خيز تيرها: 9فصل

9. Deflection of Beams

2مقاومت مصالح

نيرومندمحمدرضادکتر

اصفهاندااگشنه ايپم نور

© 2002 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.

MECHANICS OF MATERIALS

Th

irdE

ditio

n

Beer • Johnston • DeWolf

9 - 2

:رابطه بين گشتاور خمشی و انحنا•

EI

xM )(1

:تير طره ای تحت بار متمرکز در انتهای آزاد•

EI

Px

1

.تغيير می کندxانحنا به صورت خطی با •

A:در انتهای آزاد • AA

ρρ

,01

:Bدر تکيه گاه •PL

EIB

B

,01

© 2002 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.

MECHANICS OF MATERIALS

Th

irdE

ditio

n

Beer • Johnston • DeWolf

9 - 3

تير سرآويز-الف

نيروهای تکيه گاهی-ب

نمودار لنگر خمشی-ج

رابر در هر نقطه ای که لنگر خمشی صفر است، انحنا ب•.Eيعنی دو انتها و نقطه . صفر است

EI

xM )(1

ر لنگر خمشی دارای عالمت مثبت و تقعEو Aبين نقاط •.تير به سمت باالست

لنگر خمشی دارای عالمت منفی و تقعرDو Eبين نقاط •. تير به سمت پايين است

که گشتاور، ماکزيمم است، انحنای سطح تير Cدر نقطه •(.شعاع انحنا، مينيمم است)ماکزيمم است

،کندمیمشخصراآنطولدرتيرشکلکهایمعادله•.داردناماالستيکمنحنی

الف

ب

ج

د

© 2002 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.

MECHANICS OF MATERIALS

Th

irdE

ditio

n

Beer • Johnston • DeWolf

9 - 4

:از رياضيات داريم•

EI

xM

dx

yd

dx

yd

dx

dy

dx

yd

)(

1

12

2

2

2

232

2

2

:مرتب سازی و انتگرال گيری•

21

00

1

0

2

21

CxCdxxMdxyEI

CdxxMdx

dyEIEI

xMdx

ydEIEI

xx

x

.را صالبت خمشی می گويندEIو جمله معادله ديفرانسيل منحنی االستيک معادله فوق را

.دشيب تير در هر نقطه را مشخص می کن

.خيز تير در هر نقطه را مشخص می کند

© 2002 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.

MECHANICS OF MATERIALS

Th

irdE

ditio

n

Beer • Johnston • DeWolf

9 - 5

21

00

CxCdxxMdxyEI

xx

:ندثوابت معادله با استفاده از شرايط مرزی تعيين می شو•

:سه نوع تير معين استاتيکی•

– Simply supported beam

0,0 BA yy

– Overhanging beam

0,0 BA yy

– Cantilever beam

0,0 AAy

ادهتير با تکيه گاه س

تير سرآويز

تير طره ای

© 2002 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.

MECHANICS OF MATERIALS

Th

irdE

ditio

n

Beer • Johnston • DeWolf

9 - 6

:نکته

.استنيازM(x)برایمختلفیتوابعتير،مختلفهایقسمتبرایپيچيدههایبارگذاریدر•

.آمدخواهدوجودبهگيریانتگرالثابتدوگشتاور،معادالتازکدامهرازگيریانتگرالبا•

.استنيازمرزیشرطزيادیتعدادبهوداشتهوجودزيادیهایثابتديگرعبارتبه•

نقاطدرخمشیلنگروبرشینيرویاگرچهکهکرددقتبايدمرزیشرايطاينتعيينبرای•

.ستندنيگسستگیدارایتيرشيبوخيزاماباشند،ناپيوستهاستممکنتيرمختلف

© 2002 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.

MECHANICS OF MATERIALS

Th

irdE

ditio

n

Beer • Johnston • DeWolf

9 - 7

:w(x)برای يک تير تحت بار توزيعی •

xwdx

dV

dx

MdxV

dx

dM

2

2

:معادله ديفرانسيل مرتبه چهارم منحنی االستيک•

xwdx

ydEI

dx

Md

4

4

2

2

432

2213

161 CxCxCxC

dxxwdxdxdxxyEI

:چهار بار انتگرال گيری•

.ثوابت معادله با استفاده از شرايط مرزی بدست می آيند•

© 2002 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.

