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UNIVERSITÄT SIEGENLEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
Baustatik (Master) - WS17/18
2. Elastische Bettung
2.1 Bauwerk-Baugrund-Interaktion
2.2 Steifemodul und Bettungsmodul
2.3 Differentialgleichung elastisch gebetteter Balken
2.4 Lösung der Differentialgleichung
2.5 Beispiele
1
UNIVERSITÄT SIEGENLEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
Baustatik (Master) - WS17/18
2.1 Bauwerk-Baugrund-Interaktion
2
UNIVERSITÄT SIEGENLEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
Tragwerk
Baugrund (Boden)
Bauwerk
Gründung Tragwerk
Bauwerk
Überbau
Gründung
Baugrund
Das gesamte Tragwerk besteht aus dem Bauwerk und dem Baugrund bzw. Boden!
LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK 3
UNIVERSITÄT SIEGENLEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
Tragwerk
Die Einwirkungen bzw. Belastungen aus dem Überbau werden über die
Gründung in den Baugrund weitergeleitet. Dadurch entstehen Verformungen
bzw. Setzungen im Baugrund, die sich wiederum auf das statische Verhalten
des Bauwerks auswirken. Man spricht daher von Bauwerk-Baugrund-
Wechselwirkung bzw. Bauwerk-Baugrund-Interaktion.
Die Steifigkeitsverhältnisse zwischen dem Bauwerk und dem Boden spielen
dabei eine entscheidende Rolle.
LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK 4
UNIVERSITÄT SIEGENLEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
Beispiele für Bauwerk-Baugrund-Interaktion
LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK 5
UNIVERSITÄT SIEGENLEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
Beispiele für Bauwerk-Baugrund-Interaktion
LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK 6
UNIVERSITÄT SIEGENLEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
Einfluss unterschiedlicher Bodensteifigkeiten
Peter Bindseil: Massivbau,3. Auflage, Vieweg, 2002.
LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK 7
UNIVERSITÄT SIEGENLEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
Einfluss unterschiedlicher Überbausteifigkeiten
Peter Bindseil: Massivbau, 3. Auflage, Vieweg, 2002.
LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK 8
UNIVERSITÄT SIEGENLEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
Berechnungsmodelle
Da die Eigenschaften des Bodens im Allgemeinen sehr kompliziert sind, ist eine
genaue Erfassung der Bauwerk-Baugrund-Interaktion sehr aufwendig. Daher
sind vereinfachte Berechnungsmodelle erwünscht. Zur Vereinfachung können
Näherungsmodelle für den Baugrund bzw. Boden eingeführt werden, welche für
die baupraktischen Anwendungen ausreichend genau sind.
Zwei Näherungsmodelle bzw. –verfahren:
1.) Bettungsmodul-Verfahren (Winkler, 1867)
2.) Steifemodul-Verfahren
LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK 9
UNIVERSITÄT SIEGENLEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
Bettungsmodul-Verfahren
1.) Bettungsmodul-Verfahren (Winkler, 1867)
Dabei wird der Boden durch kontinuierlich verteilte, aber unabhängige linear-
elastische Federn ersetzt bzw. approximiert.
wc
F
i c wσ = ⋅
F
Boden
LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK 10
UNIVERSITÄT SIEGENLEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
Bettungsmodul-Verfahren
Annahme:
•Keine Koppelung zwischen den einzelnen Federn.
•Wird die i-te Feder belastet, werden die anderen Federn nicht dadurch
beansprucht.
Nachteile:
•Setzungsmulde kann in diesem Verfahren nicht richtig beschrieben werden.
•Kein Einfluss auf den Nachbarbaugrund neben dem Fundament.
Sonderfall: Spannungstrapezverfahren
Bei sehr steifen Fundamentbalken kann eine lineare Verteilung der
Bodenpressung unter dem Fundament angenommen werden. Diese
Vereinfachung kann z. B. bei kurzen Fundamentbalken getroffen werden.
LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK 11
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Spannungstrapezverfahren
Boden
Bodenpressung
RM
1σ2σ
Die zwei unbekannten Randspannungen können aus den zwei Gleichgewichts-
bedingungen bestimmt werden.
1 2 und σ σ
LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK 12
UNIVERSITÄT SIEGENLEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
Spannungstrapezverfahren
LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK 13
UNIVERSITÄT SIEGENLEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
Steifemodul-Verfahren
2.) Steifemodul-Verfahren: Zwei Varianten
•Boden wird als ein linear elastischer und isotroper Halbraum modelliert.
•Boden wird durch kontinuierlich verteilte, aber miteinander gekoppelte
(abhängige) linear-elastische Federn ersetzt bzw. approximiert.
