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-22-
2. Das elektrische Feld
Grundlagen der Elektrotechnik GET 1
• Ladung und Coulomb‘sches Gesetz
• Die elektrische Feldstärke
• Elektrische Feldstärke und leitende Materialien
• Die elektrische Flussdichte
• Elektrisches Feld und Dielektrikum
• Grenzbedingungen des elektrischen Feldes
• Energieinhalt und Kraftwirkung[Buch Seite 19-102]
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Ladung und Coulomb’sches Gesetz IPhänomenologisch
Kraftwirkung aufgeladene Körper
2
-24-
Ladung und Coulomb’sches Gesetz IIPhänomenologisch
Es gibt eine Kraftwirkung aufelektrisch geladene Körper.
Schreibweise: F12 ist Kraft,welche die Ladung Q2 auf dasmit Q1 geladenen Volumen V1ausübt.
Kraftwirkung ist symmetrisch,d.h. Körper 2 erzielt auf denKörper 1 die gleiche Kraftwir-kung, wie der Körper 1 auf denKörper 2: «actio = reactio».
F12 = F21
F12 = F21
Q1 > 0 Q2 < 0
F12
F21V1 V2
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Ladung und Coulomb’sches Gesetz IIIKontinuierliche Ladungsverteilung
(A) Raumladungsdichte :
r( )= limV 0
Q
V=dQ
dV r
[ ] = Cm3
= Asm3
(B) Flächenladungsdichte : (C) Linienladungsdichte :
r( ) =…=dQ
dA r
[ ] = Cm2
= Asm2
r( ) =…=dQ
d r
[ ] = Cm = As
m
Einheit der Ladung:
[Q] = Coulomb = C = As
3
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Konzept der Punktladung
Fall #1:Fall #2:
Ladung und Coulomb’sches Gesetz IV
Fall #1 ( = konstant):
V0 =4
3r03
Kugel mit Ladung • Kugelvolumen:
0 =3Q0
4 r03
• Ausgangs- Ladungsdichte:
Q V( ) = 0 V r( ) 0V 0r 0
Fall #2 (Q = konstant):
V( ) =Q0
V r( )V 0r 0
-27-
Ladung und Coulomb’sches Gesetz V
Konzept der Punktladung
Fall #2: Endliche Ladung Q0 in verschwindendem Volumen V.
Ladungsdichte unendlich gross (unrealistisch)
Bindungsenergie (für den Zusammenhalt) divergiert (unrealistisch)
Diese unrealistische Konfiguration ist praktisch und heisst: Punktladung.
2·Rk
2·Rp
Beispiel: «Proton»
K =P
1+ A ZZ
=22.1 1024 As
m3
1+ 63 2929
10.2 1024 Asm3
P =3e
4 RP3 =
3 1.602 10 19As
4 1.2 fm( )3 22.1 1024 As
m3
Cu2963
(im Sinne einer «real existierenden» Punktladung)
4
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Ladung und Coulomb’sches Gesetz VI
Zwei Punktladungen
F12 = F21 = kQ1 Q2
r2
Experiment:
• Ungleiche Ladungen ziehen sich an.
• Gleiche Ladungen stossen sich ab.
• Beobachtungen:
• Kräfte materialabhängig
F12 = F211r2
F12 = F21 Q1
F12 = F21 Q2Modell für die Kraftwirkung
Konstante k ist materialabhängig
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Ladung und Coulomb’sches Gesetz VII
Zwei Punktladungen
F12 = F21 =1
4
Q1 Q2
r2
F12 = F21 = kQ1 Q2
r2
Gleichheit der Einheiten imSI-System sichern;Faktor 1/(4 ) isthistorisch.
Vakuum: 0 = 8.8541878·10–12 AsV–1m–1
0: elektrische FeldkonstanteMaterial: = 0· r
: Permittivität r: Permittivitätszahl, r 1 wobei r = 1 in Vakuum
k =1
4
Das Coulomb’sches Gesetz
Richtung: auf Verbindungslinie zwischen Punktladungen Q1 und Q2.
5
-30-
Ladung und Coulomb’sches Gesetz VIII
Alternative Schreibweise
F =1
4
Q1 Q2
r2
• Ladungen Q1 und Q2 gehen mitihren Vorzeichen in dieRechnung ein.
• Coulomb’sches Gesetz gilt näherungsweise auch für
kugelförmige Ladung mit endlichem Radius R: Abstand r >> R.
• Klasische Schreibweise eines Fernwirkungsgesetzes.
gleichnamig Abstossung
ungleichnamig Anziehung
-31-
Q>0q+
F
F
Die elektrische Feldstärke IDefinition
E r( ) = limq+ 0
F
q+ r
Kraft auf eineProbeladung q+
Einheit der elektrischen Feldstärke:
Die «Landkarte» der Kraftwirkung,d.h. das Kraftfeld, ermöglicht dieDefinition eines elektrischen Felds,bzw. der elektrischen Feldstärke:
E =F
q+[ ]=N
As= …
Folie14
=V
m
6
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Die elektrische Feldstärke IIBemerkungen
Kommentar:
• Probeladung q+ soll möglicht klein sein (noch besser: verschwinden), damit sie daselektrische Feld E der Ladung Q nicht beeinflusst. Unter solchen Bedingungen gilt:(A) (elektrisches Feld) (Kraftfeld)(B) «lokaler» Charakter der Felddefinition gewährleistet: Weg von der Fernwirkung!
• Umkehrung bringt den «Feldcharakter» der Definition besser zur Geltung:
F = q
+E gilt auch
allgemein! F =Q E
E r( ) = limq+ 0
F
q+ r
In Worten:Die elektrische Feldstärke ist die am Ort r mit der Probe-ladung q+ normierte Kraftwirkung, welche durch dieLadung Q mit verursacht wird.
Gegeben: E-Feld Probeladung q+Gesucht: Kraftwirkung
(für beliebig grosse Ladung Q)
Die elektrische Feldstärke IIIDas elektrische Feld
F = qi1
4
Q
r2
als abstrakterRaumzustandaufgefasst.
1. «Allgemein» heisst auch, dass dieseDefinition der E-Feldstärke am Ort r0eigentlich unabhängig von der Grösseder Probeladung qi ist.
2. Das E-Feld ist daher eine von derProbeladung qi unabhängige physika-lische Qualität des Raumes.
3. Beispiel: Probeladung qi im Wirkungs-bereich der Punktladung Q:
F = qi E E r0( ) = limqi 0
F
qi r0
i = 1,2,…
(A) Fernwirkungsgesetz (Coulomb):
Beschreibt Kraftwirkung zwischen Ladun-gen. Ladung ist Ursache der Kraftwirkung.
(B) Konzept des elektrischen Feldes:
Ladung ist Quelle des elektrischen Feldes.In Bezug auf die Kraftwirkung sind Ladungund E-Feld einander gleichgestellt.
(C) Der Feldbegriff:
Die wichtigste Basisinnovation in der Physikdes 19. Jahrhunderts!
verschiedeneProbeladungen
-33-
7
-34-
Die elektrische Feldstärke IV
Das elektrische Feld Elektrische Feldstärke ist ein Vektorfeld und beschreibtdie Kraftwirkung des E-Feldes auf eine Probeladung.
Q1>0
P
r
a)
Q2<0
P
r
b)
E E
positivePunktladung: Feld weg von Quelle.
negativePunktladung: Feld hin zur Senke.
