2 funciones booleanas

2: Funciones booleanas 1

ELO211: Sistemas Digitales

Tomás Arredondo Vidal

Este material está basado en:

❒ textos y material de apoyo: Contemporary Logic Design 1st / 2nd edition. Gaetano Borriello and Randy Katz. Prentice Hall, 1994, 2005❒ material del curso ELO211 del Prof. Leopoldo Silva❒ material en el sitio http://es.wikipedia.org


2-Funciones y representaciones booleanas

2.1 Lógica y álgebra de Boole2.2 Funciones booleanas2.3 Representaciones de funciones booleanas2.4 Funciones de varias variables


Lógica Booleana

❒ Definiciones básicas❍ Una variable booleana (e.g. x, y) es un símbolo que

puede ser substituido por un elemento del conjunto B={0,1}

❍ Una constante booleana es un valor perteneciente al conjunto {0,1}

❍ Una expresión (e.g. x+y, x·y, x’) esta compuesta de variables, constantes y operadores (e.g. +, ·, ’)

❍ Una función booleana de n variables f(x1, x2, ..., xn) es un expresión o formula que mapea f a un valor del conjunto booleano B (0 o 1)

❍ Un literal es una variable o su complemento


Álgebra de Boole

❒ Definición: el álgebra de Boole es un sistema algebraico cerrado que contiene:❍ un conjunto de dos elementos {0, 1}, ❍ dos operadores binarios {+, ·}, ❍ un operador unitario { ‘ }.


Lógica y álgebra de Boole❒ El álgebra de Boole es la fundación matemática de

los sistemas digitales.❒ Las operaciones del álgebra de Boole deben regirse

por propiedades y reglas lógicas llamados leyes o postulados.

❒ Estos postulados se pueden usar para demostrar leyes mas generales sobre expresiones booleanas.

❒ Estos postulados también se usan para simplificar y optimizar expresiones booleanas y sistemas digitales.❍ Ejemplo: X AND (Y OR Y’) = X (¿porque?)


Álgebra de Boole❒Una expresión algebraica de Boole consiste de

❍ un conjunto de B❍ operaciones binarias { + , • }❍ una operaciones unitaria { ’ }

❒B tiene dos elementos : a, b y los siguientes postulados se cumplen:

Clausura: a + b esta en B, a • b esta en B

Conmutatividad: a + b = b + a, a • b = b • a

Asociatividad: a + (b + c) = (a + b) + ca • (b • c) = (a • b) • c

Identidad: a + 0 = a, a • 1 = a

Distributividad: a + (b • c) = (a + b) • (a + c)a • (b + c) = (a • b) + (a • c)

Complementariedad: a + a’ = 1, a • a’ = 0


Álgebra de Boole: Resumen❒Álgebra de Boole

❍ B = {0, 1}❍ variables❍ + es el OR lógico, • es el AND lógico❍ ’ es el NOT lógico

❒Todos los postulados (axiomas) algebraicos se cumplen❒La prioridad de los operadores es ‘, seguido por AND y despues OR. ❒El ‘ tiene la mayor prioridad. ❒Los ( ) pueden cambiar el orden de evaluación.


Álgebra de Boole: Teoremas

❒Con la formulación de los postulados del álgebra de Boole se pueden demostrar varias proposiciones o teoremas de álgebra booleana❒Para las demostraciones de teoremas se pueden usar:

❍ tablas de verdad, ❍ postulados,❍ y teoremas ya demostrados



❒ Definición: El álgebra de boole es un sistema algebraico cerrado que contiene un conjunto B de dos elementos {0,1} y tres operadores {·, +, ‘}.

❒ igualdad: Dos expresiones son iguales si una puede ser substituida por otra.

