1

3. Μαγνετοστατικά πεδία (Μagnetostatic fields) Στο προηγούμενο κεφάλαιο μιλήσαμε για τα στατικά ηλεκτρικά πεδία που χαρακτηρίζονται από το Ε και το D. Σε αυτό το κεφάλαιο θα επικεντρωθούμε στα στατικά μαγνητικά πεδία, τα οποία χαρακτηρίζονται από το H (Ένταση Μαγνητικού Πεδίου (A/m)) και το B (Μαγνητική Πυκνότητα Ροής (Wb/m2 ή Tesla (T)). Αναλογίες μεταξύ ηλεκτρικών και μαγνητικών πεδίων φαίνονται στον πιο κάτω πίνακα: Παράγοντας (Term) Ηλεκτρικό πεδίο Μαγνητικό πεδίο Βασικοί νόμοι

raF 221

4 rQQ

πε=

∫ = encQd sD . 2

0

4 RIπ

μ RadldB ×=

∫ = encId lH . Νόμοι δυνάμεων F=Q.E F=Qu x B Στοιχεία πηγής (source elements)

dQ Qu=Idl

Ένταση πεδίου )/( mVl

VE = )/( mAlI

H =

Πυκνότητα ροής(flux density) )/( 2mC

SD

Ψ= )/( 2mWb

SB

Ψ=

Σχέσεις μεταξύ πεδίων D=εE B=μΗ Δυναμικά (potentials) V−∇=E

∫=r

dlV L

περ4

)0( =−∇= JV mH

∫=R

Iπ

μ4

dlA

Ροή(flux) ∫=Ψ dSD . CVQ ==Ψ

dtdV

CI =

∫=Ψ dSB . LI=Ψ

dtdI

LV =

Πυκνότητα ενέργειας(energy density)

ED .21

=Ew HB .21

=mw

Εξίσωση του Πουασόν(Poisson’s equation) ε

ρ ν−=∇ V2

JΑ μ−=∇ 2

2

Υπάρχουν δύο πολύ σημαντικοί νόμοι στα μαγνητικά πεδία (1) ο νόμος του Μπιότ-Σαβάρτ (Biot-Savart’s law) και (2) ο νόμος του Αμπέρ για τα κυκλώματα (Ampere’s law).

Νόμος του Μπιότ-Σαβάρτ (Biot-Savart’s law)

O νόμος λέει ότι η ένταση του μαγνητικού πεδίου dH που παράγεται σε ένα σημείο Ρ, όπως φαίνεται στο πιο κάτω σχήμα, από ένα διαφορικό στοιχείο ρεύματος (differential current element) Idl είναι ανάλογη με το γινόμενο Idl και το ημίτονο (sine) της γωνίας α και είναι αντιστρόφως ανάλογο με το τετράγωνο της απόστασης R μεταξύ του Ρ και του στοιχείου.

24sinR

aIdldHπ

=

ή σε διανυσματική μορφή 34 RIdπ

RdlH ×=

O νόμος του Μπιότ-Σαβάρτ, σε σχέση με το διανεμημένο ρεύμα, γίνεται

24 RI

πRadldH ×

= ή ∫×

=L R

I24π

RadlH για επικαμπύλιο ρεύμα

3

24 RdSπ

RaKdH ×= ή ∫

×=

S RdS

24πRaKH για ρεύμα επιφάνειας

24 Rdvπ

RaJdH ×= ή ∫

×=

v Rdv

24πRaJH για ρεύμα όγκου.

Τα Idl (I σε Amperes), KdS (K σε A/m) και Jdv (J σε A/m2).

Για παράδειγμα, ας εφαρμόσουμε τις πιο πάνω εξισώσεις για να υπολογίσουμε το πεδίο που παράγεται λόγω ενός μεταφορέα ρεύματος ευθείας γραμμής (straight) μήκους ΑΒ όπως φαίνεται στο πιο κάτω σχήμα.

