ցող մոլեկուլներից բաղկացած հեղուկները սովորաբար ունեն մեծ ոչ

գծայնության գործակիցներ: Նման միջավայրերի ոչ գծայնությունը,

ի տարբերություն նախորդ դեպքի, պայմանավորված է արտաքին

լուսային դաշտի էլեկտրական բաղադրիչի երկայնքով մոլեկուլների

կողմնորոշմամբ:

71

Նկ. 5.4. Գազային վիճակում գտնվող բևեռային մեթիլքլորիդի 3CH Cl մոլային

բևեռացվելիության կախվածությունը հակադարձ բացարձակ ջերմաստիճանից:

Բաց շրջանները փորձարարական կետերն են:

Որպես օրինակ դիտարկենք ծծմբածխածնի 2CS (Նկ. 5.5ա.)

մոլեկուլը (պտտման էլիպսոիդ): Ինչպես երևում է Նկ. 5.5ա-ից

13 : Որպես հետևանք, խախտվում է P

և E

վեկտորների զուգա-

հեռությունը (տես Նկ. 5.5բ) և մակածված դիպոլային մոմենտը շեղ-

ված է մոլեկուլի սիմետրիայի առանցքի ուղղությամբ: Ազդող պտտ-

ման

Ep

(5.16)

մոմենտը ձգտում է մոլեկուլները կողմնորոշել դաշտի երկայնքով: Լի-

ակատար կողմնորոշմանը խոչընդոտում է մոլեկուլների ջերմային

շարժումը: Կողմնորոշման աստիճանը նկարագրելու համար կարելի

է օգտվել Բոլցմանի բաշխումից: Հաշվենք այդպիսի մոլեկուլի պո-

տենցիալ էներգիայի արժեքը կիրառված արտաքին էլեկտրական

դաշտում:

72

Նկ. 5.5 ա) Ծծմբածխածնի մոլեկուլի տեսքը (պտտման էլիպսոիդ)

բ) Լուսային դաշտի Eբաղադրիչով մակածված P

դիպոլային մոմենտը:

Կիրառված դաշտի արժեքը Ed

-ով փոխելու դեպքում կողմնո-

րոշումային պոտենցիալ էներգիան փոխվում է

1 1 3 3dU p dE p dE p dE

(5.17)

չափով: Հաշվի առնենք, որ ,i i ip E որտեղ 3,1i : Տեղադրելուց և

ինտեգրելուց հետո ստանում ենք

)(2

1 233

211 EEU : (5.18)

Ձևափոխենք այս արտահայտությունը` ներմուծելով E

վեկտո-

րի և մոլեկուլի գլխավոր առանցքի կազմած անկյունը (տես Նկ.

5.5բ): Այդ դեպքում կողմնորոշումային պոտենցիալ էներգիայի (5.18)

արտահայտությունը ներկայացվում է հետևյալ տեսքով՝

Նկ. 5.6. Մոլեկուլի պոտենցիալ էներգիան` պայմանավորված դաշտի

նկատմամբ ունեցած կողմնորոշմամբ:

73

2 2 2 21 3

2 2 21 3 1

1( sin cos )

21 1

cos2 2

U E E

E E

: (5.19)

Քանի որ ծծմբածխածնի դեպքում 013 , ապա պոտեն-

ցիալ էներգիան նվազագույնն է 0 (դաշտը զուգահեռ է մոլեկուլի

առանցքին) և առավելագույնն է` / 2 (դաշտն ուղղահայաց է

մոլեկուլի առանցքին) դեպքերում (տես Նկ. 5.6):

Այս քննարկումը վերաբերում էր էլեկտրաստատիկ դաշտերին:

Լուսային դաշտերի դեպքին անդրադառնալու համար փոխարինենք

ստատիկ E

դաշտը ժամանակի ընթացքում փոփոխվող )(tE

լու-

սայինով: Դաշտի քառակուսուն համեմատական գումարելիները

(տես (5.19)) պարունակում են զրո և կրկնակի հաճախությամբ բա-

ղադրիչներ: Քանի որ մոլեկուլների կողմնորոշման ռելաքսացիոն

պրոցեսները մի քանի պիկովայրկյանի կարգ են, երկրորդ հարմոնի-

կի ազդեցությունն արհամարհելի փոքր է և կարելի է անտեսել: Աս-

վածից հետևում է, որ անցումը ստատիկից լուսային դաշտի համար-

ժեք է (5.19)-ում 2E -ն )(2 tE -ով փոխարինելուն:

Այժմ անդրադառնանք արտաքին լուսային դաշտում տեղակայ-

ված հեղուկի բեկման ցուցչի հաշվարկին: Համաձայն սահմանման՝

Nn 4141 )1(2 : (5.20)

Այստեղ N -ը ատոմների թիվն է միավոր ծավալում, իսկ -ն`-

մեկ մոլեկուլի, ըստ կողմնորոշման, միջինացված բևեռացվելիությու-

նը: Ինչպե՞ս կարելի է գտնել : Համաձայն (5.19)-ի` կողմնորոշու-

մային փոխազդեցության միջինացված պոտենցիալ էներգիան կա-

րելի է ներկայացնել

2

2

1EU (5.21)

տեսքով, որտեղ

74

2 2 21 3 1 3 1sin cos ( ) cos : (5.21ա)

Համապատասխանաբար, 2cos -ն կարելի է գտնել Բոլցմանի

բաշխման օգնությամբ՝

de

dekTU

kTU

/)(

2/)(

2cos

cos

: (5.22)

Այստեղ ինտեգրումը կատարվում է ըստ լրիվ մարմնային ան-

կյան: Այս դեպքում նույնպես ակնհայտ է, որ dd sin2 : Հա-

մառոտության համար սահմանենք ինտենսիվության պարամետրը՝

kT

tEJ

)()(

2

1 2

13 :

Համապատասխանաբար՝

0

2

2

0

2

2

sin)cosexp(

sin)cosexp(cos

cos

dJ

dJ: (5.23)

(5.20) և (5.23) արտահայտությունները թույլ են տալիս գտնել լու-

սային դաշտում մոլեկուլների կողմնորոշմամբ պայմանավորված

բեկման ցուցչի արտահայտությունը:

Նախ անդրադառնանք թույլ օպտիկական դաշտերի դեպքին

( 0J ): Հեշտ է տեսնել, որ այդ դեպքում

3

1

sin

sincos

cos

0

0

2

0

2

d

d

և, համաձայն (5.21ա) արտահայտության՝

310 3

1

3

2 :

Վերջնականորեն (5.20) արտահայտությունից բեկման ցուցչի

համար ստանում ենք

75

31

20 3

1

3

241 Nn : (5.24)

Ստացված արտահայտությունն ունի պարզ ֆիզիկական մեկ-

նաբանություն: Փոխազդեցության բացակայության պայմաններում

միջին բևեռացվելիությունը համապատասխան թենզորի գլխավոր

արժեքների միջին թվաբանականն է:

Այն դեպքերում, երբ լուսային դաշտերն արհամարհել հնարա-

վոր չէ, (5.21ա) և (5.23) արտահայտություններից ստանում ենք

2 2 20 3 1

14 cos

3n n N

: (5.25)

Նկ. 5.7. 31cos2 ֆունկցիայի J պարամետրից կախվածությունը

պատկերող դիագրաման: Նկատենք, որ մինչև 5J արժեքը կախվածությու-

նը համարյա գծային է:

Նկատենք, սովորաբար 20

20

2 nnn , ուստիև կարելի է կա-

տարել հետևյալ ձևափոխությունը՝

)(2))(( 000020

2 nnnnnnnnn :

Այստեղից էլ բեկման ցուցչի լուսային դաշտով պայմանավոր-

ված փոփոխության համար ստանում ենք

76

20 3 1

0

2 1cos

3

Nn n n

n

: (5.26)

Նկ. 5.7-ում պատկերված է 31cos2 ֆունկցիայի կախվա-

ծությունը ինտենսիվության J պարամետրից: Ինչպես երևում է նկա-

րից, այս դեպքում ևս առկա է կողմնորոշումային բևեռացվելիության

հագեցումը և կախվածությունը հակադարձ բացարձակ ջերմաստի-

ճանից:

Բեկման ցուցչի փոփոխության անալիտիկ արտահայտությունը

ստանալու համար (5.23)-ում վերլուծենք )cosexp( 2 J արտահայ-

տությունը շարքի և ինտեգրենք: Կստանանք

...945

8

45

4

3

1cos

22

JJ :

Բեկման ցուցչի փոփոխության համար վերջնականորեն ստա-

նում ենք

2

2

0 3 10

4 ( )

45

N E tn n n

n kT

: (5.27)

Սահմանենք կողմնորոշումային ոչ գծայնության գործակիցը

հետևյալ առնչությամբ՝

2

3 12

0

4

45

Nn

n kT

: (5.27ա)

Այդ դեպքում կարող ենք գրել

)(220 tEnnn : (5.27բ)

Ինչպես հետևում է (5.27ա) արտահայտությունից, այս դեպքում

նույնպես կողմնորոշումային հավելումը համեմատական է բացար-

ձակ ջերմաստիճանի հակադարձ մեծությանը:

Անդրադառնանք նաև թվային գնահատականներին: Բեկման

ցուցչի փոփոխության առավելագույն հնարավոր արժեքը հավասար

է 0.58 (համապատասխանում է բոլոր մոլեկուլների լիակատար կողմ-

նորոշմանը): Այսպես, օրինակ, ծծմբածխածնի (2CS ) համար 1J

77

արժեքը համապատասխանում է 9103 Վ/մ լարվածությամբ լուսա-

յին դաշտերին: Այդ դեպքում դժվար չէ գնահատել, որ 22

2 3 10n : մ2/Վ:

§5.3. Ջերմային մեխանիզմ

Ոչ գծայնության տարածված մեխանիզմներից է նաև ջերմային

երևույթներով պայմանավորվածը: Անդրադառնանք այդ մեխանիզմի

էությանը: Միջավայրով տարածման ընթացքում լազերային լույսի ո-

րոշակի մասը կլանվում է: Որպես հետևանք բարձրանում է լուսավոր-

ված հատվածի ջերմաստիճանը, ինչն էլ փոխում է բեկման ցուցիչը:

Գազերի դեպքում բեկման ցուցիչը միայն կարող է նվազել, իսկ կոն-

դենսացված միջավայրերի դեպքում կամ աճել, կամ նվազել` կախ-

ված միջավայրի հատկություններից: Հաշվի առնելով ջերմաստիճա-

նային գործակցի փոքր լինելու հանգամանքը՝ բեկման ցուցչի ջեր-

մաստճանային կախվածությունը կարելի է ներկայացնել հետևյալ

շարքի տեսքով՝

00

0

)( TTT

nnTn

T

, (5.28)

որտեղ 0T -ն միջավայրի ջերմաստիճանն է լուսային դաշտի բացա-

կայությամբ, T -ն՝ լազերային փնջով լուսավորելիս: Ջերմաստիճանի

0TTT տարբերության վարքը կարելի է նկարագրել ջերմահա-

ղորդականության

0 ( , )T

C T I r tt

(5.29)

հավասարմամբ: Այստեղ -ն ջերմահաղորդման գործակիցն է,

C0 -ն՝ միավոր ծավալի ջերմունակությունը, -ն՝ կլանման գործա-

կիցը, իսկ ),( trI -ն՝ լազերային փնջի ինտենսիվությունը:

78

Նախապես գնահատենք միջավայրի ջերմային արձագանքի

հաստատման ժամանակը ( ) : Դրա համար կատարենք հետևյալ

փոխարինումները՝

T

t

T

; 2R

TT

,

որտեղ R -ը՝ լազերային փնջի շառավիղն է: Այստեղից ստանում ենք

2

0 RC : (5.30)

Կատարենք թվային գնահատականներ (5.30) արտահայտու-

թյունում առկա մեծությունների բնութագրական արժեքների (ասենք,

օրինակ, հալված սիլիցիում) համար՝ 6 30 10C æ /Ù Î ;

1 ìï / Ù Î ; 1R մմ: Կստանանք 1 վ: Միայն լավ կոլիմաց-

ված փնջերի դեպքում ( 10R մկմ) 100 մկվ: Սահմանափակվենք

կարճ լազերային իմպուլսների դեպքով, երբ իմպուլսի p տևողու-

թյունը (սովորաբար 10-3-ից 10-9վ կարգի) չափազանց փոքր է ջեր-

մային արձագանքի հաստատման ժամանակից p: Այդ դեպ-

քում (5.29) հավասարումը կարելի է ներկայացնել հետևյալ տեսքով՝

)(0 tIt

TC

: (5.31)

Ինտեգրելուց հետո ստանում ենք

p

dttIC

T

00

)( : (5.32)

Ընդունենք լազերային իմպուլսն ուղղանկյունաձև է, այսինքն՝

0; 0

( )0;

p

p

I tI t

t

: (5.32ա)

Այդ դեպքում լազերային իմպուլսի ազդեցությամբ մակածված

ջերմաստիճանի փոփոխությունը կլինի

79

pC

IT

0

0 : (5.32բ)

Վերջնականորեն ստանում ենք

02000

0

0

)( InnICT

nnTn p

T

, (5.33)

որտեղ ոչ գծայնության 2n գործակիցը

CT

nn p

T 02

0

:

Գնահատենք ստացված մեծությունը (նույն հալված սիլիցիումի

դեպքում): Քանի որ

6 30 ~ 10C æ /Ù Î ;

T

n

T

1-Î510~0

; 1210~ Ù ,

ապա ջերմային ոչ գծայնությամբ պայմանավորված 2n գործակցի

համար ստանում ենք 2

92 ~ 10 pn

Ù

æ:

Ջերմային երևույթների բնորոշ առանձնահատկությունը նրանց

ինտեգրալային բնույթն է, այսինքն՝ կախվածությունը լազերային իմ-

պուլսի ոչ թե հզորությունից, այլ էներգիայից ( 0p I ): Հիշեցնենք, որ

ոչ գծայնության կողմնորոշումային մեխանիզմի (Քերրի ոչ գծայնու-

թյուն) դեպքում, համաձայն (5.27ա) արտահատության, ոչ գծային

հավելումը համեմատական էր լույսի ինտենսիվությանը:

Անդրադառնանք նաև ոչ գծայնության ջերմային մեխանիզմին

անընդհատ լազերային փնջերի դեպքում: Ջերմահաղորդականու-

թյան (5.29) հավասարման համար կարող ենք գրել

),( trIT , (5.34)

քանի որ tT ածանցյալը դեր չի խաղում կայունացված պրոցես-

ների դեպքում: (5.34) հավասարումը կարելի է լուծել լազերային փն-

80

ջի ինտենսիվության ցանկացած ),( trI բաշխվածության դեպքում,

սակայն մեր նպատակների համար բավարար է կատարել թվային

գնահատականներ: Փոխարինենք (max) 2~ /T T R -ով, կստանանք

2

(max)

(max)

RIT : (5.34ա)

Այստեղ (max)

I լազերային փնջի ինտենսիվությունն է կենտրոնում

(տես Նկ. 5.8), իսկ R -ը` փնջի շառավիղը:

Նկ. 5.8. Ջերմային ոչ գծայնության երևույթի նկարագրման երկրաչափությունը:

Համաձայն (5.28), (5.34) և (5.34ա) հավասարումների՝ կարող

ենք գրել

2(max)

0

RI

T

nn

T

: (5.35)

Սահմանենք այս դեպքի համար ջերմային ոչ գծայնության գոր-

ծակիցը (max)

2Inn (5.35ա)

առնչությամբ: Կստանանք

2

2

0

R

T

nn

T

: (5.36)

Նկատենք, այս գործակիցը զուտ նյութի բնութագրական մեծու-

թյուն չէ, քանի որ կախված է նաև փնջի չափերը բնութագրող պարա-

մետրից: (5.36) օգնությամբ գնահատենք ոչ գծայնության 2n գոր-

ծակցի կարգը: Օգտվելով պարամետրերի հետևյալ արժեքներից՝

81

T

n

T

;10~ 5

0

1-Î

11~ ëÙ , 1 1 ,R

ìïÙÙ;

Ù Î

ստանում ենք

ìïëÙ252 10n :

Նույնիսկ փոքր չափերով փնջերի ( ÙÏÙ10R ) և փոքր կլանման

գործակցի ( 101.0~ ëÙ ) դեպքում ոչ գծայնության գործակիցը դեռևս

զգալի է ìïëÙ2112 10n : Այս արդյունքները վկայում են, որ անընդ-

հատ լազերային փնջերի դեպքում ջերմային էֆեկտները գերակա-

յում են:

§5.4. Ամփոփում

Բազամաթիվ և բազմաբնույթ են այն մեխանիզմները, որոնք կա-

րող են տարբեր միջավայրերում մակածել ոչ գծային ընկալունակու-

թյուններ: Առաջին հերթին դրանք պայմանավորված են ուսումնա-

սիրվող նյութի տեսակով: Կարևոր է նաև այն ոչ գծային օպտիկա-

կան երևույթը, որն օգտագործվում է տվյալ ոչ գծային ընկալունակու-

թյունն ուսումնասիրելու համար: Բնական է, որ անդրադառնալ բոլոր

հնարավոր մեխանիզմներին մեկ ձեռնարկի սահմանում հնարավոր

չէ, ուստիև այս թեմայում ներկայացված են դրանցից առավել տա-

րածվածները.

Անհարմոնիկ օսցիլյատորի մեխանիզմ

Քերրի մեխանիզմ

Ջերմային մեխանիզմ

Քննարկված են նրանց առաջացման համար անհրաժեշտ պայ-

մանները, ներկայացված են նկարագրող մոդելները, ինչպես նաև

գնահատված է դրանց մեծության կարգը:

82

ՄԱՍ II

ԸՍՏ ԴԱՇՏԻ ՔԱՌԱԿՈՒՍԱՅԻՆ ԿԱՐԳԻ ԵՐԵՎՈՒՅԹՆԵՐ

ԹԵՄԱ 6. ԵՐԿՐՈՐԴ ՀԱՐՄՈՆԻԿԻ ԳԵՆԵՐՈՒՄ (ԵՀԳ)

§6.1. Երկրորդ հարմոնիկի գեներում (փորձարարական դիտում)

ԵՀԳ-ն առաջին ոչ գծային օպտիկական երևույթն է, որ դիտվել է

1961 թվականին Պ. Ֆրանկենի կողմից` լազերների հայտնագործու-

մից անմիջապես հետո: Պարզագույն սարքը, որի օգնությամբ կարե-

լի է դիտել այս երևույթը, հետևյալն է (տես Նկ. 6.1): Ռուբինային լա-

զերի ճառագայթման կարմիր փունջը ( 6943Ao

) ոսպնյակի օգնու-

թյամբ ֆոկուսացվում էր քվարցի բյուրեղի ներսում: Ոչ գծային փո-

խազդեցության հետևանքով նրանում առաջանում էր կիսալիքի եր-

կարությամբ ( 2 1 / 2 3471,5Ao

) կապտամանուշակագույն ճա-

ռագայթում: Հիմնական և երկրորդ հարմոնիկի ճառագայթումները

տարանջատվում էին դիսպերսող պրիզմայի օգնությամբ և ընկնում

էկրանին (կամ գրանցող սարքի վրա): Նախնական փորձերում փո-

խարկման գործակիցն աննշան փոքր մեծություն էր (10-8 կարգի):

Հետագայում (1963թ.) այն կազմում էր 20-30%:

Նկ. 6.1. Երկրորդ հարմոնիկի գեներման սարքի սխեմատիկ պատկերը:

83

Դիտարկենք մեծ ինտենսիվություն ունեցող 1 հաճախության

հարթ

kxtEE cos01 (6.1)

ալիքի անցումը L հաստության բյուրեղական թիթեղով (Նկ. 6.2):

Ուժեղ լուսային դաշտի փոխազդեցությունը միջավայրի հետ ֆենոմե-

նոլոգիական մոտավորության սահմաններում կնկարագրվի (2.4)

բանաձևով: E)1( գումարելին կապահովի վերաճառագայթումը

սկզբնական հաճախությամբ: Դժվար չէ համոզվել, որ

2 (2) 2 (2) 2 21 0

(2) 2 (2) 20 0

cos

1 1cos 2 2

2 2

P E E t kx

E E t kx

: (6.2)

Սա նշանակում է, որ (6.2) արտահայտությունը պարունակում է

2 հաճախություն ունեցող գումարելի (տես Նկ. 6.2), այսինքն՝ հիմ-

նական հաճախության երկրորդ հարմոնիկը:

Նկ. 6.2. Երկրորդ հարմոնիկի գեներացիան:

Այս պրոցեսն ակնառու կարելի է մեկնաբանել որպես դաշտի

տարբեր հաճախությամբ ֆոտոնների միջև էներգափոխանակության

պրոցես: Համաձայն այս պատկերացման (տես Նկ. 6.3)՝ հաճա-

խության երկու ֆոտոն ոչնչանում են: Փոխարենը ոչ գծային փոխազ-

դեցության արդյունքում ծնվում է 2 հաճախության մեկ ֆոտոն:

84

Նկ. 6.3 բ-ում հոծ գիծը համապատասխանում է ատոմական հիմնա-

կան մակարդակին, իսկ ընդհատ գծերը` այսպես կոչված վիրտուալ

էներգիական մակարդակներին:

Նկ. 6.3. Երկրորդ հարմոնիկի գեներացիայի երկրաչափական պատկերումը

(ա): ԵՀԳ պատկերումը էներգիական դիագրամի օգնությամբ (բ):

Այս և ստորև ներկայացվող երևույթների մանրամասն էլեկտրա-

դինամիկական նկարագրությանը կանդրադառնանք հետագայում:

§6.2. Փուլային սինքրոնության պայմանը և

իրականացման մեթոդները

Այժմ մի փոքր ավելի մանրամասն անդրադառնանք երկրորդ

հարմոնիկի գեներացիային: (6.2) արտահայտության երկրորդ գու-

մարելին համապատասխանում է 22 կրկնակի հաճախու-

թյամբ փոփոխվող բևեռացման ալիքին:

Համաձայն սահմանման՝ բևեռացման ալիքի տարածման փու-

լային արագությունը կլինի

)(2

2v

n

c

kkµ : (6.3)

85

Բևեռացման այդ ալիքը միջավայրում մակածում է 22

հաճախությամբ և 2k ալիքային թվով օպտիկական ալիքը, որի արա-

գությունը

22

2

v(2 )

c

k n

(6.3ա)

դիսպերսիայի հետևանքով տարբերվում է հիմնական հաճախության

ալիքի փուլային արագությունից և հավասար է

2v v µ : (6.3բ)

Որպես հետևանք, ոչ գծային միջավայրի տարբեր կետերում

արձակված երկրորդ հարմոնիկի ալիքները լինում են տարբեր փուլե-

րում: Այդ ալիքների ինտերֆերումը հենց հանգեցնում է երկրորդ

հարմոնիկի ալիքի ձևավորմանը: µvv2 դեպքում արդյունարար

ինտենսիվությունը կարող է փոփոխվել լրիվ մարումից մինչև առավե-

լագույն արդյունավետ փոխարկման արժեքների միջև: Բնական է, որ

2v v µ պայմանի բավարարման դեպքում սկզբունքորեն հնարավոր

է երկրորդ հարմոնիկի գեներման տարածական կուտակում: Ընդուն-

ված է այս պայմանը անվանել փուլային սինքրոնություն:

Անդրադառնանք փուլային սինքրոնության պայմանին: Ենթադ-

րենք հաճախության կրկնապատկումն իրականացվում է L երկա-

րությամբ բյուրեղում (Նկ. 6.4): Բյուրեղի ներսում որևէ z կետին հա-

սած քառակուսային բևեռացման ալիքի փուլը կլինի

kzt 22(z) : (6.4)

Այդ z կետում վերաճառագայթված լուսային ալիքի փուլը, որը

կհասնի բյուրեղի եզրին, կլինի

2 2

2

(z) (z) ( ) 2 2 ( )

2

k L z t kz k L z

t k L k z

: (6.5)

86

Նկ. 6.4. Երկրորդ հարմոնիկի գեներման փուլային սինքրոնության պայմանը:

kkk 22 մեծությունը կոչվում է փուլային ապալարք: Բյու-

րեղից դուրս եկող երկրորդ հարմոնիկի ալիքն այս բոլոր ալիքների

վերադրման արդյունքն է: Հետևաբար կարող ենք գրել

L

dzzAE0

2 )](cos[ , (6.6)

որտեղ A -ն եզրային պայմաններից որոշվող հաստատուն մեծու-

թյուն է և կախված չէ z -ից ու k -ից: Տեղադրելով (6.5)-ից (z) ար-

տահայտության արժեքը և ինտեգրելով՝ ստանում ենք

)2cos()2/sin(2

22 kLLktkLk

AE

: (6.6ա)

Փակագծում պարփակված անդամն մակածված երկորդ հարմո-

նիկի ալիքի լայնույթն է բյուրեղի ներսում: Համապատասխանաբար,

ինտենսիվության համար ստացվում է հետևյալ արտահայտությունը՝ 2

22 )2/(

)2/sin(

k

kLAI : (6.7)

Ինչպես հետևում է (6.7) արտահայտությունից՝ երկրորդ հարմո-

նիկի գեներման արդյունավետությունն անմիջականորեն պայմանա-

վորված է փուլային ապալարքով: Այն մոտ է առավելագույնին k

մեծության փոքր արժեքների դեպքում (տես Նկ. 6.5ա): Նկ. 6.5 բ-ում

87

պատկերված է երկրորդ հարմոնիկի ինտենսիվության կախվածու-

թյունը բյուրեղի L երկարությունից` տրված փուլային ապալարքի

դեպքում: Եթե 0k , այդ կախվածությունը պարաբոլական է (ոչ

շատ մեծ ինտենսիվությունների կամ երկարությունների դեպքում),

իսկ 0k արժեքների համար` ոչ մոնոտոն և դառնում է զրո

mkL 2 դեպքերում (m -ն ամբողջ թիվ է): Սա նշանակում է, որ

նման L երկարության դեպքում միջավայրի տարբեր կետերում ար-

ձակված երկրորդ հարմոնիկի ալիքները դեստրուկտիվ ինտերֆեր-

ման հետևանքով միմյանց մարում են: Միջավայրի L երկարության

մեծացմանը զուգընթաց մեծանում է երկրորդ հարմոնիկի ինտենսի-

վությունը, հասնելով իր առավելագույն արժեքին: Հետո սկսում է

նվազել մինչև զրո, երբ 2kL : Առավելագույն երկարությունը, ո-

րի դեպքում այդ ալիքները դեռևս միմյանց ուժեղացնում են (այսինքն՝

kL ), կոչվում է կոհերենտության երկարություն` lc : Հաշվի առ-

նելով փուլային ապալարքի

)()2(222 nn

ckkk (6.7ա)

արտահայտությունը` կոհերենտության երկարության համար ստա-

նում ենք

4 (2 ) ( )l

n n

c

: (6.7բ)

ա) բ)

Նկ.6.5.Երկրորդ հարմոնիկի ինտենսիվության փուլային ապալարքից (ա)

և բյուրեղի երկարությունից (բ) ունեցած կախվածությունը:

88

Այսպիսով՝ կոհերենտության երկարությունն այն երկարությունն

է, որի դեպքում ինտերֆերող ալիքների ընթացքների տարբերությունը

չի գերազանցում 2/ -ը: 0-ից մինչև lc երկարությունը հիմնական ա-

լիքի էներգիան անցնում է երկրորդ հարմոնիկին, իսկ lc -ից մինչև

2lc դիտվում է հակառակ երևույթը: Ինչպես երևում է (6.7բ) արտա-

հայտությունից՝ կոհերենտության երկարությունը ձգտում է անվեր-

ջության, երբ

)()2( nn կամ kk 22 : (6.8)

Այս դեպքում էներգիայի անցումը հիմնական ճառագայթումից

երկրորդ հարմոնիկ տեղի է ունենում առանձնահատուկ ուժգնու-

թյամբ: Երկու ալիքներն էլ տարածվում են միևնույն փուլային արա-

գությամբ և նրանց միջև փուլային առնչությունը պահպանվում է ամ-

բողջ տարածման ընթացքում: Այդ պատճառով (6.8) կոչվում է փու-

լային սինքրոնության պայման:

Նկատենք, որ քվանտային մոտեցման տեսակետից փուլային

սինքրոնության պայմանն ուղղակի իմպուլսի պահպանման օրենքն

է: Իրոք, այստեղ գործ ունենք հետևյալ պրոցեսի հետ, միջավայր են

ընկնում լույսի երկու քվանտ՝ էներգիայով և k

իմպուլսով: Մի-

ջավայրի հետ փոխազդեցության հետևանքով ձևավորվում է նորը`

2 էներգիայով և 2k

իմպուլսով: Էներգիայի պահպանման օրեն-

քի համաձայն + = 2 , որտեղից` 2 = 2 : Իսկ իմպուլսի

պահպանման օրենքից ունենք` k

+ k

= 2k

կամ 022 kkk

.

