SSỞỞ GGIIÁÁOO DDỤỤCC –– ĐĐÀÀOO TTẠẠOO PPHHÚÚ YYÊÊNN ĐĐỀỀ TTHHII TTHHỬỬ ĐĐẠẠII HHỌỌCC NĂM 2012TTRRƯƯỜỜNNGG TTHHPPTT PPHHAANN BBÔÔII CCHHÂÂUU MÔN TOÁN

Thời gian : 180 phút (không kể thời gian phát đề)

PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH ( 7điểm )Câu I ( 2,0 điểm) Cho hàm số 3 2( ) 3 1y f x x x 1.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( C ) của hàm số đã cho .2.Tìm hai điểm A , B thuộc đồ thị ( C ) sao cho tiếp tuyến của đồ thị ( C ) tại A và B song song với nhau và độ

dài đoạn AB = 4 2Câu II ( 2,0 điểm)1.Giải phương trình : 3 3 2os 4sin 3cos .sin s inx 0c x x x x ( 1 )

2.Giải hệ phương trình :2 2

2

2 1(1)

(2)

xyx yx y

x y x y

Câu III ( 1,0 điểm) Tính tích phân : I =2

30

sin(s inx cos )

x dxx

Câu IV ( 1,0 điểm) : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi ; hai đường chéo AC = 2 3 a ;

BD = 2a cắt nhau tại O ; hai mp(SAC) và (SBD) cùng vuông góc với mp(ABCD) . Biết khoảng cách từ

điêm O đến mp(SAB) bằng 34

a . Tính thể tích hình chóp S.ABCD theo a.

Câu V (1,0 điểm): Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình : 2 3 23 1 2 2 1x x x m

có nghiệm duy nhất thuộc đoạn1 ;12

PHẦN RIÊNG (3điểm) Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc phần B)

A. Theo chương trình Chuẩn:Câu VI.a (2,0 điểm)1.Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, choABC với A ( 1 ; – 2 ) ; đường cao CH : x – y + 1 = 0 ; đường phân giác

trong BN : 2x + y + 5 = 0 . Tìm tọa độ các đỉnh B ; C và tính diện tích ABC .

2.Trong không gian với hệ trục Oxyz , cho điểm A ( 2 ; – 1 ; 0 ) ; B ( 5 ; 1 ; 1 ) ; M ( 0 ; 0 ;12

) . Lập

phương trình mp ( ) qua A ; B đồng thời khoảng cách từ M đến mp ( ) bằng 76 3

Câu VII.a (1,0 điểm) : Cho 2 số phức z1 , z2 thỏa mãn điều kiện : 1 2 1z z và 1 2 3z z

Tính 1 2z zB. Theo chương trình Nâng cao:Câu VI.b (2 điểm)1. Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy , cho hình chữ nhật ABCD có diện tích bằng 12 ; tâm I là giao

điểm của 2 đường thẳng d1 : x – y – 3 = 0 và d2 : x + y – 6 = 0 . Trung điểm của một cạnh là giao điểm củađường thẳng d1 với trục Ox . Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật ABCD .

2. Trong không gian với hệ trục Oxyz ,cho A ( a ; 0 ; 0 ) ; B ( 0 ; b ; 0 ) C ( 0 ; 0 ;c ) thỏa a, b , c > 0 và2 2 2a b c = 3 . Xác định a. b .c sao cho khoảng cách từ gốc tọa độ O đến mp( ABC ) là lớn nhất .Câu VII.b (1,0 điểm) : Trong các số phức z thỏ mãn điều kiện 1 2 1z i , tìm số phức z có mô đun

nhỏ nhất .

-------------------------------------------------HẾT--------------------------------------------------------

www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam

www.MATHVN.com

ĐÁP ÁN - THANG ĐIỂMKỲ THI THỬ ĐẠI HỌC NĂM 2012

MÔN TOÁN

Câu Đáp án ĐiểmI 2,00

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số3 23 1y x x

Tập xác định D RSự biến thiên: 2' 3 6y x x

' 0y x = 0 hay x = 2

0,25

+ Giới hạn: lim ; lim .x x

- Đồ thị hàm số không có tiệm cận.Bảng biến thiên

x – 0 2 +y’ + 0 – 0 +y 1 +

– –3

0,25

1

Hàm số đồng biến trên các khoảng (– ; 0 ) và ( 2 ; + ) Hàm số nghịch biến trên khoảng ( 0 ; 2 )

CD CT0 1, 2 3y y y y Ta có y’’ = 6x – 6 y’’ = 0 x= 1 điểm I(1 ; – 1) là điểm uốn của đồ thị.