4

Αν υποθέσουμε τη συμβολή του dH στο σημείο Ρ λόγω του στοιχείου dl στο σημείο (0,0,z) τότε

34 RIπ

RdldH ×= και αφού

dl =dz az και R=ρaρ – zaz

⇒ dl x R=ρdz aφ και έχοντας το z=ρcot α, dz =-ρcosec2 α dα

καταλήγουμε στο ∫−=2

1

33

22

coscos

4

α

α ρρ

π φaHaec

adaecI

∫Ι

−=2

1

)sin(4

a

a

daaφαπρ ή

φaH )cos(cos4 12 aaI

−=πρ

5

Παράδειγμα 3.1 Ένας κυκλικός βρόγχος βρίσκεται στο x2 + y2 = 9, z=0 και τον διαπερνά σταθερό ρεύμα 10Α στη κατεύθυνση του aφ όπως φαίνεται στο πιο κάτω σχήμα. Να υπολογίσετε το Η στα σημεία (0,0,4) και (0,0,-4). (sd 7.3 p298)

34 RIπ

RdldH ×= όπου ϕϕρ adl d= ( ) ( ) zρ0,,,0,0 aaR hyxh +−=−= ρ

z2

ρ

zρ

000 aaaaa

Rdl ϕρϕρρ

ϕρϕ

dhdh

d +=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−=×⇒

( )( ) zρz

2ρ

23224

aaaadH zdHdHdhdh

I+=+

+=⇒ ρϕρϕρ

ρπ

Λόγω συμμετρίας η συνιστώσα στην κατεύθυνση ρa είναι 0.

( ) ( ) ( ) 2322

2

2322

22

0

2

0 2322

2

24

2

40

h

I

h

I

h

dIdHH z+

⇒+

=+

==⇒= ∫ ∫ρ

ρ

ρπ

πρ

ρπ

ϕρππ

ρzzz

zaaaaH

Αντικαθιστούμε I 10A, =3, h=4ρ= ( ) ( )( )

2z

z32

10 30,0, 4 0.36 A/m

2 9 16⇒ =

+

aH a

( ) ( ) ( )( )

2z

z32

10 30,0, 4 0,0, 4 0.36 A/m

2 9 16− = − = =

+

aH H a

(αφού Rdl× είναι το ίδιο για h και –h)

6

Νόμος του Αμπέρ για τα κυκλώματα –Εξίσωση του Μάξουελ (Ampere’s circuit law-Maxwell’s equation)

Ο νόμος του Αμπέρ για τα κυκλώματα λέει ότι το επικαμπύλιο ολοκλήρωμα (line integral) της εφαπτόμενης συνιστώσας του Η γύρω από μια κλειστή πορεία, είναι το ίδιο με το συνολικό ρεύμα που εσωκλείεται από αυτή τη πορεία ή αλλιώς

∫ = encIdlH .

Από το νόμο του Αμπέρ βγαίνει και η τρίτη εξίσωση του Μάξγουελ (Maxwell’s third equation) που είναι

JH =×∇

όπου

∫ ⋅=S

encI dSJ

και J είναι η πυκνότητα ρεύματος (A/m2)

Εφαρμογές του νόμου του Αμπέρ

(Applications of Ampere’s law)

Θα χρησιμοποιήσουμε το νόμο του Αμπέρ για να υπολογίσουμε το Η για κάποιες συμμετρικές διανομές ρεύματος όπως ένα άπειρο επικαμπύλιο ρεύμα (infinite line current), άπειρη επιφάνεια ρεύματος (infinite current sheet) και άπειρη ομοαξονική γραμμή μετάδοσης (infinite coaxial transmission line).

7

Άπειρο επικαμπύλιο ρεύμα (infinite line current) Έχουμε το ρεύμα Ι στη κατεύθυνση του άξονα z όπως φαίνεται στο πιο κάτω σχήμα. Για να υπολογίσουμε το Η στο σημείο Ρ, θα επιτρέψουμε μια κλειστή πορεία που θα περνά από το σημείο Ρ όπου ονομάζεται Αμπερική πορεία (Amperian path). Δεδομένου ότι το ρ είναι σταθερό

∫ ∫ Η=Η== πρφρφρ φφφ 2. ddHI φφ aa

ή φαΗπρ2Ι

=

8

Άπειρή επιφάνεια ρεύματος (infinite current sheet) Ας υποθέσουμε ότι έχουμε μια άπειρη επιφάνεια ρεύματος στο επίπεδο z=0 όπως φαίνεται στο πιο κάτω σχήμα. Aν η πυκνότητα του ρεύματος είναι ομοιόμορφη Κ=Κyαy A/m, με την εφαρμογή του νόμου του Αμπέρ στη κλειστή τετραγωνική πορεία μας δίνει

∫ == bI enc yKdlH . Γενικά, για μια άπειρη επιφάνεια ρεύματος με πυκνότητα ρεύματος Κ A/m

naKH ×=21

όπου αn είναι ένα κάθετο διάνυσμα που κατευθύνεται απó το επίπεδο του ρεύματος επιφάνειας στο σημείο που μας ενδιαφέρει.