MECHANICS OF MATERIALS

Th

irdE

ditio

n

Beer • Johnston • DeWolf

9 - 8

. را درنظربگيريدBو تکيه گاه غلتکی Aبا تکيه گاه ثابت ABتير •

.از دياگرام آزاد مشخص است که چهار نيروی مجهول وجود دارد•

:شرايط تعادل استاتيکی•

000 Ayx MFF

.سه معادله و چهار مجهول، لذا تير از نظر استاتيکی نامعين است

21

00

CxCdxxMdxyEI

xx

اهیگتکيهنيروهایتعيينبرایکهديديم1مصالحمقاومتدر•

همرازهساهایشکلتغييربايداستاتيکی،نامعينهایسازهدر

.(سازگاریمعادالت)درنظرگرفت

:تيرخيزمعادله•

.در نتيجه سه معادله و دو مجهول اضافه می شود

0,At 00,0At yLxyx

© 2002 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.

MECHANICS OF MATERIALS

Th

irdE

ditio

n

Beer • Johnston • DeWolf

9 - 9

ft 4ft15kips50

psi1029in7236814 64

aLP

EIW

:مطلوبستABCاز تير سرآويز فوالدی ABبرای قسمت

معادله منحنی االستيک-الف

محل خيز ماکزيمم-ب

مقدار خيز ماکزيمم-ج

© 2002 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.

MECHANICS OF MATERIALS

Th

irdE

ditio

n

Beer • Johnston • DeWolf

9 - 10

:حل

منحنی االستيک-الف

نيروهای تکيه گاهی-

L

aPR

L

PaR BA 1

:ADبا استفاده از تعادل گشتاور در قسمت -

LxxL

aPM 0

xL

aP

dx

ydEI

2

2

:معادله ديفرانسيل منحنی االستيک-

© 2002 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.

MECHANICS OF MATERIALS

Th

irdE

ditio

n

Beer • Johnston • DeWolf

9 - 11

PaLCLCLL

aPyLx

Cyx

6

1

6

10:0,at

0:0,0at

113

2

:دو بار انتگرال گيری و اعمال شرايط مرزی•

213

12

6

1

2

1

CxCxL

aPyEI

CxL

aP

dx

dyEI

32

6 L

x

L

x

EI

PaLy

PaLxxL

aPyEI

L

x

EI

PaL

dx

dyPaLx

L

aP

dx

dyEI

6

1

6

1

3166

1

2

1

3

2

2

:جايگذاری

منحنی االستيک

© 2002 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.

MECHANICS OF MATERIALS

Th

irdE

ditio

n

Beer • Johnston • DeWolf

9 - 12

محل خيز ماکزيمم-ب

.که شيب صفر است، رخ می دهدEخيز ماکزيمم در نقطه

LL

xL

x

EI

PaL

dx

dym

m 577.03

316

0

2

مقدار خيز ماکزيمم-ج

32

max 577.0577.06

EI

PaLy

EI

PaLy

60642.0

2

max

46

2

maxin723psi10296

in180in48kips500642.0

y

in238.0max y

© 2002 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.

MECHANICS OF MATERIALS

Th

irdE

ditio

n

Beer • Johnston • DeWolf

9 - 13

:مطلوبستABبرای تير

Aواکنش در تکيه گاه -الف

معادله منحنی االستيک-ب

Aشيب در انتهای -ج

© 2002 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.

MECHANICS OF MATERIALS

Th

irdE

ditio

n

Beer • Johnston • DeWolf

9 - 14

:حل

.تير، ناميعن استاتيکی درجه اول است: توجه

Aنيروی تکيه گاهی -الف

معادله گشتاور

L

xwxRM

Mx

L

xwxR

M

A

A

D

6

032

1

0

30

20

L

xwxRM

dx

ydEI A

6

30

2

2

معادله ديفرانسيل منحنی االستيک

© 2002 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.

MECHANICS OF MATERIALS

Th

irdE

ditio

n

Beer • Johnston • DeWolf

9 - 15

دو بار انتگرال گيری•

21

503

1

402

1206

1

242

1

CxCL

xwxRyEI

CL

xwxREI

dx

dyEI

A

A

:اعمال شرايط مرزی•

01206

1:0,at

0242

1:0,at

0:0,0at

21

403

1

302

2

CLCLw

LRyLx

CLw

LRLx

Cyx

A

A

:Aحل معادله جهت تعيين نيروی تکيه گاه •

030

1

3

1 40

3 LwLRA LwRA 010

1

© 2002 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.