-35-
Die elektrische Feldstärke VDas elektrische Feld einer Punktladung
Aus Folie 33:
Q>0
E
F = qi1
4 0
Q
r2
Raumzustand E
E =Q
4 0 r2
E =Q
4 0 r2 er
E r( )=Q
4 0 r2
r
r=
Q
4 0 r3 r
er =r
r=r
rmit:
8
-36-
0 1 2 3 cm r
~
1
r2
E
Q
40
1cm2( )
Q
40
4 cm2( )
Die elektrische Feldstärke VIVerlauf des Absolutbetrags der elektrischen Feldstärke
• Verlauf der Feldstärke weist Singularität bei r 0 auf, d.h. Feldstärke strebt dort gegen unendlich.
• Fazit #1: Punktladung ist ein idealisiertes Modell.
• Fazit #2: Die Quelle (Ladung) ist nicht wirklicher Teil der Feldtheorie.
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Die elektrische Feldstärke VIIFeldlinien des elektrischen Feldes
negative Punktladung
Q>0
E
A
a)
A
Q<0
E
A
b)
A
positive Punktladung
Für Feldlinien gilt:
• Verlaufen tangential zu den E-Feld-Vektoren.
• Die Feldliniendichte entspricht der Feldstärke.
• Treffen in der Ladung zusammen.
• Schneiden sich niemals.
Feldlinien:
• Besser dar-stellbar alsVektorfeld.
• Linien mit«mittigen»Pfeilen.
9
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Die elektrische Feldstärke VIIIElektrisches Feld von zwei Punktladungen
Q1>0
E2
Q2>0
E1
E
q+
q+
q+
E2
E2
E1
E1
E
E
q+
E2
E1
E = 0
E1
E2
Symmetrieebenefalls Q1 = Q2
GrafischeKonstruktion:
• Überlagerung der Wirkungen, der beiden Ladun- gen, d.h.:
• Vektorielle Über-lagerung der E-Felder herrührendvon Q1 und Q2.
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Zwei gleiche Punktladungen(Q > 0: Quelle; Q > 0: Quelle)
Zwei ungleiche Punktladungen(Q > 0: Quelle; Q < 0: Senke)
Die elektrische Feldstärke IXFeldlinienbild von zwei Punktladungen
10
-40-
Die elektrische Feldstärke XMessung von Feldlinien mittels Grassamen
–
++
+
-41-
Koordinatensysteme:
(x, y, z): Ortskoordinaten
(xi, yi, zi): lokale Systeme, i = 1,2
Die elektrische Feldstärke XI
Feldberechnung bei zwei positiven Punktladungen
E2
y1
z1 x
1 0
z
x
y
y
xx2
z2
y2
P
E1
E
r1
r2
d d
Q1 = + Q Q
2 = + Q
r1 = x1, y1, z1( ) = x+d, y, z( )
r1 = r1 = x+d( )2+ y2 + z2
r2 = x2 , y2 , z2( ) = x d, y, z( )
r2 = r2 = x d( )2+ y2 + z2
11
Die elektrische Feldstärke XII
Kurzes Intermezzo: «Vektoren» (Buch Anhang A6)
ex
ey
ez r
x
y
z
y0
z0
x0
(B) Vektor:
r = x0 , y0 , z0( )
= x0 ex + y0 ey + z0 ez
(C) Betrag des Vektors:
r = x0
2+ y0
2+ z0
2
(A) Koordinatensystem:
Karthesisch: x, y, z
-42-
r = r er
(D) Einheitsvektor:
er =r
r=
x0 , y0 , z0( )
x02+ y0
2+ z0
2=x0 ex + y0 ey + z0 ez
x02+ y0
2+ z0
2
er
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Elektrisches Feld im Punkt P:
(vektorielle Addition)
Die elektrische Feldstärke XIII
Feldlinienbild von zwei positive Punktladungen
E2
y1
z1 x
1 0
z
x
y
y
xx2
z2
y2
P
E1
E
r1
r2
d d
Q1 = + Q Q
2 = + Q
E1 =Q1
4 0 r13 r1
r1 = x1ex + y1ey + z1ez = x+d( )ex + yey + zez
E2 =Q2
4 0 r23 r2
r2 =…= x d( )ex + yey + zez
E = E1 + E2
12
E1 =Q1
4 0r13 r1 =
Q14 0
x+d( )ex + yey + zez
x+d( )2+ y2 + z2
3
E2 =Q2
4 0r23 r2 =
Q2
4 0
x d( )ex + yey + zez
x d( )2+ y2 + z2
3
E = E1 +E2 =Q
4 0
x+d( )ex + yey + zez
x+d( )2+ y2 + z2
3 +x d( )ex + yey + zez
x d( )2+ y2 + z2
3
Q1 =Q2 = Q
Die elektrische Feldstärke XIVFeldlinienbild von zwei positiven Punktladungen
Elektrische Feldstärke im Punkt P(x,y,z):
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Elektrisches Feld in der Symmetrieebene:
Die elektrische Feldstärke XVFeldlinienbild von zwei positiven Punktladungen
E 0, y, z( ) =Q
4 0
2yey + 2zez
d 2 + y2 + z23
Symmetrieebene falls Q1 = Q2 > 0
E
yx
z
Hier: Komplikationmit dem Konzptder Feldlinien, dadie Feldlinien vonkeiner Ladung ausgehen!
-45-
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Die elektrische Feldstärke XVI
Feldlinienbild von zwei ungleichen Punktladungen
Q1 =Q
2Q2 = Q Q2 = QQ1 =
Q
5
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Q2 = + QQ1 =Q
5=:q
+
Die elektrische Feldstärke XVII
Feldlinienbild mit kleiner Probeladung
Q1 =Q
5=:q
+Q2 = Q
14
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Die elektrische Feldstärke XVIII
Zusammenfassung
• «Elektrisierte» (elektrisch geladene) Körper erfahren gegenseitige Kraftwirkung.
• Ursache der Kraftwirkung: Ladung.
• Ladungskonzepte: kontinuierliche Ladungsverteilungen, Punktladung.
• Das mit den Ladungen verknüpfte Kraftgesetz: Coulomb’sches Gesetz.
• Probeladung: Vom Kraftfeld zum elektrischen Feld, elektrische Feldstärke.
• Unterscheidung: Fernwirkungstheorie Feldtheorie.
• Darstellungen des elektrischen Feldes: Vektorfeld, Feldlinien.
• Berechnung des elektrischen Feldes: zwei Punktladungen.
Die Definition des elektrischen Feldes beruht auf dessen Wirkung,d.h. auf dessen Kraftwirkung auf eine Probeladung.
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Leiter im elektrischen Feld I
Feldfreiheit im idealen Leiter
Experiment: Influenz
• Metallischer Leiter (neutral) inkonstantem, homogenenelektrischen Feld E0.
• Leiter: frei bewegliche Ladungsträger (Elektronen) n = 1023 cm–3 (Anzahl negative Ladungsträger pro Volumen).
• Kräfte wirken auf die freibeweglichen Ladungsträger
an der Oberfläche.
• Oberflächenladung erfährt beim Eintritt bzw. beim Aus- der Feldlinie einen negativen
bzw. positiven Überschuss.