Մասնավորապես, եթե երեք քվանտն էլ տարածվում են նույն ուղղու-

թյամբ, ապա կստանանք (6.8) փուլային սինքրոնության պայմանը:

Հարկավոր է նկատի ունենալ, որ համաչափության (սիմետրիա-

յի) վերաբերյալ դատողություններից բխում է, որ իզոտրոպ նյութե-

րում, օրինակ՝ ապակի, երկրորդ հարմոնիկ չի կարող ստացվել, քանի

որ ինվերսիայի կենտրոն ունեցող նյութերի համար ինվերսիայի ձևա-

փոխության ժամանակ )2( -ը չի փոխում իր նշանը (տես §3.4): Բայց

89

այդպիսի ձևափոխության ժամանակ P

-ն և E

-ն փոխում են իրենց

նշանները, հետևաբար՝ 0)2( : Այսպիսով՝ երկրորդ հարմոնիկի գե-

ներացիայի համար պիտանի են միայն այն միջավայրերը, որոնք

չունեն ինվերսիայի կենտրոն (օրինակ` անիզոտրոպ նյութերը, էլեկտ-

րական, մագնիսական, գրավիտացիոն դաշտերում գտնվող ցանկա-

ցած միջավայր և այլն): Անիզոտրոպ նյութերում նորմալ դիսպերսի-

այի տիրույթում սովորական՝ on և անսովոր`

en ալիքների բեկման

ցուցիչներն աճում են հաճախության մեծացման զուգընթաց և տար-

բեր հաճախությունների համար բեկման ցուցիչների 2o o on n n ,

2e e en n n տարբերությունները զրոյից տարբերվող մեծություն-

ներ են: Հետևաբար՝ եթե հիմնական հաճախության և երկրորդ հար-

մոնիկի ալիքները միևնույն բևեռացման են, ապա 1 2/ 4( )o ol n n oc

և e1 2/ 4( )e el n n c շատ փոքր մեծություններ են` ~ 10-3սմ կարգի

(հիմնական ճառագայթի ալիքի երկարությունը վերցված է

1 մկմ):

Այսուհանդերձ, փուլային սինքրոնության )()2( nn պայ-

մանը կարող է իրականացվել, եթե փոխազդեն երկու տարբեր բևե-

ռացմամբ ալիքներ: Հիշենք, որ անիզոտրոպ միջավայրի բեկման ցու-

ցիչը, հետևաբար և ալիքի փուլային արագությունը, կախված են ոչ

միայն հաճախությունից, այլ նաև ալիքի բևեռացումից: Որպես օ-

րինակ դիտարկենք միառանցք բյուրեղ, որի գլխավոր հատույթի

հարթությանն ուղղահայաց բևեռացված ալիքի (սովորական ալիքի)

բեկման ցուցիչը՝ on -ն, կախված չէ ալիքի տարածման ուղղությու-

նից, մինչդեռ այդ հարթությունում բևեռացված ալիքի (անսովոր) en

բեկման ցուցչինը` կախված է: Համապատասխանաբար, անիզոտ-

րոպ բյուրեղի ալիքային մակերևույթների հատույթները տարբեր են

(շրջան` սովորական ալիքի համար և էլիպս՝ անսովորի):

90

Նկ. 6.6-ում պատկերված է միառանցք բյուրեղի բեկման ցու-

ցիչների ( nû

, en ), ( 2n

û,

e2n ) մակերևույթների հատույթները համա-

պատասխանաբար՝ հիմնական և երկրորդ հարմոնիկի ալիքների

համար: Եթե հիմնական հաճախության ալիքը սովորական է, իսկ

երկրորդ հարմոնիկը` անսովոր, այսինքն, դրանք տարբեր բևեռաց-

ման ալիքներ են, և եթե երկբեկումը բավականաչափ մեծ է (էլիպսը

բավականաչափ հեռու է շրջանից), ապա հնարավոր է e2n էլիպսի և

nû

շրջանի փոխհատում oz առանցքի նկատմամբ s անկյան տակ:

Հետևաբար, այդ ուղղությամբ լույսի տարածման դեպքում իրակա-

նացվում է սինքրոնության պայմանը` )()2( nn և կարող է ստա-

ցվել lc բավականաչափ մեծ արժեքներ: Այդ ուղղությունից չնչին շե-

ղումները հանգեցնում են կոհերենտության երկարության փոքրաց-

մանը:

Գիտենալով հիմնական ճառագայթման համար` nû

, en և երկ-

րորդ հարմոնիկի համար բեկման ցուցիչների 2n û

, e2n արժեքները,

e2 cn n û առնչությունից կարելի է հաշվել սինքրոնության

s

անկյունը: Իրոք, ելնելով փուլային սինքրոնության պայմանից, կա-

րող ենք գրել

2 2

2 2 2

2 2

cos sin1o o e

s s

n n n

:

Ձևափոխելով այս առնչությունը, կստանանք հետևյալ արտա-

հայտությունը՝

22 2 21 cos

ee

s

nn

, (6.9)

որտեղ 0 22 21 ( / )en n -ն էլիպսի էքսցենտրիսիտետն է:

91

Նկ. 6.6. Անիզոտրոպ բյուրեղում բեկման ցուցիչների ( nû

, en ), ( 2n

û, 2en )

մակերևույթների հատույթները հիմնական և երկրորդ հարմոնիկի ալիքների

համար:

Այսպիսով՝ տվյալ դեպքում դիտարկվում է e2 kkk ûû տեսքի

փոխազդեցություն, այսինքն, երբ հիմնական ճառագայթման երկու

սովորական ալիքների փոխազդեցությունից ծնվում է երկրորդ հար-

մոնիկի «անսովոր» ալիքը (կրճատ՝ փոխազդեցության այսպիսի տե-

սակը գրվում է՝ eoo կամ ooe ): Սինքրոն փոխազդեցության ան-

կյան արժեքը կստանանք (6.9) բանաձևից՝ 2e

2 ooe 2s 2

1cos 1

n

n

û: (6. 9ա)

ooe տեսակից բացի, KDP բյուրեղում սինքրոնություն հնարա-

վոր է նաև eeo 2 տեսակի փոխազդեցության համար: (6.7)

արտահայտությամբ ներկայացված անկյունային կախվածությունը

կարելի է ստուգել Նկ. 6.1-ում պատկերված սարքի միջոցով: Համա-

պատասխան չափումը պատկերված է Նկ. 6.7-ում:

92

Նկ. 6.7. Երկրորդ հարմոնիկի ինտենսիվության կախվածությունը

անկյունից:

Այս կախման մեջ մինիմումների միջև եղած հեռավորություննե-

րը հավասար են և որոշվում են ինտենսիվության զրո դառնալու պայ-

մանից՝

mnL ooe

1

2, (6. 10)

որտեղ m -ը ամբողջ թիվ է:

§6.3. Երկրորդ հարմոնիկի գեներում:

Կարճեցված հավասարումների համակարգ

Այժմ անդրադառնանք երկրորդ հարմոնիկի գեներման տեսա-

կան նկարագրությանը կապված ալիքային հավասարումների օգնու-

թյամբ: Օգտվենք §4.3-ում ԵՀԳ երևույթի նկարագրության համար

ստացված կապված ալիքային հավասարումների համակարգից

(կլանման բացակայությամբ)՝

11 1 2

22 1 1

( )( ) ( )

( )( ) ( )

i kz

i kz

dА zi A z А z e

dzdА z

i A z A z edz

: (6. 11)

93

Հավասարումների (6.11) համակարգն ամբողջացնելու համար

անհրաժեշտ է այն լրացնել նաև եզրային պայմաններով՝

1 10 20 0( ) ; ( ) 0

z zA z A A z

: (6.12)

Արդարացի լինելու համար պետք է նկատել, որ 2

2 20 1 100( ) 1

zA z A A

= : Ուստիև եզրային պայմանների (6.12)

տեսքը լիովին հիմնավորված է:

§6.4. Մղման տրված դաշտի մոտավորություն

Անդրադառնանք երկրորդ հարմոնիկի գեներացիային այն դեպ-

քում, երբ գեներացվող երկրորդ հարմոնիկի լայնույթը զգալիորեն

փոքր է հիմնական հարմոնիկի լայնույթից, այսինքն՝

2 1( ) ( )А z А z= : (6.13ա)

Նման մոտավորության սահմաններում կարելի է թույլ հետա-

դարձ ազդեցությունն անտեսել և ընդունել, որ

1 100( )

zA z A const

, (6.13բ)

այսինքն՝ հիմնական հարմոնիկի էներգիան կարելի է համարել ան-

սպառ: Այս մոտավորությանն ընդունված է անվանել տրված դաշտի

մոտավորություն և (6.11) համակարգի փոխարեն կարող ենք գրել

222 10

( ) i kzdА zi A e

dz : (6.14)

Ինտեգրելով վերջին հավասարումը՝ ստանում ենք

22 2 10

1 exp( )( )

i kzА z A

k

(6.15)

կամ

22 2 10( ) exp sin

2 2

i kz kzА z i A z c

: (6.15ա)

94

Այստեղ օգտագործված է sinc sin /x x x նշանակումը: Համա-

պատասխանաբար, երկրորդ հարմոնիկի մոդուլի համար կարող ենք

գրել

22 2 10

sin 2( )

2

kzА z A

k

: (6.15բ)

Հեշտ է տեսնել, որ փուլային սինքրոնության պայմանի բավա-

րարման դեպքում 0k երկրորդ հարմոնիկի լայնույթի մոդուլի

կախվածությունը z կոորդինատից գծային է (տես Նկ. 6.8, 1 գրա-

ֆիկը)՝ 2

2 2 10( )А z A z : (6.15գ)

Հարկ է հաշվի առնել, սակայն, որ (6.13ա) սահմանափակմամբ

պայմանավորված, (6.15բ) արտահայտությունը կիրառելի է nlz L=

հեռավորությունների դեպքում, որտեղ

1

2 10nlL A

: (6.16)

Ինչպես երևում է Նկ. 6.8-ից, nlL L հեռավորությունների վրա

փոխարկված երկրորդ հարմոնիկի ինտենսիվությունը կարող է դառ-

նալ զգալի և (6. 11) համակարգի առաջին հավասարման անտեսումը

կհանգեցնի սխալ արդյունքի:

Նկ. 6.8. Երկրորդ հարմոնիկի լայնույթի կախվածությունը տարածական

կոորդինատից՝ տրված դաշտի մոտավորությամբ:

95

Եթե փուլային սինքրոնության պայմանը բավարարված չէ

0k , երկրորդ հարմոնիկի գեներացիան կրում է բաբախումների

բնույթ (տես Նկ. 6.8, 2 գրաֆիկը): Հեռավորությունը, որի վրա երկ-

րորդ հարմոնիկի լայնույթը հասնում է առաջին առավելագույն արժե-

քին կոչվում է, ինչպես արդեն նշվել է, կոհերենտության երկարու-

թյուն՝

4 (2 ) ( )cL k

: (6.17)

Դաշտի առավելագույն արժեքը այդ հեռավորության վրա կլինի

2

2 102,max

2 (2 ) ( )c

AA L

: (6.18)

Դժվար չէ վերը ստացված արտահայտությունների օգնությամբ

պարզել, թե ինչ դիսպերսիայի սահմաններում է երկրորդ հարմոնիկի

լայնույթը մնում զգալի փոքր հիմնական հարմոնիկի լայնույթից, այ-

սինքն՝ տրված դաշտի մոտավորության կիրառելիության սահման-

ները: Իսկապես, պահանջենք, որ 2,max 10A A= : Այդ դեպքում (6.16)-

(6.18) արտահայտությունների միջոցով դժվար չէ ապացուցել, որ

նշված պայմանը համարժեք է

c nlL L= (6.19)

պայմանին, կամ կարող ենք ներկայացնել որպես սահմանափակում

միջավայրի դիսպերսիոն հատկությունների վրա (ուժեղ դիսպերսի-

այի պայման)

2 10(2 ) ( ) A ? : (6.19ա)

Հիշեցնենք, որ փուլային սինքրոնության հարցին մանրամասն

անդրադարձել ենք §6.2-ում:

96

§6.5. Հետադարձ ազդեցության հաշվառումը

Ինչպես նշվեց նախորդ պարագրաֆում, տրված դաշտի մոտա-

վորությունը սահմանափակված է nlL -ից փոքր հեռավորություննե-

րով: Հաճախ, սակայն, փոխարկման մեծ գործակիցներ ստանալու

նպատակով ոչ գծային միջավայրի երկարությունը զգալիորեն գերա-

զանցում է այդ հեռավորությունները: Նման դեպքերում նպատակա-

հարմար է կարճեցված հավասարումների համակարգն առանց մո-

տավորությունների լուծելը, քանի որ առաջացող երկրորդ հարմոնիկի

ինտենսիվությունը համեմատելի է դառնում ընկնող դաշտի ինտենսի-

վության հետ: Սակայն, հավասարումների (6.11) համակարգի ընդ-

հանուր լուծման ճանապարհին առկա են որոշակի նրբություններ:

Անդրադառնանք այդ հարցին մանրամասն:

Կարճեցված հավասարումների համակարգը լուծելու համար

ընդունված է կոմպլեքս լայնույթներից անցնել իրական լայնույթների

և փուլերի: Ներկայացնենք 1,2 ( )А z կոմպլեքս լայնույթը հետևյալ

տեսքով՝

1,2 1,2( ) ( )1,2 1,2 1,2( ) ( ) i z i zА z А z e a e : (6.20)

(6.11) համակարգում տեղադրելուց և գործողությունները կատա-

րելուց հետո ստանում ենք

11 1 2

222 1

21

1 2 22

1 2

sin 0

sin 0:

2 cos 0

2

daa a

dzda

adz

adk a

dz a

kz

(6.21)

Հավասարումների (6.21) համակարգը լուծելու համար մշակված

են տարբեր մեթոդներ: Անդրադառնանք այդ մեթոդներին և ստաց-

ված արդյունքներին: Քննարկենք այն մասնավոր՝ 0k , դեպքում:

97

(6.21) համակարգի առաջին երկու հավասարումներից որոշենք 1 2a

և 22 1 2a a արտահայտությունները՝

11 2

1

1

sin

daa

a dz

(6.22ա)

2

2 1 2

2 2

1

sin

a da

a a dz

: (6.22բ)

Տեղադրելով ստացված արտահայտությունները (6.21) երրորդ

հավասարման մեջ՝ 0k պայմանի հաշվառմամբ կստանանք

21 2ln cos 0

da a

dz : (6.23)

Սա նշանակում է, որ 21 2( ) ( ) cos ( )a z a z z const : (6.21) հա-

մակարգի առաջին երկու հավասարումներից կարելի է ստանալ ևս

մեկ մեծություն, որը կախված չէ տարածական z կոորդինատից:

Քանի որ ((6.12ա) և (6.20) )-ի համաձայն 2 0( ) 0

za z

, ապա ոչ

գծային միջավայրի մուտքում 0 , որտեղից հետևում է, որ

( ) 2z : Վերջնականորեն (6.21) համակարգի համար ստանում

ենք

11 1 2

daa a

dz (6.24ա)

222 1

daa

dz : (6.24բ)

Դժվար չէ (6.24ա, բ) օգնությամբ ստանալ ևս մեկ պահպանման

օրենք: Բազմապատկելով (6.24ա) հավասարումը 2a -ով, իսկ (6.24բ)-ն՝

1a -ով և գումարելով՝ ստանում ենք

2 2 21 2 10a a const A : (6.25)

Այս առնչության օգնությամբ, օրինակ, (6.24բ) հավասարումը

կընդունի հետևյալ տեսքը՝

2 222 10 2

daA a

dz , (6.26)

98

որի լուծումը լավ հայտնի է՝

2

10

( )

nl

a z zth

A L

: (6.27ա)

Հիմնական հարմոնիկի 1( )a z լայնույթի համար (6.25)-ից կստա-

նանք

11

10

( )

nl

a z zch

A L

: (6.27բ)

Ստացված (6.27ա,բ) կախվածությունները պատկերված են Նկ. 6.9-

ում: Դժվար չէ համոզվել, որ nlz L հեռավորության վրա երկրորդ

հարմոնիկի նորմավորված լայնույթը կազմում է 0,76, իսկ ինտենսի-

վությունը՝ 0,58: Նկ. 6.9-ից երևում է նաև, որ z դեպքում հնա-

րավոր է հիմնական հարմոնիկի էներգիայի լրիվ փոխակերպում երկ-

րորդ հարմոնիկի: Պետք է ի նկատի առնել, սակայն, որ նման ար-

դյունքը ստացվել է հարթ ալիքային մոտավորությամբ:

Նկ. 6.9. Երկրորդ հարմոնիկի նորմավորված լայնույթի կախվածությունը

տարածական կոոորդինատից՝ հետադարձ ազդեցության հաշվառմամբ:

99

§6.6. Տրված ինտենսիվության մոտավորություն

Կարճեցված հավասարումների (6.11) համակարգը լուծելու հա-

մար § 6.4.-ում ներկայացվել էր տրված դաշտի մոտավորությունը,

որտեղ ընդունվում էր, որ 1( )А z const ինչը համարժեք էր

1 1 1 1( ) (0), ( ) (0)a z a z պնդմանը: Այս մոտավորությունը զգալի

հեշտացնում է տեսական վերլուծությունը, սակայն այն ճապաղում է

ոչ գծայնության մասին պատկերացումները և պրոցեսի մասին ին-

ֆորմացիայի կորստի է հանգեցնում:

Այս առումով ավելի արդարացված է տրված ինտենսիվության

մոտավորությունը, որի դեպքում ընդունվում է միայն լայնույթի իրա-

կան մասի հաստատուն լինելը՝

1 1( ) (0)a z a , (6.28)

իսկ 1 1( ) (0)z , այսինքն՝ ոչ գծայնությունն առաջնահերթ ազդում

է փուլի վրա՝ որպես ավելի զգայուն ֆիզիկական մեծության:

Այս մեթոդի շարադրանքի համար օգտվենք (6.11) համակար-

գից: Դիֆերենցենք այդ համակարգի հավասարումները ըստ z

կոորդինատի՝

21 1 2

1 2 1 1 22i kzd А dA dА

i А A i kA А edz dz dz

(6.29ա)

2

22 12 1 12

( )2 i kzd А z dA

i А i kA edz dz

: (6.29բ)

Ձևափոխենք (6.29) համակարգը՝ օգտվելով (6.11)-ից՝

2

1 11 1 2 2 1 12

0d А dА

i k I I Аdz dz

(6.30ա)

22 2

1 2 2 122 0

d А dАi k А I

dz dz : (6.30բ)

Այստեղ ներմուծված են

100

2 21 1 1 1 2 2 2 2,I A A a I A A a (6.30գ)

նշանակումները: Տրված ինտենսիվության մոտավորության սահ-

մաններում

1 1 10( ) ( 0)I z I z I : (6.31)

Այդ դեպքում (6.30բ) հավասարման փոխարեն կարող ենք գրել 2

2 21 2 2 102

2 0d А dА

i k А Idz dz

: (6.32)

Հաշվի առնելով եզրային պայմանները

222 2 1

0

(0) 0, (0)z

dAA i A

dz

, (6.32ա)

(6.32) հավասարման լուծումը կարելի է ներկայացնել հետևյալ տես-

քով՝

22 2 1( ) (0) exp sin

2

i kzА z i A z c z

: (6.33)

Այստեղ համառոտության համար կատարված են հետևյալ նշա-

նակումները՝

2

1 2 10

sinsin ; 2

2

z kc z I

z

: (6.33ա)

Համեմատենք ստացված լուծումը տրված դաշտի մոտավորու-

թյամբ ստացված (6.15ա) լուծման հետ: Ինչպես տեսնում ենք,

sin ( 2)c kz արտադրիչը փոխարինված է ոչ միայն փուլային ապա-

լարքից ( k ), այլ նաև հիմնական հարմոնիկի 10I ինտենսիվությու-

նից կախված sin c z -է արտադրիչով: 1 2 102 2k I ? դեպքում,

համաձայն (6.33ա) արտահայտության, այդ երկու լուծումները հա-

մընկնում են: Ներմուծելով, համաձայն (6.20) արտահայտության, ի-

րական փուլը և ամպլիտուդը (6.33) լուծումը կարող ենք ներկայացնել

հետևյալ տեսքով ( exp 2i i առնչության հաշվառմամբ)՝

22 2 2 1 1( ) exp ( ) (0) sin exp 2 (0)

2 2

kza z i z a z c z i

:

101

Այստեղից երկրորդ հարմոնիկի իրական լայնույթի և փուլի՝ տա-

րածական կոորդինատից ունեցած կախվածության համար կարող

ենք գրել

22 2 1( ) (0) sina z a z c z (6.34ա)

2 1( ) 2 (0)2 2

kzz

: (6.34բ)

Երկրորդ հարմոնիկի նորմավորված լայնույթի կախվածություն-

ները 2kl պարամետրից (նմուշի 1 2 102l I հաստության դեպ-

քում) պատկերված են Նկ. 6.10-ում:

Նկ. 6.10. Երկրորդ հարմոնիկի նորմավորված լայնույթի կախվածությունը

2kl պարամետրի արժեքից (բյուրեղի հաստությունը 1 2 102l I ):

Անընդհատ գծով կառուցված է նորմավորված լայնույթի կախ-

վածությունը հետադարձ ազդեցության հաշվառման դեպքում, կե-

տագծով՝ տրված ինտենսիվության մոտավորությամբ, ընդհատ գծով՝

տրված դաշտի մոտավորությամբ: Ինչպես երևում է նկարից,

2 2kl դեպքում հոծ գիծը և կետագիծը պրակտիկորեն համընկ-

նում են, իսկ ընդհատ գիծը նշված պարամետրի մեծ արժեքների

դեպքում է ձգտում մոտենալ նրանց: Ասվածը վկայությունն է առ այն,

102

որ տրված ինտենսիվության մոտավորությունն ավելի մոտ է իրական

լուծմանը, քան տրված դաշտի մոտավորությունը (փուլային ոչ մեծ

ապալարքերի դեպքում): Նշենք, որ փոքր երկարությունների`

1 2 102l I , դեպքում համընկնումը դիտվում է փուլային ապալար-

քի ցանկացած արժեքի դեպքում:

§6.7. Ամփոփում

Այս թեմայում ներկայացված է երկրորդ հարմոնիկի գեներացի-

այի ստացման և վերլուծության մի շարք առանձնահատկություններ

հարթ ալիքային մոտավորությամբ: Անդրադարձ է կատարված ԵՀԳ

ստացման համար անհրաժեշտ կարևորագույն պայմանին՝ փուլային

սինքրոնությանը, այդ պայմանի ինտերֆերենցիոն բնույթին, ինչպես

նաև դրա իրականացման փորձարարական հնարավորություններին:

Նկատենք, որ ամբողջական նկարագրությունը ներառում է այն-

պիսի հարցեր, ինչպիսիք են ԵՀԳ տարածական սահմանափակ

փնջերում, փնջերի ֆոկուսացման ազդեցությունը փոխարկման գոր-

ծակցի վրա, երկառանցք բյուրեղներում փուլային սինքրոնության

առանձնահատկությունները, ԵՀԳ լազերային ռեզոնատորներում և

այլն: Այդ հարցերը, սակայն, մասնավոր հետաքրքրություն են ներ-

կայացնում կիրառական տեսանկյունից, ուստիև այս ձեռնարկի

սահմաններում այդ քննարկումները ներառված չեն:

103

ԹԵՄԱ 7. ՔԱՌԱԿՈՒՍԱՅԻՆ ԱՅԼ ԵՐԵՎՈՒՅԹՆԵՐ

§7.1. Գումարային և տարբերությունային հաճախությունների

գեներում

Երկրորդ հարմոնիկի գեներումից բացի, քառակուսային (2) (2)P EE

բևեռացմամբ պայմանավորված ոչ գծային միջավայ-

րում կարող են ընթանալ այլ երևույթներ նույնպես: Մասնավորապես,

մի քանի մոնոքրոմատիկ ալիքների տարածման դեպքում միջավայ-

րում տեղի է ունենում հաճախությունների խառնման տարբեր պրո-

ցեսներ, այդ թվում նաև օպտիկական ուղղում: Համառոտ անդրա-

դառնանք այդ երևույթներին նույնպես:

Մանրամասնենք այն դեպքը, երբ ոչ գծային միջավայրի վրա

ընկնում են երկու տարբեր հաճախությամբ հարթ ալիքներ՝

xktExktEtxE 222111 coscos),( : (7.1)

Տեղադրենք ),(2)2(2 txEP արտահայտության մեջ: Ձևափո-

խելուց հետո ստանում ենք

2 (2) 2 (2) 21 2

(2) 2 (2) 21 1 1 2 2 2

(2)1 2 1 2 1 2

(2)1 2 1 2 1 2

1 1( , )

2 21 1

cos 2 2 cos 2 2 :2 2

cos ( ) ( )

cos ( ) ( )

P x t E E

E t k x E t k x

E E t k k x

E E t k k x

(7.2)

Ինչպես երևում է (7.2) արտահայտությունից, բացի հիմնական

հաճախությունների երկրորդ հարմոնիկներից ( 21 2;2 ) և հաստա-

տուն բաղադրիչից ( (2) 21,2E ), այս դեպքում առաջանում են նաև բա-

ղադրիչներ 21 (գումարային` Նկ. 7.1ա, բ) և 21 (տարբե-

րությունային` Նկ. 7.2ա, բ) հաճախությունների վրա:

104

Նկ. 7.1. Գումար հաճախության գեներումը: ա) Փոխազդեցության երկրաչափու-

թյունը, բ) Նկարագրությունը էներգիական մակարդակների օգնությամբ:

Հեշտ է տեսնել, որ գումար հաճախության գեներումը ԵՀԳ անա-

լոգն է, երբ գումարվող հաճախությունները տարբեր են: Գումար և

տարբերությունային հաճախությունների գեներման պրոցեսներում

առկա է մի տարբերություն: Դա կարելի է մեկնաբանել էներգիական

դիագրամների օգնությամբ:

Նկ. 7.2. Տարբերությունային հաճախության գեներումը:

ա) Փոխազդեցության երկրաչափությունը, բ) Նկարագրությունը էներգիական

մակարդակների օգնությամբ:

Ինչպես երևում է 7.2բ նկարից, համաձայն էներգիայի պահ-

պանման օրենքի, յուրաքանչյուր ծնված 213 հաճախու-

թյամբ ֆոտոնի փոխարեն ոչնչանում է մուտքային ճառագայթման

մեկ ֆոտոն ( 1 հաճախության)`միաժամանակ ծնելով նաև մեկ ցածր

հաճախության մուտքային ( 2 ) ֆոտոն: Սա նշանակում է, որ ատո-

մը, կլանելով 1 հաճախության ֆոտոն, բարձրանում է վերին էներ-

գիական մակարդակ՝ հետագայում վերադառնով հիմնական մակար-

դակ երկֆոտոն ճառագայթման պրոցեսում:

105

§7.2. Պարամետրական ուժեղացում և գեներում

Հաշվի առնելով տարբերությունային հաճախության գեներման

(երբեմն ընդունված է նաև անվանել տրոհումային անկայունության

երևույթ) կարևորությունը պարամետրական գեներատորների

ստեղծման բնագավառում՝ մի փոքր ավելի մանրամասն անդրադառ-

նանք այս հարցին: Երևույթի ուսումնասիրման փորձարարական

սխեման (Վանգ և Ռելեյ) ունի Նկ. 7.3-ում պատկերված տեսքը: Որ-

պես մղման ալիք օգտագործվում է 3 2 (ռուբինային լազերի

երկրորդ հարմոնիկը): NeHe լազերի թույլ ճառագայթումը

( ~ 10մՎտ) 2 հաճախությամբ ազդանշանային ալիքն է: Այդ

3 2, ալիքները թիթեղի միջոցով ուղղվում են ADP բյուրեղի վրա,

որտեղ էլ ոչ գծային փոխազդեցության արդյունքում առաջանում է

1 3 2 (7. 3ա)

տարբերությունային հաճախությամբ ալիքը (1 7676 A

o

): Համուղղ-

ված փնջերի տարածական բաժանումն իրականացվում է դիսպեր-

սող պրիզմայի օգնությամբ: Այնպես, ինչպես երկրորդ հարմոնիկի

դեպքում, այստեղ նույնպես անհրաժեշտ է բավարարել փուլային

սինքրոնության պայմանը, որը ստացվում է ֆոտոնների իմպուլսի

պահպանման օրենքից՝

1 3 2k k k

: (7. 3բ)

Նկատենք, որ պարամետրական պրոցեսը կարող է ընթանալ

անգամ արտաքին 2 հաճախության ֆոտոնների բացակայության

դեպքում` վիրտուալ մակարդակների մասնակցությամբ ընթացող

սպոնտան երկֆոտոն ճառագայթման արդյունքում: Իհարկե, որպես

սպոնտան պրոցես, գեներվող ալիքների ինտենսիվությունը բավա-

կանաչափ փոքր է: Այս երևույթը հայտնի է որպես պարամետրական

ֆլուորեսցենցիա:

106

Նկ. 7.3. Պարամետրական պրոցեսների փորձարարական

ուսումնասիրությունը:

Այս պրոցեսը կարող է ուժեղացվել, եթե ոչ գծային բյուրեղը տե-

ղակայվի ռեզոնատորի ներսում: Փոփոխելով, ասենք օրինակ, բյու-

րեղի ջերմաստիճանը, կողմնորոշումը, կամ կիրառելով արտաքին

դաշտ, կարելի է փոխել 2k

ալիքային վեկտորը, ինչը, որպես հե-

տևանք, կհանգեցնի գեներվող ալիքի երկարության փոփոխության:

Սա նշանակում է, որ այսպիսի պարամետրական գեներատորի ալի-

քի երկարությունը կարելի է փոփոխել` վերալարել: Այս սարքավոր-

մանը ընդունված է անվանել պարամետրական գեներատոր: Նկ. 7.4-

ում պատկերված է նման գեներատորի աշխատանքային սխեման:

Որպես մղում պարամետրական գեներատորներում օգտագործվում է

արտաքին լազերային ճառագայթումը (օրինակ, նեոդիումային լազե-

րի երկրորդ հարմոնիկը o

3 5300A ալիքի երկարությամբ): Ելքային

ազդանշանի՝ 1 ալիքի, երկարությունը կարող է վերալարվել ինֆրա-

կարմիր տիրույթում՝ համապատասխան 2 -ի ընտրությամբ (տես

§7.3):

107

§7.3. Փուլային սինքրոնություն և հաճախության վերալարում

Պարամետրական պրոցեսները մեծ դեր են խաղում ոչ գծային

օպտիկայում: Նրանց հիման վրա են ստեղծվել փոփոխվող ալիքի

երկարությամբ (վերալարվող) օպտիկական քվանտային գեներա-

տորները: Այստեղ անդրադառնանք պարամետրական պրոցեսնե-

րում փուլային սինքրոնության ապահովմանը և ալիքի երկարության

վերալարմանը:

Նկ. 7.4. Օպտիկական պարամետրական գեներատոր: Հայելիներն ունեն մեծ

անդրադարձման գործակից 2 և/կամ 3 հաճախությունների վրա

3 2 1 :

Ենթադրենք ոչ գծային բյուրեղի վրա ընկնում է մեծ ինտենսիվու-

թյամբ հզոր լուսային ալիք՝ 3,0 ֆիքսված հաճախությամբ: Նշանա-

կենք այդ ալիքի հետ փոխազդող երկու այլ ալիքների հաճախու-

թյունները 1,0 և 2,0 , որոնց համար բավարարված են հետևյալ

պայմանները՝

3,0 1,0 2,0 , 3 3,0 1 1,0 2 2,0( ) ( ) ( )k k k : (7.4)

Այս թույլ ալիքների մուտքային ինտենսիվությունները պայմա-

նավորված են կամ զրոյական քվանտային ֆլուկտուացիաներով,

կամ՝ ֆոնային ճառագայթմամբ: Պարամետրական ուժեղացմամբ

պայմանավորված՝ ոչ գծային բյուրեղից դուրս կգան 1,0 և 2,0 հա-

ճախություններով կոհերենտ ճառագայթումներ: Փոխենք այժմ բյու-

108

րեղի դիսպերսիոն հատկությունները: Դա կարելի է իրականացնել մի

քանի ճանապարհներով.