9

Άπειρη ομοαξονική γραμμή μετάδοσης

(Infinite coaxial transmission line) Ας θεωρήσουμε ότι έχουμε μία άπειρη ομοαξονική γραμμή μετάδοσης που περιέχει δύο ομόκεντρους κυλίνδρους που έχουν τον άξονά τους στην κατεύθυνση του άξονα z. Η τομή (cross section) των γραμμών φαίνεται στο πιο κάτω σχήμα όπου ο άξονας z είναι έξω από τη σελίδα. Ο εσωτερικός αγωγός έχει ακτίνα α και έχει ρεύμα Ι, ο εξωτερικός έχει ακτίνα b, πάχος t και έχει ρεύμα –Ι. Θέλουμε να υπολογίσουμε το Η παντού, δεδομένου ότι το ρεύμα είναι ομοιόμορφα διανεμημένο και στους δυο αγωγούς. Θα εφαρμόσουμε το νόμο του Αμπέρ για κάθε μια από τις 4 περιοχές

αρ ≤≤0 , b≤≤ ρα , tbb +≤≤ ρ , tb +≥ρ . Για τη περιοχή αρ ≤≤0 χρησιμοποιώντας το νόμο του Αμπέρ καταλήγουμε στο

22παρ

φ

IH =

10

Για τη περιοχή b≤≤ ρα χρησιμοποιώντας το νόμο του Αμπέρ καταλήγουμε στο

πρφ 2I

H =

Για τη περιοχή tbb +≤≤ ρ χρησιμοποιώντας το νόμο του Αμπέρ καταλήγουμε στο

11

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

+−

−Ι

=bttb

H2

12 2

22ρπρφ

Για τη περιοχή tb +≥ρ χρησιμοποιώντας το νόμο του Αμπέρ καταλήγουμε στο

0=φH

12

Παράδειγμα 3.2 Ένα πηνίο σχήματος δακτυλίου του οποίου οι διαστάσεις φαίνονται στο πιο κάτω σχήμα έχει N στροφές και ρεύμα Ι. Να υπολογίσετε το H μέσα και έξω από το πηνίο. (sd 7.6 p309)

13

Πυκνότητα μαγνητικής ροής-Εξίσωση του Μάξγουελ (Magnetic flux density-Maxwell’s equation)

H πυκνότητα μαγνητικής ροής Β είναι παρόμοια με την πυκνότητα ηλεκτρικής ροής D. Όπως το

D=εοΕ σε ελεύθερο χώρο, έτσι και το

B=μοΗ όπου μο είναι μια σταθερά που ονομάζεται διαπερατότητα του ελεύθερου χώρου (permeability of free space) σε Henry/meter (H/m) και έχει τη τιμή μο=4π x 10-7 Η/m. Η μαγνητική ροή μέσα σε από μια επιφάνεια S είναι

∫=ΨS

dSB .

και μετριέται σε Webers (Wb) και η πυκνότητα μαγνητικής ροής μετριέται σε (Wb/m2) ή Teslas (T). Η γραμμή της μαγνητικής ροής Β είναι η γραμμή όπου η βελόνα της πυξίδας θα ευθυγραμμιστεί αν τοποθετηθεί σε μαγνητικό πεδίο. Για παράδειγμα, οι μαγνητικές γραμμές ροής λόγω ενός ευθύγραμμου σύρματος φαίνονται στο πιο κάτω σχήμα.

14

Σε ένα ηλεκτροστατικό πεδίο η ροή που περνά μέσα από μια κλειστή επιφάνεια είναι η ίδια με το εσωκλειόμενο φορτίο δηλαδή

∫ ==Ψ QdSD . Για αυτό το λόγο μπορούμε να έχουμε ένα απομονωμένο ηλεκτρικό φορτίο όπως φαίνεται στο πιο κάτω σχήμα. Aντίθετα οι μαγνητικές γραμμές ροής είναι πάντοτε κλειστές όπως φαίνονται στο πιο κάτω σχήμα. Αυτό γίνεται για το λόγο ότι δεν είναι δυνατό να έχουμε απομονωμένους μαγνητικούς πόλους (ή μαγνητικά φορτία).