Fazit #1:
• Ladungsverschiebung bewirkt sekundäres Feld Esek.
• Im Gleichgewicht kompensiert Esek das Feld E0.
• Das Innere von Leitern ist demnach feldfrei.
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Leiter im elektrischen Feld II
Feldlinienbild bei einem ideal leitenden Körper
Allgemeine Aussagen
• Gleichgewicht: Ohne Kräfte(Felder) werden keineLadungen mehr verschoben.
• Gleichgewicht stellt sich fast instantan ein (< 10 fs), d.h. Aussage über Feldfreiheit im
Leiterinneren gilt allgemein.
• Sekundärfeld Esek bewirkt: (A) Innern: Feldfreiheit (B) Äussern: keine parallelen Feldkomponenten ent- lang der Leiteroberfläche.
• Anschaulich: Elektrische Feldlinien werden vom Leiter «angesaugt».
Fazit #2: Das elektrische Feld trifft stets senkrechtauf die Leiteroberfläche auf.
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Leiter im elektrischen Feld III
Zwei geladene, leitenden Körper (Elektroden)
Experiment: Plattenelektroden
• Ladungen: unten +IQI, oben -IQI
• Ladungen ziehen sich an und sammeln sich an gegenüber- liegenden Elektrodenober-
flächen an (kürzester Abstand).
• Teilausschnitt : radiales Feld der Punktladung überlagert sich zu senkrecht zur Ober- fläche stehendem, homogenem Feld E0.
• Teilausschnitt : radiales Feld kommt in der Ecke voll zur
Geltung: mehr Feldlinien pro Elektrodenfläche, d.h. Feld ist
dort überhöht, d.h. inhomogen.
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Leiter im elektrischen Feld IV
Die Feldstärke entlang von Ecken und Kanten
Fazit: Starke Feldüberhöhung an Ecken und Kanten, d.h an Orten mit rKrümmung 0.
w0 3 6 9 12 mm
2,5
2,0
1,5
1,0
0,5
0
E
E0
10
w
3
Elektroden-Innenseite
Elektroden-Außenseite
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Leiter im elektrischen Feld V
Praxis Hochspannungstechnik:
Alles abrunden
Inneres
Äusseres
• Inneres der leitenden Elektrode ist tendenziell feldfrei.
• Kanten und Ecken ins Innere verlegen.
• Krümmung: Steuerung der Feldstärke.
Trick:
E
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Leiter im elektrischen Feld VI
Feldlinienbild bei einer leitenden Kugel
=dQ
dAQ
gleichmässigverteilt
Q
A
=Q
4 r02
-
--
-
-
-
-
-
E
r0
(1) Experiment: geladene Kugel
• Negative Überschussladung -IQI auf Kugel mit Radius r0 aufbringen.
• Ladungen stossen sich ab und lagern sich auf Kugeloberfläche
an.
• Symmetrie bewirkt radiales Feld.
• Symmetrie: bewirkt gleichmässige Ladungsverteilung:
Flächen-ladungsdichte
• Aus der Ferne besehen erscheint die geladene Kugel wie eine Punkt-ladung mit der Gesamtladung -IQI.
• Das elektrische Feld der geladenenKugel lässt sich daher «ausser-halb» mit demjeinigen der Punkt-ladung gleichsetzen.
• Demnach ergibt sich für r > r0 für die elektrische Feldstärke:
(ausserhalb der Kugel)
Leiter im elektrischen Feld VIIFeldlinienbild bei einer leitenden Kugel(2) Ein sehr ferner Beobachtungspunkt:
E =Q
4 0r3 r E
-
-55-
18
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D
++++ + +
n
E
n
n
n
- - - - - -
a)
++ + + +
- - - - - -
b)
Esek
E
++++ + +
c)
E
- - - - - -
++++ + +
- - - - -
Qinf
d)
+
n
n´ n´
n
n´
n
-
Die elektrische Flussdichte I
Einführende Betrachtungen Der Influenzversuch
(a) Zwei sich berührende Leiter(Elektroden) werden in einhomogenes E-Feld gebracht.
(b) Leiter werden im Feld ge-trennt: Positiv und negativgeladene Elektrode; Sekun-därfeld Esek wird aufgebaut.
(c) Sekundärfeld ist gerade sostark, dass es das E-Feldzwischen den Elektrodenkompensiert.
(d) Elektroden werden aus demE-Feld genommen. Es ver-bleibt das mit der influen-zierten Ladung Qinf verbun-dene ehemalige Feld Esek,
nun D-Feld genannt.
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(A) Influenzierte Ladung:
Die elektrische Flussdichte II
Beobachtungen und Schlüsse
Qinf E A cos E,n( ) inf =Qinf
AE cos E,n( )
Influenzierte Elektrodenladung(maximal: E-Feld normal zur Elektrode)
Influenzierte Flächenladungsdichte(maximal: E-Feld normal zur Elektrode)
(B) Definition der elektrischen Flussdichte:
Hängt praktisch nur vom E-Feld ab
D = limA 0
max Qinf( )A
(1) Die elektrische Flussdichte D ist ein Vektorfeld.
(2) Sein Betrag ist die maximale, von einemE-Feld influenzierte Flächenladungsdichte.
(3) Seine Richtung ist senkrecht zu den Platten-elektroden und verläuft von der positiven zurnegativen Elektrode.
Lokale Definition im «Punkt» A.
[D] = As/m2 = C/m2
Als dem E-Feld zugehörigeFeldgrösse zu konzipieren.
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• Zum Wesen des elektrischen Feldes:(a) Die elektrische Feldstärke E wurde hinsichtlich der (Kraft-) Wirkung des
elektrischen Feldes definiert (Folien 31, 33, 48).
(b) Die elektrische Flussdichte D ist ein Mass für die Ursachen deselektrischen Feldes (Ladungen).
(c) Die elektrische Feldstärke E ist die Intensitätsgrösse des elektrischen Feldes; die elektrische Flussdichte D ist die Quantitätsgrösse des elektrischen Feldes.
Oder: Das «wie stark?» hat mit der Wirkung zu tun, das «wie viel?» mit denQuellen.
• Zu den Bezeichnungen:Die «elektrische Flussdichte» (Bezeichnung nach DIN 1324) wird oft auch als «elektrische Verschiebungsdichte», «dielektrische Verschiebung», «elektrischeErregung» oder «elektrisches Verschiebungsfeld» bezeichnet. Wir halten es mit DIN!
• Frage: Wie kommen wir formal von der elektrischen Flussdichte zur Ursache (Ladungen)?
Die elektrische Flussdichte III
Diskussion
Die elektrische Flussdichte IVVon der elektrischen Flussdichte zur Gesamtladung
Qinf =
=1
N
Qinf,
= D=1
N
n A
Flächenelement A :
+ + + + +
+
+
+
+
+
+
A
D
n
- -------
- - -
A
D
D n =Qinf ,
A=
= D cos D ,n( )( )
Qinf = D n dAdFAElektrode Grenzfall für kleinste Teilflächen
Flächen-Integral:
-59-
20
Folie 57: Die elektrische Flussdichte ist (im Vakuum) direkt proportional zur elektrischenFeldstärke:
Die elektrische Flussdichte IV
Elektrische Flussdichte und elektrische Feldstärke
D = k E
Beispiel: Kugelförmige (positive) Ladung im Vakuum
E =+ Q
4 0 r2
«Punktartige» Ladung(Folien 35, 54-55)
D = k+ Q
4 0 r02 = inf =
+ Q
4 r02
D = 0 EMaterialgleichung:
Kleine geladene Kugel mit r = r0
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Fragestellung: Wie gross ist der elektrische Fluss e durch die kugelförmige Hülle?