ա) ջերմության հաշվին՝ 00TTTnn T ,

բ) կողմնորոշման հաշվին՝ ,0 snn որտեղ

s

սինքրոնության անկյունն է,

գ) արտաքին էլեկտրական դաշտի հաշվին՝ 00)2(2 nEn :

Միջավայրի դիսպերսիոն հատկությունները փոխելու արդյուն-

քում խախտվում է փուլային սինքրոնության պայմանը և այն իրա-

կանանում է այլ հաճախությունների համար՝ 1 1,0 ;

2 2,0 , սակայն այնպես որ պահպանվում է

1 3,0 2 , (7.5ա)

քանի որ 3,0 հաճախությունը ֆիքսված է: Տեսնենք, թե ինչ արդյուն-

քի կհանգեցնի փուլային սինքրոնության (7.4բ) պահանջը նոր հա-

ճախությունների դեպքում՝

1 1,0 0 3 3,0 0 2 2,0 0( , , , ) ( , , , ) ( , , , )k T E k T E k T E : (7.5բ)

Բոլոր ձևափոխությունները կատարենք մեկ ղեկավարող պարա-

մետրի՝ ջերմաստիճանի դեպքում: (7.5բ) արտահայտությունը վերա-

ծենք շարքի՝

01,0

0 2,0

0

1,01 11 1,0 0 0

1

3,0 3 23 3,0 0 0 2 2,0 0

2

2,0 20

,

( , ) ( , )

:

T

T

T

k nk T T T

c T

n kk T T T k T

c T

nT T

c T

Օգտվելով (7.4բ) առնչությունից՝ կարող ենք գրել

0 00

1 2

3,0 1,0 2,03 1 2

0-1 -1g g

,v v

T TT

n n nc T c T c T

T T

(7.5գ)

109

որտեղ giv -ն խմբային արագությունն է i հաճախության համար:

Մի քանի ղեկավարող պարամետրի առկայությամբ համանման ձևով

վերալարված հաճախության համար կարելի է ստանալ

00 0 0

-1 -1g2 g3v v

T Eg T T g g E

, (7.5դ)

որտեղ

0 00

3,0 1,0 2,03 1 2F

F FFF F F

n n ng

c c c

,

իսկ ETF ,, :

Այսպիսով՝ նման պարամետրական փոխազդեցության արդյուն-

քում բյուրեղից դուրս եկած կոհերենտ ճառագայթման հաճախությու-

նը կարելի է վերալարել արտաքին ղեկավարող , ,T E պարամետ-

րերի օգնությամբ:

§7.4. Պարամետրական երևույթների էլեկտրադինամիկան

Անդրադառնանք պարամետրական ուժեղացման երևույթի քանակա-

կան օրինաչափություններին: Քննարկման հիմքը կազմում է կապված

ալիքային հավասարումների համակարգը (տես Թեմա 4): Ի տարբե-

րություն երկրորդ հարմոնիկի, այս դեպքում տրված ուղղությամբ տա-

րածվում են երեք ալիքներ՝ 3 2 1 հաճախություններով, ընդ

որում՝

3 1 2 : (7.6)

Կարճեցված հավասարումների համակարգը կոմպլեքս լայնույթ-

ների համար կարելի է գրել հետևյալ տեսքով՝

110

11 3 2

22 3 1

33 1 2

( )( ) ( )

( )( ) ( )

( )( ) ( )

i kz

i kz

i kz

dА zi A z A z e

dzdА z

i A z A z edz

dА zi A z A z e

dz

, (7.7)

որտեղ 3 1 2k k k k փուլային ապալարքն է, իսկ

1 2

3

(2) (2)1 3 2 3 2 2 3 1 3 1

1 21 2

(2)3 3 1 2

33

( ) ( )2 , 2 ,

( ) ( )

( )2 :

( )

e e e e e ek k

e e ek

(7.7ա)

Համաձայն (3.14) արտահայտության՝

(2) (2) (2)1 3 2 3 2 2 3 1 3 1 3 3 1 2( ) ( ) ( )e e e e e e e e e

:

Նշանակենք ( )i in -ով բեկման ցուցիչները համապատասխան

հաճախությունների վրա և օգտվելով վերջին առնչությունից, ձևափո-

խենք (7.7) համակարգը (մասնավոր 0k դեպքում), կստանանք՝

1 11 1 2 3

1

2cn dАA iA A Adz

(7.8ա)

2 22 2 1 3

2

2cn dА

A iA A Adz

(7.8բ)

3 33 3 1 2

3

2cn dА

A iA A Adz

: (7.8գ)

Անհրաժեշտ ձևափոխությունները կատարենք (7.8ա) և (7.8գ) հա-

վասարումների հետ: Յուրաքանչյուր հավասարում գումարելով իր

կոմպլեքս համալուծի հետ, կստանանք

11 1 1 2 3 1 2 3

1

1 1

8 4

cndA А i A A A A A A

dz

33 3 3 1 2 3 1 2

3

1 1

8 4

cndA А i A A A A A A

dz

:

111

Նմանատիպ հավասարում կարելի է ստանալ նաև (7.8բ)-ի հա-

մար: Ստացվածից հեշտ է եզրակացնել, որ

31 21 1 2 2 3 3

1 2 3

1 1 1

8 8 8

cncn cnd d dA А A А A А

dz dz dz

(7.9ա)

31 2

1 2 3

1 1 1 dIdI dI

dz dz dz : (7.9բ)

Այս առնչությունները ընդունված է անվանել Մենլի-Ռոուի

առնչություններ: (7.9ա) և (7.9բ) արտահայտություննները նշանակում

են, որ ուժեղ՝ 3 հաճախությամբ, ալիքի ինտենսիվության նվազումը

ծախսվում է ոչ միայն ազդանշանային 1 հաճախությամբ ալիքի, այլ

նաև 2 հաճախությամբ ուղեկցող ալիքի ուժեղացման վրա (տես Նկ.

7.5):

Հավասարումների (7.7) համակարգը կարելի է լուծել միայն

տրված դաշտի մոտավորությամբ, այսինքն՝ 3 30( ) ;А z А const

1 2 30( ), ( )А z А z А= դեպքում: Այն ունի հետևյալ տեսքը՝

0 0( ) (0) ( ) (0) ( )j j jА z А ch z B sh z : (7.10ա)

Այստեղ

22 301 20 0

1 2

, , 1,22

Аkj

n n c

: (7.10բ)

Նկ. 7.5. ( )jА z լայնույթների կախվածությունը տարածական

կոորդինատից 20 0A դեպքում:

112

Ինչպես երևում է լուծման տեսքից, ցածր հաճախությամբ ալիք-

ների պարամետրական աճի դիտման համար գոյություն ունի որոշա-

կի շեմ, այսինքն՝ ( )jА z լայնույթների էքսպոնենտային աճ դիտվում է

0 2k (7.10գ)

դեպքում (տես Նկ. 7.5-ի 1,2 կորերը): Եթե (7.10գ) պայմանը բավա-

րարված չէ, ապա թույլ դաշտերի լայնույթների վարքն ունի տատանո-

ղական բնույթ (տես Նկ. 7.5-ի 1՛,2՛ կորերը):

§7.4. Օպտիկական ուղղում (կամ դետեկտում)

Բացի երկրորդ հարմոնիկից, (7.2)-ում առկա է նաև հաստատուն

բաղադրիչ` (2) 21,2~ E գումարելին: Այն համապատասխանում է ին-

տենսիվ լազերային դաշտում միջավայրի հաստատուն բևեռացման

հայտնվելուն: Այս երևույթն ընդունված է անվանել օպտիկական

ուղղման (կամ դետեկտման) երևույթ (տես Նկ. 7.6):

Նկ. 7.6. Օպտիկական դետեկտման սխեմատիկ պատկերը:

Այն կարող է օգտագործվել հզոր լազերային իմպուլսների գրան-

ցիչներում, քանի որ նրա օգնությամբ լուսային իմպուլսի համեմա-

տաբար դանդաղ փոփոխվող պարուրիչը կարելի է անմիջականորեն

փոխարկել էլեկտրական հոսանքի իմպուլսի:

113

§7.5. Ամփոփում

Քառակուսային կարգի կոհերենտ ոչ գծային օպտիկական

երևույթներից երկրորդ հարմոնիկի գեներումը առաջին ոչ գծային

երևույթն էր, որ ստացվել էր լազերների հայտնագործումից անմիջա-

պես հետո և մանրակրկիտ հետազոտվել ինչպես փորձարարական

մեթոդներով, այնպես էլ տեսականորեն: Բացի ԵՀԳ-ից, սակայն,

հնարավոր էին երկրորդ կարգի այլ երևույթներ նույնպես, ինչպիսիք

են օրինակ, գումարային և տարբերությունային հաճախությունների

գեներումը և օպտիկական ուղղումը (դետեկտումը): Այս թեմայում

ներկայացվել է այդ երևույթների թե՛ որակական նկարագրությունը

միջավայրի ոչ գծային բևեռացման օգնությամբ, թե՛ քանակականը՝

կարճեցված հավասարումների համակարգի օգնությամբ: Ներկա-

յացված է նաև այդ պրոցեսում փուլային սինքրոնության պայմանի

իրականացման առանձնահատկությունները:

Որպես պարամետրական երևույթների կիրառություն քննարկ-

ված են պարամետրական գեներատորները և դրանց ալիքի երկարու-

թյան սահուն փոփոխության իրականացման հնարավորությունները:

114

ՄԱՍ III

ԽՈՐԱՆԱՐԴԱՅԻՆ ՈՉ ԳԾԱՅԻՆ ՕՊՏԻԿԱԿԱՆ

ԵՐԵՎՈՒՅԹՆԵՐ

ԹԵՄԱ 8. ՀԱՐՄՈՆԻԿՆԵՐԻ ԳԵՆԵՐՈՒՄ ԵՎ

ԻՆՔՆԱԶԴԵՑՈՒԹՅՈՒՆ

§8.1. Երրորդ հարմոնիկի գեներում

Ինչպես նշվել էր նախկինում, ինվերսիայի կենտրոն ունեցող մի-

ջավայրերում քառակուսային երևույթներն արգելված են (էլեկտրա-

դիպոլային մոտավորության սահմաններում), քանի որ 0)2( (տես

§3.3): Ուստիև անհրաժեշտ է դիտարկել (3.16) արտահայտության

հաջորդ (3) (3)i ijkl j k lP E E E (8.1)

գումարելին: Ակնառության համար նախ անդրադառնանք սկալյար

դեպքին: Տեղադրենք դաշտի

kxtEtxE cos),( 0

տեսքը (թենզորական ինդեքսները բաց են թողնված պարզության

համար) և օգտվենք

kxtkxtkxt cos333coscos4 3

առնչությունից: Վերջնականորեն խորանարդային բևեռացման հա-

մար կարող ենք գրել

kxtEkxtEP cos4

333cos

4

1 30

)3(30

)3()3( : (8.2)

(8.2)-ից հետևում է, որ, բացի հիմնական հաճախությունից, ելքային

ալիքի սպեկտրում հայտնվում է նաև երրորդ հարմոնիկը (տես Նկ.

8.1ա):

115

Նկ. 8.1. Երրորդ հարմոնիկի գեներման երկրաչափական պատկերումը (ա):

Պատկերումը էներգիական դիագրամի օգնությամբ (բ):

Սակայն պետք է նկատի ունենալ, որ բյուրեղներում

CGS1512)3( 1010~ , իսկ CGS97)2( 1010~ կարգի մեծու-

թյուններ են: Բացի այդ, լազերային ճառագայթման թույլատրելի ին-

տենսիվությունները սահմանափակված են օպտիկական ծակման

շեմով: Ուստիև բյուրեղներում երրորդ հարմոնիկի գեներման երևույ-

թի արդյունավետությունը զգալիորեն փոքր է, իսկ կիրառությունները՝

սահմանափակ:

Այլ է վիճակը գազերում: Իհարկե, թվում է, թե հեղուկների և

պինդ մարմինների համեմատ գազերի նոսր լինելու պատճառով

ակնկալվող արդյունավետությունը պետք է շատ ավելի փոքր լինի,

սակայն իրականում պատկերն այլ է: Ոչ գծային )3( ընկալունա-

կության արժեքը զգալիորեն մեծանում է ռեզոնանսային հաճախու-

թյունների կիրառմամբ: Գազերում ատոմների և մոլեկուլների

սպեկտրալ անցումների նեղ լինելով պայմանավորված՝ հաջողվում է

ստանալ համեմատաբար մեծ ոչ գծայնություններ: Պետք է հաշվի

առնել նաև, որ գազերում թույլատրելի ինտենսիվությունների շեմը մի

քանի կարգով գերազանցում է կոնդենսացված միջավայրերում

թույլատրելի արժեքները (գազերում գերազանցում է մի քանի

ԳՎտ/սմ2-ն, այն դեպքում, երբ պինդ մարմիններում՝ ՄՎտ/սմ2):

Արդյունքում, չնայած (3)/ / -ի փոքրությանը՝ )3(P բևեռացման կարգը

կարող է հավասարվել )2(P -ի մեծությանը:

116

§8.2. Սինքրոնության պայմանի իրականացումը

Ինչպես երկրորդ կարգի երևույթներում, այստեղ ևս գեներա-

ցիան առավել արդյունավետ կարող է ընթանալ, եթե ապահովված է

փուլային սինքրոնության

03

3 33

nnc

kkk (8.3)

պայմանը: Այստեղ, սակայն, Թեմա 6-ում քննարկված մեթոդները

կիրառելի չեն՝ գազային միջավայրի իզոտրոպությամբ պայմանա-

վորված:

Գոյություն ունեցող մի շարք մեթոդներից կանգ առնենք մեկի

վրա: Նկ. 8.2-ում պատկերված է սինքրոնության պայմանն ապահո-

վելու հնարավոր սխեմաներից մեկը: Երբ և 3 հաճախություննե-

րի միջև առկա է անոմալ դիսպերսիայի տիրույթ, ապա փուլային

սինքրոնության պայմանն ապահովելու համար կարելի է օգտագոր-

ծել բուֆերային գազ՝ n և 3n բեկման ցուցիչների միջև տարբերու-

թյունը կոմպենսացնելու համար: Իսկապես, եթե հաճախությունն

ընկած է անոմալ դիսպերսիայի տիրույթից ներքև, իսկ 3 -ն՝ վերև

(ասենք, օրինակ, ալկալիական մետաղներում ուժեղ ps անցում),

ապա մաքուր մետաղի գոլորշիներում 3AA nn -ից՝ անոմալ

դիսպերսիայի հաշվին:

Նկ. 8.2. Փուլային սինքրոնության պայմանի ապահովումը

անոմալ դիսպերսիայի կիրառմամբ:

117

Եթե նման միջավայրին խառնվի 3BB nn նորմալ դիս-

պերսիա ունեցող իներտ գազ (օրինակ քսենոն), ապա խտության հա-

մապատասխան ընտրությամբ հնարավոր է հասնել փուլային սինք-

րոնության

33 BABA nnnn

պայմանի բավարարմանը:

§8.3. Կոմբինացված հաճախությունների գեներում

Խորանարդային ոչ գծայնությամբ միջավայրում երեք ալիքների

միաժամանակյա փոխազդեցության դեպքում ընթացող երևույթները

շատ ավելի բազմազան են: Տեղադրելով դաշտի

3

1

cos),(i

iii xktEtxE (8.4)

տեսքը (8.1) հավասարման մեջ՝ դժվար չէ համոզվել, որ ոչ գծային

փոխազդեցության հետևանքով գեներվում են հետևյալ հաճախու-

թյունները՝

321 ,, -առանձին հաճախությունների վրա ինքնազ-

դեցության երևույթներ

)2(),2(

),2(),2(

),2(),(

),(),(

2332

1231

21132

231321

-

)(,3,3,3 321321 -երրորդ հարմոնիկի և գումա-

րային հաճախության գեներում:

Կոմբինացված հաճախությունների գեներման երկու մասնավոր

դեպք պատկերված է Նկ. 8.3-ում: Նկ. 8.3ա-ն համապատասխանում

կոմբինացված հաճախու-

թյունների գեներում:

118

է գումարային հաճախության գեներմանը, իսկ Նկ. 8.3բ-ն` ստիպո-

ղական ցրումներին:

Նկ. 8.3. 3)3()3( EP ոչ գծայնություն ունեցող միջավայրում կոմբինացված

հաճախությունների գեներման պատկերումը էներգիական դիագրամի օգնու-

թյամբ:

Կոմբինացված հաճախությունների գեներումը, ինչպես նշվել է

Թեմա 3-ում, կարելի է նկարագրել ոչ գծային բևեռացման խորանար-

դային կարգի գումարելիով՝

)()()(),,;()( 321321)3()3( EEEDP

: (8.5)

Այստեղ

6!3 D , երբ 321 ;

3D , երբ 321 ;

1D , երբ 321 :

Վերևում բերված ընդհանուր դատողությունները մասնավորենք

երկու օրինակով (§8.4 և §8.5):

§8.4. Ուժեղ լազերային դաշտով մակածված երկբեկման երևույթ

Ենթադրենք իզոտրոպ միջավայրի վրա ընկնում են երկու լազե-

րային փունջ L (ուժեղ փունջ) և A (զոնդող փունջ) հաճախություն-

119

ներով: Քննարկենք 1 2 3 տիպի խորանարդային փոխազ-

դեցությունը՝ փոխազդող փնջերի հաճախությունների հետևյալ ընտ-

րության դեպքում՝

1 2 3A L :

(8.5) արտահայտության համաձայն՝ խորանարդային բևեռաց-

ման համար կարելի է գրել

)()()(),,;()( )3()3(LlLkAjLLAAijkli EEEDP : (8.6)

Օգտվելով §3.3-ում ներկայացված սիմետրիայի ձևափոխու-

թյուններից՝ կենտրոնահամաչափ իզոտրոպ միջավայրի խորանար-

դային ոչ գծային ընկալունակությունը տարածական դիսպերսիայի և

մագնիսաօպտիկական ակտիվության բացակայությամբ կարելի է

ներկայացնել հետևյալ տեսքով՝

(3) (3) (3) (3)ijkl xxyy ij kl xyxy ik jl xyyx il kj : (8.7)

Այս արտահայտության օգնությամբ կարելի է ձևափոխել (8.6)

հավասարությունը՝

(3) (3)

(3)

(3)

1( ) ( ; , , ) ( ) ( ) ( )

3

( ; , , ) ( ) ( ) ( )

( ; , , ) ( ) ( ) ( ) :

i xxyy A A L L i A j L j L

xyxy A A L L j A i L j L

xyyx A A L L j A j L i L

P E E E

E E E

E E E

Այժմ գրենք միջավայրի էլեկտրական ինդուկցիայի և բևեռաց-

ման կապը ոչ գծային բևեռացման հաշվառմամբ՝

)3()1(4 iiijjjiji PPEED :

Այդ դեպքում գծային՝)(l

ij և ոչ գծային՝)(nl

ij դիէլեկտրական թա-

փանցելիությունների տարբերության համար ստանում ենք

( ) ( ) (3)

(3) (3)

12 { ( ; , , ) ( ) ( )

( ; , , ) ( ) ( ) ( ; , , ) ( ) ( )}

nl lij A ij ij xxyy A A L L ij k L k L

xyxy A A L L i L j L xyyx A A L L j L i L

E E

E E E E

:(8.8)

120

Ինչպես տեսնում ենք, ուժեղ լազերային դաշտի առկայությամբ

սկզբնապես իզոտրոպ միջավայրը A հաճախությամբ փնջի համար

վեր է ածվում անիզոտրոպի: Ընդունենք, որ երկու ալիքներն էլ տա-

րածվում են z առանցքի երկայնքով, իսկ բևեռացումներն ընկած են

yx, հարթության մեջ: Այդ դեպքում դժվար չէ (8.8) արտահայտու-

թյան օգնությամբ մակածված անիզոտրոպության Aij բաղադ-

րիչների համար ստանալ

(3)

(3) (3)

12 ( ; , , ) ( ) ( )

[ ( ; , , ) ( ; , , )] ( ) ( ) ,

xx A xxyy A A L L k L k L

xyxy A A L L xyyx A A L L x L x L

E E

E E

(3)

(3) (3)

12 ( ; , , ) ( ) ( )

[ ( ; , , ) ( ; , , )] ( ) ( ) ,

yy A xxyy A A L L k L k L

xyxy A A L L xyyx A A L L y L y L

E E

E E

(8.9)

(3)

(3)

12 ( ; , , ) ( ) ( )

( ; , , ) ( ) ( ) ,

xy A xxyy A A L L x L y L

xyyx A A L L y L x L

E E

E E

(3)

(3)

12 ( ; , , ) ( ) ( )

( ; , , ) ( ) ( )

yx A xxyy A A L L y L x L

xyyx A A L L x L y L

E E

E E

:

Ընդունենք A հաճախությամբ ալիքը բևեռացված է գծային՝

x -երի առանցքի նկատմամբ անկյան տակ: Այդ դեպքում

( ) ( ) cosL LE Ex , ( ) ( )sinL LE Ey :

Հետևաբար, մակածված անիզոտրոպության թենզորի անկյու-

նագծային էլեմենտների տարբերության համար կստանանք

(3)

2(3) 2 2

12 ( ; , , )

( ; , , ) ( ) cos sin :

xx A yy A xxyy A A L L

xyyx A A L L LE

Ինչպես երևում է այս արտահայտությունից, մակածված անի-

զոտրոպությունն առավելագույնն է, երբ լույսը բևեռացված է x կամ

121

y առանցքի երկայնքով 0sin,1cos : Նկատենք 45 աս-

տիճանի դեպքում մակածված անիզոտրոպությունն անհետանում է:

Նկ. 8.4. Քերրի օպտիկական երևույթի դիտման փորձը:

Նկ. 8.4-ում պատկերված է ինտենսիվ լազերային դաշտով մա-

կածված անիզոտրոպության դիտման փորձարարական սարքավո-

րումը (Քերրի օպտիկական երևույթը): Ռուբինային լազերի ուժեղ

ճառագայթումը )A6943(0

L մակածում է վերևում դիտարկված անի-

զոտրոպությունը ուսումնասիրվող հեղուկ պարունակող L բջջում:

Որպես զոնդող օգտագործվում է արգոնային լազերի ճառագայթումը

)A4880(0

L : P բևեռիչը զոնդող ճառագայթի բևեռացումը ղեկավե-

րելու, իսկ A վերլուծիչը՝ ելքային ճառագայթի բևեռացման վիճակն

ուսումնասիրելու համար է: Ինչպես երևում է նկարից, անցնելով նմու-

շի միջով, զոնդող ճառագայթի գծային բևեռացումը վեր է ածվում է-

լիպտականի, որի էլիպտիկության և ազիմուտային անկյան մեծու-

թյունները կարող են ղեկավարվել ուժեղ լազերային դաշտի ինտեն-

սիվությամբ:

§8.5. Ինքնամակածված օպտիկական անիզոտրոպություն

Այժմ անդրադառնանք այն դեպքին, երբ միջավայրի վրա ընկ-

նում է միայն մեկ ալիք, այսինքն՝

321 :

Այդ դեպքում

122

(3) (3) (3)

(3)

( ) ( ; , , ) ( ; , , ) ( ) ( ) ( )

( ; , , ) ( ) ( ) ( ) :

i xxyy xyxy i j j

xyyx j j i

P E E E

E E E

Ընդունելով, որ ալիքը տարածվում է z առանցքի երկայնքով,

խորանարդային բևեռացման x և y բաղադրիչների համար ստա-

նում ենք

(3)

(3)

(3)

( )

( ; , , ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ; , , ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ,

x

xxxx x x x y y

xyyx y x y y x

P

E E E E E

E E E E E

(3)

(3)

(3)

( )

( ; , , ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ; , , ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) :

y

yyyy y x x y y

xyyx x x y y x

P

E E E E E

E E E E E

Համանման ձևով, ինչպես նախորդ դեպքում, ստանում ենք

)()(),,;(4 )3( xxxxxxyyxx EE (8.10ա)

(3)8 ( ; , , ) ( ) ( ) ( ) ( )

xy yx

xyyx x y y xE E E E

: (8.10բ)

Անցնելով շրջանային բևեռացված բաղադրիչների՝ սկզբնապես

էլիպտական բևեռացված լույսի ազիմուտային անկյան պտտման

համար կստանանք հետևյալ արտահայտությունը՝

IIn xyyx ),,;(

4 )3( : (8.11)

Ինչպես տեսնում ենք, ինքնամակածված անիզոտրոպությունը

հանգեցնում է էլիպտական բևեռացված լույսի ազիմուտային ան-

կյան պտույտին:

Ասվածը կարելի է ցուցադրել Նկ. 8.5-ում պատկերված սարքի

օգնությամբ: Ինչպես երևում է նկարից, մուտքային էլիպտական բևե-

ռացված լույսը, անցնելով ոչ գծային միջավայրով, դուրս է գալիս

պտտված: Հասկանալի է, որ պտտման անկյան մեծությունը կախ-

123

ված է թե՛ միջավայրի ոչ գծային ընկալունակություններից, թե՛ մուտ-

քային ալիքի ինտենսիվությունից և բևեռացման պարամետրերից:

Նկ. 8.5. Ինքնամակածված օպտիկական անիզոտրոպությունը

ցուցադրող փորձը:

§8.6. Օպտիկական բիստաբիլություն

Համակարգը կանվանենք բիստաբիլ, եթե մուտքային ազդա-

նշանի միևնույն iI ինտենսիվության դեպքում ելքայինը` tI , ունի եր-

կու հնարավոր արժեք: Նման համակարգերի գոյության համար ան-

հրաժեշտ է երկու պայմանի միաժամանակյա առկայություն.

1. համակարգը պետք է լինի ոչ գծային,

2. համակարգում պետք է առկա լինի նաև հետադարձ կապ:

Բիստաբիլ համակարգերն ընդունված է դասակարգել երկու

խմբի՝ աբսորբցման (կլանման) և դիսպերսման՝ կախված հետադարձ

կապի իրականացման մեխանիզմից: Կլանման գործակցի ինտենսի-

վությունից ունեցած կախվածությամբ պայմանավորված բիստաբի-

լությանն անվանում են աբսորցման, իսկ բեկման ցուցչինը՝ դիսպերս-

ման: Հասկանալի է, որ այս դասակարգումը խիստ չէ և չի բացառ-

վում նրանց միաժամանակյա գոյության տարբերակը (ընդունված է

անվանել հիբրիդ ռեժիմ):

Օպտիկական բիստաբիլ համակարգի օրինակ է հագեցող կլան-

մամբ միջավայրով լցված Ֆաբրի-Պերոյի ռեզոնատորը (տես Նկ. 8.6):

124

Նկ. 8.6. Բիստաբիլ օպտիկական տարր:

Մուտքային ալիքի ինտենսիվության աճին զուգընթաց դաշտը

ռեզոնատորի ներսում նույնպես մեծանում է: Որպես հետևանք կլան-

ման գործակիցը փոքրանում է` ավելի մեծացնելով դաշտի լարվա-

ծությունը: Հետ վերադառնալիս, մուտքային ինտենսիվության նվազ-

ման դեպքում, դաշտը ռեզոնատորի ներսում ձգտում է պահպանել իր

մեծ արժեքը, քանի որ կլանման գործակիցը դեռևս փոքր է (տես Նկ.