❒ identidad:1. X + 0 = X 1D. X • 1 = X

❒ nulo (elementos únicos):2. X + 1 = 1 2D. X • 0 = 0

❒ idempotencia:3. X + X = X 3D. X • X = X

❒ involución:4. (X’)’ = X

❒ complementariedad:5. X + X’ = 1 5D. X • X’ = 0


Álgebra de Boole: Teoremas❒ conmutatividad:

6. X + Y = Y + X 6D. X • Y = Y • X❒ asociatividad:

7. (X + Y) + Z = X + (Y + Z) 7D. (X • Y) • Z = X • (Y • Z)❒ distributividad:

8. X • (Y + Z) = (X • Y) + (X • Z) 8D. X + (Y • Z) = (X + Y) • (X + Z)❒ unificación (fusión):

9. X • Y + X • Y’ = X 9D. (X + Y) • (X + Y’) = X❒ absorción:

10. X + X • Y = X 10D. X • (X + Y) = X

11. (X + Y’) • Y = X • Y 11D. (X • Y’) + Y = X + Y❒ factorizar:

12. (X + Y) • (X’ + Z) = 12D. X • Y + X’ • Z = X • Z + X’ • Y (X + Z) • (X’ + Y)

❒ consenso:13. (X • Y) + (Y • Z) + (X’ • Z) = 13D. (X + Y) • (Y + Z) • (X’ + Z) =

X • Y + X’ • Z (X + Y) • (X’ + Z)



❒ de Morgan:

14. (X + Y + ...)’ = X’ • Y’ • ...14D. (X • Y • ...)’ = X’ + Y’ + ...

❒ de Morgan generalizado:

15. f’(X1,X2,...,Xn,0,1,+,•) = f(X1’,X2’,...,Xn’,1,0,•,+)

establece relaciones entre • y +



❒ Ejemplo: de Morgan:

(X + Y)’ = (X’ • Y’)

NOR es equivalente a AND

con inputs complementados

(X • Y)’ = (X’ + Y’)

NAND es equivalente a OR

con inputs complementados

X Y X’ Y’ (X + Y)’ (X’ • Y’)0 0 1 10 1 1 01 0 0 11 1 0 0

X Y X’ Y’ (X • Y)’ (X’ + Y’)0 0 1 10 1 1 01 0 0 11 1 0 0

1000

1110

1000

1110


Álgebra de Boole: Teoremas❒ Dualidad

❍ el dual de una expresión booleana se puede obtener remplazando❍ • por +, + por •, 0 por 1, y 1 por 0, y dejando las variables sin

cambio❍ cualquier teorema demostrado también esta demostrado para su

dual!❍ un meta-teorema (teorema sobre teoremas)

❒ Dualidad:16. X + Y + ... ⇔ X • Y • ...

❒ Dualidad generalizado:17. f (X1,X2,...,Xn,0,1,+,•) ⇔ f(X1,X2,...,Xn,1,0,•,+)❍ diferente que ley de De Morgan’s❍ no es una manera para manipular (cambiar) expresiones sino para

generar otros teoremas que también son verdaderos❍ Ej: El dual del teorema X + 0 = X o (X + 0 = X)D es X • 1 = X


Álgebra de Boole: Teoremas❒ Actividad:

❍ Demuestre este teorema: X • Y + X • Y’ = X

❍ Demuestre este teorema : X + X • Y = X

igualdad X • Y + X • Y’ = X • Y + X • Y’distributividad (8) = X • (Y + Y’)complementariedad (5) = X • (1)identidad (1D) = X ➼

igualdad X + X • Y = X + X • Yidentidad (1D) = X • 1 + X • Ydistributividad (8) = X • (1 + Y)nulo (2) = X • (1)identidad (1D) = X ➼