Die elektrische Flussdichte V
Elektrischer Flussdichte und elektrischer Fluss
e, = D n A =
D n
D A
=+ Q
4 r2A
e = e, =
= 1
N+ Q
4 r2A
= 1
N
=+ Q
4 r24 r2 = + Q =Q
parallel
-61-
21
Fragestellung: Wie gross ist der elektrische Fluss e bei negativer Ladung?
Die elektrische Flussdichte VI
Elektrischer Flussdichte und elektrischer Fluss
e, = D n A =
D n
D A
=Q
4 r2A
e = e, =
= 1
N Q
4 r2A
= 1
N
=Q
4 r24 r2 = Q =Q
antiparallel
-62-
Q
Hülle
E,D
ndAVorhin: Der elektrische Fluss e durcheine Kugelhülle ist gerade gleich der einge-schlossenen Ladung Q.
Die elektrische Flussdichte VII
Verallgemeinerung
e = D n A =
= 1
N
Q
Verallgemeinerung #1: Der elektrischeFluss e durch eine beliebige geschlosseneHülle (ohne Rand) ist gerade gleich dereingeschlossenen Ladung Q.
Verallgemeinerung #2: Grenzfall fürbeliebig kleine Teilflächen A ergibtwichtige Integraldarstellung.
e = D n dAdF
=
A
Q
-63-
22
-64-
Ring: Der Ring am Integral deutet an, dass Astets eine geschlossene Fläche ist, d.h. stetsüber eine geschlossene Hülle integriert wird.
Die elektrische Flussdichte VIII
Diskussion
e = D n dAdFA
=Q
Aussage: Der elektrische Fluss e der elektri-schen Flussdichte D, die von einer Ladung Qerzeugt wird, ist bezüglich einer geschlosse-nen Hülle immer gleich der umschlossenenLadung (Quelle).
Allgemein: Diese Aussage gilt sehr allgemein,d.h. für alle elektrischen Felder und somitauch zeitabhängige Felder!
Die obenstehende Aussage ist das ersteGrundgesetz der elektrischen Felder !
Erstes Grundgesetz der elektrischen Felder.
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Die elektrische Flussdichte IX
Nachtrag zum Hüllenintegral
Frage: Wie war das beiden Plattenelektroden?Dort hatten wir lediglichüber die PlattenflächeAplatte integriert. Oder:Steht Folie 59 im Wider-spruch zu Folie 63, 64?Nein.
Folie 63, 64:
Folie 59:
…
Ages
…
APlatte?
Die von D, bzw. E durchsetzte Teilfläche von Ages ist Aplatte.
23
-66-
Die elektrische Flussdichte X
Zwischenbilanz
(1) «Die Ursache des elektrischen Feldes sind die Ladungen; sie sindder Ursprung und das Ende aller elektrischer Feldlinien. Ausdiesem Grund werden die Ladungen als die Quellen des elektrischen Feldes bezeichnet (positive Ladung = Quelle Anfangder Feldlinien, negative Ladung = Senke, Ende der Feldlinien).»
Oder: Wo Feldlinien zusammenfallen ist entweder eine Quelleoder Senke. Ansonsten schneiden sie sich niemals.
(2) Zwischenfrage: Wo ist die Senke einer positiven Punktladung?
(3) «Die elektrische Flussdichte D ist ein Mass für die das Felderregenden Ladungen, sie beschreibt gleichzeitig die durch den
Influenzvorgang in leitenden Materialien getrennte Ladung proFlächeninhalt.»
Zitat BuchSeite 56/57:
(1) Probeladung q im Punkt P’:
Das elektrische Potenzial I
Probeladung im elektrischen Feld
F = q E
(2) Wäre Probeladung q frei beweglich: Ladung q würde in Richtung von E
beschleunigt (kine-tische Energie).
(3) Daraus schliessen wir: Punkt P’ kann eine potenzielle Energie Wpot zugeordnet werden!
z.B. Q > 0 q > 0
-67-
24
-68-
Wie in der Physik: Bezugspunktder potenziellen Energie einführen.
Das elektrische Potenzial IIPotentielle Energie und Arbeit
P = P0 : Wpot := 0
(willkürliche Wahl)
Transport: Probeladung wirdlängs der Kurve C von P0 nach Ptransportiert. Frage:«Welche Energie hat q am Endedes Weges in P angenommen?»
Arbeit: Frage anders stellen:«Welche Arbeit wurde vomelektrischen Feld während desTransportvorgangs geleistet?»
Wf =F s = q E s
Wf =F1 s1 +F2 s2 +…+FN sN längsC
Wf = F slängsC
=1
N
MechanischeArbeit:
Mechanische Arbeit entlang von N Wegabschnitten:
Das elektrische Potenzial III
Arbeit an einer Probeladung im elektrischen Feld
Wf = lims 0
N
F s cos( )längsC
=1
N
=
= F dslängsC
P0
P
:= F dsC
Wf = F dsC
Im Grenzfall infinitesimal kleiner Abschnitte:
Wf = F slängsC
=1
N
= F s cos F , s( )( )längsC
=1
N
= F s cos( )längsC
=1
N
Linienintegral
-69-
25
Einsetzen der Coulomb-Kraft:
Das elektrische Potenzial IV
Von der Arbeit zum elektrischen Potenzial
Wf = q E s cos( )längsC
=1
N
Wf = q E dslängsC
p0
P
= q E dsC
Linienintegral
N Weg-abschnitte
Elektrisches Potenzial:
Die Arbeit Wf wird vomelektrischen Feld beimTransport von P0 nachP erbracht. PotenzielleEnergie Wpot ist in P umWf kleiner als in P0.
Wpot P( ) = Wf = q E dslängsC
P0
P
P( ) :=Wpot P( )
q= E ds
längsCP0
P
ElektrischesPotenzial[ ] = J/As = AVs/As = V
-70-
-71-
Das elektrische Potenzial V
Zur Definition des elektrischen Potenzials
P( ) :=Wpot P( )
q= E ds
längsC= E ds
P0
P
P0
P
(1) «Das elektrische Pontenzial (P) im Punkt P in einem elektrischenFeld ist gleich der potenziellen Energie einer Probeladung q indiesem Punkt dividiert durch die Grösse der Probeladung. Daselektrische Potenzial ist in einem vorgegebenen elektrischenFeld mit festgelegtem Bezugspunkt P0 nur eine Funktion der Orts-koordinate des Punktes P».
(2) «Da in einem Punkt des Raumes in Anwendung des Energie-erhaltungssaztzes nur ein Wert der potenziellen Energie definiertwerden kann, ist der Wert des elektrischen Potenzials auch völligunabhängig vom gewählten Weg C».
Zitat BuchSeite 60:
26
-72-
Das elektrische Potenzial VI
Beispiel: «Analogie Feld Druckfeder»
P1 P2
P1 P2
Q > 0 q > 0 E
FArbeit gegen
Coulombkraft;
Energiespeicherung.
Feld leistet Arbeit;
potenzielle Energie
wird abgegeben.