Για παράδειγμα, αν προσπαθήσουμε να απομονώσουμε ένα μαγνητικό πόλο με το να κόψουμε ένα μαγνήτη σε δύο, θα καταλήξουμε με δύο κομμάτια με το κάθε ένα να έχει βόρειο και νότιο πόλο όπως φαίνεται στο πιο κάτω σχήμα. Έτσι η συνολική ροή μέσα από μια κλειστή επιφάνεια σε ένα μαγνητικό πεδίο πρέπει να είναι ίση με μηδέν.

∫ = 0.dSB Η εξίσωση αυτή ονομάζεται ο νόμος της διατήρησης της μαγνητικής ροής (law of conservation of magnetic flux). Από αυτή την εξίσωση μπορούμε να καταλήξουμε στη τέταρτη εξίσωση του Μάξγουελ (fourth Maxwell’s equation) που είναι

15

0. =∇ B Η πιο πάνω εξίσωση δείχνει ότι τα μαγνετοστατικά πεδία δεν έχουν ούτε πηγή ούτε αρνητική πηγή (sink).

16

Εξισώσεις του Μάξγουελ για στατικά ηλεκτρομαγνητικά πεδία (Maxwell’s equations for static EM fields)

O πιο κάτω πίνακας περιλαμβάνει συγκεντρωμένες τις 4 εξισώσεις του Μάξγουελ. Διαφορική μορφή Μορφή

ολοκληρώματος Σημειώσεις

νρ=∇ D. ∫ ∫=S v

dvνρdSD . Νόμος του Γκάους

0. =∇ Β ∫ =S

0.dSB Μη ύπαρξη μαγνητικού μονοπόλου

0=×∇ Ε ∫ =L

0.dlE Διατήρηση του ηλεκτροστατικού πεδίου

JΗ =×∇ ∫∫ =SL

dSJdlH .. Νόμος του Αμπέρ

17

Μαγνητικά βαθμωτά και διανυσματικά δυναμικά

(Magnetic scalars and vector potentials)

Aς θυμηθούμε ότι πολλά από τα προβλήματα των ηλεκτροστατικών πεδίων απλοποιήθηκαν με το συσχετισμό που κάναμε για το δυναμικό V και την ένταση του ηλεκτρικού πεδίου Ε ( )V−∇=E . Τον ίδιο συσχετισμό μπορούμε να κάνουμε με το δυναμικό και το μαγνετοστατικό πεδίο Β. Το μαγνητικό δυναμικό μπορεί να είναι βαθμωτό Vm αλλά και διανυσματικό Α. Το βαθμωτό μαγνητικό δυναμικό συσχετίζεται με το H με τη πιο κάτω εξίσωση:

mV−∇=H όταν J=0 Το διανυσματικό μαγνητικό δυναμικό συσχετίζεται με το Β με τη πιο κάτω εξίσωση:

AB ×∇= Το Α ορίζεται ως το μαγνετοστατικό διανυσματικό δυναμικό (magnetic vector potential) και έχει μονάδα μέτρησης Tm, ή Wb/m. Ακόμα μπορούμε να ορίσουμε τα πιο κάτω:

∫Ι

=L Rπμ ο

4dlA για επικαμπύλιο ρεύμα (line current)

∫=S R

dSπ

μ ο

4KA για ρεύμα επιφάνειας (surface current)

18

∫=V R

dvπ

μ ο

4JA για ρεύμα όγκου(volume current)

Επίσης με την αντικατάσταση της εξίσωσης AB ×∇= μέσα στην

εξίσωση ∫ ⋅=ΨS

dSB και χρησιμοποιώντας το θεώρημα του Στόουκ

(Stoke’s theorem) καταλήγουμε στο

∫=ΨL

dlA .

Τότε η μαγνητική και ηλεκτρική ροή μέσα σε ένα δεδομένο εμβαδό μπορεί να βρεθεί από τις εξισώσεις

∫ ⋅=ΨS

dSB και ∫=ΨL

dlA .

Η χρησιμοποίηση του μαγνητικού διανυσματικού δυναμικού προσφέρει μίαν ισχυρή προσέγγιση στη λύση ηλεκτρομαγνητικών προβλημάτων, ειδικά αυτών που σχετίζονται με αντένες.