Actividad: Álgebra de Boole

� Demuestre lo siguiente usando álgebra booleana:(X • Y) + (Y • Z) + (X’ • Z) = X • Y + X’ • Z

igualdad X Y + X’ Z = X Y + X’ Zabsorción (10) = (X Y + X Y Z) + (X’ Z + X’ Z Y)conmutatividad (6) = X Y + X’ Z + X Y Z + X’ Z Yconmutatividad (6D) = X Y + X’ Z + X Y Z + X’ Y Zdistributividad (8) = X Y + X’ Z + (X + X’) Y Zcomplementariedad (5) = X Y + X’ Z + (1) Y Zidentidad (1D) = X Y + X’ Z + Y Zconmutatividad (6) = X Y + Y Z + X’ Z ➼





Funciones booleanas❒ Espacios y funciones booleanas

❍ Si se define un espacio booleano como B={0,1}❍ Usando el producto cartesiano se puede definir B2

= {0,1} x {0,1} = {(00), (01), (10), (11)}❍ Para X = (X1, X2) podemos definir una función

booleana f de dos variables según: f(X): B2 →B, cada punto de B2 se mapea a B

❍ Para n variables booleanas con X = (X1, X2, ... Xn) se puede definir una función booleana f de n variablessegún:f(X): Bn→B, cada punto de Bn se mapea a B

❍ La función booleana puede tomar valores de 1 o 0 dependiendo de los valores de sus variables



❍ El conjunto uno (on set) de f, puede definirse como los puntos X de Bn que se mapean a 1.

f1 : {X | f(X) = 1}❍ El conjunto zero (off set) de f puede definirse

como los puntos X de Bn que se mapean a 0.f0 : {X | f(X) = 0}

❍ Si el conjunto f1 = Bn se dice que f es una tautología.

❍ Si el conjunto f0 = Bn se dice que f0 es vacío y no es satisfacible.


Funciones booleanas: tautologíaDe: http://es.wikipedia.org/wiki/tautología

❒ En lógica, una tautología es una formula preposicional que es verdad bajo cualquier evaluación de sus variables.

❒ En lingüística, una tautología es una redundanciadebida a una calificación superflua o de lógica circular (e.g. "innovación novedosa", "mundo mundial“, "Le voy a entregar un obsequio gratis“, "El 100% de nuestros clientes compran nuestros productos“).

❒ Las matemáticas pueden ser consideradas como la ciencia de hacer tautologías particularmente elaboradas de una forma rigurosa. Un teorema es un ejemplo de tautología útil.



❍ Una función f es satisfacible cuando existe un elemento en el conjunto de f que es uno.

❍ Dos funciones son equivalentes si para todo X є Bn

se tiene que:f(X) = g(X)





Representaciones❒ Las funciones booleanas se pueden describir

de variadas formas incluyendo:❍ álgebra booleana❍ tablas de verdad,❍ diagramas de compuertas,❍ diagramas temporales,❍ diagramas de Venn, ❍ mapas de Karnaugh, ❍ N-cubos,❍ lenguajes de descripción de hardware (HDL:

Hardware description languages) como Verilog o VHDL

Por v

erse!


Representaciones: álgebra booleana❒ Las funciones booleanas se pueden describir con una

expresión de álgebra booleana.Ejemplo: f(X, Y, Z) = XY + X’Z + XZ’

❒ La función puede evaluarse para las diferentes combinaciones de valores que tomen las variables.

❒ Existen infinitas representaciones equivalentes de una función a través de expresiones.

❒ El problema de síntesis lógica consiste en encontrar la mejor expresión para representar una función.


Representaciones: tabla de verdad❒ Las funciones booleanas también se pueden

representar como una tabla de verdad.❒ La tabla de verdad despliega todas las

combinaciones de valores de las variables y el valor asociado de la función.


Representaciones❒ Ejemplos: tablas de verdad

X Y X • Y0 0 00 1 01 0 01 1 1

X Y X’ Y’ X • Y X’ • Y’ ( X • Y ) + ( X’ • Y’ )0 0 1 1 0 1 10 1 1 0 0 0 01 0 0 1 0 0 01 1 0 0 1 0 1

( X • Y ) + ( X’ • Y’ ) ≡≡≡≡ X = Y

X Y X’ X’ • Y0 0 1 00 1 1 11 0 0 01 1 0 0

Expresión booleana que es verdadera cuando X e Y son iguales y falso de otraforma


Representaciones

• Las funciones booleanas también se pueden representar por diagramas compuestos de símbolos de compuertas.