F
Arbeit gegen
die Federkraft;
Feder speichert
potenzielle Energie.
Feder entspannt sich
und leistet Arbeit;
potenzielle Energie
wird abgegeben.
Druckfeder
-73-
(1) E-Feld der erzeugenden Ladung Q
Das elektrische Potenzial VII
Beispiel: «Negative Punktladung»
E =Q
4 0 r3 r
(2) Potenzial ist auf Kugelfächen mitr = const. konstant.
(3) Bezugspunkt P0, d.h. Potenzial ist auch auf der Kugelfläche mit r = r0
gleich null.
(4) Potenzial im Punkt P:
P( )= E ds =P0
P
+Q
4 0 r3 r dr
r0
r
27
-74-
(5) Ausrechnen:
Das elektrische Potenzial VIIIBeispiel: «Negative Punktladung»
P( ) =Q
4 0 r2 dr =
r0
r
=Q
4 0 r r0
r
=
=Q
4 0 r
Q
4 0 r0=
=Q
4 0 r+ K
ds = dr r dr = r dr
(6) Kluge Wahl des Bezugspunkts:
K 0 r0
-75-
Das elektrische Potenzial IX
Beispiel: «Negative Punktladung»
r( ) =Q
4 0 r=
Q
4 0 r
Potenzial undPotenzialfeld:
(A) Mit der Festlegung des Bezugspunkts ist dasPotenzial (P) an jedem Ort im Raum eindeutigbestimmbar geworden.
(B) Dadurch kann das Potenzial (P) als Skalarfeld aufgefasst werden.
(C) Dieses Skalarfeld heisst Potenzialfeld (r):
28
-76-
Das elektrische Potenzial X
Die Äquipotenzialflächen
r = ri( ) = i = const.
Definition und Schlüsse:
Die Kugelschale mit konstantem Radius ri ergibt eine Äquipoten-zialfläche.
Äquipotenzialflächen verlaufen stets senkrecht zu den elektrischen Feldlinien.
Auf Äquipotenzialflächen wird beim Transport von Ladungen keine Arbeit verrichtet, z.B.:
E ds = 0 P1( ) =P1
P4
P4( )
-77-
.
E
Das elektrische Potenzial XIDie Äquipotenzialflächen
Weitere Schlüsse:
(A) Auf einer Äquipotenzialfläche herrscht stets das gleiche Potenzial vor (trivial, sieheDefinition!), daher haben Äquipotenzialflächen die gleichen Eigenschaften wie leitendeElektroden.
(B) Umgekehrt geschlossen:E-Feldlinien stehensenkrecht auf dieElektrodenoberflächen.
(C) Äquipotenzialflächenkönnen durch Elektroden(auf dem ent-sprechendenPotenzial)ersetzt werden,ohne dass sich dieFeldverteilung ändert.
29
Die Potenzialdifferenz
P1( ) P2( ) = E dsP0
P1
E dsP0
P2
=
=Q
4 0 r1+
Q
4 0 r0+
Q
4 0 r2
Q
4 0 r0
=Q
4 0 r1+
Q
4 0 r2> 0 r2 < r1
Transport «quer» zu den Äquipotenzialflächen
Transport der Probeladung z.B. in Richtung derelektrischen Feldstärke, so z.B.: P1 P2. GemässFolie 71 erhalten wir für die Potenzialdifferenz :
Potenzialdifferenzist unabhängig vonder Wahl von P0 !
Das elektrische Potenzial XII-78-
Das elektrische Potenzial XIII
Die elektrische Spannung
P1( ) P2( ) = E dsP0
P1
+ E dsP0
P2
=
= + E dsP1
P0
+ E dsP0
P2
P1( ) P2( ) = E dsP1
P2
:= u12
Transport «quer» zu den Äquipotenzialflächen
Transport der positiven Probeladung in Richtung derelektrischen Feldstärke, d.h. von P1 nach P2 kannetwas formaler angegeben werden:
Die elektrische Spannung u12
zwischen P1 und P2 ist gleich der Differenz der Potenziale zwischen P1 und P2.
-79-
30
-80-
Das elektrische Potenzial XIV
Die elektrische Spannung
P1( ) P2( ) = 1 2 = E dsP1
P2
:= u12
«Die elektrische Spannung u12 zwischen zweiPunkten P1 und P2 ist gleich der Differenz derelektrischen Potenziale im Punkt P1 und P2; sie istdamit gleich der auf die Probeladung q bezogeneArbeit, die beim Transport der Probeladung q vomPunkt P1 nach P2 vom elektrischen Feld geleistet wird.Die elektrische Spannung u12 ist unabhängig vomgewählten Weg zwischen den Punkten P1 und P2».
Definition in Worten (Buch Seite 65):
-81-
+ + + + + ++
-- - - - --
E
u12 u21
P1 P
1
P2 P
2
Q
+ Q
dElektroden-,Äquipotenzial-flächen
Die elektrische Spannung u12 ist eineskalare Grösse. Sie ist positiv, wenn dasIntegral in Richtung der elektrischenFeldstärke (P1 P2) berechnet wird undnegativ, falls die Integration von P’2 P’1erfolgt. Spannungspfeil ist kein Vektor; erzeigt die positive Zählrichtung an.
Das elektrische Potenzial XVDer Zählpfeil der elektrischen Spannung
31
Das elektrische Potenzial XVI
Zur elektrischen Umlaufspannung
C1
P2
P1
C2
E u
12
u12 = E dslängsC1
=
P1
P2
E dslängsC2
P1
P2
E dslängsC1
P1
P2
E dslängsC2
P1
P2
= E dslängsC1
+
P1
P2
E dslängsC2
=
P2
P1
0
Umlaufspannung entlang vonC = C1(P1 P2) + C2(P2 P1)ist Null.
-82-
Das elektrische Potenzial XVII
Zur elektrischen Umlaufspannung
E dslängsC1
+
P1
P2
E dslängsC2
:= E dsC
=
P2
P1
0
Ring: Der Ring am Integral deutet an, dass C stets ein geschlossener Weg ist, d.h. stets über eine geschlossene Kurve integriert wird.
E dsC
= 0
Konservatives Feld: Der Wert Null der Umlaufspannung besagt, dass beim Transport einer Probeladung in einem zeitlich ruhenden Feld entlang von C die geleistete Arbeitstets Null ist, d.h. auch Energieerhaltung vorliegt: solcheFelder heissen konservativ.
Zweites Grundgesetz für elektrische Felder: Es gilt indieser Form nur für zeitlich unveränderliche Felder.(Erstes Grundgesetz siehe Folie 64).