19

Παράδειγμα 3.3 Δίνεται το μαγνητικό διανυσματικό δυναμικό (magnetic vector potential) Α = -ρ2/4 az Wb/m, να υπολογίσετε την ολική μαγνητική ροή που διασχίζει την επιφάνεια φ= π/2, 21 ≤≤ ρ m, mz 50 ≤≤ . (sd 7.7 p317) Μέθοδος 1 zA

2d d dzϕ ϕ ϕ

ρ ρρ

∂= ∇× = − = =

∂B A a a S a

( )25 2

2

10 1

1 1 155 3.75 Wb2 4 4S z

d d dzρ

ρ ρ ρ= =

Ψ = ⋅ = = = =∫ ∫ ∫B S

Μέθοδος 2

1 2 3 4L

dΨ = ⋅ = Ψ +Ψ +Ψ +Ψ∫ A l όπου L είναι η καμπύλη που περικλείει την

επιφάνεια S. Το Α έχει μόνο συνιστώσα στο az. 5 0

2 21 3 2 4

0 5

10 (1) (2)4

dz dz⎡ ⎤

⇒ Ψ = Ψ = Ψ = ⇒Ψ = Ψ +Ψ = − +⎢ ⎥⎣ ⎦

∫ ∫

( )( )1 151 4 5 3.75 Wb4 4

= − − = =

Α

1

2

3

4

y

x

z

B

20

Εξαγωγή των νόμων του Μπιότ-Σαβάρτ Αμπέρ

(Derivation of Biot-Savart’s law and Ampere’s law)

Αφού ο νόμος του Μπιότ-Σαβάρτ είναι βασικά σε επικαμπύλιο ρεύμα (line current) θα ξεκινήσουμε τη εξαγωγή με το

∫ ∫ ×∇Ι

=Ι

×∇=L L RR

''

dldlB 144 πμ

πμ οο

αν χρησιμοποιήσουμε την πιο κάτω ιδιότητα

FFF ×∇+×∇=×∇ )()( fff και στη θέση του F έχουμε το dl και του f το 1/R τότε καταλήγουμε στο

∫ ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡×⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ∇+×∇=

L RRI '' dldlB 11

4πμ ο

Αφού το ∇ λειτουργά σε συνάρτηση του (x,y,z) και το dI’ είναι συνάρτηση του (x’,y’,z’), τότε 0=×∇ 'dl

Ακόμα ( )[ ] 2/12'2'2' )()(1 −

−+−+−= zzyyxxR

( )[ ] 22/32'2'2'

'''

)()(

)()()(1Rzzyyxx

zzyyxxR

Rzyx aaaa−=

−+−+−

−+−+−−=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡∇

όπου το αR είναι το μοναδιαίο διάνυσμα από το σημείο πηγής (source point) στο σημείο πεδίου (field point). Με τα πιο πάνω καταλήγουμε στο

∫×

=L R

IB 24Radl

πμο

21

όπου είναι ο νόμος του Μπιότ-Σαβάρτ. Μπορούμε ακόμα να δείξουμε ότι για ένα στατικό μαγνητικό πεδίο

0. =∇ A και JA ομ−=∇ 2

όπου ονομάζεται η διανυσματική εξίσωση τoυ Πουασόν (vector Poisson’s equation). Επίσης μπορούμε να δείξουμε και πως εξάγεται ο νόμος του Αμπέρ. Από το θεώρημα του Στόουκ (Stoke’s theorem) και την εξίσωση AB ×∇= καταλήγουμε

( )∫ ∫ ∫ ×∇×∇=⋅×∇=L S S

dSAdSHdlH .1.ομ

και χρησιμοποιώντας τις πιο κάτω ιδιότητες

( ) AAA 2. ∇−∇∇=×∇×∇ , 0. =∇ A , JA ομ−=∇ 2

καταλήγουμε στο

JAA ομ=−∇=×∇×∇ 2 και αντικαθιστώντας στην εξίσωση

( )∫ ∫ ∫ ×∇×∇=×∇=L S S

dS dSAHdlH .1.ομ

καταλήγουμε στο νόμο του Αμπέρ που είναι

∫ ∫ ==L S

IdSJdlH ..

