2. A HIDROGÉNATOM SZERKEZETE

2.1. A hidrogénatom Schrödinger-egyenlete

A hidrogénatom klasszikus mechanikai modellje

Pozitív töltésű részecske, amely körül egy negatív töltésű részecske kering.

A kvantummechanika Schrödinger-egyenlete

általános formában

EVT )ˆˆ(

A hidrogénatom Schrödinger-egyenlete

Er

e

mm op

pe

e

)422

(2

22

22

Megj.: alsó indexben e és p elektronra és protonra utal,

e az elektron töltése (-1,602x10-19 C),

r az elektron protontól való távolsága,

o vákuum permittivitás (8,854x10-12 Fm-1).

A hidrogénatom Schrödinger-egyenlete megoldható!

A megoldás trükkje: polárkoordináta rendszert alkalmazunk.

r : vezérsugár

: hajlásszög

: azimut

Polárkoordináták transzformációja Descartes-koordinátákba

cossin

sinsin

cos

rz

ry

rz

A Schrödinger-egyenlet megoldása

Sajátérték.

222

4 1

8 nmm

mm

h

eE

pe

pe

on

n: főkvantumszám 1, 2, 3...

A Schrödinger-egyenlet megoldása

Sajátfüggvények.

n : főkvantumszám : mellékkvantumszám 0,1,2 (n-1)m : mágneses kvantumszám 0, 1, 2 …

A Schrödinger-egyenlet megoldása

Degenerált állapotok.

Azonos az energia (sajátérték),de különféle függvények

tartoznak hozzá.

A sajátfüggvények alakja

),()( ,,,, mllnmln rR

radiális rész anguláris (szögtől függő) rész

Lineár-kombinációk(ábrázolhatóság miatt)

)(2

)(2

1

,,,,

,,,,

mlnmln

mlnmln

i

Ha = 0, akkor s = 1, akkor p

= 2, akkor d indexeket használnak!Mágneses spinkvantumszám helyett x, y, z-t írnak.

A hidrogénatom komplex hullámfüggvényei

io

io

o

eo

eea

eea

a

r

lm

ha

cossin81

1

cossin81

1

322

3

321

322

3

321

2

2

A hidrogénatom valós hullámfüggvényei

sincossin81

2

2

coscossin81

2

2

322

3132321

3

322

3132321

3

eai

ea

od

od

yz

xz

A hidrogénatom Rn,l radiális hullámfüggvényei

1s 2px 2py 2pz

3dX2- y

2

3dz2

3dyz 3dxz 3dxy

z

y

x

A hidrogénatomanguláris

hullámfüggvényei

2.2 A hidrogénatom színképe

Kiválasztási szabályok

A 4. Axiómából kiindulva lehet hozzájuk jutni.

1. szabályEnergiamegmaradás

hE

Átmeneti momentum

d)(ˆ)(P 12

1 2és állapotfüggvény

1-es index: kiindulási állapotban

2-es index: végállapotban

dipólus-momentum operátor

Dipólus momentum

+ -

d1 pozitív és 1 negatív töltés

q : a töltésd: a távolság; a pozitív töltéstől a negatív töltés irányába mutat

dq

Több töltés esetén

q : a töltés

i

iiy yqi

iix xq i

iiz zq

Hidrogénatomra vonatkozó kiválasztási szabályok

n

m bármennyi

bármennyi

1

A hidrogénatom színképe

h)n

1

n

1(

mm

mm

h8

eE

22

21pe

pe

20

2

4

diszkrét vonalak!

Az atomos hidrogén spektruma

A hidrogénatom energiaszintjei

A hidrogénatom megengedett

átmenetei

A hidrogénatom vonalszériái

Lymann-széria

n1 = 1 n2 = 2, 3, 4… UVtartomány

Balmer-széria

n1 = 2 n2 = 3, 4… VIStartomány

Paschen-széria

n1 = 3 n2 = 4… IRtartomány

2.3 A hidrogénatom elektronjának pálya-impulzusmomentuma

A hidrogénatom klasszikus mechanikai modellje

Pozitív töltésű részecske, amely körül egy negatív töltésű részecske kering.