MECHANICS OF MATERIALS

Th

irdE

ditio

n

Beer • Johnston • DeWolf

9 - 16

xLwL

xwxLwyEI

3

0

503

0120

1

12010

1

6

1

xLxLxEIL

wy 43250 2

120

معادله منحنی االستيک-ب

RAو C2و C1جايگذاری

42240 65120

LxLxEIL

w

dx

dy

EI

LwA

120

30

Aشيب در انتهای -ج

مشتق گيری برای پيدا کردن شيب

at x = 0,

© 2002 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.

MECHANICS OF MATERIALS

Th

irdE

ditio

n

Beer • Johnston • DeWolf

9 - 17

(:Superposition)اصل ترکيب

ل ناشی از هر ناشی از چند بارگذاری برابر است با ترکيب خطی تغيير شک( خيز و شيب)تغيير شکل تيرها

.يک از بارگذاری ها

© 2002 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.

MECHANICS OF MATERIALS

Th

irdE

ditio

n

Beer • Johnston • DeWolf

9 - 18

.را بدست آوريدBبرای تير مقابل، شيب و خيز در انتهای

:حل

.درنظر می گيريم2و 1بارگذاری را به صورت برآيند بارگذاری

© 2002 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.

MECHANICS OF MATERIALS

Th

irdE

ditio

n

Beer • Johnston • DeWolf

9 - 19

Loading I:

EI

wLIB

6

3

EI

wLy IB

8

4

Loading II:

EI

wLIIC

48

3

EI

wLy IIC

128

4

رایباالستيکمحنیلذاواستصفرخمشیلنگر،CBقسمتدر

.استراستخطيکصورتبهقسمتاين

EI

wLIICIIB

48

3

EI

wLL

EI

wL

EI

wLy IIB

384

7

248128

434

© 2002 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.

MECHANICS OF MATERIALS

Th

irdE

ditio

n

Beer • Johnston • DeWolf

9 - 20

EI

wL

EI

wLIIBIBB

486

33

EI

wL

EI

wLyyy IIBIBB

384

7

8

44

EI

wLB

48

7 3

EI

wLyB

384

41 4

:ترکيب حل ها

© 2002 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.

MECHANICS OF MATERIALS

Th

irdE

ditio

n

Beer • Johnston • DeWolf

9 - 21

.کرداستفادهترکيبروشازتوانمیاستاتيکینامعينتيريکتحليلبرای•

بهآنراهیگاتکيهنيرویوکردهحذف(شودمیناميدهزائدگاهتکيهکه)راهاگاهتکيهازيکیابتدا•

.گيريمدرنظرمیمجهولبارعنوان

.نيمکمیترکيبسپسوکردهحسابجداگانهراواردهبارهایومجهولبارازناشیهایتغييرشکل•

.باشدسازگاراصلیتيرهایگاهتکيهوضعيتبابايدهابارگذاریترکيبازناشیشکلتغيير•

© 2002 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.

MECHANICS OF MATERIALS

Th

irdE

ditio

n

Beer • Johnston • DeWolf

9 - 22

:برای تير داده شده مطلوبست

الف واکنش در هر تکيه گاه

Aشيب در انتهای -ب

:حل

.را حذف می کنيمBتکيه گاه زائد

(RBو نيروی مجهول wنيروی گسترده )اصل ترکيب

(.بايد صفر باشدBجابجايی در نقطه )اعمال شرط سازگاری با توجه به تير اصلی

© 2002 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.

MECHANICS OF MATERIALS

Th

irdE

ditio

n

Beer • Johnston • DeWolf

9 - 23

:اثر بارگذاری توزيعی•

EI

wL

LLLLLEI

wy wB

4

334

01132.0

3

2

3

22

3

2

24

:اثر نيروی تکيه گاه زائد•

EI

LRLL

EIL

Ry BB

RB

322

01646.033

2

3

واکنش در تکيه گاه ها-الف

:شرط سازگاری•

EI

LR

EI

wLyy B

RBwB

34

01646.001132.00

wLRB 688.0

:از تعادل استاتيکی•

wLRwLR CA 0413.0271.0

© 2002 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.