8.7): Որպես հետևանք մուտքային ազդանշանի միևնույն iI ինտեն-

սիվության դեպքում ելքայինը` tI -ն, ունենում է երկու հնարավոր ար-

ժեք` կախված ինտենսիվության փոփոխության ուղղությունից:

Նկ. 8.7. ( )t iI I կախվածությունը օպտիկական բիստաբիլությամբ տարրում:

Այս դատողությունները կարելի է հիմնավորել պարզ վերլուծու-

թյամբ: Մուտքային iI ինտենսիվության փոքր արժեքների դեպքում

միջավայրի կլանումը փոքրացնում է ռեզոնատորի բարորակությունը՝

անգամ ճառագայթման և ռեզոնատորի բացթողնման մաքսիմումին

համապատասխանող հաճախությունների համընկնման դեպքում:

Նշանակենք հայելիների բացթողնման գործակիցները T -ով, sI -ով՝

ռեզոնատորը լցնող նյութի հագեցման ինտենսիվությունը (տես (1.7բ)

125

արտահայտությունը): Այդ դեպքում ռեզոնատորի ներսում ինտենսի-

վությունը կարելի է որոշել

0c iI TI (8.12)

արտահայտությամբ: Ռեզոնատորի ներսում՝ ելքային հայելու մոտ

ինտենսիվությունը կլինի

0Lc iI L e TI , (8.13)

որտեղ 0 -ն միջավայրի կլանման գործակիցն է փոքր ինտենսիվու-

թյունների դեպքում (տես Նկ. 8.8ա):

Նկ. 8.8. Ինտենսիվությունները ռեզոնատորի մուտքում՝ iI ,

ներսում՝ cI և ելքում՝

tI . ա)i sI I= դեպքում, բ)

i sI I? դեպքում:

Համապատասխանաբար անցած լույսի ինտենսիվության հա-

մար կարող ենք գրել 0 2L

t iI e T I : (8.14)

Ինչպես արդեն նշվել է (8.14) արտահայտությունը համապա-

տասխանում է i sI I= դեպքին, այսինքն, եթե

s iI TI? : (8.15)

Մուտքային ինտենսիվությունների մեծ արժեքների դեպքում,

երբ միջավայրը միշտ լուսաթափանցիկ է, այն համարյա ամբողջու-

թյամբ բաց է թողնում համակարգի վրա ընկնող լույսը, այսինքն՝

t iI I և c tI I T (տես Նկ. 8.8բ): Այս պնդման ճշմարտացիության

համար պարտադիր է, որ c sI I? , կամ i sI TI? : (8.16)

126

Բիստաբիլությունը հնարավոր կլինի, եթե ինտենսիվության միև-

նույն արժեքի դեպքում միաժամանակ բավարարվեն (8.14) և (8.15)

պայմանները: Օրինակ, i sI I դեպքում երկու անհավասարություն-

ների միաժամանակյա բավարարումը հնարավոր է 1T դեպքում,

իսկ այս պայմանը միշտ բավարարված է:

§8.7. Ամփոփում

Կենտրոնահամաչափ միջավայրերում ոչ գծայնության ամենա-

ցածր կարգը, դիպոլային մոտավորությամբ, խորանարդայինն է: Այդ

մոտավորությամբ դիտվող օպտիկական երևույթները հիրավի աչքի

են ընկնում բազմազանությամբ՝ ներառելով հարմոնիկների գեներա-

ցիան, հաճախությունների խառնումը, ալիքների ինքնազդեցությամբ

պայմանավորված երևույթները տարածաժամանակային սահմանա-

փակ փնջերում և այլն: Այդ պատճառով էլ այս թեմայում անդրա-

դարձ է կատարվել նրանց մի մասին՝ հարմոնիկների գեներմանը,

մակածված անիզոտրոպությամբ պայմանավորված երևույթներին

հարթ ալիքային մոտավորությամբ, ինչպես նաև 80-ականներին մեծ

աղմուկ բարձրացրած օպտիկական բիստաբիլության երևույթին:

Ընդհանրապես, երրորդ և ավելի բարձր հարմոնիկների գեներ-

ման հիմնական նպատակը կարճալիքային տիրույթում կոհերենտ

ճառագայթում ստանալն է, որտեղ ուղիղ լազերային գեներման իրա-

կանացումը կապված է լուրջ դժվարությունների հետ: Այս թեմայում

ներկայացված է երրորդ հարմոնիկի փորձարարական իրականա-

ցումը, ինչպես նաև փուլային սինքրոնության իրականացման մեկ

յուրօրինակ հնարավորություն՝ նյութի անոմալ դիսպերսիայի կիրառ-

մամբ:

Կոմբինացված հաճախությունների գեներացիայի երևույթներից

ներկայացված են հզոր լազերային դաշտով մակածված ոչ գծայնու-

թյան առկայությամբ զոնդող լույսի բևեռացման էլիպսի պտույտը,

ինչպես նաև բևեռացման էլիպսի ինքնապտտման երևույթը ոչ

գծային միջավայրում:

127

ԹԵՄԱ 9. ԻՆՔՆԱԶԴԵՑՈՒԹՅԱՆ ԵՐԵՎՈՒՅԹՆԵՐԸ

ՓՆՋԵՐՈՒՄ (ԵՐԿՐԱՉԱՓԱԿԱՆ ՕՊՏԻԿԱՅԻ

ՄՈՏԱՎՈՐՈՒԹՅՈՒՆ)

§9.1. Լույսի ինքնակիզակետման երևույթը

Խորանարդային բևեռացման (8.2) արտահայտության երկրորդ

գումարելին նկարագրում է, այսպես կոչված, ինքնազդեցության

երևույթները, քանի որ այն համապատասխանում է ընկնող լույսի

լայնույթից կախված ներդրմանը հիմնական հաճախության վրա:

Այդ փոխազդեցության երկրաչափական մեկնաբանությունը, ինչպես

նաև մեկնաբանությունը էներգիական դիագրամների օգնությամբ

պատկերված է Նկ. 9.1-ում:

Նկ. 9.1. Ինքնազդեցության երկրաչափական պատկերումը (ա):

Պատկերումը էներգիական դիագրամի օգնությամբ (բ):

Ակնառու դատողությունների միջոցով կարելի է ցույց տալ, որ

(8.2) ոչ գծայնությամբ օժտված միջավայրերում դիէլեկտրական թա-

փանցելիությունը (կամ որ նույնն է բեկման ցուցիչը) կախված է տա-

րածվող լույսի ինտենսիվությունից:

Իսկապես,

EkxtEEEPPEE cos3444 20

)3()1()3()1( :

Ձևափոխությունից հետո ստանում ենք

2( )I I : (9.1)

2 (3)2 24 / c : (9.1ա)

128

Այստեղ -ը միջավայրի դիէլեկտրական թափանցելիությունն է

լուսային դաշտի բացակայությամբ: Նկատենք, այստեղ օգտվել ենք

լույսի ինտենսիվության 20( 8 )I c E սահմանումից: Հաշվի առ-

նելով նաև, որ մի շարք դեպքերում 2 , կարող ենք (9.1) ներկա-

յացնել հետևյալ տեսքով՝

InnIn 20)( : (9.2)

Այստեղ 0n -ն միջավայրի բեկման ցուցիչն է լուսային դաշտի

բացակայությամբ, իսկ ոչ գծայնության գործակիցը՝ 2 2 / 2n :

Լույսի ինքնազդեցությունը ներառում է իրենց համանմանը չու-

նեցող երևույթների մի հսկայական բազմազանություն: Ինքնազդե-

ցության երևույթների դերը ոչ միայն այն էր, որ դրանք նոր փուլ էին

ոչ գծային օպտիկայում, այլ նաև հսկայական նշանակություն ունե-

ին ճառագայթման ուղղորդված հաղորդման, գերհզոր դաշտերի

ստացման, ինչպես նաև լազերային ճառագայթման պարամետրերի

օպտիմալացման և կառավարման ասպարեզներում:

Առաջինը Գ. Ասկարյանն էր, ով ուշադրություն դարձրեց միջա-

վայրում լազերային ճառագայթման ինքնազդեցության առանձնա-

հատկություններին: Նա կանխատեսեց և տեսականորեն հիմնավո-

րեց ինքնազդեցության երևույթը: Ինչպես հայտնի է, անհամասեռ

(այսինքն՝ ըստ տարածական կոորդինատի փոփոխվող) բեկման ցու-

ցիչ ունեցող միջավայրում խախտվում է օպտիկայի ամենահայտնի

օրենքներից մեկը` լույսի ուղղագիծ տարածման օրենքը (տես Նկ.

9.2):

Ոչ գծային օպտիկական երևույթների շարքում հատուկ ուշադ-

րության են արժանի լազերային փնջի ինքնազդեցությամբ պայմա-

նավորված երևույթները: Պատճառը միջավայրի բեկման ցուցչի՝ լույ-

սի ինտենսիվությունից ունեցած կախվածությունն է, որի հետևան-

քով հենց նախապես համասեռ միջավայրը դառնում է անհամասեռ:

Այդ երևույթների բնորոշ առանձնահատկությունը լազերային փնջի

կողմից օպտիկական անհամասեռությունների մակածման հետևան-

129

քով լուսային փնջի տարածական և ժամանակային կառուցվածքի

փոփոխությունն է միջավայրում:

ա) բ)

Նկ. 9.2. ա) Եթե շերտավոր անհամասեռ միջավայրի օպտիկական խտությունը

ներքևից վերև մոնոտոն աճում է, ապա կետային աղբյուրից տարբեր ուղղու-

թյուններով դուրս եկած ճառագայթները թեքվում են դեպի վեր: բ) Բարակ մե-

տաղական շղթայիկը թույլ է տալիս մոդելավորել շերտավոր անհամասեռ միջա-

վայրում լուսային ճառագայթի ընթացքը:

Ընդ որում, այդպիսի կառուցվածքային փոփոխություններն էա-

պես կախված են լազերային փնջի ինտենսիվությունից բեկման

ցուցչի ունեցած կախվածության` այն է In մեծության նշանից:

Մասնավորապես, In >0 և փնջի բավականաչափ կտրուկ սահ-

մանի դեպքում կտրուկ է նաև միջավայրի օպտիկական հատկու-

թյունների փոփոխությունը, այնպես որ կարելի է խոսել լրիվ անդրա-

դարձման մասին, ընդ որում, լույսը չի կարող դուրս գալ փնջի զբա-

ղեցրած տիրույթից և, անցնելով միջավայրով, ինքն իրեն կիզակե-

տում է (Նկ. 9.3): Այս հետաքրքիր երևույթը Ասկարյանի առաջարկու-

թյամբ ընդունված է անվանել ինքնակիզակետում: Երևույթն առաջին

անգամ փորձնականորեն դիտել ու հետազոտել է Ն. Պիլիպեցկին:

Հետագայում ապացուցվեց, որ այս երևույթը չի սահմանափակվում

միայն էլեկտրադինամիկայով, այն ալիքային պրոցեսների ընդհա-

նուր հատկությունն է և մասնավորապես, կարող է ընթանալ նաև

հզոր ձայնային ալիքների դաշտում:

130

Նկ. 9.3. Ոչ գծային միջավայրում ինքնակիզակետման երևույթը

պարզաբանող փորձի գծապատկերը:

Այժմ անդրադառնանք երևույթի ֆիզիկական քննարկմանը: Հա-

մասեռ միջավայրում լույսի տարածումն ուղեկցվում է դիֆրակցիայի

երևույթով, այսինքն՝ տարածման ընթացքում նրա լայնական չափե-

րը մեծանում են (տես Նկ. 9.4): Ընդ որում, տարամիտման անկյունը

ad /~ , որտեղ -ն լուսային ալիքի երկարությունն է, իսկ a -ն՝

փնջի չափերը բնութագրող պարամետրը (շառավիղը): Այսպես օրի-

նակ, եթե փնջի չափը 1 սմ է, իսկ լուսային ալիքի երկարությունն ըն-

կած է տեսանելի տիրույթում, ապա 1 կմ հեռավորության վրա փնջի

տրամագիծը կկրկնապատկվի, իսկ մակերեսը կմեծանա 4 անգամ:

Նկ. 9.4. Լույսի դիֆրակցիայի երևույթը պարզաբանող գծապատկերը:

Այս պատկերն էապես փոխվում է ոչ գծային միջավայրում:

Խոսքը գնում է ոչ գծային միջավայրում տարածվող լույսի ալիքային

ճակատի՝ հենց իր կողմից առաջացրած աղավաղման մասին (հա-

ճախ այս երևույթն անվանում են նաև «մակածված ոսպնյակի

երևույթ»), որը հետևանք է տարածվող լույսի ինտենսիվությունից մի-

131

ջավայրի բեկման ցուցչի (կամ դիէլեկտրական թափանցելիության)

ունեցած կախվածության: Դա պայմանավորված է մի շարք պատ-

ճառներով.

ա) Հեղուկներում ուժեղ լուսային դաշտի ազդեցությամբ բեկ-

ման ցուցչի փոփոխությունը պայմանավորված է մոլեկուլ-

ների վերակողմնորոշմամբ (այսպես կոչված, բարձր հաճա-

խային Քերրի երևույթ, տես §5.2):

բ) Բեկման ցուցչի փոփոխությունը կարող է պայմանավոր-

ված լինել նաև միջավայրում կլանման հաշվին ջերման-

ջատմամբ, որի հետևանքով էլ առաջանում է բեկման ցուցչի

ոչ գծային հավելումը (տես §5.3):

գ) Էլեկտրաստրիկցիայի երևույթի հետևանքով լույսի էլեկտ-

րական դաշտի ազդեցությամբ դիէլեկտրիկական միջավայ-

րի խտության փոփոխությամբ, որի պատճառով փոփոխ-

վում է նաև բեկման ցուցիչը: Հասկանալի է, որ այդ փոփո-

խությունը համեմատական է լույսի ինտենսիվությանը:

Պարզելու համար, թե նշվածներից որ մեխանիզմն է գերա-

կշռում, հարկ է համեմատել այդ երևույթների հաստատման ժամա-

նակները: Առաձգական ալիքի տարածման արագությունը հեղուկ մի-

ջավայրում Óv 3105,1~ մ/վ և, հետևաբար, խտացման հաստատ-

ման ժամանակը միջավայրում Óv/~ a 610~ վ կարգի է ( 1~a մմ

դեպքում): Մոլեկուլների վերակողմնորոշման ժամանակը 1211 1010 վ կարգի է: Այդ պատճառով էլ կարճ (10-7վ) լազերային

իմպուլսների դաշտում ոչ գծայնության առաջացման կողմնորոշու-

մային (Քերրի) մեխանիզմը հիմնականն է: Ավելի երկար տևողու-

թյամբ իմպուլսների դեպքում անհրաժեշտ է հաշվի առնել նաև այլ

մեխանիզմների ներդրումը: Այս կամ այն մեխանիզմի ներդրումն

ակնհայտորեն կախված է նյութի տեսակից և լազերային ճառա-

գայթման բնութագրերից:

132

Նկ. 9.5. Փնջի լայնական հատույթի փոփոխությունը գծային (1) և ոչ գծային

(2,3,4) միջավայրում տարածվելիս ( 2 0n ):

Ոչ գծային միջավայրի բեկման ցուցիչը, ինչպես նշվել էր, կարե-

լի է ներկայացնել (9.2) տեսքով: Ոչ գծայնության 2n գործակիցը,

կախված լույսի և միջավայրի փոխազդեցության ֆիզիկական մեխա-

նիզմից, կարող է լինել դրական կամ բացասական: Փնջի էվոլյուցի-

այի բնույթը միջավայրում կախված է ոչ գծայնության գործակցի

նշանից: Հիշենք, որ ոչ գծային միջավայրում փնջի լայնական հա-

տույթը տարածման ընթացքում մեծանում է դիֆրակցիայի հետևան-

քով (Նկ. 9.5-ի 1 կորը): 02 n միջավայրում սահմանափակ տարա-

ծական չափեր ունեցող փունջն իր տարածման ուղղությամբ փո-

խում է բեկման ցուցիչը (տես.(9.2)), որի հետևանքով փնջի կենտրո-

նում փուլային արագությունը )( nc լինում է ավելի փոքր, քան եզրե-

րում, և լույսի տարածման ընթացքում նախապես հարթ ալիքային

ճակատը աղավաղվում է (ինչպես պատկերված է Նկ. 9.6-ում):

Նկ. 9.6. Հարթ ալիքային ճակատի կորացումը ոչ գծային միջավայրում 02 n :

133

Այդ աղավաղումը համարժեք է ալիքային ճակատի կորացմա-

նը հավաքող ոսպնյակում: Քանի որ օպտիկական ճառագայթները

տարածվում են ալիքային ճակատի նորմալի ուղղությամբ, փունջը

ինքնակիզակետվում է (Նկ. 9.4-ի 4 կորը): Հակառակ դեպքում (այ-

սինքն՝ 02 n ) ոչ գծային միջավայրը խաղում է ցրող ոսպնյակի դեր

և փունջը տարամիտում է:

ա բ գ

Նկ. 9.7. Տոլուոլում ինքնակիզակետվող լազերային փնջի լուսանկարը

նմուշի տարբեր հաստությունների դեպքում:

Նկ. 9.7-ում պատկերված են ոչ գծային միջավայրի տարբեր կե-

տերում լազերային փնջի լայնական հատույթները: Նկ. 9.7ա-ում

նմուշի հաստությունը փոքր է, և փունջը դեռ չի հասցրել կիզակետվել

(փնջի տրամագիծը 700մկմ է):

Նկ. 9.7բ-ում նմուշի երկարությունը մոտ է ինքնակիզակետման

երկարությանը, իսկ փնջի տրամագիծը մոտ 10 անգամ փոքր է

սկզբնական չափերից: Նկ. 9.7գ-ում նմուշի երկարությունը բավարար

է ինքնակիզակետման համար, և փունջն ունի 10մկմ սահմանային

հաստությամբ թելի տեսք:

§9.2. Սահմանային հզորություն: Ոչ գծային կիզակետ

Այժմ գտնենք ինքնակիզակետման երկարությունը՝ երկրաչա-

փական օպտիկայի մոտավորությամբ: Քննարկենք պարաբոլական

134

փնջի տարածումը (9.2) ոչ գծայնությամբ միջավայրում (տե՛ս. Նկ.

9.8):

Նկ. 9.8. Ոչ գծային միջավայրում լուսային փնջի ինքնակիզակետումը

պարզաբանող գծապատկերը:

Գրենք 1 և 2 ճառագայթների միջև փուլերի տարբերությունը՝

sfsfsf lEnc

lnc

lEnnc

2020

2020

: (9.3)

Գծագրից երևում է, որ

sfsfsf l

aallb

2

222 : (9.4)

Ալիքային ճակատի պատկերված կորության դեպքում եզրային

ճառագայթների փուլերի տարբերությունը կլինի

sfl

an

cbn

c 2

20

01

: (9.5)

և 1 փուլային տարբերությունները պետք է հավասար

լինեն`

1

կամ

sfsf l

anlEn

2

202

02 , (9.6)

135

որտեղից, ինքնակիզակետման sfl երկարության համար, ստանում ենք

2

0

0 2n

n

E

alsf : (9.7)

Այժմ գտնենք ինքնակիզակետման համար անհրաժեշտ շե-

մային դաշտի մեծությունը: Ոչ գծային միջավայրում լազերային

փունջը, բացի ինքնակիզակետումից, ենթարկվում է նաև դիֆրակցի-

այի: Դիֆրակցիան բնութագրվում է տարամիտման անկյամբ՝

0

0~and

(9.8)

(a -ն փնջի նախնական շառավիղն է, 0 -ն՝ ալիքի երկարությունը

վակուումում): Ճառագայթների ընթացքի ոչ գծայնությամբ պայմա-

նավորված կորացումը կարելի է նկարագրել

sfsf l

a

անկյամբ: Հնարավոր է 3 դեպք.

ա) dsf փունջը տարամիտում է, սակայն տարամիտման

արագությունն ավելի փոքր է, քան գծային միջավայրում

(տես. Նկ. 9.5-ի 2 կորը):

բ) Երբ dsf փունջը զուգամիտում է, այսինքն՝ ինքնակի-

զակետվում է (տես. Նկ. 9.5-ի 4 կորը):

գ) Երբ dsf , ոչ գծային միջավայրում փնջի տարածման

ընթացքում նրա ձևն ու չափերը մնում են հաստատուն

(տես Նկ. 9.5-ի 3 կորը):

Այսպիսով՝ ինքնակիզակետման երևույթի դրսևորման համար

լրացուցիչ պահանջ է ներկայացվում և՛ փնջի ինտենսիվությանը, և՛

միջավայրի ոչ գծայնությանը: Իսկապես, dsf պայմանից ստա-

նում ենք 20 E ß»Ù

20E , որտեղ ներմուծված ß»Ù

20E մեծությունը

որոշվում է

136

ß»Ù20E =

202

2

2 nna

բանաձևով: Ինտենսիվության պարաբոլական բաշխվածութամբ լա-

զերային փնջի համար կարող ենք գրել՝

2

2

00 1a

rErE : (9.9)

Համաձայն սահմանման՝ այդ փնջի հզորությունը կլինի

a

rdrrIP0

2 ,

որտեղ

rEnc

rI 2008

:

Ինտեգրելով` ստանում ենք

20

20

16

can

PE : (9.10)

P -ով նշանակված է փնջի հզորությունը: Հետևաբար, շեմային

հզորության համար ունենք

ß»ÙP

2

2

32n

c : (9.11)

Մասնավորապես, 2CS միջավայրի համար 192 1022,0 n մ2/Վ2, որ-

տեղից ß»ÙP 23 կՎտ:

Այստեղ հարկավոր է անել հետևյալ դիտողությունը՝ 02 n մի-

ջավայրում ß»ÙPP հզորությամբ փունջը կտրուկ կիզակետվում է, ո-

րը շարունակվում է այնքան ժամանակ, մինչև զգալի են դառնում ոչ

գծային այլ երևույթների ազդեցությունները, որոնք էլ ընդհատում են

ինքնակիզակետումը: Թե ինչպիսի ոչ գծային երևույթներ կզարգա-

նան կիզակետում, կախված է ոչ գծային միջավայրից: Դրանք, մաս-

նավորապես, կարող են լինել նոր հաճախությամբ լույսի ձևավորման

137

երևույթներ (ստիպողական կոմբինացված ցրումը, Մանդելշտամ-

Բրիլյուենյան ստիպողական ցրումը և այլն):

§9.3. Լույսի ինքնաապակիզակետումը ուժեղ ոչ գծայնությամբ

միջավայրում

Նախորդ կետի քննարկման ժամանակ համոզվեցինք, որ ուժեղ

լուսային դաշտի ազդեցությամբ միջավայրը փոխում է հատկություն-

ները և՛ փնջի տարածման, և՛ փնջի տարածմանն ուղղահայաց ուղ-

ղությամբ առաջանում է բեկման ցուցչի բաշխվածություն: Ինչպես

երևում է (9.2.) արտահայտությունից, լազերային փնջի առկայության

հետևանքով առաջացող բեկման ցուցչի հավելումը՝ 2

20 Ennnn , (9.12)

կախված է միջավայրի ոչ գծային հատկություններից՝ 2n -ից և ընկ-

նող ալիքի ինտենսիվությանը համեմատական 2E -ից: Երբ

22n E մե-

ծությունը փոքր է, ինքնազդեցության հետևանքով փոխվում են միայն

փնջի տարածական չափերը՝ թողնելով անփոփոխ նրա պրոֆիլը

(այսպես կոչված, առանց լուսախոտորման (ոչ աբեռացիոն) ինք-

նաապակիզակետում): Երբ միջավայրում տարածվում է մեծ ինտեն-

սիվության ալիք (այնպես, որ 2

2n E մեծությունը դառնում է զգալի)

առաջանում են խոտորումներ, և փնջի տեսքը ձևափոխվում է:

Այս հարցը քննարկենք մանրամասն: Ենթադրենք ընկնող փնջի

ինտենսիվությունն ունի հետևյալ (գաուսյան) տեսքը՝

20

22

0

2exp

a

rEE , (9.13)

որտեղ r -ը լայնական կոորդինատն է, 0a -ն՝ փնջի շառավիղը: Անց-

նելով d հաստության շերտով՝ փնջի տարբեր հատվածներ ձեռք են

բերում փուլերի

138

2/

2/

,2 d

d

dzzrnr (9.14)

տարբերություն, որտեղ 0,, nzrnzrn : Տեղադրելով (9.12) և

(9.13) արտահայտությունները (9.14)-ի մեջ՝ գտնում ենք, որ

20

2

0 expa

r : (9.15)

Այստեղ համառոտության համար օգտագործվել է հետևյալ

նշանակումը՝

2

0 2 0

2 dn E

: (9.16)

Ինչպես երևում է Նկ. 9.9-ից, ցանկացած 1r կետի համար գոյու-

թյուն ունի նույն ածանցյալով մեկ այլ՝ 2r կետ: Հաշվի առնելով, որ

( )d dr k ( k -ն ալիքային թիվն է), կարելի է ասել, որ 1r և 2r կե-

տերի շրջակայքից եկող ալիքներն ունեն նույն ալիքային վեկտորը և

կարող են առաջացնել ինտերֆերենցիա: Ինտերֆերենցիայի

պատկերի առավելագույնները և նվազագույններն առաջանում են,

երբ փուլերի տարբերությունը

mrr 21 , (9.17)

որտեղ m-ը ամբողջ թիվ է: Եթե 20 պայմանավորված է

2

2 0n E մեծությամբ, ապա առաջանում է ինտերֆերենցիայի օղակ-

ների համակարգ, որոնց թիվը կարելի է որոշել հետևյալ պարզ

առնչությամբ՝

20

N : (9.18)

139

Նկ. 9.9. Ջերմային ինքնաապակիզակետման ժամանակ ինտերֆերենցիոն

օղակների առաջացումը պարզաբանող գծապատկերը:

Այստեղ 0 -ն ընթացքների տարբերությունն է փնջի կենտրոնում:

Նկ. 9.10. Ջերմային ինքնաապակիզակետման դիտման փորձը և առաջացող ին-

տերֆերման օղակները: 1-Լազեր, 2-հավաքող ոսպնյակ, 3-ոչ գծային նմուշ,

4-էկրան, 5-ֆոտոընդունիչ, 6-գրանցող սարք:

Երևույթի դիտման համար (տես Նկ. 9.10) օգտագործվում է 5-10

մվտ հզորությամբ անընդհատ գործողության միամոդ լազեր (1), որի

ելքային հզորությունը կարգավորվում է երկու բևեռիչների օգնու-

թյամբ, որոնցից երկրորդը օգտագործվում է (4) նմուշի վրա ընկնող

լազերային ճառագայթի բևեռացումն անփոփոխ պահելու համար:

Լազերային ճառագայթման հզորությունը չափվում է 6 գրանցող

սարքի օգնությամբ: 1-4 մմ հաստության հարթ զուգահեռ փորձանո-

թը, որը պարունակում է ադամանդականաչի քլորոֆորմային լու-

ծույթ, տեղավորվում է 40-45 մմ կիզակետային հեռավորություն ունե-

140

ցող (3) ոսպնյակի կիզակետում: Անցած փնջի կառուցվածքը դիտ-

վում է (5) էկրանի վրա:

§9.4. Լույսի «բանանային» ինքնակիզակետումը

Ինքնակիզակետման խնդիրների զգալի մասում դիտվում էին

դեպքեր, երբ լազերային փունջը գաուսյան կամ պարաբոլական

տեսքի էր, այսինքն՝ ինտենսիվությունը նվազում էր առանցքից դեպի

եզր, որը և ապահովում էր rn < 0 ամբողջ փնջի համար: Սակայն

պրակտիկ հետաքրքրություն ներկայացնող մի շարք դեպքերում, երբ

Tn <0 և փնջի ինենսիվությունը նվազում է առանցքից հեռանա-

լիս, պետք է դիտվի ինքնաապակիզակետում:

Նկ. 9.11. Միջավայրով անցած փնջի նկարը. ա) առանց կլանող խառնուրդի ջրի

դեպքում, բ) փոքր կոնցենտրացիայով կլանող բաղադրիչի առկայությամբ,

գ) նույնը շարժվող ժապավենի վրա (համապատասխանում է 600մկվ

տևողության):

Եթե վերցնենք ինտենսիվության ոչ մոնոտոն կախվածությամբ

փունջ (առանցքից հեռանալիս աճ, որից հետո կտրուկ անկում եզ-

րում` որոշակի mr հեռավորությունից սկսած) պետք է դիտվի փնջի

ինքնակիզակետում mrr տիրույթում և ինքնաապակիզակետում

mrr տիրույթում (ճառագայթի կլպում բանանի նման): Ասվածը

ցուցադրվում է Նկ. 9.11-ում: Հարկ է նշել, որ անհամասեռ լազերային

141

փնջերում ինքնակիզակետման երևույթը բավականաչափ բարդ

բնույթ է կրում և էապես տարբերվում է (9.15) արտահայտությամբ

նկարագրվող գաուսյան փնջերում ընթացող երևույթներից:

§9.5. Ամփոփում

Խորանարդային երևույթներից ամենատարածվածներից մեկը

ինքնազդեցության երևույթներն են, որոնք լայնորեն կիրառվում են

լազերային փնջերի պարամետրերի կառավարման բնագավառում:

Այս թեմայում ինքնազդեցության երևույթներից ներկայացված

են ինքնակիզակետումը և ինքնաապակիզակետումը: Անդրադարձ է

կատարված նաև մի յուրօրինակ երևույթի՝ «բանանային» ինքնաա-

պակիզակետմանը անհամասեռ լազերային փնջում:

Նշենք, որ խորանարդային երևույթները չեն սահմանափակվում

8-րդ և 9-րդ թեմաներում քննարկվածներով: Լայնորեն տարածված-

ներից արժանահիշատակ են հատկապես կոմբինացված հաճախու-

թյունների գեներացիայի վրա հիմնված տարաբնույթ ռեզոնանսների

ուսումնասիրման սպեկտրոսկոպիական մեթոդները, ալիքային ճա-

կատի շրջումը և մի շարք այլ երևույթներ, որոնց նկարագրությանը

կանդրադառնանք հաջորդ թեմաներում:

142

ԹԵՄԱ 10. ԻՆՔՆԱԶԴԵՑՈՒԹՅԱՆ ԵՐԵՎՈՒՅԹՆԵՐ ԵՎ ՈՉ

ԳԾԱՅԻՆ ՔՎԱԶԻՕՊՏԻԿԱ

§10.1. Ինքնազդեցության երևույթներ

Քննարկենք այժմ համասեռ իզոտրոպ միջավայրում հարթ ալի-

քի տարածման խնդիրն այն դեպքում, երբ միջավայրում առկա է խո-

րանարդային ոչ գծայնություն: Խորանարդային երևույթների ողջ

բազմազանությունը նկարագրում է նոր ալիքի գեներումը կոմբինաց-

ված 3

1

, 0, 1q j j jj

m m

(10.1)

հաճախության վրա: Բոլոր հնարավոր խորանարդային ոչ գծային

օպտիկական պրոցեսներից կանդրադառնանք մեկին՝

: (10.1ա)

Նման տիպի փոխազդեցությունը նկարագրում է, ինչպես ըն-

դունված է անվանել, ինքնազդեցության երևույթները: Դա նշանա-

կում է, որ ոչ գծային փոխազդեցության արդյունքում գեներացված

ալիքն ունի նույն հաճախությունը, ինչ-որ այն մակածողը: (4.6) հա-

վասարման աջ մասի ոչ գծային բևեռացումը այս դեպքում ներկա-

յացվում է հետևյալ տեսքով՝

(3) (3)( ) ( ; , , ) ( ) ( ) ( )P E E E

: (10.2)

Դաշտը միջավայրում ներկայացնենք հետևյալ տեսքով՝

1( , ) . .

2i t kzЕ z t A z e c c : (10.3)

Այդ դեպքում (4.6) հավասարումը կլինի՝

2 2 2

2 2 2

( , )( , ) ( , )

d Е z tЕ z t Е z t

dz c c

: (10.4)

143

Այստեղ -ով նշանակված է ոչ գծային հավելումը՝

2 2(3)

24 ( ; , , ) E E : (10.4ա)

Ոչ գծայնության 2 գործակիցը սահմանված է (9.1ա) արտա-

հայտությանը համանման տեսք տալու նպատակով: Գծային և ոչ

գծային կլանման պրոցեսները հաշվի առնելու համար կարելի է ըն-

դունել նաև, որ 0 և 2 մեծությունները կոմպլեքս են, այսինքն՝

2 2 2( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( ) :i i (10.4բ)

Տեղադրելով դաշտի (10.3) տեսքը (10.4) հավասարման մեջ և

օգտվելով դանդաղ փոփոխվող լայնույթի մոտավորությունից՝ վերջ-

նականորեն ստանում ենք

2 2

2 2

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

dA zA z A z A z ik A z A z

dz : (10.5)

Այստեղ սահմանված

22;

2 2c c

(10.6ա)

մեծությունները նկարագրում են գծային և ոչ գծային կլանումները,

իսկ

22

2k

c

(10.6բ)

ալիքային թվի ոչ գծային հավելումն է: Ինչպես և նախորդ դեպքում

( )( ) i zА z ae (10.7)

նշանակմամբ անցնենք իրական մեծությունների: Տեղադրենք (10.5)

հավասարման մեջ և առանձնացնենք իրական և կեղծ մասերը,

կստանանք

2

2

22

( )( ) ( )

( )( )

da za z a z

dzd z

k a zdz

: (10.8)

Ստացված հավասարումների (10.8) համակարգը թույլ է տալիս

նկարագրելու միջավայրի խորանարդային ոչ գծայնությամբ պայ-

144

մանավորված ինքնազդեցության մի շարք երևույթներ: Անդրադառ-

նանք ոչ գծային ընկալունակության իրական և կեղծ մասերով պայ-

մանավորված երևույթներին առանձին-առանձին:

§10.2. Լույսի ոչ գծային դիսպերսիա

Ենթադրենք միջավայրի գծային և ոչ գծային կլանումները բա-

ցակայում են` 2 0 : (10.8) համակարգի լուծման համար ան-

հրաժեշտ է հաշվի առնել նաև եզրային

0 00 ; ( 0)a z a z (10.9)

պայմանները: Այդ դեպքում առաջին հավասարումից ստանում ենք

00a z a z a , (10.10ա)

իսկ երկրորդից`

2 22 0 2 0 0( ) ( )z k a z dz k a z : (10.10բ)

Դաշտի վերջնական տեսքի համար կարող ենք գրել

0 .

