2- EIXOS

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2.1- Flexão – Viga reta com momento puro;

2.2- Materiais para eixo;

2.3- Tensão de cisalhamento devido a força cortante (V);

2.4- Tensão de cisalhamento devido ao carregamento

transversal.

Lembrete: Unidades de conversão:

• 1 kgf = 0,453 lb

• psi = 0,0007 kgf / mm2

• 1 kgf = 9,8 N

• 1 N = kgf . m / s2

• Pascal = N / m2

• daN = 10 N

• GPa = 10 Pa

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Flexão – Viga reta com momento puro

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Viga reta submetida ao momento fletor puro:

- Não existe força cortante atuando;

- Tensão de flexão é linear:

- Tensão trativa (σt) = max.

na fibra externa.

- Tensão compressiva (σc) = max.

na fibra externa.

- Nula na fibra neutra.

Flexão – Viga reta com momento puro

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1- Tensão de Flexão a qualquer distancia (y) a partir da linha neutra:

2- Se a linha neutra for tambem um eixo de simetria teremos as máximas

Tensões (σt e σc ) onde y = c

3- Módulo de Resistência das seções transversais (Z ou W) (mm³, cm³, ...)

ou J momento de inércia de área da seção transversal

em relação à linha neutra (mm4, cm4, ....)

M Momento Fletor (N.m, kgf.m, ...)

Y distancia da linha neutra ate a fibra analisada.

c distancia da linha neutra ate a fibra mais externa.

Flexão – Viga reta com momento puro

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4- Tensões máximas para flexão pura quando a seção transversal NÂO

Apresentar simetria em relação a linha neutra.

J e I = Momento de inércia da seção transversal;

W e Z = Módulo de resistencia da seção transversal.

Flexão – Viga reta com momento puro

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Na prática, as equações de tensão de flexão providas são admitidas válidas:

- Barra estiver inicialmente reta, carregada em um plano de simetria,

- feita de material homogêneo

- Tensionada apenas até níveis contidos na faixa elástica

- Planos de corte distantes das seções onde as cargas e as reações estão

aplicadas e distantes de descontinuidades geométricas significativas.

- A aplicação de momento puro a qualquer viga real é virtualmente

impossível, mas cálculos realizados sob as condições listadas geram

resultados razoavelmente precisos.

Se a viga está inicialmente curva, o eixo neutro não coincide com o eixo

centroidal, como acontece para vigas retas.

Conseqüentemente, a distribuição de tensões de flexão não é linear e os

cálculos de tensões de flexão tomam-se mais complexos.

Propriedades de seções transversais planas.

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Generalidades:

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- Eixos são elementos de máquinas que trabalham fixos ou em rotações,

suportando polias, engrenagens, carros de maquinas, etc.

- São classificados em dois tipos:

- Eixo: trabalha fixo ou em rotação, porém não transmite momento de torção

(torque),

- Exemplos: Eixo do tambor de ponte rolante, eixo de vagão de trem,

eixo de um carrinho transportador.

- Eixo-Árvore: trabalha em movimento de rotação e transmite momento de

torção (torque),

- Exemplo: eixo de manivela de um motor (virabrequim).

- Dimensionamento:

Depende do tipo de esforço que age no eixo:

• Se agir somente flexão => dimensionamento à "flexão“;

• Se agir flexão e torção, mas a flexão for desprezível =>

dimensionamento à "torção";

• Se agir flexão e torção => dimensionamento à "flexo-torção".

Materiais para eixo:

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Para minimizar as deflexões, o aço apresenta alta rigidez, (E constante para

todo os aços)

- Ferro fundido ou nodular, usado especialmente quando engrenagens ou

outras junções forem fundidas com o eixo.

- Bronze, aço inoxidável, titânio ou incone usados em ambientes marítimos

ou corrosivos.

- A maioria dos eixos de máquinas são construídos de aço de baixo e médio

carbono (ANSI 1020-1050: laminados a frio ou a quente). Para uma maior

resistência, os aços de baixa liga como o AISI 4140, 4340 ou 8640 podem

ser selecionados (atraves de tratamentos térmicos adequados pode se

obter propriedades maiores).

- Os aços laminados a frio aplicação em eixos de diâmetros abaixo 75mm

- Os aços laminados a quente para diâmetros maiores que 75mm,

- Os aços laminados a frio têm propriedades mecânicas mais elevadas que

os laminados à quente, devido ao encruamento a frio, porém surgem

tensões residuais de tração na superfície, que são indesejáveis.

Propriedades de alguns materiais usados em eixos.

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Relação entre as Propriedades mecânicas.

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As tabelas de propriedades dos materiais geralmente não

fornecem os valores das tensões (ruptura ou escoamento)

de cisalhamento. Adota-se portanto critérios práticos a

partir dos dados fornecidos para tração.

Exercício proposto:

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Calcular o diâmetro do eixo "E” representado na figura abaixo. Desprezar o

peso próprio do vagão. Dados: carga (Q) = 8 tf e material do eixo St 50.11

(ABNT 1035), fator de segurança 4,5.

RA

P

Tensão de cisalhamento devido a força

cortante (V) e Tensão de cisalhamento

devido ao carregamento transversal.

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Tensão de cisalhamento devido a força cortante (V)

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Onde:

é a tensão de cisalhamento média,

AA.A é área de cisalhamento na seção A-A,

VA-A é parcela da força que passa através

da seção A-A.