MECHANICS OF MATERIALS

Th

irdE

ditio

n

Beer • Johnston • DeWolf

9 - 24

EI

wL

EI

wLwA

33

04167.024

EI

wLLL

L

EIL

wLRA

322 03398.0

336

0688.0

EI

wL

EI

wLRAwAA

33

03398.004167.0 EI

wLA

3

00769.0

Aشيب در انتهای -ب

© 2002 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.

MECHANICS OF MATERIALS

Th

irdE

ditio

n

Beer • Johnston • DeWolf

9 - 25

در اين قسمت برای تعيين شيب و خيز از خواص منحنی•

.االستيک تير استفاده می کنيم

:قضيه اول ممان مساحت

EI

M

dx

yd

dx

d

dx

dy

2

2

dxEI

Md

D

C

x

x

CD dxEI

M

CD / ( Dو Cبين نقاط M//EIسطح زير منحنی )

© 2002 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.

MECHANICS OF MATERIALS

Th

irdE

ditio

n

Beer • Johnston • DeWolf

9 - 26

:مساحتمماندومقضيه

ممانبااستبرابرD(tC/D)نقطهبهنسبتCنقطهمماسیانحراف

محوربهنسبتDوCنقاطبينM/EIمنحنیزيرسطحاول

.Cنقطهازگذراعمودی

گذراعمودیمحوراالستيک،منحنیبر’PوPنقاطازواردههایمماس•

.کنندمیقطعدارند،قرارهمازdtفاصلهبهکهنقاطیدرراCنقطهاز

dxEI

Mxt

dxEI

Mxdtdxdt

D

C

x

x

DC

1/

11. کوچک dθ

© 2002 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.

MECHANICS OF MATERIALS

Th

irdE

ditio

n

Beer • Johnston • DeWolf

9 - 27

يکعمودیفاصلهمساحت،مماندومقضيهکهديديم•يکازواردهمماستا(C)االستيکمنحنیازنقطه.دهدمینشانرا(D)ديگرنقطه

عنوانبهAثابتگاهتکيهازواردهمماسای؛طرهتير•.مرجعمماس

وارده مماس: تير با تکيه گاه ساده تحت بارگذاری متقارن•.به عنوان مماس مرجعCاز مرکز

ADD

ADD

A

ty /

/

0

cBCDD

CDD

C

tty //

/

0

مساحت-با کمک قضيه اول ممانDشيب در

مساحت-با کمک قضيه دوم ممانDخيز در

مساحت-با کمک قضيه اول ممانDشيب در

مساحت-با کمک قضيه دوم ممانDخيز در

© 2002 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.

MECHANICS OF MATERIALS

Th

irdE

ditio

n

Beer • Johnston • DeWolf

9 - 28

استبهترtD/CمماسیانحرافوθD/Cزاويهتعيينبرایمعموالً•

صورتبهواردهبارهایازيکهربرایرامذکورهایجمله

.بيابيمجداگانه

جداگانهطوربهبارهربرایراM/EIنمودارمنظور،اينبرای•

.کنيممیرسم

زاويهD/Cهایمنحنیزيرمساحتجبریمجموعازرا

.يابيممیمختلف

مماسیانحرافtD/Cمذکورسطوحاولهایممانمجموعازرا

.يابيممیDنقطهازگذراعمودیمحوربهنسبت

طوربهواردهبارهربرایطريقاينبهکهراM/EIنمودار•

.گويندمیچندقسمتینمودارآيد،میبدستجداگانه

© 2002 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.

MECHANICS OF MATERIALS

Th

irdE

ditio

n

Beer • Johnston • DeWolf

9 - 29

.را بيابيدEبرای تير داده شده، شيب و خيز در سر

© 2002 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.

MECHANICS OF MATERIALS

Th

irdE

ditio

n

Beer • Johnston • DeWolf

9 - 30

:حل

تعيين نيروهای تکيه گاهی-

waRR DB

M/EIنمودارهای نيروی برشی، لنگر خمشی و رسم -

EI

waa

EI

waA

EI

LwaL

EI

waA

623

1

422

32

2

22

1

© 2002 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.

MECHANICS OF MATERIALS

Th

irdE

ditio

n

Beer • Johnston • DeWolf

9 - 31

:Eشيب در سر •

EI

wa

EI

LwaAA

CECECE

64

32

21

aLEI

waE 23

12

2

EI

Lwa

EI

wa

EI

Lwa

EI

Lwa

LA

aA

LaA

tty CDCEE

168164

44

3

4

224223

121

aLEI

wayE 2

8

3

:Eسر خيز در •