22

Μαγνητικό δίπολο (A magnetic dipole)

Ένα κομμάτι μαγνήτης ή ένα μικρός βρόγχος ρεύματος (filamentary current loop) συνήθως ονομάζονται μαγνητικά δίπολα. Ας υπολογίσουμε το μαγνητικό πεδίο Β σε ένα σημείο Ρ(r,θ,φ) που δημιουργείται λόγω ενός κυκλικού βρόγχου με ρεύμα I (circular loop currying current I) όπως φαίνεται στο πιο κάτω σχήμα. Το μαγνητικό διανυσματικό δυναμικό στο σημείο Ρ είναι

∫Ι

=rdlA

πμο

4

Μπορεί να αποδειχτεί ότι σε ένα μακρινό σημείο r>>α , το Α έχει μόνο συνιστώσα του φ και δίνεται από

φaA 2

2

4sin

rIπ

θπαμο= ή 24 rA

πμο ram ×

=

όπου m=Iπα2az, και az x ar =sin θ aφ. Υπολογίζουμε τη πυκνότητα της μαγνητικής ροής Β από το

23

AB ×∇= και είναι )sincos2(4 3 θr aaB θθπμο +=

rm

Στον πιο κάτω πίνακα συγκρίνονται τα ηλεκτρικά και μαγνητικά μονόπολα και δίπολα.

24

Μαγνητισμός στα υλικά (Magnetization in materials)

HB rμμο= όπου το Β είναι η πυκνότητα μαγνητικής ροής (magnetic flux density) και μετριέται σε Τέσλα (Τ), το Η είναι η ένταση μαγνητικής ροής (magnetic field strength) και μετριέται σε Α/m και το μ=μομr ονομάζεται η διαπερατότητα του υλικού που μετριέται σε Henrys per meter (Η/m). Επίσης ορίζουμε το Μ (magnetization) ως τη μαγνητική δίπολη ροπή ανά μονάδα όγκου (magnetic dipole moment per unit volume) και μετριέται σε Α/m. Η σχέση του Μ με το Η φαίνεται στη παρά κάτω σχέση

HM mχ= όπου χm είναι μια ποσότητα χωρίς διαστάσεις και ονομάζεται μαγνητική ευαισθησία (magnetic susceptibility) του υλικού. Σημείωση: Τα πιο πάνω ισχύουν μόνο σε γραμμικά και ισοτροπικά υλικά (linear and isotropic).

25

Μαγνητικές Οριακές συνθήκες (Magnetic boundary conditions)

Oρίζουμε μαγνητικές οριακές συνθήκες τις συνθήκες που πρέπει το μαγνητικό πεδίο να ικανοποιεί στη διεπαφή (interface) δύο μέσων. Ας υποθέσουμε τη διεπαφή (interface) μεταξύ δυο μαγνητικών μέσων 1 και 2, που χαρακτηρίζονται από το μ1 και το μ2 αντίστοιχα όπως φαίνεται στο πιο κάτω σχήμα. Mε εφαρμογή των εξισώσεων

∫ = 0.dSB Δh 0→ και I=⋅∫ dlH καταλήγουμε στο

nn BB 21 = ή nn HH 2211 μμ = Ακόμα μπορούμε να δείξουμε ότι

KaHH n1221 =×− )( όπου τα an12 είναι ένα μοναδιαίο διάνυσμα που κατευθύνεται από το μέσο 1 στο 2.

26

Εάν η διεπαφή δεν έχει ρεύμα ή εάν τα μέσα δεν είναι αγωγοί, μπορούμε να γράψουμε

tt HH 21 = ή 2

2

1

1

μμtt BB

=

Απόδειξη

27

Παράδειγμα 3.4 Δίνεται το Η1 = -2ax + 6ay + 4az A/m στη περιοχή 02 ≤−− xy , όπως φαίνεται στο πιο κάτω σχήμα, όπου μ1=5μο. Να υπολογίσετε (α) το Μ1 και το Β1 εάν το χμ1 = (μr1 – 1) (β) το Η2 και το Β2 στη περιοχή 02 ≥−− xy , όπου μ2=2μο. (sd 8.8 p 366)

Το y-x=2 είναι επίπεδο και το y-x≤2 είναι η περιοχή 1(βάζοντας το σημείο (0,0) μπορούμε να το δούμε καθαρά). Ένα κάθετο μοναδιαίο διάνυσμα στο

επίπεδο ( )x,y y-x-2f = δίδεται από x yn 2

ff

− +∇= =∇

a aa

(α) ( ) ( )( )1 1 x y z x y z1 5 1 2 6 4 8 24 16 A/mμχ μ= = − = − − + + = − + +1 1 1M H H a a a a a a