• Existen múltiples diagramas que pueden representar la misma función.

• La ventaja de esta representación es que esta asociada a la implementación en un medio visual.

• Los circuitos combinacionales contienen solo compuertas.

• Los circuitos secuenciales contienen flip-flops y compuertas.


X Y Z0 0 00 1 01 0 01 1 1

X Y0 11 0

X Y Z0 0 00 1 11 0 11 1 1

X Y

X

X

Y

Y

Z

Z

Diagramas de compuertas

❒ NOT: X’, X, ~X

❒ AND: X•Y, XY, X∧Y

❒ OR: X+Y, X∨Y


X

YZ

X Y Z0 0 10 1 11 0 11 1 0

X Y Z0 0 10 1 01 0 01 1 0

ZX

Y

X

YZ

X Y Z0 0 10 1 01 0 01 1 1

X Y Z0 0 00 1 11 0 11 1 0

ZX

Y

Diagramas de compuertas

❒ NAND

❒ NOR

❒ XORX ⊕ Y

❒ XNORX = Y


T1

T2

A

B

CD T2

T1

Z A

B

CD

Z

Diagramas de compuertas❒ Existe mas de una forma de mapear

expresiones a compuertas

❍ e.g., Z = A’ • B’ • (C + D) = (A’ • (B’ • (C + D)))

❍ Como sería usando compuertas?


Representaciones: diagrama temporal❒ Un diagrama temporal es una representación de las

formas de las ondas de entradas y salidas de los circuitos.

❒ Los bordes no se alinean exactamente (toma tiempo para que una compuerta cambie de output)


Representaciones: diagrama temporal❒ Las señales de ondas se pueden apreciar usando

varias herramientas como: un simulador, usando un analizador lógico o un osciloscopio

❒ Retardos de propagación en compuertas pueden causar que las señales de entrada de otras compuertas en cascada tengan carreras

❒ Estas carreras pueden causar errores o perturbaciones (glitches)

❒ Los tiempos de propagación son acumulativos para compuertas en cascada


Representaciones: diagrama temporal❒ Ejemplo: y = x + x’

Como seria la perturbación?

X

X’

Y

X

X’

Y

t

perturbación

Carrera en señales de entrada


Representaciones: diagramas de Venn❒ Los diagramas de Venn provienen de la rama de las

matemáticas conocida como teoría de conjuntos. ❒ Estos diagramas son usados para mostrar gráficamente

la relación entre diferentes conjuntos❒ Son equivalentes a las tablas de verdad al mostrar todas

las relaciones lógicas entre los conjuntos de interés❒ Ejemplos:

A B

A · BA + B

(A + B)’ (A + B)’





Funciones de n variables❒ Si hay n variables la tabla de verdad tendrá 2n filas.

Cada fila tiene como resultado un 0 o un 1.❒ El numero de posibles funciones (que resultan en 0 o

1) crece rápidamente, en termino de n es: 22ⁿ

❒ n = 0 indica una función con 0 variables.

X1

X2F

Xn


X Y f0 f1 f2 f3 f4 f5 f6 f7 f8 f9 f10 f11 f12 f13 f14 f150 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 10 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 11 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 11 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1

Funciones de n variables❒ Ejemplo: para n=2 se tienen 22ⁿ = 16 funciones

❒ Como son las funciones equivalentes a la tabla?❒ f0=0, f1=XY, f2=XY’, f3=X, f4=X’Y, ..., f14=X’Y’ + X’Y + XY’= A’ +

B’ = (AB)’, f15=1

XY

F

0

XYX Y

X + Y

Y’ X’ 1X xor Y

X nor Y=(X + Y)’