-83-
32
Klassische Beschreibungdes Wasserstoffatoms
Das Bohr’sche Atommodell IFeldgleichungen als klassisches Modell
QK = z e
Qe = n e F
el
F
z
v
-
-e
+e
r
Kernladung
Elektronen-ladung
Fel =QK Qe
4 0r2 =
z e2
4 0r2
z = n Neutralität
Fz =m v
2
r
Zentrifugalkraft:Zentripetalkraft:
m v2
r=
z e2
4 0r2
Kräftegleichgewichtfür ein Elektron:
ein Elektron:n = 1
-84-
Quantisierung des Drehimpulses
Das Bohr’sche Atommodell II
Feldgleichungen als klassisches Modell
m v r = = 1,2,…
= 1.054 10 34 JsDirac-Konstante(Wirkungsquantum)
v =m r
=: vZusatzbedingung für die Elektronen-geschwindigkeit
r
r 1
r+1
v
v
+1 v 1
Aus dem Kräftegleichgewicht folgt (erfordert etwas rechnen):
r =4 0
2
mze22
v =ze2
4 0
1 : Bahnkennzahl
-85-
33
Potentielle Energie
Das Bohr’sche Atommodell IIIFeldgleichungen als klassisches Modell
r( ) = =QK
4 0 r=
ze
4 0 r
Wpot = q r( ) = eze
4 0 r=
Wpot =m z2e4
16 02 2
12
Kinetische Energie
Wkin =1
2m v
2=
m z2e4
32 02 2
12
-86-
Der Energiezustand
Das Bohr’sche Atommodell IVFeldgleichungen als klassisches Modell
Wkin =Wpot
2
=1
2
3
4
5
Lyman-Serie
Balmer-
Serie
Paschen-
Serie
vergleichender Formeln
Wtot =Wpot +Wkin =
=m z2e4
32 02 2
12 =
= 13.6z2
2 eV
Gesamtenergie = Energie desEnergiezustands. Gleiches Ergeb-nis wie aus der Quantenmechanik.
Ausstrahlungsenergie von Photonen
Wphoton
1 2 =Wtot1 Wtot
2
-87-
34
Ein einfaches Beispiel I
Elektrodenanordnung
Problemstellung:
• Zwei geladene, parallele Platten (z.B. Influenzver-
such).
• Gesucht sind:
(A) Elektrisches Feld
(B) Elektrische Flussdichte
(C) Elektrische Spannung
(D) Probeladung: die vom Feld geleistete Arbeit entlang von C.
-88-
Ein einfaches Beispiel IIElektrische Flussdichte
D n dAdF
D n A=1
N
= D n=1
cos D ,n( )( ) A =Q=1
N
A
Flussdichte steht senkrecht zur Elektrodenfläche A und ist konstant (homogenes Feld,siehe auch Folie 51 und vor allem das Bild in Folie 52):
Erstes Grundgesetz der elektrischen Felder (Folie 64)
D dA D A = D A = D A = Q=1
N
=1
N
A
D =Q
A
(1) Die elektrische Flussdichte istnur von der Grösse der Ladungauf den Elektroden abhängig.
(2) Sie ist nicht vom Material zwi-schen den Elektroden abhängig.
-89-
35
-90-
Die elektrische Spannung
Ein einfaches Beispiel IIIDie elektrische Feldstärke
D = 0 E E =D
0
=Q
0 A=
0
Mit Folie 60:+ + + ++ ++ ++ + + ++
+IQ I
E
+ + + ++ ++ ++ + + +++IQ I
E
– – – –– –– –– – – ––
–IQ I
u12 = E ds1( )
2( )
= E=1
N
s cos E , s( )( )
=E s
E=1
N
s =E =const .
E s=1
N
= E d
u12 = E d =Q d
0 A
Ein einfaches Beispiel IVArbeitsintegral
F = q E =q Q
0A
Arbeitsintegral:
Wirkt in Richtung des E-Feldes,daher gibt es in C nur Beiträgezum Arbeitsintegral bei P1 P2
und P3 P4. Bei den anderenAbschnitten (P2 P3 bzw.P4 P1 ist cos( (E,ds)) = 0.
Wf = q E dsP1
P2
+ q E dsP3
P4
= 0
Wf = q E dsC
= 0Bestätigt daszweite Grund-gesetz fürelektrische Felder(Folie 83).
-91-
36
Elektronenpolarisation
+
-
- +
-
-
-
-
-
-
-
- +
+ +
+ +
+ +
++
-
+-
+-
+-
+-
+-
+-
+-
+-
+-
- +
+
+
++
+
+
+
-
--
-
-
-
-
+- +- +-
+- +-+-
+- +- +-
ohne
Feld
mit
Feld
E
A
V
a) b) c)
E E
Ionenpolarisation Orientierungspolarisation
Na+Cl–Teflon H2O
Elektrisches Feld und Dielektrikum IPolarisation
-92-
p
++
++
++
++
++
+
- -
- -
- -
- -
- -
-
++
++
++
++
++
+
- -
- -
- -
- -
- -
-
Dipol
-93-
Elektrisches Feld und Dielektrikum IIDipolmoment (z.B. bei der Orientierungspolarisation)
T = 1
2 F112 F2 = Q E( ) = Q E := p E
Drehmoment
F
1
F
2 E
+ Q
Q
T
+
-Drehachse
ElektrischesDipolmoment
p = Q F1 = F2 = Q E
37
Elektrisches Feld und Dielektrikum IIIErstes Fazit
Dielektrika im elektrischen Feld:
(1) Es bilden sich elektrische Dipole aus.
(2) Im Innern von homogenen Dielektrika kompensieren sich die verschobenen Ladungen.
(3) An der Oberfläche des dielektrischen Körpers, d.h. an den Eintritts- und Austritts-stellen des elektrischen Feldes treten flächenhaft verteilte Ladungen auf.
(4) Frage: Wie können wir diese Polarisation des Dielektrikums als Ganzes formalisieren?
Betrachtungen an einer Parallelplattenanordnung: 2 Fallstudien.
-94-
-95-
(A) Spannung u anlegen
Elektrisches Feld und Dielektrikum IVPolarisation
E0 =u
d
Fall #1: u = const. Fall #2: IQ I = const.
(B) Dielektrikum zwischen Platten schieben
D0 = 0
u
d=Q
AFolie 92: Im Dielektrikum tritt (oben und unten) eine Flächenladungsdichte auf.
+ + ++ + ++ + + + ++ + ++ + + + ++ + ++ +
- - -- - -- - - - -- - -- - - - -- - -- -
-
+
-
d0D 0
E
A Q+
u DP u
Q
Q+
0D P
+
Q
38
Elektrisches Feld und Dielektrikum VFall #1: u = const.
(1) Damit Spannung u konstant bleibt, muss die Quelle an den Elektroden zusätzlich die
jeweils entgegengesetzte LadungsmengeIQ’I nachliefern. Dadurch wird die imDielektrikum auftretende Flächenladungan den Elektroden kompensiert.
(2) Beschreibung der durch das polarisierte Dielektrikum zusätzlich aufgebrachten
Ladung: die elektrische Polarisation P.
(3) Die elektrische Polarisation P hat die gleiche Einheit wie die elektrischen Flussdichte D.
(4) Proportionalität: (cf. Folie 92)
P =Q
AP =
Asm2
=Cm2
P = 0 e Ee > 0: Elektrische Suszeptibilität
+ + ++ + ++ +
- - -- - -- -
-
+
DP u = const.
Q
Q+
-96-
-97-
Zur elektrischen Polarisation P
Elektrisches Feld und Dielektrikum VIFall #1: u = const.
P = 0 e E
D = 0 EP :
(1) Polarisationsvektor liegt im Dielektrikum und zeigt von der Flächenladung –IQ’I zur Flächenladung +IQ’I.
(2) Polarisationsvektor ist parallel zum E-Feld gerichtet,
(3) Polarisationsvektor ist parallel zum D-Feld gerichtet,
(4) Richtungssinn der Polarisation wie bei beiden Feldern E, D.