( )( )1

71 o r x y z

2x y z

4 10 5 2 6 4

12.57 37.7 25.13 Wb/m

μ μ μ π

μ

−= = = × − + + =

− + +

1 1 1B H H a a a

a a a

(β) ( ) ( ) x y x y1n 1 n n x y z x yH 2 6 4 4 4

2 2− + − +⎡ ⎤

= ⋅ = − + + ⋅ ⋅ = − +⎢ ⎥⎣ ⎦

a a a aH a a a a a a a

Όμως 1 1n 1t = +H H H ( ) ( )1t 1 1n x y z x y x y z2 6 4 4 4 2 2 4⇒ = − = − + + − − + = + +H H H a a a a a a a a

Χρησιμοποιώντας τις οριακές συνθήκες παίρνουμε

28

2t 1t x y z2 2 4= = + +H H a a a 2n 1n 2 2n 1 1nμ μ= ⇒ =B B H H

( )12n 1n x y x y

2

5 4 4 10 102

μμ

= = − + = − +H H a a a a

Έτσι 2 2n 2t x y z8 12 4 A/m= + = − + +H H H a a a και ( )( )( )-7

2 2 2 o r 2 x y z4 10 2 8 12 4μ μ μ π= = × − + +B H H a a a 2

x y z20.11 30.16 10.05 Wb/mμ= − + +a a a

29

Παράδειγμα 3.5 Το επίπεδο xy είναι η διεπαφή (interface) μεταξύ δύο διαφορετικών μέσων. Το μέσο 1 ( )0≤z το γεμίσαμε με ένα υλικό που έχει μr =6, και το μέσο 2 ( )0≥z το γεμίσαμε με άλλο υλικό που έχει μr =4. Αν στη διεπαφή υπάρχει ρεύμα (1/μο)ay mA/m, και Β2 = 5ax + 8az mWb/m2, να υπολογίσετε το Η1 και το Β1. (sd 8.9 p 368)

Σε αυτή την περίπτωση k≠0 ( )1 1 1x y zB ,B ,B=1B σε mWb/m2

1n 2n z z8 B 8= = ⇒ =B B a

Όμως ( )22 x z

2 o

1 5 8 mA/m4μ μ

= = +BH a a

( )11 x x y y z z

1 o

1 B B +B mA/m6μ μ

= = +BH a a a

Έχοντας την κάθετη συνιστώσα μπορούμε να βρούμε την εφαπτομένη από ( )

121 2 n k− × =H H a

12 121 n 2 n + k× = ×H a H a

( ) ( )x x y y z z z x z z yo o o

1 1 1B B +B 5 86 4μ μ μ

⇒ + × = + × +a a a a a a a a

Εξισώνοντας τις συνιστώσες παίρνουμε

30

By=0 xB 5 16 4

− = − + ή x6B 1.54

= = 2

1 x z=1.5 8 mWb/m⇒ +B a a

( )11 x z

1 o

1= = 0.25 1.33 mA/mμ μ

+BH a a

και

( )2 x zo

1= 1.25 2 mA/mμ

+H a a

31

Επαγωγέας και επαγωγή (Inductors and inductance)

Ένα κύκλωμα (κλειστό μονοπάτι) που έχει ρεύμα Ι, παράγει ένα μαγνητικό πεδίο Β το οποίο προκαλεί ροή ∫=Ψ dSB. που περνά μέσα από κάθε στροφή, όπως φαίνεται στο πιο κάτω σχήμα. Αν το κύκλωμα έχει Ν όμοιες στροφές, ορίζουμε το λ ως τη σύζευξη ροής (flux linkage)

ΝΨ=λ Ακόμα αν το μέσο που περιτριγυρίζει το κύκλωμα είναι γραμμικό, το λ είναι ανάλογο με το ρεύμα Ι

LI=λ

όπου L είναι μια σταθερά που ονομάζεται η επαγωγή (inductance) του κυκλώματος. Κύκλωμα ή μέρος κυκλώματος που έχει επαγωγή ονομάζεται επαγωγέας (inductor). Από τις πιο πάνω εξισώσεις μπορούμε να ορίσουμε την επαγωγή L ως

32

IN

IL

Ψ==

λ

Η μονάδα μέτρησης της επαγωγής είναι Henry (H), το οποίο είναι το ίδιο με Webers/ampere. H επαγωγή που ορίσαμε πιο πάνω συνήθως αναφέρεται ως αυτεπαγωγή (self-inductance).

Μαγνητική ενέργεια (Magnetic Energy)

Όπως η δυναμική ενέργεια στα ηλεκτροστατικά πεδία είναι

∫ ∫== dvEdvW E2

21.