F
Boden
wc
F
i
Setzungsmulde
ElastischerHalbraum
LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK 14
UNIVERSITÄT SIEGENLEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
Steifemodul-Verfahren
Annahme:
•Koppelung zwischen den einzelnen Federn.
•Wird die i-te Feder belastet, dann werden die anderen Federn auch dadurch
beansprucht.
Vorteile:
•Setzungsmulde kann in diesem Verfahren näherungsweise beschrieben werden.
•Auch der Einfluss auf den Nachbarbaugrund neben dem Fundament
berücksichtigt werden.
LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK 15
UNIVERSITÄT SIEGENLEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
Boden
Annahme
Berechnung
Unabhängige Federn
Spannungstrapez-Verfahren
σB linear
Handrechnung
Gegenüberstellung: Bettungsmodulverfahren und Steifemodulverfahren
Bettungsmodul-Verfahren
Steifemodul-Verfahren
Unabhängige Federn
B c wσ = ⋅
Stabtragwerk /Platte
Abhängige Federn / Elastischer Halbraum
( ) const.s sE z E= =
Numerische Methoden (FEM)
Steigende Realitätsnähe und Komplexität
16
UNIVERSITÄT SIEGENLEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
Bemerkungen
• Zwischen dem Bauwerk und dem Baugrund sollen nur Druckspannungen
auftreten. Zugspannungen können nicht vom Boden aufgenommen werden.
• Falls Zugspannungen auftreten, dann entsteht eine klaffende Fuge. Die
Federn müssen dann im Zugspannungsbereich in der Berechnung
ausgeschaltet werden.
• Eine klaffende Fuge zwischen dem Bauwerk und dem Boden (mit
Zugspannungen bzw. negativen Bodenpressungen) ist bei Teillastzuständen
zulässig. Im endgültigen Zustand nach der Superposition der Teillastzustände
ist eine klaffende Fuge aber nicht zulässig.
LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK 17
UNIVERSITÄT SIEGENLEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
Baustatik (Master) - WS17/18
2.2 Steifemodul und Bettungsmodul
18
UNIVERSITÄT SIEGENLEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
Steifemodul
Steifemodul:
zzε
zzσ
arctan( )sE
sE
Oedometerversuch: Diagrammzz zzσ ε⇒ − −
Steifemodul = Steigung des Spannungs-
Dehnungs-Diagramms!
zz s zzEσ ε=
13 ;
1sE Kνν
−=+ 3(1 2 )
EK
ν=
−
: KompressionsmodulK
xz
Steifemodul ist eine reine Bodenkenngröße!
LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK 19
UNIVERSITÄT SIEGENLEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
Bettungsmodul
Bettungsmodul:
σ
w
arctan( )c
c
Plattendruckversuch: Diagrammwσ⇒ − −
Bettungsmodul = Steigung des Druck-Setzungs-
Diagramms!
c wσ = ⋅
w
σ
LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK 20
UNIVERSITÄT SIEGENLEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
Bemerkungen
• Bettungsmodul c ist proportional zum Steifemodul Es.
• Bettungsmodul c ist keine Bodenkenngröße mehr. c ist abhängig von:
− Form des Fundaments (Kreisfundament, Rechteckfundament, etc.).
− Größe des Fundaments.
− Fundamentlasten.
− Belastungen aus der Nachbarschaft.
− Schichtung des Baugruns.
• Zahlenbeispiele für Steifemodul und Bettungsmodul:
LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK 21
UNIVERSITÄT SIEGENLEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
Umrechnung vom Steifemodul zum Bettungsmodul
• Kreisplatte mit einer Steifigkeit, die eine gleichmäßig verteilte Bodenpressung
erzeugt:
• Kreisplatte mit einer unendlich großen Steifigkeit:
1.) Kreisplatten
1,39 sEc
A=
1,50 sEc
A=
A
LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK 22
UNIVERSITÄT SIEGENLEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
Umrechnung vom Steifemodul zum Bettungsmodul
Rechteckplatten mit einer Steifigkeit, die eine gleichmäßig verteilte Boden-
pressung erzeugt.