Eixos submetidos ao cisalhamento puro em planos tais como A-A e

B-B.., a tensão cisalhante média em tal plano de cisalhamento pode

ser calculada utilizando a seguinte equação:

Carregamento de cisalhamento puro.

Tensão de cisalhamento devido ao carregamento transversal.

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Conclusão: as camadas de cola curadas resistem ao escorregamento

quando a carga transversal P é aplicada, gerando tensões cisalhantes

resistivas nas camadas coladas. Estas são chamadas de tensões de

cisalhamento devidas ao carreamento transversal.

(c) Tensões de cisalhamento desenvolvidas

nas camadas coladas para resistir ao

escorregamento interfacial da viga laminada

para reduzir a deflexão da viga.

(b) Viga carregada mostrando deslizamento

interfacial e conseqüente deflexão.

(a) Viga descarregada feita do empilhamento

de lâminas livres para deslizar umas em

relação às outras.

Tensão de cisalhamento devido ao carregamento transversal.

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Com a flexão, além das tensões normais de tração e compressão, ocorre também

Tensões de cisalhamento.

Onde:

Q ou V : força cortante atuante na seção (N, kgf, tf,..);

Ms: momento estático da área hachurada em relação à linha que passa pelo

centro de gravidade da seção (mm3, cm3, ...);

b: largura da seção onde se quer determinar a tensão de cisalhamento (mm, cm, ...)

I ou J: momento de inércia da seção (mm4, cm4, ...).

Exemplo: Viga retangular

- Para tensão na posição indicada por y

Ms= (a x b) x (y + a/2)

Restricoes:

-Material trabalha dentro do regime elastico-linear.

-Relação espessura/comprimento da viga pequena

hipotese fundamental da teoria de flexao).

-Modulo de elasticidade deve ser o mesmo em tração e

em compressão.

Exercício de aplicação:

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Uma barra de aço SAE 1020, engastada numa das extremidades, deverá suportar

uma carga estática de I000 N, concentrada na extremidade livre. Sabendo-se que seu

comprimento é de 200 mm, calcular as tensões normal e de cisalhamento máximas.

Observa-se que o valor da tensão normal (σ) é bem maior que a tensão

de cisalhamento ( ).

Ms= (a x b) x (y + a/2)

Ms = (12.18) . 9 = 1944 mm3

Exercício: Projeto de Carregamento de Cortante Transversal

Baseando-se no diagrama de corpo livre monstrado, complete as seguintes tarefas se P = 10.000 lbf N, C = 1,0 in, D = E = 0,5 in e o diâmetro

do pino é d.

a- Construa diagramas de força cortante e de momento fletor para o pino carregado como mostrado.

b- Encontre a posição e o valor da tensão fletora máxima no pino e estime o diâmetro mínimo necessário do pino baseando-se na tensão fletora, se a resistência admissível trativa máxima para o material do pino for de 35.000 psi.

c- Baseando-se na tensão de cisalhamento média nas seções transversais A-A e R-R, estime os diâmetros mínimos necessários se a máxima resistência ao cisalhamento permitida para o material do pino for de 20.200 psi.

d- Calcule a posição e o valor da tensão de cisalhamento devida ao carregamento transversal máxima no pino e estime o diâmetro mínimo necessário para tal, se a resistência cisalhante máxima admissivel para o material do pino é de 20.200 psi.

e- Qual seria uma primeira iteração apropriada de recomendação de projeto para determinação do diâmetro do pino sob estas condições?

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• Utilizando-se os casos 3 e 9 da

Tabela 4.1 como orientação do PLT.

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Ver draft na pag.14

MB-B = 5000 . 0,25 = 1250 lbf.in

Mmax.= 5000 . 0,75 = 3750 lbf.in

Resolução b- Cálculo do diâmetro usando a tensão fletora max.

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Z = (π . d³) / 32 Modulo de resistência

Tensão admissível do pino

c- Cálculo do diâmetro baseado na tensão de cisalhamento media.

Tensão admissível do pino

Area circular = (π . d²) / 4

d- Cálculo do diâmetro usando a tensão de cisalhamento devido ao

carregamento transversal máximo.

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Tensão admissível do pino

Area circular = (π . d²) / 4

Area ½ circ.= (π . d²) / 8

I circ= (π . d ) / 64

b = d

Q = 5000 lbf.

Ms= (a x b) x (y + a/2)

Ms = área x YG

Ms = (π . d²) / 8 x (2.d / 3.π)

Ms = d³ / 12

4

YG =2.d / 3.π

20200 = (5000 . d³ / 12) / d . (π . d ) / 64

20200/5000 = (d³ / 12) . (64 / d . π . d )

4,04 = 1,698 / d²

d = 0,65 in

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e- Examinando os resultados de (b), (c) e (d), o diâmetro de

flexão é o maior e visto que a tensão de cisalhamento

devida ao carregamento transversal é nula nas fibras externas

onde a tensão de flexão é máxima, nenhuma interação entre

tensões combinadas precisa ser considerada.

Conclusão: o diâmetro do pino, baseado em flexão,

será de 1,1 in

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Aplicação 1:

- Determine as tensões máximas de compressão e de tração, cisalhamento puro e

a tensão de cisalhamento devido ao carregamento transversal na seção “AA” da

viga indicada na figura abaixo.