0,25

Giao điểm với Oy : ( 0 ; 1 ) Đồ thị : y

1-1 2 3

O x

-3

0,25

1,00

2 Tìm A , B thuộc ( C )

www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam

www.MATHVN.com

1,0

Giả sử A ( a ; 3 23 1a a ) , B ( b ; 3 23 1b b ) thuộc ( C ) . ( a # b )Ta có : f/ ( a ) = f/ ( b ) 3a2 – 6a = 3b2 – 6b ( a – b ) ( a + b – 2 ) = 0 a + b – 2 = 0 ( vì a # b ) b = 2 – a

Theo gt : AB = 4 2 2 3 2 3 2 2( ) ( 3 3 ) 32b a b b a a

22 2 2(2 2 ) ( )( ) 3( )( ) 32a b a b a ab b a b a

22 2 2(2 2 ) ( )( 6) 32a b a b a ab

6 4 24( 1) 24( 1) 40( 1) 32 0a a a

3 1

1 3a ba b

0,25

0,25

0,25

Vậy : A ( 3 ; 1 ) ; B ( – 1 ; – 3 ) 0,25

II 2,001 Giải phương trình lượng giác (1,00 điểm)

( 1 ) cosx(1 – sin2x ) – 4sin3x – 3cosx.sin2x + sinx = 0 . ( sinx + cosx ) – 4sin2x.( sinx + cosx ) = 0 0,25

( sinx + cosx ) ( 1 – 4sin2x ) = 0 ( sinx + cosx ).( 2cos2x – 1 ) = 0

s inx cos 02 os2 1 0

xc x

0,25

2 sin( ) 0

41os22

x

c x

4

6

x k

x k

, k z0,50

2 Giải hệ phương trình (1,00 điểm) Điều kiện : x + y > 0

( 1 ) 2 2( ) 2 1 0xyx y xyx y

3( ) 2 ( ) 2 ( ) 0x y xy x y xy x y

0,25

2( ) ( ) 1 2 ( 1) 0x y x y xy x y ( 1) ( )( 1) 2 0x y x y x y xy

2 2( 1)( ) 0x y x y x y ( 3)

0,25

Với đk : x + y >0 thì 2 2( )x y x y > 0 Nên ( 3 ) x + y – 1 = 0 x + y = 1 .

Thay vào ( 2 ) ta được : y2 – 3y = 0 03

yy

0,25

y = 0 x = 1y = 3 x = – 2

Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm : ( x ; y ) = ( 1 ; 0 ) ; ( x ; y ) = ( – 2 ; 3 )0,25

www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam

www.MATHVN.com

IIITính tích phân I =

2

30

sin(s inx cos )

x dxx

1,00

Đặt t =2

– x dx = – dt

Khi x =2 t = 0 ; khi x = 0 t =

2 0,25

I =2 2

3 30 0

cos cos(cos sin ) (cos s inx)

t xdt dxt t x

2I =2 2

3 20 0

(sin cos )(s inx cos ) (s inx cos )

x x dxdxx x

0,25

=2

20 2 cos ( )4

dx

x

=2

0

1 .tan( )2 4

x

= 1 0,25

Vậy : I = 12 0,25

IV Tính thể tích hình chóp S.ABCD 1,00

S

.

D A I

O H N

C B

Theo giả thiết ta suy ra : SO ( ABCD )

OAB vuông tại O , có OA = a 3 , OB = a , tanABO = 3OAOB

060ABO ABD là tam giác đều .

0,25

Gọi H là trung điểm của AB , K là trung điểm của BH . Ta có : DH AB và DH = a 3

OK // DH và OK = 32

a

OK AB , mặt khác : SO AB nên : AB ( SOK)

Gọi I là hình chiếu của O trên SK , ta có :OI SKOI AB

OI (SAB)

0,25

www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam

www.MATHVN.com

OI là khoảng cách từ O đến mp( SAB)SOK vuông tại O , có OI là đường cao .

Ta có : 2 2 2

1 1 1OI SO OK SO =

2a

0,25

3

.1 1 1 3. . .3 3 2 3S ABCD ABCD

aV SO S SO AC BD 0,25

V Chứng minh bất đẳng thức ( 1 điểm ) 1,00

Xét hàm số: 2 3 2( ) 3 1 2 2 1f x x x x xác định và liên tục trên 1 ;12

Ta có2

'

2 3 2

3 3 4( )1 2 1

x x xf xx x x

=

2 3 2

3 3 4( )1 2 1

xxx x x

0,25

Vì : x 1 ;12

nên x 1

2 3x + 4 > 0

2 3 2

3 3 4 01 2 1

xx x x

f/(x) = 0 x = 0

0,25

Bảng biến thiên:

x 12 0 1

f/(x) + 0 –

f(x) 1

3 3 222

– 4

0,25

Phương trình đã cho có nghiệm duy nhất 1 ;12

khi

– 4 < m < 3 3 222 hoặc m = 1

0,25

VI.a 2,001 1,00

ABCH ....Viết được pt AB: x + y +1 = 0 .B AB BN …..Tọa độ B (– 4 ; 3 ) 0,25

Lấy A / đối xứng với A qua BN A/ BC .....Tìm được tọa độ A/ ((– 3 ; – 4 ) BC qua B và A/ ......viêt được pt BC : 7x + y + 25 = 0 .