• Nach de Beer
2.) Rechteckplatten
3 2
1,33 sEc
lb=
l
b l b>
LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK 23
UNIVERSITÄT SIEGENLEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
Umrechnung vom Steifemodul zum Bettungsmodul
• Nach Dimitrov
( )21sE
cb
ρν
=−
Formbeiwert ρ :
Querkontraktionszahl ν :
Sand- und Kiesböden: ν =0,125 bis 0,50
Tonböden: ν =0,20 bis 0,40
LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK 24
UNIVERSITÄT SIEGENLEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
Umrechnung vom Steifemodul zum Bettungsmodul
• Nach DIN 4019( ,0)
s
s
Ec
bf=
Setzungsbeiwert f(s,0) :
LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK 25
UNIVERSITÄT SIEGENLEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
Bemerkungen
• Der Setzungsbeiwert f(s,0) ist abhängig vom Seitenverhältnis l/b und
Tiefenverhältnis z/b, wobei z die Dicke der wirksamen Bodenschicht ist.
• Gemäß DIN 4019 kann die Tiefe z auf z=2b begrenzt werden, falls die
Bodenschichtdicke größer als 2b ist.
LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK 26
UNIVERSITÄT SIEGENLEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
Zahlenbeispiel
Boden 1: Sand/Kies
Rechteckplatte
2100MN/msE =
l
b
15 , 1l m b m= =
Boden 2: Ton220MN/msE =
Dicke der wirksamen Bodenschicht: / 10z b =LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK 27
UNIVERSITÄT SIEGENLEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
Zahlenbeispiel
Bettungsmodul in MN/m2:
Boden de Beer Dimitrov DIN 4019
1 54 56 57
2 11 9 11
LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK 28
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Baustatik (Master) - WS17/18
2.3 Differentialgleichung elastisch gebetteter Balken
29
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Elastisch gebettete Balken
Definition:
Balken, die unmittelbar auf einem nachgiebigen Baugrund liegen, werden als
elastisch gebettete Balken bezeichnet.
Annahmen:
• Querschnitt ist dehn- und schubstarr, d.h.,
, sEA GA= ∞ = ∞
• Euler-Bernoulli-Balken (siehe TM II!)
30
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Elastisch gebettete Balken
lb
3Bettungsmodul: [kN/m ]c
2Flächenlast: ( , ) [kN/m ]q x y
Bodenpressung: ( )=B
p x bσ ⋅
31
UNIVERSITÄT SIEGENLEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
Elastisch gebettete Balken
• Flächenlast:2( , ) [kN/m ]q x y
• Linienlast: ( ) ( , ) [kN/m]q x q x y b= ⋅
• Bettungsmodul: 3 [kN/m ]c
• Flächige Bodenpressung: 2( , ) [kN/m ]x y c wσ = ⋅
• Linienförmige Bodenpressung: ( ) ( , ) [kN/m]p x x y b cb w k wσ= ⋅ = ⋅ = ⋅
• Federkonstante (Linienfeder): 2 [kN/m ]k cb=
32
UNIVERSITÄT SIEGENLEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
Differentialgleichung
Bodenpressung entlastet den Balken!
( )q x
( )p x
( ) ( )q x p x−
Aus TM II: ( ) ( )IVEIw q x p x= −
( ) ( )IVEIw p x q x+ =
( ) ( )IVEIw kw x q x+ =
4 14 ( ) ( )IVw w x q x
EIλ+ = Differentialgleichung für
elastisch gebetteten Balken!
( )p x k w= ⋅
4
4
k
EIλ =
LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK 33
UNIVERSITÄT SIEGENLEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
Differentialgleichung
Abklingkonstante: 4
4
k
EIλ =
Bemerkungen:
•Die Lösung der Dgl. w(x) ist abhängig von l.
•Schwankungen in der Bettungszahl c haben nur einen relativ kleinen Einfluss auf
l uns damit auf w(x), da c bzw. k unter der vierten Wurzel steht.
•In der Praxis ist es sinnvoll, 2 Grenzfälle zu betrachten:
− Kleinste c : Größte Biegemomente
− Größte c : Größte Bodenpressungen.
LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK 34
UNIVERSITÄT SIEGENLEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
Baustatik (Master) - WS17/18
2.4 Lösung der Differentialgleichung
2.4.1 Homogene Lösung
2.4.2 Partikuläre Lösung
2.4.3 Rand- und Übergangsbedingungen
35
UNIVERSITÄT SIEGENLEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
Lösung der Differentialgleichungen
( )w x
Differentialgleichung:
Drehwinkel: ( ) ( )x w xϕ ′= −
Biegemoment:
( ) ( ) ( )Q x M x EI w x′ ′′= = − ⋅
( ) ( )M x EI w x′′= − ⋅
( ) ( )p x k w x= ⋅
Querkraft:
Bodenpressung:
Durchbiegung:
4 14 ( ) ( )IVw w x q x
EIλ+ =
LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK 36
UNIVERSITÄT SIEGENLEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
2.4.1 Homogene Lösung
[ ][ ]
1 2
3 4
( ) cos( ) sin( )
cos( ) sin( )
x
h
x
w x e A x A x
e A x A x
λ
λ
λ λ
λ λ
−= +
+ +
Differentialgleichung:
4 14 ( ) ( )IVw w x q x
EIλ+ =
Gesamtlösung:
( ) ( ) ( )h pw x w x w x= +Homogene Lösung:
LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK 37
UNIVERSITÄT SIEGENLEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
2.4.1 Homogene Lösung
Bemerkung:
Der erste Anteil der Lösung klingt mit x von links nach rechts ab,
weil der zweite Anteil von rechts nach links abklingt!