X = Y X nand Y=(XY)’


Conjuntos funcionalmente completos❒ Cualquier expresión booleana puede ser

escrita mediante los operadores AND, OR y NOT

❒ Estos conjuntos constituyen un conjunto funcionalmente completo


Conjuntos funcionalmente completos❒ La función NAND también es funcionalmente

completa ya que puede implementar AND, OR y NOT:❍ NAND(A,B) = AB❍ NAND(A,A) = A❍ NAND(A, B) = A+B


Conjuntos funcionalmente completos❒ La función NOR también es funcionalmente

completa ya que puede implementar AND, OR y NOT:❍ NOR(A, B) = A + B❍ NOR(A,A) = A❍ NOR(A, B) = AB

❒ Todas estas funciones se pueden generalizar a funciones de n variables


Actividad: ❒ Determine la función de álgebra booleana

para un sumador de un bit❒ Inputs: A, B, Carry-in❒ Outputs: Sum, Carry-out

A

B

CinCout

S

A A A A A

B B B B B

S S S S S

CinCout


Actividad: ❒ Determine la tabla de verdad y la función de álgebra

booleana para un sumador de un bit❒ Inputs: A, B, Carry-in❒ Outputs: Sum, Carry-out

❒ Como minimizar usando álgebra booleana?

A

B

CinCout

S

A A A A A

B B B B B

S S S S S

CinCout

A B Cin Cout S0 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 1

01101001

00010111

Cout = A’ B Cin + A B’ Cin + A B Cin’ + A B Cin

S = A’ B’ Cin + A’ B Cin’ + A B’ Cin’ + A B Cin


Minimizar❒ Usando teoremas para minimizar el sumador

❒ Cuales son los criterios de interés al minimizar?

Cout = A’ B Cin + A B’ Cin + A B Cin’ + A B Cin= A’ B Cin + A B’ Cin + A B Cin’ + A B Cin + A B Cin= A’ B Cin + A B Cin + A B’ Cin + A B Cin’ + A B Cin= (A’ + A) B Cin + A B’ Cin + A B Cin’ + A B Cin= (1) B Cin + A B’ Cin + A B Cin’ + A B Cin= B Cin + A B’ Cin + A B Cin’ + A B Cin + A B Cin= B Cin + A B’ Cin + A B Cin + A B Cin’ + A B Cin= B Cin + A (B’ + B) Cin + A B Cin’ + A B Cin= B Cin + A (1) Cin + A B Cin’ + A B Cin= B Cin + A Cin + A B (Cin’ + Cin)= B Cin + A Cin + A B (1)= B Cin + A Cin + A B sumar terminos para

factorizar


Minimizar❒ Algunos criterios de interés al minimizar son:

❍ Criterios de reducción• Minimizar compuertas• Minimizar numero de entradas a las compuertas. Esto

corresponde a minimizar el numero de literales y reduce el numero de transistores en cada compuerta (reduce el costo)

• Disminuir el numero de niveles, esto aumenta la velocidad de respuesta del circuito implementando la función

❒ Siempre van a existir compromisos entre velocidad y tamaño. Se suele denominar compromiso tiempo-espacio.

❒ Diferentes implementaciones de la misma función tienen diferentes comportamientos:

❍ retardos son diferentes❍ perturbaciones (glitches) pueden ocurrir❍ otras variaciones por diferencias en el numero de compuertas y

estructura


A B C Z0 0 0 00 0 1 10 1 0 00 1 1 11 0 0 01 0 1 11 1 0 11 1 1 0

Hay que elegir entre diferentes realizaciones de una función

realización de dos niveles

compuerta XOR (fácil de dibujar pero mas costosa)

implementación multinivelcompuertas con menos inputs


Hay que elegir entre diferentes realizaciones de una función

❒ Las tres implementaciones anteriores son funcionalmente equivalentes pero tienen diferencias en su comportamiento

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