1( , ) .

2nli t k zЕ z t a e c c , (10.11)

որտեղ

2

2 2 02 0 2nl

ak k k a

c c

: (10.11ա)

Ինչպես երևում է դաշտի (10.11) տեսքից, ոչ գծային հավելման

իրական մասի առկայությունը հանգեցնում է ալիքային թվի և, որպես

հետևանք, փուլային արագության` դաշտի լայնույթից կախվածու-

թյան

2nl 2 0p p2

2 0

v v 120.5

l

nl

ac

k a

: (10.12)

Այստեղ pvl k -ն գծային միջավայրում ալիքի տարածման

փուլային արագությունն է: Ինչպես տեսնում ենք, 2 0 դեպքում ա-

145

լիքի տարածումը դանդաղում է, իսկ հակառակ` 2 0 , դեպքում՝

արագանում: Քանի որ միջավայրի ոչ գծային և գծային մասերի

կախվածությունները հաճախությունից տարբերվում են, ապա, որ-

պես հետևանք, դաշտի լայնույթից կախվածությունը հանգեցնում է

միջավայրի դիսպերսային հատկությունների փոփոխությանը: Այս

երևույթն ընդունված է անվանել ոչ գծային դիսպերսիա:

§10.3. Լույսի ոչ գծային կլանում

Ի տարբերություն նախորդի` այստեղ ընդունենք, որ կլանումը

բավականաչափ մեծ է: Այդ դեպքում հարկ է լուծել նաև (10.8ա) հա-

վասարումը: Այն Բեռնուլիի

1 2

( )( ) ( ) ( ) ( )ndy zf z y z f z y z

dz (10.13)

հավասարման մասնավոր դեպքն է, որտեղ

( ) ( )y z a z ; 1( )f z ; 2 2( )f z ; 3n : (10.13ա)

Բաժանենք (10.8ա) հավասարման երկու կողմը 3a -ի վրա և կա-

տարենք փոփոխականի

1

1( )

( )np z

a z (10.13բ)

փոխարինում: Տվյալ դեպքում 2( ) ( )p z a z և

3

1 ( ) ( )( )da d

az az

z p za z

: (10.13գ)

Արդյունքում ստանում ենք

2

( )( )

dp zp z

dz : (10.14)

Հեշտ է տեսնել, որ (10.14) հավասարման երկու մասը բազմա-

պատկելովze

-ով, կարելի է այն ներկայացնել հետևյալ տեսքով՝

146

2

( ) zz

d p z

dz

ee

: (10.14ա)

Այս հավասարումն ինտեգրելուց և հիմնական փոփոխականին

անցնելուց հետո ստանում ենք

2

2

( ) zCa z

e

, (10.15)

որտեղ C -ն եզրային պայմաններից որոշվող հաստատուն է: Որոշե-

լով այն (10.9) եզրային պայմանից՝ կարող ենք գրել որոնվող լուծման

վերջնական տեսքը՝

2

2 02

2 01( )

z z

aa z

ae e

: (10.15ա)

Միայն գծային կլանման առկայությամբ 2 0 այդ հավա-

սարման լուծումը Բուգերի և Լամբերտի օրենքն է՝

0( ) za z a e : (10.16)

Անդրադառնանք այն դեպքին, երբ գծային կլանումը բացակա-

յում է` 0 , և առկա է միայն ոչ գծային կլանումը 2 0 : Անցնե-

լով սահմանի, երբ 0 , և կիրառելով Լոպիտալի կանոնը կարող

ենք ստանալ 2

2 02

2 01( )

z

aa z

a : (10.16ա)

Ինչպես երևում է ստացված արտահայտությունից, ոչ գծային

կլանմամբ միջավայրում մեծ լայնույթով ալիքն արագ է մարում: Հե-

տաքրքրական է, որ 122 0z a

հեռավորությունների դեպքում ել-

քային լայնույթը կախված չէ մուտքայինից` 122( ) za z : Դա նշա-

նակում է, որ ոչ գծային կլանմամբ բավականաչափ հաստ միջավայ-

րը կարող է օգտագործվել որպես ինտենսիվության սահմանափա-

կիչ:

147

§10.4. Ոչ գծային քվազիօպտիկա

Ինքնազդեցության երևույթներն առավել ցայտուն դրսևորվում

են ոչ գծային միջավայրերում ալիքային փնջերի տարածման դեպ-

քում, այսինքն՝ նեղ անկյունային սպեկտր ունեցող ալիքներում: Այժմ

անդրադառնանք (4.6) հավասարման քննարկմանն այն դեպքում,

երբ ոչ գծային միջավայրով տարածվում է սահմանափակ տարածա-

կան չափեր ունեցող փունջ: Փոքր տարամիտմամբ փնջի և փոքր ոչ

գծայնությամբ միջավայրի դեպքում (4.6) հավասարումը կարելի է

պարզեցնել: (4.8) արտահայտության համաձայն ներկայացնենք

դաշտը միջավայրում հետևյալ տեսքով՝

1( , ) . .

2

i t krЕ r t eA r e c c

: (10.17)

Սահմանափակ տարածական չափերով փնջերի տարածման

դեպքում (10.4) հավասարման փոխարեն կարելի է գրել

2 2

2 2( ) ( ) ( )E r E r E r

c c

: (10.18)

Այս հավասարումը նույնպես կարելի է լուծել դանդաղ փոփոխ-

վող լայնույթի մեթոդով: Հարկ է հաշվի առնել միայն երկայնական և

լայնական ուղղություններով դաշտի փոփոխման արագությունների

տարբերությունը: Ներկայացնենք որոնվող դաշտը հետևալ տեսքով՝

1( ) , , . .

2ikrЕ r eA x y z e c c

: (10.19)

Այստեղ z -ը փնջի տարածման ուղղությունն է, yx, -ը` լայնա-

կան կոորդինատներն են, , ,A x y z -ը` դանդաղ փոփոխվող

լայնույթը: Հարմարության համար ներմուծված է նաև 1 պարա-

մետրը, ընդ որում, ընդունում ենք, որ : Նկատենք հետևյալը՝

ինքնաֆոկուսացման հետևանքով փնջի ինտենսիվությունը տարած-

ման ընթացքում աճում է: Որպես հետևանք, հավելման մեջ, ի

տարբերություն (10.4ա)-ի, հարկ է լինում պահպանել ինտենսիվու-

թյան բարձր աստիճանին համեմատական գումարելիներ (ոչ գծայ-

148

նության հագեցումը հաշվի առնելու համար): Ուստիև այս քննարկ-

ման ընթացքում դեռևս կշարունակենք պահպանել նշանակումը:

(10.19) արտահայտությունը ընդգծում է այն փաստը, որ փնջի լայ-

նույթի փոփոխությունը լայնական հատույթով ավելի արագ է, քան

տարածման ուղղությամբ: Տեղադրելով (10.19) տեսքը (10.18) հավա-

սարման մեջ և, սահմանափակվելով փոքր պարամետրի առաջին

աստիճանի գումարելիներով` ստանում ենք հետևյալ հավասարումը՝

2

22

2k

ik A Az c

: (10.20)

Այստեղ 2 Լապլասի օպերատորն է ըստ լայնական կոոր-

դինատների: Նկատենք, որ 0 դեպքում այս հավասարումը վեր

է ածվում դիֆրակցիայի քվազիօպտիկական տեսությունում լայնո-

րեն օտագործվող պարաբոլական հավասարմանը: Այսպիսով՝

(10.20) հավասարումը համապատասխաում է ոչ գծային միջավայ-

րում քվազիօպտիկական մոտավորությանը: Այն նկարագրում է դիֆ-

րակցվող փնջերի ինքնազդեցությունը: Հետագա քննարկման ընթաց-

քում կընդունենք, որ , մեծություններն իրական են, դրանով իսկ

անտեսելով գծային և ոչ գծային կլանման ազդեցության հաշվառու-

մը: Սահմանափակվենք գլանային համաչափություն ունեցող փնջե-

րի տարածմամբ: Այդ դեպքում Լապլասի օպերատորի տեսքը

հետևյալն է՝

1

rr r r

: (10.20ա)

Այստեղ r -ը շառավղային կոորդինատն է` հեռավորութունը z

առանցքից: (10.20) հավասարումը կոմպլեքս է: Ձևական նմանության

պատճառով այն ընդունված է անվանել Շրյոդինգերի ոչ գծային

հավասարում: Շատ դեպքերում, ինչպես արդեն քննարկվել է նա-

խորդ պարագրաֆում, նպատակահարմար է անցնել իրական մեծու-

թյունների: Այդ պատճառով որոնվող ( , )A r z լայնույթը ներկայաց-

նենք հետևյալ տեսքով՝

149

( , )( , ) ( , ) i r zA r z a r z e , (10.20բ)

որտեղ ( , )a r z -ն իրական լայնույթն է, իսկ ( , )r z -ն` իրական փուլը

կամ էյկոնալը (εἰκών-պատկեր), որը հարթ ալիքի էյկոնալի հավելում

է: Տեղադրելով այս տեսքը (10.20) հավասարման մեջ և անջատելով

իրական ու կեղծ մասերը` կստանանք

2

2ak az

, (10.21ա)

2

2

2

10

2 2

ak

z k k a

: (10.21բ)

(10.21ա)-ն տեղափոխման հավասարումն է, որը համապատաս-

խանում է դիֆերենցիալ տեսքով ներկայացված էներգիայի պահ-

պանման օրենքին: Քանի որ ( , )r z -ը որոշում է փնջի ալիքային

ճակատը, ապա (10.21բ)-ն նկարագրում է դիֆրակցիայի

( 2 2( )a k a -գումարելին) և ինքնակիզակետման ( -գումարելին)

ազդեցությամբ այդ ճակատի աղավաղումը: (10.21բ) հավասարման

տեսքը արտաքուստ նման է դասական մեխանիկայի Համիլտոն-Յա-

կոբիի

0S

Ht

(10.22)

հավասարմանը, որտեղ 2

2

pH V

m : (10.22ա)

V պոտենցիալ էներգիայով դաշտում շարժվող մասնիկի Համիլ-

տոնի ֆունկցիան է, իսկ ( , , )S q p t -ն` գործողությունը: Այս դեպքում

( , )r z -ը S գործողության համարժեքն է, , ,r k z փոփոխականե-

րը` , ,q m t -ի, 2 -ն`2p -ու, իսկ

2

22

akV

k a

(10.22 բ)

150

պոտենցիալ էներգիայի դերում: Այժմ կարելի է գրել Համիլտոն-Յա-

կոբիի հավասարումից ստացվող շարժման 2

2

q Vmt q

(10.22 գ)

հավասարման համարժեքը, որը հետևում է (10.21բ)-ից՝

2 2

2 2

1 1

2

r aV

z k r r k a

: (10.23)

Այս հավասարումը նկարագրում է ճառագայթի r հետագծի z

կոորդինատից ունեցած կախվածությունը: (10.23) հավասարման լու-

ծումը կարելի է ներկայացնել V պոտենցիալ հորում շարժվող մասնի-

կի շարժման համանմանությամբ: Սակայն այս դեպքում կա որոշա-

կի առանձնահատկություն: V պոտենցիալը տվյալ դեպքում հայտնի

է, եթե հայտնի է ( , )a r z , որը կարելի է գտնել լուծելով (10.21) հա-

վասարումների համակարգը: Որպես մոտավորություն կարելի է ըն-

դունել, որ փնջի կենտրոնական մասը պահպանում է իր նախնական

պրոֆիլը` փոխելով միայն պարամետրերը: Նման մոտեցումն արդա-

րացված է, քանի դեռ ճառագայթների կորությունը ֆոկուսացման ըն-

թացքում կարելի է անտեսել: Ընդունենք, որ փնջի սկզբնական տեսքը

գաուսյան է: Այդ դեպքում փնջի կենտրոնական մասի համար

( 0 r ), համաձայն վերն ասվածի, կարող ենք գրել

20

0 2( , ) exp

( ) 2 ( )

ra r z a

z z

: (10.24)

Այս մոտավորությանն անվանում են մերձառանցքային: Յուրա-

քանչյուր ճառագայթ ընթանում է այնպիսի հետագծով, որի համար

0 0r r , որտեղ 0r -ն և 0 -ն 0z կետում ճառագայթի

կոորդինատը և շառավիղն են համապատասխանաբար: (10.24)

տեսքն ունեցող փնջի դեպքում V պոտենցիալն ընդունում է հետևյալ

տեսքը՝

151

2

2 2 2 4

1( , )

2 2

rV r k

k k

: (10.25)

Քանի որ մերձառանցքային մոտավորության դեպքում r ,

ստանում ենք

2 2

1(0, ) ( )

2V V k

k

: (10.25ա)

(10.23) հավասարման մեջ փոխարինենք ( ) ( )r z z -ով,

կստանանք 2

2

( ) 1 ( )z V z

z k

:

( )z z -ով բազմապատկելուց հետո մեկ անգամ ինտեգրումը

հանգեցնում է հետևյալ արտահայտությանը՝ 2

( )( )

2

k zV const

z

: (10.26)

Այս արտահայտությունը պոտենցիալային դաշտում շարժվող

մասնիկի էներգիայի պահպանման օրենքի համարժեքն է: Ընտրենք

եզրային պայմանները՝

00

( ) ( )( 0) ;

z

z zz

z z

:

Վերջնականորեն (10.26) հավասարման լուծման համար ստա-

նում ենք

0

00

2 ( )

z

zz V V d

k z

: (10.27)

Այս արտահայտության միջոցով կարելի է որոշել ոչ գծային կի-

զակետային հեռավորությունը, քանի որ կիզակետում

min

( )( ) ; 0

z f

zz f

z

:

Այստեղից

152

min

0

00

2 ( )

z

zf V V d

k z

: (10.27ա)

Այժմ փնջի ինքնակիզակիտման և դիֆրակցիայի երևույթները

կարելի է մեկնաբանել` ելնելով պոտենցիալ հորում մասնիկի շարժ-

ման հետ նմանությունից: Ինչպես երևում է (10.25ա) արտահայտու-

թյունից, V պոտենցիալի դրական կամ բացասական լինելը պայմա-

նավորված է երկու գործոնների` դիֆրակցիայի ( 2 2 1( )k ) և ինքնա-

կիզակիտման՝ 0/ , մրցակցությամբ: Եթե -ը բավականաչափ

մեծ է, սակայն հագենում է մեծ ինտենսիվությունների դեպքում, ապա

V պոտենցիալի մոտավոր տեսքը կարող է լինել այնպիսին, ինչպի-

սին պատկերված է Նկ. 10.1:

Նկ. 10.1. V պոտենցիալ էներգիայի կախվածությունը փնջի շառավղից: Կորը

ցույց է տալիս պոտենցիալ հորում մասնիկի շարժման և ինքնակիզակիտման

միջև նմանությունը:

Ինչպես երևում է նկարից, փնջի մեծ շառավղի (կամ որ

նույնն է` փոքր ինտենսիվության) դեպքում ինքնակիզակետումը կա-

153

րող է գերակշռել դիֆրակցիան: Սակայն, երբ փնջի չափերը սեղմ-

վում են և ինտենսիվությունը մեծանում, -ի աճը սահմանափակ-

վում է, և սկսում է գերակշռել դիֆրակցիան: Պոտենցիալ հորում

գտնվող մասնիկի նմանությամբ կարելի է պնդել, որ եթե փնջի

սկզբնական զուգամիտումը կամ տարամիտումը 0( )z z (հա-

մապատասխանում է մասնիկի արագությանը) փոքր է, քան

0 2V k , ապա փնջի շառավիղը տարածման ընթացքում պար-

բերաբար կփոխվի max -ից մինչև min : Նշենք, որ max -ը որոշվում է

2

0 max0

( )( ) ( )

2

k zV V

z

պայմանից: Եթե 0 0( ( ) ) ( ) 2z z V k , ապա փունջը երբեք չի

կիզակետվի և կդիֆրակցվի մինչև անվերջություն, չնայած

0( ( ) ) 0z z դեպքում սկզբնապես այն կարող է նաև կիզակետ-

վել: Մի փոքր ձևափոխենք (10.25ա) արտահայտությունը: Գաու-

սյան փնջի դեպքում պարաքսիալ մոտավորությամբ V պոտենցիալն

ունի հետևյալ տեսքը՝

2 2

1( )

2V k

k

, (10.28)

Ամբողջացման համար տեղադրենք 2

2 a , կստանանք

2

0

1( ) 1

PV

k P

, (10.28ա)

որտեղ 2 22

2 0 00 2

2 0

; 24 2

c ac cP P r a dr

: (10.28բ)

P -ն լազերային փնջի հզորությունն է: Մասնիկի հետ նմանու-

թյունից օգտվելով, կարող ենք միանգամից ասել, որ ինքնակիզակե-

տում տեղի ունի, եթե 0P P : Քանի դեռ փնջի սկզբնական տարամի-

154

տումը ( 2

02 ( )k z z ) փոքր է 0( )V -ից, ինքնակիզակետման

ազդեցությունը միշտ գերակշռող է դիֆրակցիայից, և փնջի շառավի-

ղը փոքրանում է մինչև զրո: Մասնավոր դեպքում, երբ 0P P , ստա-

նում ենք 0V , և, եթե 0( ) 0z z , ապա փունջը պետք է տա-

րածվի առանց շառավիղը փոխելու: Այդ դեպքը համապատասխա-

նում է փնջի ինքնականալավորմանը: Եթե V -ն որոշվում է (10.28)

արտահայտությամբ, ապա (10.27ա)-ից կարող ենք ստանալ 22

2 2 400 0 0 0

21 1

z P z

k P z

: (10.29)

Այս արտահայտությունը նկարագրում է փնջի շառավղի փոք-

րացումը` տարածմանը զուգընթաց: Ֆոկուսային հեռավորությունը

կստացվի, եթե տեղադրենք fz , որի դեպքում 0 , ուստիև

20

20 0 0

2

1 2

kf

P P k z

: (10.30)

Եթե 00z , ապա այս արտահայտությունը ընդունում է

հետևյալ տեսքը՝

2/10

20

1/

2/

PP

kaf : (10.31)

Այն նկարագրում է ոչ գծային կիզակետային հեռավորության

կախվածությունը փնջի հզորությունից մերձառանցքային մոտավո-

րությամբ: Լազերային փնջի հզորության որոշակի տիրույթում այն

լավ համընկնում է փորձի հետ:

§10.5. Ալիքային ճակատի շրջում

Փուլային համալուծման օպտիկան (оптика фазового сопряжения)

կոհերենտ օպտիկայի համեմատաբար նոր ուղղություններից է: Այն

155

ներառում է իրական ժամանակային մասշտաբում էլեկտրամագնի-

սական դաշտերի մշակման համար ոչ գծային օպտիկական մեթոդ-

ների կիրառումը: Նման երևույթների առ այսօր հայտնի բազմազան

կիրառությունների հիմքը (պատկերների հաղորդում, իմպուլսի սեղ-

մում, պատկերի մշակում և այլն) ընկնող ալիքի փուլի շրջումն է,

կամ, ինչպես ընդունված է անվանել, ալիքային ճակատի շրջման

երևույթը (տես Նկ. 10.2): Երևույթի էությունը հետևյալն է՝ ընկնող

փնջի ալիքային ճակատը, անցնելով միջավայրով, աղավաղվում է:

Փնջի հակառակ ուղղությամբ շարժման դեպքում (սովորական հայե-

լուց անդրադառնալիս) այդ աղավաղումները կրկնապատկվում են:

Եթե անդրադարձումը ալիքային ճակատը շրջող հայելուց է, միջա-

վայրն անցնելուց հետո բոլոր աղավաղումներն անհետանում են

(իհարկե, եթե փոքր է դիֆրակցիայի ազդեցությունը): Նկ. 10.3-ում

պատկերված է ալիքային ճակատի վերականգնման օրինակը խա-

զագծված (протравленная) ապակու շերտն անցնելու ընթացքում:

Նկ. 10.2. Ալիքային ճակատի աղավաղման բնույթը միջավայրով (ուղիղ և հա-

կառակ ուղղություններով ) փնջի տարածման ընթացքում սովորական հայելու

(վերևի նկար) և ալիքային ճակատը շրջող հայելու (ներքևի նկար) կիրառմամբ:

156

Ալիքային ճակատի շրջման երևույթը քննարկենք քառալիք

խառնման պրոցեսի օրինակով (Նկ. 10.4): Ենթադրենք միջավայ-

րով՝ հակառակ ուղղություններով, տարածվում են երկու մեծ ինտեն-

սիվությամբ, 1,2 հաճախությամբ 1E

և 2E

ալիքներ (մղման ալիք-

ներ):

ա) բ) գ)

Նկ. 10.3. Աբերացիաների ուղղման երևույթը ցուցադրող լուսանկարները:

ա) չաղավաղված լազերային փունջը բ) փունջը աղավաղող ապակե թիթեղն

անցնելուց հետո գ) փունջը ալիքային ճակատը շրջող հայելուց անդրադառ

նալուց և միջավայրը երկրորդ անգամ անցնելուց հետո:

Նկ. 10.4. Ալիքային ճակատի շրջումը քառալիք փոխազդեցության ժամանակ:

Միաժամանակ որևէ այլ ուղղությամբ տարածվում են նաև 3E

և

4E

ալիքներ (հաճախությունները՝ 3,4 ), որոնք կարող են և հարթ

157

չլինել, ընդ որում՝ 4E

-ը մուտքային ալիքն է, իսկ 3E

-ը՝ ելքային: Խո-

րանարդային ոչ գծայնությամբ պայմանավորված՝ միջավայրում ըն-

թանում է քառալիք փոխազդեցություն և էներգափոխանակություն

նրանց միջև: Քանի որ 1E

,2E

ալիքները ենթադրվում են բավականա-

չափ մեծ ինտենսիվություն ունեն, կարելի է պնդել, որ էներգափոխա-

նակությունն ընթանում է 3E

և 4Eալիքների միջև: Նման քառալիք

փոխազդեցությունը նկարագրվում է միջավայրի խորանարդային

(3) (3), ( , ) ( , ) ( , )P z t Е r t Е r t Е r t

(10.32)

բևեռացմամբ: Դանդաղ փոփոխվող լայնույթի մոտավորությամբ այդ

դաշտերը կարելի է ներկայացնել (4.8ա,բ)-ի համանման տեսքով՝

4

1

1( , ) . .

2ii t

i ii

Е r t e E r e c c

: (10.32ա)

( ) iik ri i iЕ r e A r e

: (10.32բ)

Այստեղ 1 4i դաշտերի համարներն են: Միջավայրում ընթա-

ցող պրոցեսները, որոնք ապահովում են այդ էներգափոխանակու-

թյունը, հետևյալներն են՝

3 1 2 4 (10.33)

4 1 2 3 (10.33ա)

Եթե մղման ալիքների հաճախությունները նույնն են՝

1 2 , և համընկնում են մուտքային 4E

ալիքի հաճախության

հետ՝ 4 , ապա

(10.33բ)

քառալիք խառնման պրոցեսի արդյունքում ելքային 3E

ալիքի հաճա-

խությունը նույնպես կլինի 3 : (10.32) արտահայտության 512

գումարելիներից միայն վեցն են ապահովում (10.33) քառալիք պրո-

ցեսը և ևս վեցը՝ (10.33ա): Ֆիքսելով բոլոր ալիքների բևեռացումները

որոշակի ուղղությամբ, նման քառալիք փոխազդեցությունը կարելի է

նկարագրել հետևյալ սկալյար արտահայտությամբ՝

158

(3) (3)3 3 1 2 4

3( ) ( ; , , ) (z)

2P z E E E

: (10.34)

Այս փոխազդեցության արդյունքում գեներվող 3E

ալիքը նույն-

պես մասնակից է դառնում (10.33ա) տիպի խառնման պրոցեսի, ինչի

արդյունքում մակածվում է

(3) (3)4 4 1 2 3

3( ) ( ; , , ) ( )

2P z E E E z

: (10.34ա)

Արդյունքում մակածված (10.34) և (10.34ա) բևեռացումներն ա-

պահովում են 3E

և 4E

ալիքների միջև էներգափոխանակությունը

1E

,2E

դաշտերի առկայությամբ: Քանի որ 1E

,2E

ալիքները ենթադր-

վում են բավականաչափ մեծ ինտենսիվության, նրանց նկատմամբ

կիրառելի է տրված դաշտի մոտավորությունը, այսինքն՝

1 1 2 2;E z A const E z A const :

Դաշտերի (10.32) տեսքի օգնությամբ նշված բևեռացումները

կարելի է ձևափոխել.

1 2 3( ) r(3) (3)3 3 1 2 4

3( ) ( ; , , ) ( ) e . .

2i k k kP z A A A z c c : (10.34բ)

Նկատենք, քանի որ 1E

և 2E

ալիքները հակուղղված են

1 2 0k k

, իսկ

3 ( )z zk e k e nc

:

Հետևաբար, կարող ենք գրել՝

(3) (3)3 3 1 2 4

3(z) ( ; , , ) ( ) e

2ikzP A A A z

: (10.34գ)

Համանման կարելի է ներկայացնել նաև (10.34ա) արտահայ-

տությունը՝

(3) (3)4 3 1 2 3

3( ) ( ; , , ) ( ) e

2ikzP z A A A z

: (10.35)

Այժմ անդրադառնանք կապված ալիքային հավասարումների

համակարգին: Գրենք այն հետևյալ տեսքով՝

159

2 2 2323

3 32 2 2

2 2 2324

4 42 2 2

4

4

( )( )

( )( )

d E zn E z P z

dz c c

d E zn E z P z

dz c c

: (10.36)

Ներկայացնենք 3E ,

4E դաշտերը դանդաղ փոփոխվող լայնույ-

թի մոտավորությամբ (տես(10.32ա))՝

( ) ( ) e ; 3, 4ikzi iz A z iE : (10.36ա)

Կրկնելով §4.3-ում բերված քայլերը՝ տվյալ խնդիրը նկարագրող

կարճեցված հավասարումների համակարգի համար կարելի է ստա-

նալ՝

31 2 42

41 2 32

( )( )

( )( )

dA zi A A A z

dz

dA zi A A A z

dz

, (10.37)

որտեղ

(3)3

3( ; , , )

cn

(10.37ա)

ոչ գծային կապը նկարագրող գործակից է: (10.37) համակարգն ամ-

բողջացնելու համար լրացնենք այն եզրային պայմաններով՝ հաշվի

առնելով, որ 3E

դաշտը տարածվում է « z » ուղղությամբ, իսկ 4E

-ը՝

« z »: Այդ դեպքում 3 30 4 40( ) ; ( 0)A z L A A z A և (10.37) համա-

կարգի լուծման համար կարելի է գրել

3 30 40

4 30 40

cos sin ( )( )

cos cos

sin cos ( )( )

cos cos

z z LA z A i A

L L

z z LA z i A A

L L

: (10.38)

Անդրադառնանք ստացված արդյունքների քննարկմանը:

Պրակտիկ հետաքրքրություն ներկայացնող մի շարք դեպքերում

160

3 4 40( ) 0; ( 0)A z L A z A : Այդ դեպքում մուտքային 0z հարթու-

թյունից անդրադարձած ալիքը կլինի

3 40(0)A i tg L A

: (10.38ա)

z L ելքային հարթության վրա կունենանք

40

4 ( )cos

AA z

L : (10.38բ)

Ինչպես երևում է (10.38ա) արտահայտությունից, անդրադար-

ձած ալիքի լայնույթը՝3(0)A , համեմատական է ընկնող ալիքի լայ-

նույթի կոմպլեքս համալուծին՝ 40A , այսինքն՝ տեղի ունի ալիքային

ճակատի շրջման երևույթը: Սա չափազանց կարևոր է, հատկապես

եթե մուտքային 4 ( )A z ալիքի ճակատը տարբերվում է հարթից և ունի

ավելի բարդ պրոֆիլ:

Նկ. 10.5. Դաշտի բաշխվածությունը ոչ գծային միջավայրի ներսում:

Նկ. 10.5-ում պատկերված են 3 ( )A z և 4 ( )A z դաշտերի բաշխ-

վածությունը 4 2L դեպքում: Ուշադրության արժանի է ևս

մեկ երևույթ, բացի ալիքային ճակատ շրջումից: Համաձայն (10.38բ)

արտահայտության՝ կապի գործակցի կամայական արժեքի դեպ-

քում 4 40( )A L A , այսինքն՝ նման միջավայրը գործում է նաև որպես

ուժեղարար:

161

§10.6. Ամփոփում

Եթե հարմոնիկների գեներումը բավականաչափ լավ հայտնի

երևույթ էր դեռևս ռադիոտեխնիկայից, ապա ինքնազդեցության

երևույթները նոր էին և չունեին իրենց համարժեքը ֆիզիկայի մնա-

ցած բաժիններում (բացառությամբ հիսթերեզիսային երևույթների, ո-

րոնք դիտվել էին ավելի վաղ՝ ֆերոմագնիսկանության ուսումնասիր-

ման ժամանակ): Ընդ որում, հարկ է նկատել, որ դիտվող երևույթները

բազմազան են նույնիսկ հարթ ալիքային մոտավորության սահման-

ներում: Փնջերի տարածաժամանակային սահմանափակումները

լրացուցիչ բարդություններ, բայց նոր տիպի երևույթների հայտնա-

բերման լրացուցիչ հնարավորություններ են ստեղծում:

Այս թեմայում անդրադարձ է կատարված սահմանափակ և ան-

սահմանափակ ալիքային ճակատ ունեցող փնջերի ինքնազդեցու-

թյան մի շարք երևույթների և նրանց էլեկտրադինամիկական նկա-

րագրության առանձնահատկություններին:

162

ԹԵՄԱ 11. ԼՈՒՅՍԻ ՍՏԻՊՈՂԱԿԱՆ ՑՐՄԱՆ ԵՐԵՎՈՒՅԹԸ

§11.1. Ներածություն

Ռամանյան ցրման երևույթը, որին անդրադարձել էինք §1.2-ում,

երկար տարիներ եղել է նյութերի սպեկտրոսկոպիական ուսումնասի-

րությունների հզոր գործիքներից մեկը: Ռամանյան ցրման սպեկտ-

րոսկոպիան կիրառվել և ներկայումս էլ լայնորեն կիրառվում է նյութի

բոլոր ագրեգատային վիճակների (հեղուկներ, պինդ մարմիններ, գա-

զեր) ուսումնասիրման ժամանակ: Հաճախականային շեղումները

կազմում են՝

2r 10 10 : սմ-1 մաքուր պտտական անցումների հա-

մար

2 3v 10 10 : սմ-1 մաքուր տատանողական անցումնե-

րի համար

3 4e 8 10 3 10 : սմ-1 մաքուր էլեկտրոնային անցումների

համար:

Հստակության համար հետագայում կանդրադառնանք միայն

տատանողական անցումներին: Մյուս տիպի անցումների համար

ընդհանրացումն ակնհայտ է:

Սպոնտան ցրման սպեկտրոսկոպիայի մինչլազերային փուլի

հիմնական դժվարությունը հզոր լուսային աղբյուրների բացակայու-

թյունն էր: Լազերների կիրառմամբ կտրուկ աճեց ցրման սպեկտրոս-

կոպիայի ոչ միայն զգայունությունը, այլ նաև կիրառվող մեթոդների

բազմազանությունը՝ պայմանավորված ստիպողական ցրումների

հայտնագործմամբ:

Ստիպողական ռամանյան ցրումը հայտնագործվել է 1962 թվա-

կանին (Վուդբերի և Նգ) Կերրի բջջով ռուբինային լազերի բարորա-

կության մոդուլման ժամանակ: Փորձարարական այդ սարքի սխե-

մատիկ պատկերը ներկայացված է Նկ. 11.1-ում:

163

Նկ. 11.1. Ստիպողական ռամանյան ցրման ուսումնասիրման սարքի սխեմա-

տիկ պատկերը (ռամանյան միջավայրը ռեզոնատորի ներսում է):

Տվյալ դեպքում նիտրոբենզոլով լցված Քերրի բջիջը (ռամանյան

միջավայր) տեղակայված էր լազերային ռեզոնատորի ներսում

(1,2M -ը լազերային ռեզոնատորի հայելիներն են): Ինչպես ցույց տվե-

ցին փորձերը, բացի հիմնական լազերային L ալիքի երկարությամբ

ճառագայթումից, դիտվում էր նաև SRS ալիքի երկարությամբ ուղ-

ղորդված ստիպողական ճառագայթում ստոքսյան տիրույթում:

Նկ. 11.2. Ստիպողական ռամանյան ցրման ուսումնասիրման սարքի

սխեմատիկ պատկերը (ռամանյան միջավայրը ռեզոնատո-

րից դուրս գտնվող այլ ռեզոնատորում) , 3,4M -ը հայելիներն են:

Նոր երևույթի հայտնագործումը հիմնավորելու համար կատար-

ված լրացուցիչ փորձերում ռամանյան միջավայրը տեղակայվում էր

լազերային ռեզոնատորից դուրս գտնվող այլ ռեզոնատորում՝ բազ-

164

մակի անդրադարձումների հաշվին ցրված ազդանշանն ուժեղացնե-

լու նպատակով (տես Նկ. 11.2): Ստիպողական ռամանյան ցրումը, ի

տարբերություն սպոնտանի, ուներ հետևյալ առանձնահատկություն-

ները.