x x
l
[ ][ ]1 2
( )3 4
( ) cos( ) sin( )
cos( ( )) sin( ( ))
x
h
l x
w x e A x A x
e A l x A l x
λ
λ
λ λ
λ λ
−
−
= +
+ − + −
LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK 38
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2.4.1 Homogene Lösung
Periode:
42
2 =8,9 EI
T Tk
πλ πλ
= ⇒ =
Je steifer der Balken bzw. je weicher der Boden, desto größer ist die Periode T!
cos( ) bzw.
sin( )
x
x
e x
e x
λ
λ
λλ
−
−
LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK 39
UNIVERSITÄT SIEGENLEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
2.4.1 Homogene Lösung
Abklingverhalten:
( )1
20
( /2)1/2
/20
1 10,002 0,2%
1 10,04 4%
x T
x T
x T
x T
a e
a e e e
a e
a e e e
λ
λ λ π
λ
λ λ π
− +
− +
= = = = =
= = = = =
Die Amplitude ist nach einer halben Periode T/2 bis auf 4%
abgeklungen!
LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK 40
UNIVERSITÄT SIEGENLEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
2.4.2 Partikuläre Lösung
2 30 1 2 3( )q x a a x a x a x= + + +
Die partikuläre Lösung kann mit dem Ansatz vom Typ der rechten
Seite gewonnen werden.
Für eine Lastfunktion als Polynom bis zum 3. Grad gilt:
4
( ) ( )( )
4p
q x q xw x
EI kλ= =
LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK 41
UNIVERSITÄT SIEGENLEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
2.4.3 Rand- und Übergangsbedingungen
Die 4 Intergationskonstanten A1 bis A4 in der homogenen
Lösung können aus den Randbedingungen oder
Übergangsbedingungen bestimmt werden. An jedem
Rand stehen 2 Randbedingungen oder Übergangsbedin-
gunmgen zur Verfügung.
LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK 42
UNIVERSITÄT SIEGENLEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
2.4.3 Rand- und Übergangsbedingungen
LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK 43
UNIVERSITÄT SIEGENLEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
2.4.3 Rand- und Übergangsbedingungen
LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK 44
UNIVERSITÄT SIEGENLEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
Bemerkungen
Bei sehr langen Balken unter einer Einzellast:
In diesem Fall sind die beiden Lösungsanteile der
homogenen Lösung entkoppelt und können daher
getrennt betrachtet werden. Physikalisch bedeutet dies,
dass die von der Einzellast F ausgehenden Lösungen der
homogenen Lösung am anderen Balkenende praktisch
abgeklungen sind.
LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK 45
UNIVERSITÄT SIEGENLEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
Bemerkungen
Bei sehr langen Balken unter einer Randlast:
x
( ) 0w x ≠
xπλ
≤ >xπλ
lF
( ) 0w x ≅LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK 46
UNIVERSITÄT SIEGENLEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
Bemerkungen
Bei sehr langen Balken unter einer Innenlast:
x
( ) 0w x ≠
aπλ
≤ >xπλ
lF
( ) 0w x ≅
bπλ
≤
( ) 0w x ≠
>xπλ
( ) 0w x ≅LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK 47
UNIVERSITÄT SIEGENLEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
Einflusslinien für eine Einzelkraft
Die Lösungen für eine Einzellast werden als Einflußlinien
bezeichnet.
LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK 48
UNIVERSITÄT SIEGENLEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
Einflusslinien für eine Einzelkraft
Durchbiegung
LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK 49
UNIVERSITÄT SIEGENLEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
Einflusslinien für eine Einzelkraft
Drehwinkel
LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK 50
UNIVERSITÄT SIEGENLEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
Einflusslinien für eine Einzelkraft
Biegemoment
LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK 51
UNIVERSITÄT SIEGENLEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
Einflusslinien für eine Einzelkraft
Querkraft
LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK 52
UNIVERSITÄT SIEGENLEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
Einflusslinien für eine Einzelkraft: Tabelle
LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK 53
UNIVERSITÄT SIEGENLEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
Einflusslinien für ein Einzelmoment
LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK 54
UNIVERSITÄT SIEGENLEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
Einflusslinien für ein Einzelmoment
LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK 55
UNIVERSITÄT SIEGENLEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
Einflusslinien für ein Einzelmoment
56
UNIVERSITÄT SIEGENLEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
Einflusslinien für ein Einzelmoment
57
UNIVERSITÄT SIEGENLEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
Einflusslinien für ein Einzelmoment
58
UNIVERSITÄT SIEGENLEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
Einflusslinien für ein Einzelmoment: Tabelle
59
UNIVERSITÄT SIEGENLEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
Baustatik (Master) - WS17/18
2.5 Beispiele
60
UNIVERSITÄT SIEGENLEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
Beispiel 1: Konstante Streckenlast
0p
qw w
k= =
Die Gesamtlösung ist gleich der partikulären Lösung, da die RB automatischerfüllt sind!
Lösung:
0
0
M EIw
Q EIw
′′= − =′′′= − =
0( )q x q=
0( )p x p=
0
0
M
Q
==
0
0
M
Q
==
LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK 61
UNIVERSITÄT SIEGENLEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
Beispiel 2: Lineare Streckenlast
( )p
q xw w
k= =
Die Gesamtlösung ist gleich der partikulären Lösung, da die RB automatischerfüllt sind!
Lösung:
0
0
M EIw
Q EIw
′′= − =′′′= − =
( )p x
( )q x
0
0
M
Q
==
0
0
M
Q
==
1q 2q
0 1( )q x a a x= +
LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK 62
UNIVERSITÄT SIEGENLEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
Beispiel 3: Stützenlast
0pw =
Die Gesamtlösung ist gleich der homogenen Lösung!
Lösung:
( ) 0q x =
0
0
M
Q
==
0
0
M
Q
==
F
M
0
0
M
Q
==
0
0
M
Q
==
( ) ( )hw x w x=
LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK 63
UNIVERSITÄT SIEGENLEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
Beispiel 4: Einzellast
0pw =Lösung: ( ) 0q x =
F
0
0
M
Q
==
0
0
M
Q
==
Wegen Symmetrie!
[ ]1 2( ) ( ) cos( ) sin( )x
hw x w x e A x A xλ λ λ−= = +
(0) 0
(0)2
w
FQ
′ =
= −
RB:
1 2 2
FA A
k
λ= =
2
F
(0) 0
(0)2
w
FQ
′ =
= −
x
LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK 64
UNIVERSITÄT SIEGENLEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
Beispiel 4: Einzellast
Durchbiegung: [ ]( ) cos( ) sin( )2
xFw x e x x
k
λλ λ λ−= +
Drehwinkel:2
( ) ( ) sin( )xFx w x e x
k
λλϕ λ−′= =
Biegemoment: [ ]( ) ( ) cos( ) sin( )4
xFM x EIw x e x x
k
λ λ λ−′′= − = −
( ) ( ) cos( )2
xFQ x EIw x e xλ λ−′′′= − = −Querkraft:
[ ]( ) cos( ) sin( )2
xFp x k w e x xλλ λ λ−= ⋅ = +Bodenpressung:
LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK 65
UNIVERSITÄT SIEGENLEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
Beispiel 5: Einzellast am Balkenrand
0pw =Lösung: ( ) 0q x =
[ ]1 2( ) ( ) cos( ) sin( )x
hw x w x e A x A xλ λ λ−= = +
(0) 0
(0)
M
Q F
== −
RB:
1 2
2, 0
FA A
k
λ= =
F
(0) 0
(0)
M
Q F
== −
x
lπλ
>
LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK 66
UNIVERSITÄT SIEGENLEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
Beispiel 5: Einzellast am Balkenrand
Durchbiegung:2
( ) cos( )xFw x e x
k
λλ λ−=
Drehwinkel: [ ]22
( ) ( ) cos( ) sin( )xFx w x e x x
k
λλϕ λ λ−′= = +
Biegemoment: ( ) ( ) sin( )xFM x EIw x e xλ λ
λ−′′= − = −
[ ]( ) ( ) cos( ) sin( )xQ x EIw x Fe x xλ λ λ−′′′= − = − −Querkraft:
( ) 2 cos( )xp x k w F e xλλ λ−= ⋅ =Bodenpressung:
LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK 67
UNIVERSITÄT SIEGENLEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
Beispiel 5: Einzellast am Balkenrand
( )2
kw x
Fλ
( )M xF
λ
1( )Q x
F
Durchbiegung
Biegemoment
Querkraft
68