2. Biegung - Homepage - Prof. Dr. Johannes Wandingerwandinger.userweb.mwn.de/TM2/v1_2.pdf · 2017-03-23 · Prof. Dr. Wandinger 1. Grundbelastungsarten TM 2 1.2-1 23.03.17 2. Biegung

Prof. Dr. Wandinger 1. Grundbelastungsarten TM 2 1.2-1

23.03.17

2. Biegung

● Wie die Normalkraft resultiert auch das Biegemoment aus einer Normalspannung.

● Das Koordinatensystem des Balkens wird so gewählt, dass die Flächenschwerpunkte der Querschnitte auf der x-Achse liegen.

● Im Folgenden wird die Normalspannung für den Fall der ebenen Biegung ermittelt.

● Die ebene Biegung wird meist etwas ungenau als gerade Biegung bezeichnet.


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2. Biegung

● Ebene Biegung liegt vor,

– wenn der Querschnitt symmetrisch bezüglich der xz-Ebene ist,

– wenn die am Balken an-greifenden Kräfte in der xz-Ebene liegen,

– wenn die am Balken an-greifenden Momente um die y-Achse drehen.

x

zy

Fq

M

S

Die verformte Balkenachse liegt in der xz-Ebene.


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2. Biegung

2.1 Spannungsermittlung

2.2 Zulässige Spannung

2.3 Kerbwirkung


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● Betrachtet wird der Fall, dass die Normalkraft null ist.

● Aus der Statik folgt:

– Die resultierende Normalkraft der gesuchten Spannung muss null sein:

– Das resultierende Moment der ge-suchten Spannung um die y-Achse muss gleich dem Biegemoment sein:

∫A

σ( x , y , z)dA=0

∫A

z σ(x , y , z)dA=M y (x) z

y

σdA

y

z

dA

S


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● Kinematik:

– Die beiden Bedingungen für die Resultierenden reichen nicht aus, um den Verlauf der Spannung über den Quer-schnitt zu ermitteln.

– Zusätzlich wird angenommen, dass sich der Balken so ver-formt, dass ebene Querschnitte eben bleiben und sich um die y-Achse drehen.

– Diese Annahme wird nach Jakob I. Bernoulli (1655 – 1705) als Bernoulli-Hypothese bezeichnet.


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– Mit der Bernoulli-Hypothese gilt für die Verschiebung u in x-Richtung:

z

u

wx x x

z z z

ϕ

u( x , z)z

=tan (ϕ(x ))≈ϕ( x) → u (x , z )=ϕ( x) z


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– Daraus folgt für die Deh-nung:

– Mit dem Hookeschen Ge-setz gilt für die Span-nung:

ϵ(x , z)=∂u∂ x

=d ϕ

dxz

σ( x , z)=E ϵ(x , z)=E d ϕ

dxz

– Die Spannung infolge der Biegung wird als Biege-spannung bezeichnet.

– Der Winkel ϕ heißt Bie-gewinkel.

– Die Ableitung dϕ/dx gibt die Krümmung der Biege-linie an.


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● Ermittlung der Biegespannung:

– Mit der Beziehung für die Biegespannung berechnet sich das resultierende Biegemoment zu

– Mit dem Flächenträgheitsmoment

folgt:

– Das Produkt EI y wird als Biegesteifigkeit bezeichnet.

M y (x)=∫A

z σ( x , z)dA=E d ϕ

dx ∫Az2 dA

I y=∫A

z2 dA

M y (x)=E I yd ϕ

dx


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– Für die Krümmung folgt:

– Damit gilt für die Biege-spannung:

– Die Biegespannung kann aus dem Biegemoment und dem Flächenträg-heitsmoment berechnet werden. Sie hängt linear vom Faserabstand z ab.

– Entlang der y-Achse ist die Biegespannung null. Die y-Achse stimmt mit der Nulllinie überein.

– Ein positives Biegemoment My führt auf der Seite mit positi-ven Werten von z zu einer Zugspannung.

d ϕ

dx=

M y (x)

E I y

σ( x , z)=M y(x )

I y

z


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– Die x-Achse wird auch als neutrale Faser bezeichnet.

● Flächenträgheitsmoment:

– Das Flächenträgheitsmoment ist eine geometrische Größe des Querschnitts.

– Es beschreibt den Einfluss der Querschnittsgeometrie auf die Biegesteifigkeit.

– Für viele Querschnittsformen sind die Flächenträgheitsmo-mente tabelliert.

– Die Flächenträgheitsmomente von genormten Profilen kön-nen den entsprechenden Normen entnommen werden.