Ինտենսիվությունը: Եթե սպոնտան ռամանյան ցրման ինտեն-

սիվությունը կարգերով փոքր էր մղման ինտենսիվությունից, ստիպո-

ղական ստոքսյան կամ անտիստոքսյան ցրման դեպքում այն կարող

էր համեմատվել մղման ճառագայթման հետ:

Շեմային վարքը: Ստիպողական ռամանյան ցրումը կրում էր

ընդգծված շեմային բնույթ: Սովորական միջավայրերի համար (մե-

կանգամյա անցմամբ սխեմաներում) այն կազմում էր 7 810 10 Վտ/սմ2:

Տարածական կառուցվածքը: Ստիպողական ցրման արդյուն-

քում առաջացած ստոքսյան բաղադրիչն ուղղորդված էր և համուղղ-

ված հիմնական ճառագայթմանը, իսկ անտիստոքսյանը՝ բաշխված

էր կոնի մակերևույթով:

Սպեկտրային կառուցվածքը: Ստիպողական ցրման դեպքում

սպեկտրը բավականաչափ աղքատ էր և դրսևորվում էր միայն ցրման

մեծ կտրվածք ունեցող գիծը:

Կարելի է նշել մի քանի այլ առանձնահատկություններ ևս՝ պայ-

մանավորված կարճ տևողությամբ լազերային իմպուլսների կիրառ-

մամբ: Այդ հարցերը, սակայն, դուրս են տվյալ դասընթացի սահման-

ներից և քննարկմանը չենք անդրադառնա:

Նկ. 11.3-ում պատկերված է հեղուկ ազոտում ստիպողական ռա-

մանյան ցրման ստոքսյան բաղադրիչի նորմավորված ինտենսիվու-

թյան (cI - տվյալ սպեկտրային անցման բնութագրական շեմային ին-

տենսիվությունը) կախվածությունը ընկնող լազերային ճառագայթ-

ման նորմավորված ինտենսիվությունից: Ինչպես երևում է նկարից,

սկզբնական ինտենսիվության որոշակի արժեքից սկսած ստոքսյան

բաղադրիչն ունենում է կոհերենտ ոչ գծային պրոցեսներին բնորոշ

թռիչքաձև աճ:

165

Նկ. 11.3. Ստոքսյան բաղադրիչի ինտենսիվության կախվածությունը

ընկնող լազերի ինտենսիվությունից:

Մեծ ինտենսիվությունների դեպքում դիտվում է նաև հագեցում (ըն-

դունված է այն անվանել նաև լեթարգիական ուժեղացում), ինչը պայ-

մանավորված է մուտքային ճառագայթման ինտենսիվության նվազ-

մամբ (հետադարձ ազդեցություն):

§11.2. Ստիպողական ռամանյան ցրում. մակրոսկոպական

տեսություն

Ինչպես նշվել էր §1.2, բացի հիմնական ստոքսյան և անտիս-

տոքսյան բաղադրիչներից, ցրված լույսի սպեկտրում առկա են նաև

բարձր կարգի՝ L n , բաղադրիչներ: Ստիպողական ռամանյան

166

ցրման խնդիրը այդ բաղադրիչների հաշվառմամբ պրակտիկորեն

անլուծելի է: Ուստիև, պրոցեսի հիմնական առանձնահատկություն-

ները պարզելու համար անհրաժեշտ է հաշվի առնել, որ նախապես

կարող է ուժեղանալ միայն ստոքսյան L բաղադրիչը: Սպեկտ-

րալ այլ բաղադրիչների առաջացման համար անհրաժեշտ է կամ

գրգռված մակարդակում մոլեկուլների առկայություն (անտիստոքս-

յան ճառագայթման համար), կամ առաջին կարգի ստոքսյան բա-

ղադրիչի առկայություն (երկրորդ կարգի ստոքսյան բաղադրիչի ա-

ռաջացման համար): Ասվածը վկայում է որ, կարելի է սահմանա-

փակվել միայն առաջին կարգի ստոքսյան բաղադրիչի հաշվառ-

մամբ:

Նկ. 11.4. Ստիպողական ցրման մոդելային նկարագրությունը:

Քննարկումը կատարենք հետևյալ պարզեցված մոդելի սահման-

ներում: Ենթադրենք միջավայրը չփոխազդող ներդաշնակ օսցիլյա-

տորների համակարգ է, որոնց կոնցենտրացիան՝ օսցիլյատորների

թիվը միավոր ծավալում, N է (յուրաքանչյուր օսցիլյատոր նույնաց-

վում է մեկ մոլեկուլի հետ) (տես Նկ. 11.4): Փոխազդեցության բացա-

կայությամբ պայմանավորված՝ օսցիլյատորների այս համակարգում

բացակայում են ալիքային պրոցեսները: Յուրաքանչյուր օսցիլյատո-

րի դիրքը բնութագրվում է z կոորդինատով, իսկ լայնական փոփո-

խությունները բացակայում են ( 0x y ):

Պարզենք, թե ինչպես են լուսային դաշտով մակածված մոլեկու-

լային տատանումներն իրենք ազդում հենց լուսային դաշտի վրա:

Դրա համար բավական է օգտվել դիէլեկտրական թափանցելիության

սահմանումից: Իրոք, մոլեկուլների չփոխազդող համակարգի դեպ-

քում

167

0

0

1 4 ( ) 1 4 ( , )N q N q z tq

: (11.1)

Այստեղ մոլեկուլային ( )q բևեռացվելիության համար օգտա-

գործված է Պլաչեկի (1.11) վերլուծությունը: Մոլեկուլների հաճա-

խությամբ ստիպողական տատանումները, համաձայն (11.1) ար-

տահայտության, մոդուլում են միջավայրի դիէլեկտրական թափան-

ցելիությունը (տես Նկ. 11.5ա): Որպես հետևանք ազդող լուսային

դաշտը ենթարկվում է փուլային մոդուլման և հայտնվում են կողային

L բաղադրիչները: Հաջորդ՝ Նկ. 11.5բ-ում պատկերված է, թե

ինչպես է առաջացած ստոքսյան բաղադրիչի (S L հաճախու-

թյամբ) և ընկնող լուսային ալիքի բաբախումը հանգեցնում լրիվ ին-

տենսիվության մոդուլմանը: Այն, իր հերթին, մակածում է մոլեկուլնե-

րի հաճախությամբ կոհերենտ տատանումներ: Այլ կերպ ասած,

դիէլեկտրական թափանցելիության մոդուլումը արտաքին դաշտով

մակածված մոլեկուլների տատանումների կողմից կարող է հանգեց-

նել տարբեր հաճախությամբ ալիքների միջև էներգափոխանակու-

թյան:

Նկ. 11.5. Ստիպողական ռամանյան ցրման մեկնաբանությունը:

168

Նման որակական քննարկումից հետո անդրադառնանք այս

երևույթի քանակական նկարագրությանը: Օսցիլյատորի շարժման

հավասարումն ունի հետևյալ տեսքը՝ 2

22

( , ) ( , ) 1( , ) ( , )

d q z t dq z tq z t F z t

dt dt m : (11.2)

Այստեղ ( , )q z t -ն նորմալ տատանողական կոորդինատն է,

-ն՝ մարման գործակիցը (ընտրվում է այնպես, որ սպոնտան ռա-

մանյան գծի լայնությունը լինի 2 ), -ն՝ մոլեկուլի տատան-

ման ռեզոնանսային հաճախությունը, m -ը՝ միջուկների բերված

զանգվածը, ( , )F z t -ն՝ լուսային դաշտով պայմանավորված ազդող ու-

ժը: Պարզենք այդ ( , )F z t ուժի տեսքը: Նկատենք, լուսային դաշտի

( , )E z t բաղադրիչի ազդեցությամբ մակածված դիպոլային մոմենտը

ներկայացվում է ( , ) ( , )p z t q E z t տեսքով, որտեղ համաձայն

(11.1)-ի՝

0

0

q qq

: (11.3)

p

դիպոլային մոմենտով մոլեկուլի պոտենցիալ էներգիան E

լարվածությամբ էլեկտրական դաշտում հավասար է

dU pdE

: (11.4)

Պարզության համար քննարկում ենք միայն սկալյար խնդիրը:

Ինտեգրելուց հետո կստանանք

21

2U q E : (11.4ա)

Քանի որ արտաքին լուսային դաշտի կողմից մոլեկուլի վրա ազ-

դող ուժը

( , )( , )

U z tF z t

z

, (11.4բ)

ապա, տեղադրելով (11.4ա) արտահայտությունը (11.5)-ի մեջ, ստա-

նում ենք

169

2

0

1( , ) ( , )

2F z t E z t

q

: (11.4գ)

Օպտիկական հաճախությունների համար (11.4գ)-ում 2 ( , )E z t անհրաժեշտ է փոխարինել ըստ ժամանակի միջինացված

արժեքով 2 ( , )E z t : Միջինացման անհրաժեշտությունն ակնհայտ է,

քանի որ մոլեկուլները չեն հասցնում արձագանքել այդ տատանում-

ներին: Ներկայացնենք դաշտը միջավայրում երկու գումարելիների

տեսքով՝

1 1( , ) ( ) e ( )e . .

2 2SL i ti t

L SE z t E z E z c c , (11.5)

որտեղ դանդաղ փոփոխվող լայնույթի մոտավորությամբ , ( )L SE z -ը

ունեն հետևյալ տեսքը՝

,

,S ,S( ) L Sik zL LE z A e : (11.5ա)

Միջինացման արդյունքում արագ օսցիլացվող գումարելիները

վերանում են, իսկ ( ) ( )L SE z E z զուգորդմամբ առկա են երկու գումա-

րելիներ (ոչ գծային ընկալունակության թենզորական բնույթի հաշ-

վառմամբ այդ գումարելիների թիվը կլինի 6 (տես Հավելված 2)), ուս-

տիև՝

( )( )2

( )( )

{( ) ( ) }

1( , ) ( ) e ( ) e . .

4

( ) e ( ) e . .

1( ) ( ) e . .

2

S SL L

S SL L

L S L S

i t k zi t k zL s

i t k zi t k zL s

i t k k zL S

E z t A z A z c c

A z A z c c

A z A z c c

: (11.5բ)

Այդ դեպքում (11.4գ) ուժը կներկայացվի հետևյալ տեսքով՝

2

0

( )

0

1( , ) ( , )

2

1( ) ( ) e . .

4i t k z

L S

F z t E z tq

E z E z c cq

: (11.5գ)

170

Այստեղ, համառոտության համար, կատարված է հետևյալ նշա-

նակումները՝ L S , L Sk k k : հաճախությունը կարելի է

վերալարել : շրջակայքում: Այսպիսով՝ երկու հաճախություն-

ների միաժամանակյա առկայության դեպքում մոլեկուլային օսցի-

լյատորի վրա ազդում է բաբախման հաճախությամբ պարբերական

ուժ: (11.5գ) ուժի ազդեցությամբ ստիպողական տատանումներ կա-

տարող օսցիլյատորի (11.2) հավասարման լուծումը փնտրենք

( )0

1( , ) e . .

2i t k zq z t q c c : (11.6)

տեսքով: Կստանանք

( )02 2

1( , ) ( ) ( ))e . .

4i t k z

L S

qq z t A z A z c c

m i

: (11.6ա)

Վերջնականորեն խորանարդային ոչ գծային բևեռացման հա-

մար ստանում ենք

(3)

0

2 ( )

02 2

( )( )

( , ) , ,

( ) ( )

41 1

( )e ( ) e . .2 2

S SL L

i t k zL s

i t k zi t k zL s

P z t N q z t E z tq

q A z A z eN

m i

A z A z c c

: (11.7)

Նկատենք, առկա մի շարք հաճախականային բաղադրիչներից

տվյալ խնդրի համար հետաքրքրականը s -ն է, որն առաջանում է

S L L S

քառալիք պրոցեսի արդյունքում: Ուրեմն

2 2

( )(3) 0( ) ( )

( , ) e . .8 ,

S S

S

L S i t k z

S

q A z A zNP z t c c

m D

. (11.8)

Այստեղ

22 2 2,S L S L SD i i :

171

Ինչպես և նախկինում, ներկայացնենք ոչ գծային բևեռացումը

հետևյալ տեսքով՝

( )(3) (3)1( , ) ( ) e . .

2S S

S S

i t k zP z t P z c c

: (11.9)

(11.8) և (11.9) արտահայտությունների համադրումից կարող ենք

ստանալ

22 2(3) (3)0( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

4 ,S L S R S L SS

qNP z A z A z A z A z

m D

: (11.10)

(3) ( )S

P z բևեռացումը և ( )SE z դաշտը կապող համեմատականու-

թյան գործակիցը հենց ոչ գծային (կամ ռամանյան) բևեռացումն է

(3) (3)

2

022

( ) ( ; , , )

4

R S S L L S

L S L S

qN

m i

: (11.10ա)

Այժմ անդրադառնանք ստոքսյան բաղադրիչի տարածման նկա-

րագրությանը ալիքային հավասարման օգնությամբ: Գրենք այն ընդ-

հանուր տեսքով՝ 2 2 2 ( )

2 2 2 2 2

4( , ) ( , ) ( , )nlE z t E z t P z t

z c t c t

: (11.11)

Տեղադրելով դաշտի (11.5բ) տեսքը և կրկնելով ստանդարտ քայ-

լերը՝ կարճեցված հավասարման համար կստանանք

2(3)2( )( ) ( ) ( )

( )S S

R S L S

dA zi A z A z

dz cn

: (11.12)

Տրված դաշտի մոտավորությամբ (11.14) հավասարման լուծումն

ունի հետևյալ տեսքը՝

( ) (0)e Sg zS SA z A , (11.12ա)

որտեղ

2(3)2( ) ( )

( )S

S R S Lg i A zcn

: (11.12բ)

172

(0)SA -ն մուտքային ազդանշանի լայնութային արժեքն է: Դրա

բացակայության դեպքում ստոքսյան բաղադրիչը ծնվում է սպոնտան

աղմուկներից, այսինքն՝ (0)SA սպոնտան աղմուկների մեծության

կարգի է:

Վերլուծենք ստացված արդյունքները: Հաշվի առնելով, որ

L S : , նախ ձևափոխենք ,SD արտահայտությունը՝

, 22SD i i

:

Հետևաբար, ռամանյան ընկալունակության համար կարող ենք

գրել

2

(3) 0( ) ( ) ( )8 2R S R S R S

L S

qNi

m i

, (11.13)

որտեղ

2

02 2

( )8 4

L S

R S

L S

qN

m

, (11.13ա)

2

02 2

( )16 4

R S

L S

qN

m

: (11.13բ)

Նկ. 11.6-ում պատկերված է (3) ( )R S ընկալունակության իրա-

կան և կեղծ մասերի բնութագրական վարքը ռամանյան ռեզոնանսի

շրջակայքում: Ինչպես և գծային ընկալունակության դեպքում ռա-

մանյան ոչ գծային ընկալունակությունը նույնպես ունի լորենցյան

տեսք: (11.12ա) արտահայտության պարզ ձևափոխությամբ կարող

ենք պարզել ևս մի կարևոր օրինաչափություն:

2

2 2

2

2 2

( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

SS R S R S L

S SR S L R S L

g i i A zcn

i A z A zcn cn

: (11.14)

173

(11.14)-ի օգնությամբ ստոքսյան բաղադրիչի վարքը միջավայ-

րով տարածվելիս կնկարագրվի հետևյալ արտահայտությամբ՝

2 22 2( ) ( ) [ ( )] ( ) z

( ) ( )

( ) Re ( )e

Re (0)e e

S

S SR S L S R S L

ik zS S

A z z i k A zcn cn

S

E z A z

A

: (11.14ա)

Նկ. 11.6. Ռամանյան ընկալունակության ռեզոնանսային վարքը:

Քանի որ համաձայն (11.13բ)-ի՝ ( ) 0R S , ապա ստոքսյան

ազդանշանն ուժեղանում է: Ընդգծենք, քանի որ բոլոր փոխազդող

ալիքների հաճախությունները, ինչպես նաև տարածման ուղղություն-

ները նույնն են, այս դեպքում ոչ գծային փոխազդեցություններին

բնորոշ փուլային սինքրոնության պայմանը բավարարվում է

ինքնստինքյան:

Անդրադառնանք ևս մի կարևոր առանձնահատկության: Ինչ-

պես նշվել էր սկզբնամասում, ստիպողական ցրումն սկսում է ընթա-

նալ ինտենսիվության որոշակի շեմային արժեքը հաղթահարելուց հե-

տո: Նման վարքը հեշտությամբ կարելի է բացատրել: Իրոք, ցանկա-

ցած միջավայրում առկա կորուստների պատճառով ստոքսյան բա-

ղադրիչի ինտենսիվության փոփոխությունը կնկարագրվի (2Re )z

0Sg

S SI I e , (11.14բ)

174

որտեղ -ն գծային կլանմամբ կամ այլ պատճառներով պայմանա-

վորված կորուստները նկարագրող գործակիցն է: Հասկանալի է, որ

համաձայն (11.14ա) և (11.14բ) արտահայտությունների, ուժեղացու-

մը կդիտվի Re / 2Sg պայմանի բավարարման դեպքում:

Իհարկե, ստիպողական ռամանյան ցրումով չի սահմանափակ-

վում ստիպողական ցրումների ողջ բազմազանությունը (օրինակ,

Մանդելշտամ-Բրիլյուենյան ու Ռելեյան ստիպողական ցրումները և

այլն): Բայց կսահմանափակվենք միայն այսքանով՝ հաջորդ պա-

րագրաֆում անդրադառնալով միայն անտիստոքսյան Ռամանյան

ցրման առանձնահատկություններին:

§11.3. Անտիստոքսյան ցրում

Գրգռված v=1 մակարդակից, ինչպես արդեն նշվել է Թեմա

1-ում, կարող էր ընթանալ ռամանյան անտիստոքսյան ցրում (տես

Նկ. 1.6բ) a L հաճախությամբ: Անդրադառնանք այս հար-

ցին մի փոքր ավելի մանրամասն: Անտիստոքսյան հաճախությամբ

ալիքի գոյությամբ պայմանավորված՝ (11.7) արտահայտությունը

ներկայացնենք հետևյալ տեսքով՝

( r)( r)

( r)

1 1( , ) ( )e ( ) e

2 21

( )e . .2

S SL L

a a

i t ki t kL S

i t ka

E z t A z A z

A z c c

, (11.15)

որտեղ

a L L S : : (11.15ա)

Պարզենք (3) ( )a

P z ոչ գծային բևեռացման տեսքը a հաճախու-

թյան համար: Առկա է անտիստոքսյան հաճախությամբ ոչ գծային

բևեռացման մակածման երկու ճանապարհ.

1. Ստիպողական տատանումները կատարվում են

175

[( ) ( ) ]( , ) ( ) ( )e a L a Li t k k rL aF z t E z E z

:

ուժի ազդեցությամբ և, փոխազդելով հիմնական լազերային

ճառագայթման հետ, գեներում են անտիստոքսյան ալիք 2(3) ( ) ( ) ( )

a L aP z E z E z : (11.16ա)

ոչ գծային բևեռացման հաշվին:

2. Օսցիլյատորի ստիպողական տատանումները կատարվում են [( ) ( ) ]( , ) ( ) ( ) e L S L Si t k k r

L SF z t E z E z

:

ուժի ազդեցությամբ և, փոխազդելով հիմնական լազերային

ճառագայթման հետ գեներում են անտիստոքսյան ալիք

(2 )(3) 2( ) ( ) ( ) e L S a

a

i k k k rL SP z E z E z

: (11.16բ)

ոչ գծային բևեռացման հաշվին:

Կրկնելով ստոքսյան բաղադրիչի քննարկմանը համանման հաշ-

վարկները՝ կարելի է ցույց տալ, որ առաջին դեպքում ռամանյան ըն-

կալունակության կեղծ մասը բացասական է, և այս փոխազդեցու-

թյան արդյունքում ծնված անտիստոքսյան բաղադրիչը՝ ստոքսյան

բաղադրիչի բացակայությամբ մարում է:

Նկ. 11.7. Անտիստոքսյան ճառագայթման ուղղության որոշման դիագրաման

( -ն սինքրոնության անկյունն է):

Երկրորդ դեպքը համապատասխանում է անտիստոքսյան բա-

ղադրիչի ճառագայթմանը, որը տարածականորեն բաշխված է կոնի

մակերևույթով (կոնի առանցքը համընկնում է հիմնական լազերային

ճառագայթման ուղղության հետ), քանի որ, համաձայն (11.16բ) ար-

176

տահայտության. պահանջվում է փուլային սինքրոնության պայմանի

բավարարում (տես Նկ. 11.7):

2 0L S ak k k k

: (11.17)

Ստիպողական ռամանյան ցրման երևույթի ամբողջական նկա-

րագրությունը բավականաչափ բարդ է և ներառում է ոչ միայն ցրման

բարձր կարգերի, այլ նաև ուրիշ ոչ գծային օպտիկական երևույթների

հաշվառումը: Օրինակ՝ ինքնաֆոկուսացման երևույթը կարող է հան-

գեցնել անտիստոքսյան ազդանշանի (11.17) պայմանով որոշվող

ուղղությունից շեղումների: Նկ. 11.8-ում սխեմատիկորեն պատկեր-

ված է անտիստոքսյան ցրումը դիտելու փորձի ուրվագիծը և անտիս-

տոքսյան ճառագյթման բաշխվածությունը էկրանին:

Նկ. 11.8. Ստիպողական անտիստոքսյան ցրման ուսումնասիրման սարքը:

§11.4. Ռամանյան ցրման ակտիվ սպեկտրոսկոպիա

Ստիպողական ցրումների առավելությունը՝ մեծ ինտենսիվու-

թյունը, սքողվում էր այդ պրոցեսի սպեկտրային աղքատությամբ: Սո-

վորաբար ստիպողական ցրման սպեկտրում դրսևորվում էր միայն

այն գիծը, որի ուժեղացման գործակիցն առավելագույնն էր: Բա-

ցատրությունը բավականաչափ պարզ էր: Ստիպողական ռամանյան

ցրումը անկայունությունների հեղեղաձև զարգացման հետևանք էր և,

ի տարբերություն սպոնտան ցրումների, ուժեղ մրցակցություն էր

առաջանում տարբեր հաճախությամբ բաղադրիչների միջև և, համա-

ձայն (11.8)-ի, գերակայում էր առավելագույն 0

q ունեցող տա-

177

տանումը: Բնականաբար հարց է առաջանում: Հնարավո՞ր է մեկ

սպեկտրոսկոպիական մեթոդի սահմաններում միավորել սպոնտան

ցրման լայն սպեկտրային հնարավորությունները ստիպողական

ցրման մեծ ինտենսիվությունների հետ: Հարցի պատասխանը դրա-

կան է: Բավական է միայն, որ սպոնտան աղմուկներից ծնված

( )S SE դաշտի փոխարեն ոչ գծային փոխազդեցությանը մասնակցի

երկրորդ՝ վերալարվող, ալիքի երկարությամբ, լազերը: Այդ դեպքում

այդ երկու ալիքների հաճախությունների տարբերությունը կարելի է

փոփոխել ուսումնասիրվող սպեկտրային գծի շրջակայքում, համա-

փուլացնել առանձին մոլեկուլների տատանումները և ապահովել

բնակեցվածության թվի տարբերության զգալի փոփոխություն՝ դրա-

նով իսկ ապահովելով ցրված ազդանշանի մեծ ինտենսիվությունը:

Այս սպեկտրոսկոպիական սխեմային ընդունված է անվանել ռամա-

նյան ցրման ակտիվ սպեկտրոսկոպիա (ՌՑԱՍ): Այն ունի մի շարք

տարատեսակներ: Ավելի մանրամասն անդրադառնանք սպեկտրոս-

կոպիական այս սխեմային:

Դիտարկենք ռամանյան ակտիվ միջայրում ընթացող հետևյալ

քառալիք փոխազդեցությունը՝

1 2a , (11.18)

լրացուցիչ 1 2 : պայմանի առկայությամբ: Այստեղ 1 2, -ը

միջավայրի վրա ընկնող բիհարմոնիկ մղման ալիքների հաճախու-

թյուններն են, -ն՝ զոնդողի, իսկ a -ն՝ ոչ գծային փոխազդեցության

արդյունքում ծնված անտիստոքսյան ազդանշանի: Շատ հաճախ որ-

պես զոնդող ընտրվում է հենց 1 -ը և (11.18)-ն ընդունում է հետևյալ

տեսքը՝

1 22a : (11.18ա)

Այս պրոցեսի սխեմատիկ դիագրաման պատկերված է Նկ.

11.9-ում:

178

Նկ. 11.9. Կոհերենտ անտիստոքսյան ռամանյան ցրման պատկերումը

էներգիական մակարդակների օգնությամբ:

Այժմ անդրադառնանք պրոցեսի քանակական նկարագրությա-

նը: Ներկայացնենք դաշտը միջավայրում՝

1 21 2

1 1 1( , ) ( ) e ( ) e ( )e . .

2 2 2ai ti t i t

aE z t E z E z E z c c , (11.19)

տեսքով: Կրկնելով §11.2-ի դատողությունները՝ կստանանք

( )01 22 2

1( , ) ( ) ( )) e . .

4zi t k zq

q z t A z A z c cm i

: (11.20)

Համապատասխանաբար, խորանարդային ոչ գծային բևեռա-

ցումը կլինի

1 2 1 2

1 1 2 2

(3)

0

2 [( ) (k ) ]1 20

2 2

( )( ) ( )1 2

( , ) , ,

( ) ( )

41 1 1

( )e ( ) e ( ) e . .2 2 2

z z

a azz z

i t k z

i t k zi t k z i t k za

P z t N q z t E z tq

q A z A z eN

m i

A z A z A z c c

: (11.21)

Ուրեմն

1 2 1 2[(2 ) (2 ) ](3) (3)( , ) ( ) e . .z z

a

i t k k zaP z t P c c

, (11.22)

2 21 2(3) 0

( ) ( )( )

8 ,aa

q A z A zNP

m D

, (11.22ա)

որտեղ 221 2 1 2 1 2,D i : Այստեղից խորա-

նարդային ոչ գծային ընկալունակության համար կարող ենք գրել

179

2

(3) (3) 01 1 2

1 2

( ) ( ; , , )4 ,

Ra a

qN

m D

: (11.22բ)

Համապատասխանաբար, անտիստոքսյան բաղադրիչի տա-

րածման համար կստանանք հետևյալ կարճեցված հավասարումը՝

(3) 21 2

2( )( ) ( ) ( ) e

( )zi k zа а

R аа

dA zi A z A z

dz cn

: (11.23)

Այստեղ 1 2(2 )ak k k k

փուլային ապալարքն է: Ինչպես եր-

ևում է (11.23ա) արտահայտությունից, անտիստոքսյան ( )aA z ազ-

դանշանի աճը սկսվում է զրոյից, և այդ աճն առավելագույնն է փու-

լային սինքրոնության ուղղությամբ ( 0k

) (տես Նկ. 11.10):

Նկ. 11.10. Անտիստոքսյան ճառագայթման ուղղության որոշման դիագրաման

ռամանյան ցրման ակտիվ սպեկտրոսկոպիայում ( -ն սինքրոնության

անկյունն է):

Տրված դաշտի մոտավորությամբ

( 1 10 2 20( ) ; ( )A z A const A z A const )

այս հավասարման լուծումն ունի հետևյալ տեսքը՝

( /2)(3) 210 20

2 sin( / 2)( ) ( ) e

( )zi k zRа z

a aа z

k zA z i A A

cn k

, (11.23ա)

Վերլուծենք ստացված արդյունքները: Հաշվի առնելով, որ

1 2 : , կարելի է (11.12գ)-ի նման ձևափոխել 1 2,D

արտահայտությունը՝

1 2 1 2, 2 ( ) ( 2D i :

Համառոտության համար օգտվենք հետևյալ նշանակումներից՝

180

2

; 1 2

;

2

08

r N

m q

:

Հետևաբար, ռամանյան ընկալունակության համար կարող ենք

գրել

(3) ( )r

Ra i

: (11.24)

Ռամանյան ընկալունակության (11.22բ) արտահայտությունը

նկարագրում է անտիստոքսյան ազդանշանի վարքը հաճախակա-

նային ապալարքից այս կամ այն տատանողական ռեզոնանսի մեր-

ձակայքում: Սակայն միջավայրում, բացի ուսումնասիրվողից, առ-

կա են բազմաթիվ այլ տատանողական, պտտական սպեկտրային

գծերի, ինչպես նաև էլեկտրոնային անցումների ներդրումը: Ուստիև

անտիստոքսյան ազդանշանը չի վերանում անգամ 1 2 ?