(5) Folien 92, 95: Richtung entspricht auch derjenigen von .
(6) Genauer: Polarisation P ist gleich dem elektrischen Dipol- Moment pro Volumeneinheit (Dipoldichte):
P =p
V=Q
A=Q
Ae
Polarisation bei gleich-mässiger Dipolvertei-lung. Einheit wie beimD-Feld: [P] = As/m2.
+
-+
-+
-+
-
+
-+
-+
-+
-
+
-+
-+
-+
-
P p,
Zusätzliche Ladung pro Flächeneinheit im Dielektrikum!
39
Die elektrische Flussdichte im Dielektrikum
Elektrisches Feld und Dielektrikum VIIFall #1: u = const.
+ + ++ + ++ +
- - -- - -- -
-
+
DP u = const.
Q
Q+
D = 0E+P = 0E+ 0 e EP
D = 0 1+ e( )r
E = 0 r E = E
Zusätzliche Flächenla-dungsdichte
P =Q
Ae
Vakuum-Fall
0 :
r :
:
Elektrische Feldkonstante (Folie 29)
Permittivitätszahl
Permittivität
Folie 95:Vakuum
D = 0 r E0 = r D0 > D0
u = const. E = E0
-98-
-99-
Elektrisches Feld und Dielektrikum VIIITabelle ausgewählter Permittivitätszahlen r
UnserKörper!
r 0
r =1+ e
40
(1) Damit Ladung IQ I konstant bleibt, muss die die Anordnung vor dem Einschieben des Dielektrikums
von der Quelle getrennt werden.
(2) Dadurch gelangen keine zusätzlichen Ladungenauf die Elektroden und es gilt:
(3) Für die elektrische Feldstärke im Material ergibt sich
Elektrisches Feld und Dielektrikum IXFall #2: IQ I = const.
D =Q
A= D0 = const.
+ + ++ + ++ +
- - -- - -- -
-
0D P
+
– IQ I
+ IQ I
E =D
=D0
=1
r
Q
0A=1
r
E0 < E0
E=D0 P
0
(B) Formal (Folie 98): Elektrisches Feld wird im Materialwegen Polarisation geschwächt.
(A) Phänomenologisch: E-Feld wird durch «umgekehrte» Flächenladung geschwächt.
-100-
Merke: Die Beziehung aus Folie 100 für konstant gehalteneLadungsmenge erlaubt auch eine Verallgemeine-rung der Beziehungen für das E-Feld und dasPotenzialfeld, für den Fall, dass der Feldraum miteinem Material der Permittivität gefüllt ist.
Elektrisches Feld und Dielektrikum X
Fall #2: IQ I = const.
E =1
r
E0
r( ) =Q
4 r
E r( ) =Q
4 r3 r
(Folie 35) (Folie 75)
Ladung Q und Probeladung q sindkonstant gehaltene Ladungen!
(Folie 100)
0 0 r =
-101-
41
Spezialfall #1: «Vertikale Inhomogenität»
Grenzbedingungen der Felder IBedingungen für die tangentialen Feldkomponenten
E dsC
= 0
E1 E2 = 0
E1 = E2ParallelPlattenSymmetrie
E1 = E2
(siehe Folie 83)
1E 2E
t
12n
C
+ + + + ++ + + + + +
- - - - - - - - - - -
0r10r2
E1,2 ds = 0
Die Komponenten der elektrischen Feldstärkeparallel zur Grenzschicht sind stetig.
n12 E2 E1( ) = 0
t E2 E1( ) = 0
Zwei äquivalente Schreibweisen:
-102-
n
12
n
1
n
2
n
4
n
3
n
5
n
6
r1 0
r2 0
D
1
D
2
A
Spezialfall #2: «Horizontale Inhomogenität»
Grenzbedingungen der Felder IIBeziehungen der normalen Feldkomponenten
«Integrationsbox» A1D
2D
12n
+ + + + ++ + + + + +
- - - - - - - - - - -
0r11n
2n
A
0r2
D n dAdFA
= 0 (siehe Folie 64)
D1 n1 A + D2 n2 A = 0
D1 n12 A + D2 n12 A = 0 D1,2 n3 6 dA = 0
-103-
42
Spezialfall #2: «Horizontale Inhomogenität»
Grenzbedingungen der Felder IIIBeziehungen der normalen Feldkomponenten
1D
2D
12n
+ + + + ++ + + + + +
- - - - - - - - - - -
0r11n
2n
A
0r2
Folie 103:
D1 n1 A + D2 n2 A = 0
D1 n12 A + D2 n12 A = 0
n12 D2 D1( ) A = 0
D1 = D2
Die Komponenten der elektrischen Flussdichtenormal zur dielektrischen Grenzschicht sind stetig.
In der ladungsfreien Grenzschichtist das D-Feld senkrecht zur Grenzschicht stetig. Allgemein:
n12 D2 D1( ) = 0
-104-
Zur Natur des elektrischen Potentials
Grenzbedingungen der Felder IVBeziehungen für das elektrische Potenzials
Das elektrische Potenzial ist gemäss Definition aus Folie71 eine Integralfunktion und somit differenzierbar und stetig.Aus diesem Grund muss das elektrische Potenzialfeld auchan der Grenzschicht stetig sein.
Oder:
Das Potenzialfeld beschreibt die potentielle Energie einerProbeladung im elektrischen Feld. In der Grenzschichtkann stets nur ein Energiezustand existieren, daher mussdas Potenzialfeld auch in der Grenzschicht eindeutig, d.h.stetig sein.
Es gilt demnach:
P( ) = E dsP0
P
P0
P
1 2
1 = 2
-105-
43
1
1 2
2
E1,D1
E2 ,D2
n12
t
Kombination der Grenzbedingungenfür die tangentialen und normalen Komponenten
Grenzbedingungen der Felder VBrechungsgesetz des elektrischen Feldes
D1 n12 = D2 n12
E1 t = E2 t
1 E1 cos 1( ) = 2 E2 cos 2( )
E1 sin 1( ) = E2 sin 2( )
Ergibt:
tan 2( ) = r2
r1
tan 1( )tan 1( )tan 2( )
= r1
r2
1 = r1 0
2 = r2 0
mit:
-106-
(1) Felder und Spannungen:
Energieinhalt des elektrischen Feldes IElektrodenanordnung
D =Q
A
E =Q
A
u = E d = Qd
A
(Folie 89)
(2) Arbeit um Feld aufzubauen:
(Folie 90)
dW = dQ E ds =2( )
1( )
= dQ E d cos E,ds( )( )
dW =+ E d dQ =
dW = u dQ =d
AQ dQ
von Aussen ins Feld «gespeicherte» Arbeit
D,E
+ + + + ++ + + + + +
- - - - - - - - - - -
r 0
+ Q
Q
A
d u + dQ
Q
E=
= –1
(vergl. DefinitionFolie 68 und 70)
potentielle (Feld-)Energie
Arbeitsver-mögen desFeldes
-107-
44
Energieinhalt des elektrischen Feldes IIBerechnung der Feldenergie
(1) Wir vereinbaren: Als Ladung Q wird die Ladung der Elektrode QE eingesetzt, an welcher der Spannungspfeil beginnt:
Wel =d
2 AQ2
=1
2u Q =
1
2
A
du2
(2) Energie im homogenen elektrischen Feld:
dW =d
AQ dQ
W = dW =d
A0
W
Q dQ0
QE
=d QE
2
2 A
QE: Elektrodenladung
+ + + + + + + +
Q = QE
u
Wel =1
2u Q
Vereinbarung
Wel =1
2u Q =
1
2E D A d
V
wel =Wel
V=1
2E D
Energiedichte
Mit: [Wel] = VAs = J
-108-
Kraftwirkung im elektrischen Feld IZwei Gedankenexperimente
D,E
+ + + + ++ + + + + +
- - - - - - - - - - -
+ Q
Q
A
F1
F2
dx ds
x
x
u
Fall #1: Iu I = const.
dx
D,E
+ + + + ++ + + + + +
- - - - - - - - - - -
+ Q
Q
A
u
F1
F2
ds
x
x
Fall #2: IQ I = const.