21 εED

έτσι και στα μαγνητικά πεδία μπορούμε να ορίσουμε ένα παρόμοιο τύπο για τη μαγνητική ενέργεια. Ο τύπος αυτός είναι

2

21

LIWm =

και έτσι

dvHdvdvwW mm ∫∫∫ === 2

21.

21 μHB

Υπολογισμός Αυτεπαγωγής Για να υπολογίσουμε την αυτεπαγωγή ακολουθούμε τα πιο κάτω βήματα:

1. Διαλέγουμε τις κατάλληλες συντεταγμένες 2. Υποθέτουμε ότι ο επαγωγέας έχει ρεύμα Ι 3. Υπολογίζουμε το Β από το νόμο του Μπιότ-Σαβάρτ (ή του Αμπέρ αν

υπάρχει συμμετρία) και μετά υπολογίζουμε το Ψ από το

∫=Ψ dSB.

4. Τέλος υπολογίζουμε το L από το IN

IL

Ψ==

λ.

33

34

Παράδειγμα 3.6 Να υπολογίσετε την αυτεπαγωγή (self-inductance) ανά μονάδα μήκους για έναν άπειρα μεγάλο σωληνοειδές πηνίο. (sd 8.10 p376)

35

I

dρ

a

b

ρ

x● z axis

●

I

Παράδειγμα 3.7 Να υπολογίσετε την αυτεπαγωγή ενός ομοαξονικού καλωδίου με εσωτερική ακτίνα α και εξωτερική b. (sd 8.11 p377)

Μέθοδος 1: Από το προηγούμενο παράδειγμα με την εφαρμογή του νόμου του Αμπέρ για 0≤ρ≤ a ϕπ

ρμ aB 2a2I

= και για a≤ρ≤b ϕπρμ aB

2I

=

Lin(εσωτερική επαγωγή) για dρ

2

2

1enc

11 aππρλ ⋅Ψ=⋅Ψ= d

IIdd αφού το Ι είναι ομοιόμορφα κατανεμημένο

2

2

21 aa2ρ

πρρμλ dzdId =

Για μήκος l του καλωδίου

∫ ∫= =

==a l

z

IldzdI

0 04

3

1 8a2ρ πμ

πρρμλ ⇒==

πμλ8

lI

L inin Επαγωγή ανά μονάδα μήκους

πμ

8==′

lLL in

Lext(εξωτερική επαγωγή) για dρ

2 2Iz= z

2d B d d d dμρ ρ

πρΨ = ⋅

Το συνολικό ρεύμα Ι είναι μέσα στο μονοπάτι που εσωκλείει την ροή

x

a

b

●

ρ

dρI

36

b l2

2 2 exta z=0

I Il b l b= ln L ln2 2 a I 2 ad dz

ρ

λμ ρ μ μλπρ π π=

= Ψ = ⇒ = =∫ ∫

in extl 1 bL=L +L ln

2 4 aμπ⎡ ⎤= +⎢ ⎥⎣ ⎦

L 1 bL = ln H/ml 2 4 a

μπ⎡ ⎤′ = +⎢ ⎥⎣ ⎦

Μέθοδος 2: Χρησιμοποιώντας 21 I

2mW L= ή 2

2I

mWL = όπου

dvBdvWVV

m ∫∫∫∫∫∫ =•=μ22

121 2

HB

a 2 l2 2 2 21

in 2 2 2 40 0 0

2 1L zI 2 4 aV z

B Idv d d dI

π

ρ ϕ

μ ρ ρ ρ ϕμ μ π= = =

⇒ = =∫∫∫ ∫ ∫ ∫

a 2 l3

2 40 0 0

lz4 a 8z

d d dπ

ρ ϕ

μ μρ ρ ϕπ π= = =

= =∫ ∫ ∫

a 2 l2 2 22

ext 2 2 2 20 0 0

2 1L zI 2 4V z

B Idv d d dI

π

ρ ϕ

μ ρ ρ ϕμ μ π ρ= = =

= =∫∫∫ ∫ ∫ ∫

a 2 l

20 0 0

l bz ln4 2 az

d d dπ

ρ ϕ

μ ρ μϕπ ρ π= = =

= =∫ ∫ ∫

in extl 1 bL=L +L ln

2 4 aμπ⎡ ⎤= +⎢ ⎥⎣ ⎦

όπως προηγουμένως