ապալարքի դեպքում: Ասվածի հաշվառմամբ ռամանյան ընկալունա-

կության (11.22բ) արտահայտության փոխարեն կարելի է գրել

(3) ( )r

R nra i

: (11.25)

Ամպլիտուդային տարբերակ: Ցրված լույսի ինտենսիվության

չափմամբ սխեման ընդունված է անվանել ամպլիտուդային ՌՑԱՍ:

Ոչ գծային ընկալունակության (11.25) տեսքով պայմանավորված՝

զգալի տարբերություն է դիտվում սպոնտան ռամանյան ցրման և ռա-

մանյան ցրման ակտիվ սպեկտրոսկոպիայի սպեկտրալ գծերի տես-

քում: (11.23ա) արտահայտության օգնությամբ ցրված լույսի ինտեն-

սիվության համար կարող ենք գրել 2

21 2

rnr

aI I Ii

: : (11.26)

Նկ. 11.11-ում պատկերված է անտիստոքսյան ազդանշանի

( )aI հաշվարկային տեսքը r nra պարամետրի տարբեր ար-

ժեքների դեպքում: Նկատենք, որ 2

0a q : և ռամանյան գծի

սպեկտրային բնութագրերից մեկն է: Քանի որ այն արմատապես

181

Նկ. 11.11. Ամպլիտուդային ՌՑԱՍ ազդանշանի ( )aI տեսքի կախվածությունը

a պարա տարբեր արժեքների դեպքում: Կորերը նորմավորված են

( )aI արժեքի վրա:

տարբերվում է սպոնտան ռամանյան ցրման սպեկտրային տեսքից,

անդրադառնանք այս հարցին ավելի մանրամասն: Համաձայն

(11.26) արտահայտության՝ ամբողջական ազդանշանն այս դեպքում

ձևավորվում է ոչ ռեզոնանսային և ռեզոնանսային ներդրումների ին-

տերֆերման արդյունքում: Հավելենք, որ կեղծ մաս ունի միայն ռեզո-

նանսային գումարելին: Նկ. 11.12-ում պատկերված են առանձին-ա-

ռանձին (3)Re ( )Ra (Նկ. 11.12ա), (3)Im ( )R

a (Նկ. 11.12բ), nr (Նկ.

11.12գ) և 2(3) ( )R

a (Նկ. 11.12դ) մեծությունների կախվածություննե-

րը -ից: Ինչպես երևում է նկարից, իրական մասը նշանափոխ

ֆունկցիա է և ճիշտ ռեզոնանսում 0 դառնում է զրո:

182

Նկ. 11.12. (3)Re ( )R a ,(3)Im ( )R

a ,nr (ա-գ) ներդրումների և արդյունա-

րար 2(3) ( )R

a (դ) ընկալունակության հաճախականային կախվածությունը:

Նկատենք՝ մաքսիմումի և մինիմումի հաջորդումը կախված է

1 2 և մեծությունների հարաբերակցությունից՝ ( 1 2 ,

թե՞ 1 2 ), ինչպես նաև а մեծության նշանից (Նկ. 11.11 և

Նկ. 11.12-ը համապատասխանում են 0а դեպքին):

Նկ. 11.13-ում պատկերված է նման սպեկտրաչափի սկզբուն-

քային սխեման: Հիմնական՝ 1 հաճախության, ճառագայթման մի

մասը հայելիների համակարգի օգնությամբ ուղղվում է նմուշի մեջ,

իսկ մյուս մասն օգտագործվում է որպես մղման աղբյուր փոփոխվող

ալիքի երկարությամբ լազերային գեներացիա ստանալու համար:

Այդ 2 հաճախությամբ ճառագայթումը նույնպես ուղղվում է դեպի

նմուշ: Նկատենք, ղեկավարելով նրանց միջև հեռավորությունը 6

183

ոսպնյակի վրա՝ կարելի է ընտրել սինքրոն փոխազդեցությանը հա-

մապատասխանող անկյունը:

Նկ. 11.13. ՌՑԱՍ փորձարարական սարքի սկզբունքային սխեման.

1)Ֆիքսված հաճախությամբ լազեր, 2) Փոփոխվող հաճախությամբ

լազեր, 3) Ուսումնասիրվող նմուշ, 4) Կիսաթափանցիկ հայելի, 5) Հայե-

լիներ, 6) Ոսպնյակներ, 7) Լուսազտիչ, 8) Մոնոքրոմատոր, 9) Գրանցման

համակարգ:

Ոչ գծային փոխազդեցության արդյունքում ծնված a հաճա-

խության անտիստոքսյան ազդանշանի ալիքի երկարությունը ֆիքս-

վում է մոնոքրոմատորում և գրանցման համակարգի օգնությամբ

չափվում բնութագրական մեծությունները: Որպես օրինակ Նկ. 11.14-

ում պատկերված է ՌՑԱՍ ազդանշանի սպեկտրային կախվածու-

թյունը կալցիտի բյուրեղի 1088սմ-1 գծի շրջակայքում: Չափելով ին-

տենսիվության մաքսիմում և մինիմում արժեքները, ինչպես նաև

նրանց համապատասխանող հաճախությունները՝ կարելի է որոշել

տվյալ սպեկտրային անցումը բնութագրող բոլոր մոլեկուլային պա-

րամետրերը:

184

Նկ. 11.14. Ամպլիտուդային ՌՑԱՍ ազդանշանի սպեկտրը կալցիտի

3CaCo բյուրեղի 1088սմ -1 գծի մերձակայքում:

Բևեռացումային տարբերակ: ՌՑԱՍ լայնորեն տարածված

սխեմաներից է նաև բևեռացումային տարբերակը կամ ինչպես ըն-

դունված է անվանել կոհերենտ էլիպսաչափությունը: Նկատենք՝ բևե-

ռացումային չափումների հնարավորություններն ավելի լայն են, քա-

նի որ կարևորվում է ոչ գծային փոխազդեցությունների թենզորական

բնույթը: Այդ դեպքում (11.25)-ը անհրաժեշտ է ներկայացնել հետևյալ

տեսքով՝

(3) ( )rijklR nr

ijkl a ijkl i

: (11.27)

Իզոտրոպ՝ կենտրոնահամաչափ միջավայրերի դեպքում, կիրա-

ռելով Թեմա 3-ում քննարկված սիմետրիայի ձևափոխությունները,

կարելի է գտնել խորանարդային ոչ գծային ընկալունակությունների

թենզորական բաղադրիչների միջև հետևյալ կապը (ռամանյան ռեզո-

նանսի առկայությամբ)՝

185

(3) (3) (3)

(3) (3) (3) (3) (3)

(3) (3) (3) (3) (3) (3)

(3) (3) (3) (3) (3) (3)

R R Rxxxx yyyy zzzz

R R R R Rxxyy xxzz yyzz zzxx zzyy

R R R R R Rxyxy yxyx xzxz zxzx yzyz zyzy

R R R R R Rxyyx yxxy xzzx zxxz yzzy zyyz

: (11.28)

Ընդ որում՝ հիմնական բաղադրիչների միջև առկա է հետևյալ

առնչությունը՝ (3) (3) (3) (3)R R R Rxxxx xxyy xyxy xyyx : (11.28ա)

Ի հավելումն այս առնչությունների, ոչ ռեզոնանսային մասը բա-

վարարում է նաև սիմետրիայի Կլեյնմանյան առնչություններին (Թե-

մա 3), համաձայն որի ոչ ռեզոնանսային մասը սիմետրիկ է ըստ բո-

լոր ինդեքսների: Ձևափոխություններից հետո միջավայրի խորանար-

դային բևեռացման համար կարող ենք գրել (3)

111111112

1 2

( )r

rnra

nrP

P PA A i

: (11.29)

Այստեղ nrP

, rP

նկարագրում են խորանարդային բևեռացման

ոչ ռեզոնանսային և ռեզոնանսային մասերի ուղղությունները՝

1 1 2 2 1 12 ( ) ( )nrP e e e e e e , (11.30ա)

1 1 2 2 1 13(1 ) ( ) 3 ( )rP e e e e e e , (11.30բ)

1221

1111

r

r

, (11.30գ)

իսկ 1e

, 2e

-ը մղման աղբյուրների բևեռացման երկայնքով միավոր

վեկտորներն են: 1e

, 2e

և nrP

, rPվեկտորների փոխադարձ դասավո-

րությունը պատկերված է Նկ. 11.15-ում: 1e

, 2e

վեկտորների միջև

անկյան փոփոխությամբ կարելի է ղեկավարել nrP

, rP

վեկտորների

թե փոխադարձ դասավորությունը, թե մեծությունը: Դժվար չէ գտնել

nrP

և rP

վեկտորների կազմած անկյունը՝

186

23

)13(

tg

tgtg

: (11.30դ)

Ընդգծենք հետևյալ կարևոր հանգամանքը՝ rP

վեկտորի գործա-

կիցը կոմպլեքս մեծություն է, որը փոփոխվում է ապալարքի վերա-

լարմանը զուգընթաց: Հետևաբար փոխվում է նաև անտիստոքսյան

ազդանշանի բևեռացման վիճակը:

Նկ. 11.15. 1e

, 2eև nrP

, rPվեկտորների փոխադարձ դասավորությունը:

Այդ փոփոխությունը պատկերված է Նկ. 11.16-ում: Բևեռացման

վիճակի այդ փոփոխությունը կարելի է նկարագրել նաև քանակա-

պես: Իրոք, ենթադրենք բոլոր ալիքները տարածվում են z առանց-

քով (պարզության համար քննարկում ենք համուղղված ալիքների

դեպքը), 1e

վեկտորն ուղղված է x առանցքին զուգահեռ, իսկ y -ը՝

նրան ուղղահայաց:

Ինչպես ընդունված է էլիպսաչափությունում, սահմանենք խո-

րանարդային բևեռացման օրթոգոնալ բաղադրիչների հարաբերու-

թյունը՝ (3)

(3) Re Imy

x

Pi

P : (11.31)

187

Նկ. 11.16. Անտիստոքսյան ազդանշանի ինտենսիվության (ամպլիտուդային

տարբերակ (1)) և բևեռացման վիճակի (բևեռացումային տարբերակ (2)) սխե-

մատիկ վարքը 1 2 -ի փոփոխության ժամանակ:

Դժվար չէ Re ,Im մեծություններն արտահայտել սպեկտրոս-

կոպիական մեծություններով՝ օգտվելով (11.29) բանաձևերից՝

2

2 sin ( cos )Re

( cos ) 1

; 1)cos(

sin2Im

2

: (11.31ա)

Այստեղ 1111 1111r nr

r nr

մեծությունը նկարագրում է ու-

սումնասիրվող ռամանյան ռեզոնանսի «ուժը»: Փորձում չափվող մե-

ծություններն են բևեռացման էլիպսի էլիպտիկությունը`

( / )arctg b a (b -ն և a -ն էլիպսի մեծ և փոքր կիսառանցքներն

են) և մեծ առանցքի կողմնորոշումը նկարագրող անկյունը:

Դժվար չէ ապացուցել, որ փորձի համապատասխան պայման-

ների ապահովման դեպքում կարելի է գրել (տես Հավելված 3)՝

(3)( ) Re ( )R , (3)( ) Im ( )R : (11.32)

Դրա համար, համաձայն (Հ.3.10) արտահայտության, անհրա-

ժեշտ է բավարարել sin 1 : պայմանը: Այն միշտ կարելի է

իրականացնել անկյան համապատասխան ընտրությամբ, քանի

որ : (տես (11.31ա) արտահայտությունը):

188

Նկ. 11.17. Էլիպտիկության ( ) և մեծ կիսառանցքի թեքության ( ) հաճախա-

կանային կախվածության հաշվարկային գրաֆիկները:

Նկ. 11.17-ում պատկերված են (11.31) և (11.31ա) արտահայտու-

թյունների օգնությամբ կառուցված ( ) և ( ) կախվածություննե-

րը: Ըստ այդ կախվածությունների կարելի է ֆիքսել սպեկտրոսկոպի-

ական կիրառությունների առումով երկու կարևոր առանձնահատկու-

թյուն.

1. Կախված սպեկտրոսկոպիական գծի պարամետրերից, օրի-

նակ, (1/ 3) կամ (1/ 3) , max -ը դրական է

max 0 կամ բացասական max 0 :

2. Էլիպտիկության առավելագույն արժեքը տեղաշարժված է

համապատասխան սպոնտան տատանման հաճախությու-

նից: Ընդ որում՝ տեղաշարժման մեծությունը որոշվում է

0 cos արտահայտությամբ: Ակնհայտ է, որ սպեկտ-

րում մի քանի ռամանյան ռեզոնանսի առկայությամբ

«ուժեղ» գծերը կհեռանան ավելի շատ՝ դրանով իսկ բարե-

նպաստ պայմաններ ստեղծելով մոտ հաճախությամբ գծերի

տարրալուծման համար:

189

Նկ. 11.18. Բենզոլի առանձնացված տատանման բևեռացումային ՌՑԱՍ

սպեկտրը: Սլաքով նշված է համապատասխան տատանման ռամանյան

հաճախությունը:

3. Էլիպտիկության առավելագույն արժեքը կախված է sin

մեծությունից, այսինքն՝ ոչ միայն այս կամ այն գծի «ուժը»

բնութագրող մեծությունից, այլ նաև փորձի երկրաչափու-

թյունից (1e

, 2e

վեկտորների կազմած անկյունով կարելի է

ղեկավարել -ն):

Հետագայում մի օրինակով կանդրադառնանք այս երկու

պնդումների սպեկտրոսկոպիական կիրառման առանձնահատկու-

թյուններին: Որպես օրինակ Նկ. 11.18-ում պատկերված է բենզոլի

1178սմ-1 տատանման մերձակայքում «ակտիվ» սպեկտրը՝ ստաց-

ված ՌՑԱՍ բևեռացումային տարբերակի օգնությամբ: Այն լիակա-

տար համապատասխանում է տեսական նկարագրությամբ ստաց-

ված կախվածություններին (տես Նկ. 11.17):

190

Այժմ համառոտ անդրադառնանք նաև մոտ հաճախությամբ

գծերի տարրալուծման առանձնահատկություններին բևեռացու-

մային ՌՑԱՍ-ում: Ենթադրենք միջավայրում առկա են երկու մոտ`

1 և 2 հաճախությամբ տատանումներ: Միջավայրի բևեռացումը

ներկայացնենք հետևյալ տեսքով՝ (3) 1 2

1111 11111111 1 22

1 2 1 2

( ) r rnra

nr r r

PP P P

A A i i

: (11.33)

Նշանակումներն այստեղ համանման են առանձնացված գծի

դեպքում օգտագործվածներին՝

1 1 2 1 1 , 2 1 2 2 2 :

Նկ. 11.19. Երկու մոտ ռամանյան գծերի սպոնտան ռամանյան ցրման (բևեռաց-

ված՝ Π և ապաբևեռացված՝ ) (ա) և բևեռացումային ՌՑԱՍ -ի (բ) հաշվար-

կային սպեկտրները: Հաշվարկման պարամետրերն են

1 2 1 21.8, 0.8, 8 , 13 , 0.8, 70o o oK :

Սահմանելով երկու գծերի միջև հաճախականային նորմավոր-

ված 1 2 2a հեռավորությունը և նշանակելով 1 2K

ստանում ենք՝

aKiiax

2211)3( coscos

1)(

, (11.34ա)

191

aKiiay

2211)3( sinsin

)(

: (11.34բ)

Նկ. 11.19-ում բերված են անտիստոքսյան ազդանշանի բևեռաց-

ման պարամետրերի բնութագրական հաշվարկային կախվածու-

թյունները: Պարամետրերն ընտրված են այնպես, որ սպոնտան

ցրման մոդելային սպեկտրում նրանք բացարձակապես չեն դրսևոր-

վում (Նկ. 11.19ա): Ինչպես երևում է Նկ. 11.19բ-ից, ի տարբերություն

սպոնտանի, բևեռացումային ՌՑԱՍ-ում այդ գծերը դրսևորվում են

բավականաչափ հստակ՝ ի հաշիվ վերը քննարկված առանձնահատ-

կությունների:

Նկ. 11.20. Երկու մոտ ռամանյան գծերի բևեռացումային ՌՑԱՍ-ի

(ա) սպեկտրները քլորբենզոլի 1180սմ-1 գծի մերձակայքում և սպոնտան ռամա-

նյան ցրման (բևեռացված՝Π և ապաբևեռացված՝ ) փորձարարական գրա-

ֆիկները (բ):

Մոդելային հաշվարկների օգնությամբ արված եզրակացությու-

նը հավաստելու համար բերենք մեկ օրինակ: Նկ. 11.20ա-ում պատ-

192

կերված է անտիստոքսյան ազդանշանի բևեռացման պարամետրե-

րի վարքը բիհարմոնիկ մղման 1 2 տարբերությունը քլորբենզոլի

6 5C H Cl 1180սմ-1 գծի մերձակայքում: Համեմատության համար Նկ.

11.20բ-ում բերված է սպոնտան ռամանյան ցրման փորձարարական

սպեկտրը 1540-1610սմ-1 տիրույթում: Ինչպես երևում է նկարից, այդ

շերտի ցածր հաճախականային տիրույթում առկա է երկրորդ՝ շեղ-

ված հաճախությամբ և թույլ գծի գոյության մասին վկայող թև:

Այդ երկու գծերը շատ ավելի հստակ դրսևորվում են բևեռացու-

մային ՌՑԱՍ սպեկտրներում, ինչը նրանց սպեկտրոսկոպիական

բնութագրերը հստակ որոշելու հնարավորություն է ընձեռում: Ամբող-

ջական լինելու համար ներկայացնենք այդ պարամետրերը՝

1 0.65, 1 0.75, 2 10.8, 0.1 , գծերի լայնությունները՝

1 9 և 2 7.2 սմ-1:

§11.5. Ամփոփում

Ոչ գծային օպտիկական մեթոդների կիրառությունն արմատա-

պես փոխեց լույսի ցրման երևույթների վրա հիմնված սպեկտրոսկո-

պիայի հնարավորությունները: Եվ այստեղ կարևոր էր ոչ միայն

ցրված ազդանշանի մեծության զգալի աճը (պայմանավորված լա-

զերների մեծ ինտենսիվությամբ), այլ նաև սկզբունքորեն նոր մեթոդ-

ների ստեղծումը:

Այս թեմայում ներկայացված է ստիպողական ռամանյան

ցրման երևույթը, նրա առանձնահատկությունները, ինչպես նաև

քննարկված է նրա սահմանափակ կիրառման հնարավորություննե-

րը: Քննարկված է նրա համանմանությամբ ստեղծված ռամանյան

ակտիվ սպեկտրոսկոպիայի մեթոդի լայնութային և բևեռացումային

տարբերակները, նրանց տարբերությունը և առավելությունները:

Մասնավորապես, բևեռացումային չափումների կարևոր առանձնա-

հատկություններից է գրանցվող ազդանշանի բևեռացման վիճակի

193

անկախությունը փոխազդող ալիքների ինտենսիվության ֆլուկտուա-

ցիաներից, ինչը հատկապես կարևոր է մեծ հզորության իմպուլսային

լազերների կիրառման պայմաններում: Նրանց հզորության ֆլուկ-

տուացիաները կարող են լինել բավականաչափ մեծ այն դեպքում,

երբ բևեռացման վիճակը կարելի է հուսալիորեն ղեկավարել:

Անդրադարձ է կատարված նաև ՌՑԱՍ բևեռացումային տարբե-

րակում ծածկված ռամանյան ռեզոնանսների տարրալուծման մի

շարք առավելություններին:

Մեկ անգամ ևս արժե ընդգծել, որ չնայած քննարկված են միայն

տատանողական սպեկտրերին վերաբերող առանձնահատկություն-

ները, սակայն ասվածներն առանց դժվարության ընդհանրացվում են

այլ բնույթի ռեզոնանսների համար ևս:

194

ԹԵՄԱ 12. ԲԱՐՁՐ ԿԱՐԳԻ ՈՉ ԳԾԱՅԻՆ ՕՊՏԻԿԱԿԱՆ

ԵՐԵՎՈՒՅԹՆԵՐ

§12.1. Բարձր կարգի ոչ գծային երևույթներ

Նույնիսկ երևութաբանական նկարագրության սահմաններում

ոչ գծային օպտիկայի և սպեկտրոսկոպիայի մեթոդների կիրառու-

թյունը նյութի ուսումնասիրման բնագավառում պրակտիկորեն ան-

սահմանափակ է: Ինչպես նշվել էր Թեմա 2-ում, ի տարբերություն

գծայինի, ոչ գծային օպտիկայում ներմուծվում են նյութը նկարագրող

նոր պարամետրեր` անվերջ թվով ոչ գծային ընկալունակություններ՝ ( )nijkl

mlkjijklmlkjijklkjijkjiji EEEEEEEEEEP )4()3()2()1( : (12.1)

Այսպես օրինակ՝ )2(ijk ոչ գծային ընկալունակության ուսումնա-

սիրությունները ցույց տվեցին, որ այն նյութերի հատկությունների

դասակարգման ավելի լայն հնարավորություններ է ընձեռում, քան

գծային )1(ij ընկալունակությունը: )3(

ijkl ոչ գծային ընկալունակության

դիսպերսիայի ուսումնասիրման վրա են հիմնված ոչ գծային սպեկտ-

րոսկոպիայի մի շարք նոր մեթոդներ: Տրամաբանական է ակնկալել,

որ բարձր կարգի ոչ գծայնությունների հիման վրա ստեղծված

սպեկտրոսկոպիական մեթոդները կլինեն առնվազն ոչ պակաս ին-

ֆորմատիվ:

Բարձր կարգի ոչ գծային օպտիկական երևույթներից կարելի է

նշել n ( 3n ) հարմոնիկների գեներացիան, հագեցման երևույթի

դրսևորումը Քերրի օպտիկական երևույթում, բազմաֆոտոն կլանու-

մը, ատոմների բազմաֆոտոն իոնացումը և բազմաթիվ այլ երևույթ-

ներ:

195

§12.2. Ուղիղ և կասկադային պրոցեսներ

Բարձր կարգի ոչ գծային օպտիկական երևույթներում դրսևոր-

վում են նոր առանձնահատկություններ: Բացի անմիջական )(n ոչ

գծայնությամբ իրականացվող պրոցեսից (ուղիղ պրոցես), հնարավոր

է դառնում նույն արդյունքը ստանալ ավելի ցածր կարգի ոչ գծայնու-

թյամբ պայմանավորված պրոցեսների հաջորդականությամբ: Ըն-

դունված է նման պրոցեսներին անվանել կասկադային: Ասվածն ակ-

նառու դարձնելու նպատակով անդրադառնանք չորրորդ հարմոնիկի

գեներմանը:

Չորրորդ հարմոնիկի գեներացիան (ուղիղ պրոցես)՝

4 , (12.2)

նկարագրվում է )4( ոչ գծային ընկալունակությամբ: Սակայն նույն

չորրորդ հարմոնիկի գեներացիան կարող է իրականացվել )2( և

)3( ոչ գծային ընկալունակություններով պայմանավորված կասկա-

դային պրոցեսների արդյունքում՝

433 (12.3ա)

4222 : (12.3բ)

(12.3ա) պրոցեսի արդյունքում գեներացվող չորրորդ հարմոնիկի

ինտենսիվությունը համեմատական է

),3;4(),,;3( )2()3( -ին, իսկ (12.3բ)-ի արդյունքում գենե-

րացվողը` )2,2;4(),;2( )2(2)2( -ին: Քանի որ ուղիղ պրո-

ցեսի սինքրոնության ուղղությամբ սինքրոն են լինում նաև կասկա-

դային պրոցեսները, ապա այդ ուղղությամբ չափվել կարող է միայն

արդյունարար ընկալունակությունը՝ (4) (4) (3) (2)

1

2(3) (2) (2) (2)2 3

(4 ) (4 ) ( ) (2 )

( ) (3 ) ( ) (2 2 )

eff b

b b

: (12.4)

321 ,, bbb հաստատունները պայմանավորված են բյուրեղի կողմ-

նորոշմամբ և փոխազդող ալիքների հաճախության վրա բեկման ցու-

196

ցիչներով: Չորրորդ հարմոնիկի գեներացիայի պրոցեսում, բացի

սինքրոնիզմի հիմնական ուղղությունից ( 14 4kk

), առկա են նաև

փուլային սինքրոնության մի քանի միջանկյալ ուղղություններ` պայ-

մանավորված առանձին կասկադային պրոցեսների գոյությամբ՝

42143142 2;;2 kkkkkkkk

: (12.5)

Ստորև բերված Աղյուսակ 1-ում ներկայացված են այդ սինքրոն

պրոցեսների բնութագրերը լիթիումի ֆորմիատ (LFM) բյուրեղի հա-

մար: Անհրաժեշտ է ընդգծել, սինքրոնության տարբեր ուղղություննե-

րով բարձր հարմոնիկի հզորության արժեքը չափելը հնարավորու-

թյուն է ընձեռում ոչ գծայնության էֆեկտիվ )4()4( eff ընկալունակու-

թյունն արտահայտել ավելի ցածր կարգի ( )2( և )3( ) ընկալունա-

կությունների արժեքներով:

Աղյուսակ 1. Սինքրոն պրոցեսները LFM բյուրեղում չորրորդ հարմոնիկի գե-

ներման ժամանակ

Սինքրոնության

ուղղությունը

Փոխազդեցու-

թյան տեսակը Բևեռացումը

14 4kk

'3036os

Ուղիղ պրոցես

41111 eoooo

Կասկադային պրոցես

411211 eooeoo

1 1 1 3

3 1 4

o o o o

o o e

1 1 2

2 2 4

o o e

e e e

(4) (4) (3)1

(2)

(3) (2)2

2(2) (2)3

(4 ) (4 )

( ) (2 )

( ) (3 )

( ) (2 2 )

nlP b

b

b

4 1 1

1

2k k k

k

'3022os

Կասկադային պրոցես

1 1 2

2 1 1 4

o o e

e o o e

(4) (2) (3)1

4

(4 ) ( )

(2 )

nlP b

E

197

234 kkk

'1045os

Կասկադային պրոցես

1 1 1 3

3 1 4

o o o o

o o e

(4) (3)2

(2)2

4

(4 )

( )

(3 )

nlP b

E

234 kkk

'1041os

Կասկադային պրոցես

1 1 2

2 2 4

o e o

o o e

2(4) (2)

3

(2) 42

(4 ) ( )

(2 2 )

nlP b

E

§12.3. Ամփոփում

Այս թեմայի համառոտ քննարկումը հնարավորություն է ընձե-

ռում պատկերացում կազմել բարձր կարգի ոչ գծային օպտիկական

երևույթներում հնարավոր ուղիղ և կասկադային պրոցեսների ա-

ռանձնահատկությունների մասին: Կարևոր է հատկապես այն հան-

գամանքը, որ բարձր կարգի ոչ գծայնություններում հիմնական՝ ու-

ղիղ, պրոցեսի սինքրոնության ուղղությամբ ապահովվում է նաև մի

շարք կասկադային պրոցեսների սինքրոնությունը: Այս փաստի հաշ-

վառումը հատկապես կարևոր է բյուրեղի ոչ գծայնության գործակից-

ների քանակական չափումների ժամանակ:

198

ԵԶՐԱԿԱՑՈՒԹՅՈՒՆ

XX դարը բնութագրական է ոչ գծայնությունների ներթափանց-

մամբ ֆիզիկայի (և ոչ միայն) համարյա բոլոր բնագավառներ: Բա-

ցառություն չէր նաև օպտիկան:

Ոչ գծային օպտիկայի, որպես գիտության նոր ուղղության,

ծնունդը բացառապես պայմանավորված էր լազերների ստեղծմամբ:

Իր գոյության 50 և ավելի տարիների ընթացքում (մեկ անգամ ևս ընդ-

գծենք, որ խոսքը կոհերենտ ոչ գծային օպտիկական երևույթների

մասին է) այն նոր ձևավորվողից դարձել է ֆիզիկայի կայացած ճյու-

ղերից մեկը՝ իր ֆունդամենտալ և կիրառական լայն հնարավորու-

թյուններով: Հնարավոր երևույթների բազմազանությունը, նրանց

դրսևորման առանձնահատկությունները հզոր զինանոց են գիտու-

թյան տարբեր բնագավառների և տեխնիկայի համար:

Ստեղծման առաջին իսկ օրվանից լազերային ֆիզիկան և ոչ

գծային օպտիկան զարգացել են փոխլրացման ճանապարհով՝ լա-

զերների ինտենսիվության մեծացումը նպաստել է ոչ գծային օպտի-

կայի նորանոր երևույթների բացահայտմանը, որոնք էլ կատարելա-

գործել են հենց լազերային տեխնիկան:

Ներկայումս ոչ գծային օպտիկան լայնորեն կիրառվում է ատո-

մային և մոլեկուլային ֆիզիկայում, պլազմայի ու պինդ մարմնի ֆի-

զիկայում: Ավելին՝ դրա հիման վրա ներկայումս ստեղծվել և արագո-

րեն զարգանում է ոչ գծային սպեկտրոսկոպիան, որի դերն անուրա-

նալի է քիմիայում, էկոլոգիայում, բժշկությունում և բազմաթիվ այլ

բնագավառներում:

Առանձնահատուկ անհրաժեշտ է նշել ոչ գծային օպտիկայի,

այդ թվում նաև ոչ գծային մանրաթելային օպտիկայի դերը կապի,

ինֆորմացիայի գրանցման և պահպանման ինչպես ժամանակակից,

այնպես էլ հեռանկարային օպտիկական համակարգերում:

Եզրափակենք՝ ներկայացնելով հիմնական ոչ գծային օպտիկա-

կան երևույթները և նրանց հնարավոր մի քանի կիրառությունները

աղյուսակի տեսքով (տես Աղյուսակ 2):

199

Աղյուսակ 2

Երևույթը Նյութը Մեխանիզմը Կիրառությունները

Օպտիկա-

կան հարմո-

նիկների գե-

ներացիա

Բյուրեղներ,

կիսահաղոր-

դիչներ, իներտ

գազեր, մե-

տաղների գո-

լորշիներ

Ատոմական օսցի-

լյատորի ոչ գծայ-

նությունը

Լազերային ճառա-

գայթման հաճախու-

թյան փոխարկում

Պարամետ-

րական գե-

ներացիա

Բյուրեղներ,

կիսահաղոր-

դիչներ, իներտ

գազեր, մե-

տաղների գո-

լորշիներ

Ատոմական օսցի-

լյատորի ոչ գծայ-

նությունը

Լազերային ճառա-

գայթման հաճախու-

թյան սահուն վերալա-

րում: ԻԿ, ՈՒՄ և

ռենտգենյան տիրույթ-

ներում կոհերենտ ճա-

ռագայթման գեներա-

ցիա, ԻԿ պատկերնե-

րի վիզուալիզացիա

Լույսի ինք-

նազդեցու-

թյուն

Հեղուկներ,

գազեր, հեղուկ

բյուրեղներ,

օպտիկական

ալիքատար-

ներ

Ատոմական օսցի-

լյատորի ոչ գծայ-

նությունը, լույսի

ցրումը միջավայ-

րում առկա տարբեր

տիպի տատանում-

ների վրա, լուսային

ալիքի կողմից անի-

զոտրոպ մոլեկուլնե-

րի կողմնորոշում, է-

լեկտրաստրիկցիա,

միջավայրի տաքա-

ցում

Լազերային իմպուլս-

ների ինքնամոդուլյա-

ցիա, ֆեմտավայրկյա-

նային իմպուլսների

գեներացիա, բիստա-

բիլ օպտիկական

տարրեր, օպտիկա-

կան տրանզիստոր-

ներ, նեյրոնային ցան-

ցերի մոդելավորում

Լույսի ստի-

պողական

ցրումներ

Հեղուկներ,

գազեր, հեղուկ

բյուրեղներ,

օպտիկական

ալիքատար-

ներ

Ատոմական օսցի-

լյատորի ոչ գծայ-

նությունը, լույսի

ցրումը միջավայ-

րում առկա տարբեր

տիպի տատանում-

ների վրա

Լազերային ճառա-

գայթման հաճախու-

թյան փոխարկում, լա-

զերային իմպուլսների

կոմպրեսիա,ալիքա-

յին ճակատի շրջում և

կորեկցիա, ոչ գծային

սպեկտրոսկոպիա

200

ԳՐԱԿԱՆՈՒԹՅՈՒՆ

1. Peter E. Powers Joseph W. Haus. Fundamentals of Nonlinear Optics.

by Taylor & Francis Group, LLC. 2017

2. Chunfei Li. Nonlinear Optics Principles and Applications. Shanghai

Jiao Tong University Press, Shanghai and Springer Nature Singapore

Pte Ltd. 2017

3. R. W. Boyd. Nonlinear optics. Academic press. N. Y. 2008.

4. Г. Дмитриев, А. В. Тарасов. Прикладная нелинейная оптика. М.:

Физматлит. 2004.