(1) Experimentalanordnungen:
(2) Prinzip der virtuellen Verschiebung:
Beruht auf den Energieerhaltungssatz:
(A) In einem abgeschlossenen System ist die Summe allerEnergien konstant Fall #2.
(B) In zwei gekoppelten Systemen bleibt die Gesamtenergie beider Systeme konstant Fall #1.
-109-
45
Kraftwirkung im elektrischen Feld IIFall #2: IQ I = const.:(1) Prinzip der virtuellen Verschiebung: Obere Elektrode wird um dx entgegen der
«Coulombkraft» verschoben:
dx
D,E
+ + + + ++ + + + + +
- - - - - - - - - - -
+ Q
Q
A
u
F1
F2
ds
x
x
Fall #2: IQ I = const.
dWv = F ds = F dx ex
Energiesatz im «elektromechanischen»System: Im abgeschlossenen System bleibtdie Energie erhalten.
F dx ex +dWel =0 F ex =dWel
dx
Wel =1
2E D V =
1
2D
2A x
Wel =1
2D
2A2
Q2
x
A=1
2Q2 x
A
Feldvolumen
F ex =1
2E D A =
Q2
2 A
F = F1
exist entgegengerichtet zu .
-110-
Kraftwirkung im elektrischen Feld IIIFall #2: IQ I = const.:
Analoger Rechengang,oder: «actio = reactio»!
dx
D,E
+ + + + ++ + + + + +
- - - - - - - - - - -
+ Q
Q
A
u
F1
F2
ds
x
x
Fall #2: IQ I = const.
F1 =1
2E D A ex
F1 =Q2
2 Aex
= const.
(2) Kräfteverhältnisse:
F2 = F1
Elektroden ziehen sich gegenseitig mitkonstanter Kraft (unabhängig von x) an.
-111-
46
-112-
Kraftwirkung im elektrischen Feld IVFall #1: u = const.:(1) Prinzip der virtuellen Verschiebung:
D,E
+ + + + ++ + + + + +
- - - - - - - - - - -
+ Q
Q
A
F1
F2
dx ds
x
x
u
Fall #1: Iu I = const.
Obere Elektrode wird auch hier um dxgegen die «Coulombkraft» verschoben:
dWv = F ds = F dx ex
Die Gesamtenergie im gekoppelten Sys-tem bestehend aus Plattenanordnungund Spannungsquelle bleibt erhalten.Um die Spannung u während der Ver-schiebung konstant zu halten, muss dieQuelle jeweils dWQuelle nachliefern.
F dx ex +dWel = dWQuelle
dWel =1
2d E D V{ } =
1
2d E
2A x{ } = 12 d E
2x2
A
x
u2 : konstant !
F dx ex +dWel = dWQuelle
F dx ex +1
2u2 d
A
x= u2 d
A
xF ex =
1
2u2
d
dx
A
x
Kraftwirkung im elektrischen Feld VFall #1: u = const.:(1) Prinzip der virtuellen Verschiebung:
D,E
+ + + + ++ + + + + +
- - - - - - - - - - -
+ Q
Q
A
F1
F2
dx ds
x
x
u
Fall #1: Iu I = const.
(2) Quellenenergie:
dWel =1
2u2 d
A
x
u= Qx
AdQ=u d
A
x
dWQuelle = u dQ = u2 dA
xQuelle muss Ladung dQ nachliefern !
(vergl. Folie 107)
-113-
47
Kraftwirkung im elektrischen Feld VIFall #1: u = const.:(3) Kräfteverhältnisse:
D,E
+ + + + ++ + + + + +
- - - - - - - - - - -
+ Q
Q
A
F1
F2
dx ds
x
x
u
Fall #1: Iu I = const.
F ex =1
2u2
d
dx
A
x
F ex =1
2u2
A
x2
F = F1
exist entgegengerichtet zu !
F1 =1
2E D A
F1 =1
2u2
A
x2ex
1
x2
Analoger Rechengang,oder: «actio = reactio»!
F2 = F1
Elektroden ziehen sich gegenseitig mitnicht konstanter Kraft an, welche umge-kehrt proportional zu x2 ist. Die starkeKraftzunahme bei kleinen Abständen istdie Folge der zugelieferten Quellenenergie.
-114-
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Kraftwirkung im elektrischen Feld VIIBeispiel: «Gleichgewichtsproblem»
• Elektrode mechanischfest mit der Wand ver-bunden.
• Elektrode ist über eine Feder mit der Federkon-
stante mit der Wand verbunden.
• Im ungeladenen Zustandist die Feder entspannt.
• Es sollen nun die beidenFälle (#2: IQ I = const. und #1: u = const.) unter-sucht werden.
yF = A
elF
y
d y Anordnung:
48
Kraftwirkung im elektrischen Feld VIIIBeispiel: «Gleichgewichtsproblem»
Fall #2: IQ I = const.:
Stabiles Gleichgewicht
ydy00
Fel = const.
F , Fel
F = 1 y
F = 2 y
Platten berührenund entladen sich.
: Rückstellkraft der Feder
: Coulombkraft
«starke» Feder
«schwache» Feder
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Kraftwirkung im elektrischen Feld IXBeispiel: «Gleichgewichtsproblem»
Für die Federkonstante 2
und u = 1000 V kommt eszu keinem Schnittpunkt:Die Elektrode wird bisauf die Elektrode ge-zogen und in Kontaktgebracht, d.h. kurzge-schlossen.
Fall #1: u = const.:
( ) y22
el
1
2
1e
ydAUF =
labil
U = 1000 V
elF elF U = 200 V
yF 1=
yF 2=
,elF F
0,8
0,6
0,4
0,2
0,0
y1 y2 y‘2 d y
stabil
1 10-4 N
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49
Die elektrische Feldstärke
Rückblick «Elektrostatik»
Das elektrische
Feld
• Definiert über die Wirkung• Intensitätsgrösse
Die elektrische Flussdichte
• Definiert über die Ursache• Quantitätsgrösse
D n dAdF
=
A
Q
E dsC
= 0 D = E
1. Grundgesetz2. Grundgesetz
Das elektrische Potenzial
• Definiert über die Energie• Hilfsgrösse
P( ) = E dsP0
P
Materialgleichung
• Feld einer Punktladung (Quelle Q E )
• Leiter und Isolatoren im elektrischen Feld• Polarisation von Dielektrika durch das Feld• Randbedingungen an Materialgrenzen• Potenzial und Spannung• Energie und Energiedichte im elektrischen Feld• Kraftwirkung: Coulombkraft oder über Energie
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