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● Widerstandsmoment:

– Die betragsmäßig größte Biegespannung tritt in den Punkten auf, die den größten Abstand |z|max von der Nulllinie haben:

|σ(x)|max=|M y(x)|

I y

|z|max

W y=I y

|z|max

|σ(x)|max=|M y(x)|

W y

– Mit dem Widerstands-moment

gilt:

– Für Normprofile sind die Widerstandsmomente in den Normen angegeben.


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● Beispiel: T-Profil

– Gegeben:● Rundkantiger hochstegiger

T-Stahl T 80 DIN 1024● Biegemoment: My = 2500 Nm

– Gesucht:● Wert und Ort der betrags-

mäßig größten Normalspan-nung

b

e

h

y

z

A B

C


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– Der Norm können folgende Daten entnommen werden:● Abmessungen: h = b = 80 mm, e = 2,22 cm● Flächenträgheitsmoment: Iy = 73,7 cm4

● Widerstandsmoment: Wy=12,8 cm3

– Ergebnisse:● Die betragsmäßig größte Spannung berechnet sich zu

● Sie tritt als Zugspannung im Punkt C auf.

|σ|max=2500⋅103 Nmm12,8⋅103 mm3 =195,3 MPa


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● Beispiel: Rechteckquerschnitt

– Mit folgt für das Flächen-trägheitsmoment:

– Mit gilt für das Widerstandsmoment:

y

z

b

h

dz

dA

dA=b dz

I y=∫A

z2 dA= ∫−h /2

h /2

z2 b dz

=b [ z3

3 ]−h /2

h /2

=b ( h3

24+

h3

24 )= 112

b h3

zmax=h /2

W y=I y

zmax

=b h3

122h=

b h2

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● Duktile Werkstoffe:

– Die Streckgrenze wird zuerst in der äußersten Randfaser des Balkens erreicht.

– Bei einer weiteren Zunahme des Biegemoments wächst die Spannung im plastischen Bereich weniger stark an als bei einem proportionalen Zusammenhang.

– Dafür steigt die Spannung im noch elastischen inneren Be-reich stärker an.

– Dieser Effekt wird als Stützwirkung bezeichnet.


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z

x, σRe

Plastischer Bereich

Elastischer Bereich


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– Für die Auslegung wird die 0,2 %-Biegedehngrenze ver-wendet:

– Dabei ist My0,2 das Biegemoment, bei dem die größte auftre-tende plastische Dehnung nicht größer als 0,2 % ist.

– Das Verhältnis

wird als Dehngrenzenverhältnis oder Stützziffer bezeichnet.

– Das Dehngrenzenverhältnis hängt von der Querschnitts-form und von der Streckgrenze ab.

σb 0,2=M y 0,2

W y

>Re

n0,2=σb 0,2

Re


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– Für die Sicherheit gegen Fließen und die zulässige Span-nung gilt:

– Anhaltswerte für die Sicherheit liegen zwischen 1,2 und 2,0.

● Spröde Werkstoffe:

– Fließen tritt nicht auf. Das Versagen erfolgt durch Bruch.

– Infolge von nichtlinearem Verhalten vor dem Bruch sowie unterschiedlichem Verhalten bei Zug und bei Druck ist das Biegemoment MyB beim Bruch größer als bei einer linearen Spannungsverteilung.

S F=n0,2 Reσmax

, σ zul=n0,2 Re

S F


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– Für die Auslegung wird die Biegefestigkeit

verwendet.

– Für die Sicherheit gegen Bruch und die zulässige Spannung gilt:

– Anhaltswerte für die Sicherheit liegen zwischen 4,0 und 9,0.

σbB=M yB

W y

>Rm

S B=σbBσmax

, σ zul=σbB

S B


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2.3 Kerbwirkung

● Formzahl:

– Die Auswirkung einer Kerbe wird wie beim Stab durch eine Formzahl beschrieben:

– Dabei ist σbk die größte in der Kerbe auftretende Spannung und σbn die Biegenennspannung. Die Biegenennspannung wird mit dem Widerstandsmoment des gekerbten Quer-schnitts berechnet:

αkb=σbkσbn

σbn=M y

W yn


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2.3 Kerbwirkung

– Beispiel:

t t

r

B

M

b

M


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2.3 Kerbwirkung

● Sicherheit und zulässige Spannung:

– Gegen Fließen:

– Gegen Bruch:

S F=n0,2 Reαkb σbn

, σ zul=n0,2 Re

αkb S F

S B=σbB

αkb σbn, σ zul=

σbB

αkb S B

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