A klasszikus mechanikában

prP

P

három komponensének sajátértéke egyidejűleg nem „mérhető”.

Helyette „mérhető” és operátorok sajátértékei.

Az utóbbiakra felírt sajátérték egyenletek megoldhatók.

2P

zP

sajátértékek2P

22 )1(P

)1(P

mellékkvantumszám

P absz. érték, hossza

sajátértékezP

mP z m: mágneses kvantumszám

P vetülete a z tengelyen

,2,1,0m

Minden P sajátértékhez 12 Pz sajátérték tartozik.

Az -hoz tartozó pályaimpulzusmomentum térbeli

kvantáltsága

3

2.4 Az elektron pálya-mágnesesmomentuma

A hidrogénatom klasszikus mechanikai modellje

Pozitív töltésű részecske, amely körül egy negatív töltésű részecske kering.

A klasszikus fizikában

I : a köráram erőssége

A : a körbejárt felület

: a felületre merőleges egységvektor

n

nAIM

Próbáljuk meg összefüggésbe hozni az

impulzusmomentummal!

T

eI

2rA

nT

erM

2

nAIM

Az impulzusmomentum képletének átalakítása hasonló módon

nT

r2rmvrmP ee

nT

erM

2 n

T

r2rmvrmP ee

Pm2

eM

e

A mágneses momentum operátora

Pm

eM

e

ˆ2

ˆ

és operátorok sajátértékegyenletei oldhatók meg.

2M zM

Bem

eM )1(

2)1(

M abszolút értéke

eB em

e Bohr-magneton

12410724,9 JTeslaB

A mágneses momentum z irányú vetülete

m : mágneses kvantumszám

Be

z mm

emM

2

Mágneses térben levő részecske potenciális energiája

Klasszikus fizika:

Kvantummechanika

: mágneses indukcióB

BMBMV zmág

BmV Bmág

ˆ

Zeeman-effektus

2.5 Az elektronspin

Stern-Gerlach-kísérlet

Ezüst-atom sugár kísérlet(hidrogénatommal a kísérlet nehezebb, de az eredmény ugyanaz.)

Alapáll.: n =1;

0 Bz mM nem térül el

Eredmény: két irányba eltérül!!

és m csak 0 lehet!

Értelmezés

Alapállapotban is van impulzusmomentum, amelyből mágneses momentum adódik.

Ez az impulzusmomentum a spin.

Spin operátor

Jele: S

Sajátérték egyenletet lehet felírni absz. értékére és z irányú vetületre.

sajátértéke2S

)1( sssP

2

1s

Ps : spinhez tartozó imp. momentum

: spinre utaló mellékkvantumszáms

22 )1( sssP

abszolút érték

sajátértékezS

sP zs 2

1s

zsP : z irányú komponens

Spinből származó mágneses momentum

Bsses gM )1(

Bezs sgM

abszolút érték

z irányú komponens

ge : Lande-faktor

hidrogénatomban ge=2,0023

A spin operátorok sajátfüggvénye

)(ˆ

ˆ 2

sS

Sz

(közös a két operátoré)

A spin létezése nem kvantummechanikai axióma.

Spin értelmezése: Paul Dirac (1902-1984)

Relativitáselmélet

•Olyan mozgások leírása, ahol a sebesség összemérhető a fénysebességgel.•Az elektron sebessége is összemérhető a fénysebességgel.•Dirac-egyenlet: Schrödinger egyenlet módosítva a relativitáselmélettel.

A hidrogénatom Dirac-egyenletének megoldása

E függ n-től nagyon és j-től picit

s

0

21

: az elektronpálya impulzusmomentuma

: a spin impulzusmomentuma

ha

d pálya

s pálya

p pálya

2

1j

2

3;

2

1j

2

5;

2

3j

sj belső kvantumszám

Spin-pálya felhasadás

21

d pálya

p pálya 2

3;

2

1j

2

5;

2

3j

Ha 0-től eltér a mellékkvantumszám, a belső kvantumszámnál az energiaszintek kétfelé hasasnak

A spin-pálya csatolás miatt felhasadnak az energiaszintek

Kiválasztási szabály

1,0 j

1

A Dirac-egyenlet sajátfüggvényei

)()(,, smn

„spin-koordinátor”