0,25

C BC CH …..Tọa độ C (– 13 9;4 4 )

Tính được BC = 4504

và khoảng cách d( A ; BC ) = 3 2

0,25

1 1 450 45. ( ; ). .3 2.2 2 4 4ABCS d A BC BC

0,25

www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam

www.MATHVN.com

2 Gọi ( ; ; ) 0n A B C

là VTPT của mp( )

A ( 2 ; – 1 ; 0 ) ( ) nên pt ( ) : Ax + By + Cz – 2A + B = 0 .B ( 5 ; 1 ; 1 ) ( ) nên ta có : 5A + B + C – 2A + B = 0 C = – 3A – 2B pt ( ) : Ax + By – ( 3A + 2B ) z – 2A + B = 0 .

0,25

Do đó :2 2 2

3 27 72( ;( )

6 3 6 3(3 2 )

A B A Bd M

A B A B

17A2 – 12AB – 5B2 = 0 517

A B

A B

0,25

* A = B . Chọn A = 1 ; B = 1 ; C = – 5pt ( ) : x + y – 5z – 1 = 0 0,25

* A = –5

17B . Chọn A = 5 ; B = – 17 ; C = 19

pt ( ) : 5x – 17 y + 19z – 27 = 0 . 0,25

VII.a 1,00 Gọi 1 1 1z a b i ; 2 2 2z a b i

Ta có :2 21 1

1 2 2 22 2

1

1

a bz z

a b

0,25

1 2 1 2 1 2( )z z a a b b i 2 21 2 1 2 1 2( ) ( )z z a a b b

2 21 2 1 2 1 23 ( ) ( ) 3z z a a b b

0,25

2 2 21 2 1 2 1 2( ) ( )z z a a b b = 2 2 2 2

1 2 1 2 1 2 1 22 2a a a a b b b b

= 2 2 2 2 2 2 2 21 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 22( ) 2( ) 2 2a a b b a a b b a a b b

= 2 2 2 2 2 21 2 1 2 1 2 1 22( ) 2( ) [( ) ( ) ]a a b b a a b b

0,25

= 2.1 + 2.1 – 3 = 1 1 2 1z z 0,25

VI.b 2,001 1,00

Ta có : I = 1 2d d Tọa độ Ilà nghiệm hệ pt :9

3 0 9 32 ( ; )6 0 3 2 2

2

xx yA

x y y

Do vai trò A , B , C , D như nhau nên giả sử M là trung điểm của AD 1M d Ox M ( 3 ; 0 )

Ta có : AB = 2.IM = 3 2

0.25

Theo gt : ABCDS AB . CD = 12 AD = 2 2Vì I và M cùng thuộc d1 d1 AD AM qua M ( 3 ; 0 ) có VTPT là n

= ( 1 ; 1 )

Pt AM : x + y – 3 = 0

0,25

www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam

www.MATHVN.com

Tọa độ A , D là nghiệm hệ pt :2 2

3 02

( 3)

x y

x y

Giải hệ pt ta được : 21

xy

,

41

xy

A ( 2 ; 1 ) , D ( 4 ; – 1 ) 0,25

I là trung điểm AC nên C ( 7 ; 2 ) I là trung điểm BD nên B ( 5 ; 4 ) Vậy các đỉnh hình chữ nhật là : A ( 2 ; 1 ) , B ( 5 ; 4 ) , C ( 7 ; 2 ) , D ( 4 ; – 1 )

0,25

2 1,00

Pt ( ABC ) có dạng : 1x y za b c

Khoảng cách d( O ; (ABC) ) =

2 2 2

11 1 1a b c

0,25

Ta có : 3 2 2 22 2 2 2 2 2

1 1 1 1 1 1a b ca b c a b c

9 0,25

2 2 2 2 2 2

1 1 1 1 1 13 3a b c a b c

d( O ; (ABC) ) =

2 2 2

11 1 1a b c

13

0,25

Max d( O ; (ABC) ) = 13

khi a = b = c = 1

Vậy : a = b = c = 1 thì Max d( O ; (ABC) ) = 13

0,25

VII.b 1,00 Gọi z = a + bi . M (x ; y ) là điểm biểu diễn số phức z

2 21 2 1 ( 1) ( 2) 1z i x y

Đường tròn ( C ) : 2 2( 1) ( 2) 1x y có tâm I ( – 1 ; – 2 ) Đường thẳng OI có phương trình : y = 2x

0,25

Số phức z thỏa mãn ĐK đề bài khi điểm biểu diễn M của nó thuộc đ ường tròn( C ) và gần gốc tọa độ nhất . M là 1 trong 2 giao điểm của đường tròn ( C ) với đường thẳng OI .

Tọa độ M thỏa mãn hệ pt : 2 2

2( 1) ( 2) 1y xx y

0,25

Giải hệ pt ta được :

115225

x

y

;

115225

x

y

0,25

Chọn 1 21 25 5

z i

0,25

www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam

www.MATHVN.com

www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam

www.MATHVN.com