5. М. Б. Виноградова, О. В. Руденко, А. П. Сухоруков. Теория волн. М: Наука, 1990.

6. А. Ярив, П. Юх. Оптические волны в кристаллах, М.: Мир,

1987.

7. С. Келих. Молекулярная нелинейная оптика. М.: Наука, 1981.

8. М. Шуберт, Б. Вильгельми. Введение в нелинейную оптику. М.

Мир. 1973.

ԼՐԱՑՈՒՑԻՉ

1. E. Esmailzadeh, D. Younesian, H. Askari. Analytical Methods in

Nonlinear Oscillations Approaches and Applications, Springer.

Netherlands. 2019

2. K. Rottwitt, P. T. Tidemand-Likhtenberg. Nonlinear Optics.

Principles and applications. CRC Press. Taylor and Francis Group.

2015.

3. G. S. He. Nonlinear Optics and Photonics.Oxford University. 2015.

4. Y. Murti. C. Vijayan. Essentials of Nonlinear Optics. Ave Books Pvt.

Ltd. 2014.

5. G. News. Introduction to nonlinear optics. Printed in the United

Kingdom at the UniversityPress, Cambridge, 2011.

6. A. Yariv, P. Yeh. Photonics. Modern electronics in modern

communications. Oxford UniversityPress, 2007.

201

7. И. Р. Шен. Принципы нелинейной оптики. М.: Мир, 1989.

8. Н. И. Коротеев, И. Л. Шумай. Физика мощного лазерного

излучения. М. Наука. 1991.

9. Ф. Цернике, Дж. Мидвинтер. Прикладная нелинейная оптика. М.: Мир, 1976.

10. С. А. Ахманов, Р. В. Хохлов. Проблемы Нелинейной оптики. М.

Изд-во АН СССР, 1965.

11. Н. Бломберген. Нелинейная оптика. М; Мир, 1966.

202

ՀԱՎԵԼՎԱԾ 1. ՖՈՒՐՅԵ ՁԵՎԱՓՈԽՈՒԹՅՈՒՆՆԵՐ

Բացի տատանումների ու ալիքների ժամանակային բնութագրե-

րից, հաճախ հարմար է օգտագործել ալտերնատիվ՝ սպեկտրային

մեթոդը: Այժմ համառոտ անդրադառնանք այդ մեթոդին, որի հիմքում

է Ֆուրյեի շարքերի ու ինտեգրալների մաթեմատիկական տեսու-

թյունն է: Սպեկտրային նկարագրման հիմնական գաղափարը՝ կա-

մայական ժամանակային ֆունկցիան (օրինակ, լուսային ալիքի

էլեկտրական դաշտի E

լարվածությունը), տարբեր հաճախության

ներդաշնակ ֆունկցիաների գումարի (կամ ինտեգրալի) տեսքով ներ-

կայացնելն է՝

0

)sincos()(n

nnnn tbtatE : (Հ1.1)

Հաճախությունների n և լայնույթների nn ba , համախումբը

կազմում են )(tE պրոցեսի սպեկտրը: Եթե հայտնի է սպեկտրը, ապա

(Հ1.1) բանաձևով կարելի է վերականգնել պրոցեսի ընթացքը: Այդ

պատճառով պրոցեսների նկարագրման երկու եղանակներն էլ (ժա-

մանակային կամ սպեկտրային) համարժեք են: Սակայն դրանք

խիստ տարբերվում են ինֆորմացիայի գրանցման առումով: Մասնա-

վորապես, հնարավոր է դեպք, երբ բարդ ժամանակային ֆունկցի-

ային համապատասխանի պարզ սպեկտր կամ ընդհակառակը:

Սպեկտրային վերլուծությունը ոչ միայն մաթեմատիկական

հարմար գործողություն է, այլ հաճախ նաև դրսևորվում է որպես իրա-

կան ֆիզիկական երևույթ: Նմանատիպ դասական օրինակ է Նյու-

տոնի փորձը, որի ժամանակ ապակե պրիզման Արեգակի սպիտակ

լույսը տրոհում է յոթ հիմնական գույների՝ կարմրի, նարնջագույնի,

դեղինի, կանաչի, երկնագույնի, կապույտի, մանուշակագույնի:

Նման սպեկտրալ վերլուծություն իրականացնող սարքերը շատ վա-

ղուց լայնորեն օգտագործվում են փորձարարական օպտիկայում և

այլ բնագավառներում:

203

Օգտվելով հայտնի եռանկյունաչափական բանաձևերից` (Հ1.1)-ը

կարելի է ներկայացնել ավելի հարմար, կոմպլեքս տեսքով

,)(

n

tin

neEtE dtetET

ET

T

tin

n

2/

2/

)(1

: (Հ1.2)

Այստեղ T -ն պարբերությունն է, եթե )(tE ֆունկցիան պարբե-

րական է: Քանի որ )(tE ֆունկցիան, որպես ֆիզիկական մեծություն

իրական է, ապա անհրաժեշտ է, որ *nn EE : Իսկ հաճախության

համար ունենք nn : (Հ1.2)-ի առաջին արտահայտության մո-

դուլի քառակուսին միջինացնելով` կստանանք զերո բոլոր այն ար-

տադրիչների համար, որոնք ստացվում են երկու տարբեր հաճախու-

թյուններով անդամներից: Արդյունքում կմնան միայն 2

nnn EEE

տեսքի արտադրիչները: Այսպիսով՝ դաշտի միջին քառակուսայինը

(լուսային ալիքի դեպքում միջին ինտենսիվությունը) կարելի է ներկա-

յացնել որպես մոնոքրոմատիկ բաղադրիչների ինտենսիվությունների

գումար`

n n

nn EEE1

222 2 : (Հ1.3)

Այստեղ հաշվի է առնված, որ )(tE ֆունկցիայի միջինը, ըստ

պարբերության, հավասար է զրոյի, այնպես, որ 0E .

Եթե տարբեր հաճախությունները կազմում են անընդհատ

սպեկտր, ապա ցանկացած վերջավոր ինտեգրելի և t դեպքում

զերոյի ձգտող ֆունկցիայի համար կարելի է գրել հետևյալ ինտեգրա-

լը`

,2

)(

d

eEtE ti ( ) i tE E t e dt

, EE : (Հ1.4)

Ինտեգրելով 2E -ն ըստ ամբողջ ժամանակի, արտահայտենք ա-

լիքի լրիվ ինտենսիվությունը առանձին Ֆուրյե բաղադրիչների ին-

տենսիվություններով: Օգտվելով (Հ1.4)-ից՝ կստանանք`

204

2 { } { }2 2

2

i t i td dE dt E E e dt E Ee dt

dE E

: (Հ1.5)

Հաշվի առնելով EE առնչությունը, կստանանք`

22

2 0

222 dE

dEdtE

: (Հ1.6)

Այսպիսով, ըստ դրական հաճախությունների, ոչ մոնոքրոմա-

տիկ ալիքի լրիվ էներգիան արտահայտվում է նրա սպեկտրային

խտության ինտեգրալով: Վերջինս բնութագրում է էներգիայի բաշ-

խումն ըստ հաճախականությունների սպեկտրի: Նշենք, որ ֆիզիկա-

յում «սպեկտր» տերմինին վերագրում են տարբեր իմաստներ: Հա-

ճախ «սպեկտր» են անվանում հաճախությունների (դիսկրետ կամ

անընդհատ) այն համախումբը, որը բնութագրում է ոչ մոնոքրոմա-

տիկ լույսը: Երկրորդ դեպքում «սպեկտր» են անվանում 22 E

սպեկտրալ խտությամբ բնութագրվող նշված հաճախություններով

ճառագայթման էներգիայի բաշխումը (սպեկտրային ինտենսիվու-

թյունը): Վերջապես երրորդ դեպքում, «սպեկտր» են անվանում ոչ մո-

նոքրոմատիկ ճառագայթումը նկարագրող մաթեմատիկական )(tE

ֆունկցիայի E Ֆուրյե-պատկերը: Իհարկե, համաձայն (Հ1.4) բա-

նաձևի, E -ն ամբողջությամբ որոշում է )(tE ֆունկցիան և ընդհա-

կառակը: Նույնը կարելի է ասել ինտենսիվությունների համար: Իմա-

նալով 2E ինտենսիվությունը՝ համաձայն (Հ1.6) բանաձևի, կարելի է

որոշել 2

E սպեկտրային ինտենսիվությունը և ընդհակառակը: Սա-

կայն, իմանալով սպեկտրային ինտենսիվությունը կամ ուղղակի ին-

տենսիվությունը, հնարավոր չէ վերականգնել ո՛չ )(tE -ն և ո՛չ էլ

E -ն: Բանն այն է, որ էներգետիկ բնութագրերի մեջ այլևս բացակա-

յում է ինֆորմացիան փուլի մասին: Այդ պատճառով, միայն ինտեն-

205

սիվությունն իմանալով, դաշտը վերականգնել հնարավոր չէ, անհրա-

ժեշտ է իմանալ նաև փուլը:

Որպես օրինակ անդրադառնանք ուղղանկյունաձև իմպուլսի

սպեկտրին: Ներկայացնենք այն հետևյալ տեսքով՝

0 ,( )

0

E tE t

t

: (Հ1.7)

Օգտվելով (Հ1.4) արտահայտությունից՝ ստանում ենք՝

0

sin2E E

: (Հ1.7ա)

Ուղղանկյունաձև իմպուլսի և նրա սպեկտրի տեսքը պատկեր-

ված են Նկ. Հ1.1.ում:

Նկ. Հ1.1. Ուղղանկյունաձև իմպուլսը և նրա սպեկտրը:

Կարելի է կապ գտնել իմպուլսի տևողության և նրա սպեկտրի

լայնության միջև: Տվյալ դեպքի համար սպեկտրալ լայնությունը

սահմանենք որպես հաճախային հեռավորություն երկու այն հաճա-

խությունների միջև, որոնցում լայնույթներն առաջին անգամ դառ-

նում են զրո ( ): Դժվար չէ համոզվել, որ 2 : Այս

առնչությունը իրավացի է ցանկացած տեսքի իմպուլսի համար: Հա-

ճախ այն ներկայացվում է նաև 1 տեսքով: Մոտավոր հավա-

սարության նշանը դրված է այն պարզ պատճառով, որ սպեկտրի

լայնությունը (նաև իմպուլսի տևողությունը) տարբեր իմպուլսների

դեպքում տարբեր կերպ են սահմանվում:

206

ՀԱՎԵԼՎԱԾ 2. ԱՆԱԼԻՏԻԿ ԱԶԴԱՆՇԱՆ

Անդրադառնանք ավելի մանրամասն ըստ դաշտի քառակու-

սային ոչ գծայնությանը: Վերլուծենք քառակուսային ոչ գծայնու-

թյան )()2( tPi դեկարտյան բաղադրիչը Ֆուրյեի շարքի՝

(2) (2)

'(2) ( ' ' '' '')

(2) ( '2

( ) ( )

''( , ', ) ( ) ( '')

2 2

' ''( ) ( '') ( , ', )

(2 )

i ti i

t ti t i t t

ijk j k

i t tj k ijk

P e P t dt

d de dt dt t t t E E e dt

d dE E dt dt t t t e

'

' '' '') :t t

t dt

(Հ2.1)

Ինչպես և նախկինում, միջավայրը համարենք ստացիոնար: Այդ

դեպքում կարելի է անցնել նոր փոփոխականների՝

tt ' , '''' tt : Կստանանք՝

(2) (2) ( ' ' '' '') ( ' '')2

0 0

(2) ( ' ' '' '')

0 0

' ''( ) ( ) ( '') ' ( ', '') ''

(2 )

' ''( ) ( '') ( ' '') ' ( ', '') ''

2

i i ti j k ijk

ij k ijk

d dP E E dt d e e d

d dE E d e d

:

(Հ2.1ա)

Նկատենք, որ այս ձևափոխության ժամանակ օգտվել ենք հե-

տևյալ առնչությունից՝

)(2sin2

limlim xxx

dkedke ikxikx

:

)(x -Դիրակի դելտա ֆունկցիան է: Համաձայն սահմանման՝

'')'','(')'',',(0 0

)''''''()2()2( ded iijkijk

: (Հ2.1բ)

Վերջնականորեն քառակուսային ոչ գծայնության համար ստա-

նում ենք

207

:''')''()()'','()'''(2

1)( )2()2(

ddEEP kjijki

(Հ2.1գ)

Քանի որ nlP

ոչ գծային բևեռացումները, դաշտի )(tE

լարվա-

ծությունը և )(n ոչ գծային ընկալունակությունները իրական ֆունկ-

ցիաներ են, նրանց Ֆուրյե պատկերները պետք է ենթարկվեն որոշա-

կի օրինաչափությունների: Այսպես օրինակ՝ )(tE

դաշտի համար

կարելի է գրել

)()( tEtE

: (Հ2.2ա)

Աջ և ձախ մասերում իրականացնենք Ֆուրյե ձևափոխություն,

կստանանք՝

deEtEdeEtE titi )(2

1)()(

2

1)(

: (Հ2.2բ)

Վերջին ինտեգրալում կատարելով փոփոխականի

փոխարինում, կստանանք

deEtE ti)(2

1)(

: (Հ2.2գ)

Վերջին առնչությունը նշանակում է, որ դաշտի Ֆուրյե պատկեր-

ները պետք է ենթարկվեն հետևյալ առնչություններին՝

)()( EE

կամ )()( EE

: (Հ2.2դ)

Նման առնչությունները ճիշտ են ցանկացած իրական ֆիզիկա-

կան մեծության համար: Օգտվելով (Հ2.2դ)-ից՝ կարելի է ձևափոխել

(Հ2.2բ) արտահայտությունն այնպես, որ ինտեգրումը կատարվի մի-

այն դրական հաճախություններով: Այսպես՝

0

0 0

1 1( ) ( ) 2 ( )

2 4

1 12 ( ) ( ) :

2 2

i t i t

i t i tan

E t E e d E e d c c

E e d E e d

. .

= Re Re

208

Այստեղ ներմուծված )(anE

անալիտիկ ազդանշանը սահման-

վում է հետևյալ կերպ՝

0,0

0),(2

E

Ean

: (Հ2.3)

Հետագայում կօգտվենք անալիտիկ ազդանշանից` բաց թողնե-

լով «an» ինդեքսը՝

0

1 1( ) ( ) . . Re ( )

4 2i t i tE t E e d c c E e d

: (Հ2.4ա)

Այսպես օրինակ՝ մոնոքրոմատիկ ալիքի դեպքում՝

1( ) ( ) .

2i tE t E e c c

. : (Հ2.4բ)

Դժվար չէ ապացուցել, որ Պոյնտինգի վեկտորի` ըստ ժամանա-

կի միջինացված արժեքը հավասար կլինի անալիտիկ ազդանշանի

մոդուլի քառակուսու կեսին, այնպես ինչպես հարմոնիկ ազդանշանի

ամպլիտուդի դեպքում: Նկատենք հետևյալը՝ անալիտիկ ազդանշանի

ներմուծումը կապ է հաստատում էլեկտրամագնիսական դաշտի դա-

սական և քվանտային նկարագրությունների միջև, այսինքն՝ դասա-

կան նկարագրության դեպքում դաշտի սպեկտրի դրական հաճախա-

կանային տիրույթին, այսինքն՝ անալիտիկ ազդանշանին, համապա-

տասխանում են քվանտային պատկերացման ծնման օպերատորնե-

րը, իսկ Ֆուրյե սպեկտրի բացասական հաճախականային տիրույ-

թին (այսինքն՝ անալիտիկ ազդանշանի կոմպլեքս համալուծին)` հա-

մապատասխան հաճախության ֆոտոնների ոչնչացման օպերատոր-

ները:

Ելնելով այս դատողություններից՝ ձևափոխենք (Հ2.1գ) արտա-

հայտությունը: «Հին» Ֆուրյե պատկերների համար (“F” ինդեքսով)

ունեինք

:''')''()()'','()'''(2

1)( )2()2(

ddEEP kFjFijkiF

Ինտեգրումը՝ ըստ '',' -ի տրոհենք քառորդների՝

0'',' ,

209

0'',0' ,

0'',0' ,

0'',0' :

Կատարելով փոփոխականների համապատասխան փոխարի-

նումներ՝ '~' երկրորդ քառորդում, '~' , "~" եր-

րորդում և այլն, անցնելով անալիտիկ ազդանշանին, կստանանք

(2) (2)

(2)

(2)

0 0

(2)

0 0

1( ) ( )

2

1( ' '') ( ', '') ( ) ( '') ' ''

2

1 '( ' '') ( ', '') ( ') ( '') ''

4 2

1 '( ' '') ( ', '') ( ') ( '')

4 2

iF i

ijk jF kF

ijk j k

ijk j k

P P

E E d d

dE E d

dE E d

''

(Հ2.5)

(2)

0 0

(2)

0 0

(2)

0 0

1 '( ' '') ( ', '') ( ') ( '') ''

4 2

1 '( ' '') ( ', '') ( ') ( '') ''

4 2

1 1 '( ' '') ( ', '') ( ') ( '') ''

2 2 2

1

4

ijk j k

ijk j k

ijk j k

dE E d

dE E d

dE E d

(2)

0 0

'( ' '') ( ', '') ( ') ( '') '' . :

2 ijk j k

dE E d c c

Այսպիսով՝ հաճախությամբ քառակուսային ոչ գծային ընկա-

լունակության լայնութային արժեքի համար կստանանք

(2) (2)

0 0

(2)

0 0

1( ) ' ( ' '') ( ', '') ( ') ( '') ''

2

1' ( ' '') ( ', '') ( ') ( '') '' :

2

i ijk j k

ijk j k

P d E E d

d E E d

(Հ2.5ա)

210

Հարմարության տեսանկյունից կատարենք հետևյալ վերանշա-

նակումները՝ (2) (2)

1 2 1 2 1 2

(2) (2)1 2 1 2 1 2

( ; , ) ( ) ( , )

( ; , ) ( ) ( , )

ijk ijk

ijk ijk

: (Հ2.6)

Նկատենք, որ (Հ2.6) ոչ գծային ընկալունակությունները նկա-

րագրում են գումարային և տարբերությունային հաճախությունների

գեներացիան: Օգտվելով այս նշանակումներից՝ վերջնականորեն

կարող ենք գրել (2)

(2)

(2)0 0

( ; ', '') ( ') ( '')'( ) ''

2 ( ; ', '') ( ') ( '')

ijk j k

i

ijk j k

E EdP d

E E

: (Հ2.7)

Քննարկենք մասնավոր օրինակներ: Ենթադրենք դաշտը բաղ-

կացած է մեկ մոնոքրոմատիկ բաղադրիչից` )()''()'( EEE

:

Այդ դեպքում առաջացող երկու բաղադրիչներից մեկն ընկած է զրո-

յական հաճախության մերձակայքում (պայմանավորված է տարբե-

րությունային հաճախության գեներացիայով), մյուսը՝ երկրորդ հար-

մոնիկին համապատասխանող հաճախության մերձակայքում (պայ-

մանավորված է գումարային հաճախության գեներացիայով) (տես

Նկ. Հ2.1):

Նկ. Հ2.1. Քառակուսային բևեռացման սպեկտրը, երբ լազերային դաշտն

ունի մեկ մոնոքրոմատիկ բաղադրիչ:

211

Նկ. Հ2.2. Քառակուսային բևեռացման սպեկտրը, երբ լազերային դաշտն

ունի երկու մոնոքրոմատիկ բաղադրիչ:

Նկ. Հ2. 2-ում պատկերված են քառակուսային ոչ գծային միջա-

վայրում առաջացող քառակուսային ոչ գծային բևեռացման բոլոր

բաղադրիչները, երբ միջավայրի վրա ընկնող լազերային դաշտը

բաղկացած է երկու մոնոքրոմատիկ բաղադրիչներից:

Կանգ առնենք ևս մի նրբերանգի վրա: Ենթադրենք դաշտն ունի

հետևյալ տեսքը՝ 2

( )

1

1( , ) ( ) . .

2i k r tE r t E e c c

: (Հ2.8)

Տեղադրենք այս արտահայտությունը (Հ2.7)-ի մեջ և դուրս գրենք

առանձին–առանձին հաճախականային բոլոր բաղադրիչները՝

)()(),;2()2( 11111)2(

1)2( EEP

, (Հ2.9 ա)

)()(),;2()2( 22222)2(

2)2( EEP

, (Հ2.9 բ)

)()(),;(2)( 212121)2(

21)2( EEP

, (Հ2.9 գ)

)()(),;(2)( 212121)2(

21)2( EEP

, (Հ2.9 դ)

)()(),;()( 111111)2(

11)2( EEP

, (Հ2.9 ե)

)()(),;()( 222222)2(

22)2( EEP

: (Հ2.9 զ)

212

Դժվար չէ հասկանալ (Հ2.9գ,դ) արտահայտություններում առա-

ջացող 2 գործակցի դերը: Դա պայմանավորված է այն հանգաման-

քով, որ (Հ2.7)-ում 21 հաճախականային կոմբինացիան կարող

է առաջանալ երկու հնարավոր տարբերակով, իսկ մնացածները՝ մեկ:

Ոչ գծային օպտիկայում ընդունված է հետևյալ նշանակումը՝ (2) (2)

1 2 1 2( ) ( ; , ) ( ) ( )P D E E

: (Հ2.10)

Այլասերման D գործակիցը՝ 2D , երբ 21 և 1D , եր

21 :

Խորանարդային ոչ գծայնության դեպքում համանման ձևով կա-

րելի է գրել (3) (3)

1 2 3 1 2 3( ) ( ; , , ) ( ) ( ) ( )P D E E E

: (Հ2.11)

Այստեղ

6!3 D , երբ 321 ,

3D , երբ 321 ,

1D , երբ 321 :

213

ՀԱՎԵԼՎԱԾ 3. ԼՈՒՅՍԻ ԲԵՎԵՌԱՑՄԱՆ

ՆԿԱՐԱԳՐՈՒԹՅՈՒՆԸ

Դիցուք հարթ մոնոքրոմատիկ էլեկտրամագնիսական ալիքը

տարածվում է z ուղղությամբ: Այդ դեպքում նրա E

վեկտորն ընդ-

հանուր դեպքում պետք է ունենա x և y բաղադրիչներ: Ենթադրենք,

նրանք տատանվում են կամայական yx EE 00 , լայնույթներով և

yx , փուլերով՝

1 2Re exp[ ( )], Re exp[ ( )],

0, , :

x x y y

z

E a i E a i

E kz t k nc

(Հ3.1)

Որպեսզի պարզենք, թե տարածության ֆիքսված կետում էլեկտ-

րական կամ մագնիսական դաշտերի լարվածությունների վեկտորնե-

րի ծայրակետերը ինչ պատկեր են գծում ժամանակի ընթացքում,

պետք է (Հ3.1)-ի առաջին երկու արտահայտություններից արտաք-

սենք -ն: Այդ նպատակով գրենք դրանք հետևյալ տեսքով՝

1

2

cos cos sin sin

cos cos sin sin

xx x

yy y

E

a

E

a

:

Այստեղից կարելի է ստանալ միջանկյալ հավասարումների նոր

համակարգ՝

1 2

1 2

sin sin cos sin( )

:

cos cos sin ( )

yxy x y x

yxy x y x

EE

a a

EEsin

a a

Այս երկու հավասարումները քառակուսի բարձրացնելով և գու-

մարելով կստանանք՝

214

2 2

2

1 2 1 2

2 cos siny yx xE EE E

a a a a

, (Հ3.1ա)

որտեղ xy : Ընդհանուր դեպքում սա էլիպսի հավասարում է:

մեծության որոշակի արժեքների դեպքում այն կարող է վերածվել

ուղիղ գծի կամ շրջանի հավասարման: Ըստ այդմ, կարելի է տարբե-

րակել բևեռացված լույսի հետևյալ տեսակները՝ գծային, շրջանային

(աջ և ձախ) և էլիպսական (աջ և ձախ): (Հ3.1) էլիպսական բևեռացու-

մը պատկերված է Նկ. Հ3.1-ում: Այդ էլիպսը ներգծված է x և y ա-

ռանցքներին զուգահեռ, 12a և 22a երկարությամբ կողմերով ուղղան-

կյանը: Էլիպսը շոշափում է այդ ուղղանկյունը 1 2cos ,A a a ,

1 2, cosB a a , 1 2cos ,C a a և 1 2, cosD a a կետերում: Եթե

էլիպսի մեծ կիսառանցքը x -երի

Նկ. Հ 3.1. Էլիպսական բևեռացումը նկարագրող պարամետրերը:

առանցքի նկատմամբ պտտված է 0 անկյամբ, ապա

էլիպսական բևեռացումը կարելի է նկարագրել նաև սեփական կոոր-

215

դինատական , համակարգում: Նշանակենք էլիպսի մեծ և փոքր

կիսառանցքները համապատասխանաբար a և b a b : Այդ դեպ-

քում՝

Re e , Re ei iyE a E b

: (Հ3.2)

Կապը ,x yE E և ,E Eբաղադրիչների միջև ներկայացվում է

հետևյալ տեսքով՝

cos sin

sin cosx

y

E E

E E

: (Հ3.3)

Ոչ բարդ, սակայն երկար ձևափոխություններից հետո կարելի է

գտնել կապը այս երկու համակարգերում լույսի բևեռացումը նկա-

րագրող պարամետրերի միջև՝

(2 ) (2 ) costg tg , (Հ3.4ա)

sin(2 ) sin(2 ) sin , (Հ3.4բ)

2 2 2 21 2a b a a : (Հ3.4գ)

Այստեղ համառոտության համար ներմուծվել են հետևյալ երկու

լրացուցիչ անկյունները՝

2

1

;(0 )2

atg

a , (Հ3.5ա)

;4 4

btga

: (Հ3.5բ)

Մի շարք դեպքերում նպատակահարմար է բևեռացումը նկա-

րագրել

Re Imy

x

Ei

E (Հ3.6)

կոմպլեքս պարամետրի միջոցով: Նկատենք, որ

Re costg ; Im sintg : (Հ3.7)

Այս երկու առնչության օգնությամբ հեշտությամբ ստանում ենք

ImRe

tg

; tg : (Հ3.8)

216

Միավորելով (Հ3.4ա) և (Հ3.8) արտահայռտությունները՝ ստա-

նում ենք

2 22Re 2Im2 ; sin 21 1

tg

: (Հ3.9)

Ընդունելով, որ 1 և արհամարհելով այն (Հ3.9)-ում, ստա-

նում ենք

Re ; ~Im : (Հ3.10)

217

218

ԵՐԵՎԱՆԻ ՊԵՏԱԿԱՆ ՀԱՄԱԼՍԱՐԱՆ

ԼԵՎՈՆ ՍՈՒՐԵՆԻ ԱՍԼԱՆՅԱՆ

ՈՉ ԳԾԱՅԻՆ ՕՊՏԻԿԱՅԻ ՀԻՄՈՒՆՔՆԵՐԸ

Համակարգչային ձևավորումը՝ Կ. Չալաբյանի

Կազմի ձևավորումը՝ Կ. Չալաբյանի

Հրատ. սրբագրումը՝ Լ. Հովհաննիսյանի

Տպագրված է «Քոփի փրինթ» ՍՊԸ-ում: ք. Երևան, Խորենացի 4-րդ նրբ., 69 տուն

Ստորագրված է տպագրության՝ 22.04.2019:

Չափսը՝ 60x84 1/16: Տպ. մամուլը՝ 13.625:

Տպաքանակը՝ 100:

ԵՊՀ հրատարակչություն

ք. Երևան, 0025, Ալեք Մանուկյան 1

www.publishing.am

Լ. Ս. ԱՍԼԱՆՅԱՆ

Ուսումնական ձեռնարկ

ՈՉ ԳԾԱՅԻՆ ՕՊՏԻԿԱՅԻՀԻՄՈՒՆՔՆԵՐԸ

ՈՉ

ԳԾ

ԱՅ

ԻՆ

ՕՊ

ՏԻ

ԿԱ

ՅԻ

ՀԻ

ՄՈ

ՒՆ

ՔՆ

ԵՐ

ԸԼ.

Ս.

ԱՍ

ԼԱ

ՆՅ

ԱՆ